MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği Bahar

Transkript

1 MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 008 Bahar Bu malzemeye atıfta bulunmak ve Kullanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için ve sitelerini ziyaret ediniz.

2 Tekrar Problemleri & Çözümleri Test, kapalı kitaptır, ancak isterseniz, tek-taraflı formül sayfası getirebilirsiniz. Bu sayfanın amacı, önemli formül ve denklemleri hatırlatmaktır, ve buradaki cevapların kısa yazımı değildir. Bu ayrıcalık kötüye kullanılırsa, ilerideki sınavlarda geri alınacaktır. Test, tamamen aşağıdaki soruların bir alt kümesinden oluşacaktır. Dolayısıyla bu sorularla yakınsanız ve rahatsanız, herhangi bir sürpriz olmayacak! ******** 1: Sürekli Spinler: Standart O(n) modelinde, n bileşenli birim vektörler, bir ağın konumlarına yerleştirilirler. En yakın komşu spinler J s i s j bağı ile birbirine bağlanır. Aslında, biz sadece evrensel özellikleriyle ilgileniyorsak, herhangi bir genelleştirilmiş etkileşim f( s i s j ) aynı kritik davranışa yol açar. İsing modeline benzetmeyle, uygun bir tercih exp f( s i s j )] = 1 + (nt) s i s j olur, ki ilmek modeline yol açar: (a) İki boyutlu altıgenel (balpeteği) ağda, (Z bölüşüm fonksiyonu için) t parametresi cinsinden, yüksek sıcaklık açılımını yapın. İlmek modelinde bölüşüm fonksiyonu Z = {Ds i } 1 + (nt)s i s j ] ij şeklindedir, ve t parametresinin kuvvetleri şeklinde açılabilir. Eğer ağdaki en yakın komşu bağlarının toplam sayısı N B ise, yukarıdaki çarpım N B olası terim yaratır. Her terim, ağ üzerinde, eğer s i s j terimi varsa, i ve j spinlerini birleştiren bir bağ içeren bir şekil ile gösterilebilir. Daha da ötesi, her dahil edilen bağ nt çarpanını taşır. İsing modelinde olduğu gibi, {s i } değişkenleri üzerinden integral almak, sadece her konumdan çift sayıda bağ çıkan grafikleri bırakır, çünkü dss α = dss α s β s γ = = 0. Balpeteği ağında, aşağıda çizildiği gibi, her konumdan 1,, veya 3 bağ çıkar. Dolayısıyla, katkı veren şekiller sadece, her konumdan iki bağ çıkan grafiklerdir, ki her bir bağ bir kere olabileceği için, kendinden uzak duran ilmeklerdir. Balpeteği ağının, ilmeklerin bir konumda kesişmelerine izin vermeme avantajı olmakla beraber, evrensel sonuçlar diğer ağlara da uygulanabilir. Spin üzerinden bütün integralleri n-boyutlu katı açı ile ölçekleyeceğiz, öyle ki ds = 1 olsun. s α s α = 1 olduğu için, hemen dss α s β = δ αβ n elde edilir ve ( ) ds (s α s α) s βs β = 1 n s αs α 1

3 While the honeycomb lattice has the advantage of not allowing intersections of loops at a site, the universal results are equally applicable to other lattices. verir. Bu tarz integrallerin dizisi, bir ilmek çevresindeki spinlerin bileşenlerini aynı olmaya zorlar, We shall rescale all integrals over spin by the n-dimensional solid angle, such that ve ilmekteki son spin üzerinden integral alınca n çarpanı gelir, mesela ds = 1. Since s α s α = 1, it immediately follows that {Ds i } (s 1α s α ) (s β s 3β ) (s 3γ s 4γ ) (s 4δ s 5δ ) (s 5η s 6η δ) αβ (s 6ν s 1ν ) = δ αβδ βγ δ γδ δ δη δ ην δ αν ds s α s β =, n 6 = n n 6 n Her bağ bir nt çarpanı taşıdığı için, sonuçta, her ilmek n t l çarpanı katkısı verir, burada l resulting in ilmekteki bağların sayısıdır. Bundan sonra, bölüşüm fonksiyonu 1 ds (s α s α)(s βs β) = s α s α. n Z = n N l t N b A sequence of such integrals forces kendinden the components uzak duran ilmekler of the spins around any loop to be the same, and there is a factor n when integrating over the last spin in the loop, for instance olarak yazılabilir, ki burada toplam, bütün farklı, bağlantısız veya kendinden uzak duran ilmek topluluğu δ αβ δ βγ δ γδ δ δη δ ην δ αν n {Ds i } (s üzerindendir, 1α s α )(s β s 3β bağ )(skaçarlığı 3γ s 4γ )(s 4δ t, sve 5δ )(s N l 5η, Ns 6η b )(s sırasıyla 6ν s 1ν ) grafikteki = ilmeklerin ve bağların =. n6 n6 sayısıdır. Modelin sadece kritik davranışı ile ilgilendiğimiz için, genel analitik bir çarpan Since önemsizdir. each bond carrier a factor of nt, each loop finally contributes a factor n t l, where l (b) is the n number 0 limitinin, of bonds ağ üzerinde, the loop. kendinden The partition kaçan tekfunction bir polimerin maydizilimlerini then be written tasvir ettiğini as gösterin. Tam n = 0 da Z = 1 olurken, Z n = 0 limitine bakarak, n N ilginç l t N b, bilgiler edinilebilinir. n 0 iken, önde gelen terim ( O(n 1 ) ), tek kendinden self avoiding kaçan ilmekli loops dizilimleri seçer, yani N l = 1. where Bağdaşıklık the sum fonksiyonu runs over da distinct grafiksel disconnected olarak or self-avoiding loops collections with a bond fugacity t, and N l, N b are the number of loops, and the number of bonds in the G graph, respectively. αβ (n m) = s Note that, nα s as mβ = 1 {Ds we are only interested i }s nα s mβ 1 + (nt)s in the critical i s j ] Z behavior of the ij model, any global analytic prefactor is unimportant. (b) ifadesinden Show that hesaplanabilir. the limit n 0 describes the configurations of a single self-avoiding polymer on the lattice. While Z = 1, at exactly n = 0, one may obtain non-trivial information by considering the limit n 0. The leading term (O(n 1 )) when n 0 picks out just those configurations with a single self-avoiding loop, i.e. N l = 1. The correlation function can also be calculated graphically from 1 G αβ (n m) = s nα s mβ = {Ds i }s nα s mβ 1 + (nt)s i s j ]. Z ij

4 m n After disregarding any global prefactor, and taking the limit n 0, the only surviving graph Herhangi consists bir genel of açarpanı single attıktan line going sonra, from ve n to 0 limitinde, m, and the tek kalan indexgrafik, of alln den the m ye spinsgiden along the tekline bir çizgidir, is fixedve toçizgi be the üzerindeki same. All bütün other spinler possible aynı olarak graphssabitlenmiştir. disappear inbütün the limit olasındiğer 0. Therefore, grafikler, nwe 0are limitinde left with yok olurlar. a sum Dolayısıyla, over self-avoiding n den m ye walks giden, that herbiri go from t l çarpanı n to taşıyan, m, each carrying burada la yürüyüşün factor t l, uzunluğu where l indicates olmak üzere, the kendinden length of the kaçan walk. yürüyüşler If we denote üzerinden by bir W l toplam (R) the number kalır. Eğer, of self-avoiding kendinden kaçan walks l uzunluğunda, of length l whose ve ucundan end-to-end ucunadistance uzaklığı Ris olan R, we yürüyüşlerin can write that sayısını W l (R) ile gösterirsek, W l (R)t l (R)t l = lim G(R) n 0 lim G(R). l l n 0 yazabiliriz. As Hayalet in the rastgele case ofyürüyüşlerde phantom random olduğu walks, gibi, küçük we expect t lerde, that bağdaşıklık for small fonksiyonunun t, small paths dominate davranışını the küçük behavior yollar of belirler. the correlation t arttıkça, daha function. büyük yollar As t increases, belirleyici olur, larger ve eninde paths sonunda dominate the belirli sum, birand, t c değerinde, ultimately, bir tekillik we will bulacağız, find a singularity ki burada olabildiğince at a particular büyük t c, yollar at which olası arbitrarily olur. long Kendinden paths become kaçan possible. yürüyüşlerin, arıpeteği ağı üzerindeki O(n) modelinin n 0 limitine eşlenmesini gösterdiğimiz halde, kritik davranışın evrensel olması ve dolayısıyla, ağ tercihinden bağımsız olması gerekir. Daha da fazlası, kendinden kaçan yürüyüşlerin çeşitli ölçeklenme Although we presented the mapping of self-avoiding walks to the n 0 limit of the özelliklerini O(n) model O(n) for modelinin a honeycomb n 0 lattice, limitindenthe çıkartabiliriz. critical behavior Örnekshould olarak, be kendinden universal, kaçan and therefore yürüyüşlerin, independent of this lattice choice. What is more, various scaling properties of self-avoiding walks can be deduced R from = the 1 O(n) R Wmodel with n 0. Let us, for instance, l (R) characterize the mean square end-to-end W distance l R of a self-avoiding walk, defined as burada W l (R) = R W l(r), l uzunluğundaki kendinden kaçan yolların sayısıdır, olarak 1 tanımlanan bir ucundan diğer ucuna R olan = ortalamar mesafesini W l (R), karaterize edelim. Bağdaşıklık fonksiyonunun tekil kısmı W R l aralığı R ile, ξ (t c t) ν şeklinde ıraksayan bağdaşıklık uzunluğuna kadar, G R (d +η) olarak azalır. Dolayısıyla, where W l = R W l (R) is the total number of self-avoiding walks of length l. R The singular part G(R) ξ of the d+ (d +η) = (t correlation function c t) ν(4 η) = (t decays with c t) separation γ ν R as G R (d +η) R, up to the correlation length ξ, which diverges as ξ (t c t) ν. Hence, Yukarıda G(t, R) nin, l W l(r)t l = G(t, R) anlamında, W l (R) nin yaratan fonksiyonu olduğuna dikkat ettik. Benzer R şekilde G(R) ξl d+ (d +η) W lt l, W l nin yaratan = (t c fonksiyonudur, t) ν(4 η) = (t ve c χ t) alınganlığına γ ν. R W l t l = G(R) = χ (t c t) γ l R 3 3

5 olarak bağlıdır. W l nin tekil davranışını, yaratıcı fonksiyonundan elde etmek için, (t c t) γ ifadesinin Taylor açılımını yaparız l W l t l = t γ c ( 1 t ) γ = t γ ( ) Γ(1 γ) t l c t c Γ(1 + l)γ(1 γ l) t l c ki W l = Γ(1 γ) Γ(1 + l)γ(1 γ l) t l γ c elde ederiz. Γ(p)Γ(1 p) = π/ sin pπ ifadesini kullanarak, l limitine bakarak, ve gamma fonksiyonlarının asimptotik ifadesini kullanarak W l Γ(γ + l) Γ(1 + l) t l c l γ 1 t l c elde ederiz, ve benzer şekilde, R R W l (R) yi de R R G(R) den tahmin edebiliriz, ki R lν+γ 1 t l c l γ 1 t l c = l ν verir. O(n) modelinin ɛ açılımında n = 0 alırsak, mesela, ν = 1/ + ɛ/16 + O(ɛ ) üstelini verir, ki kendinden kaçan l uzunluğundaki polimerin ortalama ucundan ucuna uzunluğunun karesinin ortalamasını karakterize eder, ν 0 = 1/ yerine, ki bu hayalet rastgele yürüyüşlerin ölçeklenmesidir. Kendinden kaçmadan dolayı, (polimersel) yürüyüş şişerek daha büyük bir ν verir. ɛ = 1, ve 3 için, d = 3, ve 1 de sonuçlar 0.56, 0.65 ve 0.69 dur ve 0.59, 3/4(tam), ve 1 (tam) değerleri ile kıyaslanmalıdır. ******** : Potts model I: βh = K <ij> δ s i,s j Hamiltoniyeni ile etkileşen Potts spinlerini s i = (1,,, q) düşünün. (a) Bu problemi, yüksek sıcaklıklarda grafiksel olarak incelemek için, her bağ için Boltzmann ağırlığını exp(kδ si,s j ) = C(K) 1 + T (K)g(s i, s j )] olarak yazın, burada g(s, s ) = qδ s,s 1. C(K) ve T (K) yı bulun. C(K) ve T (K) iki bilinmeyenini belirlemek için, ifadelerini kullanabiliriz, ki buradan elde ederiz. { e K = C 1 + T (q 1)] s i = s j ise 1 = C 1 T ] s i s j ise T (K) = ek 1 e K + q 1, ve C(K) = ek + q 1 q 4

6 (b) q g(s, s ) = 0, s=1 olduğunu gösterin. Dahası, q g(s 1, s)g(s, s ) = qg(s 1, s ), ve s=1 q s,s g(s, s )g(s, s) = q (q 1) q g(s, s ) = q 1 (q 1) = 0 s=1 q q g(s 1, s)g(s, s ) = s=1 s=1 q q g(s, s )g(s, s ) = s,s =1 ] q δ s1 sδ s s q(δ s1 s + δ s s) + 1 = q(qδ s1 s 1) = qg(s 1, s ) s,s =1 ] q δ ss δ ss qδ ss + 1 = q 3 q + q = q (q 1) olduğu kolayca kontrol edilebilir. (c) Yukarıdaki sonuçları kullanarak, tek boyutlu bir zincir için, serbest enerjiyi ve bağdaşıklık fonksiyonunu g(s m, s n ) hesaplayın. T (K) çarpanı, yüksek sıcaklık açılım parametremiz olacak. Her bağ T g(s i, s j ) çarpanı katkısı getirir, ve s g(s, s ) = 0 olduğu için, herhangi bir konum için sadece tek bir bağ olamaz. Derslerde bahsedilen İsing durumunda olduğu gibi, her bağ sadece bir defa olabilir, ve kalan grafiklerin sallanan bağları yoktur. Sonuç olarak, tek boyutlu bir zincir için, mesela açık sınır koşulları ile, kabul edilebilir bir grafik çizmek mümkün değildir, ve Z = {s i } ij ( ) N 1 C(K) 1 + T (K)g(s i, s j )] = C(K) N 1 q N = q e K + q 1 Sınır etkilerini, yani zincirde N 1 bağ olmasını, ihmal ederek, konum başına serbest enerji βf ) (e N = ln K + q 1 olarak elde edilir. Aynı yöntemle, g(s n s m ) bağdaşıklık fonksiyonunu da hesaplayabiliriz. Sıfırdan farklı bir katkı elde etmek için, iki konumu doğrudan bağlayan grafiği düşünmemiz lazım. n > m olduğunu varsayarsak, bu g(s n s m ) = C(K)N Z = g(s n s m ) 1 + T (K)g(s i, s j )] {s i } ij = C(K)N Z = C(K)N Z T (K) n m {s i } g(s n s m )g(s m, s m+1 ) g(s n 1, s n ) T (K) n m q n m+1 (q 1)q N (n m) 1 = T n m (q 1) verir, burada (b) deki ilişkileri kullandık. (d) Kare ağ üzerindeki bölüşüm fonksiyonunu T 4 mertebesine kadar hesaplayın. Bu problemin 5

7 düşük sıcaklık açılımındaki ilk terimi de hesaplayın. Kare ağ için, yüksek sıcaklık serisindeki ilk terim, 4 bağlı bir kareden gelir. Böyle N kare vardır. Dolayısıyla, Z = {s i } ij ] C(K) 1 + T (K)g(s i, s j )] = C(K) N q N 1 + NT (K) 4 (q 1) + l tane bağı olan, kesişmesi olmayan herhangi bir ilmeğin T l q l (q 1) katkısı vereceğine dikkat edin. Diğer taraftan, düşük sıcaklıklarda, enerji, bütün spinlerin q olası değerlerinden birinde olduğu durumda en küçük değerini alır. En düşük enerjili uyarım, tek bir spinin farklı bir duruma geçmesidir, ve yozluk çarpanı N (q 1) ile enerji maliyeti K 4 dür, ve ] Z = qe NK 1 + N(q 1)e 4K + verir. (e) Düşük sıcaklık ve yüksek sıcaklık serilerindeki ilk terimleri kıyaslayarak, Potts modeli için bir eşleklik kuralı bulun. Yüksek mertebeden diyagramları merak etmeyin, onlarda da çalışacak! Tek bir geçiş sıcaklığı olduğunu varsayarak, K c (q) nun değerini bulun. Bu açılımları kıyaslayarak, Potts modeli için takip eden eşleklik koşulunu buluruz: e K = T (K) = ek 1 e K + q 1 Bu eşleklik kuralı, düşük sıcaklık açılımını, yüksek sıcaklık serisine, veya tersi, eşitler. Ayrıca, K K çiftlerini de birbirine eşler, çünkü, yukarıdaki bağıntıyı simetrik bir şekilde yazabiliriz ( e K ) ( ) 1 e K 1 = q ve dolayısıyla, tek bir tekil nokta K c varsa, öz-eşlek bir nokta olmalı: K c = K c, = K c = ln( q + 1) (f) Potts modeli için yüksek sıcaklık açılımındaki daha yüksek dereceden terimler, İsing modelininkilerden nasıl farklanır. q = için grafikleri birbirinden ayıran temel fark nedir? (Bu, neden sadece İsing modelinin çözülebilir olduğunun esas sebebidir.) Derslerde bahsedildiği gibi, q = olan Potts modeli, δ ss = (1 + ss )/ olduğunu kullanarak, İsing modeli ile eşlenebilir. Ancak, Potts modelinin, yüksek sıcaklık açılımındaki daha yüksek dereceden terimler, genel olarak, her konumdan üç veya daha fazla bağ çıkan grafikler içerir. Bu dizilimler, rastgele yürüyüşlere karşılık gelmez, kare ağdaki d-ising modeli için tanımlanan sınırlanmış olanlara bile karşılık gelmez. q g(s 1, s )g(s 1, s 3 )g(s 1, s 4 ) = q δ s s 3 δ s s 4 q (δ s s 3 + δ s s 4 + δ s3 s 4 ) + q s 1 =1 6

8 niceliği, q = de her zaman sıfırdır. (s, s 3 ve s 4 spinlerinin herhangi bir olası durumu için kontrol edilebilir), ama q > için, genel olarak sıfırdan farklıdır. Bu, q = durumunu ayıran temel farktır. 3. Potts modeli II: Alternatif bir açılım ******** exp Kδ(s i, s j )] = 1 + v(k)δ(s i, s j ) açılımından başlanarak elde edilir, burada v(k) = e K 1. Bu durumda, spinler üzerinden toplam, herhangi bir diyagramı götürmez, ve hertürlü bağları ağ üzerinde rastgele dağıtma tercihi kabul edilebilir. (a) h = i δ s i,1 manyetik alanını dahil ederek, bölüşüm fonksiyonunun Z(q, K, h) = bütün diyagramlar diyagramdaki bütün c kümeleri ( )] v nc b q 1 + e hn s şeklini aldığını gösterin, burada n c b ve nc s, c kümesindeki bağ ve konumların sayısıdır. Bu rastgele küme açılımı olarak bilinir. 1 doğrultusunda, simetriyi kıran bir alan dahil edersek, bölüşüm fonksiyonu Z = 1 + v(k)δ(s i, s j )] {s i } ij i e hδ s i,1 v(k) nın kuvvetleri şeklinde aşağıdaki şekilde açılabilir. Herzamanki gibi, ağda, N B tane en yakın komşu bağı vardır, bağlar üzerinden çarpım N B tane terim yaratır. Her terim, ağ üzerinde, eğer incelenen terimde vδ(s i, s j ) terimi varsa, i ve j konumlarını bağlayan bir bağ çizilerek, bir grafikle gösterilebilir. Dahil edilen her bağ, v(k) çarpanı ile bağladığı spinleri eşitleyen bir delta fonksiyonu taşır. Genel olarak bu bağlar, farklı boyut ve şekillerde kümeler oluşturur, ve her kümede, delta fonksiyonları, her köşedeki spinlerin eşit olmasını sağlar. Dolayısıyla, {s i } toplamı, her küme için, (q 1) + ehnc s çarpanı getirir, burada n c s kümedeki noktaların sayısıdır. Bu durumda, bölüşüm fonksiyonu Z(q, v, h) = bütün grafikler grafikteki kümeler ( )] v(k) nc b q 1 + e hn c olarak yazılabilir, burada n c b, c kümesindeki bağların sayısıdır, ve toplam bütün farklı küme toplulukları üzerindendir. Tek başına bir konum da, bu küme tanımına dahildir. İlk Potts modeli, tam sayı q için tanımlanmış olsa da, bu açılımı kullanarak, Z yi bütün q değerleri için hesaplayabiliriz. 7

9 all graphs clusters in graph where n c b is the number of bonds in cluster c, and the sum runs over all distinct cluster collections. Note that an isolated site is also included in this definition of a cluster. While the Potts İstatistiksel model wasmekanik originally II defined for integer q, using this expansion, we can evaluate Test 3 Z for all values of q. (b) Show that the limit q 1 describes a percolation problem, in which bonds are randomly distributed on the lattice with probability p = v/(v +1). What is the percolation threshold (b) q 1 limitinin süzülme problemine, ki bu problemde bağlar ağ üzerine p = v(v + 1) olasılığı on the square lattice? ile rastgele dağıtılır, denk olduğunu gösterin. Kare ağda, süzülme eşiği nedir? InBağ thesüzülmesi problem of probleminde, bond percolation, bağlar, ağda bondsbulunma are independently olasılıkları pdistributed olacak şekilde, on the bağımsız lattice, with olarak a probability dağılmışlardır. p of Dolayısıyla, being present. boş vethe işgal weight edilmişfor bağlardan a given oluşan configuration verilen bir of dizilimin occupied and ağırlığı absent bonds bonds is therefore ) c nb W (grafik) = (1 p) (1 p) zn p W (graph) = zn ( ) p n c b 1 p. grafikteki kümeler 1 p clusters in graph olarak verilir. (1 p) The prefactor of (1 zn ön p) zn çarpanı, hiç bağ içermeyen dizilimin ağırlığıdır. Yukarıdaki ağırlıklar, is merely the weight of the configuration with no bonds. The q = 1 (ve h = 0) için, açıkça Potts modelinin rastgele küme açılımındakilere özdeş olur. Açıkça, above weights clearly become identical to those appearing in the random cluster expansion p = v/(v + 1) almak, ve (1 + v) N genel çarpanını, ki v de analitiktir ve herhangi bir tekil özelliği etkilemez, ihmal etmek zorundayız. Bu limitteki 8 bölüşüm fonksiyonunun kendisi Z(1, v, h) = (1 + v) zn e hn olduğu için ilginç değildir. Diğer taraftan, kümelerin sayısı ile ilgili bilgiye, q 1 limitinde, ln Z(q, v) q = grafiğin olasılığı] e hn c q=1 bütün grafikler ifadesinin q 1 limitinden ulaşılabilinir. grafikteki kümeler Süzülme ile ilgili çesitli ilginç özellikler, yukarıdaki yaratma fonksiyonundan hesaplanabilir. Bu eşleştirme, süzülme noktasındaki, ki sürekli bir geometrik faz geçişidir, ölçeklenme yasalarını çıkarmamıza olanak sağlar. Kritik sıcaklığın benzerini, süzülme eşiği, p c, oynar, ki eşlekliği kullanarak p c = 1/ olarak hesaplanabilir(v = 1 olduğuna dikkat ettikten sonra). Bu eşiği elde etmenin alternatif bir yöntemi, süzülme probleminin kendisi için eşleklik kuralı bulmaktır: Problemi, benzer şekilde boş bağlar cinsinden, ve karşılık gelen q olasılıkları ile, düşünebiliriz. p, sıcaklık rolünü oynadığı için, düşük p yi, yüksek q ye ve tersine eşlemek mümkündür, öyle ki q = 1 p. O zaman, öz-eşlek nokta p = 1 p alarak elde edilebilir, ki burada p = 1/ elde edilir. (c) q 0 limitinde, ilk derecede, sadece tek bir bağlantılı kümenin katkı verdiğini gösterin. Bütün böyle kümelerin numaralanması dallanmış ağ hayvanlarının listelenmesi olarak bilinir. q = 0 da Z(q, v, h) bölüşüm fonksiyonu sıfıra gider, ancak, yeniden, ağın geometrik yapısı 8

10 hakkındaki bilgi, q 0 limitini uygun bir şekilde alarak elde edilebilir. Özellikle, v = q a x alırsak, Z(q, v = xq a, h = 0) = bütün grafikler x N b q Nc+aN b olur, burada N b ve N c toplam bağ ve küme sayısıdır. q 0 iken önde gelen q bağımlılığı, en küçük N c + an b sayısına sahip grafiklerden gelir, ve a nın değerine bağlıdır. 0 < a < 1 için, bunlar, ağın bütün konumlarını birbirine bağlayan (dolayısıyla N c = 1) ve hiç bir ilmek içermeyen (dolayısıyla N b = N 1), kapsayan ağaçlardır. Böyle kapsayan ağaçların x a(n 1) q an a+1 kuvveti vardır, ve bütün diğer grafiklerin daha yüksek q kuvvetleri vardır. a = 0 için, kuvvetini değiştirmeden, kapsayan ağaçlara, bütün konumlar bir tek kümeye bağlı kaldığı sürece, bağlar eklenebilir (ilmekler yaratarak). Bunların, dallanmış ağ hayvanları diye bilinen problemle ilgisi vardır. ******** 4. Potts eşlekliği: N konumlu kare bir ağa yerleştirilmiş Potts spinlerini düşünün, s i = (1,,, q), öyle ki en yakın komşularıyla βh = K <ij> δ si,s j Hamiltoniyeniyle etkileşsinler. (a) Yüksek ve düşük sıcaklık serilerindeki ilk birkaç terimi kıyaslayarak, veya başka herhangi bir yöntemle, bölüşüm fonksiyonunun, bir Ξ fonksiyonu için Z(K) = qe NK Ξ e K] ] N = q N e K e K ] 1 + q 1 Ξ e K + (q 1) özelliğinin olduğunu gösterin, ve buradan K c (q) kritik noktasını bulun. Düşük sıcaklık açılımı halini alırken, yüksek sıcaklık açılımı halini alır. ] Z = qe NK 1 + N(q 1)e 4K + qe NK Ξ e K] e K ] N ( + q 1 e Z = q N 1 K ) N(q 1) q e K + + q 1 ] N e q N e K K ] 1 + q 1 Ξ e K + q 1 Ξ için yukarıdaki serilerin ikisi de aslında aynıdır, ve e K = ek 1 e K + q 1 9

11 eşleklik sonucunu, ve kritik (öz-eşlek) noktasını K c = K c, = K c = ln( q + 1) olarak verir. (b) Z(K) için eşleklik ifadesinden, iç enerji U(K) = βh = ln Z/ ln K için benzer bir ilişki çıkarın. Bu sonucu kullanarak, U nun kritik noktadaki tam değerini hesaplayın. Bölüşüm fonksiyonu için eşleklik bağıntısı ln Z(K) = ln q + NK + ln Ξ e K] ] e = N ln q + N ln e K K ] 1 + q 1 + ln Ξ e K + q 1 verir. Bundan sonra, iç enerji U(K) K = K ln Z(K) = N e K ln Ξ e K] e K = N e K + q 1 + qe K e K ] 1 (e K ln Ξ + q 1) e K + q 1 ifadesinden elde edilir. ln Ξ, ln Ξ ın argümanına göre türevidir, ki genel olarak değeri bilinmezdir. Ancak, K c kritik noktasında, yukarıdaki ifadenin ln Ξ yüksek ve düşük sıcaklıktaki ifadeleri aynıdır. e Kc = 1 + q yerleştirerek, N ln Ξ c 1 + q = N + ln Ξ c q 1 + q, = ln Ξ c = q 1 N q ve elde ederiz. U(K c) K c = N ( q 1 ) q + 1, = U(K c ) = NK c q + q q ******** 5. Eşyönsüz Rastgele Yürümeler: Kare ağ üzerinde, (0, 0) orijin noktasından başlayan bütün rastgele yürüyüş topluluğunu düşünün. Her yürüyüşün ağırlığı t lc x t ly y olur, burada l x ve l y, sırasıyla, x ve y yönündeki adımların sayısıdır. (a) (x, y) de biten bütün yürüyüşlerin toplam ağırlığını W (x, y) hesaplayın. W nın sadece t = (t x + t y )/ < t c = 1/4 için iyi tanımlı olduğunu gösterin. 0, 0 W (l) x, y yi (x, y) de biten, l adımlı yürüyüşlerin toplam ağırlığı olarak tanımlarsak, ders notlarının VI.F bölümündeki adımları takip edebiliriz. Eşyönsüz durumda, denklem (VI.47) yi (l kere uygulanmış), kolayca x, y T l q x, q y = x,y x, y T l x, y x, y q x, q y = (t x cos q x + t y cos q y ) l x, y q x, q y olarak yazabiliriz, burada x, y q x, q y = e iqxx+iqyy / N. W (x, y) = l 0, 0 W (l) x, y olduğu 10

12 için, Fourier dönüşümü W (q x, q y ) = l = l 0, 0 T l x, y x, y q x, q y x,y (t x cos q x + t y cos q y ) l 1 = 1 (t x cos q x + t y cos q y ) olarak kolayca hesaplanabilir. Son olarak, geriye Fourier dönüşümü yaparsak W (x, y) = π π d q π (π) W (q x, q y )e iqxx iqyy = π d q (π) e iqxx iqyy 1 (t x cos q x + t y cos q y ) Serinin toplamı t x + t y < 1 olduğu sürece anlamlıdır (bütün q lar için), yani t = (t x + t y )/ < t c = 1/4 için. (b) Büyük x ve y için, ve geçişe yakınken W (x, y) = sabit eğrilerinin şekli nedir? Büyük x ve y için, yukarıdaki integrale asıl katkı küçük q lardan gelir. q x ve q y de ikinci dereceye kadar, integrali alınan ifadenin paydası olur. Bundan sonra, q i tq i tanımı ile, W (x, y) 1 (t x + t y ) + t x q x + t y q y d q (π) t x t y e iq v 1 (t x + t y ) + q ( elde ederiz, burada integral sınırlarını sonsuza uzattık, ve v = x y tx, ty ). Payda dönmeler altında değişmez olduğundan, integral sadece v vektörünün genliğine bağlı olabilir. Bir başka deyişle, W (x, y), x + y = sabit t x t y elipsleri boyunca sabittir. (c) Ortalama adım sayısı, l = l x + l y, t t c ye yaklaşırken nasıl ıraksar? l uzunluğundaki bütün yürüyüşlerin ağırlığı, son noktalarından bağımsız olarak, olarak verilir. Bundan dolayı 0, 0 W (l) x, y = 0, 0 T l q x = 0, q y = 0 = (t x + t y ) l = (4 t) l x,y l = l l(4 t) l ] l (4 t) l = 4 t (4 t) ln (4 t) l = 4 t (4 t) ln t = 4 t 1 4 t l yani l = t tekil değeri civarında doğrusal olarak ıraksar. t t c t 11

13 ******** 6. Eşyönsüz İsing Modeli: Kare ağ üzerinde, Hamiltoniyeni βh = x,y (K x σ x,y σ x+1,y + K y σ x,y σ x,y+1 ) olan, yani x ve y yönlerindeki bağ kuvvetleri farklı olan, eşyönsüz İsing modelini düşünelim. (a) Metinde tarif edilen yöntemi kullanarak, bu modelin serbest enerjisini hesaplayın. Çıkarımın her adımını yazmanız gerekmez. Sadece, eşyönsüzlükten dolayı değiştirilmesi gereken adımları gösterin; ve ln Z/N için sonucu hesaplayın. βh = (K x σ x,y σ x+1,y + K y σ x,y σ x,y+1 ) x,y Hamiltoniyeni Z = ( cosh K x cosh K y ) N t lx x t ly y ifadesine götürür, burada t i = tanh K i, ve toplam bütün kapalı grafikler üzerindendir. Eşyönlü durumu genişleterek f = ln Z N = ln( cosh K x cosh K y ) + l x,l y tlx x t ly y 0 W (l x, l y ) 0 l x + l y burada 0 W (l x, l y ) 0 = 1 ( 1) kesişmelerin sayısı ve üslü toplam, (0, 0) dan (0, 0) a, U dönüşsüz, bütün yönlendirilmiş (l x, l y )-adımlı yürüyüşler üzerindendir. Eşyönlü durumda olduğu gibi, bu, denklem (VI.66) da tanımlanan, ve Fourier dönüşümü ile blok köşegenleştirilebilen 4N 4N lik matrisin kuvvetlerini alarak hesaplanır. Ancak, her elemanı t ile çarpılan, eşyönlü durumdan farklı olarak, burada sırasıyla t x ve t y ile çarpılır, ve elde edilir, buradan f = ln( cosh K x cosh K y ) + 1 d q (π) İz ln 1 T (q) ] İz ln 1 T (q) ] = ln det 1 T (q) ] ] = ln (1 + t x)(1 + t y) t x (1 t y) cos q x t y (1 t x) cos q y ] cosh Kx cosh K y sinh K x cos q x sinh K y cos q y = ln cosh K x cosh K y elde edilir ki f = ln + 1 d q (π) ln(cosh K x cosh K y sinh K x cos q x sinh K y cos q y ) verir. 1

14 (b) Serbest enerjinin tekilliğinden, kritik sınırı (K x, K y ) düzleminde bulun. K x = K y koşuluyla örtüştüğünü gösterin, burada K, K ya standart eşlek etkileşimi gösterir. Logaritmanın argümanı q x = q y = 0 da en küçük değerini alır, ve ifadesine eşittir. Dolayısıyla, kritik çizgi ile verilir. Bu koşulun cosh K x cosh K y sinh K x sinh K y = 1 (e cosh Kx K y 1 e Kx cosh K y + 1 e Kx = cosh Ky + 1 cosh K y 1 = coth K y ) sinh K x = 1 (coth K y tanh K y ) = 1 sinh K y olarak yazılabileceğine dikkat edin, yani, kritik sınır K x = K y olarak tasvir edilebilir, burada eşlek etkileşimler K ve K, sinh K sinh K = 1 olarak ilişkilidir. (c) ln Z/N nin tekil kısmını bulun, ve eşyönsüzlüğün üstel ve genlik oranlarında kritik davranışı nasıl etkilediğini yorumlayın. Eşyönsüz durumda, ln Z/N nin tekil kısmı f T = 1 d q (π) ln ( ) e Kx cosh K y 1 e cosh Kx K y i=x,y q i sinh K i olarak yazılabilir. Bu ifadeyi, eşyönlü durumdaki serbest enerjinin tekil kısmına benzer bir şekilde yeniden yazmak için, q i = q i sinh K i ve δt = e Kx cosh K y 1 e Kx cosh K y + 1 alalım ((K x, K y ) kritik sınırı kesen bir eğri boyunca aktıkça doğrusal olarak sıfıra gider). Bundan sonra, 1 d q f T = sinh Kx sinh K y (π) ln(δt + q ) elde ederiz. Dolayısıyla, kritik sınıra yaklaştıkça (sinh K x sinh K y = 1), eşyönsüz durumdaki serbest enerjinin tekil kısmı gittikçe daha çok eşyönlü duruma benzer, ve üsteller ve genlik oranları, eşyönsüzlükle değişmez. (Genliklerin kendisi tabi ki konuma bağlıdır) ******** 7. d = İsing modelinin arayüz enerjisinin Müller-Hartmann Zittartz tahmini: (a) Kare ağda, bir yönde tekrarlanan sınır koşullu bir arayüz düşünün. Sarkıntıları ve adaları 13

15 h h N 1... N 7. Müller Hartmann Zittartz estimate of the interfacial energy of the d = Ising model on a square lattice: (a) ihmal Consider edersek, an dizilimler interface1on nthe square L için, hlattice n yükseklikleri with periodic ile işaretlenebilir. boundaryeşyönsüz conditions (Kin x, Kone y ) direction. etkileşimleri Ignoring olan İsing islands modeli and için, overhangs, x yönündeki the bir configurations arayüzün enerjisinin can be labelled by heights h n for 1 n L. Show that for an ansiotropicising model of interactions (K x, K Y ), the βh = K y L K x h n+1 h n energy of an interface along the x-direction is n olduğunu gösterin. βh = K y L K x h n+1 h n. Doyurulmamış her (+ ) bağı için, enerji, temel durum n enerjisine göre K i kadar artar, i = x eğer doyurulmamiş bağ dik ise, ve i = y eğer yataysa. Sallananları ve adaları ihmal edersek, For arayüzdeki each unsatisfied yatay bağların (+ ) sayısı bond, L iken, the dikey energy modların is increased sayısı byn h Kn+1 i from h n the olur, ground ki state energy, with i = x if the unsatisfied bond is vertical, and i = y if the latter is horizontal. Ignoring islands and overhangs, the number of horizontal L βh bond of the interface is L, while = K y L K x h n+1 h n the number of vertical bonds is n h n+1 h n, yielding n=1 verir. L (b) Sütundan sütuna taşıma βh matrisini = K h y L T K h x yazın, hve n+1 köşegenleştirin. h n. n=1 h T h exp( K (b) Write down a column to column transfer matrix y K x h h ) h T h, and diagonalize it. We olarak, canveya define matris şeklinde h T h exp ( K y K x h h ), 1 e Kx e 4Kx e HKx e HKx e ( H 1)Kx e Kx or, T in= matrix e Ky form, e Kx 1 e Kx e ( H 1)Kx e ( H +1)Kx e HKx e 4Kx e ( H 1)K e K x e 4K x e HK x e HK x x e K x 1 H H T = e K y ( e 1)K x e ( +1)K e K x 1 e K x x e HK x e 4K x tanımlayabiliriz, burada H, ağın dikine boyutudur. H limitinde, T kolayca köşegenleştirilebilir, çünkü her satır, bir öncekinden sütunları tek kaydırarak elde edilebilir. Böyle bir matrisin özvektörleri, birin karmaşık15 köklerinden elde edilir (bu, öteleme simetrisi olan 14

16 bir sistemin, Fourier modlarında köşegenleşmiş olması durumuna denktir.). (e i π K, e i π k., e i π k.3,, e i π k.(h+1)) özvektörünün özdeğeri H+1 λ k = e Ky n=1 T 1n e i π k.(n 1) olarak verilir. k = 1,, H + 1 e karşılık gelen H + 1 tane özvektörü olduğuna dikkat edin. (c) (b) deki sonucu kullanarak, veya herhangi başka bir yöntemle, arayüz serbest enerjisini hesaplayın H limitinde H+1 λ 1 = e Ky = e Ky n=1 H/ T 1n = e Ky 1 + n=0 H/ e Kxn n=1 e Kxn 1 = e Ky coth K x Şimdi, F = Lk B T ln λ 1. Alternatif olarak, bölüşüm fonksiyonunu doğrudan toplayabiliriz: Z = e KyL {h n} exp = e Ky ( K x L n=1 L e Kxd 1 d 0 h n+1 h n ) = e KyL d ) L = (e Ky coth K x exp( K x d ) ] L ki F = Lk B T ln(coth K x ) K y ] verir. (d) Arayüz serbest enerjisinin yok olması için, K x ve K y arasındaki koşulu bulun. Orijinal d İsing modelindeki kritik sınıra karşılık geliyor mu? Arayüz enerjisi, coth K x = e Ky için yok olur, ki daha önceki bir problemin sonucu ile çakışır. Bu, uzun dalgaboylu salınımların, arayüzler gibi, kritiklikte düzenin bozulmasından sorumlu olduğunu gösterir. ******** 8. Eşyönsüz Landau Teorisi: d boyutta, n bileşenli mıknatıslanma alanını düşünün. (a) Eşyönsüzlük üzerine önceki problemleri rehber olarak kullanarak, Landau-Ginzburg Hamiltoniyenini uzamsal eşyönsüzlüğü içerecek şekilde genelleştirin. Farklı uzamsal yönlerde, farklı çiftlenim sabitleri ile beraber spin uzayında dönme altında 15

17 değişmezlik koşulunu koymak, Hamiltoniyende aşağıdaki ana terimleri verir: t βh = d d x m(x) + d i=1 K i m. m ] + u m(q) 4 x i x i (b) Bu tür eşyönsüzlükler önemli midir? Açıkça, görünen eşyönsüzlük x i = K K i x i yeniden ölçeklenmesi ile ortadan kaldırılabilir. Üslü uzay koordinatları cinsinden, Hamiltoniyen eşyönlüdür. Özellikle, evrensel özellikler, eşyönsüz ve eşyönlü durumlarda özdeştir, ve dolayısıyla, eşyönsüzlük önemsiz dir (K i ler hiç biri yok olmadığı sürece). (c) La CuO 4 te, Cu atomları, düzlemlerdeki kare bir ağ üzerine yerleşmiştir, ve sonra düzlemler biraraya konmuştur. Her Cu atomu bir spin taşır, bu spinin klasik olduğunu ve uzayda herhangi bir yönü gösterebileceğini varsayacağız. Düzlemde çok kuvvetli antiferromanyetik etkileşimler vardır. Ayrıca, ard arda gelen düzlemleri hizalamaya çalışan çok zayıf bir etkileşim de vardır. Düşük sıcaklık manyetik fazı kabataslak çizin, ve düzen-düzensizlik geçişinin hangi evrensellik sınıfına ait olduğunu belirtin. Klasik spinler için, bu antiferromanyet ve ferromanyet çiftlenim birleşimleri, saf ferromanyetik (eşyönsüz) sisteme denktir, çünkü iki alt ağdan birindeki bütün spinlerin, zıt işaretle yeniden tanımlayabiliriz (mesela bölüşüm fonksiyonunda). Bundan dolayı, kritik davranışı d = 3, n = 3 evrensellik sınıfına aittir. Genede, öyle bir sıcaklık aralığı vardır ki, düzlem içi bağdaşıklık uzunluğu ağ aralığından uzunken, düzlemler arası bağdaşıklık uzunluğu ağ aralığı mertebesindedir. Bu durumda sistemin davranışı d =, n = 3 teorisi ile iyi tasvir edilir. ******** 9. Eşyönsüz Doğrusal olmayan σ modeli: n bileşenli, βh = ] 1 d d x T ( s) + gs 1 Hamiltoniyenine sahip, s(x) = (s 1,, s n ), α s α = 1 olmak üzerek, spinleri düşünün. g = 0 için, renormalizasyon gurubu denklemleri, mesafeleri b = e l çarpanı ile, ve spinleri ζ = b ys, y s = (n 1) 4π T olmak üzerek, çarpanı ile yeniden ölçekleyerek elde edilebilir, ve aşağıdaki denklemi verirler: dt dl (n ) = ɛt + T + O(T 3 ) π burada ɛ = d. (a) Sabit noktayı, ve termal özdeğer y T yi bulun. dt/dl yi sıfıra eşitlersek, sabit nokta T = πɛ n + O(ɛ ) 16

18 olarak elde edilir. Yineleme bağıntılarını doğrusallaştırmak y T = ɛ + (n ) T = +ɛ + O(ɛ ) π verir. (b) g için renormalizasyon gurubu denklemini, yukarıdaki sabit nokta civarında yazın, ve karşılık gelen özdeğeri y g elde edin. x bx ve s ζ s yeniden ölçeklemeleri, g g = b d ζ g verir, ve dolayısıyla y g = d + y s = d n 1 π T = + ɛ n 1 n ɛ = 1 n ɛ + O(ɛ ) (c) Faz diyagramını T ve g nin fonksiyonu olarak, fazları gösterek ve g 0 iken faz sınırının şekline dikkat ederek, kabataslak çizin. g ile orantılı terim, dönme simetrisini kaldırır ve problem çözme saatlerinde tartışılan ikili kritik faz diyagramını verir. g < 0 için fazın 1 yönünde düzeni varken, g > 0 için, 1 yönüne dik (n 1) yönden herhangi birini tercih eder. g 0 iken, faz sınırları g (δt ) φ olarak davranır, φ = y g /y t /ɛ + O(1) olmak üzere. ******** 10. Matris modelleri: Bazı durumlarda, düzen parametresi bir vektör yerine bir matristir. Mesela, üçgensel (Heisenberg) antiferromanyetlerde, her spin üçlüsü, 10 ile hizalanarak, 17

19 yerel olarak bir düzlem belirlerler. Bu düzlemin sistem boyunca değişimleri 3 3 lük bir dönme matrisi ile gösterilir. Bu problemin genelleştirilmiş halini tasvir etmek için doğrusal olmayan bir σ modelini aşağıdaki gibi oluşturabiliriz. βh = K 4 ] d d xiz M(x) M T (x) Hamiltoniyenini düşünün, burada M, reel, N N ortagonel bir matristir, ve İz iz alma işlemini gösterir. Ortagonellik koşulu, MM T = M T M = I, burada I N N birim matristir, ve M T devrik matristir, M T ij = M ji. Bölüşüm fonksiyonu, bütün matris fonksiyonelleri üzerinden toplama yaparak elde edilir: Z = ( ) DM(x)δ M(x)M T (x) I e βhm(x)] (a) Hamiltoniyeni ve ortagonellik koşulunu, M ij, (i, j = 1,, N) matris elemanları cinsinden yeniden yazın. Sistemin temel durumunu tasvir edin. Matriks elemanları cinsinden, Hamiltoniyen βh = K 4 d d x i,j M ij M ij halini alır, ve diklik koşulu M ik M jk = δ ij k olur. M ij M ij 0 olduğu için, herhangi bir sabit (uzamsal olarak düzgün) ortagonel matris, temel durumu oluşturur. (b) Simetrik ve anti-simetrik matrisleri { σ = 1 (M + M T ) = σ T π = 1 (M M T ) = π T şeklinde tanımlayın. βh ve ortagonellik koşulunu, σ ve π matrisler cinsinden ifade edin. M = σ + π ve M T = σ π olduğundan, βh = K 4 d d xiz (σ + π) (σ π)] = K 4 d d xiz ( σ) ( π) ] burada (kolayca kontrol edilebileceği gibi) σ ve π matrislerinin komütatorlerinin sıfır olduğunu kullandık. Benzer şekilde, diklik koşulu σ π = I şeklinde yazılır, burada I birim matristir. (c) Düzenli durum M(x) = I etrafında küçük salınımları düşünün. σ nın π nin kuvvetleri cinsin- 18

20 den σ = I 1 ππt + şeklinde yazılabileceğini gösterin. Ortagonallık koşulunu kullanarak, σ integralini alın, ve βh için π de dördüncü dereceden bir ifade elde edin. İki farklı türden dördüncü derece terim olduğuna dikkat edin. Delta fonksiyonunun argumanı tarafından yaratılan terimleri dahil etmeyin. Metinde, doğrusal olmayan σ modeli için gösterildiği gibi, bu terimler sonucu en düşük mertebede etkilemez. σ = I + π = I ππ T ifadesinin karekökünü almak σ = I 1 ππt + O(π 4 ) verir (I ππ T / nin karesini alarak kolayca kontrol edilebilir.) Şimdi, σ nin integralinı alarak, Z = { K Dπ(x) exp 4 d d xiz ( π) 1 ( ) ]} (ππ T ) 4 elde ederiz, burada Dπ(x) = j>i Dπ ij(x), ve π köşegeninde sıfırlar olan, ve köşegenin altındaki elemanları π ij = π ji olan bir matristir. Deltanın argümanları tarafından yaratılan terimleri katmadığımıza dikkat edin. Böyle terimler, ki π integralinin ölçütünün simetrik olmasını sağlar, en düşük mertebede K nin renormalizasyonuna katkı vermez. Dördüncü mertebeden terimlerin katkısının, π ve π nin yer değiştirememesinden dolayı, iki türlü olduğuna dikkat edin. Gerçekten de (ππ )] T = ( π )] = ( π)π + π π] ve, iz, devirli yerdeğişimlerle değişmediği için, = ( π)π ( π)π + ( π)π π + π( π) π + π( π)π π İz (ππ )] T = İz (π π) + π ( π) ] (d) N-vektör düzen parametresi için, N 1 Goldstone modu vardır. Ortagonel N N düzen parametersinin N(N 1)/ böyle moda yol açtığını gösterin. π nin antisimetrisi, N N matris elemanı için, N(N +1)/ koşul getirir, ve dolayısıyla matrisin N N(N + 1)/ = N(N 1)/ bağımsız bileşeni (Goldstone modları) vardır. Benzer O(n) modelindeki hesapta, spinlerin genliğini bire eşitleyen bir koşul vardır; ve geri kalan n 1 açısal bileşen Goldstone modlarıdır.] (e) βh in ikinci derece kısmını düşünün. İki nokta bağdaşlık fonksiyonun, Fourier uzayında π ij (q)π kl (q ) = (π)d δ d (q + q ) Kq δ ik δ jl δ il δ jk ] 19

21 olduğunu gösterin. π ij (q) Fourier bileşenleri cinsinden, (c) deki Hamiltoniyenin ikinci dereceden kısmı βh 0 = K i<j d d q (π) d q π ij (q) olur, ki aşağıdaki çıplak beklenen değerlere yol açar: π ij (q)π ij (q ) 0 = (π)d δ d (q + q ) Kq ve π ij (q)π kl (q ) 0 = 0, eger (ij) ve (kl) çiftleri farklı ise Dahası, π antisimetrik olduğu için, ve özellikle π ii (q)π jj (q ) 0 = 0. Bu sonuçlar olarak özetlenebilir. π ij (q)π ji (q ) 0 = π ij (q)π ij (q ) 0 π ij (q)π kl (q ) 0 = (π)d δ d (q + q ) Kq (δ ik δ jl δ il δ jk ) Şimdi, q değeri λ/b < q < Λ kabuğundan olan M > (q) modlarını kaldırarak, renormalizasyon gurubunu oluşturacağız. (f) Bu modları kaldırdıktan sonra, düşük sıcaklıklarda, İz(σ) > 0 kabalaştırılmış beklenen değerini hesaplayın. İz(M ) = İz(σ ) = N yapan, M (x ) = M < (x)/ζ ölçekleme çarpanını belirleyin Kısa dalgaboylu salınımların sonucu olarak, İzσ ( ) > İzσ > 0 = İz I + π + N + 1 İzπ > 0 0 = N + 1 π ij π ji > = N 1 πij i j 0 i j ( = N 1 N 1 Λ d d ) q 1 (π) d Kq = N Λ/b > 0 = N 1 (N N) π ij > 0 1 N 1 K ] I d(b) ifadesine indirgenir. İzM = İzσ = N yi yeniden sağlamak için, matrisin bütün elemanlarını ζ = 1 N 1 K I d(b) ile ölçekleriz. NOT: Ortanormal bir M matrisinin tersi vardır (M 1 = M T ), ve dolayısıyla, köşegenleştirilebilir. Köşegenel halde, devrik matris, matrisin kendisine eşittir, ve dolayısıyla karesi birimdir, ki bu da her öz değerin ya +1 ya da 1 olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, eğer M, birim matrise çok 0

22 yakın seçilirse, bütün özdeğerler +1 olur, ve İzM = N (iz koordonat bazından bağımsız olduğu için) (g) Tedirgeme kuramını kullanarak, kabalaştırılmış çiftlenim sabitini K hesaplayın. Sadece, βh deki ( π ij ) terimini doğrudan renormalize eden iki diyagramı hesaplayın ve K = K + N Λ Λ/b d d q 1 (π) d q olduğunu gösterin. Daha büyük ve daha küçük modları ayrıştırarak, bölüşüm fonksiyonunu Z = Dπ < Dπ > e βh< 0 βh> 0 +Uπ<,π >] = Dπ < e δf b 0 βh< 0 e U > olarak yazarız, burada H 0 ikinci dereceden kısmı, ve U = = K 8 = K 8 i,j,k,l i,j,k,l d d x ( π ij )π jk ( π kl )π li + π ij ( π jk ) ( π kl )π li ] d d q 1 d d q d d q 3 (π) 3d (q 1 q 3 + q q 3 ) π ij (q 1 )π jk (q )π kl (q 3 )π li ( q q q 3 )] ifadesini gösterir. U de birinci mertebeye kadar, aşağıdaki iki ortalama, K nın renormalizasyonuna katkı verir: 0 (i) K 8 = K 8 i,j,k,l ( Λ Λ/b d d q 1 d d q d d q 3 > (π) 3d π jk > (q )π li > ( q 1 q q 3 ) (q q 3 )π < 0 ij (q 1)π kl < (q 3) d d q ) 1 Λ/b d d q (π) d Kq 0 (π) d q π ij < (q)π< ji ( q) i,j ve (ii) K 8 = K 8 j,k,l d d q 1 d d q d d q 3 (π) 3d (N 1) Λ Λ/b > π ij > (q )π li > ( q 1 q q 3 ) (q q 3 )π jk < (q )π kl < (q 3) i j,l d d q 1 ] Λ/b (π) d Kq 0 d d q (π) d q π jk < (q)π< kj ( q) j,k 0 İki katkıyı da toplayarak, etkin çiftlenim olarak elde edilir. K 4 = K 4 + K 8 N Λ Λ/b d d q 1 (π) d Kq, yani N K = K + I d(b) 1

23 (h) (f) deki sonucu kullanarak, matris yeniden ölçeklemesinden sonra, K için RG denkleminin K = b d K N Λ Λ/b d d ] q 1 (π) d q olarak verildiğini gösterin. Kabalaştırma, alanları renormalize etme,ve yeniden ölçeklemeden sonra K = b d ζ K = b d 1 N 1 K ] I d(b) ] = b d K N I d (b) + O(1/K) yani, banal olmayan en düşük mertebede, K = b d K N Λ Λ/b K d d ] q 1 (π) d q 1 + N ] K I d(b) (i) T = 1/K için, differansiyel RG denklemlerini b = 1 + δl alarak elde edin. d < ve d = için akışları kabataslak çizin. d = + ɛ için, T c ve kritik üstel ν yü hesaplayın. Differansiyel yineleme bağıntıları, çok küçük b = 1 + δl den olarak elde edilir, ki K = K + dk dl δl = 1 + (d )δl] dk dl K N N = (d )K K d Λ d ] K d Λ d δl verir. T = 1/K için karşılık gelen denklemi elde etmek için, yukarıdaki bağıntıyı K ye bölerek, dt N = ( d)t + K d Λ d T dl elde edilir. d < için, her zamanki iki ilginç olmayan sabit nokta vardır: 0 (karasız) ve (kararlı). Sistem, yüksek sıcaklıklara, kabalaştırma ile eşleştirilir. Aynısı d = ve N > için de geçerlidir. d > için, 0 da da kararlıdır, ve ilginç bir sabit nokta sonlu sıcaklıkta ortaya çıkar, ve dt/dl = 0 ile verilir, yani T = Sabit noktanın civarında, akışlar δt = 1 + d ( ) ] dt δl δt = dt dl T = (1 + ɛδl)δt (d ) 4πɛ = (N )K d Λd N + O(ɛ ) { 1 + ( d) + (N )K d Λ d T ] } δl δt

24 Dolayısıyla, δt = b y T δt = (1 + y T δl)δt ifadesinden, y T = ɛ, ve ν = 1 ɛ elde ederiz. (j) Hamiltoniyene eklenen küçük bir simetri kıran terimi h d d xiz(m) düşünün. h nin renormalizasyonunu bulun ve karşılık gelen y h üstelini belirleyin. Herzamanki gibi, h ( h = b d ζh = (1 + dδl) ( = 1 + d N 1 K K N 1 K K dλ d ) K dλ d δl ] ) δl + O(δl ) denklemine göre renormalize olur. h = b y hh = (1 + y h δl)h ifadesinden, y h = d N 1 K K dλ d = d N 1 (d ) = ɛ N N + O(ɛ ) elde ederiz. RG ve simetri ispatlarını birleştirerek, 3 3 matris modelinin, tedirgemeli olarak N = 4 vektör modeline bütün mertebelerde eşit olduğu gösterilebilir. Bu, yığınlanmış üçgensel antiferromanyetlerin, O(4) evrensellik sınıfının bir gerçeklemesini sunduğu anlamına gelebilir; bkz. P. Azaria, B. Delamotte, ve T. Jolicoeur, J. Appl. Phys. 69, 6170 (1991). Ancak, tedirgeme dışı (topolojik özellikler) S.V. Isakov, T. Senthil, Y. B. Kim, Phys. Rev. B 7, (005) de tartışıldığı gibi, bu denkliği ortadan kaldırıyor gibi görünüyor. ******** h h 11. Pürüzleşme geçişi: d = 3 te βh 0 = K d x( h) Hamiltoniyeni ile tarif edilen sürekli arayüz modelini düşünün, burada h(x), x noktasındaki arayüzün yüksekliğidir. Kristalize bir yüz için, h nin mümkün değerleri, ağ aralığının katlarıdır. Süreklilikte, h nin tamsayı değerleri için eğilimi, Hamiltoniyen e βu = y 0 d x cos(πh) terimi eklenerek taklit edilebilir. βu yu tedirgeme olarak ele alın, ve aşağıdakileri takip ederek, renormalizasyon gurubunu oluşturun: (a) α q α = 0 için exp i α ] q α h(x α ) = exp 1 q α q β C(x α x β ) K 0 α<β 3

25 olduğunu, aksi takdirde, sıfır olduğunu ispatlayın. (C(x) = ln x /, iki boyutta Coulomb etkileşimidir.) Hamiltoniyenin öteleme simetrisi, exp i α q αh(q α )] 0 ın α q α = 0 değilse yok olmasını sağlar, ki aşağıdaki bağıntıdan çıkarılabilir: exp ( iδ α q α ) exp i α q α h(q α ) ] 0 = = exp exp { i α i α q α h(q α ) + δ] q α h(q α ) Son eşitlik, Hh(x) + δ] = H h(x)] simetrisinden gelir. Gaussiyan ortalamaların özelliklerini kullanarak, exp i ] q α h(q α ) = exp 1 q α q β h(x α )h(x β ) 0 α 0 αβ = exp 1 q α q β (h(q α ) h(x β )) 4 0 αβ alabiliriz. h(x α )h(x β ) 0 niceliğinin, h(x) h(x) + δ simetrisinden dolayı muğlak olduğuna dikkat ediniz. α q α = 0 olduğu zaman, yukarıdaki toplamdaki bu niceliği, yükseklik farkıyla (h(xα ) h(x β )) 0, ki bu simetriden bağımsızdır, yer değiştirebiliriz. (Bu belirsizlik, yada simetri, ikici dereceden çekirdeğin, sıfır özdeğere sahip olmasından kaynaklanır, ki bu, tersini alırken dikkat etmemiz gerektiği anlamına gelir.) Şimdi, herzamanki gibi devam edebiliriz, ve exp burada i α q α h(x α ) ] 0 ] 0 } = exp q α q β d ( q e iq x α e iq x ) ( β e iq xα e iq x ) β 4 (π) Kq α,β = exp d q 1 cos(q (x α x β )) q α q β (π) Kq α<β = exp 1 q α q β C(x α x β ) K C(x) = α<β d q 1 cos(q x) (π) q = 1 x ln π a iki boyutta, a kısa mesafe sınırlı Coulomb etkileşmesidir. (b) h(x) h(y) = d dk G k(x y) k=0 olduğunu ispatlayın, burada G k (x y) = exp ik (h(x) h(x))] olmak üzere

26 G k (x y) nin tanımından, Bu özdeşlikte, k yı sıfır alırsak, d dk G k(x y) = h(x) h(y)] exp ik(h(x) h(y))] h(x) h(y)] = d dk G k(x y) özdeşliğini buluruz. (c) (a) daki ( sonuçları kullarak, G k (x y) yi y0 mertebesine kadar hesaplayın. (İpucu: cos(πh) = e iπh + e iπh) / olarak alın. İlk terim, (a) daki sonuca göre yok olurken, ikinci mertebe katkı, yapı olarak, bu bölümde daha önce tasvir edilen Coulomb gazıyla özdeştir.) İpucunu takip ederek, tedirgemeyi U = y 0 d x cos(πh) = y 0 k=0 d x e iπh + e iπh] olarak yazarız. G k (x y) = exp ik(h(x) h(y))] G k (x y) için tedirgeme açılımı G k = G k 0 ( G k U 0 G k 0 U 0 ) + 1 ) ( G k U 0 G k U 0 U 0 + G k 0 U 0 G k 0 U 0 + O(U 3 ) olarak hesaplanır. (a) kısmından, U 0 = G k U 0 = 0 ve Dahası, U 0 = y 0 = y 0 G k 0 = exp ] k C(x y) K ( x y = a d x d x exp iπ(h(x ) h(x )) ] 0 d x d x G π (x x ) 0 = y 0 ) k πk d x d x exp ] (π) K C(x x ) ve benzer şekilde exp ik(h(x) h(y))] U 0 = { = y 0 d x d x exp k (π) C(x y) K K C(x x ) + πk K C(x x ) + C(y x ) ] πk K C(x x ) + C(y x ) ]} 5

27 Dolayısıyla, G k (x y) nin ikinci derece kısmı ve y 0 4 exp { exp ] ] k C(x y) d x d x exp 4π K K C(x x ) ] πk K (C(x x ) + C(y x ) C(x x ) C(y x )) G k (x y) = e k K {1 C(x y) + y 0 4 } 1 ( } ) d x d x e 4π K C(x x ) e πk K D 1 + O(y0) 4 olur, burada D = C(x x ) + C(y x ) C(x x ) C(y x ). (d) Tedirgeme sonucunu, etkin bir etkileşme K cinsinden yazın, ve kritik bir K c den büyük K için, tedirgeme kuramının uygulanamaz olduğunu gösterin. G k (x y) için yukarıdaki ifade, XY modelindeki girdaplardan oluşan Coulomb gazının renormalizasyonunda elde ettiğimize çok benzer. Ders notlarındaki adımları takip ederek, daha fazla işlem yapmadan G k (x y) = e k K C(x y) {1 + y = e k K C(x y) { 1 + π3 k K y 0C(x y) ( ) πk C(x y) π K } drr 3 π ln(r/a) e K buluruz. İkinci mertebe terim, üstele atılabilir, ve etkin çiftlenim sabitine 1 = 1 K etkin K π3 K eπ/k y0 drr 3 π/k a } drr 3 π ln(r/a) e K şeklinde katkı verir. Açıkça, yukarıdaki integral ıraksarsa, tedirgeme kuramı tutarsızdır, yani eğer K > π K c (e) (d) kısmındaki tedirgeme sonucunu, ağ aralığını a dan ae l e değiştirerek, K ve y 0 için, renormalizasyon gurup denklemleri haline sokun, İntegrali a dan ab ye ve ab den a kadar iki kısma böldükten, ve ikinci kısımdaki integral değişkenini, herzamanki integral limitlerini elde etmek için yeniden ölçekledikten sonra, 1 = 1 K etkin K π3 ab K aπ/k y0 drr 3 π/k π3 a K aπ/k y0b 4 π/k drr 3 π/k a elde ederiz. (y 0 mertebesine kadar, fark yaratmadan, son terimde K veya K (aşağıda tanımlanmıştır) yazabiliriz) Bir başka deyişle, kabalaştırılmış sistem, şekil olarak aynı, ama renormalize edilmiş niceliklerler 1 K = 1 K π3 ab K aπ/k y0 drr 3 π/k a 6

28 ve y 0 = b 4 π/k y 0 cinsinden tanımlanmış etkileşimlerle tanımlanır. b = e l 1 + l ile, bu RG bağıntıları, renomalizasyon gurubu akışlarını tasvir eden aşağıdaki differansiyel denklemler şeklinde yazılır { dk dl = π 3 a 4 y 0 + O(y4 0 ) dy 0 dl = ( π K ) y0 + O(y 3 0 ) (f) Yineleme bağıntılarını kullanarak, modelin faz diyagramını ve fazlarını tartışın. Bu RG denklemleri, XY modelininkilere benzerler, (buradaki) K, Coulomb gazındaki T nin yerini alır. Sıfırdan farklı y 0 için, K önemlidir, ve dolayısıyla, daha büyük değerlere akar (tedirgeme alanının dışına) eğer y 0 da önemliyse (K > π/), ki düşük sıcaklıklarda (T K 1 ), pürüzsüz bir fazın var olduğunu ima eder. K nın küçük değerlerinde, y 0 önemsizdir, ve akışlar y 0 = 0 ve K π/ olan bir sabit çizgide biter, ki yüksek sıcaklıklarda pürüzlü bir faza karşılık gelir. (g) Büyük x y aralıkları için, geçişte, h(x) h(y) nin süreksiz sıçramasının genliğini bulun. Geçişin civarında uzun mesafe bağdaşıklıklarını hesaplamak istiyoruz. Denk olarak, kabalaştırılmış bağdaşıklıkları hesaplayabiliriz. Eğer sistem, K = π/ ve y 0 0 da hazırlanmışsa, kabalaştırma altında, K π/ ve y 0 0, ki verir. (b) kısmından, G k (x y) G k 0 = exp ] k C(x y) π h(x) h(y)] = d dk G k(x y) = 4 k=0 π C(x y) = ln x y π Diğer taraftan, eğer sistem K = π/ + da hazırlanmışsa, o zaman RG altında, K (K nın önemliliğinin tedirgeme bölgesinin dışında da geçerli olduğunu varsayarsak), ve Dolayısıyla, geçişte, olur. h(x) h(y)] 0 h(x) h(y)] ın genliğindeki atlama ln x y π ******** 1. Pürüzleşme ve eşleklik: Bir önceki problemdeki Hamiltoniyenin kesikleştirilmiş halini düşünün, öyle ki kare ağın her i konumunda, tam sayı değerli bir yükseklik vardır h i. 7

29 Hamiltoniyen βh = K <i,j> h i h j olarak verilir, burada kuvveti, h = 0 için hiçbir enerji maliyeti olmadığı; h = ±1 için K/ kadar enerji maliyeti olduğu, ve h = ± veya daha fazla olmasının, komşu konumlar için mümkün olmadığı anlamına gelir. (Bu, sınırlanmış katı üzerine katı (SKÜK) modeli olarak bilinir) (a) Eşlek modeli diyagramatik olarak, veya şu adımları takip ederek oluşturunuz: (i) N konum değişkeninden h i, N bağ değişkenine n ij = h i h j geçin. n ij nin herhangi bir plaka etrafındaki toplamının sıfır olduğunu gösterin. (ii) n tamsayıları için, π 0 dθe iθn /π = δ n,0 özdeşliğini kullanarak, koşulları zorlayın. (iii) Koşulları zorladıktan sonra, n ij değerleri üzerinden toplamı serbestçe yaparak, komşu plaklar üzerindeki eşlek değişkenler θ i arasındaki eşlek etkileşimi ṽ(θ i θ j ) elde edin. (i) Bağ değişkenleri n ij = h i h j cinsiden, Hamiltoniyen βh = K n ij ij olarak yazılır. Açıkça herhangi bir kapalı ilmek n ij = h i1 h i + h i h i3 + + h in 1 h in = 0 çünkü kapalı bir ilmekte h i1 = h in olur. (ii) Bu koşul, N plakaya uygulanırsa, serbestlik derecelerini görünürdeki N den (bağlar), gerçek sayı N ye indirir, ve bölüşüm fonksiyonu Z = {n ij } e βh α δ ij nα ij,0 halini alır, burada α indeksi N plakayı etiketler, ve n α ij sadece eğer ij bağı α plakasına aitse, sıfırdan farklıdır ve n ij ye eşittir. Kronecker delta yı üstel gösteriminde yazarsak Z = {n ij } e K ij n ij α π dθ α 0 π eiθα n α ij ij elde ederiz. (iii) Her bağ iki komşu plağa ait olduğu için, bağları ij yerinde αβ ile etiketleyebiliriz, ki buradan Z = = ( π γ 0 ( π γ 0 ) dθ γ π {n αβ } ) dθ γ π αβ exp { K } n αβ + i(θ α θ β )n αβ αβ exp ({ K }) n αβ n αβ + i(θ α θ β )n αβ 8