MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev"

Transkript

1 MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

2 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka

3 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri 6. Alt Grup 7. Halka 8. Halkanın basit özellikleri 9. Değişmeli ve birimli halkalar 10.Alıştırmalar

4 1. Matematik yapı Herhangi bir kümede tanımlanan bağıntılar ve işlemler bu kümede ile birlikte bir matematik yapı (matematik sistem) oluşturur. Bir A kümesinde tanımlanan bağıntılar veya işlemler α, β, γ, olsun. Bu bağıntı ve işlemler oluşturduğu matematik yapı A, α, β, γ, biçiminde gösterilir. Örnekler: 1. A kümesinde tanımlanan ve ikili işlemleri verilmiş olsun. A, ikilisi bir işlemli bir matematik yapıdır. A,, üçlüsi iki işlemli bir matematik yapıdır. 2. Doğal sayılar kümesi ile bu kümede tanımlanan toplama ve çarpma işlemleri ile sıralama bağyntısı bir matematik yapi oluşturur. N, +,,

5 2. Denk yapılar ve eş yapılar 1.Tanım: A kümesinde tanımlanan α bağıntısı ile B kümesinde tanımlanan β bağıntısı verilsin. Bu bağıntılardan her ikisi n-li bağıntı ise bu bağıntılara aynı türden bağıntılar denir. 1.Örnek: A={a, b, c}, α={(a,b), (a,c), (b,c)}, β={(a,a), (b,b), (c,c)} olsun. α ve β bağıntılarından her ikisi A da tanımlı ikili bağıntılardır. Buna göre bu bağıntılar aynı türdendir. 2.Tanım: A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n matematik yapılar verilmiş olsun. {1,2,3,, n} kümesinin her i elemanı için α i ile β i aynı türden ise A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n matematik yapılarına aynı türden matematik yapılar denir. 2.Örnek: N doğal sayılar kümesi, Z tam sayılar kümesi olsun. N, +,, ve Z, +,, matematik yapılar aynı türdendir.

6 3.Tanım: A kümesinde tanımlanan α bağıntısı ile B kümesinde tanımlanan β bağıntısı verilmiş olsun. Bu bağıntıların her ikisi n-li bağıntı olmak üzere x 1,x 2,x 3,, x n α f(x 1 ),f(x 2 ),f(x 3 ),, f(x n ) β Önermesi doğru olacak biçimde A dan B ye bir f fonksiyonu varsa, f fonksiyonuna α bağıntısını β bağıntısına dönüştüren bir fonksiyon denir. 4.Tanım: A, α 1,α 2,α 3,, α n ve B, β 1, β 2,β 3,, β n aynı türden iki matematik yapı, f:a B bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu {1,2,3,, n} kümesinin her i elemanı için α i bağıntısını β i bağıntısına dönüştürüyorsa, f fonksiyonuna denk yapı dönüşümü (homomorfizm) denir. Birebir ve örten bir denk yapı dönüşümüne eş yapı dönüşümü (izomorfizm) denir. 5.Tanım: Aynı türden iki matematik yapı arasında bir denk yapı dönüşümü (homomorfizm) varsa bu matematik yapılarına denk yapılar (homomorf yapılar) denir. Aynı türden iki matematik yapı arasında bir eş yapı dönüşümü (izomorfizm) varsa bu matematik yapılarına eş yapılar (izomorf) yapılar denir.

7 3. Grup 1.Tanım: G kümesinde tanımlanan o işlemi verilmiş olsun. G kümesi o işlemine göre kapalı ve o işleminin birleşme özelliği varsa (G,o) matematik yapısına yarı grup denir. 2.Tanım: (G,o) matematik yapısı aşağıdaki aksiyomları sağlarsa bu matematik yapıya grup denir. G1) G kümesi o işlemine göre kapalıdır. G2) o işleminin birleşme özelliği vardır. G3) G kümesinin o işlemine göre etkisiz (birim) elemanı vardır. G4) G nın her elemanının o işlemine göre tersi vardır. Bu tanıma göre (G,o) matematik yapısının grup olması için, G1) x, y G xoy G G2) x, y, z G xo yoz = xoy oz G3) x G ve e G xoe = eox = x G4) x G ve y G xoy = yox = e önermelerinin doğru olması gerektir ve yeterdir.

8 1.Örnek: Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q ile gösteriliyor. x, y Q icin x y = xy 2 olduğuna göre Q, matematik yapısı gruptur. G1) x, y Q x y Q xy 2 Q x y Q G2) x, y, z Q x y z = xy xy z z = = 2 4 G3) x Q ve e Q : x e = e x = x xe Etkisiz eleman 2 dir. 2 x yz = x yz = x y z 4 2 = x xe=2x e=2. G4) x Q ve y Q x y = y x = 2 xy 2 =2 xy=4 y=4 x x Q için 4 x x=x 4 x =2. Buna göre Q kümesinin her x elemanının işlemine göre tersi vardır. 3.Tanım: (G,o) bir grup olsun. o işleminin değişme özelliği varsa (G,o) grubuna değişmeli grup veya Abel grubu denir. 1.Örnek: Q, 4.Tanım: (G,.) bir grup olsun. G kümesi sonlu bir küme ise gruba sonlu sıradan grup, G kümesi sonsuz cümle ise gruba sonsuz sıradan grup denir.

9 4. Grubun basit özellikleri 1.Teorem: (G,.) bir grup olsun. G nin. işlemine göre bir tek etkisiz (birim) elemanı vardır. 2.Teorem: (G,.) bir grup olsun. G nin her elemanının. işlemine göre bir tek tersi vardır. 3.Teorem: Herhangi bir grupta grup işleminin grup işleminin sadeleştirme özelliği vardır. İspat: (G,.) bir grup olsun. x, y, z G için x. z = y. z x = y ve x, y, z G için z. x = z. y x = y önermelerinin doğru olduğunu göstermek gerektir ve yeter. x. z = y. z (x. z). z 1 = y. z. z 1 x. z. z 1 = y. (z. z 1 ) birleşme özelliği x. e = y. e x = y

10 4.Teorem: (G,.) bir grup, a,b G olduğuna göre a.x=b ve y.a=b denklemlerinden her birinin G de bir ve yalniz bir çözümü vardır. İspat: a.x=b a 1. (a.x)=a 1.b (a 1. a).x=a 1.b x=a 1.b Bu önermelerin doğru olması a.x=b denkleminin G de bir ve yalnız bir çözümü olduğunu gösterir. Bu çözüm a 1.b dir. y.a=b (y. a). a 1 =b.a 1 y. (a 1. a)=b. a 1 y=b. a 1 5.Teorem: (G,.) bir grup, a G ise a 1 1 = a dır. İspat: G nin çarpma işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. Buna göre a. a 1 =e ve a 1 1. a 1 =e önermeleri doğru olur. Buradan a. a 1 = a 1 1. a 1 elde edilir. Son önermede a 1 ile sadeleştirme yapılırsa, a = a 1 1 bulunur. 6.Teorem: (G,.) bir grup, a, b G ise a. b 1 = b 1. a 1 İspat: (a.b).(b 1. a 1 )=a.(b.b 1 ). a 1 =(a.e).a 1 =a.a 1 = e (b 1. a 1 ). (a.b)=b 1.(a 1. a). b )=b 1 (e.b)=b 1 b = e Bir (G,.) grubunda G nin her elemanının bir tek tersi olduğundan a. b 1 = b 1. a 1 elde edilir.

11 5. Bir elemanın kuvvetleri 1.Tanım: (G,.) bir grup, a G ve n N olsun. G nin çarpma işlemine göre etkisiz elemanı e olduguna göre: a) a 0 = e b) a 1 = a c) n>1 için a n = a n 1. a d) n>1 için a n = (a 1 ) n dir. 1.Teorem: (G,.) bir grup a G olsun. n N için (a n ) 1 = (a 1 ) n dir. 2.Teorem: (G,.) bir grup olsun. a G ve n, m Z olduğuna göre, a m. a n =a m+n ve (a m ) n = a mn dir.

12 6. Alt Grup 1.Tanım: (G,.) bir grup, H kümesi G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. (H,.) bir grup ise bu gruba(g,.) grubunun bir alt grubu denir. 1. Örnek: Z, + grubu R, + grubunun bir alt grubudur. 2. (G,.) bir grup olsun. G nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olduguna göre (G,.) ve ({e},.) gruplarından her biri (G,.) grubunun birer alt grubudur. 2.Tanım: (G,.) bir grup,g nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. (G,.) ve ({e},.) gruplarına (G,.) grubunun basit alt grupları denir. (G,.) grubunun basit alt gruplarından farklı bir alt grubu varsa buna grubun öz alt grubu denir. 1.Teorem: Herhangi bir alt grupta etkisiz eleman esas gruptaki etkisiz elemana eşittir. Alt grubun kümesine alt bir elemanın grup işlemine göre tersi bu elemanın esas grupta grup işlemine göre tersine eşittir. İspat: (H,.) grubu (G,.) grubunun bir alt grubu olsun. G nin. işlemine göre etkisiz elemanı e, H nin. işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. e. e = e = e.e dir. Buradan sadeleştirme ile e =e edilir. H nın x elemanının. işlemine göre H deki tersi x, G deki tersi x 1 olsun. x. x = x. x 1 = e dir. Buradan sadeleştirme ile x = x 1 elde edilir. 2.Teorem: (G,.) bir grup, H kümesi G nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. ((H,.) alt gruptur) ( x, y H, x. y 1 H) dir. İspat: ( ): ((H,.) alt grup (H,.) grup ( x, y H, x, y 1 H) ( x, y H, x. y 1 H) ( ): ( x, y H, x. y 1 H) önermesinin doğru olduğunu varsayalım. Bu önermede y yerine x alınırsa x. x 1 H yani e H elde edilir. Bu önermede x yerine e alınırsa, y H, y 1 H elde edilir. ( x, y H (x H ve y 1 H) x. (y 1 ) 1 H x.y H olduğundan H kümesi. işlemine göre kapalıdır.. işleminin birleşme özelliği acıktır. Öleyse, (H,.) bir gruptur. H G oldugundan (H,.) grubu (G,.) grubunun alt grubudur.

13 7. Halka 1.Tanım: Boş olmayan bir H kümesinde toplama ve çarpma diye adlandırılan ve sıra ile + ve. işaretleri ile gösterilen iki işlem tanımlanmış olsun. İki işlemli (H,+,.) matematik yapısı için aşağıdaki önermeler doğru ise bu matematik yapıya halka denir. H1) (H,+) değişmeli gruptur. H2) H kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. H3) Çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. H4) Çarpma işleminin toplama işlemine göre dağıtma özelliği vardır. 1.Örnek: H={a,b}. H kümesinde toplama ve çarpma işlemleri aşağıdaki çizelgelerde tanımlanmış tanımlanmış olsun. (H,+,.) bir halkadır. + a b a a b b b a. a b a a a b a b 2.Örnek: Z tam sayılar kümesi olsun. (Z,+,.) bir halkadır. 2.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. H kümesinin toplama işlemine göre etkisiz elemanına halkanın sıfırı denir. Bir halkanın sıfırı O veya e ile gösterilir. H nın bir x elemanının toplama işlemine göre tersi x ile gösterilir.

14 8. Halkanın basit özellikleri 1.Teorem: (H,+,.) halkasının sıfırı 0 olduğuna göre x H için x. 0 = 0. x = 0 İspat: 0+0=0 (0+0).x=0.x 0.x+0.x=0.x 0.x=0 x.(0+0)=x.0 x.0+x.0=x.0 x.0=0 2.Teorem: (H,+,.) bir halka olsun. a) x H için ( x) = x dir. b) x, y H için x + y = x + ( y) dir. c) x, y H için x. y = x. y = (x. y) dir. d) x, y H için x). ( y = x. y dir. İspat: Halkanın sıfırı 0 olsun. a) x H için x + ( x)=0 olduğundan x in toplama işlemine göre tersi (-x) dir. x H için x + ( x)=0 olduğundan x in toplama işlemine göre tersi x dir. (H,+) bir grup olduğundan H nın her x elemanının toplama işlemine göre bir ve yalnız bir tersi vardır. Buna göre x H için ( x) = x dir. b) x+y nin toplam işlemine göre tersi (x+y) dir. ((-x)+x)+((-y)+y)=0 (-x+x+(-y))+y=o (-x+(x+(-y)))+y=o ((-x)+(-y+x))+y=o [(-x)+(-y)]+(x+y)=o olduğundan x+y nin toplama işlemine göre tersi (-x)+(-y) dir. Bir grupta toplama işlemine göre bir tek tersi olduğundan -(x+y)=(-x)+(-y) dir. c) x.y nin toplama işlemine göre tersi (x.y) dir. Öte yandan y+(-y)=0 x.(y+(-y))=x.0 x.y + x.(-y)=x.0=0 olduğundan x.y nin toplama işlemine göre tersi x.(-y) dir. x.y nin toplama işlemine göre bir tek tersi olduğundan, x.(-y)=-(x.y) dir. (-x).y=-(x.y) oluğu benzer biçimde ispatlanır. d) (x.y)=x.(-y) -[(-x).y]=(-x).(-y) ve (x.y)=(-x).y -[(-x).y]=(-(-x)).(-y) dir. (-x)=x olduğuna göre [(-x).y]=(-x).(-y)=(-(-x)).y=x.y elde edilir. Yani (-x).(-y)=x.y

15 9. Değişmeli ve birimli halkalar 1.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. Çarpma işleminin değişme özelliği varsa halkaya değişmeli halka denir. 2.Tanım: (H,+,.) bir halka olsun. H nın çarpma işlemine göre etkisiz elemanı varsa halkaya birimli halka denir. Birimli halkanın birimi 1 veya e ile göstrerilir. H nın x elemanının çarpma işlemine göre tersi varsa bu eleman x 1 ile gösterilir. 1.Örnek: (Z,+,.) halkası değişmeli ve birimli bir halkadır. Bu halkanın birimi 1 dir. Z nin sadece 1 ve -1 elemanlarının çarpma işlemine göre tersi vardır. 2.Örnek: Çirt tam sayılar kümesi Ç olsun. (Ç,+,.) matematik yapısı değişmeli bir halkadır. Bu halka birimli değildir. Ç de çarpma işlemine göre tersi olan eleman yoktur.

16 10. Alıştırmalar 1.A={1} olduğuna göre, (A,.) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 2.G={a} ve a*a=a olduğuna göre, (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 3.G={a,b} ve a*a=a olmak üzere, G kümesinde * işlemi a*a=a,a*b=b, b*a=b ve b*b=a eşitlikler ile tanımlanıyor. (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 4.A={1,2,3,4} olmak üzere A kümesinde o işlemi «x y= xy nin 5 e bölümünden elde edilen kalan» biçiminde tanımlanıyor. (A, ) bir grup mudur? 5. x, y Z için x y=x+y-xy olduğuna göre, (Z, ) matematik yapısı grup mudur? 6. x, y Z için x y=x+y-1 olduğuna göre, (Z, ) matematik yapısı grup mudur? 7. G={3 x x Z} ve x, y Z için 3 x 3 y =3 x+y olduğuna göre, (G,*) matematik yapısının grup olduğunu gösteriniz. 8. x, y Z için x y=x+y-1, x y=x+y-xy olduğuna göre, (Z,, ) matematik yapısı halka mıdır? 9. Aşağıdaki kümelerden hangileri reel sayılar kümesinde tanımlanan toplama ve çarpma işlemlerine göre halkadır? a) 5n n Z} b) 1 2 m m Z} c) m 2n m, n Z} d) a + b 3 a, b Q}

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri

ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÖABT Soyut Matematik KONU TESTİ Önermeler ve İspat Yöntemleri ÇÖZÜMLER p q r q q p r q q. p r q q p r 5. p q q r r r, p q q r, r p, q q r q, q p q. p q p q p q p q p q q p p 6. p p q p p q p q p p p q

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI

DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI T.C ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: ENDOMORFİZMA HALKALARI ÖĞRETİM ÜYELERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR:

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin

SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin 1 SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin bir halka yapısıoluşturup oluşturmadĭgınıinceleyiniz. Soru 2 a, b Z, b tek

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z

Detaylı

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.

Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK

ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK YGS MATEMATİK KONU ANLATIMLI SORU BANKASI CEVAP ANAHTARI RASYONEL SAYILAR ONDALIK SAYILAR ÖRNEKLER (Sayfa -) 6 ) ) ) 6) ; ; ) 0) ) ; 8 ) ) ) 0 ) 6 0 0 8) 0 ) 0) 6 ) 8 ) 8 8) ) ; 6

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48

İÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48 İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri

BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri BÖLÜM 2 Biçimsel Dillerin Matematiksel Temelleri 2.1 Kümeleri tümevarım yolu ile tanımlama E tanımlanacak küme olsun: Taban: Yapı taşı elemanları kümesi veya taban B ile gösterilsin. Bu kümenin içindeki

Detaylı

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1

BMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Fonksiyonlar Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Fonksiyonlar Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A dan B ye bir f fonksiyonu f: A B ile gösterilir ve A nın her

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,

Detaylı

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

1. KÜMELER TEORİSİ 1. Giriş. Modern matematiğin en önemli kullanım araçlarından birisi kümeler teorisidir. Kümeler teorisi çalışmaları matematiğin temelinde kullanılışı 20. yüzyılın başlangıcında Frege,

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1

II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -1 II. DERECEDEN DENKLEMLER Test -. 5 {, 5} {, 5} { 5, } {, 5} {, 5} 5. 5 {,, } {,, } {,, } {,, } {,, }.. 5 7 7 5 5,, 5 5, 5 5, 5 5, 6. 7. 5 95 { 5,, } {,, 5} { 5,, 9} {,, 5} { 9,, 5} 6 66 {, } {,, } {,,

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi

Detaylı

BLM 221 MANTIK DEVRELERİ

BLM 221 MANTIK DEVRELERİ 4. HAFTA BLM 221 MANTIK DEVRELERİ Prof Dr Mehmet AKBABA mehmetakbaba@karabuk.edu.tr Temel Kavramlar Boole Cebiri Uygulamaları Standart Formlar Standart Formlar: Sop ve Pos Formlarının Birbirlerine Dönüştürülmesi

Detaylı

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir?

EŞİTSİZLİKLER. 5. x 2 + 4x + 4 > x 2 0. eşitsizliğinin çözüm kümesi. eşitsizliğinin çözüm kümesi. aşağıdakilerden hangisidir? 1. 36 x A) [- 6, ] B) [- 6, 6 ] C) [, 36] D) [, 36 ] E) [- 36, ] 5. x + 4x + 4 > A) (, ) B) - } C) D) R E) R - {- } 6. x + 8x + 16. x x 8 < aşağıdalerden hangisidir? A) (- 4, ) B) (-, ) C) (- 4, ) A) {

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,

Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n, DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin

Detaylı

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan

SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =?

MUTLAK DEĞER. Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z. Örnek...7 : x=1 5, y= 5 2, ise x+y y x x =? Örnek...1 : =? Örnek...8 : Örnek...2 : =? TANIM MUTLAK DEĞER Örnek...6 : 1 x > 1 y > 1 z ise x y x z z y =? Bir x reel sayısına karşılık gelen noktanın sayı doğrusunda 0 (sıf ır) a olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve x şeklinde

Detaylı

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir.

Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. 1 B)ÇARPANLARA AYIRMA VE ÖZDEŞLİKLER: Çok terimli bir ifadeyi iki ya da daha çok ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Çarpanlara Ayırma Yöntemleri: 1)Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Detaylı

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK

ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MODÜLER ARİTMETİK ÇANAKKALE 2012 ÖNSÖZ Bu kitap Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Matematik Bölümünde lisans dersi olarak Cebirden

Detaylı

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden

6. 3x2-8x - 3 = O denkleminin negatif kökü asagidakilerden. 7. mx2 - (2m2 + i) x + 2m = O denkleminin köklerinden ikinci Dereceden Denklemler, tçözüm Kümesi, Köklerin Varligi. (m - 9) x + x - 6 = o denkleminin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olmasi için, m degeri asagidakilerden hangisi olamaz? A) - B) -

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisans Tezi α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN Yozgat

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular............................. 2.2 Sorular................................... 5 2 TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular.............................

Detaylı

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

Salim. Yüce LİNEER CEBİR

Salim. Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR Prof. Dr. Salim Yüce LİNEER CEBİR ISBN 978-605-318-030-2 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 2015, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış

Detaylı

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER

Örnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak kıl YGS MTEMTİK ENEME SINVI 1 01511-1 Ortak kıl dem ÇİL li an GÜLLÜ yhan YNĞLIŞ arbaros GÜR arış EMİR eniz KRĞ Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hatice MNKN Kemal YIN Köksal YİĞİT Muhammet YVUZ Oral YHN

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif tamsayılar

Detaylı

SAYILAR SAYI KÜMELERİ

SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1 SAYILAR SAYI KÜMELERİ 1.Sayma Sayıları Kümesi: S=N =1,2,3,... 2. Doğal Sayılar Kümesi : N=0,1,2,... 3. Tamsayılar Kümesi : Z=..., 2, 1,0,1,2,... Sıfırın sağında bulunan 1,2,3,. tamsayılarına pozitif

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER Gerçek Sayılar... 4 Doğal Sayılarda İşlemler... 4 Tam Sayılar... 4 Rasyonel Sayılar... 5 İrrasyonel Sayılar... 5 Gerçek (Reel) Sayılar... 6 9 Konu

Detaylı

! " # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. (

!  # $ % & '( ) *' ' +, -. / $ 2 (.- 3( 3 4. ( !"#$ %& '()*' ' +,-. / 0 100$ 2 (.-3( 34.( ,-. '45 45 6#5 6+ 6"#0" '7086 $ $ 89 44" :#! ;{0, 1, 2, 3,..., 9}, L * olarak tanımlı olsun ve sadece 2 ye veya 3 e bölünebilen ve önünde 0 olmayan pozitif sayılara

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ YARIGRUPLARIN OTOMORFİZMLERİ VE TAKDİMLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2012 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YARIGRUPLARIN

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 :

FONKSİYONLAR BÖLÜM 8. Örnek...3 : Örnek...1 : f(x)=2x+5 fonksiyonu artan mıdır? Örnek...4 : FONKSİYONLAR BÖLÜM 8 Örnek...3 : ARTAN AZALAN FONKSİYONLAR ARTAN FONKSİYON f : A R R fonksionu verilsin. Her i B A için 1 < 2 f ( 1 )

Detaylı

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK

2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler

11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır.

FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır. FONKSİYONLAR Bu materyal, mevcut proje için geliştirilen örnek sayfalardan oluşmaktadır. İster oku, ister dinle, ister izle. Dilediğince öğren... NELER ÖĞRENECEĞİZ? 1. Fonksiyon kavramı 2. Fonksiyonların

Detaylı