Risk ve Belirsizlik. 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi. Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler

Transkript

1 Risk ve Belirsizlik Altında Karar Verme KONU 6 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi i Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler Gelecekte gerçekleşmesi mümkün olan olaylar Olası Durumlar şeklinde ifade edilebilir. Değişik olası durumlar altında oluşabilecek farklı ödeme değerlerinin yer aldığı çizelgeye Ödeme Tablosu denilmektedir. Söz konusu tablodan yola çıkılarak karar verme aşamasındaki yöneticiye önemli bilgiler sunulabilmektedir. Olası Durumlar Karar A b 1 Ödeme 1a Ödeme 1b 2 Ödeme 2a Ödeme 2b 2 1

2 Olasılık Değerleri Olmadan Karar Verme Kullanılan Temel Yöntemler Maximax Maximin Minimax i regret Hurwicz Eşdeğer İhtimal Olası Durumlar Karar (Satın Alma) Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik Apartman inşası Ofis inşası Depo inşası Maximax Kriteri Ödeme değerlerinin maksimumu bulunun ve bunlar arasından maksimum değer seçilir. (Minimum maliyetli değerlerin en küçüğü) Ödeme Tablosu Karar (Satın Alma) Güçlü Ekonomik Olası Durumlar Zayıf Ekonomik Apartman inşası Ofis inşasış Depo inşası Maksimum ödeme değeri seçilir 4 2

3 Maximin Kriteri Minimum ödeme değerlerinin maksimum olanı seçilir. Ödeme Tablosu Karar (Satın Alma) Güçlü Ekonomik Olası Durumlar Zayıf Ekonomik Apartman inşası Ofis inşasış Depo inşası Maksimum ödeme değeri seçilir 5 Minimax Pişmanlık Kriteri Minimum ödeme değerlerinin maksimum değerli olanı seçilir. Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik Koşular = = = ( ) = = = Pişmanlık Matrisi Karar (Satın Alma) Güçlü Ekonomik Olası Durumlar Zayıf Ekonomik Apartman inşası Ofis inşası Depo inşası Minimum pişmanlık değeri seçilir 6 3

4 Hurwicz Kriteri İyimserlik katsayısı : Kötümserlik Katsayısı : 1 (kötümser) 0 < < 1 (iyimser) Olası Durumlar Karar (Satın Alma) Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik Apartman inşası Ofis inşası Depo inşası Hurwicz Kriteri Karar Değerler En iyi sonuç Apartman inşası (0.4) (0.6) = Ofis inşası (0.4) (0.6) = Depo inşası (0.4) (0.6) = Hurwics kriterine göre karar verilirken; en iyi koşullardaki ödeme değerleriğ ile çarpılırken, geriye kalan değerlerğ ise kötümserlik katsayısı ile çarpılır. Sonuç olarak, tüm karar alternatiflerine göre en iyi değer seçilir. 8 4

5 Eşit Olasılık Kriteri Eşit olasılık kriterine göre karar verilirken; olası durumlar altında yer alan her ödeme değeri eşit olasılık katsayısı ile çarpılır ve elde edilen sonucun en yüksek k olanı tercih edilir. Karar Değer En iyi değer Apartman inşası (0.5) (0.5) = Ofis inşası (0.5) (0.5) = Depo inşası (0.5) (0.5) = Olasılıklar Altında Karar Verme Beklenen Değer (EV): her karar ilişkin ödeme değeri, olası duruma ilişkinş olasılık ile çarpılarak tespit edilir. E(x) : Σ i=1n X i.p(x i ), En iyi sonuç N: x rassal değişkeninin aldığı değerlerin sayısı EV (apartman) : (0,6) (0,4) = $ EV (Ofis) : (0,6) + ( (0,4)) = $ EV (depo) : (0,6) (0,4) = $ En iyi karar beklenen değeri en yüksek olan seçenektir. 10 5

6 Olasılıklar Altında Karar Verme Beklenen Fırsat Kaybı (EOL); her karara ilişkin beklenen pismanlık değeridir. EOL (apartman) : (0,6) (0,4) = $ EOL (Ofis) : (0,6) + ( (0,4)) = $ EOL (depo) : (0,6) (0,4) = $ En iyi sonuç En iyi karar; beklenen fırsat kaybı değeri en düşük olan seçeneğin stercihidir. EV ve EOL kriterlerine göre bulunan sonuçlar aslında aynı unusuru işaret etmektedir. 11 Olasılıklar Altında Karar Verme Mükemmel Bilgilendirmenin Beklenen Değeri (EVPI); Karar vericinin ilave bilgiye ödeyebileceği maksimum değerdir. Olası Durumlar Karar Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik (Satın Alma) (p=0,6) Koşular (p=0,4) Apartman inşası EVPI Ofis inşası EVPI Depo inşası EV (mükemmel bilgi i var) : (0,6) (0,4) 000 = $ EV (mükemmel bilgi yok) : (0,6) + ( (0,4)) = $ EVPI : EV (mükemmel bilgi varsa) EV (mükemmel bilgi yoksa) EVPI : = $ En iyi kararda; EVPI değeri ile EOL değeri birbirine eşit olacaktır. 12 6

7 Karar Ağacı Karar Ağacı: Karar alternatiflerinin düğümler halinde ve kendilerine ait olasılık değerleri belirtilerek ifade edildiği birşekildir. Düğümlere ilişkin hesaplanan beklenen değerlerğ şekile işlenir. i Karar ağacında olaylar sırasıyla ele alınmaktadır. Karar ağacı kollarındaki en iyi seçeneğin düğüm bazında belirlenebilmesi için olasılık değerleri kullanılarak hesaplanan Beklenen Değerler ğ arasında karşılaştırmaş ş yapılmalıdır. EV (Düğüm 2) : (0,6) (0,4) = $ EV (Düğüm 3) : (0,6) + ( (0,4)) = $ EV (Düğüm 4) : (0,6) (0,4) = $ 13 1 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı Örnek - 1 Apartman İnşası Ofis $ 42,000 $ 44, Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik $ 50,000 $ 30,000 $ 100,000 $ -40,000 Depo $ 22, $ 30,000 $ 10,

8 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı Örnek - 2 Apartman İnşası ( $) 1 Arazi alımı ( $) 000$) Nüfus stabil (3 yıl ödeme yok) 0.40 Karar verdiklerimiz kare şeklinde, olasılıklar ise daire şeklinde ifade edilmiştir. 15 Nüfus stabil Nüfus artışı $ Apartman inşası ( $) Nüfus artışı (3 yıl ödeme yok) Arazi satışı 5 Ticari yatırım ( $) Arazi satışı 7 Nüfus artışı Nüfus stabil $ Nüfus stabil 0.70 Nüfus artışı $ $ $ $ $ $ (10 yıl sonra) Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler) Örnek - 2 Sıralı karar ağacı analizi yapabilmek için ağacın en son unsurundan en başa doğru bir değerlendirme yapılmaktadır. Bu kapsamda; beklenen değerler, incelenen karar aşamasındaki olasılık değerleri ile işlemin sonucunda ulaşılacak olan ödeme değerleri ile ağırlıklandırılarak toplanır. Diğer bir ifadeyle, olasılık değerleri bizim ağırlık oranlarımız olacaktır. EV (düğüm 6)= 0.8x( $) $) + 0.2x( $)= $ EV (düğüm 7)= 0.3x( $) + 0.7x( $)= $ Beklenen değer rakamları düğümlerin üzerinde yazılmaktadır. 16 8

9 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler) Örnek - 2 Ancak, düğüm 4 ve 5 te durum biraz farklıdır. Bu aşamalarda olasılıksal bir durum mevcut değildir (nüfusun artması veya stabil olması), yani beklenen değer hesabımızı düğümde söz konusu olan alternatiflere göre yapmamız gerekmektedir. Örneğin; 4 nolu düğümün beklenen değeri için; EV (6) değeri olan $ dan apartman inşasının masrafları düşülür ve geriye kalan $ artık EV (4) olmaktadır. 4 ncü düğüm için diğer bir beklenen değer olan arsanın satışından doğabilecek olan $ lık bedeldir. 17 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler) Örnek - 2 Ancak rasyonel karar alabilmemiz için mevcut alternatifler arasında beklenen değeri yüksek olan seçenek seçilmelidir. Buradan hareketle, 4 ncü düğümün EV (4) değeri $ olacaktır. Diğer yandan, 5 nolu düğümün beklenen değeri için; EV (7) değeri olan $ dan ticari masrafları düşülür ve geriye kalan $ artık EV (5) olmaktadır. Benzer şekilde, 5 nci düğüm için diğer bir beklenen değer olan arsanın satışından doğabilecek olan $ lık bedeldir. Ancak yine rasyonelite gereği 5 nci düğümün EV (5) değeri $ olarak seçilmelidir. 18 9

10 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler) Örnek - 2 Sonolarak,2ve3noludüğümlerin beklenen değerleri hesaplanır. EV (düğüm 2)= 0.6x( $) $) + 0.4x( $)= $ EV (düğüm 3)= 0.4( $) + 0.6x( $)= $ Buradan hareketle ilk düğüm olan 1 nci aşama için beklenen değer hesabına geçilir. Maliyetlerden arındırılmış olarak en yüksek beklenen değere sahip olan seçenek tercih edilmelidir. Apartman inşası : $ $ = $ Arsa alımı : $ $ = $ En yüksek beklenen net ödeme değerine sahip seçenek arsadır. 19 Sıralı Yapıda Bir Karar Ağacı (Beklenen Değerler) Örnek $ Nüfus artışı $ 0.60 (10 yıl sonra) 2 Apartman İnşası $ ( $) Nüfus artışı Nüfus stabil $ $ $ Apartman inşası 0.80 ( $) 1 6 Nüfus artışı $ (3 yıl ödeme yok) 0.20 Nüfus stabil $ $ Arazi alımı Arazi satışı $ ( $) $ Nüfus stabil Ticari yatırım Nüfus artışı $ (3 yıl ödeme yok) ( $) Nüfus stabil $ $ Arazi satışı $ 20 10

11 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Konuya teorik olarak bakabilmek için Bayesian kuramının temelini anlamak gerekir. Bayesian olasılık kuramı matematiksel istatistik kuramının bir dalı olarak ifade edilir. Bu kuram belirsizlik taşıyan herhangi bir durumun modelini oluşturmak, bu durumla ilgili gerçekçi gözlemleri kullanarak sonuçlar üretmek amacıyla kullanılmaktadır. Olasılık kuramında en önemli kavramlardan biri koşullu olasılık tır. Bu tahminleri koşullu olasılık değerlerine bağlı olarak gerçekleştirmektedir (Koşullu olasılık: belirli bir olayın, başka bir olaya bağlı olarak gerçekleşmesine ilişki olasılık değeridir). 21 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı P (X=x Y=y)=r koşullu olasılığının ifadesi şöyledir: Y=y nin doğru olması durumunda X=x olma olasılığı r dir. X ve Y nin alabileceği değerlerin kombinasyonları için koşullu olasılıkları belirleyen tabloya koşullu olasılık dağılımı denilir. Bu durum, p(x Y) şeklinde ifade edilmekle birlikte, koşullu olasılık çarpım kuralını belirlemede önem arzeder. Çarpim kuralı iki olayın birden oluşma olasılığını tanımlar ve p (A B) ile ifade edilir. Bu durumda p (A B)= p (A B).p(B)= p(b A).p(A) olur

12 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Eşitliğin yeniden düzenlenmesi ile Bayes Kuramı elde edilir. P(A B) = P (B/A) P(A) / P(B) Burada: A : Belirsizlik Taşıyan Önerme B:Kanıt P(A B) : A nın B kanıtından sonraki olasılığı (Posteriror) P(A) : A nın B kanıtından önceki olasılığı ğ (Prior) P(B A) : B kanıtının A olayının gerçekleşmesi için oluşma olasılığı (Likelihood) Ayrıca 1/ P(B), normalizasyon etmeni olup hesaba katilmayabilmektedir. 23 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Bayesian istatistikte sık kullanılan terimleri özetlersek; a) Önsel olasılık veya dağılım (prior): Herhangi bir gözlem yapmadan önce modelin gerçek olma olasılığıdır. Bu amaçla objektif veriler de subjektif görüşler de kullanılabilir. b) Sonsal olasılık veya dağılım (posterior): Gözlemler dikkate alındığında modelin gerçek olma olasılığı olabilirlik (likelihood) belli bir modeldeki verilerin e koşullu u olasılık oas durumudur. Buna bayes faktörü adı da verilmektedir. Sonuç olarak, Bayesian ve klasik istatistik kuramları arasındaki en önemli fark olasılıkların değerlendirilmesinde yatmaktadir

13 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Daha önceki yansılarımızda, mükemmel bilgilendirmenin beklenen değeri kavramı üzerinde durulmuştur. Mükemmel bilginin varlığı söz konusu olduğunda; karar vericinin daha iyi kararlar verebileceği ifade edilebilir. Ancak, geleceğe yönelik olarak mükemmel bilginin varlığı nadiren gözlemlenen bir unsur olduğundan, kararlarımızı almada rasyoneliteyi arttıracak olan ilave bilgilere ihtiyaç duyulmaktadır: Bu bölümde, söz konusu ilave bilginin karar analizlerimizde önemli bir istatistiksel yaklaşım olan Bayesian yaklaşımı bağlamında incelecektir. Gayrimenkul örneğimiz üzerinden bu yaklaşım irdelelenecektir. 25 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Gayrimenkul örneğimizdeki bilgilere ilaveten, karar vericinin profesyonel bir ekonomik analist çalıştıracağını düşünelim. Buradaki temel amaç, gelecekteki olası ekonomik koşullara dair ilave bilginin teminidir. Buradaki analist, düzenli olarak piyasayı ve ekonomik konjonktürü incelemekte, karar verici durumundaki yatırımcının satın almayı düşündüğüş ğ yatırım araçlarının sonuçlarını tartışmaktadır. Ekonomik analist burada potansiyel olarak iyi ekonomik koşullar ve kötü ekonomik koşullar bağlamında değerlendirme raporu hazırlamaktadır

14 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Ekonomik analist geçmiş verilerden yola çıkarak gelecekte karşılaşılabilecek olası ekonomik durumlar hakkında tahminlerde bulunmaktadır. Temel kuramlardan hareketle problemimize geri dönecek olursak; koşullu olasılıklara ilişkin olarak aşağıdaki notasyonu yapmak mümkündür. 27 g :iyi ekonomi P : kötü ekonomi P : olumlu ekonomik rapor N : olumsuz ekonomik rapor Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Olası durumlara yönelik koşullu olasılık değerlerimiz; P(P/g):0.80 P (N/g) : 0.20 P(P/p):0.10 P(N/p):0.90 Örneğin, gelecekteki olayın iyiolması (g) ve bunun raporda olumlu (P) olarak yazılmış olması halindeki olasılık değeri P (P/g) : 0.80 dir. Koşullu olasılık değerlerinin bilinmesi halinde, önsel olasılık (prior) değerleri, ğ sonsal olasılık l (posterior) değerlerineğ dönüştürülebilir. ül Şöyle ki; P(P/g) ekonomik raporun olumlu olması ve buna bağlı olarak ekonomik koşulların da iyi olma olasılığıyken, P(g/P) ise; ilave bilgi niteliğindeki raporun olumlu olmasının ekonomik koşulların iyiolması için oluşma olasılığıdır

15 Önsel (prior) olasılıklarımız; Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı P (g) :0.60 (rapor mevcut değilkenğ ekonominin iyi olma olasılığı) ğ P (p) : 0.40 (rapor mevcut değilken ekonominin kötü olma olasılığı) Koşullu olasılık değerlerimiz de belirli olduğundan dolayı, buradan hareketle sonsal (posterior) olasılık değerleri hesaplanabilir. P(g/P) P(P/g).P(g).. P(g/P) = P(P/g).P(g) + P(P/p).P(p) 29 P(g/P) = P(g/P) = (0.8).(0.6) [ (0.8).(0.6) + (0.1).(0.4) ] Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Buradan, ekonomik koşulların iyi olmasına yönelik önceki olasılığının %60 olduğu, analistin hazirladığı olumlu rapordan edinilen ilave bilgi çerçevesinde önceki olasılık değerinin %96.23 olarak revize edilebileceği ifade edilebilir. Geriye kalan revize edilek önceki olasılıklar (sonsal olasılıklar) ise; P(g/N) = P(p/P) = P(p/N) =

16 Gayrimenkul Probleminin Bayesian Çözümü Apartman 4 P(g/P) = P(p/P) = ,000 $ 30,000 $ 2 Ofis P(g/P) = ,000 $ Depo 5 P(p/P) = ,000 $ 1 6 P(g/P) = P(p/P) = ,000 $ 10,000 $ Apartman 7 P(g/N) = P(p/N) = ,000 $ 30,000 $ 3 Ofis Depo 8 P(g/N) = P(p/N) = ,000 $ - 40,000 $ 31 P(g/N) = P(p/N) = ,000 $ 10,000 $ Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı P(P) ve P(N) marjinal olasılıklar olarak ifade eidlmektedir. Bu olasılıkları karar ağacı analizine yönlendirdiğimizde Sondan başa doğru (sağdan sola) analiz yaptığımız takdirde, 4 nolu düğüm için beklenen değerler EV (Apartman) = $ x (0.923) $ x (0.077) EV (Apartman) = 48,460 $ Benzer şekilde düğüm 5,6,7,8,9 için de aynı hesaplamalar yapılarak düğüm aşamalara ilişki beklenen değerler tespit edilir. Beklenen değeri en yüksek olan seçeneğin değeri tercih edilir

17 Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Son olarak, raporun olumlu P(P) veya olumsuz olma P(N) olasılıkları aşağıdaki mantık çerçevesinde hesaplanabilir. İki bağımlı olay A ve B nin ikisininde olma olasılığı; P(AB) = P(A/B).P(B) ise, buradan hareketle olumlu ve olumsuz rapor olasılıkları aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. P(P) = P(Pg) + P (Pp) P(P) = P(P/g).P(g) ) + P(P/p).P(p) ) P(P) = (0.8).(0.6) + (0.1).(0.4) = = 0.52 P(N) = P(N/g).P(g) + P(N/p).P(p) P(N) = (0.2).(0.6) + (0.9).(0.4) = Karar Ağacı Analizinde Bayesian Yaklaşımı Buradan hareketle, 2 ve 3 nolu düğümlerdeki beklenen değerler sırasıyla 89,220 $ ve 35,000 $ olarak bulunur. Marjinal olasılıklar dikkate alındığında temel yatırım stratejisinin beklenen değeri ; EV (strateji) = 89,220 $ x (0,52) + 35,000 $ (0,48) EV (strateji) = 63,194 $ Söz konusu beklenen değerler ekonomist tarafından sağlanan ilave bilgilere göre revize edilmiş olunur. Böylece, tüm ilave bilgiler değerlendirilmiş ve strateji kararına yardımcı olmuştur

18 Gayrimenkul Probleminin Bayesian Çözümü 89,220 $ 48,460 $ Apartman 4 P(g/P) = P(p/P) = ,000 $ 30,000 $ 2 Ofis 89,220 $ P(g/P) = ,000 $ 5 Olumlu Depo P(p/P) = ,000 $ Rapor P(P) = ,460 $ P(g/P) = ,000 $ 1 63,194 $ 6 P(p/P) = ,000 $ P(N) = ,000 $ P(g/N) = ,000 $ Olumsuz Apartman 7 Rapor 35,000 $ P(p/N) = ,000 $ 35 3 Ofis - 5,000 $ P(g/N) = Depo P(p/N) = ,000 $ P(g/N) = P(p/N) = ,000 $ - 40,000 $ 30,000 $ 10,000 $ Ödev 6 (Teslim Tarihi: ) Birinci Bölüm Bir çiftçi, üç farklı ziraat ürününden hangisini ekeceğine karar vermek istemektedir..ödeme tablosu aşağıda sunulmakta olup, tüm karar kriterlerine [Maximax, Maximin,Minimax-pişmanlık, i Mi i i Hurwics (α = 0.3), Eşit Olasılık] l göre her karar tercihi için rasyonel olan seçenekleri ayrı ayrı belirleyiniz. Gerekli işlem ve açıklamaları da yapınız. Olası Durumlar (Ödeme $) Karar (Ekilecek Ürün) Güçlü Ekonomik Zayıf Ekonomik Mısır 35,000 8,000 Fındık 18,000 12,000 Soya 22,000 20,

19 Ödev 6 (Teslim Tarihi: ) İkinci Bölüm Aşağıdaki aşamalı karar ağacını dikkate alarak optimal yatırımı (A veya B) gerekli hesaplamalar ile değerlendirmeleri yaparak ve şekilleri çizerek belirleyiniz. 0,3 4 (-20,000 $) 7 45,000 $ 0,4 0,6 300,000 $ 60,000 $ A Yatırımı (-70,000 $) 1 2 0,7 5 75,000 $ (-17,000 $) 8 60,000 $ 0,2 0,8 200,000 $ 70,000 $ BYatırımı (-50,000 $) 3 0,15 0,55 0,30 6 (-9,000 $) 9 55,000 $ 0,35 0,65 105,000 $ 40,000 $ 37 80,000 $ Oyun Teorisi Giriş Karar analizleri ve karar ağaçları bölümünde yalnızca tek karar verici açısından konu irdelenmiştir. Diğer ifadeyle, önceden herhangi bir rekabet söz konusu değildir. Ancak gerçekte rekabetin olmadığı bir çevrenin varlığı çok nadir gözlemlenen bir olgudur. Birden fazla karar verici ortak getiriler üzerinde en iyi ödeme değerlerine ulaşabilmeyi i hedeflemektedir. di Bu hedefler ise Oyun Teorisi nin konusuna girmektedir. Oyun Teorisi kapsamında karar vericiler kazanmak için planlar geliştirmektedir

20 Oyun Teorisi Giriş Rekabet haindeki karar vericiler Oyuncular olarak adlandırılır. İki oyuncudan oluşturulan oyuna ise; İki Kişilik Oyun şeklinde isimlendirmek mümkündür. Eğer oyunda n kişi bulunuyorsa, n-kişilik Oyun denilmektedir. Oyunlar da kendi aralarında sınıflandırılabilir, örneğin; oyuncuların kazançları ve kayıpları toplamı sıfır olduğunda, ğ d Sıfır Toplamlı l Oyun söz konusu olmaktadır. Eğer bu toplam sıfıra eşit değilse yeni oyun, Sıfır Toplamlı Olmayan Oyun olarak adlandırılır. 39 Oyun Teorisi Sıfır Toplamlı Oyun Bazı Uygulama Alanları: 1) Sendika, işveren ve hükümetin pazarlığını yaptığı işçi ücretleri 2) Ülkeler arası savaş stratejileri 3) Politikacılar arası seçim stratejileri 4) Firmaların Pazar payı arttırma stratejileri 5) Sporcu ve kulüp arasındaki transfer görüşmesi 6) İhalelerde teklif verme stratejileri 7) Satınalma politikaların tespiti 8) Yeni ürünler arası seçim yapılması 40 20

21 Oyun Teorisi Sıfır Toplamlı Oyun İki kişilik oyunda kazancını maksimize etmeye çalışan kişi saldırgan olan taraftır. Kaybını minimize etmeye çalışan taraf ise; savunma yapan kişidir. İki rakip firmanın birbirlerine karşı geliştirdiği stratejileri inceleyelim. A Firması nın Stratejileri ($) B Firması nın Stratejileri ($) B1 B2 B3 B4 A1 40 (+) (x) 33 A (+)(x) A3 28 (x) (+) 38 (+) 41 (x) : Maximin strateji ; A, sıra değerlerinin minimumunu alıp içinden maksimumunu seçer (+) : Minimax strateji ; B, sütun değerlerinin maksimumunu alıp içinden minimumu seçer 42 Oyun Teorisi Sıfır Toplamlı Oyun (Maximin Strateji) A oyuncusu 1. stratejiyi oynadığında; B oyuncusu 1. stratejiyi oynarsa 40 $, 2.,3. ve 4. stratejiler için sırasıyla 34 $, 30 $ ve 33 $ kazanacaktır. Matrisin diğer unsurları da benzer şekilde irdelenebilir. Her oyuncu, karşısındaki oyuncunun kendine göre en iyi davranışı gerçekleştireceğini varsaymalıdır. A oyuncusu (Maximin Strateji); a) 1. stratejiyi oynadığında, B nin en düşük değere sahip 3. stratejiyi (30$), b) 2. stratejiyi oynadığında, B nin 2. stratejiyi (35$), c) 3. stratejiyi oynadığında ise; B nin 1. stratejiyi (28$) oynayacağını varsaymaktadır. 21

22 Oyun Teorisi Sıfır Toplamlı Oyun (Minimax Strateji) Tam tersinden yapılacak bir analizle, B oyuncusu (Minimax Strateji); a) 1. stratejiyi oynadığında, A nın en yüksek değere sahip 1. stratejiyi (40$), b) 2. stratejiyi oynadığında, A nın da 2. stratejiyi (35$), c) 3. stratejiyi oynadığında ise; A nın 3. stratejiyi (37$), d) 4. stratejiyi oynadığında ise; A nın yine 3. stratejiyi (38$) oynayacağını varsaymaktadır.. 43 Oyun Teorisi Sıfır Toplamlı Oyun (Denge Durumu) Denge noktası; A oyuncusunun maximin A i, B ise minimax B j stratejileri ile hareket ettiğinde oyuncuların stratejilerinin üst üste geldiği durumu temsil eder. Bu noktada iki strateji de dengeye gelmiştir. Kısaca, karar vericiler risklerini minimize etmişlerdir veya emniyet düzeylerini maksimize etmişlerdir. Denge durumundaki çakışan strateji nin (A i,b j ) değeri örneğimizde 35 $ olarak ifade edilebilir

23 Oyun Teorisi Baskın Stratejiler B oyuncusu 4. stratejiyi hiçbir zaman tercih etmez. Bunun nedeni; A oyuncusun her stratejisinde (A i ); B3 stratejisini B4 e tercih edecek olmasıdır. Böylece, B4 stratejisi, B3 stratejisi tarafından domine edileceğinden, B nin 4. stratejisi oyun dışı kalacaktır. A Firması nın Stratejileri ($) B Firması nın Stratejileri ($) B1 B2 B3 B4 A1 40 (+) (x) 33 A (+)(x) A3 28 (x) (+) 38 (+) 45 Oyun Teorisi Baskın Stratejiler A Firması nın B Firması nın Stratejileri ($) Stratejileri ($) B1 B2 B3 B4 A A A Sıfır toplamlı iki kişilik oyunlarda denge noktası bulunmadığında, oyuncular ayrıca bir satır veya sütundaki değerleri diğer satır veya sütun değerleriyle karşılaştırır. Satırdaki değerler A oyuncusunun stratejileridir; sıradaki değerler diğer sıradaki değerlerden büyük veya eşit olduğunda büyük/eşit olan sıra baskın stratejiolarak benimsenecektir (Her A i için B3; B4 e tercih edilir). Bu mantık içerisinde hiçbir zaman benimsenmeyecek olan stratejiler ise, zayıf stratejiler olup, oyun matrisi dışında tutulur. Benzer bir yaklaşımla ancak tam tersinden hareketle, sütunlardaki zayıf stratejiler çıkarılarak daha az elemanlı olan sadeleştirilmiş bir oyun matrisi elde edilir (Her B i için A2; A3 e tercih edilir). Sonuçta, baskınlık kurulan stratejiler (domine edilen) oyun dışına çıkarılarak oyun matrisinin basitleştirilmesi sağlanır. 23

24 Oyun Teorisi Denge Durumu nun Yokluğu A Firması nın B Firması nın Stratejileri ($) Stratejileri ($) B1 B2 A1 5 (x) 35 (+) A2 20 (+) 10 (x) Denge olan bir oyunda her oyuncu diğerinin stratejisini bildiğinde stratejisini değiştirerek daha iyi sonuca ulaşabilmektedir. Ancak, denge noktası olmadığında bu durum oluşamaz. A oyuncusu nun Maximin i stratejisi t i 2. strateji t olduğunda; ğ d B nin Minimax stratejisi 1. strateji olmaktadır. Kısaca denge noktası yoktur. 47 Oyun Teorisi Karma Stratejiler Oyuncunun sadece Ai veya Bj yi seçmesine Arı Strateji denilir. Karma stratejide ise oyunda söz konusu olan stratejilerin kombinasyonları göz önüne alınmaktadır. Her iki oyuncu da karşısındakinin stratejisini bilse dahi kendi stratejisinden vazgeçmeyecektir. Bu durumda, A karma Maximin strateji yi, B de karma Minimax stratejiyi benimsemektedir. e Karma stratejilerle tek bir değer olarak belirlenen stratejiye Oyunun Değeri (V) denilir

25 Oyun Teorisi Karma Stratejiler A nın karma Maximin stratejisi V yi minimum değerlerin maksimumu olacak şekilde seçer. B nin karma Minimax stratejisi ise; A nın beklenen değerinin V yi geçmesini engelleyecektir. Buradan hareketle, iki tarafın da dengeye geldiği nokta oyunun değeri V olmaktadır. Karma stratejide A nın seçenekleri A 1,... A m ΣX i =1 X 1,... X m olasılıklarında m sonuçlu olasılık sürecinde i sonucu A i seçilir. A nın karma stratejisi; Ai için Xi=p(Ai) olasılıkla seçildiği (X1,...Xm) olasılık setinden oluşur. Karma stratejide en az iki olasılık sıfırdan büyük olmaktadır. Ancak, Arı strateji de bir olasılık 1 eeşittir, diğerleri hep sıfırdır. 49 Oyun Teorisi Karma Stratejiler Arı stratejilerde denge noktası bulunmadığında, karma stratejilerle oyuncuların emniyet düzeyleri yükseltilebilir. Ancak, karma strateji,arıarı strateji gibi oyuncuya kesin bir emniyet sağlamaz, çünkü olasılıklar söz konusudur. A Firması nın B Firması nın Stratejileri ($) Stratejileri ($) B1 B2 A1 5 (x) 35 (+) A2 20 (+) 10 (x) A oyuncusunun 1. ve 2. stratejileri oynama olasılığı eşit olduğunda, B oyuncusu; 1. Stratejiyi oynadığında oyunun değeri; V = 5. (0,5) + 20.(0,5) = 12, Stratejiyi oynadığında ise oyunun değeri; V = 35. (0,5) + 10.(0,5) = 27,5 Her iki değer de A oyuncusunun Maximin stratejisinin değerinden (10) büyüktür. 25

26 Oyun Teorisi Karma Stratejiler Her oyuncu için kendi emniyet düzeyini en iyi seviyeye getiren karma stratejiyi benimsemelidir. B, 1. stratejiyi seçtiğinde A nın beklenen kazancı; 5X 1 +20X 2 B, 2. stratejiyi seçtiğinde A nın beklenen kazancı; 35 X X 2 Beklenen değerleri eşitlersek; 5X 1 +20X 2 =35X 1 +10X 2 X 1 +X 2 =1 X 1 =0,25ve X 2 =0,75bulunur. Oyunun değeri; 1. Strateji için; V = 5.(0,25) + 20.(0,75) = 16,25 2. Strateji için; V = 35.(0,25) + 10.(0,75) = 16,25 51 Oyun Teorisi Karma Stratejiler Konuya B oyuncusu için baktığımızda; B nin karma stratejileri; B 1,...B n. Σyi = 1 y 1,... y n olasılıklarında n sonuçlu olasılık sürecinde j sonucu B j seçilir. B nin karma stratejisi; B j nin için y j =p(b j ) olasılıkla seçildiği (y 1,...y n ) olasılık setinden oluşur. Soruna B youncusu açısından bakarsak, A 1. stratejiyi seçtiğinde B nin beklenen kaybı; 5y 1 +35y 2 A, 2. stratejiyi seçtiğinde B nin beklenen kaybı; 20 y y 2 Beklenen değerleri eşitlersek; 5y 1 +35y 2 =20y 1 +10y 2 y 1 +y 2 =1 y 1 = 0,625 ve y 2 = 0,375 bulunur. Oyunun değeri; 1. Strateji için; V = 5.(0,625) + 35.(0,375) = 16, Strateji için; V =20.(0,625) + 10.(0,375) = 16,25 26