Matematik Nereden Geldi?

Transkript

1

2 İçindekiler Matematik nereden geldi? Neden matematik öğreniyoruz? Matematiğin modern kullanım alanları Neden matematikte başarılı olamıyoruz? Matematiğe nasıl çalışmalıyız? Matematik ve korkularımız Ünlü Matematikçiler Fibonacci sayıları ve altın oran Bulmaca

3 Matematik Nereden Geldi? Matematik, insanlık tarihinin en eski bilimlerinden biridir. Çok eskiden matematik, sayıların ve şekillerin ilmi olarak tanımlanırdı. Matematik de diğer bilim dalları gibi geçen zaman içinde büyük bir gelişme gösterdi; artık onu birkaç cümleyle tanımlamak mümkün değil. Matematik bir yönüyle resim ve müzik gibi bir sanattır. Matematikçilerin büyük çoğunluğunu bir sanat olarak icra ederler. Matematik, başka bir yönüyle bir dildir. Galileo Galilei tabiat matematik dilinde yazılmıştır der. Matematik başka bir yönüyle de satranç gibi entelektüel bir oyundur. Eski Yunanca matesis kelimesi matematik kelimesinin köküdür ve ben bilirim anlamına gelmektedir. Daha sonradan sırasıyla bilim, bilgi ve öğrenme gibi anlamlara gelen μάθημα (máthema) sözcüğünden türemiştir. μαθηματικός (mathematikós) öğrenmekten hoşlanan anlamına gelir. Osmanlı Türkçesinde ise Riyaziye denilmiştir. Matematiğin Evrimi? Matematiğin bir icat olmadığını bilmek gerekir. Matematik zaten var olan bir olgudur. İnsanlar sadece evrenin düzeninin altında yatan ve hayatlarını kolaylaştıran bu matematiksel düzeni keşfetmiştir. Matematiğin icadı ile ilgili tek bir kişiden yada halktan bahsetmek mümkün değildir. Matematiğin kullanımı ile ilgili en eski kayıtlarda yer alan medeniyetler arasında Mayalar, Hintliler, Yunanlılar, İslam Medeniyetleri ve Çinliler sayılabilir.

4 Neden matematik öğreniyoruz? Çünkü evrende mükemmel bir matematiksel düzen vardır. Evrenin her noktasında, canlı cansız bütün varlıkların bedenlerinde, yaşamın her saniyesinde biz farkında olmadan on binlerce matematiksel işlem görülmekte. Yerçekimi kuvveti, dünyanın güneşe olan uzaklığı, ışığın ve sesin yayılma hızı, vücudumuzdaki alyuvar sayısı, bir yerden bir yere giderken kullanılan en kısa yol, 1gram yağdaki kalori miktarı, bir süper bilgisayarın saniyedeki işlem hızı vb. hayatımızın her anında matematiksel olgular var. İnsanlar da evrenin bu mükemmelliğinin altında yatan matematiği merak ederek şimdiki uygarlık seviyesine ulaştılar. Farkında olmadan kullanıyorsun zaten. Bütün fiziksel, kimyasal ve biyolojik olayların altında bu matematik yatmıyor mu? Evet evrenin mükemmel bir düzeni vardır. Bugün ay ve güneş tutulmalarından korkmuyor ve bu olayları basit aritmetik, cebir ve geometri bilgileri ile açıklayabiliyoruz. Işığın nasıl yayıldığını biliyoruz. Barajlar kuruyor, evlere fabrikalara enerji akıtıyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve on binlerce kişinin on binlerce yılda bitiremeyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. İşte bütün bunları matematik kullanarak yapıyoruz. Kısaca, matematik insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır. Çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır.

5 Matematiğin Modern Kullanım Alanları Cebirsel geometri ve teknikleri, robot ve bilgisayar oyunu modellemelerinde kullanılır. Diferansiyel denklemler ve sayısal analiz teknikleri uçak ve motor modellemelerinde,uydu yapımında ve daha genel olarak dinamik sistemlerin değişimlerinin ölçümünde kullanılır. Fraktallar, anten teknolojisinde hacmi küçük, yüzey alanı büyük antenlerin yapımında kullanılır. Ayrıca fraktal geometri, canlılarda kılcal damarların düzeni ve kanın akışının izahında kullanılır. Kendini kopyalayabilen makineler ve sembolik otomatlar, uzay istasyonlarından Dünyaya gönderilen dijital verinin kaybolan parçalarının yeniden inşa edilmesinde kullanılır. Fourier analizi ve teknikleri, iletişim ağlarında verinin çok uzak mesafelere gönderilebilmesi ve kaybın en az olması için kullanılır. Ayrıca, Fourier teknikleri resim, video ve dijital müziğin sıkıştırılmasında kullanılır. Hücresel otomatlar, biyolojik canlıların üremelerini ve hastalıkların yayılmalarını modellemek için kullanılır. Cebirsel topolojinin bir alt dalı olan uygulamalı homoloji, dijital verinin matematiksel topolojisini belirlemek için kullanılır. Buna en iyi örnek, uzak gezegenlerin fotoğraflarından gezegen yüzeyinin coğrafyasının belirlenmesidir. Algoritmik teknikler programlamacılıkta kullanılır. Soyut mantık, elektrik devresi ve bilgisayar dizaynında kullanılır. Çizge kuramı, veritabanının topolojik ve kombinatorik olarak incelenmesinde kullanılır. Örnek olarak, bir ülkedeki hastanelerin bulundukları yer ile aralarındaki uzaklıkların ideal olup olmadığının belirlenmesini verebiliriz. Bir başka örnek ise, internet sitelerin dağılımlarının incelenmesidir. Matematiğin hiçbir alanı yoktur ki ne kadar soyut görünürse görünsün zaman içerisinde kendisine bir uygulama alanı bulmayacaktır. NİCOLAİ LOBACHEVSKY

6 Neden Matematikte Başarılı Olamıyoruz? Önce bir hikayeyle başlayalım: Bir deniz akvaryumunda vahşi bir barracuda balığı birden uskumrulara saldırmaya çalışır ama aradaki bölme buna engel olur. Burnunu defalarca çarptıktan sonra denemekten vazgeçer. Bir süre sonra aradaki bölme kaldırılır. Ama barracuda yalnızca bölmenin önceden durduğu yere kadar yüzer ve durur. Bölmenin hala orada olduğunu zanneder. Bu örnekteki gibi pek çok insan böyledir. Hayali bir engele ulaşana kadar ilerler; ama sonra kendi dayattıkları sınırlayıcı bir tutum yüzünden dururlar. İşte çoğu öğrenci de bu şekilde düşünmektedir. İlkokul yıllarında matematikteki bazı başarısızlıkları yüzünden şimdi de başaramayacağını zanneder. Halbuki artık matematiksel zekanız daha da gelişmiştir ve yapamam dediğiniz bir çok matematik konusunu anlayabilecek kapasiteye sahipsinizdir. Hepinizin bildiği bir sözün dediği gibi: İnanmak Başarmanın Yarısıdır! Matematikte başarısızlığın başka bir sebebi de aceleci davranmak ve yanlış çalışma stratejisi uygulamaktır. Kimse iki ay boyunca derslerde öğretilen konuları sınavdan önceki gece sadece birkaç saat çalışıp kavrayamaz. Bu yüzden düzenli bir matematik çalışma stratejisi uygulamak gerekir. Hiç Matematik Yapmadan Bu Hayatta Başarılı Olamaz Mıyım? Elbette matematik yapmadan da başarılı olabilirsiniz.herkes matematik yapacak veya yapmak zorunda diye bir şey yoktur.bu kendinizi gelecekte nasıl bir konumda görmek istediğinizle alakalı bir durumdur. Edinmek istediğiniz mesleğe giden yolda matematik varsa (ki çoğu meslek matematik gerektiriyor) yapmanız gerekmektedir. Günümüzde revaçta olan bir çok mesleği matematik yapmadan edinmeniz pek mümkün görünmüyor. Çoğu meslek için üniversite sınavlarında en çok puan getiren kısım matematiktir.

7 Peki Matematiğe Nasıl Çalışmalıyız? Herkesin söylediği bir söz vardır. Matematik temelin yoksa yapamazsın derler. Bu söz de sizi Barracuda balığı gibi bir öğrenilmiş çaresizlik içine sokabilir. Fakat durum tam olarak böyle değildir.temeli olmasa dahi matematik belirli bir düzeyde herkes tarafından öğrenilebilir. Bunun için ilk şart, matematiğin öğrenilebilirliğini kabul etmek ve o ders hakkındaki önyargıları bir kenara bırakmaktır. Einstein a İsviçre Federal Politeknik Okulundaki matematik öğretmeni H. Minkowsky "Tembel köpek" adını takmıştı ama o önemli bir bilim adamı olmayı başardı. Öncelikle dersi çok iyi dinlemeniz gerekiyor. Çünkü buradaki çoğu konuyla ilk defa karşılaşıyorsunuz. Bu durumda dersi derste öğrenmek en iyisi. Tabi ki dersi iyi dinlemek yeterli değildir. Derste çözülen örneklerin yeterli olmadığı gibi. Genelde okulda çözülen örnekler sadece konuyu kavratmaya yönelik giriş ve orta seviye soruları olur. Bu yüzden en az bir kaynak kitap üzerinden konuyu tekrar edip farklı soru tiplerini görmeniz gerekir. Kısa bir defter tekrarı yaptıktan ve kaynak kitabınızdaki çözümlü örnekleri inceledikten sonra testleri çözmeye başlayabilirsiniz. Testlerdeki bütün soruları hemen çözebileceğinizi düşünmüyorsunuzdur herhalde Çözemediğiniz soruları fazla geciktirmeden arkadaşlarınıza veya öğretmenlerinize sorarak çözdürmeniz çok önemlidir. Çünkü çözebildiğiniz soru zaten sizindir ama çözemediğiniz soru size yeni bir bilgi katar. Tabi ki burada bahsedilen çalışma yöntemi genelde işe yarasa da herkes için geçerli ve yeterli olmayabilir. En doğrusu kendinizi iyi tanımanız ve hangi çalışma yöntemi sizin için en iyi sonucu veriyorsa o şekilde devam etmenizdir.

8 Matematik Ve Korkularımız Korku hayatımıza yön veren, türümüzün devamlılığını sağlamak temel duygulardan biridir. Kimi zaman insana güç ve cesaret kazandıran bu duygu kimi zaman da kişiyi zayıf ve güçsüz kılabilir. Korkular bazen denetimleyerek bazen de genetik miras misali aktarılarak kazanılabilir. Matematik, günlük hayatımızın bir parçası haline gelmiş bir bilimdir. Farkında olsak da olmasak da hepimiz yaşamımızın her anında matematiğe başvururuz. Markete gidip alışveriş yaparken, otobüse binerken hatta hava durumunu tahmin ederken dahi hep matematiğin içindeyizdir. Peki, ama matematikle bu kadar iç içeyken ona karşı duyduğumuz bu korkunun temelindeki nedenler nelerdir? Herhangi bir insanı çevirip matematik hakkında ne düşündüğünü sorduğunuzda genellikle alacağınız cevap bellidir. Matematik korkutucu, anlaşılması güç, karmakarışık işlemlerin yapıldığı zor bir derstir. Bu fikirlerin oluşmasında çevrenin, ailenin, öğretmenin vb. etmenlerin söz konusu olduğu görülebilir. Matematiğin soyut yönünün ağır basması özellikle somut işlemler döneminde olan ilköğretim çağı çocuklarında matematik korkusuna yol açmaktadır. Bu noktada öğretmen kavramları somutlaştırma yoluna gitmediğinde çocukta daha sonradan değiştirilmesi çok güç olan matematik korkusunun temelleri atılmaktadır. Bu durumlarda öğrenci öğrenim yaşamı boyunca matematikten uzak durmakta, ilk deneyimin etkisiyle yola devam ederek kendisini matematikten uzak tutmaktadır. Öğretmenin sınıf ortamındaki tutumu da korkuyu tetikleyici bir etmen olarak göze çarpmaktadır. Öğrenciler sorulara cevap verdiğinde öğretmenin cevabın yanlış olması dolayısıyla öğrenciyi azarlaması, öğrenciye kızması, arkadaşlarının öğrenciye gülmesi veya onunla dalga geçmesi gibi nedenlerden dolayı da öğrenci matematiğe karşı korku ve olumsuz tutum kazanabilmektedir Sınavlarda çıkan matematik sorularının müfredatın üzerinde olması da öğrencilerde büyük bir korkuya neden olmaktadır. Kimi insanlar için matematik çok zor gelir, başarılı olamadıkları için de bu dalı pek sevmezler. Herkes matematik dáhisi olamaz, ama belli ölçüde matematiği herkes anlayabilir diyor bilim insanları. Matematik sınavı yaklaştı. Sayılar, denklemler ve problemler aklınıza bir türlü yerleşmiyor mu? En iyisi oturup çalışmak. Yoksa kimi insanlar için çalışmak boşuna mı? Hayır, hiç de değil, belli ölçüde matematiği herkes öğrenebilir.matematikte başarılı olmak "matematik anlayışı" gerektirir. Matematik anlayışı ise soyutlama yetisi, mantıksal düşünce ve yaratıcılığın bir kombinasyonudur. Ve tahmin edeceğiniz gibi buradan yeteneğe geldik. Sonuçta her insan aynı derecede yaratıcı değildir. Ve birçok matematikçi ailelerine baktığımızda, matematik yetisinin de diğer bazı yetiler gibi kalıtsal olduğunu görürüz.kanadalı bilim adamları, anne ve babası matematikte başarılı olmayan çocuğun bile matematik yetisini geliştirebileceğini söylüyorlar. Bilim adamları araştırmaları sırasında, okul öncesi döneminde çok iyi öykü anlatabilen çocukların daha sonraları matematikte başarılı olduklarını saptamışlar. Bu nedenle okul öncesi çocuklara, öykü anlatmayı öğretilmesi önerilmekte.bununla birlikte matematikle ilgili temel bilgileri bilmeyenlerde yetenek de fayda etmiyor. Bu yüzden matematik dersinde anlatılanları ve öğretilenleri dikkatlice takip etmek çok önemlidir. Ve anlatılanları öğrenip, ev ödevlerinizi büyük bir merakla yaparsanız, matematiği kavramanın dahi olmadan da mümkün olduğunu görürsünüz.tabii sadece formülleri ezberlemenin işe yaramadığını siz de biliyorsunuz, önemli olan işin mantığını kavrayıp uygulayabilmek sonuçta. Matematik konusunda büyüklerinizden yardım aldığınızda, onlardan, size çözümü söylemelerini değil, çözüme giden doğru yolu bulmanızda yardımcı olmalarını isteyin.

9 Ünlü Matematikçiler Trigonometrinin Mucidi El-Battani Battani; Arap astronom, astrolog ve matematikçidir. Asıl adı Muhammet bin Cabir bin Sinan er-rakki el-harranî dir. Ebu Abdullah künyesi ve Battanî ismiyle meşhur oldu. Dünyanın gelmiş geçmiş en meşhur 20 astronomundan biri kabul edilir. Matematik alanında Yunan kirişi yerine sinüsleri kullanan ilk ilim adamıdır. İlk defa kotanjant kavramını geliştirdi ve dereceli bir tablo oluşturdu. Gerçek astronomik cetveli (zic, yıllık) hazırlayan ilk ilim adamıdır. Tespit edip kullandığı bütün matematik ve trigonometri teknikleri Batı Avrupa da 15. yüzyıldan 17. yüzyıla kadar Kopernik, Kepler, Tycho Brahe ve Galile gibi ilim adamları tarafından da kullanıldı. Güneş Sistemini Tespit Etmesi Battanî nin çalışmalarının büyük bir kısmı astronomiyle ilgilidir. Battanî bugünkü Halep in 160 km doğusunda Fırat nehri kıyısındaki Rakka şehrinde bir rasathane (gözlem evi) yaptı ve bu sayede Güneş ve Ay ın görünür çaplarında yıl boyunca meydana gelen değişiklikleri ölçmede, önceki ilim adamlarının yaptığı çalışmalara katkılarda bulundu. Güneş, Ay ve gezegenlerin hareketlerini, yörüngelerini daha doğru bir şekilde belirlemeye çalışırken; Güneş in Dünya dan en uzak bulunduğu noktadaki hareketini keşfetti. Dünya ya göre Güneş in yörünge eğimini ve Dünya nın dönüş eksenindeki değişme değerlerini hesapladı. Kendisinden beş asır sonra gelen Kopernik in 23Â 35ı olarak bulduğu Dünya nın ekliptik eğimini o, 23Â olarak hesapladı ve bugün bilinen açı değerini yaklaşık yarım dakikalık bir farkla bulmayı başardı. Trigonometrinin Mucidi 800 lü yıllarda astronominin gelişimi ve rasathanelerin kurulmasıyla matematiksel hesaplara başvurulmuş trigonometri de işte bu hesaplamalardan doğmuştur. Tri 3 gonom kenar ve metry ölçüm kelimelerinden oluşan sisteme trigonometry denilmektedir.bu branş matematiğin en önemli dalıdır.peki trigonometry i ilk olarak kim buldu? Bu alanın ilk mucidi yılları arasında yaşamış Battani dir. Trigonometrinin gerçek mucidi olarak da kabul edilen Battanî, astronomi çalışmaları sırasında matematik ve trigonometriden istifade ederek (bu konuda ilk kabul edilir), küre ve düzlem trigonometrisi üzerinde araştırmalar yaptı. Bilhassa astronomik cetvel (zic) hazırlarken trigonometriden faydalandı.

10 Cahit Arf Ülkemizde matematiğin simgesi haline gelen Cahit ARF 1910 yılında Selanik'te doğdu yılında Galatasaray Lisesi'nde matematik öğretmenliği, 1933 yılında İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi'nde profesör yardımcısı (Doçent adayı) olmuştur. Doktorasını 1938 yılında Almanya'da Clölting Üniversitesi'nde tamamladı. Daha sonra İstanbul Üniversitesi'ne dönen ARF. 1943'de profesör. 1955'de Ordinaryüs Profesör oldu yılları arasında Fransa'da bulunan Prineiton'dakı Yüksek Araştırma Enstitüsü'nde konuk öğretim üyesi olarak görev yaptığından beri Cahit ARF cebir, sayılar teorisi, elastisite teorisi, analiz, geometri ve mühendislik matematiği gibi çok çeşitli alanlarda yaptığı çalışmalarla matematiğe temel katkılarda bulunmuş, yapısal ve kalıcı sonuçlar elde etmiştir. Bütün Türk matematikçilerine dolaylı veya dolaysız bir şekilde esin kaynağı olmuş, yaptığı uyarılar ve verdiği fikirlerle çevresindeki tüm matematikçilerin ufuklarını genişletmiş ve çalışmalarını yeni bir bakış açısıyla yönlendirmelerini saklamıştır. Cahit ARF'ın ilk çalışması, 1939 yılında Almanya'nın ünlü bir matematik dergisi olan Crelle Journal Dergisi'nde yayınlanmıştır. Cahit ARF çözülebilen cebirsel denklemlerin bir listesini yapmak amacıyla Göttingen'de ünlü matematikçi Hasse'nin doktora öğrencisi oldu. Hasse'nin önerisiyle özel hallerle problemini çözdü. Cahit ARF bu çalışmasıyla sayılar teorisinde çok özel bir yeri olan lokal cisimlerde dallanma teorisine çok öneli yapısal bir katkıda bulunmuştur. Burada bulduğu sonuçlardan bir bölümü dünya matematik literatüründe "Hasse-Arf teoremi" olarak geçmektedir. Bundan sonra uğraştığı problem, matematikte "kuadratik formlar" olarak bilinen konudadır. Uzayda konisel yüzey denklemleri buna basit bir örnek olarak gösterilebilir. Bu konudaki temel problem, kuadratik formların bir takım invariantlar, yani değişmezler yardımıyla sınıflandırılmasıdır. Bu sınıflandırma Witt adında ünlü bir Alman matematikçi tarafından karakteristiği ikiden farklı olan cisimler için 1937'de yapılmıştır. Karakteristik iki olunca problem çok daha zorlaşıyor ve Witt'in yöntemi uygulanamıyordu. Cahit ARF bu problemle uğraştığı ve karakteristiği iki olan cisimler üzerindeki kuadratik formları çok iyi bir biçimde sınıflandırdı. Bunların invariantlarını, yani değişmezlerini inşa etti. Bu invariantlar dünya literatüründe "Arf İnvariantlan" olarak geçmektedir. Bu çalışması 1944 yılında Crelle dergisinde yayınlandı ve Cahit ARF'ı dünyaya tanıttı.

11 Thales Antik dönemin ünlü filozofudur. ataları Fenikelilerdir.. Son kaynaklar, M.Ö. 625 yılında Milletos'ta doğup, 545'te öldüğünü kabul eder. Yaşadığı yıllarda; geniş bir araştırma, inceleme, düşünme ve mühendislik yeteneği ile ilginç bir ticari zekası sonucu üne kavuşmuştur. Miletos Okulu' nun korucusudur. THALES zamanımıza kadar intikal eden yazılı bir eser bırakmamıştır. Düşünceleri öğrencileri yoluyla zamanımıza kadar intikal etmiştir. THALES, ARİSTO' nun (M.Ö. 384,322) eserlerine atfen, fizik ve doğal felsefenin, EUDEME' nin (Aristo'nun öğrencisi), eserlerine atfen de astronomi ve matematiğin kurucusu kabul edilir. Bu tür görüşler, konu ile ilgili yayınlarda her geçen yıl hızla yaygınlaşmıştır. Netice itibariyle de THALES' e mümtaziyet ve ebedilik vasıfları verilmiştir. Thales in astronomide kurucu addedilmesine ve üne kavuşmasına sebep olan olaylardan birisi şudur. Atina'da M.Ö. 28 Mayıs 585 tarihinde görülebilecek Güneş tutulma olayını, tutulmanın vukuundan önce haber vermiş olmasıdır. Thales' e büyük ün kazandıran bu olay Babilleler tarafından bilinmekte idi. Burada önemli olan, tutulma olayının kendisi değil, haber verenin bu bilgiyi aldığı kaynaktır. Gerçekte: THALES' in bu bilgiyi eski Mısır ve Mezopotamya' dan elde ettiğinde bütün kaynaklar birleşmektedir. Matematikte kurucu addedilmesine sebep olan bilgileri de şunlardı. Bir dairenin içine üçgen çizme probleminin çözümü. cisimlerin (piramitlerin) gölgesi yardımıyla yüksekliğinin hesabını. üçgenlerin kenarları ile ilgili bağıntılar ters açıların eşitliği konusu, küresel üçgenlerin bazı özellikleri eşkenar üçgenlerin taban açılarının eşitliği teoremi... Aşağıdaki geometrik öneriler ona atfedilmektedir : Yarıçap, daireyi iki eşit parçaya böler. İkizkenar bir üçgenin tabanına komşu olan açılar eşittir. İki doğru kesiştiğinde karşıt açılar eşittir. Yarım daireyi gören açılar diktir. İkişer açısı ve birer kenarları eşit olan üçgenler birbirlerine eşittir. Thales, eşit açı yerine benzer açı deyimini kullanmaktadır; bundan da açıyı nicel bir büyüklük olarak değil, bir şekil olarak düşündüğü sonucu çıkmaktadır. Bunların kanıtlamalarını yapabiliyor muydu? Eşit oldukları sonucuna nasıl ulaşmıştı? Bu soruların yanıtını bulmak olanaksızdır. Ancak tarihte geometrik önerilerin gerekliliğine inanan ilk kişi Thales tir.

12 Fibonacci Kimdir? Fibonacci Sayıları Orta çağın en büyük matematikçilerinden biri olarak kabul edilen Fibonacci İtalya'nın ünlü Pisa şehrinde doğmuştur. Çocukluğu babasının çalıştığı Cezayir'de geçmiştir. İlk matematik eğitimini Müslüman bilim adamlarından almış ve İslam aleminin kitaplarını incelemiş ve çalışmıştır. Avrupa'da Roma rakamları kullanılırken ve sıfır kavramı ortalarda yokken Leonarda Arap rakamlarını ve sıfırı öğrenmiştir yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa'ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik ( toplama, çarpma, çıkartma ve bölme ) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır. Gelelim Fibonacci'nin ünlü sorusuna.. "Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor.. Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir tavşanın ölmediğini ve her dişi tavşanın bir erkek bir dişi yavru doğurduğunu varsayalım. Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur? İlk ayın sonunda, sadece bir çift vardır. ikinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır. Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur. Dördüncü ayın sonunda, ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır. Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde kıtır kıtır havuç yiyen tavşan çiftlerinin sayısını vermektedir.serinin nasıl oluştuğunu anlayabildiniz mi? Bu dizi çok basit şekilde oluşmaktadır. Bu dizideki her sayı (ilk ikisi dışında) kendinden evvel gelen iki sayının toplamına eşittir. Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu iki ayrı nedene bağlayabiliriz. İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak.. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0, sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo da Vinci'nin resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve doğada karşımıza çıkan bir sayıdır. Bir Gülün güzelliğindeki sır onu Yaratanın içine sakladığı Matematik sanatının ta kendidir. Leonardo Fibonacci

13 Fibonacci Sayıları Ve Altın Oran Fibonacci serisindeki n. terimi Fn olarak ifade edelim. Fibonacci dizisi bu şekilde F1, F2, F3,..., Fn,...olarak yazılabilir. bu dizi sonsuza kadar devam eder. eğer her Fibonacci sayısını bir sonraki komşusuyla bölerek bu oran yazılırsa, F1/F2 = 2, F2/ F3 = 1/2.. şeklinde devam edersek aşağıdaki diziyi elde ederiz. Altın oran 1, Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar,hiç bir yaprak alta ki yaprağı kapmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor. Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Mesela, yukarıdaki resimde en baştaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık fibonacci sayılarıdır. FİBONACCİ SAYILARI VE ÇİÇEKLER Bir çok çiçeğin taç yaprak sayısı Fibonacci sayısıdır. 3 taç yapraklı bitkiler: zambak, iris 5 taç yapraklı bitkiler: düğünçiçeği, yabani gül, hezaren çiçeği 8 taç yapraklı bitkiler: delphinium 13 taç yapraklı bitkiler: kanaryaotu, kadife çiçeği, cineraria 21 taç yapraklı bitkiler: hindiba, yıldız çiçeği 34 taç yapraklı bitkiler: bir çeşit muz bitkisi, pirekapan 55, 89 taç yapraklı bitkiler: bir tür papatya Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar,hiç bir yaprak alta ki yaprağı kapmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor. KOZALAKLAR Kozalaklar fibonacci sayılarını çok açık bir şekilde gösterirler. Kırmızı ve yeşil spiralleri saydığınızda ne görüyorsunuz?

14 Altın Oran Altın Oran Nedir? Dünyanın, insanların, bitkilerin, ağaçların..., kısacası Kainat'ın yaratılışında yaratıcının kullandığı orandır. Aynı zamanda insanlar da teknolojide ve hayatta bu oranı kullanmaktadırlar. Kısaca biz altın orana "göz nizamının oranı" diyebiliriz. Çoğu zaman doğayı gözlediğimizde bu oranın varlığını görebiliriz. Altın Oran'ın Görüldüğü ve Kullanıldığı Yerler Ayçiçeği: Ayçiçeği'nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbirine oranı altın oranı verir. Papatya Çiçeği: Papatya Çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur. İnsan Kafası: Bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. İşte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. İşte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir. İnsan Vücudu: İnsan Vücudunda Altın Oran'ın nerelerde görüldüğüne bakalım: Kollar: İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır(büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). Kolumuzun üst bölü- münün alt bölüme oranı altın oranı verceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir. Parmaklar: Ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. İşte size alaka... Parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir. Elinizin işaret parmağında altın oran olduğunu biliyor muydunuz? Eminim çoğunuzun böyle bir şeyden haberi yoktur bile. işte aşağıdaki resim bunu çok güzel bir şekilde gösteriyor. İşaret parmağınızın her bölümü bir öncekinden 1, kadar büyüktür ve üstteki cetvele dikkat ederseniz her bölüm 2, 3, 5, 8 e yani ardışık fibonacci sayılarına karşılık gelmektedir. Tavşan: İnsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır. Mısır Piramitleri: İşte size Altın Oran'ın en eski örneklerinden biri Her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı evet yine altın oranı veriyor. Picasso: Picasso da Leonardo da Vinci gibi ünlü bir ressamdır. Ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır. Çam Kozalağı: Çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. İşte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır. Tütün Bitkisi: Tütün Bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. Bu eğriliğin tanjantı altın orandır. Eğrelti Otu: Tütün Bitkisindeki aynı özellik Eğrelti Otu'nda da vardır. Salyangoz: Salyangozun Kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) İşte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

15 Bulmaca Hazırlayan Öğrenciler: Tugay ÇOBAN Enes Yörük Danışman Öğretmenler: Akif SELÇUK Nilay SUBAŞI Okul Müdürü: Faruk BALCI