Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı"

Transkript

1 Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Oyun Teorisi Yaklaşımı Doç. Dr. İhsan KAYA Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 1 Tanım: Oyun teorisi «Birbiriyle rekabet halinde olan iki ya da daha fazla karar vericinin aynı anda birbirlerinden habersiz olarak birer hareket tarzı seçtiği ve her birinin uyguladığı hareket tarzının diğerinin kazancını doğrudan etkilediği durumları birer oyun olarak modelleyip analiz etmek maksadıyla kullanılan matematiksel bir teoridir». Uygulama Alanları: Askeri faaliyetler, Siyasi faaliyetler, Spor müsabakaları, Reklam ve pazarlama faaliyetleri, Şans oyunları. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 2 / 412 1

2 Sınıflandırma OYUN TÜRLERİ * Karar Vericilerin Sayısına Göre; İki kişili oyunlar n kişili oyunlar * Sonuçlarına Göre; Sabit toplamlı oyunlar Sabit toplamlı olmayan oyunlar Oyuncuların kazanç ve kayıpları toplamı sıfır ise, sıfır toplamlı oyun denir. Sıfır toplamlı oyunlar, c=0 olan sabit toplamlı oyunlardır. İki kişili, sıfır toplamlı oyunlar matematiksel olarak basit olduklarından, oyun teorisinin ilkelerinin tanıtılmasında en sık kullanılan oyun türüdür. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 3 İki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar Temel Özellikleri İki adet oyuncu vardır ve bunlar satır oyuncusu ve sütun oyuncusu olarak adlandırılırlar. Oyunculardan birinin kazancı (karı) diğerinin kaybına (zararına) eşittir. Satır oyuncusu toplam m adet stratejiden birini uygular iken sütun oyuncusu da aynı anda n adet stratejiden birini kullanır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 4 2

3 Kabuller: İKİ Kİki Kişili Sıfır Toplamlı Oyunlar İŞİLİ, SIFIR TOPLAMLI OYUNLAR Her iki oyuncu da oldukça mantıklı kişilerdir. Her iki oyuncu da sadece kendi faydalarını artıracak stratejileri seçerler. Oyuncular riske girmeden kendileri için garanti olan en iyi kazancı elde etmeye çalışırlar. Oyunlarda belirsizlik hakimdir, yani oyuncular oyuna başlamadan önce rakibinin hangi stratejiyi kullanacağını bilmezler. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 5 Kazanç Matrisi * Oyun problemlerinde oyuncuların bütün stratejilerine karşılık gelen kazanç değerleri bir matris şeklinde gösterilir ve bu matrise Kazanç Matrisi adı verilir. İki Kişili Sıfır Toplamlı Bir Oyunun Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2... Strateji n Strateji 1 a 11 a a 1n Satır Oyuncusunun Stratejisi Strateji 2 a 21 a a 2n Strateji m a m1 a m2... a mn Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 6 3

4 Örnek * Bu oyunda her iki oyuncu aynı anda ya tek yada çift parmağını gösterir. Oyuna başlamadan önce oyuncular birisi tek diğeri çift olmak üzere aralarında anlaşırlar. Parmak sayılarının toplamı tek sayı olursa, yani oyuncular farklı sayıda parmak gösterirlerse, oyunculardan birisi (örneğin satır oyuncusu) kazanır. Parmak sayılarının toplamı çift sayı olursa yani oyuncular aynı sayıda parmak gösterilirse diğer oyuncu (sütun oyuncusu) kazanır. Kazanan oyuncu kaybedenden 1 birim alır. Tek Çift Oyununun Kazanç Matrisi Satır Oyuncusu (TEK) Sütun Oyuncusu (ÇİFT) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 7 Örnek: Tek çift gösterme ve tek çift söyleme oyunu * İki kişi arasında oynanan bir oyunda; oyuncular aynı anda hem bir ya da iki parmak göstermekte, hem de tek ya da çift diye bağırarak rakibinin parmak sayısını tahmin etmektedirler. Karşısındakinin parmak sayısını doğru tahmin eden oyuncu her iki oyuncunun parmak sayılarının toplamı kadar puan kazanmakta, yanlış tahminde bulunan oyuncu ise toplam parmak sayısı kadar puan kaybetmektedir. Her iki oyuncu da doğru tahmin etmiş ya da her ikisi de bilememiş ise beraberlik söz konusu olup oyuncular sıfır puan almaktadırlar. Bu oyun iki kişili sıfır toplamlı bir oyun olarak modellenecektir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 8 4

5 * Burada her iki oyuncu için kullanabilecek dört strateji vardır: 1nci strateji ; tek parmak gösterip tek söylemek (TT) 2nci strateji ; tek parmak gösterip çift söylemek (TÇ) 3ncü strateji; çift parmak gösterip tek söylemek (ÇT) 4ncü strateji; çift parmak gösterip çift söylemek (ÇÇ) Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusu 1 (TT) 2 (TÇ) 3 (ÇT) 4 (ÇÇ) 1 (TT) Satır Oyuncusu 2 (TÇ) (ÇT) (ÇÇ) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 9 DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR SATIR OYUNCUSU; kendi stratejilerinin her biri için, kazanabileceği minimum kazancı saptar ve bunlar arasından maksimum değerli kazancın bulunduğu stratejiyi seçer, SÜTUN OYUNCUSU ise; her bir stratejisinden kaybedebileceği maksimum değerleri saptar ve bu maksimum kayıplar arasından minimum kaybın bulunduğu stratejiyi seçer. Böylece her oyuncu; rakibi ne seçerse seçsin kendi stratejisi ile belirlediği sonuçtan daha kötüsü ile karşılaşmamayı garanti altına alır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 10 5

6 DENGE NOKTASI VE KARARLI OYUNLAR Denge Noktasına Sahip İki Kişili Sıfır Toplamlı Bir Oyunun Satır Oyuncusuna Göre Kazanç Matrisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Maksimumu Strateji Strateji Strateji Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 11 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Strateji Oyuncusunun Strateji Stratejisi Strateji Sütun Maksimumu Satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu mantıklı hareket ederek kendisine en az kaybı verdirecek olan 1nci ya da 2nci stratejisini kullanır ve 4 birim kaybeder (birinci satırdaki en küçük rakamlar), yani satır oyuncusu 4 birim kazanır, 2nci stratejiyi seçerse; sütün oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 1 birim kaybeder, 3ncü stratejiyi seçerse; sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer ve 5 birim kaybeder. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 12 6

7 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Bu durumda satır oyuncusu hangi satırı seçerse seçsin o satırın en küçük değerine eşit bir kazanç elde eder. (satır minimumları) Bu değerler satır oyuncusunun garanti olan kazançlarıdır. O halde satır oyuncusu kendi kazancını maksimum yapmak isteyeceği için, satır minimumları arasından maksimum olan değeri elde etmek ister. maks {4, 1, 5} = 5 satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 13 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Strateji Oyuncusunun Strateji Stratejisi Strateji Sütun Maksimumu Sütun oyuncusu 1nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu mantıklı hareket ederek sütun oyuncusuna en fazla kaybı verdirecek olan 3ncü stratejisini kullanır (birinci sütundaki en büyük rakam), yani satır oyuncusu 6 birim kazanır, 2nci stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 3ncü stratejiyi seçer ve 5 birim kazanır, 3ncü stratejiyi seçerse; satır oyuncusu 1nci stratejiyi seçer ve 10 birim kazanır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 14 7

8 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sonuçta sütun oyuncusu hangi sütunu seçerse seçsin o sütunun en büyük değerine eşit bir kaybı olur (sütun maksimumları). Bu değerler sütun oyuncusunun kaybedeceği en büyük değerlerdir (garanti olan kayıplarıdır). Bu durumda sütun oyuncusu kendi kaybını en düşük seviyede tutmaya çalışacak, yani sütun maksimumları arasından minimum olan değeri kaybetmek isteyecektir. min {6, 5, 10} = 5 sütun oyuncusu 2nci stratejiyi seçer. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 15 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Denge Noktasının Koşulu: maks (satır minimumları) = min (sütun maksimumları) maksimin = minimaks * Denge noktası öyle bir noktadır ki oyuncular tek taraflı olarak stratejilerini değiştirirler ise durumlarında bir iyileşme söz konusu olmaz (daha da kötüye gidebilirler). * Denge noktasının bir diğer özelliği ise şöyle açıklanabilir: Bu nokta yer aldığı satırdaki en küçük sayı ve yer aldığı sütundaki ise en büyük sayıdır. Bu özellikleri gözlemek suretiyle denge noktasının olup olmadığı incelenebilir. * Denge noktasına sahip olan oyunlar kararlı oyun olarak adlandırılırlar. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 16 8

9 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Satır Minimumu Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Maksimumu Strateji Strateji Strateji maksimin = minimaks = v = 5 * Saf Strateji : İki kişili sıfır toplamlı bir oyun denge noktasına sahip ise oyunun optimal çözümüne göre her oyuncu oyun boyunca yalnızca bir stratejisini kullanır, yani oyun saf stratejiler ile oynanır. Bu stratejiler oyunun denge noktasını oluşturan satır ve sütundur. * Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 17 Denge Noktası ve Kararlı Oyunlar Oyunun Değeri (v): Optimal çözümde satır oyuncusunun kazanacağı ve sütun oyuncusunun kaybedeceği değere oyunun değeri denir ve sıfır toplamlı oyunlarda her iki oyuncu için bu değer aynıdır. Dengeli oyunlarda oyunun değeri denge noktasındaki kazanç değerine eşittir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 18 9

10 Üstünlük Stratejisi Bir oyuncunun herhangi bir i stratejisi her zaman (rakibin bütün hareket tarzlarına karşı) en az diğer bir i stratejisinin sağladığı faydayı sağlıyor ve rakibin en az bir stratejisi karşısında da i stratejisinden daha iyi bir fayda sağlıyor ise i stratejisi i stratejisine göre üstündür denir ve i stratejisini alt eder (saf dışı bırakır). Alt edilen strateji kazanç matrisinden çıkarılarak bundan sonraki işlemlerde göz önünde bulundurulmaz. Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Strateji Strateji Strateji Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 19 Örnek Rakip iki otomobil firması kış dönemi satışlarını artırmak amacıyla reklam faaliyetlerine başlamayı planlamaktadır. Reklam kampanyası 2 haftalık olarak planlanmaktadır. Firmalar radyo veya televizyon olmak üzere iki ortam üzerinde yoğunlaşmakta olup reklam ya her birinde birer hafta yayınlanacak, ya da her iki hafta aynı ortamda yayınlanacaktır: Strateji 1: 1 hafta radyoda ve 1 hafta televizyonda reklam yayınlamak Strateji 2: 2 hafta radyoda reklam yayınlamak Strateji 3: 2 hafta televizyonda reklam yayınlamak Reklam anlaşması reklam şirketi ile her firma arasında gizli olarak kalacağından her firma kendi anlaşmasını yapmadan önce rakibinin hareket tarzını bilmeyecektir. Buna göre her firma yöneylem araştırmacılarından, kendilerinin ve rakip firmanın uygulayacağı hareket tarzına göre, bu iki haftanın değerlendirilmesi ile ilgili olarak her kombinasyonda ne kadar müşteri kazanacağını veya kaybedeceğini incelemelerini istemiştir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 20 10

11 1 Satır Oyuncusunun Stratejisi Sütun Oyuncusunun Stratejisi Strateji 1 Strateji 2 Strateji 3 Strateji Strateji Strateji * Sütun oyuncusunun üstün bir stratejisi yoktur. * Satır oyuncusunun 1nci stratejisi 3ncü stratejiye göre üstündür * Satır oyuncusunun üstün bir stratejisi yoktur. * Sütun oyuncusunun 1nci ve 2nci stratejileri 3ncü stratejiye göre üstündür. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA (1, 1) noktası bir denge noktasıdır maksimin = minimaks = 1 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 22 11

12 Kararsız Oyunlar Denge noktası bulunmayan iki kişili sıfır toplamlı oyunlar kararsız oyun olarak adlandırılır. Kararsız oyunlarda oyuncular stratejilerinin olasılık dağılımını (her bir stratejinin kullanılma olasılığını ya da oranını) saptayarak bu olasılıklara göre stratejilerini kullanırlar. Satır oyuncusunun m adet stratejisi ve sütun oyuncusunun n adet stratejisi varsa; x i = satır oyuncusunun i stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (i=1, 2,..., m) y j = sütun oyuncusunun j stratejisini kullanma olasılığı (oranı); (j=1, 2,..., n ) x i ve y j olasılık olduğuna göre; 1. 0 x i 1 (i=1, 2,, m); 0 y j 1 ( j=1, 2,, n) 2. m i 1 n x i y j j 1 1 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 23 Kararsız Oyunlar Sütun Oyuncusu Olasılık y 1 y 2... y n Olasılık Strateji n Satır Oyuncusu x 1 1 a 11 a a 1n x 2 2 a 21 a a 2n x m m a m1 a m2... a mn Satır oyuncusu x 1, x 2,..., x m olasılıklarını, sütun oyuncusu da y 1, y 2,..., y n olasılıklarını belirleyerek oyun planlarını oluştururlar. Bu (x 1, x 2,..., x m ) ve (y 1, y 2,..., y n ) olasılıklarına karma strateji adı verilir ve orijinal stratejilerin her biri ise saf strateji olarak adlandırılır. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 24 12

13 Kararsız Oyunlar Karma stratejilerle oynanan bir oyunda satır oyuncusunun beklenen kazancı (sütun oyuncusunun beklenen kaybı); her strateji kombinasyonunun sağlayacağı ortalama kazanç değerlerini hesaplayıp bütün kombinasyonlar için bu değerleri toplayarak bulunur. Buna göre; v = a 11 x 1 y 1 + a 12 x 1 y a mn x m y n V m n i 1 j 1 a x y ij i j Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 25 Kararsız Oyunlar Minimaks Maksimin Teoremi: Karma stratejilerin belirlenmesinde de yine minimaks maksimin kriteri kullanılır. Satır oyuncusu maksimin kriterine göre minimum beklenen kazancını maksimum yapan karma stratejiyi; sütun oyuncusu ise minimaks kriterine göre maksimum beklenen kaybını minimum yapan karma stratejiyi seçer. Maksimin değerini V ile ve minimaks değerini V ile gösterelim. Buna göre denge noktası bulunmayan iki kişili sıfır toplamlı bir oyunda optimal stratejiler aşağıdaki teoreme göre bulunur ; V = V = V(oyunun değeri) eşitliğini sağlayan stratejiler optimal karma stratejilerdir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 26 13

14 Grafik Çözüm Yaklaşımı Oyunculardan birisinin yalnızca iki stratejisi var ise (2x2, mx2 ve 2xn Boyutlu Oyunlar) o zaman grafik metodunu kullanarak optimal karma stratejiler bulunabilir. Eğer her oyuncunun ikiden fazla stratejisi var ise (alt edilebilecek bütün stratejileri çıkardıktan sonra) bu durumda ileride görüleceği gibi oyun, bir doğrusal programlama modeli olarak yazılıp çözülebilir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 27 Grafik Çözüm Yaklaşımı Satır oyuncusunun iki stratejisi var ise karma stratejisi (x 1, x 2 ) olasılıkları ile tanımlanır ve bu durumda x 2 =1 x 1 olacağından tek değişken olan x 1 in optimal değerini bulmak gerekmektedir. Bunun için de öncelikle rakibin (sütun oyuncusu) her bir saf stratejisine karşılık gelen kazancı x 1 in fonksiyonu olarak çizilir ve bu grafikte minimum kazancı maksimum yapan nokta, yani maksimin noktası belirlenir. Sütun oyuncusu için çözüm yapılıyorsa bu sefer maksimum kaybı minimum yapan nokta yani minimaks noktası bulunur. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 28 14

15 Sütun Oyuncusu Olasılık y 1 y 2 Satır Oyuncusu Olasılık Strateji 1 2 x X 2 =1-X Satır oyuncusunun beklenen kazancı x 1 Maksimin noktası /4 1/2 3/ x 1 2 x 1 * 3 4 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 29 Sütun Oyuncusu Satır Oyuncusu Sütun oyuncusunun beklenen kaybı Olasılık y 1 y 2 Olasılık Strateji 1 2 x X 2 =1-X Minimaks noktası y 1 1/4 1/2 3/4 1.0 y 1 * y 1 2 Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 30 15

16 Lineer Programlama Yaklaşımı Satır Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli Maks v a 11 x 1 + a 21 x a m1 x m v a 12 x 1 + a 22 x a m2 x m v a 1n x 1 + a 2n x a mn x m v x 1 + x x m = 1 x i 0 (i=1, 2,, m); v sınırsız Min w Sütun Oyuncusunun Doğrusal Programlama Modeli a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n w a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n w a m1 y 1 + a m2 y a mn y n w y 1 + y y n = 1 y j 0 ( j=1, 2,, n); w sınırsız Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 31 Örnek 3 stratejinin söz konusu olduğu bir oyun için kazanç matrisi aşağıdaki gibi elde edilmiştir: B1 B2 B3 A A A Bu oyun için doğrusal programlama modellerini elde ediniz? Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 32 /

17 Çözüm B1 B2 B3 Satır Min A A A Sütun Mak Oyun karma stratejili bir oyundur ve oyunun değeri -2 ile 2 arasında değişmektedir. Bu oyun için doğrusal programlama modelleri aşağıdaki gibi elde edilir: Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 33 / Çözüm Satır oyuncusu için doğrusal programlama modeli: Maks z= v 3x 2x 5x v x 4x 6x v x x 2x v x x x x, x, x v sınırlandırılmamış Çözüm: x x x v Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 34 /

18 Çözüm Sütun oyuncusu için doğrusal programlama modeli: Min z= v 3y y 3y v y 4y y v y 6y 2y v y y y y, y, y v sınırlandırılmamış Çözüm: y y y Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 35 / Örnek * İki kişi arasında oynanan bir oyunda oyuncular aynı anda elleri ile taş, kağıt ya da makas işaretini gösterirler. Makas kağıda göre, kağıt taşa göre ve taş ise makasa göre üstün olup, üstün olan işareti gösteren oyuncu diğerinden 1 puan kazanır. Bu problemi iki kişili sıfır toplamlı bir oyun olarak modelleyelim. Satır Oyuncusu Sütun Oyuncusu Strateji Taş Kağıt Makas Taş Kağıt Makas Satır Min Sütun Maks Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 36 18

19 Örnek : İki televizyon kanalı, 20:00 21:00 zaman dilimi süresince 100 milyon kişilik izleyici kitlesini çekmek için rekabet halindedirler. İki kanal, bu zaman diliminde yayınlayacakları programı aynı anda duyurmak zorundadırlar. Her kanalın muhtemel seçenekleri ile her seçenek için 1nci kanalın izleyici sayısı (milyon olarak) tabloda verilmiştir. Birinci Kanal Western Klasik Komedi İkinci Kanal Western Klasik Komedi Örneğin, her iki kanal filmi seçerse, kazanç matrisi 35 milyon seyircinin 1nci kanalı ve =65 milyon seyircinin 2nci kanalı tercih edeceğini göstermektedir. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 37 Kazanç Matrisi: İkinci Kanal Western Klasik Komedi Satır Min. Birinci Kanal Western Klasik Komedi Sütun Maks Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 38 19

20 İki Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar Örnek : Firar eden ve bir soyguna karışan iki mahkum yeniden yakalanmış ve yeni suçlarından yargılanmayı beklemektedirler. Suçlu olmalarına rağmen, savcı onları mahkum ettirmek için yeterli delil olmadığını düşünmektedir. Bu yüzden savcı mahkumları suçu itiraf etmeye ve diğeri aleyhinde tanıklık yapmaya zorlamak için, her mahkuma şunu söyler: Eğer sadece biriniz itiraf eder ve arkadaşınız aleyhine tanıklık yaparsanız, inkar eden kesinlikle 20 yıl hapis cezasına mahkum edilirken itiraf eden serbest kalır. Her ikiniz de itiraf ederseniz, 5 er yıl hapse mahkum olursunuz. Hiç biriniz itiraf etmezseniz, her ikiniz de önceki suçun devamı olarak 1 er yıl hapis cezası alırsınız. Mahkumlar mahkeme önüne çıkıncaya kadar kesinlikle birbirleri ile görüşemeyeceklerdir. Buna göre mahkumlar ne yapmalıdır? Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 39 * Çözüm: Burada öncelikle mahkumların birbirleriyle haberleşemediği varsayılmaktadır. Savcının açıklamasına göre tarafların stratejileri ve kazançları Tabloda gösterilmektedir. Hapis istenmeyen bir şey olduğu için değerler matriste negatif olarak belirtilmiştir. Parantez içindeki ilk rakam 1nci mahkumun, ikinci rakam ise 2nci mahkumun kazancını göstermektedir. Birinci Mahkum İtiraf İnkar İkinci Mahkum İtiraf İnkar ( 5, 5) (0, 20) ( 20,0) ( 1, 1) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 40 20

21 İki Kişili Sabit Toplamlı Olmayan Oyunlar * Örnek : Bir şehirdeki iki rakip lokantanın (A ve B) yıllık satış gelirleri toplamı 240 birimdir. Lokantalar gelecek yıl için reklam bütçelerini planlamaktadırlar. Her iki lokanta da reklam için 6 veya 10 birim para ayırabilecektir. Eğer birisi reklam için diğerinden daha fazla harcarsa, çok harcayan lokanta toplam satış gelirinin 190 birimini elde edecektir. Her ikisi de aynı miktarda harcarsa karı eşit olarak paylaşacaklardır. Her bir birim satış 0.1 birim kar bırakmaktadır. Diyelim ki her iki lokanta da net karını (satış geliri reklam harcamaları) maksimum yapmak istiyor. Bu oyun için denge noktasını bulunuz. Lokanta A 10 6 Lokanta B 10 6 (2, 2) (9, 1) ( 1, 9) (6, 6) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 41 * Örnek : İki komşu ülke, silahlanma yarışı yüzünden yeni bir silah konusunda iki strateji üzerinde düşünmektedirler: Yeni bir silah geliştirmek veya mevcut durumu korumak. Bu problemin kazanç matrisi Tabloda olup, bu matris silahın sadece bir ülke tarafından geliştirilmesi durumunda herhangi bir silah geliştirmeyip mevcut durumu koruyan ülkenin işgal edilebileceği ve sonuçta silah geliştiren ülke için 20 birimlik bir kazanç ve işgal edilen ülke için ise 100 birimlik bir kayıp oluşacağı varsayımına göre hazırlanmıştır. Ayrıca, yeni bir silah geliştirmenin 10 birimlik bir maliyeti olduğu da diğer bir varsayım olarak değerlendirilmektedir. B Ülkesi A Ülkesi Yeni silah geliştirmek Durumu korumak Yeni silah geliştirmek Durumu korumak ( 10, 10) (10, 100) ( 100, 10) (0, 0) Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 42 21

22 Kaynakça Wayne L. Winston, Operations Research: Applications and Algorithms, Thomson, 2004 Hamdy A. Taha, Operations Research: An Introduction, Prentice Hall, White, D.J., Operational Research, John Wiley &Sons, Yöneylem Araştırması Ders Kitabı, 2012, KHO Yayınları. Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 43 /

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI

DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: OYUN TEORİSİ İLE İSTANBUL TRAFİĞİNİN İNCELENMESİ HAZIRLAYANLAR: ECE TUNÇKOL-BERKE OĞUZ AKIN MEV KOLEJİ ÖZEL

Detaylı

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar

Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi

Detaylı

Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ. Oyuncusu Stratejisi. Stratejileri. Oyuncusu Stratejisi Stratejisi Cı Cı (3 4

Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ. Oyuncusu Stratejisi. Stratejileri. Oyuncusu Stratejisi Stratejisi Cı Cı (3 4 Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ ÖRNEK 1- Satır oyuncusunun iki (Tı, T 2 ), sütun oyuncusunun dört (Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 ) stratejisinin bulunduğu bir oyunun, satır oyuncusunun kazançlarına göre düzenlenen

Detaylı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı

Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş

Detaylı

KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil

KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil Bu derste; Oyun teorisi konusu ele alınacak. Neden oyun teorisine gerek duyulduğu açıklanacak, statik oyunların yapısı ve çözüm yöntemleri üzerinde

Detaylı

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I

yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV)

END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV) END. İKTİSADI VE OYUN TEORİSİ (BİRİNCİ ÖDEV) AÇIKLAMALAR Ödevlerinizin teslimi, 14 Kasim 2013 günü saat 09:30-12:30 da yapılacaktır. Sorular aynı gün örgün (13:15) ve ikinci öğretim (17:00) dersinde çözüleceği

Detaylı

Öğrencilerde Akıllı Telefon Kullanımının Özellikleri Bakımından Oyun Teorisi ile Analiz Edilmesi

Öğrencilerde Akıllı Telefon Kullanımının Özellikleri Bakımından Oyun Teorisi ile Analiz Edilmesi Aksaray Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi. 7(2). 67-76 2015 Aksaray Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi http://iibfdergi.aksaray.edu.tr Öğrencilerde Akıllı Telefon

Detaylı

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama

Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama 97 Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama Bahman Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmanın amacı, günümüzde rekabet ortamında karar verme durumunda olan sistemlerin araştırılmasıdır. Bu amaçla verileri

Detaylı

Risk ve Belirsizlik. 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi. Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler

Risk ve Belirsizlik. 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi. Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler Risk ve Belirsizlik Altında Karar Verme KONU 6 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi i Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler Gelecekte gerçekleşmesi mümkün olan olaylar Olası Durumlar şeklinde

Detaylı

OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz

OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz ÖZET Herhangi bir teori veya bir modelin amacı bir soruna çözüm bulmaktır. Bir oyunun çözümü oyuncuların nasıl karar vereceklerinin öngörülmesine bağlıdır. Oyuncular

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

OYUNLAR TEORİSİNİN MADEN ARAMALARINA UYGULANMASI

OYUNLAR TEORİSİNİN MADEN ARAMALARINA UYGULANMASI OYUNLAR TEORİSİNİN MADEN ARAMALARINA UYGULANMASI Hüsnü KALE Maden Tetkik ve Arama Enstitüsü, Ankara GİRİŞ İki rakip satranç masası başına oturduğu zaman, her ikisi de kendi kullandıkları taktiklere karşı,

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007

Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Bilgi Notu Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Saf Stratejilerde Evrimsel Kararlılık Ben Polak, Econ 159a/MGT 522a Ekim 9, 2007 Diyelim ki oyunlarda stratejiler ve davranışlar akıl yürüten insanlar tarafından seçilmiyor, ama oyuncuların genleri tarafından

Detaylı

Gürc r an n B ange g r

Gürc r an n B ange g r Gürcan Banger Hareket Noktası Kendi işini kurmaya karar vermede başlıca etkenler şunlardır: 1. İşini kaybetmek, 2. İşsizlik döneminin uzun sürmesine tepki, 3. Bir iş fırsatının belirlenmesi, 4. Daha çok

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 14.1 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 15-18 1 Eksik Bilgili Statik Oyunlar Şu ana kadar, herhangi bir oyuncu tarafından bilinen herhangi bir bilgi parçasının tüm oyuncular tarafından bilindiği

Detaylı

2. Sonsuz uzunluk kabul edilebilmesi için çubuklar ne kadar uzunlukta olmalıdır? Resim 1

2. Sonsuz uzunluk kabul edilebilmesi için çubuklar ne kadar uzunlukta olmalıdır? Resim 1 Örnek 3-9*: 5 mm çapında çok uzun bir çubuğun bir ucu T b =100 C sabit sıcaklıkta tutulmaktadır. Çubuğun yüzeyi T =25 C de ve ısı transfer katsayısı (h) 100 W/m 2 K olan çevresindeki hava (air) ile temastadır.

Detaylı

HEDEF PROGRAMLAMA. Hedef programlama yaklaşımında, sistemlerin birden fazla ve genellikle birbiriyle çatışan hedeflerinin olması durumu söz konusudur.

HEDEF PROGRAMLAMA. Hedef programlama yaklaşımında, sistemlerin birden fazla ve genellikle birbiriyle çatışan hedeflerinin olması durumu söz konusudur. HEDEF PROGRAMLAMA Doç. Dr. İhsan KAYA YTU Enüstri Mühenisliği Bölümü Heef Programlama Heef programlama yaklaşımına, sistemlerin biren fazla ve genellikle birbiriyle çatışan heeflerinin olması urumu söz

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Giriş Muhamet Yıldız (Ders 1) Oyun Teorisi Çok Kişili Karar Teorisi için yanlış bir isimlendirmedir. Oyun Teorisi, birden çok ajanın bulunduǧu ve her ajanın ödülünün diǧer

Detaylı

Bu optimal reklam-satış oranının reklam etkinliğini (reklam esnekliği) fiyat esnekliğine bölerek de hesaplarız anlamına gelir.

Bu optimal reklam-satış oranının reklam etkinliğini (reklam esnekliği) fiyat esnekliğine bölerek de hesaplarız anlamına gelir. Sloan Yönetim Okulu 15.010/ 15.011 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü Đş Kararları için Đktisadi Analiz Profesör McAdams, Montero, Stoker ve van den Steen 2000 Final Sınavı Cevapları: Asistanların Notlandırması

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 Bölüm 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 21 2.1 Doğrusal Programlamanın

Detaylı

TEKELC REKABET VE OLİGOPOL PİYASALAR

TEKELC REKABET VE OLİGOPOL PİYASALAR BÖLÜM 12 TEKELC REKABET VE OLİGOPOL PİYASALAR Tekelci rekabet (Monopolistic competition) Piyasya girişin serbest olduğu ve her firmanın kendi markasını (brand) üretip sattığı, ürünün farklılaştırılmış

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından

Detaylı

Final Sınavı. Güz 2005

Final Sınavı. Güz 2005 Econ 159a/MGT 522a Ben Polak Güz 2005 Bu defter kitap kapalı bir sınavdır. Sınav süresi 120 dakikadır (artı 60 dakika okuma süresi) Toplamda 120 puan vardır (artı 5 ekstra kredi). Sınavda 4 soru ve 6 sayfa

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin

Birkaç Oyun Daha Ali Nesin Birkaç Oyun Daha Ali Nesin B irinci Oyun. İki oyuncu şu oyunu oynuyorlar: Her ikisi de, birbirinden habersiz, toplamı 9 olan üç doğal sayı seçiyor. En büyük sayılar, ortanca sayılar ve en küçük sayılar

Detaylı

Konu 10 Oyun Teorisi: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti

Konu 10 Oyun Teorisi: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti .. Konu 10 Oyun si: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti Hadi Yektaş Uluslararası Antalya Üniversitesi İşletme Tezsiz Yüksek Lisans Programı 1 / 82 Hadi Yektaş Oyun si: Oligopol Piyasaların İç Mahiyeti İçerik.1.2.3.4

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP)

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) 1. Non-lineer kar analizi, 2. Kısıtlı optimizasyon, 3. Yerine koyma (substitution) yöntemi, 4. Lagranj Çarpanları Yöntemi 5. Başabaş Analizleri ve Duyarlılık Testleri

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Etki Diyagramları ve Karar Ağaçları

Etki Diyagramları ve Karar Ağaçları Etki Diyagramları ve Karar Ağaçları IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Dr. Vildan Ç. Özkır ın ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN

Detaylı

Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama. Giriş ve Projenin Amacı:

Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama. Giriş ve Projenin Amacı: Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama Giriş ve Projenin Amacı: Bu projenin amacı; matrisler ile diskriminant analizi yaparak, bir düzlem üzerine el ile yazılan bir sayının

Detaylı

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d)

Bu durumu, konum bazında bileşenlerini, yani dalga fonksiyonunu, vererek tanımlıyoruz : ) 1. (ikx x2. (d) Ders 10 Metindeki ilgili bölümler 1.7 Gaussiyen durum Burada, 1-d de hareket eden bir parçacığın önemli Gaussiyen durumu örneğini düşünüyoruz. Ele alış biçimimiz kitaptaki ile neredeyse aynı ama bu örnek

Detaylı

KARAR PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE OYUN TEORİSİ VE COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİNİN KULLANILMASI

KARAR PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE OYUN TEORİSİ VE COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİNİN KULLANILMASI KARAR PROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜNDE OYUN TEORİSİ VE COĞRAFİ BİLGİ SİSTEMLERİNİN KULLANILMASI ÖZET Erkan Köse 1, Mehmet Erbaş 2, Erkan Erşen 2 1 KHO, Kara Harp Okulu Savunma Bilimleri Enstitüsü, 06654 Ankara,

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015

GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 GEDİZ ÜNİVERSİTESİ SİSTEM MÜHENDİSLİĞİ YÜKSEK LİSANS PROGRAMI SMY 544 ALGORİTMALAR GÜZ 2015 Algoritmalar Ders 9 Dinamik Programlama SMY 544, ALGORİTMALAR, Güz 2015 Ders#9 2 Dinamik Programlama Böl-ve-fethet

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BEDEN EĞİTİMİ BÖLÜMÜ REKTÖRLÜK KUPASI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ BEDEN EĞİTİMİ BÖLÜMÜ REKTÖRLÜK KUPASI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI FAKÜLTELER ARASI ÖĞRENCİ TURNUVALARI GENEL KURALLARI. Turnuvanın yürütülmesinden Beden Eğitimi Bölümü sorumludur. Her türlü olay karşısında Beden Eğitimi Bölümü tarafından alınan kararlar uygulanacaktır..

Detaylı

Ad-Soyad- No: Emine Hatun AVŞAR-Leyla TABAK / 120805061-120805060 OYUN GELİŞTİRME AŞAMALARI-I

Ad-Soyad- No: Emine Hatun AVŞAR-Leyla TABAK / 120805061-120805060 OYUN GELİŞTİRME AŞAMALARI-I Ad-Soyad- No: Emine Hatun AVŞAR-Leyla TABAK / 120805061-120805060 OYUN GELİŞTİRME AŞAMALARI-I Oyununuzun senaryosunu kısaca tanıtınız/ amacını da belirtiniz. Oyun tek kişiliktir. Diğer oyuncuları bilgisayar

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri-

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI-2 -Markov Zincirleri- Hazırlayan Yrd. Doç. Selçuk Üniversitesi Mühendislik Fakültesi - Endüstri Mühendisliği Bölümü Giriş Zaman içerisinde tamamen önceden kestirilemeyecek şekilde

Detaylı

Reyting Metodolojisi. Fonmetre Metodoloji Dokümanı Temmuz, 2012. 2012 Milenyum Teknoloji Bilişim Ar-Ge San. Tic. Ltd. Şti.

Reyting Metodolojisi. Fonmetre Metodoloji Dokümanı Temmuz, 2012. 2012 Milenyum Teknoloji Bilişim Ar-Ge San. Tic. Ltd. Şti. Reyting Metodolojisi Fonmetre Metodoloji Dokümanı Temmuz, 2012 İçerik Giriş Tarihçe Kategori Bazında Gruplama Yatırımcı İçin Anlamı Nasıl Çalışır? Teori Beklenen Fayda Teorisi Portföy Performans Ölçümü

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları 4.2 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 2-3 Tekrarlı Oyunlar Bu ders notlarında, daha küçük bir oyunun tekrarlandığı ve bu tekrarlanan küçük oyunun statik oyun adını aldığı oyunları tartışacağız.

Detaylı

Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30

Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30 Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30 ID: Z Mikro 2 Ara 2010 Çoktan Seçmeli Sorular Cümleyi en iyi biçimde tamamlayan veya sorunun yanıtı olan seçeneği yanıt anahtarına işaretleyiniz. 1. Çapraz satış

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları

1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları 1. Giriş 2. Yayınma Mekanizmaları 3. Kararlı Karasız Yayınma 4. Yayınmayı etkileyen faktörler 5. Yarı iletkenlerde yayınma 6. Diğer yayınma yolları Sol üstte yüzey seftleştirme işlemi uygulanmış bir çelik

Detaylı

REKABET GÜCÜ VE DEĞİŞEN DÜNYA TUNCAY SONGÖR REKABET KURUMU II. BAŞKANI KURUL ÜYESİ

REKABET GÜCÜ VE DEĞİŞEN DÜNYA TUNCAY SONGÖR REKABET KURUMU II. BAŞKANI KURUL ÜYESİ REKABET GÜCÜ VE DEĞİŞEN DÜNYA TUNCAY SONGÖR REKABET KURUMU II. BAŞKANI KURUL ÜYESİ MÜŞTERİ ODAKLI YENİ EKONOMİ ESKİ EKONOMİ ARZ

Detaylı

Language: English / Turkish

Language: English / Turkish Rules of Coerceo by Coerceo Company Erhan Turkish translation by Erhan Çubukcuoğlu Türkçe Language: English / Turkish Copyright (Ticari haklar) Bu döküman Coerceo şirketinin resmi yazılı izni olmaksızın

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN

KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ DANIŞMAN ÖĞRETMEN KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI HANGİ ADAYI SEÇELİM? PROJEYİ HAZIRLAYANLAR BABÜR NEDİM ÇAĞATAY OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ ATAKÖY 9.-10. KISIM, 34156 BAKIRKÖY - İSTANBUL DANIŞMAN ÖĞRETMEN

Detaylı

TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU DOĞU KULÜPLERİ ARASI TAKIM ŞAMPİYONASI TALİMATI

TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU DOĞU KULÜPLERİ ARASI TAKIM ŞAMPİYONASI TALİMATI TÜRKİYE TENİS FEDERASYONU DOĞU KULÜPLERİ ARASI TAKIM ŞAMPİYONASI TALİMATI İlk Yayın Tarihi Değişiklik Tarihi Talimat Seri Numarası 18.08.2011 28.07.2013 Doğu_Takım_Şmp_1001 TTF Doğu Kulüpleri Arası Takım

Detaylı

ÜRETİM VE MALİYETLER

ÜRETİM VE MALİYETLER ÜRETİM VE MALİYETLER FİRMALARIN TEMEL AMACI Mal ve hizmet üretimi firmalar tarafından gerçekleştirilir. Ekonomi teorisine göre, firmaların mal ve hizmet üretimindeki temel amacı kar maksimizasyonu (en

Detaylı

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI

SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİ DERS NOTLARI STOKASTİK (RASSAL) SÜREÇLER Bazen rassal değişkenlerin zamanla nasıl değiştiğiyle ilgileniriz. Örneğin

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

ÜÇ ÇUBUK MEKANİZMASI

ÜÇ ÇUBUK MEKANİZMASI ÜÇ ÇUBUK MEKNİZMSI o l min l, lmaks B l,, B o Doç. Dr. Cihan DEMİR Yıldız Teknik Üniversitesi Dört çubuk mekanizmalarının uygulama alanı çok geniş olmasına rağmen bu uygulamalar üç değişik gurupta toplanabilir.

Detaylı

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL

VERİ MADENCİLİĞİ. Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL VERİ MADENCİLİĞİ Karar Ağacı Algoritmaları: SPRINT algoritması Öğr.Gör.İnan ÜNAL SPRINT Algoritması ID3,CART, ve C4.5 gibi algoritmalar önce derinlik ilkesine göre çalışırlar ve en iyi dallara ayırma kriterine

Detaylı

Yalova Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

Yalova Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Yalova Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Endüstri Mühendisliği Nedir? Endüstri Mühendisliği, sanayi ve hizmet alanlarındaki insan, bilgi, makine, malzeme, ekipman ve süreçlerin

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) YÖNEYLEM ARAŞTIRMA - 3 EN-422 4/II 2+1+0 2,5 3 Dersin Dili : İngilizce Dersin Seviyesi

Detaylı

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ MİMARLIK BÖLÜMÜ 2013-2014 GÜZ YARIYILI

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ MİMARLIK BÖLÜMÜ 2013-2014 GÜZ YARIYILI YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ MİMARLIK BÖLÜMÜ 2013-2014 GÜZ YARIYILI PROJE YAPIM YÖNETİMİ RİSK YÖNETİMİ 09071023 TUBA NUR BAZ PROJE YÖNETİMİNİN BİLGİ ALANLARI - ENTEGRASYON YÖNETİMİ - KAPSAM

Detaylı

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)

Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Mantıksal çıkarım yapmak. 9 ve üzeri

Mantıksal çıkarım yapmak. 9 ve üzeri Aktivite 6 Savaş gemileri Arama algoritmaları Özet Bilgisayarların sıklıkla bir yığın verinin içerisinde bilgi bulmaları gerekir. Hızlı ve verimli yöntemler kullanarak bunu becerirler. Bu aktivitede 3

Detaylı

KOÜ.GÖLCÜK MYO ÜNİVERSİTE SEÇMELİ DERSİ Dersin adı: SATRANÇ Dersin Yürütücüsü:Yrd. Doç. Dr. Fahrettin ÖVEÇ 1.Dersin amacı 2.

KOÜ.GÖLCÜK MYO ÜNİVERSİTE SEÇMELİ DERSİ Dersin adı: SATRANÇ Dersin Yürütücüsü:Yrd. Doç. Dr. Fahrettin ÖVEÇ 1.Dersin amacı 2. KOÜ.GÖLCÜK MYO ÜNİVERSİTE SEÇMELİ DERSİ Dersin adı: SATRANÇ Dersin Yürütücüsü:Yrd. Doç. Dr. Fahrettin ÖVEÇ.Dersin amacı.satranç Oyununun Tarihçesi.Satranç Oyun Elemanları ve Değerleri.Satranç Oyun Kuralları.

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

Çözümlemeleri" adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu.

Çözümlemeleri adlı yüksek lisans tezini başarıyla tamamlayarak 2001'de mezun oldu. Dersi Veren Öğretim Üyesi: Doç. Dr. Mehmet KORKMAZ Özgeçmişi Mehmet KORKMAZ, 1975 yılında Malatya da doğdu. İlkokul, ortaokul ve liseyi memleketi olan Isparta da tamamladı. 1996 yılında İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

3. Hafta Ar-Ge Yönetimi Yeni Ürün İnnovasyon

3. Hafta Ar-Ge Yönetimi Yeni Ürün İnnovasyon 3. Hafta Ar-Ge Yönetimi Yeni Ürün İnnovasyon Ar-Ge Nedir? Araştırma, var olan bilgiye kullanılabilir ve kanıtlanabilir nitelikte yeni bilgiler eklemek amacını güden sistemli bir incelemedir. Araştırma

Detaylı

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ

TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ SAKARYA ÜNİVERSİTESİ TOPLAM KALİTE YÖNETİMİ Hafta 13 Yrd. Doç. Dr. Semra BORAN Bu ders içeriğinin basım, yayım ve satış hakları Sakarya Üniversitesi ne aittir. "Uzaktan Öğretim" tekniğine uygun olarak

Detaylı

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz:

DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME. 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz: DENEME SINAVI A GRUBU / İŞLETME 1 1. İşletmenin yapısal özelliklerini şöyle sıralayabiliriz: 3 İşletme bir ekonomik kuruluştur. 3 İşletme bağımsız bir kuruluştur. 3 İşletme sosyal bir kuruluştur. 3 İşletme

Detaylı

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler)

DP Model Kurma (Derste Çözülecek Örnekler) 1*. Bir tekstil firması 3 ebatta (S-M-L) gömlek üretmektedir. Her bir gömleğin üretim maliyeti sırasıyla 3 pb., 4 pb. ve 6 pb. dir. Firmanın Türkiye çapındaki bayileri; haftada en az 2000 adet S, 3000

Detaylı

ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU

ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU ULUSLARARASI ANTALYA ÜNİVERSİTESİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DERS KATALOĞU ZORUNLU DERSLER IE 201 - Operasyon Modelleme Karar vermedeki belirsizlik rolü de dahil olmak üzere işletme kararlarının matematiksel

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1

YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMALARI 1 1.HAFTA Amacı:Karar vericiler işletmelerde sahip oldukları kaynakları; insan gücü makine ve techizat sermaye kullanarak belirli kararlar almak ister. Örneğin; en iyi üretim miktarı

Detaylı

AN EKER. Prof.Dr.Ayşeg AN EKER

AN EKER. Prof.Dr.Ayşeg AN EKER Malzeme-Fonksiyon İlişkisi Malzeme-Fonksiyon İlişkisi Bir malzemenin nitelikleri ; onun öz z kütle, k elastiklik modülü,, dayanım, fiyat vb. özelliklen tarafından belirlenir. Bir tasarım ; malzeme özelliklerin

Detaylı

SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ

SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 2580 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINI NO: 1550 SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ Yazarlar Doç.Dr. Özlem AYDIN (Ünite 1) Prof.Dr. Aydın ULUCAN (Ünite 2, 3) Doç.Dr.

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

Türk Mesleki Eğitiminde Girişimcilik

Türk Mesleki Eğitiminde Girişimcilik Leonardo Da Vinci ortaklık projesi GİRİŞİMCİLİK İÇİN ORTAKLIK Türk Mesleki Eğitiminde Girişimcilik 1. Lütfen ülkenizde mesleki eğitim seviyesinde okullarda girişimciliğin nasıl sunulduğunu açıklayınız.

Detaylı

Sloan Yönetim Okulu 15.010/15.011 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü Güzl 2004 Professors Berndt, Chapman, Doyle ve Stoker

Sloan Yönetim Okulu 15.010/15.011 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü Güzl 2004 Professors Berndt, Chapman, Doyle ve Stoker Sloan Yönetim Okulu 15.010/15.011 Massachusetts Teknoloji Enstitüsü Güzl 2004 Professors Berndt, Chapman, Doyle ve Stoker ÖDEV #5 ÇÖZÜMLER 1. a. Oyun Analizi i. Nash Dengesi Bir çift hamle Nash dengesidir

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 7 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

NİM Ali Nesin. 1 d2 d4 müydü bu hamle acaba?

NİM Ali Nesin. 1 d2 d4 müydü bu hamle acaba? NİM Ali Nesin D oktora yaptığım okulun en büyük odası toplumsal etkinliklere ayrılmıştı. Bu odanın hemen yanında çay ve kahve ocağı vardı. Matematikçiler çalışmaktan bunaldıklarında, sohbet etmek istediklerinde

Detaylı

Takım Maçı ve IMP Skorlaması

Takım Maçı ve IMP Skorlaması Takım Maçı ve IMP Skorlaması Takım maçının tanımı? 4 lü takım maçı, 6 oyuncudan kurulu iki takımın, birer çiftleri ile 2 masada karşılaşarak, aynı anda 4 oyuncusu ile, oynayan ya da oynamayan bir kaptanın

Detaylı

Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. ENM 307 Mühendislik Ekonomisi. Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR

Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü. ENM 307 Mühendislik Ekonomisi. Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR Gazi Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü ENM 307 Mühendislik Ekonomisi Ders Sorumlusu: Prof. Dr. Zülal GÜNGÖR Oda No:850 Telefon: 231 74 00/2850 E-mail: zulal@mmf.gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Endüstri

Detaylı

Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları

Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları Olasılık ve İstatistik (IE 220) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Olasılık ve İstatistik IE 220 Her İkisi 3 0 0 3 5 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Varant nedir? Varantların dayanak varlığı ne olacak? İlk uygulamada borsa endeksleri ve dolar/tl olacak.

Varant nedir? Varantların dayanak varlığı ne olacak? İlk uygulamada borsa endeksleri ve dolar/tl olacak. TÜRK yatırımcısı yeni bir ürünle tanışıyor: Varant. Ay sonunda 15 varantla başlaması beklenen işlemler yatırımcılara kaldıraç oranları nedeniyle yüksek getiri fırsatı sunuyor. UniCredit Menkul Değerler

Detaylı

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA

BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN beren@sakarya.edu.tr 0264 295 5642 1 MİCROSOFT EXCEL Elektronik tablolama veya hesaplama programı olarak da adlandırılan Excel, girilen veriler üzerinde

Detaylı

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ

İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İŞLETMENİN GELİR- GİDER VE KÂR HEDEFLERİ İşletme yöneticileri belli bir dönem sonunda belli miktarda kâr elde etmeyi hedeflerler. Kâr = Gelirler - Giderler Olduğuna göre, kârı yönetmek aslında gelirler

Detaylı

Mikroiktisat Final Sorularý

Mikroiktisat Final Sorularý Mikroiktisat Final Sorularý MERSĐN ÜNĐVERSĐTESĐ ĐKTĐSADĐ VE ĐDARĐ BĐLĐMLER FAKÜLTESĐ MALĐYE VE ĐŞLETME BÖLÜMLERĐ MĐKROĐKTĐSAT FĐNAL SINAVI 10.01.2011 Saat: 13:00 Çoktan Seçmeli Sorular: Sorunun Yanıtı

Detaylı

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi

14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi 14.12 Oyun Teorisi Ders Notları Seçim Teorisi Muhamet Yıldız (Ders 2) 1 Temel Seçim Teorisi X kümesi alternatifler kümesi olsun. Alternatifler birbirini dışlayan olsunlar, yani bir kişi aynı anda iki farklı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI İLE İLGİLİ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER I. ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM 1. Bir isletmenin en kısa sürede tamamlamak istediği 5 işi ve bu işlerin yapımında kullandığı 5 makinesi vardır. Aşağıdaki

Detaylı

TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI

TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI BÖLÜM 10 TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI IS-LM Modelinin Oluşturulması Klasik teori 1929 ekonomik krizine çare üretemedi Teoriye göre çıktı, faktör arzına ve teknolojiye bağlıydı Bunlar ise

Detaylı

Döviz Kurunun Belirlenmesi

Döviz Kurunun Belirlenmesi Bölüm 13 Döviz Kurunun Belirlenmesi Döviz kuru, ekonomideki bir çok değişkeni etkilemesi bakımından önemli bir değişkendir. Dış ticareti belirlemesinin ötesinde, enflasyon, yatırım ve tüketim kararları

Detaylı

Pi Sayısıyla Oyun Oynayalım

Pi Sayısıyla Oyun Oynayalım Pi, hiç bitmeyen basamaklarıyla pek çok insanın ilgisini çekmiş bir sayı. Bir oyunla pi sayısının ilk basamağını tanımak ister misiniz? Oyunun Kuralları 1. Oyun kişiyle oynanır.. Oyunu oynamak için buradaki

Detaylı

Brighton Ekolü. Film d'art (yapımevi)

Brighton Ekolü. Film d'art (yapımevi) Brighton Ekolü İngiliz fotoğrafçı topluluğudur. Superpoze, yakın çekim, kamera hareketleri görülür. Konulu filmler yapmadılar. Görsel efektlere ve hilelere yer verdiler. Film d'art (yapımevi) Ünlü klasik

Detaylı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı

BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy

Detaylı

AKARYAKITTA SERBEST FİYAT UYGULAMASI

AKARYAKITTA SERBEST FİYAT UYGULAMASI AKARYAKITTA SERBEST FİYAT UYGULAMASI 20/12/2003 tarihli Resmi Gazetede yayımlanarak yürürlüğe giren 5015 sayılı petrol piyasası kanunu çerçevesinde petrol ürünleri fiyatlandırılmasında yılbaşından itibaren

Detaylı