BURULMA. Deformasyondan önce. Daireler yine dairesel kalır. Boyuna çizgiler çarpılır. Radyal çizgiler doğrusal kalır Deformasyondan sonra

Transkript

1 BURULMA Toprak matkabının ucunda burulma etkisiyle oluşan gerilme ve dönme açısı matkap makinasının dönme çıkışıyla birlikte mile temas eden toprağın direncine bağlıdır.

2 BURULMA Dairesel kesite sahip Mil veya Şaft gibi uzun ve doğrusal elemanlara uygulanan burulma yüklerinin etkilerini inceleyeceğiz. Malzeme davranışının lineer elastik olduğu elemanda meydana gelen gerilme dağılımını ve dönme açısının nasıl belirleneceğini ele alacağız. Dairesel Milin Burulma Deformasyonu: Tork, elemanı boyuna ekseni etrafında döndürmeye çalışan momenttir. Onun meydana getirdiği etki araç ve makinelerde kullanılan aks ve millerin tasarımında son derece önemlidir. Lastik gibi yüksek deformasyon kabiliyetine sahip malzemeden yapılmış mile uygulanan tork sonucu ne olacağını fiziksel olarak görebiliriz.

3 BURULMA Tork uygulandığında, başlangıçta milde işaretlenen dairesel ve boylamasına ızgara çizgileri, Şekil (b) de gösterildiği gibi çarpılarak biçim değiştirirler. Dikkatle incelendiğinde, çarpılma etkisiyle daireler yine daire olarak kalırken her bir boylamasına ızgara çizgileri daireyi eşit açıda kesen helise dönüşür. Ayrıca, milin uçlarındaki kesitler düz içeriye veya dışarıya doğru çarpılmamış ve bu uçlardaki radyal çizgiler de deformasyon boyunca doğrusal kalır. Bu gözlemlerden, dönme açısı küçükse milin uzunluk ve yarıçapının değişmeyeceğini kabul edebiliriz. Daireler yine dairesel kalır Boyuna çizgiler çarpılır Deformasyondan önce Radyal çizgiler doğrusal kalır Deformasyondan sonra

4 BURULMA Bir ucu sabitlenmiş milin diğer ucundan da tork uygulanırsa, şekildeki koyu yeşil renkle gölgelendirilmiş düzlem çarpılarak şekilde görülen çarpılmış forma dönüşür. Burada, milin sabit ucundan x mesafe uzaklıktaki kesitte bulunan radyal çizgi, bir (x) açısı kadar dönecektir. Tanımlanan açı (x), dönme veya burulma açısı olarak adlandırılır. Burulma açısı, x in pozisyonuna bağlı ve şekilde görüldüğü üzere mil boyunca değişir. Deforme olmuş düzlem Deforme olmamış düzlem

5 BURULMA Bu çarpılmanın malzemeyi nasıl zorlanmaya maruz bıraktığını anlamak için şekil de görüldüğü gibi mil ekseninden ρ (rho) radyal uzaklığında bulunan sonsuz küçüklükte bir elemanı izole edeceğiz. Bir önceki şekilde ifade edilen şekil değişimleri sayesinde elemanın ön ve arka yüzleri bir dönmeye maruz kalacaktır. Elemanın arka yüzü (x), ön yüzü ise (x)+ kadar dönme yapar. Sonuç olarak, dönmelerdeki bu fark elemanın kayma zorlanmasına maruz kalmasına sebep olur. Bu zorlamayı hesaplamak için deformasyondan önce AB ve AC kenarları arasındaki açının 90 deformasyondan sonra elemanın kenarları AD ve AC olmuştur- bu kenarlar arasındaki açının θ' olduğunun farkında olunmalıdır. Kayma zorlanması tanımından Deforme olmuş düzlem Deforme olmamış düzlem Elemanın kayma zorlanması γ = π 2 θ

6 BURULMA Bu açı (γ) eleman üzerinde görülmekte olup elemanın x uzunluğu ve taralı yüzler arasındaki dönme açısındaki ( ) farkla ilişkilendirilebilir. Eğer x dx ve d olarak ifade edilirse, DB = ρ d = dx γ γ = ρ d dx Deforme olmuş düzlem Deforme olmamış düzlem Elemanın kayma zorlanması

7 BURULMA dx ve d kesitin x mesafesindeki noktada bulunan tüm elemanlarda aynı olduğundan dx d sabit olup denklem bu elemanlarda kayma zorlanması büyüklüğünün sadece mil ekseninden radyal uzaklığı olan ρ ya bağlı değiştiğini ifade eder. Bir başka ifadeyle, mildeki kayma zorlanması herhangi bir radyal hat boyunca lineer olarak değişir. Mil ekseninde sıfırdan başlar, dış sınırında ise maksimum γ max değerine kadar ulaşır, d dx = γ ρ = γ max c olduğundan, γ = ρ c γ max

8 BURULMA (Burulma Formülü) Eğer malzeme lineer elastikse Hooke kanunu uygulanır, τ=gγ. Kayma zorlanmasındaki lineer değişim, önceki bölümde ifade edildiği gibi, kesit üzerindeki radyal çizgiler boyunca kayma gerilmesinde lineer değişime sebep olur. Bu nedenle, kayma gerilmesi mil ekseni boyunca sıfırdan başlayacak milin dış yüzeyinde maksimum τ maks değerine kadar değişecektir. Bu değişim şekilde aradaki radyal konumu ρ ve dış yarıçapı c olan pozisyonda seçilmiş sayıda eleman ön yüzeyinde gösterilmiştir. Benzer üçgenlerin oransal benzerliğinden veya Hook kanunu, ve [γ = τ = G γ ρ c γ maks ] kullanılarak aşağıdaki şekilde yazılabilir. τ = ρ c τ max Kayma gerilmesi, kesitin her bir radyal çizgisi boyunca lineer olarak değişir.

9 BURULMA (Burulma Formülü) Bu denklem, kayma gerilmesi dağılımının elemanın radyal pozisyonu ρ nun bir fonksiyonu olarak ifade eder. Başka bir deyişle, mil kesiti üzerindeki gerilme dağılımını milin geometrisiyle tanımlar. Bunu kullanarak, mili dengede tutan ve gerilme dağılımı tarafından üretilen kesit alanının tamamı üzerindeki gerekli eşdeğer bileşke iç T torkunu belirleyeceğiz. Özellikle, konumu ρ olan da alanının her bir elemanı, df = τda kuvvetine maruz kalır. Bu kuvvetten meydana gelen tork dt = ρ(τ da) olur. Bu denklemi kesitin tamamı için ele alırsak, T = ρ τ da A = ρ ρ c A τ maks da τ maks /c sabit olduğundan; T = τ maks /c ρ 2 da A Bu denklemdeki integral sadece milin geometrisine bağlıdır. Milin boylamasına ekseni etrafında hesaplanmış kesitin polar atalet momentini temsil eder. J ile gösterilir.

10 BURULMA (Burulma Formülü) τ maks = Tc J τ maks = Milin dış yüzeyinde oluşan maksimum kayma gerilmesi T = Kesitte etki eden bileşke iç tork. Büyüklüğü kesim metodundan ve milin boylaması ekseni etrafındaki moment dengesinden hesaplanabilir. J = Kesit alanının polar atalet momenti c = Milin dış yarıçapı τ = Tρ J Yukarıdaki iki denklem çoğunlukla burulma formülü olarak anılır. Bu formüller sadece dairesel millerde, malzemenin homojen olduğu lineer elastik davranış gösterdiği durumlarda kullanılabileceği hatırlanmalıdır. Çünkü elde edilen bağıntılar kayma gerilmesinin kayma zorlanmasıyla orantılı olduğu gerçeğine dayandırılmıştır.

11 BURULMA (Burulma Formülü) İçi Dolu Mil. Eğer mil içi dolu bir kesite sahip ise, polar atalet momenti J diferansiyel halka formundaki bir alan eleman ya da dρ kalınlığına ve 2πρ çevreye sahip bir halka kullanılarak belirlenebilir. Bu halka için da = 2πρ olduğundan J = ρ 2 da = ρ 2 2πρ dρ = 2π ρ 3 dρ = 2π 1 4 ρ4 A 0 c 0 c c 0 J = π 2 c4 J dairesel alanın geometrik özelliği olup daima pozitiftir.

12 BURULMA (Burulma Formülü) Kayma gerilmesinin milin kesiti üzerindeki her bir radyal çizgi boyunca lineer olarak değiştiği görülmektedir. Bununla birlikte, eğer kesit üzerindeki hacim eleman izole edilirse, kaymanın tamamlayıcı özelliği sayesinde şekilde gösterildiği gibi elemanın dört bitişik komşu yüzeyine de eşit kayma gerilmeleri etki eder. İç tork T, kesit yüzeyinde bulunan her bir radyal çizgi boyunca sadece lineer kayma gerilme dağılımı oluşturmaz aynı zamanda eksenel düzlem boyunca da kayma gerilme dağılımı oluşur. Bu eksenel kayma gerilmesinden dolayı ahşaptan yapılmış miller, aşırı torka maruz kalmaları halinde eksenel düzlem boyunca yarılma eğilimi gösterir. Bunun sebebi ahşabın izotrop olmayan malzeme olmasıdır. Ahşabın kayma direnci, eksen boyunca yönlenmiş damar veya lif doğrultusunda kesit düzleminde fibere dik doğrultudakinden daha azdır.

13 BURULMA (Burulma Formülü) Ahşap milin tork sebebiyle hasarı

14 BURULMA (Burulma Formülü) İçi Boşaltılmış Mil (Tüpler): Eğer mil iç yarıçapı c i dış yarıçapı c o olmak üzere tüpüler (içi boşaltılmış) kesite sahip ise, polar atalet momentini, c o yarıçaplı milden c i yarıçaplı mili çıkartarak J yi belirtebiliriz. Sonuç olarak, J = π 2 c o 4 c i 4 İçi dolu milde olduğu gibi, tüpün kesitinde de kayma gerilme dağılımı her bir radyal çizgi boyunca lineer olarak değişir. Ayrıca, eksenel doğrultudaki yüzey boyunca da kayma gerilmesi aynı tarzda değişir. Tipik hacim eleman üzerine etki eden kayma gerilmesi örneği gösterilmiştir. Kesitin her bir radyal çizgisi boyunca kayma gerilmesi lineer değişir.

15 GÜÇ AKTARIMI Miller ve tüpler gibi dairesel kesite sahip elemanlar makinenin ürettiği gücün aktarılmasında sıklıkla kullanılırlar. Bu amaçla kullanıldıklarında, makinenin ürettiği güce ve milin açısal hızına bağlı olarak torka maruz kalırlar. Güç, birim zamanda yapılan iş olarak tanımlanır. Dönen mil tarafından aktarılan iş, uygulanan torkun dönme açısı ile çarpımına eşittir. Bu nedenle, zamanın herhangi bir dt süresinde uygulanan T torku milin dθ kadar dönmesine neden oluyorsa, anlık güç, P = Tdθ dt Milin açısal hızı ω = dθ dt olduğu için gücü, aşağıdaki şekilde de ifade edebiliriz. P = Tω SI birim sisteminde, tork newton-metre (N m) ve açısal hız ω radyan/saniye (rad/s) olarak ölçülürse, gücün birimi watt olarak belirtilir, (1W = 1N m/s). Bununla birlikte, beygir gücü (hp) mühendislik pratiğinde sıklıkla kullanılmaktadır.

16 DÖNME AÇISI Torka maruz millerin tasarımı bazen dönme miktarına veya burulma açısı kısıtlarına bağlıdır. Dairesel kesitli mile uygulanan tork mil uzunluğu boyunca değişirken mil malzemesinin homojen ve lineer elastik davrandığı varsayılacaktır. Kesim metodu kullanılarak referanstan x kadar uzaklıkta dx kalınlığa sahip diferansiyel disk izole edilir. T(x) ile gösterilen bileşke iç tork, dış yükler nedeniyle mil ekseni boyunca değişim gösterir. T(x) den dolayı diskin bir yüzü diğer yüzüne göre bağıl olarak d açısı kadar dönecektir. Sonuç olarak, malzemenin her hangi ρ yarıçapı üzerindeki disk eleman γ kayma zorlanmasına maruz kalacaktır.

17 DÖNME AÇISI γ ve d değerleri ilişkilendirilir d =γ dx/ρ Hooke kanunu γ = τ G uygulanır ve kayma gerilmesi, burulma formülü kullanılarak tork cinsinden ifade edilirse, τ = T x ρ/j(x) ve γ = T x ρ/j x G olur. Bunu yukardaki eşitlikte yerine konulursa, disk için dönme açısı d = T(x) J x G dx Milin tüm uzunluğu L için integre edilse, milin tamamı için dönme açısını elde ederiz L = T(x)dx J x G 0 Burada =Milin bir ucundan diğerine radyan cinsinden ölçülen dönme açısı. T x = Kesim metodu kullanılarak mil ekseni etrafındaki moment dengesinden elde edilen her hangi bir x mesafesindeki iç tork. J x = x pozisyonuna göre ifade edilen kesitin polar atalet momenti. G = Mil malzemesinin kayma modülü.

18 DÖNME AÇISI (Tork ve Kesit Alanı Sabit) Mühendislik pratiğinde genellikle malzeme homojen olduğundan G sabittir. Çoğunlukla, kesit alanı ve uygulanan tork da milin uzunluğu boyunca değişmeyip sabittir. Eğer durum böyleyse T(x) = T ve J(x) = J olarak alınıp integre edilirse, = TL JG

19 DÖNME AÇISI Malzemenin kayma modülünü (G) belirlemek için G = TL/J eşitliği kullanılır. Uzunluğu ve çapı bilinen numune şekilde görülen burulma test cihazına yerleştirilir. Uygulanan tork T ve burulma açısı ölçüm uzunlukları L arasında ölçülür. G = TL/J eşitliği kullanılarak hesaplanır.

20 DÖNME AÇISI Eğer mil birden çok farklı torklara maruz kalıyorsa veya kesit alanı ya da kayma modülü milin bir bölgesinden diğerine aniden değişiyorsa, mil ölçülerinin sabit olduğu bu bölgelerin her birinde dönme açısı eşitliği uygulanabilir. Milin bir ucunun diğer ucuna göre burulma açısı, her bölgedeki burulma açılarının vektörel toplamından olarak bulunur. Bu durumda, = TL JG

21 STATİKÇE BELİRSİZ TORKA MARUZ ELEMANLAR Mile etkiyen bilinmeyen torkların belirlenmesi için dönme ekseni etrafında uygulanan moment denge denklemi yeterli değilse burulma yüklü mil statikçe belirsizdir. Bu duruma bir örnek şekilde görülmektedir. Serbest cisim diyagramında görüldüğü üzere A ve B mesnetlerinde reaksiyon Torkları bilinmemektedir. M = 0; T T T = 0 Gerekli uygunluk şartı veya kinematik şart, uçların ankastre olmasından dolayı milin bir ucunun diğer ucuna göre dönme açısının sıfır olmasını gerektirir. A/B = 0 Malzemenin lineer elastik davranması koşuluyla, yük-yer değiştirme ilişkisini =TL/JG bilinmeyen torklar cinsinden ifade etmek için uygunluk şartlarını uygulayabiliriz.

22 STATİKÇE BELİRSİZ TORK A MARUZ ELEMANLAR Şekilde görüleceği üzere, AC kısmındaki iç tork +T A ve CB kısmındaki iç tork -T B olduğunun farkına varılırsa yukarıdaki uygunluk denklemi şu şekilde yazılabilir. T A L AC JG T BL BC JG = 0 Burada JG nin sabit olduğu kabul edilecektir. Yukarıdaki iki eşitliği L = L + L olduğunu göze alarak çözdüğümüzde; ve T A = T T B = T L BC L L AC L

23 ÇALIŞMA SORULARI

26

27

28

29

30

31

32