KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil

Transkript

1 KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil

2 Bu derste; Oyun teorisi konusu ele alınacak. Neden oyun teorisine gerek duyulduğu açıklanacak, statik oyunların yapısı ve çözüm yöntemleri üzerinde durulacaktır.

3 Oyun Teorisi (Game Theory) Bireylerin, örgütlerin, devletlerin ve zaman zaman da orduların bir olayda çıkarlarının çelişmesi aralarında şiddetli çatışmalara neden olur. Bu durumlarda, birbirlerine rakip iki veya daha fazla taraf vardır ve taraflardan birinin yapacağı herhangi bir hareketin başarılı olup olmayacağı diğer tarafın hareketine bağlı olacaktır. Taraflardan birinin aldığı kararın karşı tarafın aldığı karara bağlı bulunduğu hallerde rekabet meydana gelmekte, çatışma başlamaktadır. Bu tür çatışma yada rekabet durumlarının analizini yapmak amacı ile Oyun Teorisi kapsamında özel analitik teknikler geliştirilmektedir. Oyun teorisinin amacı, çatışan grup veya şahıslar için rasyonel hareket yollarını incelemek ve gruplardan birinin kazanmasını sağlamaktır.

4 Oyun Teorisi Oyun kelimesinin günlük yaşamda karşılığı eğlence olarak tanımlar. Mesela basketbol, futbol ve tenis, yada satranç gibi oyunlar bunu ifade eder. Bu oyunlardan çoğu karşılıklı etkileşimi ve rekabeti beraberinde getirir. Oyuncu oyundaki diğer oyuncudan üstün olmak için çabalar ve onun başarısı, büyük ölçüde diğer oyuncuların hareketlerine ve kendi hareket tarzlarına bağlıdır. Bu tanımlama ve örnekler oyun kelimesinin ilk algılanışı olup, gündelik hayatta kullanılışını ifade ederler. Ekonomi kaynaklarında oyun zamanla ortaya çıkacak olan belli ödemeleri önceden kestirmek için karar vermek zorunda kalan tarafların menfaat çatışmalarını veya rekabetini yansıtır. Bu anlamda oyun teorisi karmaşık yararların mücadelesini açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. Bu nedenle oyun teorisinin amacı, birbirine rakip olan ve çıkarları çatışan tarafların akılcı davranış kurallarının belirlenmesi ve bu tür karar ortamlarını açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. Oyun teorisi karar problemiyle ilgili diğer karar vericilerle karşı karşıya kalındığı zaman optimum karar vermek için kullanılır. Bu durumda tüm oyuncular kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışır.

5 Oyun Teorisi Esas amacı birbirine rakip olan ve çıkarları çatışan tarafların rasyonel (akılcı) davranış kurallarının belirlenmesi olan oyun teorisi, bu tür karar ortamlarını açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. İki yada daha fazla stratejinin bulunduğu ve karar vericinin çıkarlarının, karşıt çıkarlara sahip bir rakip tarafından kontrol edildiğini bildiği durumlar söz konusudur. Aslında ben şöyle yaparsam karşımdaki böyle yapar, o halde ben en iyisi şunu yapayım dediğimiz anda zihnimiz bir oyunun içine girmiştir zaten. Ekonomik hayatın temel öğelerinden en önemlisi rekabettir. Üretim faaliyetlerinde bulunan ve kar amacı güden her firmanın rakipleri vardır. Bu nedenle bir işletmenin iç bünyesi ile ilgili sorunlara en iyi çözüm bulması, başarılı olmasına yetmeyecektir. İşletmeler, işletme dışı faktörlerin de etkilerini göz önünde tutmak, kontrolü dışında olan rakiplerin davranışlarına göre kendisini ayarlamak ve rakiplerine rağmen kendisine maksimum geliri sağlayacak stratejiyi saptamak zorundadır. Oyun teorisinde bir birini alt etmeye çalışan akıllı rakipler vardır. Her iki taraf, birbirini alt etmeye uğraşmakta ve böylece karşı tarafın kaybetmesini sağlayarak kendisi için optimum sonucu veren kararları belirlemeye çalışmaktadır. Örneğin rekabet eden ürünler için reklam kampanyası tipik bir örnektir.

6 Oyun Teorisi Üzerine Yapılan Çalışmaların Gelişim Seyri Oyun teorisi bugünkü yapısına uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak onu anlamamıza yardımcı olacaktır. Oyun kuramı 17. yüzyılda ortaya atılmış ve olasılık bilim dalının gelişmesinde kaynak olmuştur. Teori ile ilgili ilk analizler 1838 yılında Augustin Cournot tarafından ortaya atılmış de Emile Borel tarafından tekrar ele alınmıştır. Ancak teori genel olarak Van Neuman tarafından kurulmuştur. Satranç ve poker gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışmış ve çalışması 1928 yılında yayınladı. Van Neuman ve Oskar Morgenstern in hazırladığı ve 1944 yılında basılan Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış isimli kitap büyük ilgi uyandırmıştır. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler li yıllarda gerçek yaşama uyumlu hale getirme çabaları RAND da çalışan matematikçilerle oldu. Optimal stratejilerin saptanmasında karşılaşılan güçlükleri ortadan kaldırmak için çalışmalar yapıldı. John Nash bu gibi durumlarda tarafların karar vermelerini kolaylaştıran bir kural geliştirdi ve böylece denge kavramı ortaya çıktı yılında Nobel Ekonomi Ödülünü kazandıran bu kurala Nash Teoremi denilmektedir. Nash Teoremine göre, tüm oyuncuların kendileri için en iyi stratejiyi geliştirdikleri bir ortamda, her oyuncunun kendisi için en uygun stratejiyi seçme olasılığı yüksektir.

7 Oyun Teorisi Üzerine Yapılan Çalışmaların Gelişim Seyri Modern oyun teorisi üzerine en iyi araştırmalardan biri Luce ve Raiffa nın Oyunlar ve kararlar adlı kitaplarında sunulmuştur. Ayrıca n kişili oyun teorisinin bir kritiği Owen ve Rappert tarafından yayınlanmıştır. Gittikçe gelişen oyun teorisi, ekonomide olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline gelmiştir. Günümüz iş dünyasında teklif verme politikasının saptanması, reklam planları, satın alma politikasının belirlenmesi, sermaye planlaması, yeni yapınlar arasından seçim yapma, araştırma stratejilerinin belirlenmesi, istemin belirsiz olması halinde üretim programlama ve fiyatlama gibi karar sorunlarında oyun kuramı uygulanabilmektedir.

8 Oyunların sınıflandırılması İki kişili yada çok oyunculu oyunlar olabilir. Sıfır toplamlı yada sıfır toplamlı olmayan oyunlar şeklinde olabilir Statik yada dinamik oyunlar olabilir.

9 Oyunları Sınıflandırma Oyunlar, statik oyunlar ve dinamik oyunlar biçiminde sınıflandırılabilir. Statik oyunlar, belirli bir zaman dilimi içerisinde tüm kararların eşanlı verildiği türden oyunlardır. Yani oyuncular bir kerelik karar verirler ve oyun sona erer. Dinamik oyunlar ise, karar vermenin bir sıraya sahip olduğu türden oyunlardır. Statik oyunlar, oyuncuların bir defaya mahsus olmak üzere oynadıkları oyunlardır. Karmaşık matematiksel hesaplara girmeden oyun teorisinin mantığını anlamak için en basit oyunlar olan statik, yani oyuncuların stratejilerini aynı anda seçtikleri oyunları incelemek yeterli olabilir. Burada her oyuncu, bir strateji kümesine dayanarak karar verir. Strateji, bir oyunda gerçekleşmesi mümkün olan oyuncu davranışını tanımlar. Bazı durumlarda strateji kümesi çok küçük olurken, satranç oyunundaki gibi çok sayıda strateji olabilir. Statik oyunlarla ilgili temel varsayımlar şunlardır; i) Oyuncular strateji seçimlerini aynı anda ya da birbirlerinin haberi olmadan yaparlar. ii) Tüm oyuncular akılcıdır. Akılcılık, her oyuncunun kendi kazancını maksimize etmeye çalışması. iii) Tüm oyuncuların akılcılığı ortak bilgidir. Akılcılığın ortak bilgi olması, tüm oyuncular kendilerinin ve rakiplerinin akılcı olduğunu

10 Oyunun temel öğeleri Bir oyun tanımı üç temel öğeye dayanır: i) Oyuncular kümesi, ii) Stratejiler (hareket tarzları) kümesi, iii) Ödemeler tablosu. Oyunun temel elemanları ve yapısı aşağıda incelenecektir. Oyuncular Oyuncular kurgulanan oyuna ve modellenen duruma göre kişiler, şirketler, devletlerdir. Oyuncu sayısı ise ikiden sonsuza kadar olabilir. Oyuncu sayısına bağlı olarak oyun durumu 2 kişili oyun 3 kişilik oyun vb. olarak adlandırılır. Eğer 2 oyuncudan fazla oyuncu varsa N kişilik oyun olarak adlandırılır. Stratejiler Strateji, her bir oyuncuya ait bütün olası hareket tarzlarının yer aldığı kümedir. Eylem kümesi de sonsuz sayıda elemana sahip olabilir. Oyun teorisinde denge noktalarının durumuna göre çeşitli strateji tiplerinden bahsedilir. Oyuncu oyundaki kar ve zarar durumlarını dikkate alarak ya salt stratejiyi yada karma stratejiyi benimser. Salt Strateji Oyunda tek bir denge noktası varsa hamle sayısı ne olursa olsun oyuncular bütün oyun boyunca tek bir strateji kullanacaklardır. Oyuncunun kullandığı

11 Oyunun temel öğeleri Karma Strateji Bazı oyunlarda tek yerine birden fazla denge noktası vardır. Bu durumda oyuncular hamlelerinin bir kısmında bir oyun, diğer kısımlarında başka bir oyun uygulama imkanına sahiptirler. Böylece oyuncuların bir oyun süresince birden fazla hareket tarzını seçebilmelerine ve çeşitli kararları bir arada benimsemelerine Karma Strateji uygulaması denir. Karma Strateji mümkün salt veya sade stratejilerin rasgele fakat belirli oranlarda birlikte kullanılmasıdır. Optimal strateji Strateji ile ilgili önemli bir nokta optimal strateji kavramıdır. Oyun teorisinin amacı rekabet etmekte olan, beklentileri zıt iki oyuncu için rasyonel hareket yollarını sezmektir. Tekrarı mümkün oyunlarda bir oyun için optimum strateji mümkün en büyük ortalama kazancı garanti edecek stratejidir. Rakip yönünden beklenen optimum strateji ise mümkün en küçük ortalama kaybı garanti edebilecek bir stratejidir. Eyer noktası olmayan oyunlarda optimum (en uygun) stratejiyi verecek tek bir strateji mevcut değildir. Bu durumda en uygun strateji karma stratejinin uygulanması ile elde edilir.

12 Ödemeler Matrisi Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşimlerinden sonuçlanan kazanç ve kayıpları gösteren matrise ise ödemeler matrisi denir. Ödemeler tablosu diğer karar verici oyuncuların stratejilerinin uygulamaları üzerine dayalı olarak oluşur. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir. Söz konusu matrisin herhangi bir elemanı pozitifse, sütunda yer alan oyuncu, satırda yer alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise satırdaki oyuncu sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede bulunur. Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz. m sayıda satırlı ve n sayıda sütunlu bir ödemeler matrisi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir (Tablo 4) B Oyuncusu a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 3n A Oyuncusu a 31 a 32 a 33 a 3n a m1 a m2 a m3 a mn

13 Örnek Bir iki kişi sıfır toplam oyununun tanımlarını göstermek için A ve B oyuncularının her birinin yazı(y) veya tura(t) yi seçtiği bir yazı tura durumunu gözönüne alalım. Eğer sonuçlar uyuşuyorsa, yani yazı veya (Y, Y) veya (T, T), A oyuncusu B oyuncusundan bir dolar kazanır, aksi takdirde A, B ye bir dolar öder. Bu oyunda her oyuncunun iki stratejisi vardır(y, T) ve bunlar aşağıdaki 2x2 lik oyun matrisini meydana getirirler. Bu matris A nın gelirleri yani A ya yapılan ödemeler cinsinden yapılmıştır. Oyuncu B Y T Oyuncu A Y 1-1 T -1 1 Böyle bir oyunun optimal çözümü her oyuncunun bir saf strateji (ya Y veya T) veya saf stratejilerinin bir karışımını oynamasını gerektirebilir. Saf stratejilerin karışımına karışık strateji seçimi denir.

14 Tepe Noktalı Oyunlar ve Tam Stratejiler Minimaks-Maksimin Kriteri Bir karar probleminin çözümünde, Minimaks-Maksimin kriteri diye adlandırılan çok tutucu veya temkinli bir kriteri kullanılır. Her rakibin diğerinin avantajının aksine çalıştığı veya uğraştığı gerçeğini dikkate almak için minimaks kriteri her oyuncunun (karışık veya saf) stratejisini seçer. Öyle ki bu strateji en kötü muhtemel sonuçların en iyisini versin. Eğer hiçbir oyuncu stratejisini değiştirmesini faydalı bulmuyorsa optimal bir çözüme ulaşılmıştır denir. Bu durumda oyun dengededir denir veya bir denge durumuna ulaşılmıştır denir. Oyun matrisi genellikle A oyuncusunun ödemeleri (kazanç) cinsinden ifade edildiğinden bunun stratejileri satırlarla gösterilir. Söz konusu tutucu (çekimser) kriter, A oyuncusunun saf veya karışık olmak üzere kendisini minimum kazancını maksimize eden stratejiyi seçmesini gerektirir. Burada minimum, B oyuncusunun bütün stratejisinin yönünden düşünülmektedir. Aynı düşünce tarzıyla B oyuncusu kendisini maksimum kayıplarını minimize eden stratejiyi seçer. Burada da maksimum A oyuncusunun bütün stratejileri yönünden düşünülür.

15 Tepe Noktası Oyunların en basiti tepe noktası (eyer) olan oyunlardır. Tepe noktayı bulmak için, oyun matrisinin satır minimum elemanı, sütun maksimum elemanına eşit ise oyunun tepe noktası vardır, denir. Oyunun tepe noktası aynı zamanda oyunun değeridir. Her oyunun birden fazla tepe noktası olabileceği gibi hiç olmayabilir de. Oyunun tepe noktası yoksa her oyuncunun optimal stratejisi karma olacaktır. Bu durumda aşağıdaki ilişkiler görülür. Maksimin değer <= oyun değeri <= minimaks değer. Yani; dir. Bu eşitsizlik oyunun alt ve üst sınırını belirler. Bu durum Nash Dengesi olarak ifade edilir.

16 Örnek Aşağıdaki A oyuncusunun kazancını gösteren ödemeler matrisini göz önüne alalım; Bu örnek, bir oyunun minimaks veya maksimin hesaplarını B Oyuncusu Satır göstermektedir. A Oyuncusu B1 B2 B3 B4 A A * A Sütun maksimumları 8 5 * 9 18 Minimumları Maksimin (alt) değer Oyun değeri Minimaks (üst) değer Yukarıdaki örnekte maksimin = 5, minimaks=5 ti. Bu nokta oyunun matrisinin (2, 2) girişiyle verilen bir oturma noktasına sahip olduğu anlamına gelir. Bu durumda oyunun değeri 5 e eşit olmaktadır. Görüldüğü gibi hiçbir oyuncu başka bir strateji seçerek daha iyisini bulamaz.

17 Tepe Noktasız Oyunlar ve Karma Stratejiler Bir m x n oyununun tepe noktası yoksa, özellikle büyük boyuttaki oyunların çözümü zor olabilir. Bu tip oyunlarda kazançları optimize etmek isteyen oyuncular karma stratejiler kullanmak zorundadırlar. Tüm oyunlar, her bir oyuncunun %100 olasılıkla yalnızca tek strateji seçtiği bir saf-strateji Nash dengesi biçiminde değildir. Bazı uygulamalarda oyuncular, olanaklı saf stratejileri olasılıklara dayalı olarak seçerler. Bu tür oyunlar karma stratejiye sahiptir. Bir karma strateji, bir oyuncunun her bir olanaklı saf stratejiyi oynayacağı olasılığı tanımlamaktadır Bundan önceki kısımda görüldüğü gibi bir oturma noktasının mevcudiyeti oyun için optimal (en uygun) saf stratejileri hemen vermektedir. Bununla beraber bazı oyunların oturma noktası yoktur. Mesela aşağıdaki sıfır toplam oyununu göz önüne alınız.

18 Örnek: Bu oyunun bir oturma noktası yoktur Bundan önceki kısımda görüldüğü gibi bir oturma noktasının mevcudiyeti oyun için optimal (en uygun) saf stratejileri hemen vermektedir. Bununla beraber bazı oyunların oturma noktası yoktur. Mesela aşağıdaki sıfır toplam B Satır Min A *maximin Sütun Max minimax* oyununu göz önüne alınız. Burada minimax değer 4, maximin değer (2) den daha büyüktür. Dolayısıyla oyunun bir oturma noktası yoktur. Dolayısıyla maximin-minimax optimal değildir. Böyle olması doğrudur. Zira her oyuncu farklı bir strateji seçmek suretiyle kendi ödemesini kazancını iyileştirebilir, artırabilir.

19 Karma Stratejiler x 1, x 2,.., x m ile satır olasılıklarını ve y 1, y 2,.., y n ile de sütun olasılıklarını gösterelim. Bu olasılıklarla sırayla A ve B saf stratejilerini seçerler. Bu sebepten aij oyunun (i, j) inci girişini (elemanını) gösterirse xi ve yj aşağıdaki matristeki gibi görünürler. B y 1 y 2 y n x 1 a 11 a 12.. a 1n A x 2 a 21 a 22.. a 2n x m a m1 a m2 a mn Karışık strateji probleminin çözümünde daha önce gördüğümüz minimax kriterine dayanır. Aradaki yegane fark A nın bir kolondaki en küçük beklenen ödemeyi (kazanç) maximize eden x i yi seçerken B nin bir satırdaki en büyük ödemeyi kazancı minimize eden y j yi seçmesidir. Matematiksel olarak bir karışık strateji için minimax aşağıdaki gibi verilir. A oyuncusu, max min ( a i1 x i, a i2 x i,, a im x i ) bunu veren xi yi seçer, Burada (x i 0 ve x i = 1). x i i=1 i=1 i=1

20 Karma Stratejiler Aynı şekilde B ise, min max ( a ij y j, a ij y j,, a mj y j ) bunu veren y j yi seçer, y j j=1 j=1 j=1 (y j 0 ve y j = 1) Bu değerlere sırasıyla maximin ve minimax beklenen değerler denir. Yine saf stratejide olduğu gibi minimax beklenen ödeme bağıntısı burada da geçerlidir. x i ve y j optimal çözüme tekabül edince eşitlik geçerli olur ve meydana gelen değerler oyunun beklenen optimal değerine eşit olurlar. Bu sonuç minimax teorisinden çıkarılabilir ve burada ispatı verilmeksizin gösterilmiştir. Eğer, x i * ve y j * her iki oyuncu için optimal çözümler iseler, her ödeme veya kazanç elemanı aij, ( x i *, y j ) olasılığı ile irtibatlı olacaktır. Bundan dolayı oyunun beklenen değeri şöyledir. V* = a ij x i *y j * olacaktır.

21 Apple ve samsung ürünlerinin taklit edildiğine dair dava açıp açmama durumunu aşağıdaki matrisle vermişler B B1 b2 sat min A a * a Sut mak 5* 10 Oyun dengede

22 İki kişi sıfır toplam oyunlarının çözüm yöntemleri İki kişi sıfır toplam oyunlarını xi ve yj nin optimal değerleri için birkaç metod mevcuttur. Biz sadece 2 metodu ele alacağız. (2xn) veya (mx2) oyunlarının çözümü için kullanılan grafik çözüm metodu ve (m x n) şeklindeki herhangi bir oyunun çözümü için lineer programlama metodu söz konusu metodlardır.

23 Grafik Çözüm Yöntemi (mx2 veya 2xn Oyunları için) Grafik çözümler en azından bir oyuncunun iki stratejisinin olduğu oyunlara uygulanır. Mesela aşağıdaki (2xn) B oyununu gözönüne alalım. y 1 y 2.y n A x 1 a 11 a 12.. a 1n x 2 =1-x 1 a 21 a 22.. a 2n Oyunun bir oturma noktası olmadığı kabul ediliyor. A nın sadece iki stratejisi olduğundan, x 2 = 1- x 1 ; x 1 0, x 2 0 olacağı görülür. A nın beklenen ödemeleri (kazançları) yani B nin saf stratejilerine tekabul eden kazançları aşağıdaki gibi verilir. B nin saf stratejisi A nın beklenen ödemesi(kazancı) 1 (a 11 -a 21 )x 1 + a 21 2 (a 12 -a 22 )x 1 + a 22.. n (a n -a 2n )x 1 + a 2n Buradan görüldüğü gibi A nın ortalama kazancı x 1 ile doğrusal (lineer) olarak değişir. Karışık strateji oyunları için minimax kriterine göre A oyuncusunun, minumum beklenen ödemelerini (kazançlarını) maxsimize eden x değerini seçmesi

24 Örnek: (2 B x 4) oyununu gözönüne alalım A Bu oyunun oturma noktası yoktur. Bu sebepten B nin saf stratejilerine tekabül eden, A nın beklenen ödemeleri aşağıdaki gibi verilirler. B nin saf A nın beklenen Stratejisi ödemesi(kazancı) 1-2x x x x1 +6 Bu dört doğru sonra şekildeki gibi x1 in fonksiyonları olarak çizilirler. Şekilden de görüleceği gibi maxsimin değeri x1* = 1/ 2 de meydana gelir. Bu da 3 ve 4 doğrularının ikisinin kesişme noktasıdır. x1 +2 ve -7x1 +6 eşitlenip çözülür. Sonuç olarak, A nın optimal stratejisi x1* = 1/2, x2* = 1/2 dir. Oyunun değeri, maximin noktasından geçen herhangi bir doğrunun denkleminde x1 i yerine koymak suretiyle elde edilir. Bu ise bize şu sonuçları verir. V*=1/ 2 +2=5/2 veya - 7(1/2)+6=5/2 (1) (2) (3) (4) y1=-2x1+4 y1=-x1+3 y1=x1 +2 y1=-7x1+6 x1=0 y1=4 x1=0 y1=3 x1=0 y1=2 x1=0 y1=6 x1=1 y1=2 x1=1 y1=2 x1=1 y1=3 x1=1 y1=-1

25 (m x n) Şeklindeki Oyunların Lineer Programlama İle Oyun Çözümü teorisi LP ile kuvvetli bir bağlantı içindedir. Zira her sonlu iki şahıs sıfır toplamlı oyun bir LP olarak ifade edilebilir ve bunun tersi olarakta her LP bir oyun olarak temsil edilebilir. Oyunların LP ile çözülmesi büyük matrisli oyunlar için gerekli ve kullanışlı olmaktadır. Karışık stratejiler bahsinde gösterildiği gibi A nın optimum karışık stratejileri aşağıdaki ifadeyi karşılarlar: max min( a i1 x i, a i2 x i,.., a in x i ) ilgili kısıtlar x i 0 i=1, 2,, m xi i=1 i=1 i=1 Bu problem aşağıdaki şekilde LP formuna sokulabilir. V=min( a i1 x i, a i2 x i,.., a in x i ) olsun. O zaman problem şöyle olur: max Z = V Kısıtlar a ij x i V xi <= 1 xi 0 i=1 i=1 i=1 ;j=1, 2,., n Burada V oyunun değerini gösterir.

26 Taksi Şoförünün Öfkesi Bir konferansta sunulan örnek dikkat çekicidir. Örnek, yabancı bir ülkede otellerine dönerken taksi tutan iki İngiliz ekonomistin başından geçenlerle ilgiliydi. Taksicinin kendilerinden fazla ücret isteyeceği kaygısına kapılan İngilizler, pazarlık şanslarının daha yüksek olacağı düşüncesiyle otel kapısına ulaşıncaya kadar pazarlık etmeme kararı alırlar. Ancak bu rasyonel, oyun teorisi kurallarına uygun strateji pek işe yaramaz. Şoför İngilizlerin bu tutumu karşısında aşırı bir öfkeye kapılıp kapıları kilitler. Adamları aldığı yere geri götürerek arabadan dışarı atar. Taksi şoförünün, oyun teorisine ilişkin hiç birşey bilmemesine karşın, yolcuların kendisine bir oyun oynadığını sezmesi her şeyi değiştirir. Dolayısıyla şoför oyun teorisyenlerinin hiç hoşlanmadığı bir şeyi yapar. Öfkelenir ve kendi çıkarlarını hiçe sayarak yani, ücretini almamayı göze alarak oyunun gidişatını beklenmedik bir şekilde değiştirir. Toplantıya katılan İngiliz teorisyenler, katılımcıların dikkatini mantık dışı tepkilere yol açan duygusal patlamalara çekti. Toplantının sonunda Tiyatro Teorisi doğdu. Bu teorinin özünde, oyunların statik olmadığı, oyuncuların duygusal yapısının, oyunun seyrini belirlediği iddiası yatıyordu. Howard a göre öfke, korku veya şefkat gibi duyguların dramatik bir boyutu vardır. Bu duygular kişilerin normal, alışılagelmiş davranışlarının dışına çıkmasına, yeni çözümler üretmesine yol açar.

27 Tutukluların İkilemi Bu örnek oyundaki denge noktası ile ilgilidir. Bu oyunu, Nash in doktora hocası Al Tucker icat etmiştir. Nash dengesiyle ilgili teorem hemen dönemin en iyi beyinleri tarafından test edildi. Bu testlerden biri için geliştirilen oyunlardan biridir Tutukluların İkilemi. Bu durum aslında bir paradokstur. Bu ikilem, polis tarafından gözaltına alınan iki suçlunun başına gelenlerle ilgilidir. Oyun şöyleydi: Aynı suçtan iki kişi tutuklanır ve ayrı ayrı odalarda sorgulanır. Her tutukluya üç seçenek verilir: 1. İtiraf etmek, 2. Ötekini suçlamak, 3. Sessiz kalmak. Tutuklu açısından en iyi seçenek itiraf etmektir. Eğer öteki tutuklu da itiraf ederse, en azından çok ağır bir ceza almaktan kurtulacaktır, yok öteki sessiz kalırsa yegâne tanık olarak cezadan da kurtulabilecektir. Yani, itiraf baskın strateji dir. Ama işe bakın ki, eğer birlikte olsalar, ya da işbirliği yapabilseler, her iki tutuklu da kendi iyilikleri için sessiz kalacaktı. Yani, işbirliksiz oyundaki baskın strateji ile işbirlikli oyundaki baskın strateji birbirinden epey farklı olacaktı. Tutuklunun ikilemi oyunu, Nash in denge kavramıyla çelişiyordu. Çünkü Nash, her oyuncunun kendi en iyi stratejisini izleyeceğini, çünkü öteki oyuncuların da öyle yapacağını varsayar. Oysa oyun bunun böyle olmayacağını gösteriyordu.

28 Mahkumlar, suskunluklarını korudukları takdirde tutukluluk hallerinin bir aydan daha fazla sürmeyeceğini bilmektedir. Oysa polis her iki mahkum ile ayrı ayrı görüşerek itirafta bulunmaya zorlar. İkisinden birinin yapacağı itiraf, itirafçının serbest bırakılmasına, diğerinin ise ömür boyu hapis yatmasına yol açacaktır. Suçlular tek tek, birey olarak ele alındığında polisin önerisini kabul ederek, itirafta bulunmak rasyonel bir çözüm gibi görünmektedir. Oysa bu ikili, bir ekip olarak ele alındığında, bir ay hapis yatıp çıkmak daha avantajlıdır. Ancak bunu gerçekleştirmenin tek şartı, mahkumların itirafta bulunmayacaklarına dair birbirlerine söz vermeleri ve karşılıklı güven duymalarıdır. Bu durumda ortaya iki farklı hareket tarzı çıkar. Bu da işbirliği paradoksunu doğurur. Mahkumlardan her biri, diğerini ele vererek daha avantajlı bir duruma geçeceğini bile bile, itirafta bulunmayacağına dair karşı tarafı ikna etmek zorundadır. Bütün bunların sonucunda ne olacağı, iki mahkumun önceki psikolojik ve duygusal durumlarına bağlıdır. Sonsuz Ölüm isimli filmde kahramanların arasındaki güçlü bağ, işbirliği paradoksuna güzel bir örnek oluşturur. İkilinin birbirini ele vermesi gibi bir olasılık söz konusu bile değildir. Bu nedenle birbirlerine ihanet etmektense ölümü göze alırlar. Mahkumların durumunda, taraflardan biri işbirliğine yanaşmaz ise, işbirliği paradoksu devreye girer. Öfke ve güvensizliğin kol gezdiği bir ortamda mahkumlar yalnızca kendilerini kurtarmayı düşünürler.