KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELEMESİ PROBLEMLERİNDE KULLANILAN GENETİK ALGORİTMA METODLARI VE BUNLARIN KARŞILAŞTIRILMASI

Transkript

1 T. C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELEMESİ PROBLEMLERİNDE KULLANILAN GENETİK ALGORİTMA METODLARI VE BUNLARIN KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ GÖKHAN ÖZDEMİR ANKARA-2006

2 T. C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELEMESİ PROBLEMLERİNDE KULLANILAN GENETİK ALGORİTMA METODLARI VE BUNLARIN KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ GÖKHAN ÖZDEMİR TEZ DANIŞMANI DOÇ. DR. ALİ ARGUN KARACABEY ANKARA-2006

3 T. C. ANKARA ÜNİVERSİTESİ SOSYAL BİLİMLER ENSTİTÜSÜ İŞLETME ANABİLİM DALI KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELEMESİ PROBLEMLERİNDE KULLANILAN GENETİK ALGORİTMA METODLARI VE BUNLARIN KARŞILAŞTIRILMASI YÜKSEK LİSANS TEZİ TEZ DANIŞMANI DOÇ. DR. ALİ ARGUN KARACABEY TEZ JÜRİSİ ÜYELERİ ADI VE SOYADI Doç.Dr. HASAN ŞAHİN Doç.Dr. YALÇIN KARATEPE Doç.Dr. A. ARGUN KARACABEY İMZASI... TEZ SINAV TARİHİ 11/10/2006

4 İÇİNDEKİLER Konu Başlığı Sayfa No 1. GİRİŞ 1 2. PROJE ÇİZELGELENDİRME VE ŞEBEKE ANALİZİ Projeler ve Şebeke Analizi Tarihi Gelişim Kavramsal Çerçeve 7 3. KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELENDİRME PROBLEMLERİ Problem Modeli Varsayımlar Makinalar ve İlave Kaynaklar Faaliyetler Kümesi Performans Ölçüleri Çizelgeleme Problemleri ve Algoritmalar Kısıtlı Kaynaklar ile İlgili Bir Problem Kaynak Dengelemesi İçin Bir Metot Bir Metot Olarak Sezgisel Programlama KISITLI KAYNAKLAR İLE PROJE ÇİZELGELEMESİNDE KULLANILAN SEZGİSEL YAKLAŞIMLAR Giriş Çizelgeleme ve Kapasite Planlama Problem Analizi 26 i

5 4.2 Çizelge Geliştirme Planları Seri Çizelge Geliştirme Planları Paralel Çizelge Geliştirme Planları Öncelik Kuralına Dayalı Buluşsallık Öncelik Kuralları Önerilen Yöntemler X-Geçişli Yöntemler Tekli Geçiş Yöntemleri Çoklu Geçiş Yöntemler Meta-sezgisel Yaklaşımlar Genel Meta-sezgisel Stratejileri Simüle Edilmiş Güçlendirme Çizelgesel Arama Genetik Algoritma Gösterimler Faaliyet Listesi Gösterimi Rastgele Anahtar Gösterimi Öncelik Kuralı Gösterimi Kaydırma Vektörü Gösterimi Çizelge Planı Gösterimi Önerilen Yöntemler Diğer Sezgisel Metotlar Kesik Kol ve Sınır Yöntemi 63 ii

6 4.6.2 Ayırıcı Arka Dayalı Yöntemler Diğer Yaklaşımlar Yöntemlerin Değerlendirilmesi GENETİK ALGORİTMALAR Evrim Teorisi ve Genetik Algoritmanın Gelişimi Evrimsel Doğal Seçicilik Teorisi ve Seçici Adaptasyon Genetik Algoritmanın Tanımı ve Tarihsel Gelişimi Permutasyon Temelli Genetik Algoritma Ana Şema Bireyler ve Uyumluluk Çaprazlama Mutasyon Seçme Öncelik Değerini Temel Alan Genetik Algoritma Bireyler ve Uyumluluk Çaprazlama Mutasyon Karşılaştırmalar ve Sonuçları Deney Parametreleri Genetik Algoritmaların Düzenlenmesi Yaklaşımların Karşılaştırılması SONUÇLAR 97 iii

7 EK 1 KARŞILAŞTIRMALARDA KULLANILAN ÖRNEK PROBLEM 99 EK -2 GENETİK ALGORİTMA SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİNDE KULLANILAN BİLGİSAYAR PROGRAMI 103 TEZ ÖZETİ 105 ABSTRACT 106 KAYNAKÇA 107 iv

8 ŞEKİLLERİN LİSTESİ Şekil No Konu Sayfa No Şekil 1. Gantt Şeması 4 Şekil 2. Proje Ağı 18 Şekil 3. Çizelge Grafiği 19 Şekil 4. Personel Yükleme Grafiği 21 Şekil 5. Yenilenen Çizelge Grafiği 22 Şekil 6. Proje Örneği 29 Şekil 7. Örnek Çizelge 29 Şekil 8. Genetik Algoritmanın İşleyişi 72 Şekil 9. Genetik Algoritma Yazılımının Ana Ekranı 103 Şekil 10. Sonuçların Gösterimi 104 v

9 TABLOLARIN LİSTESİ Tablo No Konu Sayfa No Tablo 1. Semboller ve Tanımları Tablo 2. Seri Çizelge Geliştirme Planı Örneği 34 Tablo 3. Paralel Çizelge Geliştirme Planı Örneği 38 Tablo 4. Öncelik Kuralları 40 Tablo 5. Tablo 6. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için öncelik kuralına dayalı sezgisel stratejiler incelemesi Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için meta -sezgisel stratejiler incelemesi Tablo 7. Örnek bireyler 79 Tablo 8. Genetik algoritmada kullanılan alternatif metodlar Tablo 9. Popülasyon büyüklüğünün etkisi 93 Tablo 10. Genetik Algoritmaların karşılaştırılması 94 Tablo 11. Rastgele yöntemlerde şifre çözücülerin karşılaştırılması 95 Tablo 12. Zaman sınırına göre ortalama sapmalar 95 vi

10 1. GİRİŞ Bu çalışma, kaynak kısıtlı sistemlerde işlerin çizelgelemesini ele almaktadır. Proje çizelgelemesi esnasında kaynakların kısıtlı olması durumda karşılaşılacak problemlerin çözümünü araştırmaktadır. Bu çalışmanın amacı kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerini çözmek için iki değişik Genetik Algoritma metodu göstermek ve bunları karşılaştırmaktır. Bu iki strateji, değişik genetik şifre çözücüler ve operatörler kullanmaktadır. Bu araştırmalar esnasında sezgisel metotlara yer verilmiş ve bunların ayrıntılı açıklaması yapılmıştır. Sezgisel metotlar arasında Genetik Algoritma stratejisi incelenmiş ve bu stratejiye uygun yeni algoritmalar geliştirilip birbirleriyle karşılaştırılmıştır. Proje çizelgelemesi, belirli sayıdaki faaliyetlerin gerçekleştirilebilmesi amacıyla, kaynakların zamana bağlı olarak tahsis edilmesidir. Görüldüğü gibi enerji, işgücü ve para gibi diğer sınırlı kaynaklar genellikle yok sayılmaktadır. Bu yüzden, bir işin gerçekleştirilebilmesi, tek bir kaynağın varlığıyla sınırlandırılmıştır. Bu araştırma da faaliyetlerin gerçekleştirilebilmesi için, yalnızca zamanın değil diğer kaynakların da aynı anda kısıtlı olması durumunu incelemektedir. Bu açıklamaların ardından, kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerine ilişkin sezgisel yaklaşımları ele alan bir değerlendirme çalışmasına değinilecektir. Ardından olası çizelgelerin gerçekleştirilebilmesi için gerekli olan çizelge geliştirme 1

11 planları anlatılacaktır. Daha sonra ise, bu planların öncelik kuralına dayalı yöntemlerde ne şekilde kullanıldıkları açıklanacaktır. Bu incelemelerden sonra simüle edilmiş güçlendirme, çizelgesel arama ve genetik algoritmalar gibi meta-sezgisel algoritmalar incelenecektir. Öncelik kuralına dayalı yöntemler sınıfında ve meta-sezgisel yaklaşımlar arasında yer almayan sezgisel stratejiler konusu da ele alınacaktır. Ardından Genetik Algoritma konusu detaylı olarak incelenecek ve Genetik Algoritmaların özellikleri ve tarihi gelişimi irdelenecektir. Daha sonra kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerinde kullanılan çeşitli genetik algoritma yaklaşımları ayrıntılı olarak incelenecek ve karşılaştırılacaktır. Bu yaklaşımlarda kullanılan operatörlerin ve yaklaşımların birbirlerine olan üstünlükleri ve zayıflıkları, ayrıntısı Ek 2 de açıklanan bir bilgisayar programı yardımı ile ve ayrıntısı EK 1 de açıklanan bir örnek problem kullanılarak incelenecektir. Son kısımda ise, bulunan sonuçlar değerlendirilecektir. 2

12 2. PROJE ÇİZELGELENDİRME VE ŞEBEKELER 2.1 Projeler ve Şebeke Analizi Projeler; amaçlar, zamanlama, kaynaklar ve çevre olmak üzere birbirleriyle ilişkili dört boyuttan oluşur 1. Bir yapı projesinde amacı belirlenmiş zaman içerisinde işi en az maliyette yapmaktır. Yani, bilgisayar denetimli bir stok sistemi projesinin uygulanmasındaki amaç uygulama sırasındaki işlem hatalarını veya yeni sistemin reddedilme olasılığını en aza indirgemektir. Maliyeti en aza indirgemek genelde bir amaçtır ama önceki örnekte de görüldüğü gibi her zaman başlıca amaç değildir. Projenin zaman boyutu son mühlet ve tedarik müddeti içerir. Tedarik müddeti, ihtiyaç duyulan kaynakların temin edilmesi, personel ve techizatın programının yapılmasıdır. Bu boyut değerlendirilirken en önemli nokta boş zamanın önüne geçebilmektir. Kaynaklar, projenin amaçlarına ulaşması ve projenin bazı kısımlarının yapılması için kullanılır. Kaynaklar, personel, techizat, ve materyallerden oluşur. İhtiyaç duyulan kaynakların belirlenmesi, proje planlamasının önemli bir parçasıdır, fakat bu kaynakların zaman boyunca eşgüdümlenmesi daha zordur. Projenin çevresi, projenin maliyet ve zamanlama ile ilgili belirsizliğe sebep olan hava, materyal kıtlığı v.s. gibi faktörlerden oluşur. 1 Sezgin, A., İşletmelerde malzeme akış sistemi: analiz ve simulasyon uygulaması, Ankara İktisadi ve Ticari İlimler Akademisi, Ankara,

13 Projenin kendi dışındaki çevresel faktörlerden dolayı amaç erişilmez, zaman kökten değiştirilebilir ve kaynakların bulunabilirliği farklılaşabilir. Yani belirsizlik, çevrenin kilit öğesidir. 2.2 Tarihi Gelişim Bir projede mevcut işlerin şekilsel gösteriminde en basit yöntem 1918 yılında Henry L. Gantt tarafından geliştirilen Gantt şemasıdır. Gantt şemasının en önemli özelliği projeyi faaliyet boş zamanleri olarak ifade ederken her faaliyetin zaman grafiğini ve faaliyetler arası ilişkileri sergilemede kolaylık sağlayan esnekliğidir. Şekil 1. Gantt Şeması 4

14 Şekil 1 deki Gantt şemasında dikey eksende faaliyetler, yatay eksende de zaman yer almaktadır. Her faaliyetin tahmini zamanı başından sonuna kadar çubuklarla ifade edilmiştir. Bir faaliyetin başlangıç ve bitim zamanını çubukların uzunluğu belirler. Buna göre A faaliyeti 10 dakika sürmekte ve bitirilmedikçe B faaliyetine başlanamaz. Oysa D faaliyetine başlanabilmesi için C faaliyetinin bitmesi gerekmez, bunlara aynı zamanda başlamak mümkündür. Ancak belirtildiği üzere Gantt şeması faaliyetler arasındaki ilişkileri basit olarak ortaya koymaktadır. Dolayısıyla eğer elimizde karar vermemiz gereken büyük ve karmaşık bir proje varsa bu şema üzerinde faaliyetler arasındaki ilişkileri ortaya koymakta zorluklarla karşılaşılacaktır. Bu da Gantt şemasının en büyük eksikliğidir. Proje planlamasında şebeke analizi en yaygın olarak kullanılan yöntemlerden biridir. Büyük ve karmaşık projeleri, bir dizi olay ve faaliyetin şekilsel gösterimi olan şebekelerle analiz ederek kaynakların daha etkin yönetimini sağlayabiliriz. Şebekenin tanımını şu şekilde yapmak mümkündür: Program amacına ulaşabilmek için gerekli faaliyet ve olaylardan meydana gelen, faaliyet ve olayların planlama gereği birbirleriyle olan bağlantı ve ilişkilerini gösteren çizelge. Genellikle inşaat ve mühendislik firmaları iş planlaması ve maliyet kontrolünde proje planlama tekniklerini kullanırlar. Proje planlama teknikleri belirli zaman ve kaynak kısıtlılıkları çerçevesinde projenin tamamlanma olasılığı, kritik işleri ve proje müddetini tayin etmede; inşaat planlaması; yeni ürünlerin pazarlanmasının planlanması ve programlanması; belirli sistemlerdeki maksimum akışın bulunması; büyük çaplı ihalelerin hazırlanması ve televizyon programının yapılması gibi birçok alanda kullanılmaktadır. 5

15 PERT ve CPM büyük ölçekli, karmaşık projelerin planlanması, şekilsel gösterimi ve kontrolüne yardımcı olmak üzere 1950 lerden sonra geliştirilmişlerdir. Amerikan Deniz Kuvvetleri, Polaris adlı silah sistemini geliştirirken muazzam bir eşgüdümleme problemi ile karşılaşmıştı. Bu sebepten, 11,000 müteahhidin işlemlerini eşgüdümlemek ve projenin yapılmasını sağlamak için PERT adı verilen bir yöntem geliştirilmişti. PERT in açılımı Program değerlendirme ve gözden geçirme tekniği dir (Program Evaluation and Review Technique). Bu yöntem, programda ileri sürülen değişiklikleri değerlendirmek ve büütn tamamlama süresinde meydana gelecek gecikmeleri en etkili şekilde önlemek için kullanılır. Aynı zamanlarda Du Pont ve UNIVAC Division of Remington Rand firmaları tarafından, bitkilerin kimyasal bakımının kontrolünü kurmak amacıyla, Kritik Yol Metotu (CPM, Critical Path Method) geliştirilmiştir. Daha sonraları PERT ve CPM in aynı temelde oldukları görülmüştür. O zamandan beri her ikisi, esas itibarı ile geliştirilmiş fakat esas fikir aynı kalmıştır 1. Bu modeller, büyük problemlere uygulanmaları görece olarak kolay olduğundan, büyük kabul görmüş ve geliştirilmiştir. PERT/CPM planlaması şebeke çizelgesi üzerine kuruludur. Kullanılan çizelgede oklar, işlemler arasındaki öncellik ilişkisini göstermek için kullanılır. Öncellik ilşkisi, örneğin, X işleminin Y işleminden önce mutlaka tamamlanması gerektiğini gösterir. Sonuç çizelgesinin, daha sonra anlatılacağı gibi birçok kullanılışı vardır. Çizelge, potansiyel programlama zorluklarını belirlemek, bütün projeyi bitirinceye kadar geçecek süreyi tahmin etmek, ve projenin eşgüdümlemesini iyileştirmek 1 Hoşcan, Yaşar. Proje denetiminde kullanılan CPM/PERT yöntemleri ve çözümü için geliştirilen paket programlar, Anadolu Üniversitesi, Eskişehir,

16 için kullanılabilir. Tamamlama süresinin tahmin edilmesi ve çizelgelerin çizilmesi için bilgisayar porgramları mevcuttur çünkü çizelgeler genellikle büyük ve detaylıdır. 2.3 Kavramsal Çerçeve Esasında CPM ve PERT yöntemleri aynı temeller üzerine kurulmuş olmakla beraber ayrıntılarda bazı farklılıklar vardır. PERT yöntemi işlem zamanlarının olasılık tahminleri ve projenin tamamlanma zamanının olasılığı üzerinde kurulmuştur 1. CPM yönteminde ise sabit ve belirlenmiş işlem zamanları kabul edilmiştir. Bu farklılıklar gözardı edildiğinde her iki yöntem de şebekenin kayıp elemanlarının tanımlanması ve faaliyetler arası ilişkiler gibi faktörleri, projenin tamamlanma süresi, zamanında tamamlanması gerekli kritik faaliyetlerin ve şebekenin kritik yolunun bulunması için gerekli görmektedir 2. Fakat CPM ve PERT sınırsız kaynak varsayımından yola çıktıklarından ve bu da birçok gerçek problemde geçerli bir varsayım olmadığından, birçok araştırmacı bu problemleri sınırlı kaynaklar varsayımı ile çözmeye çalışmıştır. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi kombinatoryal problemler sınıfındadır çünkü faaliyetlerin optimal sırası ile ilgilenmektedir 3. 1 Sezgin, A., a.g.e. 2 Öztürk, Ahmet, Yöneylem Araştırması, Uludağ Üniversitesi Basımevi, Lawler, Eugene L., Combinatorial Optimization: Networks and Matroids, Holt, Rinehart and Winston, New York, N.Y.,

17 Tam çözüm metotları bilinen çok az kısıtlı kaynaklar problemi vardır. Yayınlanan sonuçların çoğu, bir çeşit maddelendirmeye dayanmaktadır. CPM problemlerinde kritik yolu bulmak için kullanılan etkili algoritmalar, problemi bir maksimum nakit akış problemi gibi formüle ettirerek ve doğal doğrusal programlama araştırılarak bulunabilir. Kısıtlı kaynaklar problemlerini çözmek için bu tür yaklaşımlarla yapılan denemeler başarılı olamamıştır 1. Kısıtlı kaynaklar ile proje çizelgelemesi problemlerinin çözümünde birçok tamsayı programlama formülasyonları kullanılmıştır 2. Kısıtlı kaynaklar ile çoklu proje çizelgelemesi Pritsker 3 tarafından gerçekleştirilmiştir ve işlerin günlere göre dağıtımı, kaynakların birbirlerinin yerlerini alabilirliği ve aynı andalık gereksinimlerine büyük esneklik getirmiştir. Bunlardan sonra Blazewicz 4 ve Patterson ve Slowinski 5 çalışmaları ile bu konu daha da geniş yönlere açılarak alanında ilgi uyandırmaya devam etmiştir. 1 Bennington, G.E., McGinnis, L.F., A Critique of Project Planning With Resource Constraints, Lectures Notes in economic and mathematical systems. Springer-Verlag, Davis, W.E., Project Scheduling Under Resource Constraints Historical Review And Categorization Of Procedures, AIIE Transactions, 1973, C5,S.4, s Pritsker, A. A. B., Walters, L., Multiproject Scheduling with Limited Resources: A Zero-One Programming Approach, Management Science, 1969, C.16, s Blazewitz, J., Drabowski, M., Weglarz, J., Scheduling MultiProcessor Tasks To Minimize Schedule Length, IEEE Transactions on Computers, 1986, C.35, S.5, s Patterson, J., Slowinski, R., Weglarz, J., Computational Experience with Backtracking Algorithm for Solving a General Class of Precedence and Resource-Constrained Scheduling Problems, European Journal of Operational Research, November

18 3. KISITLI KAYNAKLARLA PROJE ÇİZELGELENDİRİLMESİ PROBLEMLERİ 3.1 Problem Modeli Göz önüne alacağımız çizelgeleme modeli; M kümesi makinaları, R kümesi kaynakları, işlemlere tabi tutulacak J kümesi faaliyetleri ve Γ kümesi performans ölçüleri veya optimalite kriterleri ile açıklanacaktır. Burada kaynak sözcüğü, faaliyetlerin yerine getirilebilmesi için gerekli, rastgele vasıtalardır. Faaliyetler işleme tabi tutulmalıdırlar ve bu yüzden kaynaklara ihtiyaçları vardır. 3.2 Varsayımlar - Kısıtlı kaynaklar ile proje çizelgelemesi probleminde ilk olarak birden fazla faaliyet olduğunu ve her birinin işlemlerinin gerektirdiği bir sıra olduğunu varsayılmalıdır. Bu şebeke ağlarının genel varsayımlarından biridir. - Her işlemin her makina üzerinde birim gerçekleşme zamanı vardır ve verilen kaynakların kullanımına gereksinimi olabilir. - Her makina bir seferde yalnız bir işlem gerçekleştirebilmektedir. - Her kaynağın herhangi bir zamandaki toplam kullanımı, o kaynağın elde edilebilirliği ile sınırlandırılmıştır. 9

19 - Her kaynak ayrı ayrı bölünebilirdir. Şöyleki; her faaliyet her bir kaynaktan belirli bir oranda kullanır ve her faaliyetin kaynak gereksinimi alternatiflerin sonlu kümesinin bir elemanıdır. 3.3 Makinalar ve İlave Kaynaklar: M={M 1,M 2,.M m } kümesi m sayıda makinadan oluşmakta ve bu makinaların her biri belirli bir anda en fazla bir faaliyeti gerçekleştirebilmektedir. Paralel makinalar, M kümesindeki her bir makina veya seçilen makinalar J kümesindeki her bir faaliyeti gerçekleştirebildiği zaman söz konusudur. İşlem hızına göre paralel makinalar üçe ayrılır:özdeş (Bütün J kümesi elemanı faaliyetler için bütün M kümesi elemanı makinalar aynı hızdadır), birörnek (Bütün J kümesi elemanı faaliyetler için herhangi bir M kümesi elemanı makina aynı hızdadır), ilişkisiz (Herhangi bir J kümesi elemanı faaliyet için herhangi bir M kümesi elemanı rastgele hızdadır). Birörnek makinalar M 1,M 2,.M m, sırasıyla b I,(I=1,2,..m) hız faktörleri ile belirlenir. R kümesi tip ve kategorilerine göre sınıflandırılan kaynaklardan oluşmuştur. Tiplerine göre sınıflandırma, kaynakların yerine getireceği işlevleri kapsar. Aynı tipteki kaynaklar aynı işlevleri yerine getirirler. Kategorilerine göre sınıflandırmada üç çeşit bakış açısı vardır. İlk olarak, bu üç kategorideki kaynakları, kaynak kısıtlamaları yönünden göz önüne alacağız. Kaynakların her andaki toplam kullanımları kısıtlı ise yenilenebilir, belirli bir ana kadar olan toplam tüketimleri kısıtlıysa yenilenemez ve eğer 10

20 toplam kullanım ve tüketimleri kısıtlı ise iki misli kısıtlı olarak tanımlanır. Dikkat edilirse, aslında hemen hemen tüm kaynaklar iki misli kısıtlıdırlar ama genellikle yenilenebilir (örn. personel) veya yenilenemez (örn. fonlar) olarak kabul edilirler. İkinci olarak iki kaynak kategorisini kaynağın bölünebilirliği açısından inceleyeceğiz.: Devamlı ve kesikli. Üçüncü bakış açısı kaynakların imtiyazlığı ile ilgilidir ve iki kategori kaynak ile ilişkilidir: imtiyazlı ve imtiyazsız. Bir kaynak, eğer bütün birimleri imtiyazlı ise imtiyazlı kabul edilir. Örneğin bir kaynak o anda işleme tabi tutulmuş olan faaliyetler alınıp başka bir işleme tahsis edilip, sonra tekrar, belkide kaynak imtiyazı gerçekleşmediği halde işlemi devam eden ilk faaliyete geri döndürülüyorsa imtiyazlıdır. Bu özelliğe sahip olmayan kaynaklar imtiyazsız olarak kabul edilir. İmtiyazlı bir kaynağa örnek olarak bilgisayar hafızasını gösterebiliriz. Bilgisayarın yazıcısı ise imtiyazsız bir kaynaktır. 3.4 Faaliyetler Kümesi: Faaliyetler kümesi J önceden biliniyor (elemanlarının sayısı bakımından) veya önceden bilinmeyen anlarda büyüyor olabilir. İkinci durumda, J kümesi kısmi olarak işletimsel öncelikleri belirleyen < ilişkisi ile sıralanabilir. J i < J J, J J baslamadan J i tamamlanmalıdır anlamındadır. Eğer < boşsa, bu durumda J içindeki faaliyetler bağımsız, değilse bağımlı olarak nitelendirilmektedir. Kısmi sıralama <, genel olarak faaliyetleri boğum olarak gösteren doğrusal bir grafik olarak temsil edilir. Bu çeşit bir sıralama örnek olarak aşağıdaki algoritma ile bulunabilir: 1. Girdi arkları olmayan boğumlara 1 sayısı verilir. 11

21 2. 1 boğumundaki tüm çıktı arkları silinir. 3. Girdi arkları olmayan boğumlar bulunur ve ardışık sayı bu boğumlara verilir adımdaki boğumlardaki tüm çıktı arkları silinir. tekrarlanır Adımdan itibaren bütün boğumlar numaralandırılana kadar tüm adımlar Sıralandırılmış boğumları olan bir grafik için, birbirini izleyen boğumlar arasında işlenecek faaliyetler bulunabilir. Bu faaliyetlerin bir kısmı öncelikli olarak bilinmemekte fakat her bir çift birbirini izleyen boğumlar arasında bağımsızdır. Bunu takiben, bağımsız faaliyetlerin sonuçlarını kullanarak uygun bir optimizasyon problemi formule edilebilir. Burada iki nokta dikkati çekmektedir. Birincisi, bu yaklaşım genel olarak her türlü imtiyazlı faaliyetlerde kulanılabilir. İkincisi de, boğum sıralamasının yegane olmamasıdır(sıralama prosedürünün ikinci basamağı). Kolayca ispatlanabilir ki, ancak her bir çift boğum tek bir doğrusal yola birleştirilmiş olursa, boğumların sıralaması yegane olabilir. Böyle bir grafiğe birbağlanmış ağ (uniconnected network, ucn) diyoruz. Sıralama yegane olmadığı zaman, problem mümkün olan her türlü sıralama için çözülebilir veya verilen sistem performans ölçütlerine göre optimuma yakın bir sıralama 12

22 için bir sezgisel prosedür hazırlanabilir. Bazı belirli durumlarda ise, optimal çözüm boğumların sıralamasına bağımlı değildir. J kümesi elemanı olan J j faaliyeti, şu özelliklerdeki veriler ile belirlenebilir: - Makina ve kaynak gereksinimleri - Bir matematiksel model - Hazır olma zamanı - Bitirilmesi gereken tarih - Faaliyetin ağırlığı Bu verilerin bir kısmı önceden verilebilir, bir kısmı ancak faaliyet işleme hazır olduğunda bilinebilir ve bir kısmı da faaliyet işleme tabi tutulurken dinamik olarak üretilir. Problem formule edilirken, eğer bu son üç özellikten bir yada daha fazlasını içeren bir veri ihmal edilirse, bu, ya tüm hazır olma zamanları sıfırdır, ya bitirilmesi gereken tarih sonsuza eşittir, ya da tüm ağırlıklar 1 dir anlamına gelir 1. Hiç şüphe yok ki, faaliyetlerin özellikleri hakkında önceden edinilen bilgi, problemin formule edilmesi ve çözümünde büyük etki sahibidir. Faaliyet karakteristiklerinden ilk ikisi hakkında aşağıdaki şekilde yorum yapılabilir(diğerlerinin özel bir yoruma ihtiyacı yoktur): Her faaliyetin belli bir anda sadece bir makinada işlenebileceğini varsayıyoruz. Faaliyet J j in kaynak gereksinimi, kendine özgü kategorileri ve tipleri olan kaynak birimlerinin sayı ve indislerinden oluşan bir vektördür. Bunlar, gerekli bir makina ile 1 Toker, Ayşegül, Yenilenemez Kaynak Kısıtlı, Atelye tipi sistemlerde çizelgeleme problemi, Yüksek Lisans Tezi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, ODTÜ, Ankara,

23 birlikte J j e tahsis edilerek, verilen bir anda J j in işleme tabi tutulmasını sağlayan işlem modunu belirlerler. Bir alternatif kaynak gereksinimleri kümesi, verilen faaliyet ile birleştirilebilir. Bu küme sonlu veya sayılamayacak durumda olabilir. Sonlu küme durumunda, kesikli kaynak gereksinimlerinden bahsedebiliriz. Kaynak gereksinimlerinin devamlı olduğunu, şayet tüm kaynaklar faaliyetlere verilen aralıklarda rastgele değerler alan miktarlar olarak tahsis edilebilirse söyleyebiliriz. Bu tabi ki, birimleri gelişigüzel değerler alabilen, devamlı ve bölünebilir kaynaklar için geçerlidir(enerji ve fonlar). Geri kalan durumlarda eğer bir faaliyet eşzamanlı olarak bazı kaynaklara kesikli, bazılarına ise devamlı olarak gereksinim duyuyor ise bunu da melez kaynak gereksinimi olarak tanımlamak gerekir. Önceden bilinen ama miktar olarak sabit olan kaynak gereksinimlerine de kısmi kaynak gereksinimleri denilmektedir. Faaliyetler işlenirken kaynak gereksinimleri olduğu zaman, öncelikli bir bilgi olarak kaynak istemlerini yani belirli faaliyetlere tahsis edilebilecek maksimum sayıdaki kaynak birimlerini, bir başka değişle faaliyetlerin maksimum potansiyel kaynak gereksinimlerinin bilindiği varsayılacaktır. Bir faaliyetin matematiksel modeli, işlemi, tabi tutulacağı işlem modelleri ile ilişkilendirilerek karakterize eder. Bu, basitçe işlem zamanı veya belli işlem modelleri için işlem zamanlarının vektörü olabilir. Ayrıca, devamlı bir fonksiyon da olabilir. (Örneğin işlem zamanı-kaynak miktarı veya devamlı kaynak gereksinimlerinde işlem hızı-kaynak miktarı.) Faaliyetlerin matematiksel modellemesi durumunda işlem zamanları, işlem gören faaliyetlerin daha önceki durumlarını anlatan dağılımların ortalaması veya üst sınırları olarak alınabilir. 14

24 Seçilmiş makinalar durumunda J kümesi kısmi sıralanmış alt kümelere bölünür ve bunlara işler adı verilir. Bu durumlarda matematiksel modeller ve kaynak gereksinimleri hariç bütün karakteristikler faaliyetler yerine işler için belirlenecektir. 3.5 Performans Ölçüleri Γ kümesi, çizelgeleri değerlendirmek üzere bir ya da daha fazla performans ölçülerinden oluşur. Çizelge sözcüğü ile anlatılmak istenen, M kümesinden makinaların ve R kümesinden kaynakların alınarak J kümesine, faaliyetlere tahsis edilmesi ve zaman içinde değişerek verilen kısıtlamaların yerine getirilmesi ve bütün faaliyetlerin işlem görmesinin sağlanmasıdır. Verilen bir çizelgede faaliyet J j in tamamlanma zamanını C j, j=1,2..n, olarak belirtebiliriz. r i faaliyet J j in hazır olma zamanı, d j bitirilmesi gereken tarih ve w j de ağırlıktır. Şimdi performans ölçülerini belirleyebiliriz: - Çizelge zamanı veya maksimum tamamlanma zamanı C max = max { C j } - Ortalama akış zamanı F = 1/n { j=1 n (C j - r j ) } yada ortalama ağırlıklı akış zamanı F w = 1/n { j=1 n w j (C j - r j ) } / j=1 n w j 15

25 - Ortalama gecikme J = 1/n { j=1 n max(0,c j - d j )} ya da ortalama ağırlıklı gecikme J w = j=1 n w j max(0,c j - d j ) / j=1 n w j - Gecikmiş faaliyetlerin sayısı U = j=1 n U j, faaliyetlerin sayısı U j = eğer C j < veya = d j ise 0, değilse 1 veya ağırlıklı gecikmiş U w = j=1 n w j U j Yukarıda listelenen ilk üç kriter çizelgeleri değerlendirmede sıkça kullanılan ana ölçülerdir. Çünkü kısıtlı kaynaklar ile çizelgelendirme yaparken bu kriterlerden elde edilen sonuçlar en önemlileridir. Kısıtlı kaynaklarla çizelgeleme problemlerinde genel olarak sadece bir performans ölçüsü olan modellerden bahsedilecektir. Burada Γ={γ}, γ zaman ya da maliyet tipinde olacaktır. Bu durumlarda γ optimize edildiği zaman optimal çizelgeler oluşacaktır. 3.6 Çizelgeleme Problemleri ve Algoritmaları Bir önceki bölüm dikkate alındığında, verilen performans ölçüsüne göre optimal bir değer veren çizelgeler aradığımızı söyleyebiliriz. Buna göre M, R, J ve Γ kümeleri belirlendiği zaman bir çizelgeleme problemi ortaya çıkabilir. Bu sonuç, eğer dikkate alınan çizelgelerin kategorilerindeki olası kısıtlamarı yok sayarsak doğru olabilir. Bu tipteki en önemli kısıtlama imtiyazlı ve 16

26 imtiyazsız çizelgeleme ile ilgilidir. İlk kategori çizelgeleme sadece imtiyazlı kaynakları olan çizelgelerle ilgilenir. Eğer her bir faaliyetin işlemi gelişigüzel olarak imtiyazlandırılabiliyorsa ve devam ederek, belki de başka bir işlem modunda, faaliyetin imtiyazı makinanın serbest bırakılması ile belirleniyor ve tüm kaynaklar faaliyete tahsis ediliyorsa buna imtiyazlı çizelge denir. Faaliyet imtiyazlandırmasında hiçbir zaman(maliyet) kaybı olmadığı varsayılacaktır. İmtiyazsız çizelgeler, her bir faaliyetin bir makinaya tahsis edildiği ve işlem başında gereksinim duyulan kaynakların işlem sonunda serbest bırakıldığı çizelgelerdir. Şimdi çizelgelendirme probleminin parametreler kümesi belirlenmiş, genel olarak anlaşılmış, makina, kaynak, faaliyet ve optimalite kriteri kümeleri ve çizelge sınıfı belirlenmiştir. Bütün parametrelere belli değerler verilmesi gerekmez ama çizelgenin sınıfı belirlenmelidir. Bir çizelgelendirme problemi Π ile belirtilecektir. Olayı I ve Π nin tüm olay kümesi ise D Π ile gösterilecektir. Problem Π için bir çizelgeleme algoritması D Π nin elemanı olan tüm I için çizelgeler üreten adım-adım bir prosedürdür. Π için bir optimizasyon çizelgelendirmesi ise D Π nin elemanı olan tüm I için optimal çizelgeler üretir. Diğer çizelgelendirme algoritmaları Π için yaklaşık çizelgelendirme algoritmaları olarak adlandırılacaktır Kısıtlı kaynaklar ile ilgili bir problem Şu ana kadar ağ teknikleri konusunda, bir faaliyetin başlaması için ondan önce gelen bütün faaliyetlerin tamamlanmış olması gerektiği varsayımı yapılmıştı. Bu varsayım 17

27 faaliyetler tarafından tanımlanan bütün işleri yapmak için yeterli miktarda kaynak bulunduğu durumuna dayandırılmıştı. Şekil 2 de dokuz faaliyeti bulunan bir ağ vardır. Bu ağ üzerindeki faaliyetler üç şekilde belirtilmiştir: 1- Faaliyetleri belirleme harfi (A,B,C ), 2- Faaliyetlerin (hafta olarak) süresi 3- Faaliyette çalışması varsayılan kişi sayısı. Şekil 2 projenin tümü ve faaliyetlerle ilgili bilgiler vermektedir. Ancak görülebileceği üzere Şekil 2, anlaşılması zor ve ilk bakışta bir fikir veremeyen bir gösterime sahiptir. Yüzlerce faaliyetli projeler düşünüldüğünde, proje şebekelerini bu şekilde çizmek son derece karışık bir gösterim yaratmak demek olacaktır. 18

28 Şekil 2. Proje Ağı Şekil 2 yi daha yararlı bir forma dönüştürmek için, her bir faaliyeti yatay zaman skalası ile bir çizelge grafiğine çevirebiliriz (Şekil 3). Burada, her bir aktivitenin süresi, o aktivitenin çizgisinin uzunluğu ile belirtilmiştir. Her bir faaliyetin üzerindeki açıklama, belirleme harfi ve bir zamanda o aktivite üzerinde çalışacak insan sayısını simgeler. Şekil 3 ün alt sırasında herhangi bir haftada çalışması varsayılan insan sayısını görebiliriz. Bu toplamdan bu proje için değişik zamanlarda 5 ila 15 arasında insana ihtiyacımız olduğu anlaşılır. Ama varsayıyoruz ki işçi sayısı kısıtlıdır ve bu süre içinde çalıştırmak için elimizde 9 kişi mevcuttur. 19

29 Şekil 3. Çizelge Grafiği Kaynak dengelemesi için bir metot: Çizelgeleme problemini çözmenin sıkça kullanılan hızlı bir yolu onu önce grafik üzerinde göstermektir. Eğer herhangi bir haftada, zamana karşı çalışan insan sayısı grafik üzerinde gösterilirse, şekil 4 teki personel yükleme grafiği elde edilir. Eğer her hafta için sadece dokuz işçi mevcutsa, bu grafikten pek çok şey görülebilir. İlk olarak fark edilebilir ki; birinci, dördüncü ve beşinci haftalarda işçi açığımız olacaktır. Ayrıca ikinci ve altıncı haftalarda elimizdeki dokuz işçi tam olarak yeterli olacaktır. Son olarak üçüncü, yedinci, sekizinci ve dokuzuncu haftalarda fazla işçi olacaktır. Buradan görülebilir ki, amaç faaliyetleri dokuz kişi ile birlikte tamamlamak için çizelgeyi yeniden ayarlamaktır. Çizelge yeniden ayarlandığında ağ hala dokuz haftada bitirilebilir olmayabilir ama şu andaki durum göstermektedir ki, birinci haftanın çizelgelenmiş işi için gerekli sayıda personel mevcut değildir. 20

30 Çizelgelenen toplam isçi sayisi Zaman (hafta) Şekil 4. Personel yükleme grafiği Bir metot olarak sezgisel programlama: Bu yaklaşımda, en çok bekleme zamanı olan faaliyetlere bakılır ve bu faaliyetler tüm projenin bitiş zamanını geciktirmeyecek şekilde ertelemeye çalışılınır. Örneğin, C faaliyetinin başlangıcı ertelenirse (en çok bekleme zamanı bu faaliyettedir), böylece A ve B faaliyetleri aynı anda başlayabilirler ve işçi sınırlaması aşılmış olur. Bu metot uygulanmaya devam edilirse, Şekil 5 teki yeniden ayarlanmış çizelge ortaya çıkar. Bir faaliyet, daha iyi bir çizelge elde etmek için ertelendiğinde, erteleme süresi noktalı çizgilerle gösterilmiştir. Ayrıca üçüncü haftanın sonunda, D, G ve 21

31 I faaliyetlerinden hangisinin erteleneceği konusunda seçim yaparken daha az bekleme zamanı olmasına rağmen I seçilmiştir çünkü bu faaliyet için gereken dört işçi, F faaliyeti ile çok iyi uyum sağlamaktadır. Şekil 5. Yenilenen Çizelge Grafiği 22

32 4. KISITLI KAYNAKLAR İLE PROJE ÇİZELGELEMESİ PROBLEMLERİNDE KULLANILAN SEZGİSEL YAKLAŞIMLAR 4.1 Giriş Çizelgeleme ve Kapasite Planlama Çizelgeleme, kaynaklar üzerindeki işlerin belirli bir kriter doğrultusunda, kısıtlamaları da göz önünde bulundurarak zamanlaması ve sıralanması olarak tanımlanabilir. Genel bir ifade olarak, planlama içermediği halde çizelgeleme işlerin sıralamasını da içermektedir denilebilir. Üretim çizelgeleme problemleri, çizelgeleme problemlerinde bir alt grup oluştururlar. Çoğu üretim planlama ve sonlu kapasite çizelgeleme problemleri doğrusal tamsayı ya da dinamik programlama, dal sınır algoritması gibi yöneylem araştırması teknikleriyle çözülebilir. Bu tür yaklaşımlarda amaç, işlemdeki teknolojik sınırlarla ve kaynakların uygunluğuyla ilgili kısıtların oluşturduğu çizelgeleme kriterlerini ele alarak sistemin optimizasyonudur. Hesaplama karmaşıklığı açısından bu tür problemlerin kombinasyonel bir yapısı vardır ve herhangi bir optimizasyon tekniği kullanarak orta ölçekli bir problemin çözümü bile en gelişmiş bilgisayarlarda kullanılsa bile çok uzun sürer. Çıkış yolu, bu problemlerin basitleştirilmiş modelleri üzerinde sezgisel algoritmalar kullanarak optimal altı, ancak tatmin edici ölçüde etkinliğe sahip sonuçlar elde edilmesidir. Son zamanlarda, yapay zekaya, yerel arama tekniklerine ve baskın bilgiye (genetik algoritma, çizelge arama, 23

33 sinirsel şebekeleme, kısıt programlama, darboğaz giderme vb.) giderek daha fazla talep olmaktadır. Ancak araştırma sonuçları göstermektedir ki bu şekil sezgisel yaklaşımların başarısı çizelgelenen problemin doğasına bağlıdır ve bir problem karşısında bu yaklaşımların performansı konusunda tahminde bulunmak neredeyse imkansızdır. Bu nedenle, geniş bir üretim sistemi aralığında çizelgeleme sisteminin uygulanabilir olması için ya bünyesinde farklı çözüm teknikleri bulundurmalı ya da özelleştirilmiş algoritmalar çizelgeleme sistemine rahatlıkla eklenebilmelidir. Kapasite planlama, iş yükünün belirlenmesi ve kaynaklar üzerinde yapılacak olan işlemlerde ortaya çıkan kapasite problemlerinin çözülmesi olarak tanımlanabilir. Kapasite planlama problemleri, farklı türde yöneylem araştırması teknikleri kullanılarak modellebilir ve çözülebilir; ama bu yaklaşımlarda detaylar noktasına gelindiğinde iki güçlükle karşılaşılır: 1) Karmaşıklık artar, azalır. 2) Detay arttıkça, o detayla ilgili ihtiyaç duyulacak bilginin elde edilme olasılığı Genellikle çıkış yolu, problemi olduğu gibi sezgisel şekilde modelleme ve çözmeye tepeden başlamaktır. Her bir seviyedeki çözüm bir alt seviyedeki çözüm tarafından sınırlandırılır ve problem geneli için verimli bir sonuç elde edileceği umulur. Sonucun geçerli bir sonuç olabilmesi için, bu sınırlar akılda tutularak eldeki verilerin mümkün olduğu kadar detaylandırılması gerekmektedir. Klasik tepeden aşağı planlama yaklaşımında, üretim planlama işlemi uzun dönem toplu planlamayla başlar ve her bir üretim için detaylandırılır. Bu tür sistemlerde 24

34 planlama işleminin rotasını belirleyen etmen üretimde kullanılacak malzeme teminidir. Atölye (üretim merkezi) planlama ve çizelgeleme detaylı şekilde tezgah yükleme olarak görülür. Bu tür detaylı planlamanın amacı ortak kaynakların (işgücü ve makine gibi) oransal olarak ürünler arasında daha yüksek seviyedeki bir planın çerçevelediği sınırlar dahilinde paylaştırılmasıdır. İmalatçılar müşteri siparişleri nedeniyle daha küçük partiler halinde üretim yapmaya zorlandıkça, birincil odak noktası müşterilerin kısa dönem taleplerini karşılayabilmek amacıyla kapasitenin daha iyi yönetilmesi olmaya başlamıştır. Bunu takiben, planlama işleminde kısa dönem talepleri karşılayabilmek için daha esnek hale gelmiştir. Bugün, güçlü hesaplama araçları ve veritabanları kısa dönem planlamayı gerçekleştirebilmektedir. Kısa dönem talep, kaynak kapasiteleri, imalat işlemiyle ilgili detaylı açıklama ve malzeme teminiyle ilgili doğru veri girişi yapıldığında bu sistemler detaylı çizelgeler oluşturabilirler. Gerçek yada yaklaşık zaman veri toplama araçları bu tür planlama sistemlerinin üretim merkezlerinin güncel kalabilmesi için tamamlayıcı unsurlardır. Orta ve uzun dönem planlama daha uzun bitiş tarihleri olan, kesinliği daha az olan talepleri karşılamak amacıyla genel planlama işleminde yapılır. Malzeme temin süresi uzundur. Böyle bir sistemin avantajı neden sonuç analizini yapabilmeye elverişli olmasıdır. Uygun şekilde tasarlanmış bir yazılımla, genel üretim planının ek siparişler, malzeme temini veya kapasite değişim gibi faktörlere karşı hassaslığı rahatlıkla ölçülebilir. Bu tür işleme, tüm kaynakların gerçek kapasitesi ve kaynakların ne şekilde 25

35 kullanılacağı ile ilgili ayrıntılı açıklamaları göz önünde bulundurduğu için sonlu kapasite planlama adı verilir Problem Analizi Kaynak kısıtlamalı proje çizelgeleme problemi aşağıdaki şekilde açıklanabilir. Projenin tamamlanması için her bir faaliyetin işlenmesi gereken, J={0,1,...,n,n + 1} faaliyetlerinden oluşan tek bir proje. Varsayımsal faaliyetler olan 0 ve n + 1 sırayla, proje başlangıcına ve proje bitimine karşılık gelmektedir. Faaliyetler, iki sınırlama tipi dolayısıyla birbirleriyle ilintilidir. İlk olarak öncellik sınırlamaları, j faaliyetinin önceden oluşmuş olan P j kümesindeki öncel faaliyetleri tamamlanmadan, başlamasına izin vermemektedir. İkinci olarak, faaliyetlerin gerçekleştirilmesi, sınırlı kapasitelere sahip kaynaklar gerektirmektedir. Hepsi birlikte, K kaynak tiplerinden oluşan bir küme vardır, K={1,...,K}. j aktivitesi işlenirken, önceden tahmin edilemeyen p j süresi boyunca, k Є K kaynak tipinin r j,k birimlerine gereksinim duymaktadır. Kaynak tipi K, zaman içerisinde herhangi bir noktada, sınırlı kapasitede R k ya sahiptir. P j, r j,k ve R k parametrelerinin, deterministik oldukları varsayılmaktadır: projenin başlangıcındaki ve bitimindeki faaliyetler ile ilgili olarak, tüm k Є K için, p j = 0 ve r j,k = 0 dır. Projenin yapısı, düğümlerin aktiviteleri ve öncelikli ilişkiler arklarını temsil eden bir düğümde-aktivite şebekesi (Activity-on-Node Network, AON) tarafından betimlenmiştir. Bu şebeke asikliktir ve sayısal olarak işaretlenmiştir, yani, bir aktivite kendisinden önceki aktivitelerden daha yüksek bir etikete sahiptir. Aktivite 1, tek başlama aktivitesidir (kaynak) ve j aktivitesi tek bitiş aktivitesidir. Her ikisinde de, sıfır süreli ve kaynak talepli tek bir biçim vardır; bunlar yapma aktivitelerdir. 26

36 Aktivitelerin taşıdığı özellikler önceden bilinmemelidir. J aktivitesini gerçekletirmek, dj zamanını alır, yenilenebilir ve yenilenemeyen bir dizi R ve N kaynağıyla desteklenir. Bir çizgiyi dikkate alarak, yani projenin bitiş tarihindeki T üst sınır, yenilenebilir r kaynağının KT P üniteleri olan r R, t zamanı, t = 1,...,T de bulunabilirler. Yenilenemeyen r kaynağı, r N nin kapsamlı kapasitesi, KT V tarafından verilir. Ölçütler, Tablo 1 de özetlenmiş ve tam sayı değerinde düşünülmüştür. J dj R(N) T aktivite sayısı, j aktivitesi süresi, yenilenebilir (yenilenemeyen)kaynaklar grubu, projenin makespan indeki üst sınır, K r p 0 t zamanı t = 1,...,T de bulunan yenilenebilir r nin (r R) birim sayısı, K r v 0 yenilenemeyen r (r N) kaynağı nın elde edilebilir toplam birim sayısı, K jr p 0 aktivitenin işlemde olduğu her sürede yürütülen j aktivitesince kullanılan yenilenebilir r kaynağı r R nin birim sayısı, K jr v 0 j aktivitesince tüketilen, yenilenemeyen r kaynağı r N in birim sayısı, Pj (Sj) j aktivitesinin yakın öncelleri (sonrakileri), 27

37 ESj (EFj) en küçük aktivite süreleri ve kaynak kullanımını ihmalkar bir şekilde (tüketim) kullanarak hesaplanan j aktivitesinin en erken başlama zamanı (bitiş zamanı), LSj (LFj) en küçük aktivite süreleri ve kaynak kullanımını ihmalkar bir şekilde (tüketim) kullanmak ve proje süresince üst sınır T nin değerlendirmeye alınarak kullanılmasıyla hesaplanan j aktivitesinin en geç başlama zamanı (bitiş zamanı). Tablo 1: Semboller ve Tanımları Amaç, öncelikli ilişkiler ve sınırlandırılmış kaynak geçerliliğince empoze edilen baskılarla buluşan bir bitiş tarihi en küçük çizelge bulmaktır. Yenilenebilir kaynakların sabit zamanlı geçerliliğine bağlı kalarak, projenin asgari bitiş tarihindeki T üst çizgisi, azami aktivite süresi toplamınca belirlenir. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerinin amacı, tüm faaliyetler için önceden gelen ve kaynak açısından uygulanabilir tamamlama süreleri bulmak ve böylelikle, projenin süresini en aza indirgemektir. Şekil 6, 4 birim kapasiteli yenilenebilir kaynak tipi K=1 e tabi olacak şekilde çizelgelenmesi gereken n=6 faaliyetlerinden oluşan bir proje örneğini göstermektedir. 13 periyottan oluşan optimum süreli uygulanabilir bir çizelge Şekil 7 de gösterilmiştir. 28

38 3/2 2/4 1/3 K=1; R 1 = /0 0/0 0 7 P j /r j,1 j 4/3 2/4 4/ Şekil 6: Proje Örneği Şekil 7: Örnek çizelge 29

39 F j nin j faaliyetinin bitiş zamanını gösterdiğini kabul edelim. Bitiş zamanlarının vektörlerine (F 1,F 2,...,F n ) çizelge adı verilir. A(t) = {jє J F j p j j < F j } nin t zamanında işlenen (aktif olan) faaliyet seti olduğunu varsayalım. Bu aşamada, aşağıdaki kavramsal karar modeli oluşturulabilir: Min F n+1 (1) F h F j - p j j= 1,...n +1, h Є P j (2) (3) r j,k R k k Є K; t 0 jєa(t) F j 0 j= 1,...n+1 (4) Hedef fonksiyon (1), proje sonu faaliyetinin bitiş zamanını ve dolayısıyla projenin süresini en aza indirir. Kısıtlamalar (2) faaliyetler arasında önceden gelen kısıtları harekete geçirir ve kısıtlamalar (3) halihazırda işleme tabi tutulan faaliyetlerin kaynak talebinin kapasitesini aşmamak üzere, her bir k kaynak tipini ve t zaman örneğini kısıtlar. Sonuç olarak (4), karar değişkenlerini belirler. A(t) kümelerinin karar değişkenlerinin bir fonksiyonu olması nedeniyle, (1) (4) kavramsal bir modeldir. Bu nedenle model karışık tam sayı programlama (MIP) teknikleri ile çözümlenemeyebilir. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerini CPLEX gibi MIP-çözücüleri ile çözümlemek için, Pritsker ve meslektaşlarının problemi formülünün kullanılması gerekmektedir. 1 Pritsker, A. A. B., Watters, L., Multiproject Scheduling with Limited Resources: A Zero-One Programming Approach, Management Science, 1969, C.16, s

40 Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri, tüm faaliyetlerin maksimum tamamlanma süresinin (C max ) en aza indirilmesini sağlayacak şekilde, m yenilenebilir kaynak türleri üzerinde çizelgelenmesi gereken sıfır gecikmeleri ile bitiş başlangıç ilişkisi içinde bulunan önce gelen çeşitli faaliyetler m, 1/cpm/C max olarak ifade edilecektir. Blazewicz ve meslektaşları 1 tarafından açıklandığı şekilde, kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri, zor sayısal optimizasyon problemleri sınıfına ait olan klasik iş yeri çizelgeleme probleminin bir genellemesidir. Bu nedenle sezgisel çözüm prosedürleri, genellikle uygulamada meydana gelen büyük problem örneklerinin çözülmesi sırasında vazgeçilmezdir larda Kritik Yol Metotu geliştirdiğinden bu yana, literatürde çok sayıda farklı sezgisel algoritmaların önerildiği görülmektedir. Çok sayıda optimum yaklaşım, temel olarak karşılaştırma çözümleri geliştirilmesinde kullanılır 2. Günümüzde en rekabetçi tam algoritmalar Brucker ve meslektaşları 3, Demeulemeester ve Herroelen 4 tarafından geliştirilmiş olan algoritmalardır. 1 Blazewicz, J., Lenstra, J.K., Rinnooy Kan, A.H.G., Scheduling subject to resource constraints: Classification and Complexity, Discrete Applied Mathematics, 1983, C.5, s Kolisch, R., Padman, A., An integrated survey of Project scheduling. Technical report 463, University of Kiel, Baar, T., Brucker, P., Knust, S., Tabu-search algorithms for the resource constrained project scheduling problem, Technical Report, Osnabrück, Demeulemeester, E., Herroelen, W. A Branch And Bound Procedure For The Multiple Resource- Constrained Project Scheduling Problem, Management Science, 1992, C. 38, s

41 4.2 Çizelge Geliştirme Planları Çizelge geliştirme planları, kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerine ilişkin sezgisel çözüm prosedürlerinin özünü oluşturmaktadır. Çizelge geliştirme planları sıfırdan başlar ve kısmi bir çizelgenin aşamalı olarak uzatılması ile uygulanabilir bir çizelge oluşturur. Kısmi çizelge, n+2 faaliyetlerinin alt kümesinin çizelgelendiği bir çizelgedir. İki farklı çizelge geliştirme planı bulunmaktadır. Bunlar, faaliyet artırma ve zaman artırma yöntemlerine göre ayırt edilebilirler. Seri çizelge geliştirme planları olarak adlandırılan tür, faaliyet artırma işlevini gerçekleştirir ve paralel olarak adlandırılan tür ise, zaman artırımını gerçekleştirir Seri Çizelge Geliştirme Planları Başlangıç olarak seri çizelge geliştirme planları tanımlanacaktır. Her birinde bir faaliyet seçilen, önceden gelen ve kaynak açısından uygulanabilir tamamlanma süresi içerisinde ve en ön sırada çizelgelenen, g=1,...n aşamalarından oluşmaktadır. Her bir aşama ile bağlantılı olmak üzere, g iki ayrık faaliyet kümesidir. Programlanmış S g kümesi, halihazırda çizelgelenmiş faaliyetleri içermektedir. Seçilebilir D g kümesi, çizelgelenme için seçilebilir olan tüm faaliyetleri içermektedir. S g ve D g nin birleşmesi tüm J faaliyetleri kümesini vermemektedir. Çünkü, seçilebilir olmayan faaliyetler bulunmaktadır. Başka bir deyişle, öncüleri çizelgelenmediğinden, hali hazırda çizelgelenmemiş ve g aşamasında çizelgelenmeyen faaliyetler bulunmaktadır. R k (t)= R k - 32

42 jєa(t) r j,k nın t zamanında kaynak türü k nın kalan kapasitesi olduğunu ve F g = {F j jєs g } nin tüm bitiş zamanları seti olduğunu varsayalım. Ayrıca, D g = {jє J\S g P j S g } nin seçilebilir faaliyetler kümesi olduğunu varsayalım. Bu varsayımlar çerçevesinde seri çizelge geliştirme planları aşağıda belirtildiği şekilde gerçekleşecektir. Seri Çizelge Geliştirme Planları Algoritması Başlatma: F 0 = 0, S 0 = {0}, g = 1 den n ye kadar D g,f g,r k (t) (kєk; tєf g ) yi hesaplayın J Є D g den bir tanesini seçin EF j = max hєpj {F h } + p j F j = min {tє[ef j p j, LF j p j ] F g r j,k R k (T),kЄK, tє[t,t+p j [ F g } +p j S g = S g-1 U {j} F n+1 = max hєpn+1 {F h } Algoritmanın başlatılması ile birlikte, j=0 duyarsız kaynak faaliyeti 0 tamamlanma zamanına atanır ve onu kısmi çizelgeye dahil eder. Her aşamanın başlangıcında, g, karar kümesi D g, F g bitiş zamanları kümesi ve bitiş zamanı t Є F g de kalan kapasiteler R k (t) 33

43 hesaplanır. Daha sonra karar kümesinden bir j faaliyeti seçilir. J nin bitiş zamanı, öncelikle ilk önde gelen uygulanabilir bitiş zamanı EF j belirlenerek ve ardından [EF j, LF j ] içinde önceden gelen kaynak uygulanabilir bitiş zamanı hesaplanarak tespit edilir. LF j, projenin bitiş zamanı T nin üst sınırından geriye doğru yineleme ile hesaplanan en son bitiş zamanını gösterir. Tablo 2, Şekil 6 da verilen çizelgenin geliştirilmesi sırasında seri çizelge geliştirme planını göstermektedir. g D g {1,2} {1,4} {1,6} {3,6} {3} {5} J Tablo 2. Seri Çizelge Geliştirme Planı örneği Seri çizelge geliştirme planları kaynak kısıtlamalı çizelgeleme problemi(1), (2) ve (4) e ilişkin olarak her zaman uygulanabilir çizelgeler yaratırlar. Bu çizelgeler S = (F 1, F 2,...,F n ), faaliyetlerin, diğer faaliyetleri geciktirmeksizin daha erken başlatılamadığı çizelgelerdir. Sürenin en aza indirilmesi gibi genel performans ölçülerinin uygulandığı çizelgeleme problemlerine en uygun çözüm, aktif çizelgeler kümesinden elde edilmektedir. 34

44 J g, tekrarlama g de seçilen faaliyeti göstersin. Seri çizelge geliştirme planları, j g faaliyetinin tekrarlama g de çizelgelendiğini gösteren λ = [j1, j 2,...j n ] listesi ile kaydedilebilir. Bu liste öncellik kuralarına uygun olacaktır. Diğer bir deyişle, P jg {j 1,...,j g-1 }durumu mevcuttur. Yukarıda bahsedilen örneğe ait liste λ = [2,4,1,3,5,6] dır. Listenin tespit edilmesinin ardından, faaliyet listeleri için seri çizelge geliştirme planları olarak adlandırılan seri çizelge geliştirme planları ile ilgili özel bir durum aşağıdaki örnekte belirtildiği şekilde gerçekleşecektir. Faaliyet Listeleri için Seri Çizelge Geliştirme Planları Algoritması Başlatma: F 0 = 0, S 0 = {0}, g = 1 den n ye kadar F g,r k (t) (kєk; tєf g ) yi hesaplayın J= j g EF j = max hєpj {F h } + p j F j = min {tє[ef j p j, LF j p j ] F g r j,k R k (T),kЄK, tє[t,t+p j [ F g } +p j S g = S g-1 U {j} F n+1 = max hєpn+1 {F h } 35

45 Faaliyet listeleri için seri çizelge geliştirme planları, liste şeklinde çizelgeleme olarak adlandırıldığı klasik makine çizelgeleme işlemlerinde önemli bir rol oynamaktadır. Faaliyet listeleri için seri çizelge geliştirme planları, seri çizelge geliştirme planına ait özel bir durum olduğundan, aktif çizelgeler geliştirmektedir. Her zaman bir liste λ mevcuttur. Liste şeklinde çizelgeleme söz konusu liste için, düzenli performans ölçüsünün göz önünde bulundurulduğu uygun bir çizelge geliştirir Paralel Çizelge Geliştirme Planları Paralel çizelge geliştirme planları zaman çoğaltma işlevini gerçekleştirmektedirler.her bir tekrarlama (g) için bir çizelge zamanı t g bulunmaktadır. g ye kadar çizelgelenen faaliyetler, ya tam küme C g içinde ya da aktif küme A g içinde yer almaktadır. Tam küme, t g ye kadar tamamlanmış olan tüm faaliyetleri içermektedir. Diğer bir deyişle, C g = {jє J F j t g }. Aktif küme t g de aktif olan faaliyetleri içermektedir.diğer bir deyişle, A g = A(t g ) = {jєj F j - p j t<f j }. Seçilebilir küme D g, t g de başlatılan önce gelen ve kaynak açısından uygulanabilir tüm faaliyetleri içermektedir. Diğer bir deyişle, D g = {jєj \ (C g U A g ) P j C g ^ r j,k R k (t g ) (kєk)}. t g de kalan kapasite R k (t g ) = R k - j ЄA G r j,k dır. Paralel çizelge geliştirme planlarının algoritmik tanımı aşağıda verilmiştir. Paralel Çizelge Geliştirme Planları Algoritması Başlatma: g=0, t g =0, A 0 = {0}, C 0 = {0}, R k (0)=R k 36

46 A g U C g iken (1) g:= g+1 t g = min j ЄA g {F j } C g, A g, R k (t g ), D G yi hesaplayın (2) D g iken jє D g den bir tane seçin F j = t g +p j R k (t g ), A g, D g yi hesaplayın F n+1 = max h Єp n+1 {F h } Algoritmanın başlatılması ile çizelge zamanı 0 a ayarlanır, proje başlatma faaliyeti, aktif ve tam küme setlerine atanır ve mevcut kapasite belirlenir. Her tekrarlama iki aşama olarak gerçekleşmektedir. (1)bir sonraki çizelge zamanını (t g ), ilgili faaliyet kümelerini (C g, A g, D g )ve mevcut kapasiteyi (R k (t g )) belirler. (2) t g de başlayacak olan seçilebilir faaliyetlerin öz olmayan alt kümesini çizelgeler. Tablo 3, Şekil 6 de verilmiş olan çizelgenin geliştirilmesi sırasında paralel çizelge geliştirme planını göstermektedir.paralel çizelge geliştirme planlarının, n den daha az aşaması olabilir, ancak verilmesi gereken n seçim kararları bulunmaktadır. 37

47 g T g D g {1,2} {1,4} {1,6} {6} { } {3} {5} J Tablo 3. Paralel Çizelge Geliştirme Planı örneği Seri çizelge geliştirme planlarında olduğu gibi paralel çizelge geliştirme planları da kaynak kısıtlamasız durumlar için her zaman uygun çizelgeler geliştirmektedir. Kolisch (1997) tarafından ifade edildiği gibi, paralel çizelge geliştirme planları gecikmesiz çizelgeler yaratır. Gecikmesiz çizelge, faaliyet önceliğine izin verilmiş olsa dahi, faaliyetlerin diğer faaliyetlerde gecikmeye neden olmadan daha önce başlayamadığı çizelge türüdür. Gecikmesiz çizelgeler kümesi, aktif çizelgeler kümesinin öz olmayan alt kümesidir. Bu nedenle ortalama olarak daha az niceliğe sahiptir. Ancak, düzenli performans ölçüsü ile birlikte optimal çizelge içermeme olasılığı ile ciddi bir problem oluşturmaktadır. Kolisch ve meslektaşları 1 tarafından yapılan araştırmada 298 problem örneğinin 175 inde yani %59.73 ünde gecikmesiz çizelge kümesi içinde yer alan optimal 1 Kolisch, R., Padman, A., An integrated survey of Project scheduling. Technical report 463, University of Kiel,

48 çözüme ulaşıldığı gösterilmiştir. 4.3 Öncelik Kuralına Dayalı Buluşsallık Bir ya da daha fazla çizelge oluşturmak amacıyla öncelik kuralına dayalı sezgisel, çizelge geliştirme planları türlerinden bir tanesini ya da her ikisini kullanır. Öncelik kuralı, D g karar kümesinden bir faaliyet j seçilmesinde kullanılır. Bu kısımda öncelikle, farklı öncelik kuralları ele alınacaktır. Ardından, farklı öncelik kurallarına dayalı höristiğin elde edilmesinde, çizelgeleme planları ile öncelik kurallarının nasıl bir arada kullanıldıkları açıklanacaktır Öncelik Kuralları Öncelik kuralı, karar kümesi Dg içinde yer alan her bir faaliyete, faaliyetin minimum yoksa maksimum değer ile mi seçildiğini gösteren bir amaç ve bir değer, v(j), atayan bir eşleme yöntemidir. Bağ durumunda ise, bir ya da daha fazla bağ kırma kuralı uygulanmalıdır. Bağları kırmanın en kolay yolu, en düşük faaliyet etiketine sahip faaliyetin seçilmesidir. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerine ilişkin öncelik kuralları üzerine yapılmış olan çok sayıda araştırma bulunmaktadır. 39

49 Öncelik Kuralı V(j) En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı p j + j ЄS j p i Minimum En Geç Bitiş Zamanı LF j Minimum En Geç Başlangıç Zamanı LF j - p j Minimum Boş Zaman LF j - EF j En Çok Ardılı Olan S j Kaynak Çizelgeleme Yöntemi max (i,j) ЄAP{0,t g + P j (LF I p i )} En Kısa İşlem Zamanı P j En Kötü Boş Zaman Durumu LF j -p j max ((i,j)єap {E(i,j)} Tablo 4. Öncelik Kuralları Öncelik kuralları farklı kriterler uyarınca sınıflandırabilir. v(j) nin hesaplanmasında kullanılan bilgilerin türü ile ilgili olarak öncelik kuralları; ağ, zaman ve kaynağa dayalı kurallar ve üst ve alt sınır kuralları olarak ayrılmaktadır. Alt sınır kuralları, her bir faaliyet için amaç fonksiyon değerinin alt sınırının hesaplanmasında ve üst sınır kuralları da, her bir faaliyet için amaç fonksiyon değerinin üst sınırının hesaplanmasında kullanılır. Lokal ya da global kurallar, kullanılan bilginin miktarına bağlı olarak ayrılmaktadır. Lokal kurallar, işleme süresi gibi göz önünde bulundurulan faaliyet ile ilgili bilgileri kullanır. Global kurallar ise, daha geniş çaplı bilgiler kullanır. 40

50 Statik ve dinamik kurallar arasında fark ise, v(j) değerinin çizelge geliştirme planlarında çoğalma sırasında sabit ya da değişken oluşudur. Seri, paralel ya da her ikisini de kullanıp kullanmadığına bağlı olarak çizelge geliştirme planları birbirinden ayrılır. Tablo 4 te en belirgin öncelik kuralları verilmiştir. En çok ardılı olan kuralı, j faaliyetinin tüm ardından gelenlerini (doğrudan ya da dolaylı) içeren küme olan S j yi kullanır. En kötü boş zaman durumu ve kaynak çizelgeleme yöntemi, karar kümesinde yer alan (i,j) faaliyet çiftlerinin kümesi olan AP={(i,j)ЄD g x D g i j} yi kullanır. Son olarak, en kötü boş zaman durumu kuralı, i faaliyeti çizelgelenmiş zaman t g de başlıyor ise, j faaliyetinin ilk önce gelen ve kaynak açısından uygulanabilir başlangıç zamanını kullanır. Kaynak çizelgeleme yöntemi kuralının en düşük öncelik değerine sahip faaliyeti seçtiği unutulmamalıdır Önerilen Yöntemler Öncelik kurallarına dayalı sezgisel, belirli bir algoritma oluşturmak amacıyla öncelik kurallarını ve çizelge geliştirme planlarını bir arada kullanmaktadır. Buluşsallığın tek bir çizelge geliştirmesi durumunda, yönteme tekli geçiş yöntemi adı verilmektedir. Birden fazla çizelge geliştirmesi durumunda ise, yönteme çoklu geçiş yöntemi adı verilmektedir X-Geçişli Yöntemler X-geçişli yöntemler, aynı zamanda öncelik kuralına dayalı sezgisel olarak da bilinmektedirler. Bir ya da daha fazla program geliştirmek amacıyla, SGS nin bir tanesini ya da ikisini birden kullanmaktadırlar. Kaç adet programın geliştirildiğine bağlı olarak, tekli geçiş yöntemleri (X=1) ve çoklu geçiş yöntemleri (X>1) olarak ayrılmaktadır. Bir 41

51 programın geliştirileceği her seferde X-geçişli yöntemler, daha önceden geliştirilmiş olan çözümlerden gelen herhangi bir bilgiye dikkate almadan, sıfırdan başlamaktadır. Geliştirme prosedürünün her bir aşamasında, nihai olarak programlanacak olan bir faaliyeti seçmek amacıyla, bir öncelik kuralı uygulanmaktadır. Öncelik kuralı, seçilebilir kümedeki her bir j faaliyetine, bir v(j) değeri ve büyük ya da küçük bir v(j)-değeri olan bir faaliyetin istendiğini belirten bir hedef veren, bir eşleme olarak tanımlanmaktadır Tekli Geçiş Yöntemi Tekli geçiş yöntemi, uygulanabilir bir çizelge elde etmek üzere bir öncelik kuralı ile bir çizelge geliştirme planını bir arada kullanan en eski sezgisel yöntemidir. Yakın zamanda Özdamar ve Ulusoy 1 tarafından daha fazla ayrıntılara değinen öncelik kuralları önerilmiştir. Kolisch 2, paralel çizelge geliştirme planları için, Tablo 4 te belirtilen (En kötü boş zaman durumu)en kötü durum kuralını geliştirmiştir. Özdamar ve Ulusoy 1, lokal kısıtlama temelli analiz (Local Constraint Based Analysis, LCBA) kuralını geliştirmiştir. Lokal kısıtlama temelli analiz, paralel çizelge geliştirme planları kullanır ve uygulanabilir kontrolleri ve gerekli koşullar aracılığıyla, çizelgelenmiş zaman zarfında hangi faaliyetlerin seçilmesi ve hangilerinin geciktirilmesi gerektiğine karar verir. 1 Özdamar, L., Ulusoy, G., An iterative local constraint based analysis for solving the resource constrained project scheduling problem, Journal of Operations Management, 1996, C.14, S.3, s Kolisch, R., Efficient priority rules for the resource-constrained project scheduling problem, Journal of Operations Management, 1996, C.14, S.3, s

52 Çoklu Geçiş Yöntemleri Çizelge geliştirme planları ve öncelik kurallarını çoklu geçiş yöntemi ile bir araya getirmenin bir çok olasılığı vardır. En sık kullanılan yöntemler, çoklu öncelik kuralı yöntemleri, ileri-geriye doğru çizelgeleme yöntemleri ve örnekleme yöntemleridir. Çoklu öncelik kuralı yöntemleri çizelge geliştirme planlarını bir çok kez kullanırlar. Her seferinde farklı bir öncelik kuralı kullanılır. Sıklıkla, kurallar, çözüm kalitesi azalma sırası uyarınca kullanılır. Boctor 1 yapmış olduğu deneysel çalışmasında 7 farklı kural kullanmıştır. m çizelgeleri geliştirmek üzere m öncelik kuralları kullanmak yerine, I öncelik kurallarının dışbükey kombinasyonları kullanılarak yaratılan sınırsız sayıda çizelge kullanmıştır. v(j)= i=1 w i.v i (j) ile, tüm i ler için w i 0 ve i=1 w i = 1. Söz konusu yaklaşımlara ilişkin örnekler, Ulusoy ve Özdamar 1 tarafından verilmiştir. Ulusoy ve Özdamar 10 farklı çizelge geliştirmek üzere I=2 kurallarının dışbükey kombinasyonunu kullanmıştır. İleri-geriye doğru çizelgeleme yöntemleri ileri ve geriye doğru çizelgeleme arasında değişerek, tekrarlayacak şekilde projeyi çizelgelemek üzere bir çizelge geliştirme planı kullanır. İleri doğru çizelgeleme şu şekilde yapılır. Bir önceki sonlanma faaliyeti n+1 in yeni başlangıç faaliyetine dönüştüğü, tersine olduğunda önceden gelen ağa çizelge geliştirme planının uygulanması ile gerçekleştirilir. Öncelik değerleri, en son geliştirilen çizelgenin başlangıç ve tamamlanma zamanlarından elde edilir. 1 Boctor, F.F., Some efficient multi-heuristic procedures for resource constrained Project scheduling, European Journal of Operations Research, 1990, C.49, s

53 Örnekleme yöntemleri genel olarak bir çizelge geliştirme planı ve bir öncelik kuralını kullanırlar. Farklı çizelgeler, öncelik kuralının seçimini bir rasgele araç üzerinden yönlendirerek elde edilebilmektedirler. Bir öncelik değeri v(j) ye ek olarak, bir seçme olasılığı p(j) de hesaplanabilir. Çizelge geliştirme planlarının g seçme kararında,j faaliyetinin, D g karar kümesinden seçileceği olasılık p(j) dir. Olasılıkların nasıl hesaplandığına bağlı olarak, rasgele örnekleme, yanlı rasgele örnekleme ve şüpheye dayalı yanlı rasgele örnekleme kullanılmaktadır 2. Rasgele örnekleme, karar kümesindeki her bir faaliyete aynı olasılığı p(j)=1/d g vermektedir. Yanlı rastgele örnekleme, seçme olasılıklarını elde etmek amacıyla öncelik değerlerini doğrudan uygulamaktadır yani, öncelik kuralının hedefinin, en büyük öncelik değerine sahip olan faaliyeti seçmek olduğunda olasılık şu şekilde hesaplanmaktadır: P(j)= v(j)/( i D g v(i)). Schrimer ve Riesenberg 3, normalleştirilmiş yanlı rastgele örnekleme yöntemi adı verilen bir değişiklik önermiş ve en düşük (yüksek)öncelik değerine sahip faaliyet olasılığının seçilmesini sağlayan normalleştirilmiş yanlı rastgele örneklemenin en yüksek (düşük) öncelik değerine sahip faaliyetin aranması ile aynı olduğunu belirtmiştir. Şüpheye dayalı yanlı rasgele örnekleme şüphe değerleri yoluyla öncelik değerlerini dolaylı olarak kullanır. Hedefin en yüksek öncelik değerine sahip faaliyetin seçilmesi olması durumunda, şüphe değeri r(j), ilgili faaliyetin öncelik değeri v(j) ile karar kümesinde yer alan tüm faaliyetlerin en kötü öncelik değeri 1 Ulusoy, G., Özdamar, L., Heuristic performance and network/resource characteristics in resourceconstrained Project scheduling, Journal of Operational Research Society, 1989, V40, S12, s Kolisch, R., Padman, A., An integrated survey of Project scheduling. Technical report 463, University of Kiel, Schirmer, A., Riesenberg, S., Parameterized heuristics for Project scheduling Biased random sampling methods Technical Report 456, University of Kiel,

54 arasındaki mutlak farktır. Diğer bir deyişle; r(j) = v(j) - min iєdg {v(i)}. Şüphe değerlerine dayalı seçme olasılıklarının hesaplanmasından önce, şüphe değerleri, r ı (j)= (r(j)+ Є) α şeklinde değiştirilebilir. Şüphe değerine sabit Є>0 değerinin eklenmesi, karar kümesinde yer alan her bir faaliyetin seçme olasılığının sıfırdan büyük olmasını sağlar ve böylece, gruba ilişkin tüm çizelgeler geliştirilebilir. α parametresinin seçilmesi ile yanlılık oranı kontrol edilebilir. Yüksek α yanlılığın oluşmamasına ve dolayısıyla deterministik faaliyet seçimine neden olur. Bunun yanında α nın sıfır olması, yanlılığın maksimum olmasına ve dolayısıyla rasgele faaliyet seçimine neden olur. Kolisch 1, Є = α = 1 durumunun genellikle iyi sonuçlar verdiği tespit etmiştir. Kolisch ve Schrimer ve Riesenberg 2 tarafından yapılan karşılaştırmalı çalışmalar, (geliştirilmiş)şüpheye dayalı yanlı rasgele örnekleme yönteminin en iyi örnekleme yaklaşımı olduğunu göstermiştir. Karma çoklu geçiş yaklaşımı ise; sezgisel deterministik faaliyet seçimi ve şüpheye dayalı örnekleme faaliyeti seçimini gerçekleştirirken, çizelge geliştirme planlarını, minimum en geç bitiş zamanı öncelik kuralı ile birlikte ve paralel çizelge geliştirme planını en kötü boş zaman durumu öncelik kuralı ile birlikte kullanır. Belirli yöntem üzerinde verilen karar eldeki problemin analizine ve gerçekleştirilen tekrarlamaların sayısına bağlıdır. Kısmi çizelgeler alt sınırlar kullanılarak göz ardı edilebilir. Tablo 5, Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için öncelik kuralına dayalı höristiğin 1 Kolisch, R., Project scheduling under resource constraints Efficient heuristics for several problem classes, Physica, Heidelberg, Schirmer, A., Riesenberg, S., Parameterized heuristics for project scheduling Biased random sampling methods Technical Report 456, University of Kiel,

55 bir incelemesini sunmaktadır. Ref. Çizelge Öncelik kuralı Örnekleme Geçişler [1] par. Çeşitli kurallar - tekli [1] par. Çeşitli kurallar Yanlı rastgele çoklu [7] par/seri Çeşitli kurallar - çoklu [9] seri Çeşitli kurallar Yanlı rastgele çoklu [10] par. En geç bitiş zamanı ve diğerleri - tekli [20] par/seri Çeşitli kurallar Şüpheye dayalı yanlı çoklu [18] par En kötü boş zaman ve diğerleri - tekli [19] par/seri Çeşitli kurallar Rastgele çoklu [20] par/seri En son bit. zamanı,en kötü boş z. Yanlı rastgele çoklu [25] par. Lokal kısıtlama temelli analiz - çoklu [25] par. Lokal kısıtlama temelli analiz - tekli [29] par. Kaynak Çizelgeleme - tekli 46

56 [28] par/seri Çeşitli kurallar Farklı örn.yön. çoklu [30] par. Dışbükey kombinasyon - çoklu Tablo 5:Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için öncelik kuralına dayalı sezgisel incelemesi 4.4 Meta-sezgisel Yaklaşımları Genel Meta-sezgisel Stratejileri Zorlu optimizasyon problemlerinin çözümü için,bir çok meta-sezgisel strateji geliştirilmiştir. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerinin çözümü için kullanılan genel yaklaşımlar aşağıda genel olarak özetlenmiştir Simüle edilmiş güçlendirme Kirkpatrick 1 ve meslektaşları tarafından geliştirilen, Simüle edilmiş güçlendirme (SEG), eriyik bir katı maddenin daha düşük enerjili bir konuma soğutulduğu fiziksel 1 Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D., Vecchi, M.P., Optimization by simulated annealing, Science, 1983, S.220, s

57 tavlama sürecinden gelmektedir. İlk problem ile başlayarak, mevcut çözüm hafif bir şekilde değiştirilerek komşu çözüm olarak adlandırılan bir çözüm geliştirilir. Bu yeni çözümün mevcut çözümden daha iyi olması durumunda, yeni çözüm kabul edilir ve arama bu yeni çözümden devam eder. Aksi takdirde, diğer bir deyişle, yeni çözümün daha kötü olması durumunda, yeni çözüm, sıcaklık adı verilen bir parametreye ve bozukluğun miktarına bağlı olarak bir olasılıkla kabul edilir. Algoritma ilerledikçe, daha kötü komşuları kabul edebilecek şekilde olasılığı düşürmek üzere bu sıcaklık düşer. Kısaca, simüle edilmiş güçlendirme basit haris bir prosedürün uzantısı olarak görülebilir ve zaman zaman, herhangi bir bozukluğu reddeden ve daha iyi bir komşu çözümü derhal kabul eden İlk Uyan Stratejisi (İUS) olarak adlandırılır Çizelgesel Arama Glover 1 tarafından geliştirilen, Çizelgesel Arama (ÇA), aslında, en yüksek düşüş/en ılımlı artış yöntemidir.bunun anlamı, bu yöntem ile, çevredeki tüm çözümlerin değerlendirildiği, en iyi çözümün seçildiği ve devam edildiğidir. Bu kavram aslında, bir döngü olasılığı içermektedir. Bunun anlamı, sürekli terk edilen lokal optimuma geri dönülmesidir. Bu problemden kaçınmak üzere, arama süreci için bellek şeklinde çizelgesel bir liste oluşturulur. Genellikle bu çizelgesel liste, yakın zamanda gerçekleştirilmiş olan hareketlerin etkisini ortadan kaldırabilecek ve böylece yakın zamanda gidilen çözüme doğru gidebilecek, söz konusu komşuluk hareketlerini 1 Glover, F., Tabu Search Part I, ORSA Journal on Computing, 1989, C.1, s

58 engellemede kullanılır. İlgili komşuluk hareketinin en iyi çözümü getirmesi (aspirasyon kriteri) durumunda, söz konusu çizelgesel liste durumu yeniden işletilir. Çizelgesel aramanın basit en yüksek düşüş aramasını genişlettiği açıktır ve çizelgesel aramaya zaman zaman En İyi Uyan Stratejisi (EİUS)denilmektedir. En İyi Uyan Stratejisi, komşuların hiçbirisi mevcut hedef fonksiyon değerini iyileştirmeyene kadar, çevreyi tarar ve en iyi komşu çözümü kabul eder Genetik Algoritma Biyolojik devrim süreci sonunda ortaya atılan Genetik Algoritmalar (GA), Holland 1 tarafından geliştirilmiştir. Yukarıda bahsedilen lokal arama stratejilerinin tersine, bir genetik algoritma, yalnızca bir çözüm yerine, aynı anda bir çözüm kümesi ya da topluluğunu ele alır. İlk topluluğun geliştirilmesi ile, mevcut iki çözümün eşleştirilmesi (çaprazlama) ve/veya mevcut bir çözümün değiştirilmesi (mutasyon)ile yeni çözümler üretilir. Yeni çözümlerin üretilmesinin ardından, en uygun çözümler tutulur ve diğerleri silinirken tutulan bu çözümler yeni jenerasyonu oluşturur. Uygunluk değeri, çözülmesi gereken optimizasyon probleminin hedef fonksiyon değerine dayalı olan, çözümün kalitesini ölçer. 1 Holland, H.J., Adaptation in natural and artificial systems, University of Michigan Pres, Ann Arbor,

59 4.4.2 Gösterimler Optimizasyon problemini ortadan kaldırmak üzere bir meta-sezgisel stratejisi seçildiğinde, çözümler için uygun gösterimlerin seçilmesi gereklidir. Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerine ilişkin meta-sezgisel yaklaşımlar, çizelgeler üzerinde faaliyet göstermek yerine, çizelgelerin gösterimleri üzerinde faaliyet gösterirler. Daha sonra, gösterimi çizelgeye dönüştürmek için uygun bir şifre çözücü seçilmelidir.son olarak operatörlerin seçilen gösterime ilişkin yeni çözümleri üretmeleri gerekmektedir. Birli operatör mevcut olan durumdan yeni bir çözüm üretir. Diğer bir deyişle,komşuluk hareketini Simüle Edilmiş Güçlendirme, Çizelgesel Arama ya da Genetik Algoritmada bir mutasyon olarak lokal arama prosedürüne dahil eder. İkili operatör ise, Genetik Algoritma daki çaprazlamada olduğu gibi, mevcut iki durumdan yeni bir çözüm üretir. Bu alt kısımda, literatürde yer alan ve kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerinin çözümlenmesinde meta-sezgisel yaklaşımlar ile birlikte kullanılan beş gösterim özetlenmektedir. Her bir gösterim için ilgili şifre çözücü prosedürler ve operatörler verilmiştir. İkili operatörlerin tanımı farklı gösterimler için tek nokta çaprazlama türü ile sınırlanmıştır.genel olarak, tek nokta çaprazlama, mevcut iki çözümü ikiye ayırır ve yeni bir çözüm oluşturmak üzere bir parçayı ilkinden ve diğer parçayı da ikincisinden alır. Genetik Algoritma literatüründe iyi bilinen diğer genel çaprazlama türleri, burada verilen tek-nokta tanımlarının genişletilmesi ile elde edilebilir Faaliyet Listesi Gösterimi Faaliyet listesi gösteriminde, önce gelen uygulanabilir faaliyet listesi verilir. 50

60 λ = [j 1,j 2,...,j n ] Bu listede her faaliyetin kendinden önce gelenlere oranla daha yüksek bir endekse sahip olması gereklidir. Daha öncede belirtildiği şekilde, seri çizelge geliştirme planları bir faaliyet listesinden bir çizelge elde edebilmek için şifre çözücü prosedür olarak kullanılabilir. Ancak paralel planının üzerinde değişiklik yapılmaksızın bu şekilde uygulanamayacağı unutulmamalıdır. Şekil 5 de gösterilen projeyi Şekil 6 da gösterilen çizelgeye dönüştürmek için, seri çizelge geliştirme planları, örnek faaliyet listesini dönüştürür. λ E =[2,4,6,1,3,5] İlk çözüm(ler), çizelge geliştirme planının her aşamasında karar kümesinden bir faaliyetin rasgele seçilmesi ile yaratılabilir. Daha iyi çözüm kalitesinin elde edilebilmesi için, seçilebilirliği olan bir faaliyeti seçmek için bir öncelik kuralı ya da öncelik kuralına dayalı örnekleme planı da kullanılabilir. Her iki durumda da, faaliyetlerin seçim sırası uyarınca kaydedilmesi, öncellik kurallarına uyan bir faaliyet listesi ile sonuçlanır. Faaliyet listesi gösterimleri için birden fazla birli operatör önerilmiştir. Sözü edilen ikişerli değişiklik, faaliyet listesinin önceliğin uygulanabilirliği ile sonuçlanması durumunda,iki faaliyeti j q ve j s yi (q,sє{1,...,n}) q s ile değiştirmek olarak tanımlanabilir. Özel bir durum olarak, bitişik ikişerli değişiklik, listede komşu olan ancak önce gelme özelliği ile ilgili olmayan j q ve j q+1, qє{1,...,n-1} faaliyetleri arasında değişiklik yapılır. Şekil 5 de verilen örnek proje ele alındığında, q=3 için bitişik ikişerli değişiklik, λ E ye uygulanabilir ve λ N = [2,4,1,6,3,5] 51

61 elde edilir. Buna ek olarak, önceden gelen kısıtlamalarının ihlal edilmemesi halinde, basit kaydırma operatörü j q gibi bir faaliyet seçebilir ve bunu j s gibi diğer bir faaliyetin ardından girebilir. Buradaki örnekte, 6 faaliyetinin, λ E deki 3 faaliyetinden hemen sonra kaydırılması aşağıdaki komşuluk faaliyeti listesi ile sonuçlanır: λ N =[2,4,1,6,3,5] Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için daha karmaşık kaydırma operatörleri Baar ve meslektaşları 1 tarafından önerilmiştir. Mevcut faaliyet listesi λ ile temsil edilen S(λ)çizelgesini kullanırlar. Operatörler, ardışık olarak çizelgelenen (i,j) faaliyet çifti olarak tanımlanan kritik ark nosyonuna dayanmaktadır. Diğer bir deyişle, S(λ) de F i + p f = F j. Burada ifade edilmek istenen, mevcut çizelgenin iyileştirilebilmesi için en az bir kritik arkın, kritik olmayan arka dönüşmesi gerektiğidir. Bu bağlamda kritik arkı iptal edebilecek olan üç kaydırma operatörü tanımlanmaktadır. Basit kaydırma, birden fazla faaliyetin kaydırılmasına izin verilerek uzatılır. Burada tanımları vermeden, Şekil 6 da verilen S(λ E ) çizelgesinin kritik arkının (4,1) operatör kaydırmasının nasıl gerçekleştiği gösterilmektedir: Faaliyet 1 in hemen arkasından gelen faaliyet 4 ve ardılı olan faaliyet 6, aşağıda verilen komşu faaliyet listeni oluşturur. λ N = [2,1,4,6,3,5] 1 Baar, T., Brucker, P., Knust, S., Tabu-search algorithms for the resource constrained Project scheduling problem, Technical Report, Osnabrück,

62 İkili operatöre ya da diğer bir deyişle genetik algoritma nın çaprazlamasına ilişkin olarak, Hartmann 1 aşağıda verilen tekniği kullanmıştır: İki ebeveyn faaliyet liste verildiğini varsayalım, anne λ M =(jm 1,..., jm n ] ve baba λ F =(jf 1,..., jf n ]; çocuğun λ C =(jc 1,... jc n ] faaliyet aktivite listesi şu şekilde gerçekleşecektir: rasgele bir q tamsayısı ile 1 q<n i seçildikten sonra, jc i :=JM i olacak şekilde, i=1,...,q anne den alınır. İ=q+1,...n faaliyet listesi pozisyonları baba dan alınır. Ancak anneden alınan işler yeniden göz önüne alınmaz. k nın en düşük endeks olduğu durumda, jc i :=JF i durumu elde edilir; şöyle ki; jf k {jc 1,..., jc i-1 }. q=3 ün seçilmesi sonucunda, bu tanım proje örneğimize ilişkin olarak aşağıda belirtildiği şekilde örneklenebilir. λ M = (1,3,2,5,4,6] λf =(2,4,6,1,3,5] λ C =(1,3,2,4,6,5] Hartmann 1 tarafından açıklandığı şekilde,önceliği uygulanabilir olan iki ebeveyn faaliyet listesinden elde edilen çocuğun faaliyet listesi de önceliği uygulanabilir olan bir listedir Rasgele Anahtar Gösterimi Araştırmacıların bir çoğu, her bir faaliyete j, tipik reel değerli bir sayıyı, r j, atayan bir seri kullanan bir gösterim kullanmıştır. 1 Hartmann, S., A competitive genetic algorithm for resource-constrained project scheduling, 53

63 P = (r 1,r 2,...r n ) Daha sonraları bu durum rasgele anahtar gösteriminin kodlanması olarak adlandırılmıştır. Bu durum, Lee ve Kim 1 tarafından geliştirilen öncelik değeri gösterimi ve, Leon ve Ramamoorthy 2 tarafından geliştirilen problem alanına dayalı gösterimler ile benzerlik göstermektedir.bu üç yaklaşım bir çerçeve içerisinde bu kısımda ele alınacaktır. Başlangıç çözümü için,rasgele anahtarlar rasgele seçilir (Lee ve Kim (1996)) ya da bazı öncelik kuralları ile hesaplanır. (bakınız Leon ve Ramamoorthy (1995)). Hem seri hem de paralel çizelge geliştirme planları p den bir çizelge yaratılmasında kullanılabilir: Her aşamada (g), karar kümesinden en yüksek rasgele anahtara (r j =max{r i D g }) sahip bir faaliyet (j)seçilir. (örneğin en geç bitiş zamanı ile başlanılması durumunda, minimum rasgele anahtara sahip faaliyetin seçilmesi gerekir). Diğer bir deyişle, rasgele anahtarlar öncelik kurallarının rolünü üstlenir. Örnek proje göz önünde bulundurulduğunda, aşağıdaki işleme paralel ya da seri çizelge geliştirme planı uygulanarak Şekil 6 da verilmiş olan çizelge elde edilir. P E = (0.58,0.64,0.31,0.87,0.09,0.34) Alternatif yaklaşım önerileri de mevcuttur. Burada rasgele anahtarlar, öncelik değerleri olarak rol oynayan faaliyet boş zamanlarını alt üst eder. Technical Report 451, University of Kiel, Lee, J.K., Kim, Y.D., Search heuristics for resource constrained Project scheduling, Journal of the Operations Research Society, 1996, C.47, s Leon, V.J., Ramamoorthy, B., Strength and adabtability of problem-space based neighbourhoods for resource constrained scheduling, OR Spectrum, 1995, C.17, S.2, s

64 Şifre çözücü prosedürler olarak hem paralel hem de seri Çizelge Geliştirme Planları yalnızca uygulanabilirliği olan çizelgelerin bulunduğunu garanti ederken, yalnızca seri çizelge geliştirme planları, Kısım 2 de açıklandığı şekilde, çözüm alanında en az bir optimal çizelge bulunacağını garanti eder. Paralel çizelge geliştirme planları ile tüm optimal çözümlerin dışarıda bırakılması ihtimalinin ortadan kaldırılması amacıyla, çeşitli araştırmacılar (Lee ve Kim 1, Leon ve Ramamoorthy 2 ), rasgele anahtar gösterimlerinin şifre çözücü prosedürü olarak paralel çizelge geliştirme planları üzerinde farklı modifikasyonlar gerçekleştirmiştir. Bu modifikasyonlar, arama gecikmesiz çizelgeler ile sınırlanmadan çizelgelenebilir bir faaliyetin geciktirilmesini mümkün kılmaktadır. Birli operatör olarak, r j ve r i+1 in bitişik ikili değişimi dahil olmak üzere, r j ve r i nin herhangi bir ikili değişimi kullanılabilir. j=2 ve i=4 ün ikili değişimi söz konusu olduğunda, komşu p E örneği aşağıda şekilde gerçekleşir. P N = (0.58,0.87,0.31,0.64,0.09,0.34) İşyeri problemine bir yaklaşım olarak, çözüm alanına dayalı komşuluk adı verilen ve yeknesak bir dağılımdan nin reel değerli olduğu, rnew j [rold j -.rold j,rold j +.rold j ] yi rasgele yeniden seçim yapan bir yaklaşımdır. =0.1 olduğunda, bu komşuluk tanımı uyarınca, p E nin komşusu örneği aşağıdaki şekilde gerçekleşir. p Ni = (0.59,0.62,0.34,0.89,0.09,0.33) 1 Lee, J.K., Kim, Y.D., a.g.e. 2 Leon, V.J., Ramamoorthy, B., a.g.e. 55

65 Rasgele anahtar gösterimi, ikili operatör olarak standart tek nokta çaprazlamanın gerçekleşmesini mümkün kılar. Rasgele bir q tamsayısı ile 1 q<n i seçildikten sonra, ilk q rasgele anahtarların anne serisinden (p M = rm 1,...,rM n )ve geri kalanları da baba serisinden (p F = rf 1,...,rF n )seçilerek, yeni bir rasgele anahtar serisi p C =(rc 1,...,rC n ) elde edilir. i=1,...q için rc i = rm i ve i=q+1,...n için rc i = rf i elde edilir. q=3 için örnek sonuç aşağıda belirtildiği gibi gerçekleşir. P M = (0.58, 0.64, 0.31, 0.87, 0.09, 0.34) P F = (0.12, 0.43, 0.99, 0.65, 0.19, 0.22) P C = (0.58, 0.64, 0.31, 0.65, 0.19, 0.22) Öncelik Kuralı Gösterimi İşyeri problemi için kullanılan ve Hartmann 1 tarafından Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için adapte edilen öncelik kuralı gösterimi,aşağıda verilen öncelik kuralları listesine dayanmaktadır: π = (π 1, π 2,..., π n ] Burada her bir π i öncelik kuralını ifade etmektedir.şifre çözücü prosedürler olarak, seri ve paralel çizelge geliştirme planları π i öncelik kuralı uyarınca çizelgelenecek olan i. faaliyetinin seçilmesi ile uygulanabilir. Örnek proje göz önünde bulundurulduğunda, Şekil 6 daki çizelge, örnekten elde edilebilir. 1 Hartmann, S., a.g.e. 56

66 π E = (Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı,En Çok Ardılı Olan,Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,Minimum Boş zaman,minimum En Geç Bitiş Zamanı) Sıklıkla kullanılan birli operatör, π i için, yeni bir öncelik kuralını rasgele seçer. Yukarıda verilen örnek π E listesine ilişkin muhtemel komşu aşağıdaki şekilde olacaktır. π N = (En Çok Ardılı Olan,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı,En çok ardılı olan,minimum En Geç Başlangıç Zamanı,Minimum Boş zaman,minimum En Geç Bitiş Zamanı) İkili operatör, diğer bir deyişle tek nokta çaprazlama, standart tanıma uygun olarak hareket eder. Rasgele bir q tamsayısı ile 1 q<n i seçildikten sonra,ilk q öncelik kurallarının anne listesinden π M ve geri kalanların baba listesinden π F alınması ile yeni bir öncelik kuralı π C listesi elde edilir. q=3 örneği göz önünde bulundurulduğunda aşağıda belirtilen sonuç elde edilir. π M =(Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı,En Çok Ardılı Olan,Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,Minimum Boş zaman,minimum En Geç Bitiş Zamanı) π F =(Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı,Minimum Boş zaman,en Kısa İşleme Zamanı,Minimum En Geç Bitiş Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı) 57

67 π C =(Minimum En Geç Başlangıç Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı,En Çok Ardılı Olan,En Kısa İşleme Zamanı,Minimum En Geç Bitiş Zamanı,En Yüksek Sıra Konumu Ağırlığı) Kaydırma Vektörü Gösterimi Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için kaydırma vektörü gösterimi sıkça önerilmektedir. Çözüm, σ J nin eksi değer taşımayan bir tam sayıyı gösterdiği, bir kaydırma vektörü ile aşağıda şekilde gerçekleşir. σ = (σ 1, σ 2,..., σ n ) Bir şifre çözümleme prosedürü olarak, bir faaliyetin j, başlangıç zamanı S j önce gelenlerinin maksimum bitiş zamanları olarak hesaplandığı ve j faaliyetinin σ J kaymasının eklendiği, genişletilmiş klasik geriye doğru yineleme kullanılır. Diğer bir deyişle, j=1,...n+1 için, S j = max {S h + p h h P j }+σ j. Örnek projeye aşağıda verilmiş olan kaydırma vektörünün uygulanması sonucunda Şekil 6 daki çizelge elde edilir. σ E = (6,0,1,0,0,0) Bu şifre çözümleme prosedürü kaynak kısıtlamalarını ele almadığından, bir kaydırma vektörü ile elde edilen bir çizelge uygulanabilirliği bulunmayabilir.bu durum 1 ve 4 faaliyetlerini aynı anda işleme koyan ve böylece 2 birim ile kaynak kapasitesini aşan kaydırma vektörü ile gösterilmiştir: σ 1 = (4,0,1,0,0,0) 58

68 Sonuç olarak, hedef fonksiyon, kaynak kısıtlamalarının ihlal edilmesine uygulanan cezayı genişletir. σ kaydırma vektörünün komşuluğu, σ dan kesinlikle bir konumda değişiklik gösteren ve verilen üst sınırı aşamayacak şekilde proje süresine neden olmayan vektörler ile verilmiştir. Yukarıda verilen σ E kaydırma vektörüne ilişkin örnek komşuluk aşağıda verilmiştir: σ N = (6,0,1,0,1,0) Çizelge Planı Gösterimi Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için kol ve sınır algoritmasına yönelik olarak çizelge planı gösterimi geliştirilmiştir. Bir çizelge planı (C,D,N,F) dört ayrık ilişkiden oluşur. (i,j) C, i faaliyetinin j faaliyeti başlamadan önce bitmesi gerektiğini ifade eder (birleşmeler). (i,j) D,i ve j faaliyetlerinin çakışmayabileceğini ifade eder (ayrılma). (i,j) N, i ve j faaliyetlerinin en az bir periyotta paralel olarak işlenmesi gerektiğini ifade eder (paralellik ilişkisi). i ve j faaliyetleri için (i,j) F,hiçbir kısıtlama olmadığını ifade eder (esneklik ilişkisi).bir çizelge planı ilgili ilişkilerin sağlandığı söz konusu çizelgeleri (uygulanabilir olması gerekli olmayan) temsil eder. Baar ve meslektaşları 1, C ve D nin tüm ilişkilerinin ve fazla sayıda paralellik ilişkisinin N sağlandığı, bir şifre çözücü prosedür olarak bir sezgisel geliştirmiştir. Baar ve meslektaşları 1, esneklik ilişkilerini paralellik ilişkilerine ve paralellik ilişkilerini esneklik ilişkilerine dönüştüren hareketlerden oluşan bir komşuluk tanımı 1 Baar, T., Brucker, P., Knust, S., a.g.e. 59

69 geliştirmiştir. Komşuluk alanı, kritik yol hesaplaması ve hareketlerin etki değerlendirmesi ile azaltılmıştır. 4.5 Önerilen Yöntemler meta- Bu kısımda, kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için belgelenen sezgisel yaklaşımlar genel olarak tanımlanacaktır. Referanslar alfabetik sıra ile verilmiştir. Ancak liste kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri hakkındaki belgeler ile sınırlanmıştır ve kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerinin uzantıları üzerine hazırlanmış olan belgeler (örnek; çok modlu kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri)listeye alınmamıştır. Tablo 6 da bir özet verilmiştir. Her bir referansa ilişkin olarak, ilgili gösterim ile birlikte kullanılan meta-sezgisel stratejiler, ilk çözümleri yaratmak üzere uygulanan yöntemler, çizelge geliştirme planları ve operatörler belirtilmiştir. genetik algoritma söz konusu olduğunda, yalnızca çaprazlama operatörü belirtilmiştir. Bu amaçla iki çizelgesel arama algoritması geliştirmiştir. Bunlardan ilki, seri çizelge geliştirme planları uyarınca faaliyet listesi gösterimine dayalıdır. Komşuluk üç tip kritik yola dayalı hareket ile tanımlanmıştır. Diğer çizelgesel arama yaklaşımı, ilgili kod çözümleme prosedürü ve komşuluk tanımlaması ile birlikte çizelge planı gösterimini kullanmaktadır.her iki çizelgesel arama algoritması da dinamik çizelgesel listeler ve önceliğe dayalı başlangıç höristiğin kullanır. 60

70 Bouleman ve Lecocg 1, seri çizelge geliştirme planı ile birlikte faaliyet listesi gösterimine dayalı bir Simüle edilmiş güçlendirme prosedürü önermektedir.komşuluk hareketleri için kaydırma operatörü kullanılmaktadır. Lee ve Kim 2, adapte edilmiş paralel çizelge geliştirme planları çerçevesinde çizelgelenebilir faaliyetlerin geciktirilmesini mümkün kılan rasgele anahtar gösterimlerini genişleterek Simüle edilmiş güçlendirme algoritmasını (aşağıya bakınız) geliştirmişlerdir. Hartmann 3, faaliyet listesi gösterimine dayalı bir genetik algoritma önermekte ve sırasıyla rasgele anahtar ve öncelik kuralı gösterimlerini kullanan genetik algoritma lar ile karşılaştırmaktadır. Her üç yaklaşım da hem seri çizelge geliştirme planları hem de ilgili gösterim ile ilişkili iki nokta çaprazlama operatörü kullanmaktadır. genetik algoritma ya dayalı faaliyet listesinde, ilk yaratmayı tespit etmek üzere, seri çizelge geliştirme planları ile şüpheye dayalı yanlı rasgele örnekleme yöntemi ve Minimum En Geç Bitiş Zamanı kuralı kullanılır. Kohlmorgen ve meslektaşları 4, standart iki nokta çaprazlama rasgele anahtar gösterimi kullanan bir genetik algoritma geliştirmiştir. Yaklaşımlarını geniş paralel bir bilgisayarda test etmişlerdir. Lee ve Kim 5, bir Simüle edilmiş güçlendirme algoritması, bir çizelgesel arama 1 Bouleimen, K., Lecocq, H., A new efficient simulated annealing algorithm for the resource constrained Project scheduling problem, Technical report, Service de Robotique et Automatisation, Universite de Liege, Lee, J.K., Kim, Y.D., a.g.e. 3 Hartmann, S., a.g.e. 4 Kohlmorgen, U., Schmeck, H.,Haase, K., Experiences with fine-grained paralel genetic algorithms, Annals of Operations Research, Lee, J.K., Kim, Y.D., Search heuristics for resource constrained project scheduling, Journal of the Operations Research Society, 1996, C.47, s

71 prosedürü ve bir genetik algoritma önermektedir. Bu üç yaklaşım, şifre çözücü prosedür olarak paralel çizelge geliştirme planları ile rasgele anahtar gösterimine dayanmaktadır. Simüle edilmiş güçlendirme ve çizelgesel arama, ikili değişiklik hareketinin kısıtlı bir versiyonunu kullanırken, genetik algoritma standart tek nokta çaprazlama kullanır. Sezgisel Metod Gösterim Başlangıç çözümü Çizelge Operatör ÇA faaliyet listesi öncelik kuralı seri krit.yol kay. ÇA çizelge planı öncelik kuralı ilgili sezgisel ilgili hareketler FT faaliyet listesi öncelik kuralı seri kaydırma FT rasgele anahtar rasgele paralel ikili değişiklik FT rasgele anah. rasgele paralel ikili değişiklik ÇA rasgele anah. rastgele paralel ikili değişiklik GA rasgele anah. rastgele paralel tek nokta çap. GA faaliyet listesi öncelik kuralı seri iki nokta çap. GA rasgele anahtar rasgele seri iki nokta çap. GA öncelik kuralı rasgele seri iki nokta çap. GA rasgele anahtar öncelik kuralı seri iki nokta çap. İUS rasgele anah. öncelik kuralı paralel problem-alanı EİUS rasgele anah. öncelik kuralı paralel problem-alanı 62

72 GA rasgele anah. öncelik kuralı paralel tek nokta çap. Tablo 6:Kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri için meta-sezgisel stratejiler incelemesi Leon ve Ramamoorthy 1, İlk Uyan Stratejisi ve En İyi Uyan Stratejisi yaklaşımlarını ve aynı zamanda Genetik Algoritma yı test etmiştir. Rasgele anahtar gösteriminin problem alanına dayalı versiyonunu kullanmışlardır. Rasgele anahtarlar bir öncelik kuralı ile hesaplanmış değerler ile başlatılır. Paralel çizelge geliştirme planlarının değiştirilmiş bir varyantı şifre çözücü prosedür olarak görev yapar. Birli operatör, problem alanına dayalı komşuluk ile tanımlanır ve tekli bir standart tek nokta çaprazlamadır. 4.6 Diğer Sezgisel Metotlar Kesik Kol ve Sınır Yöntemleri Bazı kısmi çözüm ağaçlarında, ilk-derinlik adı verilen bir atlatma izlemesi kol ve sınır araması kullanılmaktadır. Algoritma, temelde bir paralel çizelgeleme höristiğidir. Faaliyeti, en yüksek öncelik değeri ile çizelgelemekten ziyade, belirli durumlar üzerine dallanmakta ve böylelikle bir kol, en yüksek öncelik değerine sahip faaliyeti almakta, diğeri ise bir sonraki aşamada çizelgelenen ve ikinci en yüksek öncelik değerine sahip 1 Leon, V.J., Ramamoorthy, B., Strength and adabtability of problem-space based neighbourhoods for resource constrained scheduling, OR Spektrum, 1995, C.17, S.2, s

73 olan faaliyeti almaktadır. Fakat paralel çizelge geliştirme planlarının kullanılması dolayısıyla optimal çözüm, arama alanından dışlanabilmektedir. Sıkça kullanılan başka bir yöntem ise, ilk-derinlik araması kol ve sınır prosedürünü, bir zaman sınırı koyarak, bir sezgisel olarak uygulanmasıdır. Bu sayılma süreci, seri çizelge geliştirme planının karar kümesinde yer alan faaliyetler üzerine dallanan, önceden gelen ağacı adı verilen sisteme göre yönlendirilmektedir. Geriye izleme yöntemi ile, önceden gelen açısından uygulanabilir tüm faaliyet listeleri, (açıkça) sayılmaktadır. Arama sürecinin erken safhalarında (ve böylelikle süre sınırları içerisinde) iyi sonuçlar elde etmek üzere, karar kümesinden en umut verici faaliyeti öncelikli dallandırma için seçmek amacıyla, öncelik kuralları uygulanmaktadır Ayırıcı Arka Dayalı Yöntemler Ayırıcı arka dayalı yaklaşımların altındaki temel fikir, ek arklar (ayırıcı arklar), yani minimal yasak kümeler ekleyerek önceden gelen ilişkilerini (birleştirici arklar kümesi) genişletmek, bir başka deyişle, kaynak kısıtlamaları dolayısıyla eş zamanlı olarak çizelgelenemeyen ve teknolojik olarak bağımsız olan faaliyetler yok edilmekte ve böylelikle en erken bitirme zamanlı çizelge, kaynak (önceden gelen faaliyetler) kısıtlamaları açısından uygulanabilir olmaktadır. Shaffer ve meslektaşları 1, kendi kaynak çizelgeleme yöntemi içinde, kapsamı tüm faaliyetlerin en erken bitirme zamanlı çizelge içerisinde aynı zamanda işlendiği yasak 1 Shaffer, L.R., Ritter, J.B., Meyer, W.L., The critical path method, McGraw Hill, New York,

74 kümeler ile sınırlamıştır. Tek batmanın en erken bitirme zamanında küçük bir artış oluşturan ayırıcı ark geliştirilmiş ve en erken biten çizelge, yeniden hesaplanmıştır. Algoritma, kaynak (ve önceden gelen) açısından uygulanabilir ve en erken bitirme zamanlı çizelge bulunduğunda sona ermektedir. Bu yaklaşımın, paralel çizelge geliştirme planlarına dayalı tek geçişli öncelik kuralı yöntemine dönüştürülebilmektedir. Alvarez-Valdés ve Tamarit 1, minimal yasak kümelerin yok edilmesi için dört farklı yol önermektedir. En iyi sonuçlar, aşağıdaki strateji uygulanarak elde edilmiştir. En düşük niceliğe sahip, minimal yasak kümeler ile başlayarak, bir küme rasgele seçilir ve tek boş batmanın en erken bitirme zamanı minimal olan ayırıcı ark eklenerek yok edilir. Daha sonraları bu problem için iki aşamalı bir algoritma getirilmiştir. İlk aşama, Shaffer ve meslektaşlarının yaklaşımına çok benzerdir. Ancak ikinci aşama, birinci aşama tarafından elde edilen uygulanabilir çözümü, aşağıdaki şekilde iyileştirmeye çalışır: artık arklar kaldırıldıktan sonra, kritik yol/yolların bir parçası olan her bir ayırıcı ark, geçici olarak iptal edilmekte ve aşama 1 prosedürü yeniden uygulanmaktadır Diğer Yaklaşımlar Tamsayı çizelgelemeye dayalı sezgisel yönteminde, başlangıçta Pritsker ve meslektaşları 2 tarafından önerilmiş olan tamsayı çizelgeleme formülasyonu kullanılmaktadır. Planlama süresi, her biri eşit uzunlukta T sürelerine bölünmekte ve 1 Alvarez-Valdez, R., Tamarit, J.M., Heuristic Algorithms for resource-constrained Project scheduling: A review and empirical analysis, Advances in project scheduling, s , Elsevier, Amsterdam, Pritsker, A. A. B., Watters, L., Multiproject Scheduling with Limited Resources: A Zero-One Programming Approach, Management Science, 1969, C.16, s

75 işlemleme zamanları p j nin, bir sürenin ayrılmış çarpanları olarak verilmesi gerekmektedir. İkili karar değişkeni, j faaliyetinin t süresi sonunda bitmesi durumunda, x j,t = 1 dir. Yapılan bazı araştırmalarda ise proje sürelerini iyileştirmek için blok yapılar kullanılmaktadır. Paralel çizelgeleme planı ile, uygulanabilir bir çözüm geliştirmekle başlamaktadırlar. Ardından, içerisinde tüm faaliyetlerin tamamını içeren bitişik zaman aralığını temsil eden blokları tanımladılar. Her bir blok, diğer bloklardan bağımsız olarak değerlendirilebilir. Yöntem temelde, projenin genel süresini kısaltmak için, tek tek blokları yeniden çizelgelemektedir. 4.7 Yöntemlerin Değerlendirilmesi: Genel olarak çeşitli araştırmalarda bulunan sonuçlar, en iyi meta-sezgisel stratejilerin, en iyi öncelik kuralına dayalı örnekleme yaklaşımlarını performans açısından katladıklarını göstermektedir. Daha ileri hesaplaması yapılacak olan proje sayısının artırılması, meta-sezgisel sonuçlar açısından, daha güçlü bir üstünlük ile sonuçlanmaktadır. Bunun asıl sebebi, örnekleme prosedürlerinin, daha önceden başvurulan çözümlerden elde edilen herhangi bir bilgiyi dikkate almaksızın, her bir çizelgeyi yeniden geliştirmesi, meta-sezgisel algoritmaların ise, daha önceden değerlendirilmiş olan çizelge/çizelgelerden elde edilen bilgiyi kullanmalarıdır. Meta-sezgisel stratejilerden elde edilen sonuçların karşılaştırması, altta yatan gösterimin seçiminin çok önemli olduğunu göstermektedir. En iyi iki prosedür olan 66

76 Bouleimen ve Lecocq un 1 Simüle edilmiş güçlendirmesı ile Hartmann ın 2 Genetik Algoritma sı incelenecek olursa, Bouleimen ve Lecocq un prosedürleri, 30 aktiviteli bir faaliyet kümesinde en iyi performansı göstermiş olup, Hartmann ın yaklaşımı, daha büyük projeli örnek kümeler üzerinde baskındır 3. Bu iki en iyi yöntem, farklı metasezgisel paradigmalar kullanırken, her ikisi de aynı zamanda faaliyet listesi gösterimini kullanmıştır. Tek başına bir meta-sezgisel paradigmanın kullanılması, her zaman iyi çözümlere ulaştırmamaktadır. Faaliyet listesine dayalı Genetik Algoritma, problem alanına dayalı Genetik Algoritma nın önüne geçmektedir. Öncelik kuralına dayalı örnekleme prosedürlerini analiz ettiğimiz zaman, minimum en geç bitiş zamanı kuralı ile uygulandığında, çizelge geliştirme planlarının güçlü bir etkisi bulunduğunu gözlemlemekteyiz. En kötü boş zaman durumu ve minimum en geç bitiş zamanı kuralları, paralel çizelge geliştirme planları ile uygulandıklarında neredeyse benzer sonuçlar vermektedir. Bağdaşır örnekleme stratejileri her zaman basit örnekleme prosedürlerine baskın çıkmamaktadır. Son olarak, faaliyet listesi gösterimini kullanan meta-sezgisel algoritmaların, en hızlı yaklaşımlar olduğunu belirtmek gerekir. Bunun sebebi, faaliyet listelerinin temelinde yatan seri çizelge geliştirme planları, öncelik değerlerine bağlı olarak seçilebilir kümeyi hesaplamamakta veya bir faaliyeti seçmemektedir. Yapılan araştırmalara göre, mevcut olan en iyi sezgisel, faaliyet listesini kullanan meta-sezgisel stratejilerdir. Probleme özgü bilginin kullanılması, iyi meta-sezgisel 1 Bouleimen, K., Lecocq, H., a.g.e. 2 Hartmann, S., a.g.e. 3 Kolisch, R., Padman, A., a.g.e. 67

77 stratejiler tasarlarken çok önemlidir. Bu, işyeri probleminde olduğu gibi diğer klasik çizelgelemelerde iyi bilinen bir olgudur. Öncelik kuralına dayalı yöntemler, en iyi sonuçları vermemelerine rağmen, pek çok sebepten dolayı çok önemlidir. İlki, çok kısa bir süre içerisinde çok büyük sorun örneklerini çözme konusunda vazgeçilmezlerdir. İkincisi, öncelik kuralına dayalı iyi yöntemler, meta-sezgisel prosedürlere, başlangıç çözümü/çözümleri getirmek için gereklidir. Bu alanda halen çalışmalar sürmektedir. 68

78 5. GENETİK ALGORİTMALAR 5.1 Evrim Teorisi ve Genetik Algoritmanın Gelişimi Evrimsel Doğal Seçicilik Teorisi ve Seçici Adaptasyon Doğadaki bütün türler aynı problemi çözmeye çalışırlar. Hayatta kalma mücadelesi. Bir canlı türü ele alınırsa, bu türün içindeki bütün bireyler aslında birbirlerinden farklıdır. Bireyin genleri özgün olarak şifrelendirilmiştir ve bireyin fiziksel ve davranışsal karakteri ile ilgili parametreleri içerir. Türün her bir üyesi kendi kişisel stratejisini, hayatta kalmaya çalışarak test eder. Stratejileri başarılı olan (üreyebilecek kadar uzun yaşayan) üyeler kendi hayatta kalma stratejilerini bir sonraki nesle aktarırlar. Böylece zamanla, popülasyondaki başarılı stratejiler arttıkça türler hayatta kalma problemini çözmede daha etkili olurlar. Doğal seçme süregelen bir işlem olduğundan türlere hayatta kalma stratejilerini değiştirerek çevredeki değişimlere uyum sağlamalarını sağlayacak bir mekanizma da sağlar. Doğa bu hayatta kalma problemini doğal seçme yöntemi ile çözmektedir. Genetik Algoritma da metod olarak dünyada hayatın devam etmesini sağlayan yolu seçmiştir. Seçici adaptasyon doğal seçme yöntemlerinden türetildiği halde karmaşık problemleri çözmekte çok güçlü ve etkilidir. Özellikle sadece bir tane optimal çözümü olmayan veya en iyi çözümün devamlı olarak değiştiği (örneğin türlerin hayatta kalma problemi) problemlerde bu yöntem kullanılır. Seçici adaptasyon bir problemi çözmek için, önce bir popülasyonluk bir aday çözüm kümesi oluşturur. Bunlar içlerinde çeşitli bilgiler gömülü kromozomlardır. Bir kromozom, genler dizisidir. Bir kromozomun bir 69

79 strateji belirlemesi için, problemin çözümünde karşılaşılabilinecek her durumda izlenecek yol için bir reçeteye ihtiyacı vardır. Genler, verilen herhangi bir senaryo için, bu senaryoyu işlerlerse nelerin yapılacağını anlatan bir değer içerirler. Böylece bir genin ihtiva ettiği değerler kümesi, genin uygulayacağı hareketler kümesine karşılık gelir. Seçici adaptasyon bir problemi deneme yoluyla çözmeye çalışır. Her denemede, bütün stratejiler problemi çözmeye çalışır ve daha başarılı stratejiler üreme yoluyla birleşirler ve ortaya çıkan yeni nesil stratejiler, kendilerini oluşturan stratejilerin parçalarını taşırlar. Bu işlem daha başarılı stratejilerin bilgilerinin nesiller boyunca var olmasını, başarısız stratejilerin ise giderek yok olmasına imkan verir. Bu mekanizma, problem çözmede çok güçlü ve çok basit bir yöntemdir. Seçici adaptasyon vasıtasıyla problem çözmede tek gereken, çözümün kalitesinin bir ölçümüdür. Bu verilen stratejinin probelmi ne kadar iyi çözdüğünün ölçüsüdür Genetik Algoritmanın Tanımı ve Tarihsel Gelişimi Genetik Algoritmalar 1970 lerde Michigan Üniversitesinde John Holland 1 tarafından geliştirilmişlerdir. Holland, Darwin in evrim kuramından etkilenerek canlılarda yaşanan genetik süreci bilgisayar ortamında gerçekleştirmeyi düşünmüştür. Tek bir mekanik yapının öğrenme yeteneğini geliştirmek yerine böyle yapılarda oluşan bir topluluğun çoğalma, çiftleşme, mutasyon, vb. genetik süreçlerden geçerek başarılı (öğrenebilen) yeni bireyler oluşturabildiğini görmüştür. Çalışmalarının sonucunu açıkladığı kitabının 1975 yılında yayınlanmasından sonra geliştirdiği yöntemin adı Genetik Algoritmalar (yada kısaca GA) olarak yerleşmiştir. 1 Holland, H.J., a.g.e. 70

80 Holland, bir dizgi şeklinde elektronik bir organizma (kromozom) yaratmış ve sonra genetik ve evrimsel prensipleri kullanarak (rastgele çaprazlama ve mutasyon da dahil olmak üzere) çok büyük çözüm alanlarını etkin bir şekilde araştırmayı başarabilmiştir. Bilgisayar sistemlerinin giderek artan performans/fiyat ölçüleri bu algoritmayı bazı optimizasyon problemleri için çekici kılmıştır. Genetik Algoritma, bir probleme her seferinde daha iyi çözümler üretmek için evrimsel en uyumlu olanın hayatta kalması felsefesini taklit eden bir yapay zeka sistemidir. Bu evrimsel işlemler çaprazlama, mutasyon ve seçme fonksiyonlarını kapsar. Genetik Algoritma bir problemi çözerken çaprazlama operatörünü kullanarak iki yada daha fazla adımı birleştirip, daha iyi sonuç veren bir adıma ulaşabilir. Mutasyon değişik adımların rastgele sıralanması ve birleştirilmesi işlemlerini uygulayarak sonuçları değerlendirir. Son olarak seçme işlemi ile daha iyi sonuç veren adımlar tutulur ve diğerlerine göre kötü sonuçlar verenler, iyilere yer açmak için Genetik Algoritmadan atılırlar. 71

81 Şekil 8. Genetik Algoritmanın işleyişi 72

82 Genetik Algoritmalar binlerce veya milyonlarca çözümü bulunan ve her bir çözümün dikkatle incelenmesi gerektiği çeşitli karar verme problemlerine çok iyi uyum sağlar. Özellikle iş dünyasında her an bir çok karar verme durumu ile karşı karşıya kalınır. Genetik Algoritmalar bu tür problemler için uygundur çünkü sayısız çözümü keşfetmek ve bunların değerlendirmesini yapmak için çaprazlama, mutasyon ve seçme operatörlerini kullanır. Örneğin US West firması 100,000 civarında bağlantı noktası bulunabilen bir fiber optik ağın optimal konfigürasyonunu belirleyebilmek için Genetik Algoritma kullanmaktadır. Genetik Algoritma seçme, çaprazlama ve mutasyon operatörlerini kullanarak milyonlarca kablo konfigürasyonu üretip değerlendirebilir ve en az kabloyu kullananı seçebilir. US West şirketinde optimal konfigürasyonu bulma işlemi tecrübeli bir dizayn mühendisinin hemen hemen iki ayını alırken, Genetik Algoritma bu problemi iki günde çözebilmekte ve her kullanıldığında, şirketin bir ila on milyon Amerikan Doları arasında tasarruf etmesini sağlamaktadır 1. Genetik Algoritmanın seçme, çaprazlama ve mutasyon operatörlerinin arkasında aslında sofistike bir mantık yoktur. Genetik Algoritmalar bu işlemleri, sayısız çözüm üretip değerlendirebilmek için kullanırlar. Çözümlerin bir çoğu yararsızdır. Örneğin bir Genetik Algoritma ekmek yapmak için kullanılırsa, algoritma bir çözüm yönteminde belki de ekmeği fazla ısıtmaktan dolayı yakacak ve doğal olarak bu çözüm işe yaramayacaktır. Genetik Algoritma bu durumda bu çözümü çözüm popülasyonunun dışına atar ve yeni yöntemler dener. Genetik Algoritma tam olarak belli bir çözüm yolu olmayan veya olsa bile bunun çok zaman aldığı problemlerde kullanılır. Bunlar yerel olarak çoklu ve karmaşık, 1 Begley, S., Software au naturel, Newsweek, 8 Mayıs 1995, s

83 hatta çelişen kısıtlamaları olan ve bu kısıtlamaların hepsine aynı anda uyulması gereken problemler olarak karakterize edilebilir 1. Bu problemlere örnek olarak iş gücü planlaması, dağıtım şebekeleri, ambar ve depolar için en uygun yerlerin bulunması, istatistiki modellemelerin yapılması vb. gösterilebilir. Genetik Algoritmalarda ilk önce birçok rastgele çözüm üretilir. Bu çözümlere ilk popülasyon denir. İlk popülasyondaki çözümler pek iyi değildir. Daha sonra bu çözümler türlerin evrimi teorisine göre çeşitli işlemlere tabi tutulurlar. Bu evrim teorisini taklit eden mekanizma, popülasyondaki çözüm metodlarını genetik kromozom zincirleri olarak kabul edip bunları birbirleriyle eşleştirerek (çaprazlama) ve genleriyle oynayarak (mutasyon) yeni kromozom zincirleri elde eder 2. Üretilen yeni nesillerden bazıları, tamamen rastgele üretilmiş olan ilk popülasyonlardakilerden daha iyi çözümler üretirler. En iyi çözümler popülasyonda kalır ve diğerleri atılır (seçme). Bu işlem popülasyondaki bireylere uygulanmaya devam edildikçe çözümler devamlı olarak iyileşir. Üretilen en iyi çözümleri tutup, kötüleri atmak suretiyle popülasyonu iyileştirme işlemine seçici baskı denir. Genetik Algoritma, üzerinde uğraşılan problemi çözmeye çalışmaktansa, onu sadece seçip en iyi çözümleri elde tutma stratejisini izler 3. Bu yüzden problemin nasıl çözüleceğinin bilinmesine gerek yoktur. Tek yapılması gereken üretilen çözümlerin kalitesini (uyumluluk) net bir şekilde değerlendirebilmektir. 1 Engin, N., Lelebbicioğlu, K. Ünver, Z., Sınama Noktası Yerleştirme Sorunu İçin Bir Genetik Algoritma, TOK 96, Otomatik Kontrol Bilimsel Toplantısı, 1996, İstanbul, s Kandemir, A.A.Leblebicioğlu, K., Ünver, Z., Atlama Noktası Sayısını En Aza İndirme Probleminin Genetik Algoritma ile Çözümü, TOK 96, Otomatik Kontrol Bilimsel Toplantısı, 1996, İstanbul, s Fadıl, S., Tek Bölgeli Enterkonnekte Sistemlerde Optimal Aktif ve Reaktif Güç Dağıtımı Probleminin Genetik Algoritma ile Çözümü, 3e Enerji, Elektrik, Elektromekanik Dergisi, Mart 1998, Sayı 46, Sayfa

84 Bu mekanizmanın mümkün olan en iyi çözüme doğru yöneldiği matematiksel olarak kanıtlanmıştır. Bu yaklaşım bilgisayarlarda yoğun bir işlem gücü gerektirmesine rağmen, problemin nasıl çözüldüğünün bilinmesine gerek olmaması avantajı yüzünden büyük ilgi görmektedir. Örneğin birkaç şehri birleştiren en kısa yol hangisidir sorusunun tam çözümüne ulaşmak için bütün yolları deneyip hepsini birbirleriyle karşılaştırmak gerekir. Bu da herhangi bir gerçek dünya probleminde zaman alacaktır. Genetik Algoritma bu tür bir probleme mükemmel ve hızlı çözümler üretir. Bir Genetik Algoritma kullanabilmek için, problemin çözümünü bir kromozom zinciri gibi gösterebilmek gerekir. Genetik Algoritmaların en önemli üç özelliği şunlardır: 1) Amaç fonksiyonunun tanımı, 2) Genetik gösterimin tanımı ve uygulanması, 3) Genetik operatörlerin tanımı ve uygulanması. Bu tanımlar yapıldıktan sonra Genetik Algoritmalar problem üzerinden uygulanabilir. Çok geniş çözüm alanı olan ve yüksek derece doğrusal olmayan özellikler gösteren bir problemi ele alalım. Diferansiyel denklem temelli bir fonksiyon optimizasyonu gibi geleneksel matematiksel teknikler, iyi tanımlanmış, komplike olmayan ve çözüm alanı küçük olan problemler için etkili olabilir. Fakat doğrusal olmayan davranış orta dereceli bir seviyeye gelse bile bu tekniklerin performansları çok düşer. Çözüm alanı yeterince küçük olursa, en iyi çözüme ulaşmak için yoğun bir uğraş sergilenebilir. Ama bu yöntem, çözüm alanı genişledikçe hiç de pratik olmayan bir hal 75

85 alır. Birçok gerçek dünya probleminin, en iyi bilgisayarların bile makul bir zaman içinde analiz edebilmelerine imkan vermeyecek şekilde çok daha geniş çözüm alanları vardır. Maalesef bu tarz çözüm alanları çok geniş ve doğrusal olmayan davranışlar gösteren problemleri tam olarak çözmek için bir yol yoktur. Fakat yine de bir çok gerçek dünya probleminde bir çözümün kalitesi, problemin bilinen diğer çözümlerine göre değerlendirilir. Bu fikirden yola çıkarak, en iyi çözümün peşinden gitmektense sadece iyi olarak nitelendirilebilecek bir çözümü aramak daha mantıklı olabilir. Burada düşünülmesi gereken, bu iyi çözümü bulmak için nasıl bir metod uygulanması gerektiğidir. Genetik Algoritma ilk olarak verilen problem için rastgele aday çözümler olan ilk popülasyonu yaratır. Sonra her bir tekrarlamada, bütün aday çözümlerin problemi çözmeye çalışmasına izin verir ve aday çözümün problemi ne kadar etkin bir şekilde çözdüğünü ölçmek için her birine bir uyumluluk değeri atar. Bütün aday çözümlerin uyumluluk değerleri atandıktan sonra, Genetik Algoritma o andaki popülasyondan yeni aday çözümler üretir. Genetik Algoritma bu işlemi tekrar ettikçe aday çözümler popülasyonu, problemi çözme yolunda giderek etkinleşir. Bütün popülasyon tek bir çözüme ulaştığında Genetik Algoritma durur. Eğer Genetik Algoritma deneyi iyi tasarlanmış ise, bu çözüm optimal çözüme çok yakın olmalıdır. Pratikte bir Genetik Algoritma deneyi tasarlamaya çalışan bir araştırmacının karşılaştığı en büyük zorluk, sonuçları optimuma yaklaştırabilmektir. Bu, uygun bir popülasyon büyüklüğü, eşleştirme ve uyumluluk ölçümü için uygun stratejiler seçerek mümkün olabilir. Ayrıca kromozom yapısı da genetik algoritmaların en önemli yapıtaşlarından bir tanesidir. 76

86 Bütün bunlara ek olarak bazen deney tasarımcıları, problem hakkında bildikleri herhangi bir bilgiyi yansıtmak için, kullandıkları Genetik Algoritma yazılımlarını da modifiye ederler. Bu modifikasyonlar kromozomdaki genlerin özel bir şekilde dizilmesi, problem hakkında herhangi bir öncelikli bilgiyi yansıtan bir ilk popülasyon veya tasarımcının deneye eklemeye uygun gördüğü herhangi başka bir fikir şeklinde olabilir. 5.2 Permutasyon Temelli Genetik Algoritma Ana Şema Holland 1 tarafından geliştirilen genetik algoritmalar (GA), zor optimizasyon problemlerini çözmek için sezgisel meta stratejilerdirler. Genetik Algoritma öncelikli bir populasyonu hesaplayarak başlar (ilk nesil). Öncelikli popülasyonun POP adet bireyden oluştuğunu varsayarız (POP bir çift tamsayıdır). Bireylerin uyumluluk değerlerini hesapladıktan sonra popülasyon rastgele olarak birey çiftlerine bölünür. Bu şekilde ortaya çıkarılan çift bireye (ebeveyin) iki yeni birey (çocuk) üretmesi için çaprazlama operatörünü uygularız. Ardından bu yeni üretilen çocukların genotiplerine mutasyon operatörü uygulanır. Herbir çocuk bireyin uyumluluğu belirlendikten sonra, çocuk o anki polülasyona katılır ve popülasyonun büyüklüğü 2 * POP olur. Son olarak, popülasyonun büyüklüğünü eski boyutuna indirmek için seçme operatörü kullanılır ve yeni nesil elde edilir. Algoritma daha önceden belirlenmiş sayıda nesil sayısına (GEN) ulaşıldığında veya verilen zaman süresi dolduğunda durur. Böylelikle en fazla POP * GEN sayıda değişik birey (ve ilgili çizelge) hesaplanmış olur. 1 Holland, H.J., a.g.e. 77

87 5.2.2 Bireyler ve Uyumluluk İlk izlenen Genetik Algoritma değişkeninde, I bireyi j I 1,., j I J dizisiyle gösterilir. Bu iş dizisinin öncelik sırasına uygun olduğu varsayılır. Yani, i = 1,.,J için { j I 1,., j I J }={1,,J} ve I P J i {0, j I 1,.j I i-1} dir. Her genotip, şu seri çizelgeleme şeması ile hesaplanan bir özgün belirlenen çizelge (phenotype) ile ilişkilidir : İlk olarak kukla aktivite 0 zamanında başlar. Ardından j I 1,,j I J dizisiyle belirlenen aktiviteler çizelgelenir. Böylece bütün aktivitiler mümkün olan en erken başlama zamanında başlar. I bireyinin uyumluluğu ilgili çizelgenin tamamlanma zamanı (makespan) olur. Şekil 5 de bir proje örneği ve şekil 2(a) da da bir birey görülüyor. Yukarıda anlatılan seri çizelgeleme prosedürünü uyguladığımız zaman Şekil 6 daki çizelgeyi elde edebiliriz. Bireyin uyumluluğu 13 tür. İlk popülasyon söyle hesaplanır: Boş bir iş dizisiyle başlayarak, şu adımı tekrar tekrar uygulamak suretiyle öncelik kurallarına uygun bir iş dizisi elde edebiliriz: İş dizisindeki bir sonraki aktivite, daha önce seçilmemiş olan aktivitelerden biri rastgele seçilerek bulunur. Dikkat edilmelidir ki, her birey kendine özgü bir çizelge ile ilişkilendirilebilse de, bir çizelge birden çok bireyle ilişkilendirilebilir. Diğer bir değişle, genotipler aranırken aynı çizelgeye birden fazla genotip ilişkilendirmek gibi tekrarlar ortaya çıkabilir. Yeniden örneğimize bakarsak iş akışında 1 ve 6. aktivitelerin yerlerini değiştirdiğimizde yeni bir genotip buluruz ama iki genotip de şekil 6 teki çizelgeyle ilişkilidir. 78

88 (a) permutasyon (b) öncelik değeri Tablo 7. Örnek bireyler Çaprazlama Bu genetik şifre değiştirme algoritmasında 3 değişik çaprazlama değişkenini dikkate alacağız. İlk çaprazlama operatörü bir-nokta çaprazlamadır.çaprazlama için bir anne M, ve bir baba F olmak üzere iki birey seçilir. Ardından rastgele bir q tamsayısı bulunur, J > q 1. Bundan sonra iki yeni birey, D, kız çocuk ve S, erkek çocuk ebeveyin bireylerden oluşur. İlk olarak şu şekilde tanımlanan D yi dikkate alacağız: D nin iş akışında i=1,...,q anneden şeçilir; j D i = j M i. D nin iş akışında i=q+1,...,j ye kadar olan pozisyonlar da babadan alınır. Fakat anneden alınmış olan işler burada yeniden dikkate alınmamalıdır. Böylece, j D i := j F k (k en düşük endekstir, şöyle ki; j F k {j D 1,...,j D i-1}). Sonuç olarak ebeveyinlerin iş akışlarının göreceli pozisyonları korunmuş olur. Bu tanım, ortaya çıkan iş akışında her aktivitenin tam olarak sadece bir kere ortaya çıkmasını sağlasa da aşağıdaki teori öncelik kuralının da sağlandığını gösterir. Bu noktada şu teorinin doğruluğu kanıtlanmalıdır: Bir-nokta çaprazlama operatörü öncelik kuralına uygun ebeveyin bireylere uygulandığında oluşan genotip öncelik kuralına uygun olur. 79

89 Bu teorinin geçerliliğini kanıtlamak için uygulanması gereken yol aşağıdaki gibidir: M ve F ebeveyinlerinin öncelik kurallarına uygun bireyler olduğunu düşünelim.varsayıyoruz ki çaprazlama operatorü ile bulunan çocuk birey D öncelik kuralına uygun değildir. Şöyle ki; j D i ve j D k iki aktivitedir ve1 i < k ve j D k P D ji dir. Üç durumda bu teoriyi inceleyebiliriz : Durum 1: i,k q dur. Böylece M nin iş dizilişinde j D i aktivitesi j D k aktivitesinden öncedir ve bu durum M nin öncelik kuralına uygunluğuna ters düşer. Durum 2: i,k > q dur. Çaprazlama operatörü tarafından göreceli pozisyonlar korunduğundan F nin iş dizilişinde j D i aktivitesi j D k aktivitesinden öncedir ve bu durum F nin öncelik kuralına uygunluğuna ters düşer. Durum 3: i q ve k > q dur. Böylece M nin iş dizilişinde j D i aktivitesi j D k aktivitesinden öncedir ve bu durum yine M nin öncelik kuralına uygunluğuna ters düşer. Bireyler M ve F nin diğer çocukları S de benzer şekilde hesaplanır. Ancak, 1,...,q arası pozisyonlar bu sefer babadan, diğer pozisyonlar da anneden alınır. Teori 1, hem D hem de S bireyleri için geçerlidir. İkinci çaprazlama operatörü bir-nokta değişkeninin bir uzantısıdır ve iki-nokta çaprazlama olarak belirtilir. Burada q 1 ve q 2 adlı iki rastgele tamsayı seçilir (1 q 1 < q 2 J). Burada çocuk birey D nin iş akışında i=1,..., q 1 anneden seçilir; j D i := j M i. D nin iş 80

90 akışında i= q 1 +1,..., q 2 ye kadar olan pozisyonlar da babadan alınır. Fakat anneden alınmış olan işler burada yeniden dikkate alınmamalıdır. Böylece, j D i := j F k (k en düşük endekstir, şöyle ki; j F k {j D 1,...,j D i-1}). Geri kalan i= q 2 +1,..., J ye kadar olan pozisyonlar da yine anneden alınır; j D i := j M k (k en düşük endekstir, şöyle ki ; j M k {j D 1,...,j D i-1}). Diğer çocuk olan S bireyi de benzer şekilde bulunur fakat ilk ve son kısım babadan ikinci kısım ise anneden alınır. Teori 1 iki-nokta çaprazlamaya da kolayca uygulanabilir. Ayrıca iki-nokta çaprazlamanın özel bir durumu q 2 = J olursa meydana gelir ve bu durumda bir-nokta çaprazlama elde etmiş oluruz. Üçüncü çaprazlama tipi düzgün çaprazlama olarak adlandırılır. Burada kız çocuk D şu şekilde belirlenir: Bir rastgele sayı dizisi p i {0,1}, i = 1,...,J belirlenir. i = 1,...,J nin her bir pozisyonu için aktiviteyi anneden alırız. Eğer p i = 1 ise, j D i := j M k, k en düşük endekstir, şöyle ki; j M k {j D 1,...,j D i-1}. Eğer p i = 0 ise,aktivite babanın iş akışından alınır: j D i := j F k, k en düşük endekstir, şöyle ki; j F k {j D 1,...,j D i-1}. 81

91 Erkek çocuk S yine benzer şekilde hesaplanır fakat p i = 1 ise i. işi babadan değilse anneden alır. Burada dikkati çeken konu düzgün çaprazlamanın iki-nokta değişkenini genellediğidir. i {1,..., q 1,q 2 + 1,...J} için p i yi 1 e sabitlersek ve i {q 1 + 1,...,q 2 } için p i yi 0 a sabitlersek iki-nokta çaprazlamanın tanımına döneriz. Teori 1 i kullanarak yine söyleyebiliriz ki, düzgün çaprazlama öncelik kuralına uygun çocuklar üretir Mutasyon Verilen bir I bireyinin iş akışını mutasyon operatörü şu şekilde değiştirir: i=1,...,j pozisyonlarının tümü için, eğer sonuç öncelik kuralını bozmayan bir iş akışı yaratıyorsa, j I i ve j I i+1 aktiviteleri p mutasyon olasılığı ile yer değiştirilir. Mutasyon operatörü çaprazlama operatörü ile üretilemeyen iş akışları üretir. Ama bir birey üzerinde mutasyon yaptırmak onun çizelgesinin değişeceği anlamına gelmez. Bu genetik gösterimdeki mükerrerlikten ileri gelir. Örneğin aynı başlama zamanına sahip iki aktivitenin yerlerini değiştirmek bireyi değiştirir ama ilgili çizelge yine aynı kalır Seçme Burada dört adet seçme operatöründen bahsedilecektir. İlki basit bir sıralama metodudur: POP u en iyi bireyler kalır, diğerleri popülasyondan atılır. İkinci metot, oranlı seçimdir ve az önce anlatılan sıralama tekniğinin rastgele haline getirilmiş halidir. f(i) I bireyinin fitnessi ve P de şimdiki populasyon olsun(yani 82

92 bireyler listesi). Şu olasılığı kullanarak bireyleri populasyondan atmak suretiyle orijinal popülasyon büyüklüğüne ulaşırız: Populasyondaki en iyi uyumluluk f en iyi = min {f(i) I P } ise bir I bireyinin ölme olasılığı aşağıdaki gibidir: P ölüm (I) = (f(i) - f en iyi + 1) 2 ) / ( Σ I P (f(i ) f en iyi + 1) 2 ) Ardından turnuva metotunun iki metotunu dikkate alacağız. 2-turnuvalı seçme metotunda iki değişik rastgele seçilmiş I 1 ve I 2 bireyleri hayatta kalmak için rekabet ederler. Eğer I 1 bireyi I 2 bireyinden daha iyi değilse (f(i 1 ) f(i 2 )), ölür ve popülasyondan atılır. Bu işlem POP tane birey kalana kadar devam eder. Son olarak 3-turnavalı seçme metotunda ise üç değişik I 1, I 2 ve I 3 bireyleri rastgele seçilir. Eğer f(i 1 ) f(i 2 ) ve f(i 1 ) f(i 3 ) durumları varsa I 1 bireyi populasyondan atılır. Bu işlem yine POP tane birey kalana kadar devam eder. 5.3 Öncelik Değerini Temel Alan Genetik Algoritma Bu bölümde öncelik değerini temel alan Genetik Algoritmadan bahsedilecektir. Bu algoritma Lee ve Kim 1 tarafından geliştirilen ve kendi kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemlerini çözmeleri için kullandıkları bir genetik algoritma türüdür. Permütasyon temelli genetik algoritmada kullanılan ana genetik algoritma şeması bu modelde de kullanılacaktır. Ayrıca yine permütasyon temelli genetik algoritmada kullanılan seçme metotları da kullanılacaktır. Aşağıda öncelik değerini temel alan 1 Lee, J.K., Kim, Y.D., Search heuristics for resource constrained project scheduling, Journal of the Operations Research Society, 1996, C.47, s

93 genetik algoritma ve bu modelle ilişkilendirilen çaprazlama ve mutasyon metotları anlatılacaktır Bireyler ve uyumluluk: Bu genetik algoritma yaklaşımında bir birey I = pv 1 I,,pv J I öncelik değerleri dizisi şeklinde gösterilmiştir. Her bir aktivite j = 1,,J nin öncelik değeri için pv I j [0,1] dir. Bu çeşit kodlama Lee ve Kim inki ile aynıdır. Fakat onların, bireyle ilişkilendirilecek olan çizelgeyi paralel çizelgeleme metotuyla göstermeleri yaklaşımının aksine burada permutasyon temelli genetik algoritmada kullanılan seri çizelgeleme metotu kullanılacaktır. Zira Kolisch 1 seri çizelgeleme metotunun, bir proje için çok fazla sayıda çizelge hesaplanması gerektiği zaman daha iyi sonuçlar verdiğini kanıtlamıştır. Bunun sebebi, paralel çizelgeleme metotu kullanırken bütün optimal çözümlerin problem dışına atılma ihtimali olmasından kaynaklanmaktadır. Oysa ki seri çizelgeleme metotu her zaman bir optimal çizelgeyi bünyesinde bulundurur. Böylece I bireyi için çizelge şu şekilde hesaplanır: 0 zamanında kukla faaliyeti başlattıktan sonra uygun aktiviteler (EJ) belirlenir. Uygun aktiviteler, öncel faaliyetleri çoktan çizelgelenmiş aktivitelerdir. Ardından en yüksek öncelik değeri pv I 1 = max {pv I i i EJ} bulunan uygun faaliyet önceli olma ve kaynak kısıtlamaları kurallarını çiğnemeden çizelgeye yerleştirilir. Bu şekilde bütün faaliyetler çizelgeye yerleştirilir ve böylece uygulanabilir bir çizelge elde edilir. Yine, bireyin uyumluluğu ilgili çizelgenin makespani 1 Kolisch, R., Efficient priority rules for the resource-constrained Project scheduling problem, Journal of Operations Management, 1996, C.14, S.3, s

94 olarak tanımlanmıştır. Şekil 5 teki örneğe tekrar bakılırsa Şekil 2(b) deki örnek birey ve Şekil 3 te de ilgili çizelgesi görülebilir. İlk popülasyonun her I bireyi, her aktivite j = 1,,J için düzgün dağılım ile rastgele bir öncelik değeri, pv I J [0,1] çekilerek belirlenir. Permutasyon temelini alan kodlamada olduğu gibi, öncelik değerini temel alan I genetik algoritmada da tekrarlamalar olabilir. Yine Şekil 2(b) bakılacak olursa, eğer pv 2 değerine 0.64 yerine 0.93 verirsek değişik bir birey elde ederiz. Fakat her iki birey de yine Şekil 3 teki aynı çizelgeyi verecektir Çaprazlama Bu kodlama bize standart çaprazlama operatörlerini uygulama imkanı verir. Yine çaprazlama için iki birey seçilir; bir anne M ve bir baba F. Bunların birleşmesinden 2 çocuk birey hesaplanacaktır. Aşağıda sadece kız çocuk D tanımlanacaktır. Yine permütasyon temelli gösterimde olduğu gibi oğlan çocuk S, kız çocuğun tanımına benzer şekilde hesaplanır. Bir-nokta çaprazlama için, 1 q < J şeklinde tanımlaması olan bir q tamsayısı rastgele çekilir.kız çocuk D nin ilk q pozisyonları anneden, geri kalalar ise babadan alınır. Her bir i = 1,,J için ; pv M i, eğer i {1,,q} pv i D = { } dir. pv i F, eğer i {1,,q} 85

95 Permütasyon temelli kodlamaya benzer olarak, iki-noktalı çaprazlama operatöründe bir-noktalı operatöre ek olarak bir değişken daha getirilmiştir. 1 q 1 < q 2 < J şeklinde tanımlanan q 1 ve q 2 değerleri rastgele seçilir ve her bir i = 1,,J için pv i M, eğer i {1,, q 1 } pv i D = { pv i F, eğer i { q 1 + 1,, q 2 } } dir. pv i M, eğer i { q 2 + 1,,J} Son olarak düzgün çaprazlama operatöründe i = 1,,J için p i {0,1} olan bir rastgele sayılar dizisi çekilir. Sonra her bir i = 1,,J için eğer p i = 1 ise, pv i M pv i D = { } dir. değilse, pv i F Mutasyon Öncelik değerini temel alan genetik algoritma için mutasyon şu şekildedir: Verilen bir I bireyi için ilgili öncelik değişkeni dizisi şu şekilde değiştirilir : Her bir i = 1,,J pozisyonu için yeni bir öncelik değeri, pv I i [0,1] p mutasyon olasılık değeri ile seçilir.açık olarak söylenebilir ki, sonuç her zaman için bir uygun öncelik değeri dizisidir. Mutasyon operatörü doğal olarak populasyonda daha önce yaratılmamış öncelik değerleri yaratır. Ama yine de daha önce sözü edilen tekrarlama durumu yüzünden zaten var olan çizelgeler de ortaya çıkabilir. 86

96 5.4 Karşılaştırmalar ve Sonuçları Deney Parametreleri Bu bölümde daha önceki bölümlerde anlatılan genetik algoritmaların sonuçları tartışılacaktır. Deneyler Celeron 1.7 Ghz işlemcili ve 256MB belleği olan bir kişisel bilgisayarda yapılmıştır. Bu amaçla bir bilgisayar programı kullanılmıştır. Bu bilgisayar programının ayrıntılı açıklaması ekte yapılmıştır. Programın kodlaması Visual Basic.Net ortamında bilgisayar programı ile yapılmış ve Windows 2000 işletim sisteminde denenmiştir. Karşılaştırma için kullanılan problemde 30 faaliyet bulunmaktadır. Bu 30 faaliyetin hiç biri kukla faaliyet değildir. Yenilenebilir kaynak sayısı 4 tür. Bu problem ekte ayrıntılı olarak gösterilmiştir. 30 faaliyetli problem, kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemleri arasında en zor olanlardan bir tanesidir. Optimal çözümü bilinmektedir Genetik Algoritmaların Düzenlenmesi Genetik Algoritmaların başarılı olabilmesi için, gerekli genetik operatörlerin ve parametre ilişkilerinin iyi seçilmesi gerekmektedir 2. Aşağıdaki tabloda permutasyon temelli genetik algoritma kullanılarak en iyi genetik algoritma kombinasyonu bulunmaya çalışılmıştır. Diğer genetik algoritma yaklaşımları kullanılmamıştır çünkü sonuçları birbirlerine çok benzerdir. Her bir örnek için 1000 çizelge hesaplanmıştır. 1 Demeulemeester, E., Herroelen, W., A Branch And Bound Procedure For The Multiple Resource- Constrained Project Scheduling Problem, Management Science, 1992, C.38, s Durgut, İ., Leblebicioğlu, K., Doğal Gaz Ağlarının Optimum Tasarımında Simulated Annealing ve Genetik Algoritmalarının Uygulanması ve Karşılaştırılması, TOK 96, Otomatik Kontrol Bilimsel Toplantısı, 1996, İstanbul, s

97 Tablo 8 de sonuçların optimum çözümden ortalama ve maksimum sapmayı ve optimal çözüme ulaşılabilen çizelgelerin yüzdesi verilmiştir. Bunlara ek olarak, algoritmaların bilgisayar programı kullanılarak çözümü sırasında aldıkları zaman da tabloda verilmiştir. Sezgisel metotların optimum çözümler karşısındaki en önemli avantajları kısa zamanda işe yarar bir sonuç alabilmeleri olduğundan bu bilgi de algoritmalar karşılaştırılırken dikkate alınmalıdır. Sapma P mut. Çaprazlama Seçme (Ort. Maks) Opt. CPU(sn) 0.01 tek-noktalı sıralamalı 0.73% 9.8% 76.5% tek-noktalı 2 li turnuva 0.79% 9.8% 76.5% tek-noktalı 3 lü turnuva 0.65% 8.5% 77.0% iki-noktalı sıralamalı 0.64% 9.7% 77.5% iki-noktalı 2 li turnuva 0.70% 9.5% 78.0% iki-noktalı 3 lü turnuva 0.66% 8.0% 77.5% düzgün sıralamalı 0.78% 9.5% 77.0% düzgün 2 li turnuva 0.71% 9.0% 76.0% düzgün 3 lü turnuva 0.72% 9.1% 78.2% tek-noktalı sıralamalı 0.65% 9.7% 77.5% tek-noktalı 2 li turnuva 0.74% 9.3% 78.5% tek-noktalı 3 lü turnuva 0.59% 7.3% 79.0% iki-noktalı sıralamalı 0.54% 7.9% 81.5%

98 0.05 iki-noktalı 2 li turnuva 0.63% 9.3% 79.0% iki-noktalı 3 lü turnuva 0.59% 7.3% 80.9% düzgün sıralamalı 0.66% 8.6% 79.6% düzgün 2 li turnuva 0.67% 8.5% 77.5% düzgün 3 lü turnuva 0.64% 8.4% 80.5% tek-noktalı sıralamalı 0.65% 9.9% 76.5% tek-noktalı 2 li turnuva 0.76% 9.7% 78.5% tek-noktalı 3 lü turnuva 0.63% 7.5% 77.5% iki-noktalı sıralamalı 0.56% 8.6% 80.4% iki-noktalı 2 li turnuva 0.66% 9.5% 77.5% iki-noktalı 3 lü turnuva 0.61% 7.7% 76.5% düzgün sıralamalı 0.66% 8.7% 77.0% düzgün 2 li turnuva 0.68% 8.9% 78.5% düzgün 3 lü turnuva 0.68% 8.7% 78.0% tek-noktalı sıralamalı 0.70% 9.6% 74.0% tek-noktalı 2 li turnuva 0.77% 9.9% 75.5% tek-noktalı 3 lü turnuva 0.63% 8.5% 77.5% iki-noktalı sıralamalı 0.58% 8.9% 80.0% iki-noktalı 2 li turnuva 0.65% 9.7% 78.5% iki-noktalı 3 lü turnuva 0.64% 8.0% 79.5% düzgün sıralamalı 0.70% 9.3% 74.5% düzgün 2 li turnuva 0.70% 9.2% 75.1% düzgün 3 lü turnuva 0.67% 9.3% 78.0%

99 0.20 tek-noktalı sıralamalı 0.71% 9.8% 72.5% tek-noktalı 2 li turnuva 0.77% 9.7% 73.2% tek-noktalı 3 lü turnuva 0.64% 8.3% 74.5% iki-noktalı sıralamalı 0.60% 8.5% 77.5% iki-noktalı 2 li turnuva 0.69% 9.9% 71.5% iki-noktalı 3 lü turnuva 0.65% 8.0% 76.2% düzgün sıralamalı 0.71% 9.1% 77.5% düzgün 2 li turnuva 0.72% 8.6% 72.5% düzgün 3 lü turnuva 0.70% 9.0% 72.5% 198 Tablo 8. Genetik algoritmada kullanılan alternatif metotlar permutasyon temelli algoritma, 1000 çizelge, J=30 Tablo 8 de 0.01 ve 0.20 arası mutasyon olasılıkları arasında bütün genetik algoritma kombinasyonları 1000 er çizelge için karşılaştırılmıştır.mutasyon olasılığı olarak 0.20 den daha büyük bir rakam kullanılmamıştır çünkü mutasyon değeri 0.20 den büyük değerler aldıkça sonuçlar daha kötüye gitme eğilimi göstermiştir. Mutasyon olasılığı olarak 0.05 en iyi olasılık değeri olarak göze çarpmaktadır. Olasılık değeri 0.05 den uzaklaştıkça (aşağı veya yukarı yönde) sonuçlar kötüye doğru gitme eğilimi göstermektedir. Bunun sebebi şudur: Mutasyon operatörü değiştireceği bireyin bitiş zamanını iyileştirmek için bir katkı sağlamaz. Sadece bireyler arasında varyasyonu artırmak yoluyla uyumluluğu artırmayı hedefler. Bu yüzden mutasyon,ele 90

100 aldığı çizelgenin (bireyin) bitiş zamanını dikkate almaz. Mutasyona uğrayan bir bireyin proje tamamlanma zamanı (uyumluluğu) bu yüzden değişime uğramazdan öncesine göre kötüleşedebilir, iyileşedebilir. Örneğin, optimum bitiş zamanını yakalamış bir çizelge mutasyona uğradıktan sonra bitiş zamanı kötüleşebilir veya optimumdan nispeten uzak bir bitiş zamanı olan bir çizelge de optimum bitiş zamanını yakalayabilir. Bu açıdan bakıldığında mutasyon yapmanın her zaman riski olduğu söylenebilir. Ayrıca mutasyon operatörü konusunda dikkate alınması gereken bir diğer nokta, olasılık değeri arttıkça çözüme ulasşılana kadar geçen süre de artmaktadır. Bunun sebebi mutasyon olasılığı arttıkça, mutasyona uğrayan birey sayısı da artmakta, hiç değişime uğramadan bu aşamayı geçen birey sayısı azalmakatadır. Mutasyon operatörünü kullanan birey sayısı arttıkça da sonuca ulaşmak için geçen zaman artmaktadır. Çaprazlama operatörlerini incelediğimiz zaman iki noktalı çaprazlama stratejisinin diğerlerine üstün geldiği rahatça görülebilir. Buradan iki noktalı çaprazlama metotunun baba bireyin uyumluluğuna katkıda bulunan yapı taşlarını alabildiği anlaşılmaktadır. Düzgün çaprazlama metodu ise aksine, ardışıklık problemlerine iyi uymamaktadır. İki noktalı çaprazlama metodu, tek noktalı çaprazlamanın daha geliştirilmiş bir şeklidir. Ebeveyin bireyleri tek nokta yerine iki noktadan birden bölmek daha iyi sonuçlara ulaşmaya imkan vermektedir. Bu durum göstermektedir ki çok daha büyük problemler için ikiden daha fazla noktadan bölme daha da iyi işe yarayabilir. Seçme stratejileri arasında ise sıralamalı seçme stratejisi en iyi performansı vermektedir. Rastlantısal metotları kullanan seçme operatörleri hem daha kötü performanslar vermekte, hem de daha uzun sürmektedirler. Rastlantısal seçme operatörleri iki veya üç bireyi birbirleriyle karşılaştırıp birini elerler. Eğer 91

101 karşılaştırdıkları bireylerin hepsi de optimum çözüme ulaşmış bireyler ise mutlaka optimum çözümlerden biri elenecektir. Bu da bireyler arasında optimuma ulaşmış çözüm sayısını azaltır. Fakat sıralamalı seçme operatörü popülasyon sayısını eski boyutuna indirirken mutlaka en iyi çözümleri alır ve kötü olanları eler. Bu açıdan sıralamalı seçme operatörü diğerlerinden daha avantajlı gözükmektedir. Rastlantısal seçme operatörlerini gözlemlediğimiz zaman rahatça farkedilebilir ki, üçlü turnuva seçme stratejisi dikkate değer bir şekilde diğrelerinden daha fazla zaman almaktadır. Bunun da sebebi şudur: Rastlantısal operatör bir bireyi rastlantısal olarak alır ve rastlantısal olarak seçtiği başka iki bireyle karşılaştırır. Eğer ilk seçtiği bireyin uyumluluğu (proje bitim zamanı) diğerlerinden daha kötüyse bu bireyi eler. Fakat daha iyi bir uyumluluğa sahipse diğer iki birey birden elenemeyeceğinden bu algoritma sil baştan yeniden yapılır ve yeniden rastlantısal olarak bireyler seçilir. Bu da zaman kaybettirici bir olaydır. Rastlantısal seçme stratejisi ise sadece çok daha fazla birey olursa avantajlı gözükmektedir. Tablo8 incelendiğinde, açıkça görülebildiği gibi kombinasyonlar arasında 0,05 mutasyon olasılığı, 2 noktalı çaprazlama stratejisi ve seçme aşaması için sıralama metotu en iyi performansı sergilemektedir. Tablo 9 da popülasyon büyüklüğünün etkisi gözlemlenmeye çalışılmıştır. Burada 1000 çizelge için çeşitli popülasyon ve nesil varyasyonları denenmiştir. Tablo 8 de bulunan sonuçlar doğrultusunda, tablo 9 da yaratılan bütün çizelgeler için, mutasyon olasılığı olarak 0.05, çaprazlama operatörü olarak iki noktalı ve seçme operatörü olarak sıralamalı seçme kullanılmıştır. 92

102 Tablo 9 göstermektedir ki 1000 çizelge (birey) hesaplanırken popülasyon büyüklüğü olarak 40 ve nesil sayısı olarak 25 en iyi parametre ilişkisidir. POP GEN Ortalama sap. Maksimum sap. Optimum CPU(sn) % 11.1% 80.8% % 7.9% 81.5% % 9.2% 76.5% 110 çizelge, J=30 Tablo 9. Popülasyon büyüklüğünün etkisi - permutasyon temelli algoritma, Yaklaşımların Karşılaştırılması Bu bölümdeki hesaplamalarda bir önceki bölümde belirlenen kombinasyon kullanılarak permutasyon temelli ve öncelik değerini temel alan genetik algoritmalar karşılaştırılacaktır. Mutasyon değeri olarak 0.05, çaprazlama metotu olarak iki noktalı çaprazlama ve seçme stratejisi olarak sıralamalı seçme kullanılacaktır. Popülasyon büyüklüğü ve jenerasyon sayıları arasındaki ilişki yukarıda verildiği gibi 40 ve 25 olacaktır. 93

103 Genetik Algoritma Ortalama sap. Maks. sap. Opt. CPU(sn) Permutasyon 0.54 % 7.9 % 81.5 % 110 Öncelik değeri 1.03 % 10.8 % 70.6% 122 Tablo10. Genetik algoritmaların karşılaştırılması 1000 çizelge, J = 30 Tablo 10 da yine 30 aktiviteli problem ile 1000 çizelge oluşturularak hazırlanan sonuçlar bulunmaktadır. Sonuçların optimum çözümden ortalama ve maksimum sapmayı ve optimal çözüme ulaşılabilen çizelgelerin yüzdesi verilmiştir. Görülmektedir ki permütasyon temelli genetik algoritma, öncelik değerini kullanan genetik algoritmadan daha iyi çözümler vermektedir. İkinci olarak bu iki yaklaşımın genetik algoritmalardaki uygulamalara ne kadar uygun olduğu durumu incelenecektir. Belirli bir faaliyet serisinde kullanmak için iki metot vardır: Birincisi, rastgele olarak belli sayıda çizelge üretilir (örneğin 1000), ve bu çizelgeler arasından en iyisi seçilir. İkinci olarak rastgele olarak daha az sayıda çizelge üretilebilir (örneğin 40), ardından genetik algoritma metotları belli sayıda jenerasyon (örneğin 25) yaratmak için uygulanabilir. İlk söylenen metot 1000 popülasyonlu ve tek jenerasyonlu bir genetik algoritma olarak görülebilir. Ama buradaki jenerasyon ilk populasyon olacağından genetik algoritma metotları tatbik edilmemektedir. Bu yaklaşım ile varılan sonuçlar Tablo 11 de görülmektedir. Bu sonuçları Tablo 10 ile karşılaştırdığımız zaman görülebilir ki gerçek genetik algoritmalar açık olarak 94

104 diğerlerinden daha iyi performans göstermektedir. Buradan da anlaşılacağı üzere 1000 adet çizelgeyi bir seferde hesaplamaktansa 40 çizelge yaratıp bunları 25 kere iyileştirmek daha iyi sonuçlar vermektedir. Metot Ort. sap. Maks. sap Opt. CPU(sn) Permutasyon 0.82 % 8.1 % 76.5 % 146 Öncelik değeri 1.69 % 15.9 % 66.9 % 131 J = 30 Tablo 11. Rastgele yöntemlerde şifre çözücülerin karşılaştırılması çizelge, Bu noktaya kadar algoritmaları incelerken çizelge sayısı sabit tutulmuştur. Fakat sonuçlardaki hesaplama zamanları farklıdır. Gerçek problemlerde sezgisel prosedürler kullanılırken önemli olan iyi çizelgeleri uygun bir zaman içinde elde etmektir. Bu yüzden bu iki Genetik Algoritma stratejisi zaman sınırları kullanılarak ama çizelge sayılarını sınırlamadan yeniden test edilmişlerdir. Metot 200 sn. 400 sn. 800 sn sn. Permutasyon 0.71% 0.45% 0.37 % 0.24 % Öncelik değeri 1.16 % 0.88 % 0.69 % 0.54 % Tablo 12. Zaman sınırına göre ortalama sapmalar - J = 30 95

105 Tablo 12 da 30 faaliyetli örnekten elde edilen sonuçlar yer almaktadır. Bunlar optimum sonuçtan ortalama sapmalardır. Permütasyon temelli Genetik Algoritma bütün zaman limitlerinde yine en iyi sonuçları vermiştir. Rahatlıkla gözlemlenebilir ki permütasyon temelli algoritma öncelik değerini temel alan algortimadan ilk zaman dilimi olan 200 saniyede yaklaşık bir buçuk kat daha düşükken zaman limiti 1000 saniye olduğunda bu fark yaklaşık iki buçuk katına çıkmıştır. Bu, permütasyon temelli algoritmanın sadece daha küçük zaman dilimlerinde değil aynı zamanda hesaplama zamanı artırıldığında dahi en iyi algoritma olduğunu göstermektedir. 96

106 6. SONUÇLAR Klasik kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelendirilmesi probleminde projenin faaliyetleri, proje tamamlanma zamanını en aza indirecek şekilde çizelgelendirilmelidir. Bu problem proje yönetimi yazılımlarında ve üretim planlama ve çizelgeleme sistemlerinde daha çok ortaya çıkar. Var olan en iyi tam çözüm algoritmaları dahi, şu anda 60 aktiviteden fazla aktivitesi bulunan projeler için optimal çizelgeler üretemezler. Bu yüzden pratikte optimale yakın çizelgeler üretmeleri için sezgisel algoritmalar araştırmacıların özel ilgi alanındadır. Araştırmacılar daha iyi çözümlere ulaşabilecek sezgisel algoritmalar ortaya çıkarmak için yoğun olarak çalışmaktadırlar. Son yıllarda Genetik Algoritmalar üretimin pek çok alanında bir çeşit sezgisel yöntem olarak kullanılmaya başlanmıştır. Yerleşim planlama, süreç planlama ve hat dengeleme, Genetik Algoritmaların şimdiden popüler olduğu alanlardır. Genetik Algoritmalar geleneksel sezgisel yöntemlerden daha etkili ve problemin zorlamalarında ve çözüm yaklaşımında yapılacak önemli değişiklikleri, programda yapılacak küçük değişikliklerle halledebildiklerinden dolayı da daha esnektirler. Bu sebeple Genetik Algoritmalar hem araştırmacıların hem de pratsiyenlerin ilgisini çekmektedir. Bu çalışmada klasik kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi metodunu çözmek üzere genetik algoritma metotları anlatılmıştır. Gösterim, öncellik kurallarına uygun bir faaliyetler kümesini temel almaktadır. Faaliyet dizileri, seri çizelgeleme şeması kullanılarak çizelgeler haline getirilmiştir. İlk popülasyon rastgele bir şekilde ama kaynak kısıtlamaları ve öncellik kuralları göz önüne alınarak bulunmuştur. Genetik Algoritma stratejileri arasında en uygun olanını bulmak için çeşitli denemeler yapılmıştır. Bu 97

107 denemelerde performans ölçütleri olarak optimum çözümden ortalama sapma, optimum çözümden maksimum sapma, optimum çözüme ulaşma yüzdesi ve sonuca ulaşırken harcanan zaman kullanılmıştır. Sezgisel metotlar kısa zaman içince uygun sonuçlar alınması için kullanıldıklarından bu performans ölçütlerinin uygun olduğu açıktır. Alınan sonuçlara bakıldığı zaman, alternatif genetik algoritmalar arasında permutasyon temelli algoritma, öncelik değerini temel alan algoritmaya üstün gelmiştir. Çaprazlama metotları arasında iki noktalı çaprazlama, seçme metotları arasında sıralamalı seçme ve mutasyon olasılığı olarak 0.05 en iyi performansı veren stratejiler olarak bulunmuştur. Bu metodların neden diğerlerine daha üstün geldikleri Bölüm te anlatılmıştır. Bu sonuçlar Genetik Algoritmanın gerçek dünya problemlerine uygulanmasının mümkün olduğunu göstermektedir. Bu araştırmadaki hesaplamalar sonucu permutasyon temelli genetik algoritmanın her çeşit kısıtlı kaynaklı proje çizelgelendirme probleminde hızlı ve optimale yakın sonuçlar verdiği görülmüştür. 98

108 EK 1 KARŞILAŞTIRMALARDA KULLANILAN ÖRNEK AKTİVİTE SAYISI : 30 PROBLEM YENİLENEBİLİR KAYNAK SAYISI : 4 ÖNCELİK İLİŞKİLERİ Aktivite süre öncel sayısı önceller

109 Aktivite süre öncel sayısı önceller

110 KAYNAK GEREKSİNİMLERİ Aktivite R1 R2 R3 R

111 Aktivite R1 R2 R3 R KAYNAK MİKTARLARI R1 R2 R3 R

112 EK 2 GENETİK ALGORİTMA SONUÇLARININ DEĞERLENDİRLMESİNDE KULLANILAN BİLGİSAYAR PROGRAMI Bu program.net Studio 2003 ortamında c# bilgisayar dilinde yazılmıştır. Programın kullanılabilmesi için Windows 2000 veya XP işletim sistemlerinden birisinin programın kurulacağı bilgisayarın işletim sistemi olması gerekmektedir. Şekil 9. Genetik Algoritma yazılımının ana ekranı 103

113 Şekil 9 da programın ana ekranı görülmektedir. Daha önce Bölüm 5.3 ve 5.4 te anlatılan Genetik Algoritma metodları, çaprazlama ve seçme operatörleri seçenek olarak programın menüsünde bulunmaktadır. Program, çalıştırıldığı zaman ekteki kısıtlı kaynaklarla proje çizelgelemesi problemini Ek 1 de görülen formata göre okur ve açıldığı anda aktivite sayısı ve yenilenebilir kaynak sayısını bu dosyadan alarak ekranda gösterir (bkz. Şekil 9). Daha sonra kullanıcı istediği Genetik Algoritma metodunu, çaprazlama ve seçme operatörünü ve mutasyon olasılığını seçer. Ardından yine uygun gördüğü popülasyon ve nesil sayılarını girer. Hesapla düğmesine tıklandığı anda yazılım, girilen kombinasyonları kullanarak çizelgeler üretmeye başlar. İstenilen nesil sayısı kadar algoritma tekrarlandıktan sonra, program bu çözümleri ekranda gösterir (bkz. Şekil 10). Şekil 10. Sonuçların Gösterimi 104