Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı

Transkript

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Oyun Teorisi Yaklaşımı Doç. Dr. İhsan KAYA Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 1 Tanım: Oyun teorisi «Birbiriyle rekabet halinde olan iki ya da daha fazla karar vericinin aynı anda birbirlerinden habersiz olarak birer hareket tarzı seçtiği ve her birinin uyguladığı hareket tarzının diğerinin kazancını doğrudan etkilediği durumları birer oyun olarak modelleyip analiz etmek maksadıyla kullanılan matematiksel bir teoridir». Uygulama Alanları: Askeri faaliyetler, Siyasi faaliyetler, Spor müsabakaları, Reklam ve pazarlama faaliyetleri, Şans oyunları. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 2 / 412 1

2 Sınıflandırma OYUN TÜRLERİ * Karar Vericilerin Sayısına Göre; İki kişili oyunlar n kişili oyunlar * Sonuçlarına Göre; Sabit toplamlı oyunlar Sabit toplamlı olmayan oyunlar Oyuncuların kazanç ve kayıpları toplamı sıfır ise, sıfır toplamlı oyun denir. Sıfır toplamlı oyunlar, c=0 olan sabit toplamlı oyunlardır. İki kişili, sıfır toplamlı oyunlar matematiksel olarak basit olduklarından, oyun teorisinin ilkelerinin tanıtılmasında en sık kullanılan oyun türüdür. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 3 İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar Temel Özellikleri İki adet oyuncu vardır ve bunlar satır oyuncusu ve sütun oyuncusu olarak adlandırılırlar. Oyunculardan birinin kazancı (karı) diğerinin kaybına (zararına) eşittir. Satır oyuncusu toplam m adet stratejiden birini uygular iken sütun oyuncusu da aynı anda n adet stratejiden birini kullanır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 4 2

3 Kabuller: İKİ Kİki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar İŞİLİ, SIFIR TOPLAMLI OYUNLAR Her iki oyuncu da oldukça mantıklı kişilerdir. Her iki oyuncu da sadece kendi faydalarını artıracak stratejileri seçerler. Oyuncular riske girmeden kendileri için garanti olan en iyi kazancı elde etmeye çalışırlar. Oyunlarda belirsizlik hakimdir, yani oyuncular oyuna başlamadan önce rakibinin hangi stratejiyi kullanacağını bilmezler. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 5 Kazanç Matrisi * Oyun problemlerinde oyuncuların bütün stratejilerine karşılık gelen kazanç değerleri bir matris şeklinde gösterilir ve bu matrise Kazanç Matrisi adı verilir. İki Kişili Sıfır Toplamlı Bir Oyunun Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2... Strateji n Strateji 1 a 11 a a 1n Satır Oyuncusunun Stratejisi Strateji 2 a 21 a a 2n Strateji m a m1 a m2... a mn Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 6 3

4 Örnek * Bu oyunda her iki oyuncu aynı anda ya tek yada çift parmağını gösterir. Oyuna başlamadan önce oyuncular birisi tek diğeri çift olmak üzere aralarında anlaşırlar. Parmak sayılarının toplamı tek sayı olursa, yani oyuncular farklı sayıda parmak gösterirlerse, oyunculardan birisi (örneğin satır oyuncusu) kazanır. Parmak sayılarının toplamı çift sayı olursa yani oyuncular aynı sayıda parmak gösterilirse diğer oyuncu (sütun oyuncusu) kazanır. Kazanan oyuncu kaybedenden 1 birim alır. Tek Çift Oyununun Kazanç Matrisi Satır Oyuncusu (TEK) Sütun Oyuncusu (ÇİFT) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 7 Örnek: Tek çift gösterme ve tek çift söyleme oyunu * İki kişi arasında oynanan bir oyunda; oyuncular aynı anda hem bir ya da iki parmak göstermekte, hem de tek ya da çift diye bağırarak rakibinin parmak sayısını tahmin etmektedirler. Karşısındakinin parmak sayısını doğru tahmin eden oyuncu her iki oyuncunun parmak sayılarının toplamı kadar puan kazanmakta, yanlış tahminde bulunan oyuncu ise toplam parmak sayısı kadar puan kaybetmektedir. Her iki oyuncu da doğru tahmin etmiş ya da her ikisi de bilememiş ise beraberlik söz konusu olup oyuncular sıfır puan almaktadırlar. Bu oyun iki kişili sıfır toplamlı bir oyun olarak modellenecektir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 8 4

5 * Burada her iki oyuncu için kullanabilecek dört strateji vardır: 1nci strateji ; tek parmak gösterip tek söylemek (TT) 2nci strateji ; tek parmak gösterip çift söylemek (TÇ) 3ncü strateji; çift parmak gösterip tek söylemek (ÇT) 4ncü strateji; çift parmak gösterip çift söylemek (ÇÇ) Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusu 1 (TT) 2 (TÇ) 3 (ÇT) 4 (ÇÇ) 1 (TT) Satır Oyuncusu 2 (TÇ) (ÇT) (ÇÇ) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 9 DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR SATIR OYUNCUSU; kendi stratejilerinin her biri için, kazanabileceği minimum kazancı saptar ve bunlar arasından maksimum değerli kazancın bulunduğu stratejiyi seçer, SÜTUN OYUNCUSU ise; her bir stratejisinden kaybedebileceği maksimum değerleri saptar ve bu maksimum kayıplar arasından minimum kaybın bulunduğu stratejiyi seçer. Böylece her oyuncu; rakibi ne seçerse seçsin kendi stratejisi ile belirlediği sonuçtan daha kötüsü ile karşılaşmamayı garanti altına alır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 10 5

6 DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR Denge Noktasına Sahip İki Kişili Sıfır Toplamlı Bir Oyunun Satır Oyuncusuna Göre Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Maksimumu Strateji Strateji Strateji Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 11 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Strateji Oyuncusunun Strateji Stratejisi Strateji Sütun Maksimumu Satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu mantıklı hareket ederek kendisine en az kaybı verdirecek olan 1nci ya da 2nci stratejisini kullanır ve 4 birim kaybeder (birinci satırdaki en küçük rakamlar), yani satır oyuncusu 4 birim kazanır, 2nci stratejiyi seçerse; sütün oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 1 birim kaybeder, 3ncü stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer ve 5 birim kaybeder. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 12 6

7 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Bu durumda satır oyuncusu hangi satırı seçerse seçsin o satırın en küçük değerine eşit bir kazanç elde eder. (satır minimumları) Bu değerler satır oyuncusunun garanti olan kazançlarıdır. O halde satır oyuncusu kendi kazancını maksimum yapmak isteyeceği için, satır minimumları arasından maksimum olan değeri elde etmek ister. maks {4, 1, 5} = 5 satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 13 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Strateji Oyuncusunun Strateji Stratejisi Strateji Sütun Maksimumu Sütun oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu mantıklı hareket ederek sütun oyuncusuna en fazla kaybı verdirecek olan 3ncü stratejisini kullanır (birinci sütundaki en büyük rakam), yani satır oyuncusu 6 birim kazanır, 2nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 5 birim kazanır, 3ncü stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçer ve 10 birim kazanır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 14 7

8 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sonuçta sütun oyuncusu hangi sütunu seçerse seçsin o sütunun en büyük değerine eşit bir kaybı olur (sütun maksimumları). Bu değerler sütun oyuncusunun kaybedeceği en büyük değerlerdir (garanti olan kayıplarıdır). Bu durumda sütun oyuncusu kendi kaybını en düşük seviyede tutmaya çalışacak, yani sütun maksimumları arasından minimum olan değeri kaybetmek isteyecektir. min {6, 5, 10} = 5 sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 15 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Denge Noktasının Koşulu: maks (satır minimumları) = min (sütun maksimumları) maksimin = minimaks * Denge noktası öyle bir noktadır ki oyuncular tek taraflı olarak stratejilerini değiştirirler ise durumlarında bir iyileşme söz konusu olmaz (daha da kötüye gidebilirler). * Denge noktasının bir diğer özelliği ise şöyle açıklanabilir: Bu nokta yer aldığı satırdaki en küçük sayı ve yer aldığı sütundaki ise en büyük sayıdır. Bu özellikleri gözlemek suretiyle denge noktasının olup olmadığı incelenebilir. * Denge noktasına sahip olan oyunlar kararlı oyun olarak adlandırılırlar. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 16 8

9 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Maksimumu Strateji Strateji Strateji maksimin = minimaks = v = 5 * Saf Strateji : İki kişili sıfır toplamlı bir oyun denge noktasına sahip ise oyunun optimal çözümüne göre her oyuncu oyun boyunca yalnızca bir stratejisini kullanır, yani oyun saf stratejiler ile oynanır. Bu stratejiler oyunun denge noktasını oluşturan satır ve sütundur. * Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 17 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Oyunun Değeri (v): Optimal çözümde satır oyuncusunun kazanacağı ve sütun oyuncusunun kaybedeceği değere oyunun değeri denir ve sıfır toplamlı oyunlarda her iki oyuncu için bu değer aynıdır. Dengeli oyunlarda oyunun değeri denge noktasındaki kazanç değerine eşittir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 18 9

10 Üstünlük Stratejisi Bir oyuncunun herhangi bir i stratejisi her zaman (rakibin bütün hareket tarzlarına karşı) en az diğer bir i stratejisinin sağladığı faydayı sağlıyor ve rakibin en az bir stratejisi karşısında da i stratejisinden daha iyi bir fayda sağlıyor ise i stratejisi i stratejisine göre üstündür denir ve i stratejisini alt eder (saf dışı bırakır). Alt edilen strateji kazanç matrisinden çıkarılarak bundan sonraki işlemlerde göz önünde bulundurulmaz. Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Strateji Strateji Strateji Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 19 Örnek Rakip iki otomobil firması kış dönemi satışlarını artırmak amacıyla reklam faaliyetlerine başlamayı planlamaktadır. Reklam kampanyası 2 haftalık olarak planlanmaktadır. Firmalar radyo veya televizyon olmak üzere iki ortam üzerinde yoğunlaşmakta olup reklam ya her birinde birer hafta yayınlanacak, ya da her iki hafta aynı ortamda yayınlanacaktır: Strateji 1: 1 hafta radyoda ve 1 hafta televizyonda reklam yayınlamak Strateji 2: 2 hafta radyoda reklam yayınlamak Strateji 3: 2 hafta televizyonda reklam yayınlamak Reklam anlaşması reklam şirketi ile her firma arasında gizli olarak kalacağından her firma kendi anlaşmasını yapmadan önce rakibinin hareket tarzını bilmeyecektir. Buna göre her firma yöneylem araştırmacılarından, kendilerinin ve rakip firmanın uygulayacağı hareket tarzına göre, bu iki haftanın değerlendirilmesi ile ilgili olarak her kombinasyonda ne kadar müşteri kazanacağını veya kaybedeceğini incelemelerini istemiştir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 20 10

11 1 Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Strateji Strateji Strateji * Sütun oyuncusunun üstün bir stratejisi yoktur. * Satır oyuncusunun 1nci stratejisi 3ncü stratejiye göre üstündür * Satır oyuncusunun üstün bir stratejisi yoktur. * Sütun oyuncusunun 1nci ve 2nci stratejileri 3ncü stratejiye göre üstündür. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA (1, 1) noktası bir denge noktasıdır maksimin = minimaks = 1 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 22 11

12 Kararsız Oyunlar Denge noktası bulunmayan iki kişili sıfır toplamlı oyunlar kararsız oyun olarak adlandırılır. Kararsız oyunlarda oyuncular stratejilerinin olasılık dağılımını (her bir stratejinin kullanılma olasılığını ya da oranını) saptayarak bu olasılıklara göre stratejilerini kullanırlar. Satır oyuncusunun m adet stratejisi ve sütun oyuncusunun n adet stratejisi varsa; x i = satır oyuncusunun i stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (i=1, 2,..., m) y j = sütun oyuncusunun j stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (j=1, 2,..., n ) x i ve y j olasılık olduğuna göre; 1. 0 x i 1 (i=1, 2,, m); 0 y j 1 ( j=1, 2,, n) 2. m i 1 n x i y j j 1 1 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 23 Kararsız Oyunlar Sütun Oyuncusu Olasılık y 1 y 2... y n Olasılık Strateji n Satır Oyuncusu x 1 1 a 11 a a 1n x 2 2 a 21 a a 2n x m m a m1 a m2... a mn Satır oyuncusu x 1, x 2,..., x m olasılıklarını, sütun oyuncusu da y 1, y 2,..., y n olasılıklarını belirleyerek oyun planlarını oluştururlar. Bu (x 1, x 2,..., x m ) ve (y 1, y 2,..., y n ) olasılıklarına karma strateji adı verilir ve orijinal stratejilerin her biri ise saf strateji olarak adlandırılır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 24 12

13 Kararsız Oyunlar Karma stratejilerle oynanan bir oyunda satır oyuncusunun beklenen kazancı (sütun oyuncusunun beklenen kaybı); her strateji kombinasyonunun sağlayacağı ortalama kazanç değerlerini hesaplayıp bütün kombinasyonlar için bu değerleri toplayarak bulunur. Buna göre; v = a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y a mn x m y n V m n i 1 j 1 a x y ij i j Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 25 Kararsız Oyunlar Minimaks Maksimin Teoremi: Karma stratejilerin belirlenmesinde de yine minimaks maksimin kriteri kullanılır. Satır oyuncusu maksimin kriterine göre minimum beklenen kazancını maksimum yapan karma stratejiyi; sütun oyuncusu ise minimaks kriterine göre maksimum beklenen kaybını minimum yapan karma stratejiyi seçer. Maksimin değerini V ile ve minimaks değerini V ile gösterelim. Buna göre denge noktası bulunmayan iki kişili sıfır toplamlı bir oyunda optimal stratejiler aşağıdaki teoreme göre bulunur ; V = V = V(oyunun değeri) eşitliğini sağlayan stratejiler optimal karma stratejilerdir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 26 13

14 Grafik Çözüm Yaklaşımı Oyunculardan birisinin yalnızca iki stratejisi var ise (2x2, mx2 ve 2xn Boyutlu Oyunlar) o zaman grafik metodunu kullanarak optimal karma stratejiler bulunabilir. Eğer her oyuncunun ikiden fazla stratejisi var ise (alt edilebilecek bütün stratejileri çıkardıktan sonra) bu durumda ileride görüleceği gibi oyun, bir doğrusal programlama modeli olarak yazılıp çözülebilir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 27 Grafik Çözüm Yaklaşımı Satır oyuncusunun iki stratejisi var ise karma stratejisi (x 1, x 2 ) olasılıkları ile tanımlanır ve bu durumda x 2 =1 x 1 olacağından tek değişken olan x 1 in optimal değerini bulmak gerekmektedir. Bunun için de öncelikle rakibin (sütun oyuncusu) her bir saf stratejisine karşılık gelen kazancı x 1 in fonksiyonu olarak çizilir ve bu grafikte minimum kazancı maksimum yapan nokta, yani maksimin noktası belirlenir. Sütun oyuncusu için çözüm yapılıyorsa bu sefer maksimum kaybı minimum yapan nokta yani minimaks noktası bulunur. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 28 14

15 Sütun Oyuncusu Olasılık y 1 y 2 Satır Oyuncusu Olasılık Strateji 1 2 x X 2 =1-X Satır oyuncusunun beklenen kazancı x 1 Maksimin noktası /4 1/2 3/ x 1 2 x 1 * 3 4 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 29 Sütun Oyuncusu Satır Oyuncusu Sütun oyuncusunun beklenen kaybı Olasılık y 1 y 2 Olasılık Strateji 1 2 x X 2 =1-X Minimaks noktası y 1 1/4 1/2 3/4 1.0 y 1 * y 1 2 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 30 15

16 Lineer Programlama Yaklaşımı Satır Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli Maks v a 11 x 1 + a 21 x a m1 x m v a 12 x 1 + a 22 x a m2 x m v a 1n x 1 + a 2n x a mn x m v x 1 + x x m = 1 x i 0 (i=1, 2,, m); v sınırsız Min w Sütun Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n w a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n w a m1 y 1 + a m2 y a mn y n w y 1 + y y n = 1 y j 0 ( j=1, 2,, n); w sınırsız Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 31 Örnek 3 stratejinin söz konusu olduğu bir oyun için kazanç matrisi aşağıdaki gibi elde edilmiştir: B1 B2 B3 A A A Bu oyun için doğrusal programlama modellerini elde ediniz? Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 32 /

17 Çözüm B1 B2 B3 Satır Min A A A Sütun Mak Oyun karma stratejili bir oyundur ve oyunun değeri -2 ile 2 arasında değişmektedir. Bu oyun için doğrusal programlama modelleri aşağıdaki gibi elde edilir: Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 33 / Çözüm Satır oyuncusu için doğrusal programlama modeli: Maks z= v 3x 2x 5x v x 4x 6x v x x 2x v x x x x, x, x v sınırlandırılmamış Çözüm: x x x v Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 34 /

18 Çözüm Sütun oyuncusu için doğrusal programlama modeli: Min z= v 3y y 3y v y 4y y v y 6y 2y v y y y y, y, y v sınırlandırılmamış Çözüm: y y y Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 35 / Örnek * İki kişi arasında oynanan bir oyunda oyuncular aynı anda elleri ile taş, kağıt ya da makas işaretini gösterirler. Makas kağıda göre, kağıt taşa göre ve taş ise makasa göre üstün olup, üstün olan işareti gösteren oyuncu diğerinden 1 puan kazanır. Bu problemi iki kişili sıfır toplamlı bir oyun olarak modelleyelim. Satır Oyuncusu Sütun Oyuncusu Strateji Taş Kağıt Makas Taş Kağıt Makas Satır Min Sütun Maks Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 36 18

19 Örnek : İki televizyon kanalı, 20:00 21:00 zaman dilimi süresince 100 milyon kişilik izleyici kitlesini çekmek için rekabet halindedirler. İki kanal, bu zaman diliminde yayınlayacakları programı aynı anda duyurmak zorundadırlar. Her kanalın muhtemel seçenekleri ile her seçenek için 1nci kanalın izleyici sayısı (milyon olarak) tabloda verilmiştir. Birinci Kanal Western Klasik Komedi İkinci Kanal Western Klasik Komedi Örneğin, her iki kanal filmi seçerse, kazanç matrisi 35 milyon seyircinin 1nci kanalı ve =65 milyon seyircinin 2nci kanalı tercih edeceğini göstermektedir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 37 Kazanç Matrisi: İkinci Kanal Western Klasik Komedi Satır Min. Birinci Kanal Western Klasik Komedi Sütun Maks Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 38 19

20 İki Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar Örnek : Firar eden ve bir soyguna karışan iki mahkum yeniden yakalanmış ve yeni suçlarından yargılanmayı beklemektedirler. Suçlu olmalarına rağmen, savcı onları mahkum ettirmek için yeterli delil olmadığını düşünmektedir. Bu yüzden savcı mahkumları suçu itiraf etmeye ve diğeri aleyhinde tanıklık yapmaya zorlamak için, her mahkuma şunu söyler: Eğer sadece biriniz itiraf eder ve arkadaşınız aleyhine tanıklık yaparsanız, inkar eden kesinlikle 20 yıl hapis cezasına mahkum edilirken itiraf eden serbest kalır. Her ikiniz de itiraf ederseniz, 5 er yıl hapse mahkum olursunuz. Hiç biriniz itiraf etmezseniz, her ikiniz de önceki suçun devamı olarak 1 er yıl hapis cezası alırsınız. Mahkumlar mahkeme önüne çıkıncaya kadar kesinlikle birbirleri ile görüşemeyeceklerdir. Buna göre mahkumlar ne yapmalıdır? Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 39 * Çözüm: Burada öncelikle mahkumların birbirleriyle haberleşemediği varsayılmaktadır. Savcının açıklamasına göre tarafların stratejileri ve kazançları Tabloda gösterilmektedir. Hapis istenmeyen bir şey olduğu için değerler matriste negatif olarak belirtilmiştir. Parantez içindeki ilk rakam 1nci mahkumun, ikinci rakam ise 2nci mahkumun kazancını göstermektedir. Birinci Mahkum İtiraf İnkar İkinci Mahkum İtiraf İnkar ( 5, 5) (0, 20) ( 20,0) ( 1, 1) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 40 20

21 İki Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar * Örnek : Bir şehirdeki iki rakip lokantanın (A ve B) yıllık satış gelirleri toplamı 240 birimdir. Lokantalar gelecek yıl için reklam bütçelerini planlamaktadırlar. Her iki lokanta da reklam için 6 veya 10 birim para ayırabilecektir. Eğer birisi reklam için diğerinden daha fazla harcarsa, çok harcayan lokanta toplam satış gelirinin 190 birimini elde edecektir. Her ikisi de aynı miktarda harcarsa karı eşit olarak paylaşacaklardır. Her bir birim satış 0.1 birim kar bırakmaktadır. Diyelim ki her iki lokanta da net karını (satış geliri reklam harcamaları) maksimum yapmak istiyor. Bu oyun için denge noktasını bulunuz. Lokanta A 10 6 Lokanta B 10 6 (2, 2) (9, 1) ( 1, 9) (6, 6) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 41 * Örnek : İki komşu ülke, silahlanma yarışı yüzünden yeni bir silah konusunda iki strateji üzerinde düşünmektedirler: Yeni bir silah geliştirmek veya mevcut durumu korumak. Bu problemin kazanç matrisi Tabloda olup, bu matris silahın sadece bir ülke tarafından geliştirilmesi durumunda herhangi bir silah geliştirmeyip mevcut durumu koruyan ülkenin işgal edilebileceği ve sonuçta silah geliştiren ülke için 20 birimlik bir kazanç ve işgal edilen ülke için ise 100 birimlik bir kayıp oluşacağı varsayımına göre hazırlanmıştır. Ayrıca, yeni bir silah geliştirmenin 10 birimlik bir maliyeti olduğu da diğer bir varsayım olarak değerlendirilmektedir. B Ülkesi A Ülkesi Yeni silah geliştirmek Durumu korumak Yeni silah geliştirmek Durumu korumak ( 10, 10) (10, 100) ( 100, 10) (0, 0) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 42 21

22 Kaynakça Wayne L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, Thomson, 2004 Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 2012, KHO Yayınları. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 43 /