Kitap analizi için yönlendirici sorular

Transkript

1 Çalıştay 2 : Sınıfta klasik materyallerle bireysel öğrenme Kitap analizi için yönlendirici sorular 1) İlk izlenim - MEB tarafından ücretsiz okullara dağıtılan 12. sınıf Matematik ders kitabını incelediniz mi? - İncelediğinizde bu kitap ile ilgili ilk düşünceleriniz nelerdi? -Bu kitaplardan faydalanıyor musunuz? Ne ölçüde? 2) Kitap analizi İki ülkede okutulan ders kitaplarından Türev kısmı analiz edilecektir. Bunu yaparken aşağıda verilen sorulara cevap verilmesi amaçlanmaktadır: -Her iki kitapta konunun işlenişini ve aktarım şeklini incelediğinizde kalıcı öğrenme ( yapılandırıcı öğrenme ) adına olumlu veya olumsuz öğretim şeklini gerekçelendirerek açıklamaya çalışın. Her iki ülkedeki ders kitaplarında öğretimde aktarım problemleri benzerlik taşıyor mu? -Her iki kitapta işlenen konu aynı olmasına rağmen kitabın üzerinde durduğu, önem verdiği kısımlar var mı? Bunu açıklarken nasıl bir yöntem veya yaklaşıma ihtiyaç duyulmuştur? - Kitabın incelenmesi sonucunda; bireysel, yapılandırmacı, işbirlikli öğrenme açısından tekrar bir ders kitabı düzenlenmesi gerekseydi nasıl olması gerekirdi? Kitaptan seçtiğiniz bir kısmı yeniden düzenleyin. 3) Analiz bilgileri - Almanya da Nordrhein-Westfalen eyaletinin bir Gymnasiumunda 11. Sınıf öğrencileri için okutulan bir konu kesiti ve M.E.B. tarafından onaylanıp okullarda dağıtılmış olan bir 12. Sınıf kitabından konu kesiti verilmiştir. - Her iki kesit Türev konusunu içermekte ve yaklaşık 10 ar sayfadan oluşmakta. Almanca olanında ek olarak Türkçe tercümesi bulunmakta. 4) Kaynakça 1. M. Baum, W. Riemer, H. Schermuly, J. Stark, I. Weidig, P. Zimmermann, D. Lind, G. Taetz, Mathematisches Unterricht für das Gymnasium, Ausgabe Nordrhein-Westfalen, Ernst Klett Verlag. 2. M. Bağrıaçık, M. Lökçü, Z. Sağlam, Ö. Çolak, T. Yurtseven, T. Oğuz, A. N. Elçi, Y.Yıldırım, Ortaöğretim Matematik 12. Sınıf Ders Kitabı, M.E.B. Devlet Kitapları, IMPRESS, Ankara, 2008.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 V Türev Konusuna Giriş 1 Fark oranı, Değişim oranı 1 Verilen Tablo ve belirtilmiş olan değerler Almanya daki nüfus gelişimini göstermektedir (Fig.1). Renkli alan tahmini değerleri vermektedir. a) Belirtilen zaman aralıklarından hangisinde en güçlü nüfus sayısı değişimi gözlemlenmektedir? b)hepsi farklı uzunluklarda olmasına rağmen, bu zaman aralıklarındaki nüfus değişimi nasıl mukayese edilebilir? Aralıkların hangisinde en hızlı nüfus sayısı değişimi görülmektedir? c) 1960 ve 2010 yıllarındaki nüfus sayısının tahmini yaklaşımı nasıl yapılabilir? 10. sınıfta, büyüme oranı, daha doğrusu büyüme çarpanı ile ilgili bilgilerle gelişim süreçleri tarif edilmişti. Bundan sonra ise fonksiyonların değişim davranışları hakkında daha genel araştırmalar yapılacaktır. Farklı f fonksiyonları için aşağıdakiler geçerlidir: f(b)-f(a) aynı kalıp, b-a farklı olabilir. a dan I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu tanımlanmış ve a<b olmak üzere verilmiş olsun. f(b)-f(a) farkı, b ye f fonksiyon değerinin ne kadar güçlü değiştiğini göstermektedir. f(b)-f(a) farkı ile I aralığının b-a uzunluğu mukayese edildiğinde a ile b arasındaki fonksiyon değerlerinin ne kadar hızlı değiştiği ile ilgili oran elde edilmektedir. Tanım: f, [a;b] aralığında tanımlı olmak üzere ifadesine [a;b] aralığında f fonksiyonun fark oranı veya değişim oranı denir. [a;b] aralığında f in fark oranı, ve noktalarından geçen g doğrusunun m eğimidir. Bu küçük [a,b] aralığına P ve Q noktalarından geçen f fonksiyonun grafiği yerleştirilirse bu taktirde verilen bu doğru denklemleri ile her için f(u) nun yaklaşım değerleri hesaplanabilir (Fig.3). P ve Q noktalarından geçen doğrunun grafiği lineer g fonksiyonu olduğuna göre g(u) değerleri f(u) için yaklaşım değerleri olarak hizmet edebilir. [a;b] aralığı ne kadar küçük olursa, oldukça düzgün seyir gösteren f fonksiyonlarında g(u) nun f(u) ya yaklaşım

20 değeri daha da iyi olur. g fonksiyonuna [a;b] aralığında f fonksiyonun lineer yaklaşım fonksiyonu denir. [a;b] aralığındaki değişim oranı farklı olmasına rağmen grafiklerin bu aralıklardaki seyri Örnek 1. ( Değişim oranının hesaplanması) fonksiyonu verilmiş olsun. [2;4] aralığı için f in m değişim oranını hesplayınız. Çözüm: farklı olabilir. [2;4] aralığı için f in m değişim oranı Örnek 2. (Lineer yaklaşım fonksiyonun belirlenmesi) dir. için fonksiyonu verilmiş olsun. g(1)=f(1) ve g(4)=f(4) olacak şekilde lineer g fonksiyonunu belirleyiniz. Çözüm: f fonksiyonun [1;4] aralığındaki değişim oranı Lineer g fonksiyonu bu durumda olmalıdır. dir. g(1)=f(1)=2 olduğundan eşitliğinde c= elde edilir. Bu durumda dir. Birim metrekareye oturma alanının fiyatı neden küçük dairelerde büyük dairelere kıyasla daha fazladır? Örnek 3. (Fonksiyon değerlerin yaklaşım usulünün belirlenmesi) Oldukça güzel olan daireler için bir inşaat firması yanda verilmiş olan satış fiyatlarını belirlemiştir. Uygun bir lineer yaklaşım fonksiyonu oluşturarak 88 metrekare büyüklüğündeki bir dairenin yaklaşık satış fiyatını belirlemeye çalışın. Çözüm: p(x), x büyüklüğündeki bir dairenin satış fiyatı olsun. Burada x metrekare cinsinden ve p(x) de bin avro fiyatı. [80;100] aralığındaki p fonksiyonun değişim oranı dir.

21 g(80)= 420 ve g(100)=500 olacak şekildeki lineer fonksiyon g(x)=4x+100 olarak elde edilir. Bu durumda g(88)= =452 dir. O halde yaklaşık satış fiyatı avrodur. Alıştırmalar 2 ve aralıklarında aşağıda verilen f fonksiyonları için sırasıyla, ve değişim oranlarını hesaplayınız. a) b) c) d) 3 I=[1;4] aralığı ve fonksiyonu verilmiş olsun. a) f(1) ve f(4) ü tespit edin ve böylece I aralığında f fonksiyonun m değişim oranını belirleyiniz. b)g(1)=f(1) ve g(4)=f(4) olacak şekilde I aralığında f fonksiyonun g lineer yaklaşım fonksiyonu için bir fonksiyon terimi oluşturunuz. c) Aynı koordinat sistemine f ve g fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz. 4 Alıştırma 3 ü f fonksiyonu yerine aşağıda belirtilmiş olunan h fonksiyonları için gözden geçirin. a) b) c) 5 için fonksiyonu verilmiş olsun. a) g(6)=f(6) ve g(11)=f(11) olmak üzere lineer g fonksiyonunu belirleyiniz. b) f(7), f(8), f(9) ve f(10) için g fonksiyonu ile yaklaşım değerlerini belirleyiniz. 6 a) [t-1;t], [t;t+1] ve [t-1;t+1] aralıkları için fonksiyonunun değişim oranını belirleyiniz. b)a dan elde edilen üç değişim oranı arasında nasıl bir ilişki var? 7 x>0 için fonksiyonu verilmiş olsun. a) [a;2a] aralığında f fonksiyonun değişim oranının olduğunu bulunuz. b) a dakiler ile f in, [1;2] ve [4;8] aralıklarındaki değişim oranlarını bulunuz. c)g(4)=f(4) ve g(8)=f(8) olacak şekilde g fonksiyonu ile ve için üç basamağa kadar yuvarlanmış yaklaşım değerlerini bulunuz. 8 f: fonksiyonu verilmiş olsun.

22 a)[a;a+1] aralığında f fonksiyonun değişim oranının olduğunu bulunuz. b) a daki bilgilerle f in [-2,-1], [0;1] ve [2;3] aralıklarındaki değişim oranını bulunuz. c) 7c deki alıştırmada olduğu gibi burada f(0,4) ve f(2,8) için yaklaşım değerlini bulunuz. yardımıyla iki 9 Her n>0 doğal sayısı için n!= dir. olacak şekilde f fonksiyonları vardır öyle ki dir. Yanda verilmiş olunan tablo basamağa kadar yuvarlayarak a) n=105, 115,, 145 b) n=121, 122,, 129 için f(n) İn yaklaşım değerlerini bulunuz. 10 Almanya da emeklilik pirimi ödemesi zamanla artmıştır. a) 1987 yılında işverenlerde b) 1983 yılında işçilerde c) 1965 yılında iş verenlerde d) 1988 yılında işçilerde belirtilen yıllarda ortalama emeklilik pirimi ödemeleri için yaklaşım değerlerini bulunuz. 11 Batı Almanya metrekare alana sahiptir. Alan yapısı ( yani, toplam alanda farklı sebeplerle kullanılan kısımlar) 1950 yıllarından sonra çok değişmiştir ( yerleşim alanları ). a) 1950 den 1960 a, 1960 dan 1970 e, 1970 den 1981 e kadar geçen zaman dilimlerinde Orman, Tarım alanı ve yerleşim ve trafik şeklindeki gruplandırmaların değişim oranlarını belirleyiniz. b) Verilen değerler yardımıyla 1980 ve 1987 yıllarındaki yaklaşık alan yapısını belirleyiniz. Bunun için a da hesaplanan zaman dilimleri ile ilgili kısımların lineer değiştiğini farz edin. 2 Anlık değişim oranı 1 Galilei eğik bir düzlemde bir topun aşağı doğru yuvarlanmasını araştırmıştır. Bunun için t zamanda topun aldığı s yolu ölçmüştü. nerdeyse yüze yakın tekrarlarımızda sürekli yolun zamanın karesi gibi davrandığını gördük ki bunu her eğimli düzlemde gözlemleyebilmiştik. a)o zamanların mesafe ve zaman birimleri ile Galilei aşağıdaki tabloyu oluşturabilmişti. Galilei nin verdiği bilgilere göre 2,5 ve 3,5; 2,8 ve 3,2 2,9 ve 3,1 zamanları için tabloyu tamamlayınız. b)galilei 3 zamanındaki yaklaşık hızı nasıl belirleyebilmiştir? Eğik bir düzlemde yuvarlanan bir top gittikçe hızlanmaktadır. anında topun içindeki hızölçerin gösterebileceği hız aranmaktadır. Burada t anında katedilen yol s(t) olarak kabul edilmektedir. Buna göre; dir. ( s metre, t ise saniyedir)

23 Galileo Galilei ( ) Fiziksel kanunları keşfeden ilk bilimsel deneyleri yapmıştır. Bu şekilde eğik Pisa kulesinden düşme hareketleri ile ilgili deneyler yapıştır. ve herhangi bir t zamanı için [ ] veya [ ] aralığındaki topun ortalama hızı s nin değişim oranıdır. Tablolarda ( Fig.3) [1,5;t] ve [t;1,5] aralıklar için ortalama hız hesaplanmıştır. Burada sürekli ve =0,45 dir. kadar yakın terimi oldukça dikkat çekici davranışlar göstermektedir. t anı ne kadar 1,5 değerine yaklaşırsa o Bu sebeple da ve farkları sıfıra yaklaşmaktadır. oranı ise 0,6 değerine yaklaşmaktadır. anındaki anlık hızın değerini ( m/s olarak) 0,6 olarak görmek daha anlamlı olur. Galilei nin temel eseri İki yeni bilim dalı, Bu durumda, t anı a yaklaştıkça oranı da 0,6 değerine Mekanik ve serbest düşme kanunları üzerine müzakereler ve matematiksel gösterimler yaklaşmaktadır. Bunun için aşağıdaki yazılım şekli uygundur: 1638 yılında Hollanda da yayınlanmıştır için geçerlidir; ya da kısaca dır. Herhangi bir anı için ise :

24 için ) geçerlidir; ya da kısaca İfadesi uygun düşer. taktirde Tanım: Eğer için ortalama hız bir değerine yöneliyor ise bu değerine anındaki anlık hızdır denir. uygulanabileceği Bir anındaki anlık hız ile ilgili tanım düşünüldüğünde başka büyüklüklere de görülebilir: yarıçapındaki bir daire büyütülebilir (r> ) veya küçültülebilir (r> ) ( Fig. 1) Bu durumda A alanı ( ), A( den A( ye değişmektedir. Böylece, [5;r] veya [r;5] aralıklarında A nın değişim oranı dir. Tabloda bazı r yarıçap değerleri için değişim oranları verilmiştir. A nın anlık Tablodan için sonucuna ulaşılır. Buna, noktasında değişim oranı denir. değerine Tanım: Eğer için g büyüklüğünün değişim oranı bir yöneliyor ise bu taktirde yerinde g nin anlık değişim oranıdır denir. Örnek 1: ( Anlık hızın belirlenmesi) Bir serbest düşme hareketinde her t zamanı için mesafesi geçerlidir( t saniye, s metre). anı için düşen bir cismin anlık hızını bulunuz. 3 değerine yakın Çözüm: dir. Böylece elde edilir. olan t değerleri için aşağıdaki tablo elde edilir.

25 hız (m/s Tablodan anlaşıldığı üzere için dur. Bu durumda için anlık cinsinden) v(3)=30 dur. Örnek 2 ( Anlık değişim oranının belirlenmesi) olacak şekildeki A fonksiyonu, a>0 olmak üzere kenar uzunluğu a olan bir karenin alanını vermektedir. a) için A fonksiyonun anlık değişim oranını belirleyiniz. b) ın somut anlamı nedir? Çözüm: kenar a) [4;a] veya [a;4] aralıklarında A fonksiyonun ortalama değişim oranı dir. Bazı a uzunlukları için aşağıdaki tablo elde edilir: m(4)=8 dir. Tablo, için olduğunu verir. Böylece, 4 değerinde A nın m(4) anlık değişim oranı b) Anlık değişim oranı karenin çevre uzunluğunun yarısıdır. Alıştırmalar Anlık değişim 2 Bir cisim, t zamanda olacak şekilde yol kat etmektedir. için anlık hızları belirleyiniz. oranını belirlemek için tablo kullanılabilir 3 Bir araç frenlenmektedir. Geçen t zamanı için, (t saniye, s metre) belirlenmiştir. t=0;1; ;9;10 için s(t) yi hesaplayınız. (bakınız s.129, Alıştırma21) olmak üzere aracın anlık hızını bulunuz ( m/s ve km/h cinsinden). 4 A fonksiyonu sırasıyla I, II ve III üçgenlerin A(a) alanlarını vermektedir. Burada a ise çizilmiş olan şekildeki açıklayınız. uzunluktur. için A nın anlık değişim oranını belirleyiniz ve somutlaştırarak 5 a kenar uzunluğuna sahip bir küp O(a) yüzeye ve V(a) hacme sahiptir. için V ve O anlık değişim oranlarını belirleyiniz ve somutlaştırarak açıklayınız.

26 6 a) yerinde r yarıçapına bağlı bir kürenin O yüzeyinin anlık değişim oranını belirleyiniz. b) yerinde a kenar uzunluğuna sahip bir tetraederin V hacminin anlık değişim oranını belirleyiniz. 3. yerinde türetilme Çevreden kaynaklanan ölçüm hatalarına sebep olabilecek olumsuz etkenleri askari düzeye indirgemek amacıyla hız bir çok mesafe içinde ölçülmektedir. Eğer hız sonucu 3% den fazla fark Gösterirse fotoğraf çekilmez. 1 Hız kontrollerinde, ışık kutusu 1 ile ışık kutusu 2, daha doğrusu ışık kutusu 1 ile ışık kutusu3 arasında geçen zaman ölçümüne ihtiyaç duyulur. Bu ışık kutuları arasındaki mesafeler 25 cm, kutu 1 ve 3 arası 50 cm dir. Bir sürücü bu kutuları fark eder ve frene basar.onda 0,030 saniye ve 0,0615 saniye ölçülmüştür. Sürücü; Her iki ölçüm mesafesi arasında hızım 30 km/h dan üzeri değildi. Bu durumda ölçüm mesafesi boyunca hiçbir zaman 30km/h üzeri sürmemiştim şeklinde iddiada bulunuyor. Bu iddia doğru mu? yerinde g büyüklüğünün anlık değişim oranı civarında g nin artışını ve azalışını tarif etmektedir. Bundan sonra şimdiye kadarki düşünceler fonksiyonlara aktarılacaktır. Burada ise sınır değerin gerçek tespiti yaklaşım değerleri yardımıyla tablolaştırma ile değil yürütülecektir. terim dönüşümü ile Örnek: Genel: verilmiş olsun. ve verilmiş olsun. ve I aralığında tanımlı bir f fonksiyonu a) Fark oranı a yakın keyfi bir x yeri seçilir ve [ ;x] veya [x; ] aralığında f fonksiyonun m(x) fark oranı oluşturulur: Türevin kaşifi olarak için için kabul edilmektedir m harfi, Fig.2 ve Fig. 3 de mavi renkte çizilmiş olan s doğruların m(x) eğimidir.iki farklı ve secare (Latince) noktalarından geçen s doğrusuna f in grafiğinin sekantı denir.

27 kesen Çizimlerde her ne kadar x> ise de yine de her düşünce için x< olması Halide araştırılmalıdır. m(x) öyle dönüştürülüyor ki b) için fark oranının araştırılması, daha doğrusu m(x) in dönüştürülmesi: Bunun için aşağıdaki özelliklere sahip bir sıfırdan farklı bir değere yönelmektedir. için x değeri a yeterince yakın olduğunda m(x) de keyfi yakındır. Sürekli dikkat ediniz ki Bu terimden şunlar anlaşılır: Şayet öyle bir sayısı varsa bu durumda; x> ve x< x, 0,5 değerine yeterince yakın olduğunda m(x) de 1 için dır. olabilir değerine keyfi yakındır. Bunun anlamı; için dır. m fonksiyonun davranışı kısaca aşağıdaki şekilde tarif edilir: sahiptir. için m(x), 1 sınır değerine sahiptir. Kısaca için, sınır değerine dir. Kısaca: dır. m(x) fark oranının paydası= için sıfırdır. Bu yüzden m(x), = için tanımlı değildir. Bunun dışında, = için payı sıfır değerini alır. Yine de, x değeri a yeterince yakın olduğunda m(x) de keyfi yakın

28 olabilir. Bu ise için in sınır değerinin olduğu anlamına gelir. Leibniz 1677 yılında yeni metodunu Tanım: f fonksiyonu I aralığında tanımlanmış olsun ve alalım. için fark calculus differentiales şeklinde oranı bir sınır değere sahipse bu taktirde yerinde f fonksiyonuna türevlenebilir adlandırmıştır. Buradan türevlenebilirlik (türetebilinmekte)denir. Sınır değerine ise yerinde f fonksiyonunun türetilişi denir ve ve türev hesabı kelimeleri oluşmuştur. ile gösterilir. Türetilebilme kavramı ve notasyonu İse Lagrange den ( ) gelmedir. Eğer bir f fonksiyonu her için türevlenebilir ise bu taktirde f ye I da türevlenebilir bir fonksiyon denir. Bazı durumlarda başka yazılış şekilleri amaca daha uygun düşmektedir. alınırsa yazılabilir. manayı Bu durumda m(x)= ifadesi olur. ile aynı şekilde türetiliş, yerinde taşımaktadır. Buna göre bir f fonksiyonu yerinde türevlenebilir ise için aşağıdaki f üzeri çizgi şeklinde okunur formüle ediliş şekli aynı anlamı taşımaktadır: Örnek 1: (x- Metodu ile türevinin belirlenmesi) fonksiyonunun için türevini bulunuz. Çözüm: a) m(x) fark oranı: için f(2)= ve böylece için m(x)=. için m(x) in sınır değerleri: dir. Rasyonel fonksiyonlarda Örnek 2: (h- Metodu ile türevinin belirlenmesi)

29 fark oranı dönüşümlerde fonksiyonunun için türevini bulunuz. x-metodu yerine h metodunun kullanımı daha elverişlidir. Çözüm: a)m(h) fark oranı: için f(3)=-3 ve böylece m(h)= dir. için m(h) sınır değeri: dir. Örnek 3: (Sınır değersiz fark oranı) için in türevlenemez olduğunu gösteriniz. Çözüm: x>0 için olup dir. x<0 için olup dir. Bu durumda m(x) fark oranı için yerine sağdan ve soldan yaklaşıldığında iki farklı değer elde edilmiş olunuyor. Fakat f fonksiyonuna yerinde türevlenebilirdir denir eğer her bir yaklaşımda aynı sayı elde edilebiliyorsa. Bu durumda, sıfır yerinde f fonksiyonu türevlenemezdir. Alıştırmalar 2 ve için aşağıdakileri hesaplayınız. a) f(3), b), c) f(a), d) f(r+2), e)f( f) f(x)- f( g) f( h) i) 3 Alıştırma 1 de olduğu gibi verilen f fonksiyonların belirtilen değerlerindeki hesaplamaları yapın a) b) c) f d) e) f) 4 Alıştırma 2 de olduğu gibi ı hesaplayınız.

30 a) b) c ) d) e), f), 5 Aşağıda belirtilen fonksiyonların yerindeki türevlenebilirliklerini inceleyiniz. a) b) c) d) Türevlenebilirlik ve türevlenememezlik nasıl tasvir edilebilir?