) -3n(k+1) (1) ile verilir.

Transkript

1 FİEDMAN İKİ YÖNLÜ VAYANS ANALİZİ Tekrarlı ölçümlerde tek yönlü varyans analizinin varsayımları yerine gelmediğinde kullanılabilecek olan değiģik parametrik olmayan testler vardır. Freidman iki yönlü varyans analizi bu testler arasında en bilinenidir. Özellikle denek sayısının az ya da verilerin sayımla belirtildiği ya da sıralama ölçeğinde olduğu durumlarda kullanılır. Örnekler. Tekrarlı ölçümlerde tek yönlü varyans analizi için verilen örnekler, denek sayılarının az, verilerin sayımla belirtildiği vb. durumlarda Freidman iki yönlü varyans analizi ile karģılaģtırılabilir.. BESYO ya kaydı yapılan öğrencilerin hangi spor branģına ilgi duyduğunu belirlemek amacıyla, öğrencilerden verilen 5 branģı; en ilgi duydukları branģ için, hiç ilgi duymadıkları branģ için 5 olacak Ģekilde numaralamaları isteniyor. Örnek tablo aģağıdadır. Öğrenciler belli bir branģa eğilim göstermekte midir? Ģeklindeki bir soru Friedman iki yönlü varyans analizi ile araģtırılabilir. SPO BANŞI Öğrenci A B C D E N Friedman testinde, F yada Ki-kare ( ) test istatistiklerinden biri yardımıyla çözüme ulaģabilir. Burada, her iki yaklaģıma iliģkin formüller de verilecektir. Gruplar arasındaki farkın anlamlı olduğu durumlarda, hangi gruplar arasında fark olduğunu anlamak amacıyla yapılacak ikili karģılaģtırmalar için, F değerinin bulunmasında kullanılan iki istatistik yardımıyla elde edilen güven aralıklarından yararlanılacaktır. F ya da Ki-kare istatistiklerinden birini bulabilmek için Tablo daki verileri dikkate alalım. Önce her bir satırdaki gözlemlere den baģlayarak küçükten büyüğe doğru (aynı değeri alan gözlemler de dikkate alınarak) sıra numarası verilir. Daha sonra her bir gruba (sütuna) iliģkin sıra numaraları ve sıra numaralarının kareleri toplanarak test istatistiğinin elde etmekte kullanılır. a. Friedman için test istatistiği ; = n. k( K ) k j ( j ) -3n(k+) () ile verilir. Burada, n : Satır sayısı k : Grup (sütun) sayısı Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -

2 j : er bir gruba (sütuna) iliģkin sıra numaraları toplamıdır. Ġstatistiksel karar için, hesapla bulunan tablo değerleri (EK Tablo 9) ile karģılaģtırılır b. Friedman için F istatistiği Friedman çift yönlü varyans analizi için F istatistiği; değeri, n ve k nın küçük değerleri için geliģtirilen F= ( n )[ B A n. k( k ) / 4] B ( ) ile verilir. Burada, n : Satır sayısı k : Grup (sütun) sayısı A : Sıra numaralarının kareleri toplamı Benzer gözlemlerin olmadığı durumlarda A değeri kısa yoldan A =nk(k+) (k+) /6 (3) yardımıyla bulanabilir. B : B = k n j ( j ) (4) dir. Ġstatistiksel karar için, hesapla bulunan F istatistiği, seçilen α yanılma düzeyindeki k k ve k = (n-) (k-) serbestlik dereceli F tablo istatistiği ile karıģtırılır. F tablosunda k e soldan sağa, k ye yukarıdan aģağıya doğru bakılır. ĠKĠġELĠ KAġILAġTIMALA F F ise hipotezi reddedilir. Test sonucunda gruplar arasında fark varsa, farklılığın hangi gruplar arasında olduğu aģağıdaki yaklaģım yardımıyla araģtırılabilir. Buna göre ; T > t i j n( A B ) ( n )( k ) (5) ise karģılaģtırılan gruplar arasındaki farkın anlamlı olduğu söylenir. (5) de ki t değeri ; (n-)(k-) serbestlik dereceli ve çift yönlü t tablo istatistiğidir. Örnek : sporcunun vücut yağ yüzdeleri 3 farklı yöntemle ölçülmüģtür.. Su altında tartılama,. Toplam vücut suyu, 3. Potasyum 4. Vücut yağ yüzdesi ölçüm yöntemleri arasında fark var mıdır? Aynı sporcuların vücut yağ yüzdeleri 3 farklı yöntemle elde edilmektedir. Gruplar bağımlıdır. Veri ölçümle belirtilmekle birlikte kişi sayısı azdır. Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -

3 sporcunun vücut yağ yüzdeleri ve her sporcunun 3 yönteme göre aldığı değerlerin sıra numaraları (rankları) Tablo 7.8 de verilmiģtir. Ġlk sporcu en küçük yağ yüzdesini 3 üncü yöntemden, en büyük yağ yüzdesini inci yöntemden aldığı için sıra numaraları; 3 üncü yöntem için, nci yöntem için ve 3 üncü yöntem için 3 olacaktır. Ġkinci sporcuya iliģkin verilerde 9.8 iki kez tekrarlandığı için, tekrarlanan gözlemlere iliģkin sıra numaraları toplamının yarısı yeni sıra numarası olarak verilir. er bir yöntem için sıra numaraları toplamları ( ), tablonun en alt satırında verilmiģtir. Tablo Farklı Yöntemle Elde Edilen Vücut Yağ Yüzde Ölçümleri ve Sıra Numaraları Yağ % Ölçüm Yöntemleri Sıra Numaraları SPOCU 3 () () (3) Toplam j Tablo de görüldüğü gibi, verilerde tekrarlanan gözlemler vardır. Bu nedenle, F değerinin bulunmasında kullanılacak olan A, her bir sıra numarasının karesi alınarak elde edilir; A = =67.5. B ise (7.44) den ; B = [( 8 ) (.5) (.5) ]=46.47 olarak bulunur. Bu bilgiler çerçevesinde test süreci aģağıdaki gibidir.. : Vücut yağ yüzdeleri açısından üç yöntem arasında fark yoktur. :Üç yöntem arasında fark vardır.. Test istatistiği, (7.4) yardımıyla, [( 8 ) (.5) (.5) ]-3 () (3+)=.46 olarak bulunur. ()(3)(3 ) 3. Yanılma düzeyi olarak α=.5 alınmıģtır. Gözlem sayısı oldukça azdır. Bu nedenle hesapla bulunan test istatistiği Ek Tablo 9 da verilen tablo istatistiği ile karģılaģtırılır. Ek Tablo 9 da n= ve K=3 serbestlik dereceli tablo istatistiği α=.5 için 6.3 olarak bulunur. Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -

4 4. Ġstatistiksel karar: =.46 < 6.5 olduğu için hipotezi kabul edilir ve vücut yağ yüzdesini kestirmekte kullanılan üç yöntem arasında anlamlı bir fark olmadığı söylenir. (P>.5). Aynı sonu F dağılımı yardımı ile de çözebiliriz. Buna göre F değeri (7.4) yardımıyla ; ( )[ () (3) (3 ) / 4] F=. 466 olarak bulunur. esapla bulunan F değeri k k 3 ve k = (n-) (k-)= (-) (3-) = serbestlik dereceli F tablo istatistiği ile karģılaģtırılır. F.466 FT (.5;,) =3.44 olduğu için hipotezi kabul edilir. Friedman iki yönl Varyans analizi verilerin doğrudan rank olarak elde edildiği çalıģmalarda da sık sık kullanılır. Buna iliģkin bir örnek aģağıda verilmiģtir. Örnek: Beden Eğitimi ve Spor Yüksek Okulu.sınıf öğrencisinden, aģağıda belirtilen 5 çalıģma alanını; en çok istedikleri alan, h,ç istemedikleri alan 5 olacak Ģekilde sıralamaları istenmiģtir. Acaba, öğrencilerin çalıģma alanı tercihlerinde belirgin bir eğilim var mıdır? A: Özel bir spor kompleksinde yönetici olarak çalıģmak B:Antrenör olarak çalıģmak C:Beden eğitimi ve spor öğretmeni olarak çalıģmak D:Üniversitede öğretim elemanı olarak çalıģmak E:Sporla ilgili olmayan bir konuda çalıģmak ÇalıĢma sonunda elde edilen sonuçlar aģağıdadır..sınıf öğrencilerinin çalıģma alanı tercihleri TECĠLE ÖĞENCĠ A B C D E TOPLAM Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -

5 Gruplar arasında fark olup olmadığı F dağılımı yardımıyla yapılacaktır. Buna göre, A ve B değerleri aģağıdaki gibi olacaktır. Sıra numaraları dağılımında tekrarlayan gözlemler olmadığı için A değeri (7.43) yardımıyla, A =() (5) (5+) ((5)+) /6=55 olarak bulunur. B değeri ise (7.44) yardımıyla, B = ( ) =5. olarak bulunur. Bu bilgiler yardımıyla test süreci aģağıda verilmiģtir.. : Öğrencilerin okul bitirme sonrası çalıģma alanı tercihleri birbirine benzerdir. : Öğrencilerin okul bitirme sonrası çalıģma alanı tercihleri birbirine benzer değildir.. Test istatistiği (7.4) yardımıyla, ( )[5. - () (5) (5 ) / 4] F= olarak bulunur. 3. Yanılma düzeyi olarak α=.5 alınmıģtır. Gerekli F tablo istatistiği F. 6 T (.5;4,36) olarak bulunur. (not: ki-kare test istatistiği 4.88 olarak bulunur) 4. Ġstatistiksel karar: F =4.895> F T (.5;4,36). 6 olduğu için hipotezi reddedilir. Buna göre.sınıf öğrencilerin tercihleri farklı Ģekilde ortaya çıkmaktadır en tercih edilen seçenek, öğrencilerin ileride öğretim üyesi olmak istemeleridir. ĠKĠġELĠ KAġILAġTIMALA Gruplar arasında fark bulunduğu için, farklılığın hangi gruplar arasında olduğu araģtırılır. Bu amaçla, (7.45) eģitsizliğinin sağ tarafı bulunur. (7.45) deki t değeri ; (-) (5- )=36 serbestlik dereceli ve α=.5 için çift yönlü t tablo istatistiği olup t. olarak bulunur. Buradan eģitsizliğin sağ tarafı; T (.5;36). ()(55 5.) ( )(5 ) =9.6 Olarak bulunur. Buna göre sıra numaraları toplamı farkları 9.6 den daha büyük olan gruplar arasında fark olduğu söylenir. Örneğimiz için grup sıra toplamlarına iliģkin farklar ve anlamlı olup olmadıkları aģağıdaki tabloda gösterilmiģtir. Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -

6 Farklara ĠliĢkin KarĢılaĢtırmalar GUPLA i j P A-B -4 =9 >9.6 <.5 A-C -6 =5 <9.6 >.5 A-D -7 =4 <9.6 >.5 A-E -46 =5 >9.6 <.5 B-C 4-6 =4 >9.6 <.5 B-D 4-7 =3 >9.6 <.5 B-E 4-46 =6 <9.6 >.5 C-D 6-7 =9 <9.6 >.5 C-E 6-46 = >9.6 <.5 D-E 7-46 =9 >9.6 <.5 KAYNAK: EA ALPA Ġstatistik ve Spor Bilimleri BAĞIGAN YAYN EVĠ MAYIS 998 ANKAA Prof.Dr.Ömer SATICI Dicle Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı -