İSTATİSTİK II Hipotez Testleri 1 1
Hipotez Testleri 1 1. Hipotez Testlerinin Esasları 2. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler 3. Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler 4. Bir oran ile ilgili bir iddianın testi 2
Tanım Hipotez İstatistikte hipotez, bir anakütlenin bir özelliği hakkındaki bir iddia yada bir ifadedir. 3
= 98.6 olarak varsayıldığında Örnek Ortalamalarının Örnekleme Dağılışı Örnek verisi: z = - 6.64 veya x = 98.20 Olası Örnek Ortalamaları µ x = 98.6 z = - 1.96 veya x = 98.48 z = 1.96 veya x = 98.72 4
Bir Hipotez Testinin Bileşenleri 5
Sıfır Hipotezi: H 0 Bir anakütle parametresinin değeri hakkındaki bir ifadedir. Normal durumu ifade eder. =,, veya ifadelerini içerir. Test sonucu sıfır hipotezi için kararlar: H 0 ret veya H 0 reddedilemez şeklindedir. 6
Alternatif Hipotez: H 1 H 0 yanlış ise, doğrudur., <, > içerir. Sıfır hipotezinin karşıtıdır. Eğer bir çalışmanın sonunda fikrinizi test etmek istiyorsanız, bu iddiayı alternatif hipotez ile ifade etmelisiniz. 7
Test İstatistiği Sıfır hipotezinin reddi hakkında karar vermek için kullanılan, örnek verilerinden hesaplanan bir değerdir. Büyük örnekler için, anakütle ortalamasının testinde kullanılan test istatistiği, z = x - µ x n 8
Ret Bölgesi (Kritik Bölge) Test istatistiğinin, sıfır hipotezinin reddine yol açacak tüm değerlerin seti. Ret bölgeleri 9
Önem Seviyesi ile gösterilir. Sıfır hipotezi gerçekte doğru iken, test istatistiğinin ret bölgesine düşmesi olasılığıdır. Genellikle 0.05, 0.01, veya 0.10 seçilir. 10
Kritik Değer Ret bölgesi ile kabul bölgesini ayıran değer veya değerler. H 0 Ret H 0 Reddedilemez Kritik Değer ( z değeri ) 11
Çift Taraflı Test H 0 : µ = 100, iki eşit kısma bölünür. H 1 : µ 100 Küçük veya büyüktür. H 0 ret H 0 reddedilemez H 0 ret 100 100 den anlamlı derecede farklı olan değerler 12
Tek Taraflı Test H 0 : µ =100 H 1 : µ > 100 Ret bölgesi sağda H 0 reddedilemez H 0 ret 100 100 den anlamlı derecede Büyük değerler 13
Tek Taraflı Test H 0 : µ =100 H 1 : µ < 100 Ret bölgesi solda H 0 ret H 0 reddedilemez 100 den anlamlı derecede küçük değerler 100 14
Hipotez Testlerinde Hatalar Tip I ve Tip II Hatalar Sıfır hipotezi DOĞRU Sıfır hipotezi YANLIŞ KARAR Sıfır hipotezi RET Sıfır hipotezi REDDEDİLEMEZ Tip I hata Doğru karar 1 - Doğru karar (Testin gücü) 1 - Tip II hata 15
Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Büyük örnekler Varsayımlar 1) Örnek, basit şans örneğidir. 2) a) Örnek büyüktür (n >= 30) veya, b) Anakütlenin dağılışı normaldir ve bilinmektedir. 3) n >= 30 iken, bilinmiyorsa, örnek standart sapması s, anakütle standart sapması yerine kullanılabilir.. 16
Test İstatistiği x - µ x z = n 17
Karar Kriteri Test istatistiği ret bölgesine düşüyorsa, sıfır hipotezi reddedilir. Test istatistiği ret bölgesine düşmüyorsa, sıfır hipotezi reddedilemez. 18
Çift Taraflı Z Testine Örnek: Bir fabrikada üretilmekte olan vidaların boylarının ortalaması 100 mm, ve standart sapması 2 mm olan normal dağılım gösterdikleri bilinmektedir. Makinalarda olan bir arıza giderildikten sonra üretilen vidalardan alınan 9 vidalık bir örneğin boy ortalaması 102 mm olarak bulunmuştur. Makinalardaki arıza giderilirken vidaların boyunun ayarı bozulmuş mudur? =0.05 için test ediniz ve yorumlayınız. 1. Adım: Hipotezlerin belirlenmesi H H 0 1 : 100mm : 100mm 2. Adım: Test istatistiğinin hesaplanması Z hesap X 102100 3 2 9 n 100mm =2mm n=9 X 102mm 19 19
3. Adım: Kritik değerlerin belirlenmesi:.500 -.025 Standart Normal Dağılım Tablosu.475.06 Z.05.07 /2 =.025-1.96 0 1.96 /2 =.025 Z 1.6.4505.4515.4525 1.7.4599.4608.4616 1.8.4678.4686.4693.4744.4750.4756 1.9 20 20
4. Adım: İstatistiksel karşılaştırmanın yapılması: Z hesap H 0 RED X 102100 3 2 9 n H 0 RED idi /2 =.025 -Z tablo = -1.96 /2 =.025 0 Z tablo = 1.96 5. Adım: Karar verme ve yorumlama: Z hesap =3 Z hesap değeri H 0 red bölgesine düştüğü için H 0 hipotezi reddedilir, yani vidaları boy ortalaması 100 mm den farklıdır, makinanın ayarı 21 bozulmuştur. 21
Tek Taraflı Z Testi Örneği Bir kutu mısır gevreğinin ağırlığının üzerinde yazan 368 gr dan fazla olduğu iddia edilmektedir. Ayrıca normal dağılım varsayımı altında = 15 gram olduğunu belirtmiştir. n= 25 kutuluk bir örnek alınmış vex = 372.5 gr. olarak bulunmuştur. 0.05 seviyesinde test ediniz. H 0 : 368 H 1 : > 368 = 0.05 n = 25 Kritik değer: 22 22
Çözüm H0: 368 H1: > 368 = 0.05 n = 25 Kritik değer: 0 Z hesap =1.5 Z X RED bölgesi =.05 Z Z tablo =1.645 n Test İstatistiği: 372. 5 368 15 25 Karar: =.05 için H 0 hipotezi reddedilemez. Yorum: 1. 50 Ortalamanın 368 gr.dan fazla olduğuna dair yeterli kanıt yoktur. 23 23
Çift Taraflı Z testi örneği: Bu sene DEÜ.İİBF İktisat bölümünden mezun olacak öğrencilerin mezuniyet not ortalamalarının 70 olduğu belirtilmekte ancak öğrenciler 70 den farklı olduğunu iddia etmektedirler. Bu amaçla mezuniyet sonrası 36 öğrencilik bir örnek alınmış ve mezuniyet ortalamalarının 66, standart sapmasının 12 olduğu bulunmuştur. Bu veriler ışığında iddiayı =0.01 için test ediniz. H 0 : =70 Z X s x x X s n H 1 : 70 66 70 4 2 12 / 6 2 III. 0.01 için z tablo değeri 2.58 IV. z hes < z tab H 0 red edilemez. 24 24
Ortalama ile ilgili bir iddianın testi: Küçük örnekler Varsayımlar 1) Örnek, bir basit şans örneğidir. 2) Örnek, bir küçük örnektir (n < 30). 3) Anakütle standart sapması bilinmemektedir. 4) Anakütlenin dağılışı normaldir. 25
Test İstatistiği t = x -µ x s n Kritik Değerler t tablosundan bulunur. Serbestlik Derecesi (df) = n -1 26
ÖRNEK Bir konserve fabrikasının imal ettiği konservelerin üzerinde ortalama ağırlık 455 gr yazmaktadır. Bu konservelerin ortalama ağırlıkları ile ilgili bir karar vermek üzere rastgele seçilen 17 kutunun ortalama ağırlığı 450 gr ve standart sapması 13 gr bulunmuştur. Ağırlıkların normal dağılım gösterdiği varsayımı altında ortalama ağırlığın 455 gr olup olmadığını 0.05 önem seviyesinde test ediniz. n 17 v n116 H 0 : 455 X 450 gr. H1 : 455 s 13 gr. 2.12 t tab H 0 Red -2.12-1.54 2.12 2 0.025 Red edilem ez. H 0 t h X s n 450 455 13 16 27 1.54 27
ÖRNEK: Bir otomobil firması yeni geliştirdiği teknoloji ile ürettiği akülerin ortalama dayanma süresi olan 42 ayın değiştiği ve artık akülerinin ortalama dayanma süresinin 42 ayın üzerinde olduğunu iddia etmektedirler. Akülerin dayanma sürelerinin normal dağılım gösterdiği varsayımı altında bu iddiayı araştırmak üzerine 10 adet akü örnek olarak seçilmiş ve dayanma süreleri ay olarak aşağıdaki biçimde bulunmuştur: 42, 36, 40, 39, 35, 43, 45, 43, 41, 46 α=0.05 önem seviyesi için üreticinin iddiasını test ediniz. H 0 : 42 H1 : 42 0,05 x x n 410 10 41 S t h t x x S S n x 41 42 3,59 10 2 x x n n 1 2 0,88 x 2 nx n 1 2 H 0 t 0,05,9 1,833 t h 0,88 1692610(41) 9 Red edilemez 2 3,59 28
Anakütle Ortalaması µ İçin Hipotez Testleri Başla normal dağılışı kullanın n > 30? Hayır Anakütle Verilerinin Dağılışı normal Mi? Evet Hayır x - µ Z x / n ( bilinmediğinde s kullanın.) Parametrik olmayan İstatistik yöntemleri kullanın. Evet Biliniyor mu? Hayır Evet normal dağılışı kullanın x - µ Z x / n (Nadiren karşılaşılan bir durumdur.) Student t dağılışını kullanın x - µ t x s/ n 29
Bir oran ile ilgili bir iddianın testi Varsayımlar 1) Örnek, bir basit şans örneğidir. 2) Binom denemeleri için gerekli koşullar sağlanmıştır. 3) np 5 ve nq 5 sağlanmıştır. Böylece, başarı sayısının dağılışı, normal dağılışa yaklaşır. µ = nπ ve = nπ(1- π) 30
Notasyon n = deneme sayısı p=x/n (örnek başarı oranı) π= anakütle başarı oranı (sıfır hipotezinde kullanılır) q = 1 - π 31
Test İstatistiği z = p- π π(1 π) n 32
ÖRNEK Bir süpermarketler zinciri sahibi müşterilerinin %95 inin süpermarketlerindeki fiyatlardan memnun olduğunu söylemektedir. Tesadüfi olarak seçilen 200 müşteriden 184 ü fiyatlardan memnun olduğunu bildirmektedir.%1 önem düzeyinde, süpermarketteki fiyatlardan memnun olanların oranının %95 e eşit olmadığını söyleyebilir miyiz? H 0. 01 H 0 1 : 0,95 : 0,95 Z tab 2.58 p 184/ 200 0.92 Z p p p (1 ) n 0.92 0.95 0.95(1 0.95) 200 1.95 Hreddedilemez 0 33 33