9.0.06 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar EME 7 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller (Sürekli Dağılımlar) Ders 5 Sürekli Düzgün Dağılım Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Üstel (Exponential) Dağılım Erlang Dağılımı Gamma Dağılımı Weibull Dağılımı Lognormal Dağılım Beta Dağılımı Ügensel (Triangular) Dağılım Ügensel Dağılım 4 f (x) = x- a F(x) = ì (x - a) ( c- a) F(x) = í (b - x) b- c î a x b ( ) ( a<x<b Herhangi rastgele seilmiş dağılımdan örnek alma işlemi uygulanmasında sürekli düzgün dağılım önemli bir rol oynar. Kullanılan bir genel yöntem ters dönüşümlü örnekleme yöntemidir ) c x b Parametreler: a= minimum değer: b= maksimum değer: c= mod Parametreler: a=minimum değer; b=maximum değer Simulasyon denemelerinin işletilip sonular alınmasında, sürekli düzgün dağılım kullanılması simulasyon tekniğinin vazgeilmez bir ögesidir. )( a x c Ügensel dağılım, tipik olarak sınırlı sayıda örneklem verisiyle bir ana kitlenin tanımlanmasında, özellikle de değişkenler arasındaki ilişkilerin bilindiği, ancak verinin yetersiz olduğu durumlarda kullanılır. Ügensel dağılım özellikle proje yönetiminde PERT analizinde bir minimum ve maksimum değer aralığı ile tanımlanan olayları modellemek iin kullanılır.
9.0.06 6 Tanım: Sürekli bir X rasgele değişkeni iin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi ise X normal dağılımı sahiptir denir. Parametreler: f ( x).e x m : Ana Kitle Ortalaması,- <x<, - <, 0 s s : Ana Kitle Varyansı Normal dağılımı ortalaması: µ ve varyansı: σ olan X~N(µ, σ) simgesiyle göstereceğiz. Birok psikolojik ölümler ve fiziksel olay, normal dağılım kullanılarak ok iyi yaklaşık olarak aıklanmaktadır. Doğa ve davranış bilimleri iinde bulunan birok olayın modellenmesinde normal dağılımın kullanılmasına neden, merkezsel limit teoreminin uygulanmasından doğmaktadır. Lognormal Dağılım Üstel Dağılım 7 8 Log-normal dağılım, logaritması normal dağılım gösteren herhangi bir rassal Tanım : değişken iin tek-kuyruklu bir olasılık dağılımdır. f (x) = l e- l x, x ³ 0 f ( x) = xs p (ln( x)-m ) - e s Parametre: l=, x>0 a l = Birim zamandaki ortalama olay sayısı Tanım : æ ö - x f (x) = e, x ³ 0 Y e X ~ LogN, X ~ Norm, a Parametre: a = Olaylar arası ortalama süre Sabit ortalama değişme hızında ortaya ıkan bağımsız olaylar arasındaki zaman aralığını modellerken, bir üstel dağılım doğal olarak ortaya ıkar.
9.0.06 Gamma Dağılımı Erlang Dağılımı 9 0 G ( k) = ( k -)! Gamma dağılımı iki parametreli bir dağılımdır. θ: Ölek parametresi k: Şekil parametresi Erlang dağılımı, Üstel ve Gamma dağılımları ile yakından ilişkili sürekli bir dağılımdır. Eğer k tam sayı ise, Gamma Dağılımı, k tane üstel dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamını temsil eder ve rassal değişkenlerin her birinin üstel dağılımı iin parametre /θ olur. Eğer k pozitif tamsayı ise, Erlang dağılımıyla aynıdır. k pozitif tamsayı iin Weibull Dağılımı Beta Dağılımı Beta dağılımı [0,] aralığında iki tane pozitif şekil parametresi (tipik olarak α ve β) ile normalize edilmiş bir sürekli olasılık dağılımıdır. f ( x) = Mühendislikte üretim ve mal teslim zamanlarını temsil etmek iin modellemelerde Weibull dağılımı kullanılmaktadır. Bunun yanısıra bakım-arıza analizi iin istatistiksel modellere temel olmaktadır. = G (a + b ) a - b - x (- x) G (a ) G ( b ) b - xa - (- x) B (a, b ) Beta dağılımı, özellikte endüstriyel mühendislik ve yöneylem araştırması bilim alanlarında, belirli bir minimum değer ile belirli bir maksimum değer aralığı iinde sınırlanmş olayların ortaya ıkması şeklindeki pratik sorunların modellenmesi iin kullanılır. Özellikle CPM tipi proje idaresi ve kontrolu kuramında, beta dağılımı ve ügensel dağılım ile birlikte özellikle olasılık gösteren aktivite uzunluklarının tahmini iin kullanılmaktadır.
9.0.06 Sürekli Dağılımlar () Sürekli Dağılımlar () 4 Dağılım Uniform (a,b) Birikimli Dağılım Fonksiyonu F(x) x - a a<x<b E[X] a+ b V[X] () Dağılım Weibull (β,α) Birikimli Dağılım Fonk. F(x) E[X] - e -(x/b b )a a G æ ö V[X] b a G æ ö - a G ì æ æ öö ü í ø ý î ý Normal (µ,σ ) Üstel (λ) Erlang (λ, k) Gamma (β,α) k pozitif tamsayı ise, Erlang k Değilse, m s - e -lx / l / l k- e - klx (klx) n -å k / l k / l n! n=0 ab ab Lognormal (µ l,σ l ) Beta (α,α ) Ügensel a=minimum b= maksimum c= mode ( ) (( ) / m l ) e m+ m = ln m l / s l + m l s = ln s l + m l ì (x - a) a x c ( ) ( c- a) í (b- x) - c x b ( ) ( b- c) î a s e m+s æ e s - ö ø ( ) a a a + a (a +a ) a +a + a+ b+ c a + b + c - ab - ac - bc 8 5 Modellenmesi () 6 Modellenmesi () Teorem: Olayların gerekleşmesi ortalaması λ(olay/br.zaman) olan poisson sürecine uyuyorsa, olayların olusları arasında geen süre ortalaması /λ (br.zaman/olay) olan Üstel dağılıma uyar. Örnek: Müşteriler sisteme ortalaması 0 (müşteri/saat) olan Poisson Sürecine uygun olarak geliyorsa, müşteri gelişleri arasında geen süre ortalaması /0 (saat/musteri) olan Üstel dağılıma uyar. Eğer süreler tamamen rassalsa, simulasyonda oğu zaman Üstel dağılımla modellenir. Süreleri modellemek iin Gamma ve Weibull dagilimlari da kullanilabilir (Üstel dağılım, bu iki dağılımın özel bir durumudur). 4
9.0.06 7 Modellenmesi () 8 Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi () Pratikte servis süreleri Üstel Dağılımın aıklayabildiginden daha uzunsa, servis süresinin modellenmesinde Weibull dağılımı daha uygun olabilir. Sürekli Rassal Değişkenleri modellemede Normal Dağılım kullanılırken negatif değerler alabildiği göz önünde bulundurulmalıdır. Arıza zamanları Üstel, Gamma ve Weibull gibi bir cok dağılımla modellenebilir. Eğer arızalar tamamen rassal olarak oluyorsa, arızaya kadarki süre Üstel dağılımla modellenebilir. Gamma dağılımı, her paranın arızaya kadarki sürelerinin üstel oldugu yedek parcaların bulundurulduğu durumda modellemede kullanılır. Arızaya Kadarki Sürenin Modellenmesi () Veri Seti Yetersiz yada Veri Yoksa 9 0 Sistemde bir ok para varsa ve arıza seri bağlı bir ok parcadaki hatalardan dolayı oluşuyorsa genellikle arızaya kadarki süreyi modellemek icin Weibull dağılımı uygundur. Çoğu arıza aşınmadan kaynaklanıyorsa, normal dağılım modelleme iin olduka uygun olabilir. Gelişlerarası yada servis süresinin rassal oldugu biliniyorsa, fakat dağılımıyla ilgili bilgi yoksa Rassal degiskenin en küük, en büyük ve en sık gerekleşen değerleri hakkında varsayım yapılabılıyorsa Bazı para tipleri iin arızaya kadarki süreleri modellemek iin Lognormal dağılım kullanılabilir. Ceşitli dağılım formlari sağladiği iin veri yoksa Beta dağılıma da kullanılabilir. 5