Mat Matematik II / Calculus II

Transkript

1 Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x + arccos y seviye eğrilerini çizdirmek için: contour plot z = ln (xy) at z = grafiğini çizdirmek için: d plot ln(xy) kodlarını kullanabilirsiniz. Ancak D grafikleri her zaman doğru çizmeyebilir. Örneğin ln(xy) fonksiyonunun tanım kümesi ve seviye eğrilerini ele alarak D grafiği ile karşılaştırınız. ) Aşağıda fonksiyonların tanım kümelerini bulup ilgili uzayda gösteriniz. a) z = f(x, y) = ln(xy) C: {(x, y) xy > } b) z = f(x, y) = y + arccos x C: {(x, y) x } c) h = f(x, y, z) = 6 x y z C: {(x, y, z) x + y + z 6} ) Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini seviye eğrilerini kullanarak çiziniz. a) z = f(x, y) = x + y b) f(x, y) = x y c) z = x + y ) Aşağıdaki fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki seviye(düzey) eğrilerini çiziniz. a) f(x, y) = x y, k =,,,, b) f(x, y) = xy, k =,, c) f(x, y) = y cos x, k =,, wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun limitini bulmak için: limit sin(xy)/ x as (x,y) tends to (,pi) kodunu kullanabilirsiniz.

2 4) Aşağıdaki limitleri varsa bulunuz, yoksa olmadığını gösteriniz. a) lim (x,y) (,) d) lim (x,y) (,) sin(xy) g) lim (x,y) (,) x + y x y b) lim x 4 + y 4 (x,y) (,) x + y + x + y e) lim (x,y) (,) sin(xy) x x y x + y f) lim (x,y) (,) 5) Aşağıdaki fonksiyonların sürekli oldukları kümeleri bulunuz. a) f(x, y) = C:S x y f = {(x, y) x y } x + y + z b) f(x, y, z) = x + y + z, C:S f = {(x, y, z) x + y + z } c) f(x, y, z) = x ln(yz), C:S f = {(x, y, z) yz > } 6) f(x, y) = g(x), x 4y x y, x y x = y Çok Değişkenli Fonksiyonlar: fonksiyonu de sürekli ise g(x) i bulunuz. Kısmi türev, Zincir kuralı, Gradyen vektörü ve Yönlü türev c) lim (x,y) (π, 4 ) x tan(xy) x (y ) x + (y ) wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun yönlü türevini bulmak için: derivative of x^ y+ x y^+z in the direction (,,) at point (,,) kodunu kullanabilirsiniz. ) Aşağıdaki fonksiyonların kısmi türevlerini bulunuz. a) f(x, y) = ln (x + ) x + y b) f(x, y, z) = e xy z ( c) f(x, y) = cos x y ) sin ( ) y x ) a) u = sin(xy) + cos(xz) + tan(yz) u x y z =? b) z = f(x, y) = sin (x 4) f x y =?, f y =? c) z = txy, x = t + ln(y + t ), y = e t dz dt =? d) f(x, y) = ln(x + y ), x = tu, y = t u f t =?, f u =? ) w(x, y) = f(x + y, xy, x) ve f,. dereceden sürekli kısmi türevlere sahip olmak üzere; w yx (x, y) =? x y, (x, y) (, ) 4) f(x, y) = x + 4y, (x, y) = (, ) olarak tanımlanıyor. f x (, ) =?, f y (, ) =?

3 sin(x + y ), (x, y) (, ) 5) f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ) x, (x, y) (, ) 6) f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ) a) f, (, ) noktasında sürekli mi? b) f x (x, y) =?, f y (x, y) =? c) f yx (, ) =? x y, (x, y) (, ) 7) f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ) a) f, (, ) noktasında sürekli mi? b) f x (, ) değeri var mı? c) f xx (, ) değeri var mı? olsun. olsun. fonksiyonunun (, ) da türevlenebildiğini gösteriniz. 8) f(x, y, z) = x + y z fonksiyonunun P = (,, ) noktasındaki ve v = i + j + k vektörü yönündeki yönlü türevini bulunuz. C:(4) x y, (x, y) (, ) 9) f(x, y) = x 4 + y fonksiyonu verilsin., (x, y) = (, ) a) f(, ) =? b) u = i + j vektörü için D u f(, ) =? c) f(x, y) fonksiyonu (, ) da türevlenebilir midir? Neden? ) f(u, v) bir fonksiyon, f(, ) =, f (, ) = ve f (, ) = olsun. g(x, y, z) = f(xyz, x + y + z ) ise g(,, ) =? C:< 8, 8, 8 > ) f(x, y) = e x ln y fonksiyonu verilsin. a) Hangi doğrultuda en hızlı artar? b) Bu doğrultudaki artış oranı nedir? c) u = i + j olmak üzere D u f(, ) =? ) f(x, y), (a, b) noktasında her yönde yönlü türeve sahip olan bir fonksiyon olsun. u = i j ve v = i + j vektörleri için D u f(a, b) = ve D v f(a, b) = ise f nin ( ) 8+8 (a, b) noktasındaki maksimum artış oranı kaçtır? C: +

4 Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Türev, Gradiyent ve Uygulamaları xy, (x, y) (, ) ) f(x, y) = x + y, (x, y) = (, ) olduğunu gösteriniz. fonksiyonunun (, )da sürekli ve kısmi türevlere sahip ) f(x, y) = x + y fonksiyonunun P = (, 4) noktasındaki L(x, y) lineerleştirmesini yazınız ve bundan faydalanarak (, 98) + (4.) sayısının yaklaşık değerini bulunuz. CEVAP: 5. ) Teğet düzlemi yaklaşımını (doğrusal yaklaşım) kullanarak e. ln(.9) değerini yaklaşık olarak hesaplayınız. (.) 4) z = f(x, y) fonksiyonu için f(, ) =, f x (, ) = ve f y (, ) = 5 olduğu biliniyor. f(.,.8) in değerini yaklaşık olarak bulunuz. (f(.,.8). 5) f(x, y, z) = xy ise, f(.,.98,.) ün yaklaşık değerini bulunuz. (.778) + z 6) Aşağıdakilerin yaklaşık değerini hesaplayınız. (a) sin( ) cos(58 ) (b) (.)(.) (.4) 7) z = x + y eşitliği veriliyor. Başlangıç durumunda x = ve y = 5 dir. x, artar ve y, 5 azalırsa z de nasıl bir değişiklik olur. (Diferansiyel yardımıyla çözebilirsiniz) ( z dz = x dx + dy dz = y 8) f(x, y) = x y + y 8y fonksiyonunun maksimum, minimum ve eyer noktalarını bulunuz. ((±6, ) eyer noktası, (, 6) yerel min., (, 6) yerel maks. ) 9) f(x, y) = xy( x y) fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz ve bu kritik noktalarda yerel maksimum ve minimum değerleri alıp almadığını belirleyiniz. CEVAP:Kritik noktalar (, )(, ), (, )ve(, ). Eyer(semer) noktaları (, ), (, ), (, ). f(, ) = yerel max. değeri. ) Aşağıdaki fonksiyonların tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız.

5 (a) f(x, y) = x y x + 9x y (y > ) ((6, 9) noktası yerel maks.) (b) g(x, y) = (x ) ln(xy) ((, ) noktası bir semer noktası) ) f(x, y) = (y x )(y x ) fonksiyonun ekstremum değerlerini bulunuz. ((, ) eyer noktası) ) D = {(x, y) : x [, ]} ile tanımlanıyor. Her (x, y) D için x + y e x+y olduğunu 4 gösteriniz. (f(x, y) = (x + y )e x y+ fonksiyonunun maksimum değeri bulunarak gösterilebilir.) 4 ) (a) f(x, y) = x y 6y x nin tüm kritik noktalarını bulup sınıflandırınız. (b) Kenarları koordinat eksenlerine paralel olan ve 6x + 4y + 9z = 6 elipsoidi içine yerleştirilebilen maksimum ( hacimli dikdörtgensel kutunun boyutlarını bulunuz ve maksimum hacmini bulunuz. 6 ) (c) f(x, y) = xy nin x + y = çemberi üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için Lagrange çarpanları yöntemini kullanınız. (d) f(x, y) = xy + y + 8x + 4y fonksiyonunun x ile y in belirlediği bölgesi üzerindeki en büyük ve en küçük değerini bulunuz. 4) Sınav notları g(x, y, z) = f(x, y, z) fonksiyonu ile hesaplansın. (x, y, z), x + y + z = 5 şartını sağlamak üzere f(x, y, z) = x + z (y 6) 6 olarak tanımlı ise hangi (x, y, z) değerine karşılık gelen notu almak istersin? ((,, ) veya (,, ) g = ) 5) f(x, y) = 4x xy + x y ( + x fonksiyonunun maksimum, minimum ve eyer noktalarını bulunuz. ((, ±) eyer noktası,, ) ( yerel maks., ), yerel min.) 6) Aşağıdaki fonksiyonların verilen bölgeler üzerindeki mutlak ekstremumlarını bulunuz. (a) f(x, y) = x y, = {(x, y) x + y 4} (maks: (±, ), min: (, ±)) (b) f(x, y) = xy + y + 8x 4y, = {(x, y) x, y } 7, min : (, ) ) (maks : (, ) 7) f(x, y) = 4x + y x y + fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulunuz. ((, 9) eyer noktası, (, ) eyer noktası) 8) f(x, y, z) = xyz fonksiyonunun x + y + z = şartı altındaki maksimum değeri nedir?( x = z =, y = v = 4 7 maks.) 9) f(x, y) = 6 x 4y fonksiyonunun x 4 + y 4 bölgesindeki ekstremum değerlerini bulunuz. ((, ), (, ± ), (±, ), (±, ± ) maks:f(, ) = 6, min:f(±, ± ) = ) ) f(x, y) = 6xy x y 4 fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulunuz. ((, ) eyer noktası, (, ), (, ) yerel maksimum)

6 ) 7x + xy + 8y = eğrisi (bir elips) üzerinde orijine en yakın ve en uzak noktaları bulunuz. CEVAP:(, ) ve (, ) orijine en yakın noktalar (, 4) ve (, 4) orijine en uzak noktalar ) f(x, y) = xy fonksiyonunun D : x + y 4 kapalı diski üzerindeki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. CEVAP: f(, ) = 4 maksimum, f(, ) = 4 minimum f(, ) = 4 maksimum, f(, ) = 4 minimum ) Yüzey alanı 6 cm olan maksimum hacimli dikdörtgen biçimindeki bir kutunun boyutlarını bulunuz. (uzunluk cm, maks. hacim cm ) 4) Lagrange çarpanları metodunu kullanarak, x + y = elipsi üzerinde, P (, ) noktasına 4 en uzak olan noktaları bulunuz. ((, 4 ) ve (, 4 )) 5) Lagrange çarpanları yöntemini kullanarak aşağıdaki fonksiyonların yanlarında verilen kısıtlanmış eğri üzerindeki ekstremumlarını bulunuz. (a) f(x, y) = x + 8y, x + y = (maks. değer 8 ve (, ) noktasında olur. min. değer 8 7 ve (4 9, ) noktasında olur.) 9 (b) f(x, y, z) = x + y + z, x y + z = 6 (maks. değer yok. min değer 4 ve (, 4, 4 ) noktasında olur.) (c) x y = hiperbolü üzerinden (, 4) noktasına olan en yakın noktanın koordinatlarını bulunuz. ((± 5, ) ve min. uzaklık tür.)

7 Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Çok Katlı İntegraller ve Uygulamaları ) Aşağıdaki iki katlı integralleri hesaplayınız. a) b) c) x 4 y+ 4 ) xy dydx ( x 5 dxdy (ln (x + y) y x 4 ) x + y dxdy (6) d) x y dydx ( π) 6 e) = {(x, y); x + y } x y 5 dxdy =? () ) x-ekseni, x = doğrusu ve y = x doğrusu ile sınırlı bölge olduğuna göre integralini hesaplayınız. Cevap e e e x da ) x-ekseni, x = doğrusu ve y = x parabolü ile sınırlı bölge dir. x + y z = düzleminin altında ve bölgesinin üzerindeki hacmi bulunuz. Cevap 7 birim küp 4) x + y + z a katı küresinden x + y = ax (a > ) dairesel silindiri ile kesilen bölgenin hacmini bulunuz.(ipucu:kutupsal koordinatlar kullanınız.)cevap 4 a ( π )birim küp 5) a) bölgesi; x =, y = x doğruları ve xy = hiperbolü ile sınırlı bölge ise hesaplayınız.( 9) 4 b) bölgesi; y = x ve x = y eğrileri ile sınırlı bölge ise (x + y)da =? ( ) 4 c) bölgesi;koordinat eksenleri ve x + y = parabolü ile sınırlı bölge ise ( ) 8 d) bölgesi; x ekseni ve x π olmak üzere y = sin x eğrisi ile sınırlı bölge ise (π) e) bölgesi;köşeleri (, ), (, ) ve (, ) olan üçgen bölgesi ise 6) Aşağıdaki integrallerin sırasını değiştiriniz. a) y y f(x, y)dxdy x da integralini y xyda =? ( x)da =? () xda =?

8 b) c) d) x x x e ln x x x 9 f(x, y)dydx f(x, y)dydx f(x, y)dydx + x 9 f(x, y)dydx 7) Kutupsal koordinatları kullanarak aşağıdaki integralleri hesaplayınız. a) (x + y )da; = {(x, y); x + (y + ) 4} (4π) b) arctan y x da; = {(x, y); x + y, x, y } ( π ) 6 c) sin(x + y )da; = {(x, y); π x + y 4π} ( 6π ) 8) I = e y dydx tekrarlı integralinin sırasını değiştirerek hesap ediniz. Cevap: e x 9) Aşağıdaki bölgelerin alanlarını çift katlı integral kullanarak hesaplayınız. a) Alttan bölgesi ( : y = x ve y = ile sınırlı )nın ve üstten z = 4 x y eğrisini sınırladığı cismin hacmini bulunuz.( 68 5 ) b) bölgesi xy =, y = x ve x = e doğrularının sınırladığı sınırlı bölge ( ) c) bölgesi; x = y ve x = 4 y eğrilerinin sınırladığı bölge ( 6 ) d) x + y = ve x + y = elipslerinin sınırladığı bölge ( arcsin ) e) x + y = 4 ve y x = eğrilerinin sınırladığı bölge ( ln( + )) ), düzlemin birinci bölgesinde x + y x 4, y x eşitsizlikleri ile tanımlanıyor. ( y I = arctan dxdy iki katlı integralini kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara x) dönüştürerek hesap ediniz. Cevap:I = π π 6 θrdrdθ = π 6 ) Kutupsal koordinatlar kullanarak z = x + y konisinin üstünde ve x +y +z = küresinin ) altında kalan cismin hacmini bulunuz. Cevap: π ( ) birim küp İki katlı interal kullanarak aşağıda verilen cisimlerin hacimlerini bulunuz. a) S cismi; koordinat düzlemleri,x = ve y = düzlemleri ile z = x + y + düzleminin sınırladığı cisim,(7) b) Koordinat düzlemleri ile x+y = ve x+4y+z = 8 düzlemlerinin. kuadrantta sınırladığı cisim, ( ) c) x =, z =, x + y = 6, x + = ve x + y + z = 6 düzleminin sınırladığı cisim, () d) x + y = dik silindiri ile z = ve x + y + z = 6 düzleminin sınırladığı cisim, ( ) π π sin y ) I = dydx tekrarlı integrali D bölgesi üzerinde iki katlı integrale karşılık gelmektedir. D bölgesini çizdikten sonra integralin sırasını değiştirin ve integrali x y hesaplayın. Cevap:

9 4) 4 y y 4 + x 5 dxdy =? (dydx e çevrilirse sonuç 4 5 bulunur.) 5) = {(x, y) : (x + y ) x y, x} olmak üzere (r cos θ, r sin θ) sonuç + π 6 ) ( + x + y )dxdy =? ((x, y) = 6) = {(x, y) : x + y, y x} (veya x + y = çemberi içerisinde ve y = x doğrusu altında kalan bölge) olmak üzere (Cevap: e ) e 5 x +x yda =? 7) C : (x ) + y = ve C : (x ) + y = olarak tanımlanıyor., C nin içinde ve C in dışındaki noktaların kümesi olmak üzere integralini a) dxdy in integrali olarak b) dydx in integrali olarak y da c) Kutupsal koordinatlarda integral olarak ifade ediniz. (Cevap: a) b) c) + y y + y dxdy + (x ) (x ) y dydx + π 6 cos θ+ 4 cos θ cos θ + y y y dxdy (x ) r sin θrdrdθ 8) f(x, y) = + sin(x + y) olmak üzere + x bulunuz. (Cevap:π ) π ln y 9) Aşağıdaki üç katlı integralleri hesaplayınız. a) b) c) d) 9 x 9 x π π ln z ln y x dzdxdy (8) x cos y sin zdxdydz () e x+y dxdydz ( ln 7 ) 4 y dydx f(x, y)dxdy+ x y ( ) dz π x y z dydx 8 ln y π ln(y π) f(x, y)dxdy değerini

10 e) f) g) x+z π r π r θ π +4r x yz dydxdz () dzrdrdθ (π(6 8)) dzrdrdθ ( ) 7π 5 ) z = 8 x y ve z = x + y paraboloidleri tarafından sınırlanan bölgenin hacmini katlı integral ile hesaplayınız. (6π) 4