(MAM2004 ) Burulma (Torsion) Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "(MAM2004 ) Burulma (Torsion) Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ"

Ece Özker
5 yıl önce
İzleme sayısı:

TEKNOLOİ FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ (MAM00 )

Garip GENÇ Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri,

Nihat AKKUŞ Yardımcı Kaynaklar: Mechanics of

DeWolf Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C.

Mehmet Zor Page 1 Dairesel Kesitli Çubukların

çok rastlanan yükleme tiplerinden birisi dairesel

1 TEKNOLOİ FAKÜLTESİ MEKATRONİK MÜHENDİSLİĞİ (MAM00 ) Burulma (Torsion) Mukavemet Doç. Dr. Garip GENÇ Ders Kitabı : Mekanik Tasarım Temelleri, Prof. Dr. Nihat AKKUŞ Yardımcı Kaynaklar: Mechanics of Materials, (6th Ed) F. P. Beer E. R. ohnston, r.. T. DeWolf Mechanics of Materials (10th Ed.), R. C. HIBBELER Mukavemet - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor Page 1 Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması Endüstriyel uygulamalarda en çok rastlanan yükleme tiplerinden birisi dairesel kesitli millere gelen burulma momentleridir. Burulma momenti vektörü sağ el kaidesine göre çubuk ekseni doğrultusundadır. Page 1

Bu konuda ilk amacımız burulma momenti sebebiyle mil kesitinde (dairesel kesitte) oluşan gerilmelerin

Sünek malzeme Hasar şekilleri Gevrek malzeme Page 3 Millerin burulması için yapılan kabuller Dairesel

Gözlemlere dayanarak, burulmaya maruz bir milde, elastik sınırlar içerisinde aşağıdaki kabuller

orantılı olarak değişir. Tüm düzlem dairesel kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez.

(Dairesel kesitli olmayan elemanlarda çarpılma oluşur) Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi

2 Bu konuda ilk amacımız burulma momenti sebebiyle mil kesitinde (dairesel kesitte) oluşan gerilmelerin dağılımını bulmak ve her bir noktadaki değerini hesaplamaktır. Sünek malzeme Hasar şekilleri Gevrek malzeme Page 3 Millerin burulması için yapılan kabuller Dairesel kesitli çubuk elemanlara mil (shaft) denir. Gözlemlere dayanarak, burulmaya maruz bir milde, elastik sınırlar içerisinde aşağıdaki kabuller yapılabilir: Dönme veya başka ifade ile burulma açısı (f) uygulanan tork değeri ve uzunlukla doğru orantılı olarak değişir. Tüm düzlem dairesel kesitler düzlem kalır ve şekli değişmez. Kesitlerde herhangi bir çarpılma olmaz. (Dairesel kesitli olmayan elemanlarda çarpılma oluşur) Kesit üzerine çizilen (markalanan) bir çap çizgisi burulma sonrası yine düz kalır. Bu kabullerden yola çıkarak, dairesel kesitli bir çubuk elemanda elastik yüklemede, burulma açısı küçük olduğunda, şaftın uzunluğunun ve yarıçapının değişmeden kalacağını varsayabiliriz. Dolayısı ile burulma sonrası oluşan gerilme dağılımları ve şekil değiştirmeler hesaplanabilir. Page

Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesabı: Bir mil her iki ucundan elastik sınırlar içinde burulma momentine

Denge halindeki milin hayali bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisi ile

göre momentlerinin toplamı : iç momente eşittir.

f L f (Hooke Bağıntısı) G G.. L f f T da. G.. da G.. da L L. da : : kesitin polar atalet momenti T G. f. L f T.

3 Gerilme ve Şekil Değiştirme Hesabı: Bir mil her iki ucundan elastik sınırlar içinde burulma momentine maruz olsun. Denge halindeki milin hayali bazda ayırdığımız her bir parçası da iç ve dış kuvvetlerin etkisi ile dengededir (ayırma prensibi) df : da diferansiyel elemanına düşen iç kuvvet ρdf: df kuvvetlerinin merkeze göre momentlerinin toplamı : iç momente eşittir. T iç T df da Page 5 A A Kayma şekil değiştirmesi dönme açısı ve radyüsle orantılıdır f AA' yay uzunlugu L f L f (Hooke Bağıntısı) G G.. L f f T da. G.. da G.. da L L. da : : kesitin polar atalet momenti T G. f. L f T. L G. G. T. L. L G. T T : burulma momenti (tork) (N.mm) τ : kayma gerilmesi (N/mm ) f: burulma (dönme) açısı (radyan) : dairesel kesitin polar atalet momenti (mm ) G: Malzeme Rijitlik modülü (MPa) İçi dolu mil c. d d c c 3 d 3 İçi boş mil Page 6 3

4 Dairesel kesitteki kayma gerilmesi dağılımı: Kesit merkezinden r kadar uzak bir noktada kayma gerilmesi: Bir kesitteki T ve değeri sabittir. Değişen sadece merkezden olan uzaklık ( değeridir. Buna göre: 1. Merkezden aynı uzaklıktaki yani aynı çember üzerindeki noktalardaki (örn: a, b, c noktalarındaki) gerilmeler birbirlerine eşittir.. Dışa doğru gidildikçe artacağı için, gerilmeler de (doğrusal olarak) artar. c b r a T T Tr Page 7 3. Maksimum gerilme en dış çemberde ortaya çıkar. Zira dış çemberde = r dir.. Merkezde ise 0 olduğu için gerilme sıfırdır. 5. Kayma gerilmeleri çemberin o noktadaki teğeti doğrultusundadır. τ = Tρ = T. r c r a T Tr T T.c Bazen r yerine c kullanılabiliyor. b Page 8

Burulma Açısı (f f TL G Bu açı mil ekseni (x) etrafında mil kesitlerinin birbirlerine göre dönme miktarını verir.

5 Kayma gerilmesinin kesitteki dağılımı τ = F A τ = T. r Düşey bir kesme kuvveti nedeni ile oluşan kayma gerilmesi Burulma momentinden kaynaklanan kayma gerilmesi Page 9 Burulmada Şekil Değiştirme: Elastik Bölgede Burulma Açısı (f f TL G Bu açı mil ekseni (x) etrafında mil kesitlerinin birbirlerine göre dönme miktarını verir. Ve burulmadaki hiperstatik problemler için kullanılır. Bu formül; Milin her iki uç kesitte eşit ve zıt T burulma momenti vardır. Arada başka bir moment yoktur. L boyunca malzeme ve kesit geometrisi aynıdır. G Not: Bu şartlardan en az birisi sağlanamıyorsa mil kademelidir, bölgelere ayrılarak çözülür. f B / A TL G Page 10 5

Page 11 (f) açısının işareti: İncelediğimiz kesite karşıdan dik olarak baktığımızda kesitteki İç moment (Tiç) yönü: Saat

6 Kademeli millerde Burulma açısı: f i Ti Li G i i Kademeli mil örneği Herbir bölgede, L boyunca; T (dış yük), (kesit) ve G (malzeme) sabit olmalıdır. Bunlardan birisi değişirse bölge değişir. Page 11 (f) açısının işareti: İncelediğimiz kesite karşıdan dik olarak baktığımızda kesitteki İç moment (Tiç) yönü: Saat ibresi yönünde ise f açısı pozitif ( + ) alınır. Saat ibresi tersi yönünde ise işareti negatif ( - ) alınır. I I kesimleri Saat ibresi tersi yönünde Saat ibresi yönünde Page 1 6

Örnek Şekildeki boru için emniyetli kayma gerilmesi

Emniyet sınırları içerisinde uygulanabilecek burulma

Bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini

c c: yarıçap İçi boş kesitin polar atalet momenti: a)

boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 10 mm dir.

7 Örnek Şekildeki boru için emniyetli kayma gerilmesi değeri 10 MPa olduğuna göre: a. Emniyet sınırları içerisinde uygulanabilecek burulma momentini b. Bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini bulunuz. T.c c: yarıçap İçi boş kesitin polar atalet momenti: a) b) min. min. min. Page 13 Örnek Şekildeki kademeli milin BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 10 mm dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları d dir. Buna göre; a. AB ve CD kısımları için izin verilebilir (emniyetli) kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise «d» minimum ne olmalıdır? b. BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini bulunuz. AB bölgesi BC bölgesi CD bölgesi Page 1 7

a) TAB. c TAB. c c c 38.9mm emn. 6 6x10 Nmm 65MPa 3 c d c 77.

bulunur. b) c c 60mm 5mm 13910 1 mm T BC c 86.

7 MPa 13910 min Page 15 Örnek Şekildeki çelik kademeli milin kayma

bizden sorulan A düzleminin D düzlemine göre dönme (burulma) açısıdır.

8 a) TAB. c TAB. c c c 38.9mm emn. 6 6x10 Nmm 65MPa 3 c d c 77.8mm * CD kısmı içinde, iç moment değeri aynı olduğundan aynı sonuç bulunur. b) c c 60mm 5mm mm T BC c 86.MPa 6 0x10 N mm60mm mm 86.MPa 6 T min BC c x 6.7 MPa 6.7 MPa min Page 15 Örnek Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre A ucunun toplam dönme (burulma) açısını bulunuz. Mili 3 bölgeye ayırabiliriz (DC, CB, BA bölgeleri) III II I Aslında bizden sorulan A düzleminin D düzlemine göre dönme (burulma) açısıdır. ( = AD =? ) Bu ise D den A ya kadar olan bölgelerin birbirlerine göre dönmelerinin toplamına eşittir. Yani; III II I AD = CD + BC + CA C nin D ye göre dönme açısı Page 16 8

Bölgeleri sırayla inceleyip ayırma prensibine göre iç momentleri bulacağız.

Bölge: AB kısmı I-I kesimi.bölge: CB kısmı L1 =00mm 1 = AB = π c 1 = π 15 = 795000mm AB = + T iç 1. L 1 = T AB.

0163rad I-I kesitine dik ve karşıdan bakıldığında T iç-1 saat ibreleri yönünde olduğundan f pozitiftir.

G. = 50x103 Nmm. 00mm 77000MPa. 17000mm = 0.0050rad Page 17 3.

9 Bölgeleri sırayla inceleyip ayırma prensibine göre iç momentleri bulacağız. Unutmayın, formülünde T değeri bölgenin kesiminden elde ettiğimiz iç moment değeridir. Tiç-1 1.Bölge: AB kısmı I-I kesimi.bölge: CB kısmı L1 =00mm 1 = AB = π c 1 = π 15 = mm AB = + T iç 1. L 1 = T AB. L 1 G. 1 G. 1 Statik denge şartı : = 50x103 Nmm. 00mm 77000MPa mm = rad I-I kesitine dik ve karşıdan bakıldığında T iç-1 saat ibreleri yönünde olduğundan f pozitiftir. M x = 0 T BC = 0 T BC = 50Nm L =00mm, = BC = π c = π 30 = 17000mm II -II kesimi BC = + T iç. L = T BC. L G. G. = 50x103 Nmm. 00mm 77000MPa mm = rad Page 17 3.Bölge: CD kısmı L3 =600mm 3 = CD = π (c c 1 ) = π (30 ) = 90000mm CD = + T iç 1. L 1 = T AB. L 1 G. 1 G. 1 = 50x103 Nmm. 600mm 77000MPa mm = rad AD = T i. L i G i. i = CD + BC + CA = = 0.03rd AD = 0.003x 180 π =.31o Page 18 9

Burulmada hiperstatik mil problemleri: Bilinmeyen tepkileri bulmak için statik denklem sayısının yeterli

Önceden bilinen burulma açısından ek denklemler elde edilerek bilinmeyen tepkiler bulunabilir.

Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 10 N.

Statik dengeden: T T 10 N m A B ( 1 ) B ve A ankastre olduğu için, bu kısımlarda dönme olmaz.

10 Burulmada hiperstatik mil problemleri: Bilinmeyen tepkileri bulmak için statik denklem sayısının yeterli olmadığı burulma problemlerine denir. Önceden bilinen burulma açısından ek denklemler elde edilerek bilinmeyen tepkiler bulunabilir. Page 19 Örnek Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 1 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 10 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? Statik dengeden: T T 10 N m A B ( 1 ) B ve A ankastre olduğu için, bu kısımlarda dönme olmaz. Dolayısıyla toplam dönme açısı ( B nin A ya göre burulma açısı) sıfırdır. Mili iki bölgeye ayırırız. f f B / A fc / A fb / C TAL G 1 B 1 T L G 0 L 1 = L = 15mm T B T A 1.( c c1 ) T. c (1) ve () den A T T 0.91xT T A 6.8 N m, T N m Page 0 A B B A ( ) 10

Güç Aktarma (Power Transmission) Şaftlarının Tasarımı İletilecek güç ve şaftın dönme hızı bir aktarma şaftının tasarımındaki temel faktörlerdir.

T torkuna maruz bir rijit cismin dönmesine ilişkin P gücü (ω: açısal hız, rad/s): f: dönme frekansı, s-1,hz T: Nm P: Nm/s (watt) ω = πf Page 1 Şafta uygulanacak T torku

11 Güç Aktarma (Power Transmission) Şaftlarının Tasarımı İletilecek güç ve şaftın dönme hızı bir aktarma şaftının tasarımındaki temel faktörlerdir. Tasarımcı, belirli bir hızda gerekli gücü ileten şaftın malzemesini ve kesit boyutlarını, maksimum kayma gerilmesini aşmayacak şekilde belirlemek durumundadır. T torkuna maruz bir rijit cismin dönmesine ilişkin P gücü (ω: açısal hız, rad/s): f: dönme frekansı, s-1,hz T: Nm P: Nm/s (watt) ω = πf Page 1 Şafta uygulanacak T torku belirlendikten ve kullanılacak malzeme seçildikten sonra, elastik burulma formülünden /c parametresi belirlenir: T.c c = T τ = 1 πc c = 1 πc3 Karşımıza en sık çıkan Güç-Devir-Tork formülleri şunlardır: Page 11

şaftın çapı ne olmalıdır? P=3.7 kw=3700 N.m/s f = 3600 Dev dak.

12 Örnek 3.7 kw lık bir motorun 3600 dev/dak ile çalışan rotorunun şaftındaki kayma gerilmesinin 60 MPa lı aşmaması istendiğine göre, şaftın çapı ne olmalıdır? P=3.7 kw=3700 N.m/s f = 3600 Dev dak. 1 Hz = 60 Hz = 60 s 1 60 De v d ak T = P πf c = T = τ 3700 N = m s π(60 s 1 = 9815 Nm ) 9815 Nm 60 MPa 1 πc3 = mm 3 c =.705 mm d = c = 9.1 mm = mm3 Page 3 Dairesel Şaftlarda Gerilme Yığılmaları Pratikte torklar şafta genellikle flanş çiftleri veya kamalarla sabitlenmiş dişliler vasıtasıyla uygulanır. Her iki halde de, torkların uygulandığı kesit içinde ve yakınında gerilme yığılmaları meydana gelir. Ani kesit değişikliği olan şaftlarda, süreksizlik bölgesi yakınında gerilme yığılmaları ortaya çıkar. Bu gerilme yığılmaları fatura ile düşürülebilir. Page 1

aşılmadıkça geçerlidir Page 5 Ek: Bir Alan için Atalet Momenti (Inertia Moment) Bir alanın atalet momenti, bir

x ekseni için, y ekseni için, Bu integrallerin fiziksel bir anlamı yoktur, fakat bunlar, bir maddenin dinamik bir

13 Faturadaki maksimum kayma gerilmesi: T. c τ = K Tc/: küçük çaplı şafttaki kayma gerilmesi, K: gerilme yığılması faktörü Not: Denklem, orantı sınırı aşılmadıkça geçerlidir Page 5 Ek: Bir Alan için Atalet Momenti (Inertia Moment) Bir alanın atalet momenti, bir eksen etrafında hesaplanan geometrik bir özelliktir. x ekseni için, y ekseni için, Bu integrallerin fiziksel bir anlamı yoktur, fakat bunlar, bir maddenin dinamik bir özelliği olan bir kütlenin eylemsizlik momentininin formülasyonuna benzedikleri için çok isimlendirilmiştir. Ayrıca, bir alanın z ekseni etrafındaki atalet momentini de hesaplayabiliriz. Bu atalet momenti Polar Atalet momenti olarak adlandırılır. Çünkü: Page 6 13

Benzer belgeler

BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

3 BURULMA (TORSİON) Dairesel Kesitli Çubukların (Millerin) Burulması 1.1.018 MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor 1 3. Burulma Genel Bilgiler Burulma (Torsion): Dairesel Kesitli Millerde Gerilme