Momentler Prensibi (Varignon teoremi)

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Momentler Prensibi (Varignon teoremi)"

Volkan Halefoğlu
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Momentler Prensibi (Varignon teoremi) Bu ilke, bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin bu kuvvetin bileşenlerinin bu noktaya göre momentlerinin eşit olduğunu ifade eder. Vektörel çarpımın dağılma özelliği İki boyutlu problemlerde, kuvveti kartezyen bileşenlerine ayırdıktan sonra moment analizini skaler analizle yapmak mümkündür. 1

2 Momentler Prensibi (Varignon teoremi) F kuvvetine dik mesafeyi (d) bulmaya gerek kalmadan, bileşenlerine ayırmak daha pratik! 2

3 Örnek 14 O noktasında oluşan momenti belirleyiniz. ÇÖZÜM 1 3

4 ÇÖZÜM 2 4

5 ÇÖZÜM 3 5

6 Ödev 8 3 m 6 m Sokak lambasını kaldırmak için F kuvvetinin A noktasında 2250 Nm saatin tersi yönünde moment oluşturması gerekmektedir. Bu durumda F kuvvetinin şiddeti ne olmalıdır? Cevap: N 6

7 1.yol: A noktasına dik mesafeyi (d) bulalım m F. 6m 6xsin75=5.80m d A 3m 6xcos75=1.55m sin sin sin 3.0 (3sin105) / m d M A 6 sin Fd ( skaler) 2250 F m F N 3 m 7

8 2.yol: F kuvveti bileşenlerine ayrılır. B noktasına etkiyen F kuvveti bileşenlerinin A da yaratmış oldukları moment toplamını 2250 Nm yapan kuvvet bulunur. F x B 6m 5.80m 105 A 3m 1.55m F y =23.15 =51.85 F x =F.cos F y =F.sin M A =2250 = F x (5.80) F y (1.55) 2250 = F cos (5.80) F sin (1.55) F= N 8

9 Bir kuvvetin bir eksene göre momenti Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti hesaplanırken, moment ve moment ekseninin, kuvvet ve moment kolunu içeren düzleme daima dik olduğu unutulmamalıdır. Bazen bu momentin, söz konusu noktadan geçen belirli bir eksen üzerindeki bileşenini bulmak gerekebilir. Skaler veya vektörel analiz kullanılabilir. Örn: Bulonu gevşetebilecek moment y ekseni etrafındaki M y momentidir. x ekseni etrafında oluşan momentin bulonu gevşetmeye bir etkisi yoktur. 9

10 Skaler hesap F kuvvetinin y ekseni etrafında moment yaratan moment kolu: d y =dcos olduğuna göre, M= Fd y = F(dcos) olarak bulunur. 10

Vektörel hesap Şekilde gösterilen F kuvvetinin y eksenine göre momentini bulmak için önce, F kuvvetinin y ekseni üzerinde herhangi bir nokta O ya göre momenti bulunur.

11 Vektörel hesap Şekilde gösterilen F kuvvetinin y eksenine göre momentini bulmak için önce, F kuvvetinin y ekseni üzerinde herhangi bir nokta O ya göre momenti bulunur. M o momentinin y eksenine göre izdüşümü olan M y bileşeni (y ekseni etrafındaki moment) ise skaler çarpım kullanılarak bulunur. (sonuç skaler) y eksenindeki birim vektör 11

12 Genelleştirince: M a u a ( r F) Bu çarpıma skaler üçlü çarpım denir. Vektörler kartezyen formda ifade edilirse; Skaler üçlü çarpım determinant formda da yazılabilir: 12

13 1. Satır 2. Satır 3. Satır 1.satır: a-a' ekseninin yönünü belirleyen birim vektörün kartezyen bileşenleri 2.satır: a-a ekseninin herhangi bir yerinden, F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörünün kartezyen bileşenleri 3. satır: F kuvvetinin kartezyen bileşenleri Ma belirlendiğinde Ma yı kartezyen vektör şeklinde ifade edebiliriz : Ma negatif çıkarsa M M a a u a M a u a nın tersi yönündedir. 13

14 Örnek F kuvvetinin AB ekseninde oluşturacağı momenti bulunuz. M AB u AB ( r F) 14

15 15

16 Ödev 9 F kuvvetinin OA borusunun doğrultusundan geçen eksene göre oluşan momentin şiddetini bulunuz. Kartezyen vektör cinsinden ifade ediniz. Ve moment ekseninin yön kosinüslerini bulunuz. Cevap : 100 Nm 16

17 17

18 18

Kuvvet çifti ile üretilen moment, bir O noktasında oluşan iki kuvvetin momentleri toplamına eşittir.

19 Kuvvet Çiftleri Kuvvet çifti, aralarındaki dik uzaklık d olan, aynı büyüklükte ve zıt yöndeki paralel iki kuvvet olarak tanımlanır. Bileşke kuvvet sıfır olduğundan, kuvvet çiftinin tek etkisi dönme eğilimi yaratmaktır. Kuvvet çifti ile üretilen moment, bir O noktasında oluşan iki kuvvetin momentleri toplamına eşittir. M rb F ra ( F) ( rb ra ) F rb ra r r rb ra M r F Momentin, r A, r B konum vektörlerine değil, sadece kuvvetler arasındaki konum vektörüne bağlı olması nedeniyle, kuvvet çiftinin momentinin bir serbest vektör olduğu, herhangi 19 bir noktada etki edebileceği söylenebilir.

20 Skaler Formülasyon Kuvvet çiftinin momenti: M Fd F= kuvvetlerden birinin büyüklüğü d= kuvvetler arasındaki dik uzaklık (moment kolu) Kuvvet çifti momentinin doğrultu ve yönü sağ el kuralı ile belirlenir. Vektörel Formülasyon Kuvvet çiftinin momenti vektörel (çapraz) çarpımla: M r F 20

21 Eşdeğer (Denk) Kuvvet Çiftleri İki farklı kuvvet çifti, aynı şiddet ve yöne sahip moment etkisi yaratıyorsa, bu iki kuvvet çiftine eşdeğer kuvvet çifti denir. M= 30 N (0.4 m) = 40 N (0.3 m) = 12 Nm 21

22 Bileşke Moment Kuvvet çifti momentleri, serbest vektörler olduğundan vektörel olarak toplanabilirler. M M R M1 M 2 r F Cismin üzerine ikiden fazla kuvvet çifti momenti etki ediyorsa bu kavram genelleştirilebilir. 22

23 Örnek 15 Üç farklı kuvvet çiftinin cisim üzerinde yarattığı bileşke momenti skaler hesapla bulunuz. M R M ( Nm M R F d 1 1 F d F d N)(0.4m) (450N)(0.3 m) (300N)( m) 23

24 Örnek 16 Boruya etkiyen iki kuvvet çiftinin yaratmış olduğu momentin bileşkesini bulunuz. 24

25 Ödev 10 Boruya etkiyen kuvvet çiftinin momentini belirleyiniz. Cevap : j Nmm 25

26 Vektörel çözüm 25 N 25 N 25 N 25 N 26

27 Skaler çözüm 27

28 Kuvvet ve Kuvvet Çifti Sistemlerinin Basitleştirilmesi Bazen bir kuvvet ve moment sistemini daha basit ve eşdeğer başka bir kuvvet sistemine indirgemek gerekebilir. Bu eşdeğer sistem belli bir noktaya etkiyen bileşke kuvvet ve momentten oluşmalıdır. Yeni sistem, orijinal sistemle aynı dış etkileri yaratıyorsa, yeni kuvvet sistemine eşdeğer kuvvet sistemi denir. Dış etkiler, Eğer cisim herhangi bir yere bağlı değilse ötelenme ve dönme etkileridir Eğer cisim mesnetli ise (bağlı) yarattığı mesnet tepkileridir 28

29 Kuvvet ve kuvvet çifti sisteminin bileşkesi Bir rijit cisme kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinden oluşan bir sistem etkiyorsa, cisim üzerindeki dış etkileri, kuvvet ve kuvvet çifti momenti

29 29 Kuvvet ve kuvvet çifti sisteminin bileşkesi Bir rijit cisme kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinden oluşan bir sistem etkiyorsa, cisim üzerindeki dış etkileri, kuvvet ve kuvvet çifti momenti bileşkelerini kullanarak incelemek daha basittir. M kuvvet çifti momenti, bir serbest vektör olduğundan, doğrudan O noktasına taşınır. F 1 ve F 2 kayan vektörlerdir ve O noktası bu kuvvetlerin etki çizgisi üzerinde olmadığından moment oluşturur. Oluşan momentler de O noktasına taşınmalıdır. M M M F F M M M M F F F F r M F r M O RO i R R R

30 Eğer kuvvet sistemi x-y düzleminde ise, ve momentler de bu düzleme dik (z ekseni doğrultusunda) ise, yukarıdaki vektör formülasyon, skaler formülasyon halini alır. F F M Rx Ry RO F F x y M O, i M j 30

31 Örnek 17 Etkiyen kuvvetleri O noktasında eşdeğer kuvvet ve moment sistemine indirgeyin. Kuvvet Toplamı 31

32 Moment Toplamı 32

33 Kuvvet Sistemlerinin Daha da Basitleştirilmesi Bir kuvvet sistemi, aynı noktaya etkir veya aynı düzlemde bulunur ya da paralelse, tek bir P noktasında etkiyen bir tek bileşke kuvvete indirgenebilir. Çünkü bu hallerin herbirinde F R ve M RO kuvvet sistemi, herhangi bir O noktasında basitleştirildiğinde daima birbirine dik olur. 33

34 Bir noktadan geçen kuvvet sistemleri Bütün kuvvetlerin etki çizgileri O noktasından geçiyorsa, kuvvet sistemi moment oluşturmaz. Eşdeğer kuvvet sistemi kuvvetlerin vektörel toplamıyla bulunur: F F R i 34

Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Kuvvetlerin bulunduğu düzleme dik doğrutulu kuvvet çifti momentleri içerebilen düzlemsel kuvvet sistemleri tek bir bileşke kuvvete indirgenebilir.

35 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri Kuvvetlerin bulunduğu düzleme dik doğrutulu kuvvet çifti momentleri içerebilen düzlemsel kuvvet sistemleri tek bir bileşke kuvvete indirgenebilir. F R M RO F Kuvvetlerin bileşkesi : olarak hesaplanır ve yine aynı düzlemdedir. Kuvvetlerin oluşturduğu moment ekseni bu düzleme diktir. Dolayısıyla kuvvetlerin bileşkesi F R O noktasına göre aynı momenti yaratacak şekilde, O dan d kadar mesafede konumlandırılabilir. M r F 35

36 Paralel kuvvet sistemleri Bu sistem z eksenine paralel kuvvetlerden oluşmaktadır. Bu durumda, O noktasındaki bileşke kuvvet de z eksenine paralel olmak zorundadır. F F R i 36

Her bir kuvvet x-y düzlemindeki bir O noktasına taşındığında, bileşke kuvvet sadece x ve y eksenlerine göre bileşenlere sahip olan bir kuvvet çifti momenti üretir.

37 Her bir kuvvet x-y düzlemindeki bir O noktasına taşındığında, bileşke kuvvet sadece x ve y eksenlerine göre bileşenlere sahip olan bir kuvvet çifti momenti üretir. Buna göre, oluşan bileşke momenti, F R bileşke kuvvetine diktir. Bu nedenle kuvvet sistemi daha da basitleştirilerek tek bir F R kuvvetine indirgenebilir. d mesafesi şu şekilde bulunur: 37

38 W R d W 1 W W1d 1 W2d W R

39 Örnek 19 Kirişe etkiyen kuvvet ve moment sistemini eşdeğer tek bir kuvvete indirgeyiniz ve kirişi kestiği yeri bulunuz. 39

40 Kuvvet Toplamı 40

41 Moment Toplamı 41

42 Örnek 20 Şekildeki vince etkiyen kuvvetleri eşdeğer tek bir kuvvete indirgeyin ve bu kuvvetin etki çizgisinin AB kolonunu ve BC kirişini kestiği yerleri belirleyiniz. 175 N Kuvvet Toplamı

43 Moment Toplamı = = 175 N 43

44 Veya; = x 0 y 2.29 m y 11m x 10.9 m 175 N 44

45 Ödev 11 Şekilde gösterilen döşeme birbirine paralel dört kuvvetin etkisi altındadır. Eşdeğer tekil kuvvetin yönünü ve yerini bulunuz. Cevap: F R = N x= 3 m ; y= 2.5 m 45

46 KUVVET TOPLAMI 46

47 MOMENT TOPLAMI 47

Benzer belgeler

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N

Ödev 1. Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N Ödev 1 Ödev1: 600N luk kuvveti u ve v eksenlerinde bileşenlerine ayırınız. 600 N 1 600 N 600 N 600 N u sin120 600 N sin 30 u 1039N v sin 30 600 N sin 30 v 600N 2 Ödev 2 Ödev2: 2 kuvvetinin şiddetini, yönünü