OYUNLAR KURAMI Giriş oyunlar kuramı Oyunlar Kuramındaki Tanımlar oyun oyuncu sıfır toplamlı iki kişilik oyunlar strateji
|
|
- Bora Yeşilnil
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 OYUNLAR KURAMI Giriş Günlük hayatta karşılaşılan bazı sorunlarda değişkenlerin tümü kontrolümüz altında olmayıp iki ya da daha fazla tarafça da kontrol edilebilir. Yani değikenlerden bir kısmı bizim, diğer kısmı da başkalarının kontrolu altında olabilir. u tür sorunlara örnek olarak salon oyunları, politik kampanyalar, reklam ve pazarlama kampanyaları, savaşlar verilebilir. u tür sorunlarda herhangi bir tarafın alacağı sonuç yalnız kendisinin vereceği karara değil, karşısındakilerin vereceği karara da bağlıdır. u durumda problemin çözümü için yeni bir kural aranmalıdır. u kural kazancı max. yapmak, eğer kazanma şansı yoksa kaybı min. yapmaktır. u tür sorunları inceleyen ve yukarıdaki kuralı gözönünde bulundurarak çözüm yöntemleri geliştiren yöneylem araştırması dalına oyunlar kuramı denir. Oyunlar kuramı 1940 yılında matematikçi Neumann ve ekonomist Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. İşletme ve ekonomi kaynaklarında oyun, zamanla ortaya çıkacak olan belli ödemeleri önceden kestirmek için karar vermek zorunda olan tarafların yani oyuncuların yarar çatışmalarını veya rekabetlerini yansıtır. Kuram, matematik yönüyle tarafların seçeneklerini formüle etmeyi amaçlar. Oyunlar kuramının etkin uygulama alanı olarak savaş ve askeri problemler gösterilibilir. İşletme problemlerinden örnekler ise rekabete dayanan problemlerdir. Teklif verme politikasının saptanması, reklam planları, satınalma politikasının belirlenmesi, sermaye planlaması, yeni mamuller arasından seçim yapma, talebin belirsiz olması halinde üretim programlaması v.s. gibi. Oyunlar Kuramındaki Tanımlar azı şahısların, kurumların, devletlerin, devlet yapılarının ya da orduların bir olayda yararlarının karşılaşması halinde aralarında bir oyun oynanmaktadır denir. Tarafların oynamayı kabul ettikleri ya da oynamak zorunda kaldıkları taktirde oyun başlar. Oyuna katılan tarafların herbirine oyuncu denir. ir oyunda oyuncu sayısı iki ve oyun sonunda oyunculardan birinin kaybı diğerinin kazancına eşitse bu tür oyunlara sıfır toplamlı iki kişilik oyunlar denir. Oyuncuların uygulayabilecekleri mümkün oyun yollarına strateji( veya seçenek ) denir. Stratejiler oyuna katılanlar tarafından tanımlanan bilgilere dayanırlar ve belli bir programa veya politikaya
2 uyarlar. İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunda her oyuncu tek bir strateji seçmek zorundaysa salt strateji, tarafların benimseyeceği strateji sayısı birden fazlaysa karma strateji sözkonusudur. İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunda her iki oyuncunun kendisi için en uygun stratejileri uygulayacağı varsayımıyla oyun birçok kez tekrarlanırsa kaybeden tarafın kazanan tarafa ödeyeceği miktarın oyun başına düşen kısmına oyunun değeri denir. Oyunun başlangıcında oyuncular çeşitli stratejilerin uygulanması halinde kazanılacak veya kaybedilecek miktar üzerinde anlaşırlar. İşte iki tarafın tüm mümkün stratejileri için belirlenen bu miktarları toplu halde gösteren çizelgeye kazanç matrisi ya da oyun matrisi veya ödemeler matrisi denir. İki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda ( tersi belirtilmedikçe ) genellikle soldaki oyuncunun kazanç matrisi olarak yazılır. Kazanç matrisinde pozitif değerler soldaki oyuncunun kazancı, negatif değerlerse kaybını gösterir. Oyunlar Kuramındaki Varsayımlar Oyuna katılanların sayısı sonludur. Her oyuncu kendisi ve diğer oyuncu için mümkün stratejilerin neler olduğunu ve bu stratejilerin uygulanması sonucunda kazanç veya kaybının ne olacağını bilir. Ancak karşısındakinin hangi stratejiyi uygulayacağını bilemez. Tüm olası davranışlar ölçülebilir niteliktedir. Oyunların kuralları vardır. Oyuncuların bu kurallara uyacağı varsayılır. u kurallar taraflarca bilinir ve aynı şekilde yorumlanır. Oyuncuların uygulayabileceği strateji sayısı sonludur. Oyuncuların akıllı kişiler olduğunu varsayıyoruz. Yani oyuncular kendileri için en uygun stratejileri seçecek niteliktedir. Oyun Matrisinin Oluşturulması İki kişilik sıfır toplamlı oyunları temsil edecek model, bir matris olarak oluşturulur. Oyunculardan birisi matrisin sol tarafına, diğeri de üst tarafına yazılır. Oyuncuların tüm mümkün stratejileri matrisin satır ve sütunları olarak gösterilir. Matrisin elemanları, kesişen stratejilerin değerlendirilmesi sonucunda belirlenen değerlere göre sol tarafdaki oyuncunun kazancı ya da kaybı olarak doldurulur. Örnek : A ve isimli iki oyuncu aralarında bir oyun oynuyorlar. A nın 3 tane P, Q, R ile gösterilen stratejisi, nin ise S ve T ile gösterilen stratejileri bulunsun. Çeşitli stratejiler için yapılacak ödemeler şöyledir :
3 Seçilen Stratejiler A oyuncusu oyuncusu A ve nin Ödemeleri P S A 20 TL verir P T A 20 TL Q S A 10 TL Q T A 30 TL R S A 10 TL R T A 20 TL Yukarıdaki duruma göre ödemeler matrisi şu şekilde oluşturulur: S T P A Q R ir oyunun çözülmüş olması için oyunun değeri bulunmalı, sol taraftaki oyuncunun oyun başına ortalama kazancının en az oyunun değerine eşit olmasını sağlayacak strateji belirlenmeli, üstteki oyuncunun ortalama kaybının oyun değerinden fazla olmamasını sağlayacak stratejinin olması sağlanmalıdır. Örnek : Ali ile Mehmet bir oyun oynamaktadırlar. Ali, avcunun içinde 1 ya da 2 tane 1 TL saklıyor. Mehmet, Ali nin avcundaki para sayısının tek ya da çift olduğunu bilirse paraları alıyor, bilemezse Ali ye avcundaki paranın tutarını ödüyor. u koşulları yansıtan oyun matrisini yazınız. ( aşağıdaki oyun matrislerinden ilki Mehmet e göre ikincisi ise Ali ye göre oluşturulmuştur. ) Ali Mehmet 1 2 Tek Çift Tek Mehmet Ali Çift
4 Örnek : Ali ve Mehmet birbirlerinden saklı olarak ( 1 5 ) arasında bir sayı tutup bir kağıda yazıyorlar. Tutulan sayıların hesapları yapılıyor. Toplam çitfse Mehmet, tekse Ali kazanıyor. Kaybeden taraf, kazanan tarafa sayının toplamı kadar para ödüyor. Oyun matrisini yazınız. Ali Mehmet Örnek : irbirine çok yakın mesafede kurulmuş iki şehir var. ölgede toplam nüfusun % 70 i birinci( büyük ) şehirde, geri kalan % 30 u ikinci( küçük ) şehirde yaşamaktadır. irbirine rakip iki firma bu bölgede market açmak istiyor. Firmalardan biri büyük, diğeri küçüktür. Yapılan kestirimler iki firmanın aynı şehirde veya şehire aynı uzaklıkta market açması halinde büyük firmanın o şehirdeki alışverişin % 60 ını büyük firmanın şehire daha yakın olması halinde ise % 80 ini alacak, küçük firmanın şehire daha yakın olması halinde ise büyük firmanın alışverişin % 40 ını alacağını göstermektedir. u durumu yansıtan oyun matrisini kurunuz. KÜÇÜK FİRMA Market büyük Market küçük Şehirde Şehirde X ÜYÜK FİRMA Y X: Market üyük Şehirde Y: Market Küçük Şehirde Her iki firma büyük şehirdeyse Her iki firma küçük şehirdeyse x = x=18 30 x =18 70 x = 42 üyük firma = 60 üyük firma = 60
5 üyük firma I., küçük firma II. şehirde olsun x = x =12 üyük firma = 68 Küçük firma I., büyük firma II. şehirde olsun x = x = 28 üyük firma = 52 Örnek : Kırmızı tarafın elinde 3 ulaştırma ve 1 avcı uçağı, mavi tarafın elindeyse 1 tek avcı uçağı var. Kırmızı taraf ulaştırma uçaklarıyla iki adamın ikmalini ikili ve tekli ulaştırma kolları ile yapmakta, avcı uçağı da bu kollardan birine eşlik etmektedir. Mavi tarafsa tek avcı uçağı ile ancak kollardan birine hücum ederek bu harekatı önlemeye çalışmaktadır. Mavi avcı uçağı korunmuş kollara rastlarsa emir gereği hiçbir şey yapmadan dönmekte, korunmamış kola rastlarsa koldaki tüm ulaştırma uçaklarını düşürmektedir. Oyunu yansıtan oyun matrisini kurunuz. MAVİ KIRMIZI Tekli Kolu İkili Kolu Korur Korur Tekli kola hücum 0 1 İkili kola hücum 2 0 Örnek : Oyun matrisi aşağıda verilen oyunu çözünüz. S T P -2-4 A Q -1 3 R 1 2 A oyuncusu hiçbir zaman P stratejisini seçmez. oyuncusu da A oyuncusunun akıllı birisi olduğunu düşünerek S stratejisini seçer. u durumda
6 oyuncusu stratejisini seçerse 2 TL ve 1 TL alabilir, 1 TL verebilir. u durumda A oyuncusu R stratejisini, oyuncusu ise S stratejisini seçer. öylece A nın kazancı 1 TL, nin kazancı -1 TL olur. Minimax ve Maximin İlkeleri ir önceki problemde A oyuncusu P stratejisi için min. kazanç - 4 TL Q -1 TL R 1 TL dir. Yorum : A oyuncusu minimum değerler içinden en büyüğünü seçer. O halde A oyuncusunun elde edeceği minimum kazançların en büyüğü 1 TL dir. Maximin = 1 oyuncusu ; S stratejisi için max. kayıp 1 TL T 3 TL dir. Yorum : oyuncusu maximum değerler içinden en küçüğünü seçer. Kaybedeceği kazancın en küçüğünü seçmek ister. Minimax = 1 u iki değer iki kişilik sıfır toplamlı oyunlarda birbirine eşittir. NOT : ir oyunda A nın kazançlarının ( satırlarının ) minimumlarının maximumu nin kayıplarının ( sütunlarının ) maximumlarının minimumuna eşitse oyunda tepe noktası ya da eyer noktası vardır denilir. u ortak değerler oyunun değeridir. ir oyunun eyer noktasının olması her iki oyuncunun tam stratejiyi kullanmak zorunda olması demektir. Örnek : I II III IV V I Yandaki A oyuncusuna göre bir ödemeler A II matrisi verilmiştir.her bir oyuncu için III en iyi seçeneği, A ve ye göre oyun IV değerlerini bulunuz
7 Satırların I II III IV V Min. Elemanı I A II III IV Sütunların Max. elemanı A ya göre verilen ödemeler matrisinde her bir satırın en küçük elemanı matrisin sol tarafına ve ye göre ise ödemeler matrisi kayıp değerleri göstermesi nedeni ile herbir sütunun en büyük elemanı matrisin alt tarafına yazılır. u düşünce A yönünden maximin yani kötümserlik kriteri ve yönünden kayıp söz konusu olduğu için minimax( = maliyet tipli karar matrisinde kötümserlik kriteri ) olarak ifade edilir. A için oyun değeri 4 ve için de oyun değerinin 4 olarak bulunması nedeni ile her iki oyuncunun oyundan beklediği değerler ( birinin kazancı diğerinin kaybı olarak düşünüldüğü için ) birbirini karşılamaktadır ve oyunun tepe noktası vardır. A oyuncusu II. stratejiyi, oyuncusu da III. stratejiyi uygular. Maximin = Minimax = 4 = tepe değeri A oyuncusu II. strateji, oyuncusu da III. strateji haricinde hangi stratejiyi seçerse ( uygularsa ) seçsin nin kaybı 4 ün üstünde, A nın kazancı 4 ün altında olacaktır. Örnek : Satırların I II III Min. Elemanları I A II III Sütunların Max. Elemanları 1 3 1
8 Yukarıdaki matriste 1 den fazla yani 2 tane tepe değeri olduğundan bu durumda alternatif çözüm vardır. A(1,0,0) (1,0,0) oyun değeri ( g ) = 1 A(1,0,0) (0,0,1) oyun değeri ( g ) = 1 Örnek : I II III I A II oyununu çözünüz. III u oyunda tepe noktası yoktur. Dolayısıyla bu yolla çözüme ulaşılamaz. Ancak tepe(eyer) noktası olmayan problemlerde de çözüm bulunabilir. u durumda varılacak sonuç oyuncular için bir karma stratejidir. Alt Edilen Satır Sütun İlkesi ( Üstün Seçenekler İlkesi ) Üstünlük stratejisi, oyunda yeğlenen ve diğer stratejilerden bazılarını devre dışı bırakan stratejiler olarak tanımlanır. ir oyun matrisinde bir sütunun tüm elemanları başka bir sütunun karşılıklı elemanlarından küçük veya eşitse bu tür stratejiye üstünlük stratejisi adı verilerek kendinden büyük değerde elemanlı sütunu oyun matrisinden siler. Silinen sütun ve satırlar oyun matrisinden çıkarılarak oyunun çözümüne daha kolayca yaklaşılır. Problemi çözmek için eyer noktasının olup olmadığına bakılır. Yoksa bu yöntem uygulanır. I II III IV I A II oyununun tepe( eyer ) noktası yoktur. İkinci olarak alt edilen satır veya sütunların varlığına bakılır. oyuncusu açısından I. ve IV. sütunlar alt edilirse geriye
9 matrisi kalır. ir oyunda eyer noktası yoksa alt edilen satır ya da sütunların olup olmadığı araştırılır. Örneğimizde oyuncusu I. stratejisini uygularsa A nın I ya da II. stratejisini uygulamasına göre 2 ya da 4 kaybeder. Eğer oyuncusu II. stratejisini uygularsa 2 ya da 3 kaybeder. O halde nin I. stratejisini uygulaması akıllıca bir hareket olmaz. urada II. sütun I. sütunu alt ediyor denir. Aynı şekilde III. ve IV. sütunlar karşılaştırılırsa III. sütunun IV. sütunu alt ettiği görülür. II. ve III. sütunlara alt eden sütunlar, I. ve IV. sütunlara ise alt edilen sütunlar denir. TANIM : Eğer bir sütunun bütün elemanları başka bir sütunun karşılıklı elemanlarından büyük ya da onlara eşitse bu sütuna alt edilen sütun denir. Eğer bir satırın bütün elemanları başka bir satırın karşılıklı elemanlarından küçük ya da onlara eşitse bu satıra da alt edilen satır denilir. Alt edilen satır veya sütunların çıkartılmasıyla oyunun çözümü kolaylaşır. O halde bir oyunun çözümü için önce eyer noktası aranmalı, ikinci olarak alt edilen satır ve sütunların olup olmadığına bakılmalıdır. Örnek : I II III IV V VI I yanda verilen ödemeler matrisine II alt edilen satır sütun ilkesi uygulanırsa A III geriye nasıl bir ödemeler matrisi kalır. IV V Karma Strateji : İki kişili sıfır toplamlı oyunlar için tarafların kesinlikle benimseyeceği alternatif sayısının birden fazla olması halinde karma stratejiler ilkesi uygulanır. Her zaman oyuncular için eyer ( tepe ) noktası eniyi çözümü vermez. u nedenle oyuncular karma stratejiyi izlerler.
10 Örneğin; I II I -3 7 A ödemeler matrisini ele alalım. urada I ve II II 6 1 tarafların stratejileridir. A ödemeler matrisinin ne tepe noktası, ne de alt edilen satır ve sütunu vardır. A nın I. stratejisini ¼, II. stratejisini de ¾ olasılıkla oynadığını, nin ise I. stratejisini 1/3, II. stratejisini ise 2/3 olasılıkla oynadığını düşünelim. A oyuncusunun beklenen kazancının ne olacağını şöyle hesaplayabiliriz: ( 1 ) İlk olarak oyuncu nin yalnızca I. stratejisini uyguladığı varsayıldığında oyuncu A, oyun süresince ( ¼, ¾ karma stratejisini uygulayarak ) zamanın ¼ ünde -3, zamanın ¾ ünde 6 değerde bir ödeme kazanacaktır. una göre birim zamanda ( oyun başına ) oyuncu A nın beklenen kazancı E(A), -3 ve 6 ödemelerinin ( ¼, ¾ ) strateji karışımına göre ağırlıklı ortalaması olacaktır. E1(A) = ¼ * ( -3 ) + ¾ * ( 6 ) = 15/4 ( 2 ) İkinci olarak oyuncu nin yalnızca II. stratejisini uyguladığı varsayılırsa; bizi ilgilendiren ödemeler, A matrisinin II. sütunu olur. u durumda oyuncu A nın oyun başına beklenen kazancı benzer biçimde şöyle hesaplanır: E2(A) = ¼ * ( 7 ) + ¾ * ( 1 ) = 10/4 ( 3 ) Oyuncu de karma strateji seçerse; bu kez oyuncu A nın kazancı, yukarıda hesaplanan iki beklenen değerin arasında bir değer olarak gerçekleşecektir. nin strateji karışımına göre oyuncu A nın beklenen kazancı; Ek(A) = 1/3 * ¼ * ( -3 ) + ¾ * ( 6 ) + 2/3 * ¼ * ( 7 ) + ¾ * ( 1 ) = 35/12 nin karma strateji uygulaması durumunda A nın beklenen kazancı daha önce hesaplanan iki değer arasında yer alacaktır. E2(A) = 10/4 Ek(A) = 35/12 E1(A) = 15/4
11 Yukarıdaki sonuçlara göre oyuncu A, karma stratejisini uyguladığında, oyuncu hangi stratejiyi ya da strateji karışımını seçerse seçsin, A nın kazancı 15/4 den çok 10/4 den az olmayacaktır. Öyleyse A oyuncusu 10/4 lük en az kazancını daha da yükseltecek bir strateji saptamalıdır. Örneğin A nın keyfi olarak seçtiği başka bir strateji karışımı için beklenen kazançlar hesaplanabilir. Ancak keyfi olarak strateji karışımını saptamak ve deneme yoluyla bunlardan en iyisini seçmek çok zaman alıcı ve boş yere bir iştir. Dolayısıyla, en iyi strateji karışımını saptamak için geliştirilmiş tekniklerden yararlanılması kaçınılmazdır. u amaçla geliştirilmiş yöntemler şunlardır: - Grafik yöntemi - Cebirsel yöntem - Alt oyunlar yöntemi - Doğrusal programlama yöntemi - Yineleme ( iterasyon ) yöntem, - Matris yöntemi ir oyun probleminin çözümünde uygulanacak en kolay yöntemin seçimi, doğrudan doğruya ödemeler matrisinin boyutlarıyla ilgilidir. ir oyun probleminin çözümü için seçilecek yöntemi belirlemede kullanılacak yaklaşım, şu olmalıdır : 1- Öncelikle, oyunda tepe noktası çözümü olup olmadığı araştırılmalıdır. 2- Tepe noktası çözümü olmayan oyunlarda, zayıf stratejiler elenerek ödemeler matrisinin boyutları indirgenmelidir. m ve n ödemeler matrisinin satır ve sütunlarını oluşturan strateji sayısı olmak üzere yeni matrisin boyutları, a) 2x2 ise cebirsel yöntem b) 2xn ya da mx2 ise grafiksel yöntem c) mxn ise doğrusal programlama yöntemi seçilmelidir. Genel olarak A oyuncusu I. stratejisini x olasılıkla, II. stratejisini ( 1 x ) olasılıkla oynar. ir önceki oyun matrisine göre oyuncusu I. stratejisini uyguladığında oyun değeri ( g1 ); x* ( -3 ) + ( 1-x ) * 6 = 6-9x = g1 olur.
12 oyuncusunun II. stratejiyi uygulaması durumunda oyun değeri; x * ( 7 ) + ( 1-x ) ( 1 ) = 1 +6x = g2 olur. u durumda A oyuncusu en iyi stratejisini g1 = g2 durumunda uygulamış olacaktır. Sonuçta her iki oyun değerinin birlikte çözülmesiyle x = 1/3 ve 1-x = 2/3 olasılıklarına ulaşılır. Örnek : y 1-y x a b ödemeler matrisini çözünüz. A 1-x c d Ödemeler matrisi ( 2x2 ) boyutlu olduğundan cebirsel yöntemle çözülür. A oyuncusunun stratejilerini hangi olasılıkla oynaması gerektiği şöyle bulunur : ( 1 ) x*a + ( 1- x )*c = a*x +c - c*x = g ( 2 ) x*b + ( 1- x )*d = b*x +d - d*x = g ( 1 ) ve ( 2 ) birlikte çözülürse; x = ( d - c ) / ( a - b + d - c ) 1- x = ( a - b ) / ( a - b + d - c ) ve g = ( a*d b*c ) / ( a - b + d - c ) elde edilir. oyuncusunun stratejilerini hangi olasılıkla oynaması gerektiği şöyle bulunur : ( 3 ) y*a + ( 1- y )*b = y*a +b - b*y = g ( 4 ) y*c + ( 1- y )*d = y*c +d - d*y = g ( 3 ) ve ( 4 ) birlikte çözülürse; y = ( d - b ) / ( a - b + d - c ) 1- y = ( a - c ) / ( a - b + d - c ) ve g = ( a*d b*c ) / ( a - b + d - c ) elde edilir.
13 İki Kişilik Sıfır Toplamlı Oyunların Genel Çözümü A ve oyuncuları arasında düzenlenen bir oyunda A nın m tane nin n tane stratejisi olsun n 1 a11 a12 a13..a1n 2 a21 a22 a23..a2n A 3 a31 a32 a33..a3n.. m am1 am2 am3 amn 1 0. Her dikdörtgen ya da kare matrisli oyunun tek bir g değeri vardır A oyuncusu için öyle bir strateji vardırki bu oyuncu 1, 2,.m. inci stratejilerini sırasıyla x1, x2,.. xm olasılıklarıyla kullanırsa x1 + x2 + xm =1 dir. A oyuncusunun kazancı en az oyunun g değerine eşit olur. u stratejiye A oyuncusunun en iyi stratejisi denir oyuncusu 1, 2,..n. inci stratejilerini y1, y2,.. yn olasılıklarıyla kullanırsa oyuncusu için en iyi strateji, y1 + y2 +,.. yn = 1 olmak üzere nin kaybını en fazla oyunun g değerine eşit kılan stratejidir. Tanım : İki kişilik sıfır toplamlı bir oyunu çözmek A ve nin stratejilerini hangi olasılıklarla oynaması gerektiğini bulmak demektir. Yukarıda genel olarak yazılan matriste A oyuncusu için, x1 + x2 +. xm = 1 x1 a11 + x2 a21 + x3 a31 + +xm am1 g x1 a12 + x2 a22 + x3 a32 + +xm am2 g. x1 a1n + x2 a2n + x3 a3n + +xm amn g
14 oyuncusu için, y1 + y2 +,.. yn = 1 y1 a11 + y2 a12 + y3 a13 + +yn a1n g y1 a21 + y2 a22 + y3 a23 + +yn a2n g. y1 am1 + y2 am2 + y3 am3 + +yn amn g eşitsizlikleri yazılır. urada ( m + n + 2 ) tane bağıntı, ( m + n + 1 ) tane bilinmeyen vardır. u tür oyunun kesinlikle bir çözümü vardır. Cebirsel Yöntemle Çözüm -3 7 A oyununu cebirsel yöntemle çözünüz. 6 1 x1 + x2 = 1 y1 + y2 = 1-3x1 + 6x2 g 3y1 + 7y2 g 7x1 + x2 g eşitsizlikleri eşitlik olarak şöyle yazılabilir: 6y1 + y2 g -3x1 + 6( 1 - x2 ) = g 7x1 + ( 1 - x1 ) = g eşitlikleri birlikte çözülürse x1 = 1/3, x2 = 2/3, g = 3 elde edilir. 3y1 + 7y2 = g 6y1 + y2 = g eşitlikleri birlikte çözülürse y1 = 2/5, y2 = 3/5 elde edilir. Grafiksel Yöntemle Çözüm Ödemeler matrisi 2xn ya da mx2 boyutlu olduğu zaman başvurulabilecek bir çözüm yöntemidir.
15 A matrisini ele alalım. nin Stratejileri A nın eklenen Kazancı 1 4x1 + 2 ( 1 - x1 ) = 2x1 + 2 g, x1 = 0 g = 2 = 1 = 4 2 x1 + 3 ( 1 - x1 ) = 3-2x1 g, x1 = 0 g = 3 = 1 = I. doğru bu alan maxmin bölgesidir 1 1 II. doğru x1 = 0 x1 = 1 Kesişim noktası olan doğrular 2x1 + 2 = 3-2x1 eşitlenirse 4x1 = 1 den x1 ¼, x2 = ¾ A( ¼, ¾ ), g = 10/4 elde edilir. A nın Stratejileri nin Kaybı 1 4y1 + ( 1 - y1 ) g 3y1 + 1 g y1 = 0 g = 1 = 1 = 4 2 2y1 + 3( 1 - y1 ) = 3 - y1 g y1 = 0 g = 3 = 1 = 2
16 4 4 bu alan minmax bölgesidir y1 = 0 y1 = 1 3x1 + 1 = 3 - y1 ise, 4y1 = 2 ise, y1 = ½, y2 = ½ ( ½, ½ ) Not : 2xn oyunları için bir genelleme, maksimum noktadan geçmeyen doğruların stratejileri hiç bir zaman oynanmamalıdır. Örnek : A nin stratejileri A nın eklenen Kazancı 1 9x1-2(1 - x1 ) = 11x1-2, x1 = 0 g = -2 x1 = 1 g = 9 2-3x1 + 3(1 - x1 ) = 3-6x1, = 0 = 3 = 1 = x1 + 5(1 - x1 ) = 5-9x1, = 0 = 5 = 1 = x1 - (1 - x1 ) = 7x1-1, = 0 = -1 = 1 = 6
17 I. doğru IV. doğru x1 = 7x x1 = x1 = 4/13, x2 = 9/ g = 15/ II. doğru III. doğru A nın Stratejileri nin Kaybı 1 9y1-3y2-4y3 + 2y4 + g y1 = y3 = 0 2-2y1 + 3y2 + 5y3 + ( -y4 ) g -3y2 + 6y4 = 15/13 3y2 - y4 = 15/13 ise y4 = 6/13, y2 = 7/13 ( 0, 7/13, 0, 6/13 ) elde edilir. Ödev : A ödemeler matrisini çözünüz.
18 Doğrusal Programlama İle Çözüm Herhangi bir oyunun tepe noktasına yakın ve üstünlük stratejisini uygulayarak oyunun boyutunu ( mx2 ) veya ( 2xn ) boyutuna indirgeyemediğimizde D.P. yöntemi oyunun çözümünde en iyi yöntem olmaktadır. A ve oyuncuları arasında oynanan bir oyunu ele alalım. Oyun matrisi, a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23... a2n am1 am2 am3 amn olsun. A oyuncusu kazancını en az oyunun değeri g den az olmamasını garanti ederken oyuncusu da g den fazla olmayan bir ödemeyi sağlamaya çalışacaktır. A oyuncusunun stratejilerini p1,p2,.pm olasılıklarıyla, oyuncusunun da stratejilerini q1,q2, qn olasılıkları veya frekansları ile seçtiğini düşünelim. p1 + p2 + pm = 1 ve q1 + q2 +. qn = 1 dir. una göre Max. x0 = g p1 a11 + p2 a21 + p3 a23 + +pm am1 g p1 a12 + p2 a22 + p3 a32 + +pm am2 g. p1 a1n + p2 a2n + p3 a3n + +pm amn g p1 + p2 +. pm = 1 ve pi 0, i = 1,.m x1 = p1/g, x2 = p2 /g,,xm = pm /g olarak ele alırsak, A oyuncusu için bütün eşitsizlikleri 1 e eşit şekle dönüştürebiliriz.
19 Max. x0 = g x1 a11 + x2 a21 + +xm am1 1 x1 a12 + x2 a22 + +xm am2 1 ve. x1 a1n + x2 a2n + +xm amn 1 x1 + x2 +. xm = 1/g xi = pi /g 0 i = 1,..m xi = pi /g i = 1,..m olarak belirlediğimizde Max. g = Min 1/g = Min (x1 + x2 + +xm ), problemin son kısıtlayıcısını kullanarak problemi D.P. problemi olarak A oyuncusu için ifade edebiliriz. Oyuncu A nın amacı, beklenen kazancını, bir başka deyişle oyunun çözüm değeri g yi enbüyüklemektir. u amaç, ( 1/g ) nin enküçüklemesiyle aynı anlama gelir. oyuncusu için de D.P. problemi benzer yönde belirlenebilir. Min. Y0 = g q1 a11 + q2 a12 + +qn a1n g q1 a21 + q2 a22 + +qn a2n g. q1 am1 + q2 am qn amn g q1 + q2 +,.. qn = 1 ve qi 0 j = 1,..n yj = qj /g olarak ele alırsak, oyuncusu için D.P. problemi Max. Y0 = 1/g = y1 + y yn y1 a11 + y2 a12 + +yn a1n 1 y1 a21 + y2 a22 + +yn a2n 1. y1 am1 + y2 am yn amn 1 yj 0 j = 1,..n
20 u oyuncunun optimal strateji vektörleri de qj = yj *g formülü ile bulunur. Dikkat edilirse oyuncusu için çözülen problemin simpleks çözüm matrisinin aylak ve artık değişkenlerinin altındaki Cj - Zj satırındaki elemanlar A oyuncusunun optimal stratejilerinin değerini yani dual değişken değerlerini vereceğinden problem A oyuncusu için de çözülmüş olur. Örnek : A oyununun değerini ve her iki oyuncunun optimal strateji vektörünü bulunuz. oyuncusu için D.P. problemi Max. Y0 = 1/g = y1 + y2 + y3 3y1 + 2y2 + 3y3 1 2y1 + 3y2 + 4y3 1 5y1 + 4y2 + 2y3 1 y1, y2, y3 0 aşlangıç Simpleks Tablosu Ci Temel Çözüm y1 y2 y3 S1 S2 S3 0 S S S Zj Cj - Zj.. Son Simpleks Tablosu Ci Temel Çözüm y1 y2 y3 S1 S2 S3 0 S1 1/ / /16-3/8 1 y3 3/16 0 7/ /16-1/8 1 y1 1/8 1 5/ /8 1/4 Zj 5/ / /16 1/8 Cj - Zj 0-1/ /16-1/8
21 y1 = 1/8 y3 = 3/16 g = 1/Y0 = 16/5 = 3.2 oyuncusunun gerçek optimal stratejileri q1 = y1 *g = 0.4, q3 = y3 * g = 0.6 olarak bulunur. Yorum : oyuncusu % 40 oranında I. stratejisini ve % 60 oranında III. Stratejisini uygularsa rakibinin yani A oyuncusunun kabul edebileceği bir düzeyde oyun değerni belirlemiş olacaktır. oyuncusu için stratejiler vektörünü saptayan optimal simpleks çözüm matrisinin primal-dual ilişkileri gözönüne alınarak, A oyuncusunun stratejiler vektörü de bulunur. Primal problemin optimal simpleks çözümünde aylak değişkenlerin altındaki Cj - Zj satırındaki elemanlar ters işaretli olarak dual problemin temel değişkenlerinin değerleri olmaktadır. Dual değişken değerler A oyuncusunun optimal stratejileri olacaktır. x1 = 0, x2 = 3/16 ve x3 = 1/8 olurken, x0 = 5/16, g = 1/x0 = 16/5 = 3.2 olmaktadır. A oyuncusunun gerçek optimal stratejilerinin vektörü ise, p2 = 3/16 * 16/5 = 0.6 p3 = 1/8 *16/5 = 0.4 Öte yandan oyun matrisindeki elemanların çoğu negatif değerli ise bu oyun matrisine ( c ) gibi pozitif değerli sayı eklenerek matris elemanları pozitif değerli yapılabilir. u elde edilen matris elemanlarının değerleri bij = aij +c olur ve bu matrise düzenlenmiş matris adı verilir. Düzenlenmiş matristen yararlanarak her iki oyuncunun optimal strateji vektörleri bulunur ki, bu vektörler asıl oyun matrisinin optimal strateji vektörleridir. Oyun değeri ise g * = g c = 1/Y0 - c dir. Örnek : A oyunun değerini ve her iki oyuncunun optimal stratejilerini bulunuz.
OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar
DetaylıTam ve Karma Stratejili Oyunlar. İki Kişili Oyunlar için
Tam ve Karma Stratejili Oyunlar İki Kişili Oyunlar için İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar Sabit toplamlı oyunların bir türüdür, Sabit olan toplam 0 a eşittir. Temel Özellikleri Oyunculardan birinin kazancı
Detaylıİki kişili-sıfır toplamlı oyunlar. Tam ve Karma Stratejili Oyunlar. Varsayımlar. Sıfır toplamlı oyunlar
İki kişili-sıfır toplamlı oyunlar Tam ve Karma Stratejili Oyunlar İki Kişili Oyunlar için Sabit toplamlı oyunların bir türüdür, Sabit olan toplam 0 a eşittir. Temel Özellikleri Oyunculardan birinin kazancı
DetaylıDARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI
DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ LİSE ÖĞRENCİLERİ ARASI MATEMATİK PROJELERİ YARIŞMASI PROJENİN ADI: OYUN TEORİSİ İLE İSTANBUL TRAFİĞİNİN İNCELENMESİ HAZIRLAYANLAR: ECE TUNÇKOL-BERKE OĞUZ AKIN MEV KOLEJİ ÖZEL
DetaylıKONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I
KONU 4: DOĞRUSAL PROGRAMLAMA MODELİ İÇİN ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ I 4.1. Dışbükeylik ve Uç Nokta Bir d.p.p. de model kısıtlarını aynı anda sağlayan X X X karar değişkenleri... n vektörüne çözüm denir. Eğer bu
DetaylıKARAR TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü
KARAR TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Karar Ortamları Karar Analizi, alternatiflerin en iyisini seçmek için akılcı bir sürecin kullanılması ile ilgilenir. Seçilen
DetaylıToplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş noktası analizi Oyun kuramı
Anadolu Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2013-2014 Güz Dönemi Toplam maliyete/gelire göre yer seçimi Faktör ağırlıklandırma Başabaş
DetaylıOyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar
Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi
DetaylıYöneylem Araştırması II
Yöneylem Araştırması II Öğr. Gör. Dr. Hakan ÇERÇİOĞLU cercioglu@gazi.edu.tr BÖLÜM I: Doğrusal Programlama Tekrarı Doğrusal Programlama Tanımı Doğrusal Programlama Varsayımları Grafik Çözüm Metodu Simpleks
DetaylıKISITLI OPTİMİZASYON
KISITLI OPTİMİZASYON SİMPLEKS YÖNTEMİ Simpleks Yöntemi Simpleks yöntemi iteratif bir prosedürü gerektirir. Bu iterasyonlar ile gerçekçi çözümlerin olduğu bölgenin (S) bir köşesinden başlayarak amaç fonksiyonunun
DetaylıCEBİRDEN SEÇME KONULAR
CEBİRDEN SEÇME KONULAR MATRİS OYUNLARI HAZIRLAYANLAR : METEHAN ŞAHİN 080216030 SEDA SAYAR 080216062 AYSU CANSU ÇOĞALAN 080216058 ÖĞRETİM GÖREVLİSİ : PROF.DR. NEŞET AYDIN ARŞ. GRV. AYKUT OR ÇANAKKALE 2012
DetaylıSimpleks Yönteminde Kullanılan İlave Değişkenler (Eşitliğin yönüne göre):
DP SİMPLEKS ÇÖZÜM Simpleks Yöntemi, amaç fonksiyonunu en büyük (maksimum) veya en küçük (minimum) yapacak en iyi çözüme adım adım yaklaşan bir algoritma (hesaplama yöntemi) dir. Bu nedenle, probleme bir
DetaylıKarar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama
97 Karar Vermede Oyun Teorisi Tekniği Ve Bir Uygulama Bahman Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmanın amacı, günümüzde rekabet ortamında karar verme durumunda olan sistemlerin araştırılmasıdır. Bu amaçla verileri
DetaylıSAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ
DİKKATİNİZE: BURADA SADECE ÖZETİN İLK ÜNİTESİ SİZE ÖRNEK OLARAK GÖSTERİLMİŞTİR. ÖZETİN TAMAMININ KAÇ SAYFA OLDUĞUNU ÜNİTELERİ İÇİNDEKİLER BÖLÜMÜNDEN GÖREBİLİRSİNİZ. SAĞLIK KURUMLARINDA OPERASYON YÖNETİMİ
Detaylıyöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I
yöneylem araştırması Nedensellik üzerine diyaloglar I i Yayın No : 3197 Eğitim Dizisi : 149 1. Baskı Ocak 2015 İSTANBUL ISBN 978-605 - 333-225 1 Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları
Detaylı3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem
3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası
DetaylıOyun Teorisine (Kuramına) Giriş
Oyun Teorisi Oyun Teorisine (uramına) Giriş Şimdiye kadar, karar modellerinde bireysel kararlar ve çözüm yöntemleri ele alınmıştı. adece tek karar vericinin olduğu karar modellerinde belirsizlik ve risk
DetaylıYıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ. Oyun Teorisi Yaklaşımı
Yıldız Teknik Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Oyun Teorisi Yaklaşımı Doç. Dr. İhsan KAYA Oyun Teorisi-Doç. Dr. İhsan KAYA 1 Tanım: Oyun teorisi «Birbiriyle rekabet halinde olan
DetaylıYöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ. Oyuncusu Stratejisi. Stratejileri. Oyuncusu Stratejisi Stratejisi Cı Cı (3 4
Yöneylem Araştırması Dersi OYUN TEORİSİ ÖRNEK 1- Satır oyuncusunun iki (Tı, T 2 ), sütun oyuncusunun dört (Y 1, Y 2, Y 3, Y 4 ) stratejisinin bulunduğu bir oyunun, satır oyuncusunun kazançlarına göre düzenlenen
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı
Detaylı28 C j -Z j /2 0
3.2.6. Dual Problem ve Ekonomik Yorumu Primal Model Z maks. = 4X 1 + 5X 2 (kar, pb/gün) X 1 + 2X 2 10 6X 1 + 6X 2 36 8X 1 + 4X 2 40 (işgücü, saat/gün) (Hammadde1, kg/gün) (Hammadde2, kg/gün) 4 5 0 0 0
DetaylıZ c 0 ise, problem için en iyilik koşulları (dual. X b 0 oluyorsa, aynı zamanda primal
KONU 12: DUAL SİMPLEKS YÖNTEM P: min Z cx AX b X (121) biçiminde tanımlı bir dpp de, B herhangi bir temel olsun Bu temel için, simpleks tabloda tüm temel dışı değişkenlere ilişkin tüm Z c ise, problem
DetaylıLineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler
Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x
DetaylıMühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
DetaylıKONU 13: GENEL UYGULAMA
KONU : GENEL UYGULAMA Kahve üretimi apan bir şirket anı zamanda cezve ve fincan üretmektedir. Üretilen cezveler ve fincanlar boama kısmında işlem görmekte ve arıca fincanlar kaplanmaktadır. Bir cezve apımı
DetaylıMatrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir.
MATRIS Matrisler Matris Tanımı m satır ve n sütundan oluşan tablosuna matris adı verilir. Matristeki her bir sayıya eleman denir. Yukarıdaki matriste m n tane eleman vardır. Matrisin yatay bir doğru boyunca
DetaylıBu bölümde; Çok ölçütlü karar verme yöntemlerinden biri olan TOPSİS yöntemi anlatılacaktır.
ÇOK ÖLÇÜTLÜ KARAR VERME TOPSIS (Technique For Order Preference By Similarity To Ideal Solution) PROF. DR. İBRAHİM ÇİL 1 Bu bölümde; Çok ölçütlü karar verme yöntemlerinden biri olan TOPSİS yöntemi anlatılacaktır.
DetaylıULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.
DetaylıYöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/
Yöneylem Araştırması I Dersi 2. Çalışma Soruları ve Cevapları/25.12.2016 1. Bir deri firması standart tasarımda el yapımı çanta ve bavul üretmektedir. Firma üretmekte olduğu her çanta başına 400TL, her
DetaylıKARAR TEORİSİ VE ANALİZİ. OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil
KARAR TEORİSİ VE ANALİZİ OYUN TEORİSİ Prof. Dr. İbrahim Çil Bu derste; Oyun teorisi konusu ele alınacak. Neden oyun teorisine gerek duyulduğu açıklanacak, statik oyunların yapısı ve çözüm yöntemleri üzerinde
Detaylım=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.
Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,
DetaylıBir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı
Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların
Detaylıİkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız.
ISLE 403 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI DERS 3 NOTLAR DP Modellerinin Standart Biçimde Gösterimi: İkinci dersin notlarında yer alan Gepetto Marangozhanesi örneğini hatırlayınız. Gepetto Marangozhanesi için DP modeli
DetaylıYÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III
YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z
DetaylıMARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI
SAKARYA UNIVERSİTESİ ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II MARKOV ZİNCİRLERİNDE DURUMLARIN SINIFLANDIRILMASI DERS NOTLARI 1 Önceki derslerimizde pek çok geçişten sonra n-adım geçiş olasılıklarının
Detaylıx 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a
DetaylıMATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ
SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler
DetaylıBaşlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu
aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu
DetaylıDoğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez
Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik
Detaylıdoğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)
DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca
Detaylı4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ
4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n
DetaylıMaksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg)
Simplex ile Çözüm Yöntemi Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Doğrusal Programlama Modeli Maksimizasyon s.t. İşçilik, saat) (Kil, kg) 2 Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ Yrd.Doç. Dr. Fazıl GÖKGÖZ 1 Modelin Standard Hali Maksimizasyon
DetaylıKONU 8: SİMPLEKS TABLODA KARŞILAŞILAN BAZI DURUMLAR - II 8.1. İki Evreli Yöntem Standart biçime dönüştürülmüş min /max Z cx (8.1)
KONU 8: SİMPLEKS ABLODA KARŞILAŞILAN BAZI DURUMLAR - II 8.. İki Evreli Yöntem Standart biçime dönüştürülmüş min /max Z cx AX b X (8.) biçiminde tanımlı d.p.p. nin en ii çözüm değerinin elde edilmesinde,
DetaylıOYAK ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU 19 KASIM 2011 SORULAR
OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 10. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - MARDİN - ORDU RİZE - SAKARYA -
DetaylıDOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-
DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan
DetaylıOYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz
OYUN TEORİSİNE DOĞRU Yard.Doç.Dr.Deniz Giz ÖZET Herhangi bir teori veya bir modelin amacı bir soruna çözüm bulmaktır. Bir oyunun çözümü oyuncuların nasıl karar vereceklerinin öngörülmesine bağlıdır. Oyuncular
DetaylıTAMSAYILI PROGRAMLAMA
TAMSAYILI PROGRAMLAMA Doğrusal programlama problemlerinde sık sık çözümün tamsayı olması gereken durumlar ile karşılaşılır. Örneğin ele alınan problem masa, sandalye, otomobil vb. üretimlerinin optimum
DetaylıLineer Denklem Sistemleri
Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin
DetaylıLineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar
Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)
DetaylıULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ
ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıDOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)
DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11. 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ 11 1.1. Temel Kavramlar 14 1.2. Modeller 17 1.3. Diğer Kavramlar 17 Değerlendirme Soruları 19 Bölüm 2 DOĞRUSAL PROGRAMLAMA 21 2.1 Doğrusal Programlamanın
DetaylıGenel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez
Genel Graf Üzerinde Mutlak 1-merkez Çözüm yöntemine geçmeden önce bazı tanımlara ihtiyaç vardır. Dikkate alınan G grafındaki düğümleri 1 den n e kadar numaralandırın. Uzunluğu a(i, j)>0 olarak verilen
DetaylıEŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Detaylı3. BÖLÜM MATRİSLER 1
3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12
DetaylıNazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =
Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme
DetaylıRisk ve Belirsizlik. 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi. Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler
Risk ve Belirsizlik Altında Karar Verme KONU 6 1. Karar Analizleri 2. Karar Ağaçları 3. Oyun Teorisi i Karar Verme Aşamasındaki Bileşenler Gelecekte gerçekleşmesi mümkün olan olaylar Olası Durumlar şeklinde
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıHer bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir.
7. Atama Modelleri: Atama modelleri belli işlerin veya görevlerin belli kişi veya kurumlara atanması ile alakalıdır. Doğrusal programlama modellerinin bir türüdür ve yapı itibariyle ulaştırma modellerine
Detaylı8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.
8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıÖrnek 4.1: Tablo 2 de verilen ham verilerin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.
.4. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri kitleye ilişkin bir değişkenin bütün farklı değerlerinin çevresinde toplandığı merkezi bir değeri gösterirler. Dağılım ölçüleri ise değişkenin
DetaylıTOPSIS yönteminin adımları 5 Adım 1. Normalize karar matrisinin oluşturulması 6 Karar matrisinin normalizasyonu aşağıdaki formül kullanılarak yapılır:
Giriş 2 TOPSIS Bölüm 5 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) 1981 yılında Hwang ve Yoon tarafından geliştirilmiştir. Uygulanması basit, ulaşılan sonuçlar çok gerçekçidir.
DetaylıMatris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli
Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β
DetaylıHESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR
HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli
DetaylıSİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı
Fen Bilimleri Enstitüsü Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı ENM53 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler SİMPLEKS ALGORİTMASI Yapay değişken kullanımı Hazırlayan: Doç. Dr. Nil ARAS, 6 AÇIKLAMA Bu sununun
DetaylıÖğrencilerde Akıllı Telefon Kullanımının Özellikleri Bakımından Oyun Teorisi ile Analiz Edilmesi
Aksaray Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi. 7(2). 67-76 2015 Aksaray Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi http://iibfdergi.aksaray.edu.tr Öğrencilerde Akıllı Telefon
DetaylıBKİ farkı Standart Sapması (kg/m 2 ) A B BKİ farkı Ortalaması (kg/m 2 )
4. SUNUM 1 Gözlem ya da deneme sonucu elde edilmiş sonuçların, rastlantıya bağlı olup olmadığının incelenmesinde kullanılan istatistiksel yöntemlere HİPOTEZ TESTLERİ denir. Sonuçların rastlantıya bağlı
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıElementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler
4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan
Detaylı.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin
DetaylıKaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997
Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2016-2017 Güz Dönemi Kaynak: A. İŞLİER, TESİS PLANLAMASI, 1997 2 Tesis Yer Seçimi Problemi (TYSP) TEK AMAÇLI
DetaylıEM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak
EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıKübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
DetaylıİKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ
İKİ BOYUTLU ÇUBUK SİSTEMLER İÇİN YAPI ANALİZ PROGRAM YAZMA SİSTEMATİĞİ Yapı Statiği nde incelenen sistemler çerçeve sistemlerdir. Buna ek olarak incelenen kafes ve karma sistemler de aslında çerçeve sistemlerin
Detaylıii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.
C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(
DetaylıBİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ
BİLGİSAYAR PROGRAMLAMA DERSİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü DERS NOTU 5 KONU: Matlab de Diziler ve Matrisler İÇ İÇE FOR DÖNGÜSÜ
DetaylıÖnsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1
İÇİNDEKİLER Önsöz... XIII Önsöz (Hava Harp Okulu Basımı)...XV BÖLÜM 1 1. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASINA GİRİŞ... 1 1.1. Yöneticilik / Komutanlık İşlevi ve Gerektirdiği Nitelikler... 2 1.1.1. Yöneticilik / Komutanlık
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
DetaylıAHP ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ AHP AHP. AHP Ölçeği AHP Yönteminin Çözüm Aşamaları
ANALİTİK HİYERARŞİ PROSESİ 1970 li yıllarda Wharton School of Business da çalışan Thomas L.Saaty tarafından Karmaşık çok kriterli karar verme problemlerinin çözümü için geliştirilmiştir. Tüm kriterler
DetaylıAnalitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Yrd.Doç.Dr. Sabahattin Kerem AYTULUN
Analitik Hiyerarşi Prosesi (AHP) Yrd.Doç.Dr. Sabahattin Kerem AYTULUN Giriş AHP Thomas L.Saaty tarafından 1970'lerde ortaya atılmıştır. Amaç alternatifler arasından en iyisinin seçilmesidir. Subjektif
DetaylıOYUN KURAMI İLE SÜPER LİGİN ÜÇ BÜYÜK İSTANBUL TAKIMI İÇİN SEZONU DURUM ANALİZİ. Nehir NUMANOĞLU
OYUN KURAMI İLE SÜPER LİGİN ÜÇ BÜYÜK İSTANBUL TAKIMI İÇİN 2009-2010 SEZONU DURUM ANALİZİ Nehir NUMANOĞLU YÜKSEK LİSANS TEZİ EKONOMETRİ ANA BİLİM DALI UYGULAMALI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI BİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
DetaylıVERİ MADENCİLİĞİ (Karar Ağaçları ile Sınıflandırma) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN
VERİ MADENCİLİĞİ (Karar Ağaçları ile Sınıflandırma) Yrd.Doç.Dr. Kadriye ERGÜN kergun@balikesir.edu.tr İçerik Sınıflandırma yöntemleri Karar ağaçları ile sınıflandırma Entropi Kavramı ID3 Algoritması C4.5
DetaylıÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.
ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu
DetaylıKAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
DetaylıDENKLEM DÜZENEKLERI 1
DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x
DetaylıALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR
ALTERNATĐF AKIM (AC) I AC NĐN ELDE EDĐLMESĐ; KARE VE ÜÇGEN DALGALAR 1.1 Amaçlar AC nin Elde Edilmesi: Farklı ve değişken DC gerilimlerin anahtar ve potansiyometreler kullanılarak elde edilmesi. Kare dalga
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Detaylı