KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI. GĠZEM ġen. Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr.
|
|
|
- Aysun Kirdar
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 I KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI GĠZEM ġen Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN EDĠRNE 2011
2 II T.C TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE GĠZEM ġen YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI Tez yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN EDĠRNE 2011
3 III
4 IV
5 i Yüksek Lisans Tezi Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı ÖZET Elektrik alan altında, Bir kuantum kuyusunun subband bağlanma ve yabancı atom enerjileri, etkin kütle yaklaģımı göz önüne alınarak ve varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıģtır. Taban durum dalga fonksiyonlarını kullanarak, polarizasyon ve polarizabilite yabancı atom konumu elektrik alan Ģiddeti ve kuyu geniģliğinin bir fonksiyonu olarak hesaplanmıģtır. Polarizasyon ve polarizabilite nin yabancı atomun konumuna ve hapsedilmenin derecesine bağlı olduğu bulunmuģtur. Sonuçlar literatürle uyumludur. Yıl:2011 Sayfa:62 Anahtar Kelimeler: Kuantum Kuyuları, Elektrik Alan, Dönor, Polarizasyon, Polarizebilite
6 ii M. S. Thesis Binding Energy And Polarizebilite Quantum Wells Trakya University, Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics SUMMARY Subband, binding and impurity enerjies of a GaAs quantum well under an applied electric field have been investigated within a variational procedure and considering the effective mass approximate. Using ground state wave functions, polarization and polarizability have been calculated as a function of the impurity position, electric field strenght and well width. It is found that the polarization and polarizability depend on the impurity position and degree of confinement. The resuts are in agreementwith the lirature. Year:2011 Pages: 62 Keywords: Quantum Well, Electric Field,, Impurity,, Polarization, Polarizability
7 iii TEġEKKÜR Tez yöneticiliğimi üstlenerek çalıģmalarım sırasında desteğini esirgemeyen, Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN a teģekkür ederim. ÇalıĢmalarım esnasında aydınlatıcı bilgilerini ve desteğini esirgemeyen Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Hasan AKBAġ ve Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç.Dr. Ġlhan ERDOĞAN a yardımlarından dolayı teģekkür ederim. Bu çalıģma süresince her türlü desteğini esirgemeyen Faik GÜNDOĞDU ya teģekkür ederim.
8 iv ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET...i SUMMARY...ii TEġEKKÜRLER...iii ĠÇĠNDEKĠLER...iv SĠMGELER DĠZĠNĠ...vi ġekġller DĠZĠNĠ.....vii 1. GĠRĠġ.1 2. KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU SĠMETRĠK SONSUZ POTANSĠYEL KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi Donor Etkisindeki Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan Etkisi YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi...29
9 v 4.2. Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan Etkisi POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite..51 SONUÇLAR VE TARTIġMA KAYNAKLAR...61 ÖZGEÇMĠġ...62
10 vi SĠMGELER DĠZĠNĠ m* Elektronun etkin kütlesi a 0 Bohr yarıçapı a* Etkin Bohr yarçapı R* Etkin Rydberg enerjisi λ Varyasyonel Parametre ψ Dalga fonksiyonu ε Dielektrik sabiti β Varyasyonel Parametre η Hamiltonien deki elektrik alan terimi ξ DeğiĢken z i Yabancı atomun konumu ρ Koordinat değiģkeni
11 vii ġekġller DĠZĠNĠ ġekil 1: Kuantum kuyularının oluģumu 3 ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu...5 Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniģliğine göre elektronun enerjisinin değiģimi...10 ġekil 3: Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu.11 Grafik 3.2 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu geniģliğine bağlı değiģimi 14 ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi.15 Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin enerjisinin zi=l/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi.18 Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=l/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi...19 Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-l/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi.. 20 Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-l/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi...21 ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu...22 Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 A kuyu geniģliklerinde basamak potansiyelinin değiģimine göre enerjinin değiģimi...28
12 viii ġekil 6: Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde L/2 de sonsuz,+l/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu.33 Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin zi=l/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom zi=l/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi...38 Grafik 4.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-l/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi..39 Grafik 4.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-l/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi.40 Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=l/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi..43 Grafik 5.1.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=l/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi..44 Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=l/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi...45 Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin yabancı atom zi=l/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi...46
13 ix Grafik 5.1.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi..47 Grafik 5.1.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 5.1.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-l/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi Grafik 5.1.8: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-l/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi.50 Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=l/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi...52 Grafik 5.2.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=l/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 5.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=l/4 konumundayken polarizabilitenin farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi...54 Grafik 5.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=l/4 konumundayken polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi... 56
14 x Grafik 5.2.6: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi 57 Grafik 5.2.7: : Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi.. 58 Grafik 5.2.8: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi.. 59
15 1 1.) GĠRĠġ Farklı tür yarıiletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluģturulan düģük boyutlu yapıları kuantum fiziği yardımı ile araģtırmak mümkündür. DüĢük boyutlu yarı iletken sistemler nanometre (10-9 m) boyutunda elektronik ve optoelektronik cihazlardan oluģmaktadır. Bu nanometre boyutlarında elde edilen cihazlar günümüz bilgisayar ve haberleģme endüstrisinde kullanılan devrelerin temellerini oluģturmaktadır. Günümüz teknolojisinde Moleküler Demet Büyütme: MBE (Molecular-beam epitaxy), Kimyasal Buhar Depolama (CVD) ve Sıvı Faz Büyütme: LPE (Liquid Phase Epitaxy) gibi deneysel teknolojiler ile potansiyel kuyu üretmek mümkün kılınmıģtır. Günümüzde bu deneysel teknolojilerle üretilen elektronik devre elemanlarının fiziği; fizik ve elektronik dünyasında çok büyük ilgi görmektedir. DüĢük boyutlu yapıları; kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum kutuları (noktaları) olarak sınıflandırmak mümkündür. Bu sınıflandırılma yapılırken elektronun serbestlik boyutu göz önüne alınır. Elektron; kuantum kuyularında bir boyutta, kuantum tellerinde iki boyutta ve kuantum kutularında ise her üç boyutta sınırlandırılmıģtır. Sınırlandırma boyutu göz önüne alınarak, kuantum kuyuları iki boyutlu, kuantum telleri bir boyutlu ve kuantum kutuları sıfır boyutlu yarıiletken sistemler olarak adlandırabilmek mümkündür. DüĢük boyutlu yapıların iletkenliği, malzemeye yabancı atom katılması ile arttırılabilir. Bu nedenle bir yabancı atomun yapıya eklediği ilave elektronun enerji öz durumları ve bağlanma enerjileri yapıyı karakterize eder. Kuantum kuyularında elektrik alanın uygulanması, elektronun dağılımında değiģimlere yol açar. Polarizasyon oluģur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düģük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıģ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir. Ayrıca kuantum enerji durumlarının değiģimi ile yabancı atom bağlanma enerjisi de değiģtiği için elektrik alan etkisinin incelemesi önemlidir. Yapılan çalıģmalarda etkin kütle yaklaģımında varyasyonel bir yöntem kullanılarak kuantum kuyularında dıģarıdan uygulanan bir elektrik alanın yabancı atom bağlanma enerjileri üzerindeki etkileri araģtırılmıģtır. Bu çalıģmalarda bağlanma
16 2 enerjisinin kuyunun geometrik biçimine, yabancı atom konumuna ve uygulanan elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak artma veya azalma gösterdiği gözlenmiģtir. Bu çalıģmada bir boyutlu kuantum kuyularına hapsedilen elektronların davranıģları incelenmiģtir. Kuantum kuyularına hapsedilen bir elektronun taban durum dalga fonksiyonu ve enerjileri bulunmuģtur. Elektronun düzgün ve sabit elektrik alana bağlı olarak; simetrik sonsuz ve yarı sonlu kuantum kuyularında nümerik çözümlerde Varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıģtır. Elektrik alan ve donor etkisinin sistemin Hamiltonyen ine getirdiği katkılar da verilmiģtir. Kuyu içinde bulunan elektrona çeģitli konumlardaki yabancı atomun etkisi ve bağlanma enerjileri araģtırılmıģtır. Düzgün ve sabit elektrik alan etkisi altında ve donor etkisi sonucunda sahip olduğu enerjileri, deneme dalga fonksiyonları ile yaklaģık olarak bulunmuģtur. DüĢük boyutlu yapılarda elektronun enerji durumlarının incelenmesi Schrödinger denkleminin çözümü ile mümkün olmaktadır. Bu yapılarda analitik çözümlerin bulunması yabancı atom varlığında veya elektrik alan uygulandığında zorlaģtığı için nümerik yöntemler kullanılmaktadır. Bu nümerik yöntemler; sonlu farklar yöntemi, varyasyon yöntemi vs. dir. Biz bu çalıģmada varyasyon yöntemini kullandık. Elektrik alan etkisi altındayken kartezyen koordinatlar, donor etkisinde ise iģlem kolaylığı açısından silindirik koordinatlar kullanılarak hesaplamalar yapılmıģtır. Son bölümde; tartıģma ve sonuçlar verilmiģtir. TartıĢma ve sonuçlar bölümünde incelediğimiz kuantum kuyularında bağlanma enerjisini; yabancı atomun konumuna, V 0 potansiyel yüksekliğine ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak incelenmiģtir. Daha sonra elektrik alanın taban durum dalga fonksiyonunu nasıl etkilediği incelenmiģtir. Bu tezdeki nümerik hesaplamalarda, Fortran 77 ile kendi yazdığımız programlar kullanılmıģtır.
17 3 2.) KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU DüĢük boyutlu yapılar kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktalarıdır. Kuantum kuyusunda elektron tek boyutta potansiyel duvar arasına hapsedilir ve diğer iki boyutta serbestçe hareket eder. Kuantum tellerinde ise elektron iki boyutta potansiyel duvarlar arasında kalır ve tek yönlü hareketi serbesttir. Kuantum noktalarında ise elektron üç boyutta da potansiyel duvarlarla karģılaģır. Bu tanımladığımız yapılar farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesi ile oluģturulurlar. ġekil 1: Kuantum kuyularının oluģumu
18 4 Tek boyutlu bir sistemde Ga 1 x Al x As ve GaAs malzemeleriyle bir yapı oluģturulduğunda, oluģan yapı için z yönündeki potansiyel değiģimi Ģekil-1 de gösterildiği gibi olur. Buradaki x ifadesi mol kesridir ve yapının oluģtuğu malzemelerin Ga, Al oranını belirler. Buradaki x i kısaca malzemede bulunan alüminyum miktarını belirleyen bir değiģken olarak tanımlayabiliriz. Ġletkenlik ve Valans bandındaki potansiyeller için V 0, V h aģağıdaki bağıntılar kullanılabilir. E g = 1,555 x + 0,37 x 2 V 0 = %60 E g V h = %40E g Ga 1 x Al x As malzemesinde mol kesri x = 1 olursa sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu elde edilir.
19 5 3.) SĠMETRĠK SONSUZ POTANSĠYELLĠ KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Tek boyutlu, L geniģliğindeki sonsuz potansiyelli bir kuantum kuyusu içindeki m * etkin kütleli elektronun dalga denklemi çözülecektir. Böyle bir kuyu için potansiyel dağılımı; V z = 0, z L 2, z > L 2 (3.1) Ģeklindedir. Bu ifadeye göre sonsuz potansiyel kuyusu aģağıdaki gibidir; ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu
20 6 Kuyunun dıģındaki 1. ve 3. bölgelerde m * etkin kütleli elektron sonsuz potansiyelli enerji duvarlarını aģamayacağından daima kuyu içinde kalacaktır. Yani elektronu temsil eden dalga fonksiyonu ψ z sıfır olacaktır. Schrödinger denklemi yalnızca kuyu içinde çözülmelidir. Kuyunun içinde Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: H 0 ψ z = E n ψ z (3.2) ħ 2 d 2 ψ z = E 2m dz nψ z (3.3) 2 dir. Uzunluk olarak etkin bohr yarıçapı a * ve enerji birimi olarak Rydberg enerjisi alınırsa ħ 2 2m = 1 olacağından elektron sonsuz potaniyelli kuantum kuyusuna hapsedildiğinde Schrödinger denklemi: d 2 dz 2 ψ z = E nψ z d 2 dz 2 E n ψ z = 0 (3.4) Ģeklini alır. Burada k = E n olmak üzere dalga fonksiyonu; ψ z = A cos kz + B sin kz Ģeklinde elde edilir. Bu genel çözüme sınır Ģartlarını uygularsak: z = L 2 de V z = olduğundan ψ 2 z = L 2 = 0 olmalıdır. ψ L 2 = A cos kl 2 + B sin kl 2 = 0 ve A cos kl 2 B sin kl 2 = 0 z = L 2 de V z = olduğundan ψ 2 z = L 2 = 0 olmalıdır.
21 7 ψ L 2 = A cos kl 2 + B sin kl 2 = 0 ve A cos kl 2 + B sin kl 2 = 0 elde edilir. Bu denklemleri çözmek için katsayılar determinatına bakılır. sin kl 2 cos kl 2 = 0 sin kl 2 cos kl 2 sin kl 2 cos kl 2 + sin kl 2 cos kl 2 = 0 2sin kl 2 cos kl 2 = 0 sin 2 kl 2 = 0 kl = nπ k n = nπ L n=0,1,2,... (3.5) vardır. Burada k n ifadesini yerine yazarak; ψ z = A cos nπ L z + B sin nπ L z (3.6) Elde edilen bu dalga fonksiyonu için tek ve çift olmak üzere iki tür çözümü n çift durum için: A = 0, B 0 ψ n + z = A cos nπ L n tek durum için: B = 0, A 0 ψ n z = B sin nπ L z n=1,3,5, (3.7) z n=2,4,6, (3.8)
22 8 Burada A ve B normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler dalga fonksiyonunun normalize edilmesi ile elde edilir. L/2 L/2 ψ z ψ z dz = 1 (2.9) Dalga fonksiyonlarının normalize edildikten sonraki ifadeleri: ψ n + z = 2 L cos nπ L z n=1,3,5, (3.10) ψ n z = 2 L sin nπ L z n=2,4,6, (3.11) elde edilir. Elektronun enerji özdeğeri ise: E n = ψ n z H 0 ψ n z ψ n z ψ n z (3.12) bağıntısından hesaplanır, burada sistemin H Hamiltonieni; dir. H 0 = d2 dz 2 Bu sonuçlar doğrultusunda sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna hapsedilen parçacığın alabileceği enerji özdeğerleri n tamsayısına bağlı değiģir. Yani enerji değerleri tam sayı katları Ģeklinde kuantize olmuģtur. Parçacığın taban durum enerjisi hesaplanmıģ ve kuyu geniģliğine bağlı olarak Grafik 3.1 de verilmiģtir.
23 9 GaAs bölgesine hapsedilmiģ elektronun etkin kütlesi m * =0,067m 0 dır. burada m 0 =9, kg serbest elektron kütlesidir. AlAs / GaAs / AlAs kuantum kuyusunda bulunan böyle bir elektronun taban durum enerjisi hesaplanmıģ ve kuyu geniģliğine bağlı olarak Grafik 3.1 de verilmiģtir.
24 10 Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniģliğine göre elektronun enerjisinin değiģimi
25 Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Etkisi ġekil 3:Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna yabancı bir atom bulunduğunda, bu atomla elektron arasında bir coulomb etkileģmesinden dolayı bir coulomb potansiyeli oluģur. Buna göre sonsuz kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni; Ģeklindedir. Burada; H i = ћ2 2m 2 e2 ε 0 r (3.1.1) 2 = 2 x y z 2 kartezyen koordinatlardaki ifadesidir. ĠĢlem kolaylığı açısından kartezyen koordinatlardan silindirik koordinatlara geçildiğinde; x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ρ 2 = x 2 + y 2
26 12 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 r = x x i 2 + y y i 2 + z z i 2 x i, y i, z i yabancı atomun konumu olmak üzere tek boyutlu bir sistem için x i =y i = 0 olduğundan; r = x 2 + y 2 + z z i 2 alınırsa r = ρ 2 + z z i 2 H i = ћ2 2 ћ2 1 2m z 2 2m ρ ρ e 2 ρ ρ ε ρ 2 +(z z i ) 2 (3.1.2) Uzunluklar a ve enerjiler R biriminde alındığında ћ2 2m = 1 ve e2 ε 0 = 2 olur. ε 0 ortamın dielektrik sabitini ve r = ρ 2 + (z z i ) 2 yabancı atomun konumunu göstermektedir. Bu durumda; H i = 2 1 ρ 2 (3.1.3) z 2 ρ ρ ρ ρ 2 + z z 2 i ve Schrödinger Denklemi dir. H i ψ i ρ, z = E i ψ i ρ, z 2 1 ρ 2 ψ z 2 ρ ρ ρ ρ 2 +(z z i ) 2 i ρ, z = E i ψ i ρ, z (3.1.4)
27 13 Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Bu nedenle yaklaģık çözüm yöntemlerinden olan varyasyonel yöntemi kullanıyoruz. Taban durum için deneme dalga fonksiyonu ψ i ρ, z = N cos π L z e ρ 2+(z z i )2 λ (3.1.5) N normalizasyon katsayısı, λ varyasyon parametresidir. Bu durumlar göz önüne alınarak taban durum enerjisi için, E 1 = ψ i ρ,z H i ψ i ρ,z ψ i ρ,z ψ i ρ,z min (3.1.6) ifadesi yazılır. Bu durumda elektron için bağlanma enerjisinin tanımı yapılabilir. E 0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E 1 yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere: E b = E o E 1 (3.1.7) olur. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 3.2 de verilmiģtir.
28 14 Grafik 3.2 :Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
29 Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Donor Yabancı Atomuna Düzgün Elektrik Alanın Etkisi Ġçinde yabancı atom bulunan simetrik sonsuz kuantum kuyusuna +z yönünde bir elektrik alan uygulandığında, F elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyunun Ģekli aģağıdaki gibi olur. ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi Düzgün elektrik alan altında donorlu kuantum kuyusu için sistemin Hamiltonieni H fi = ћ2 2m 2 e 2 ε 0 ρ 2 +(z z i ) 2 + efz + V z (3.2.1) olur. Burada z i yabancı atomun konumunu göstermektedir. Hamiltonien ћ 2 2m = 1 alındığında a ve R biriminde η = ef olmak üzere silindirik koordinatlarda Schrödinger Denklemi:
30 16 H fi ψ fi ρ, z = E fi ψ fi ρ, z (3.2.2) 2 1 ρ 2 + ηz + V z ψ z 2 ρ ρ ρ ρ 2 +(z z i ) 2 fi ρ, z = E fi ψ fi ρ, z (3.2.3) Ģeklinde yazılır. Sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiģ elektron için V z = 0 olduğundan denklem; 2 1 ρ 2 + ηz ψ z 2 ρ ρ ρ ρ 2 +(z z i ) 2 fi ρ, z = E fi ψ fi ρ, z (3.2.4) olur. Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Taban durum deneme dalga fonksiyonu; ψ fi ρ, z = N 2 cos π ρ2+(z z i )2 z L e βz e λ (3.2.5) olur. Bu denklemlerde β ve λ varyasyonel parametrelerdir. Donor enerjisi: E fi = ψ fi ρ,z H fi ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z min λ,β (3.2.6) formülünden hesaplanır. Silindirik koordinatlarda hacim elemanı; dv = ρdρdzdφ dir. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin z i =L/4 ve z i =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kv/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 3.3 ve Grafik 3.5 te verilmiģtir.
31 17 Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin z i =L/4 ve z i =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A 0 kuyu geniģliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi Grafik 3.4 ve Grafik 3.6 da verilmiģtir. Grafiklerden taban durum enerjilerinin artan elektrik alan ve artan kuyu geniģliklerinde azaldığı görülmektedir.
32 18 Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin enerjisinin z i =L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
33 19 Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin z i =L/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi.
34 20 Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin z i =-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
35 21 Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin z i =-L/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
36 22 4.) YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Tek boyutlu simetrik yarı sonlu bir kuantum kuyusunda m kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi çözülecektir. Bu kuyuya ait olan potansiyel enerji dağılımı; V x =, z L 0, L 2 < z < L 2 2 (4.1) V 0, z L 2 Ģeklindedir. Kuyunun Ģekli aģağıdaki gibi olur. ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu
37 23 Parçacık yarı sonlu bir kuyuda bulunduğundan tamamen kuyu içine hapsolmayacaktır, kuyunun sağındaki engel olan bölgede de bulunabilecektir. Sonsuz kuyuda olduğu gibi yine parçacık kuyunun sol tarafındaki bölgede bulunamayacaktır. Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: H 0 ψ(z) = E 0 ψ(z) (4.2) ħ 2 d 2 2m dz 2 + V(z) ψ(z) = E 0ψ(z) Etkin kütle yaklaģımı altında bu denklem a * ve R * biriminde ħ2 2m = 1 olur. 1.Bölge de a *, R * birim sisteminde Schrödinger denklemi: d 2 dz ψ 1(z) = E 0 ψ 1 z d 2 dz 2 E 0 ψ 1 z = 0 (4.2) olur. Burada; k 1 = E 0 dir. ψ 1 z = A cos k 1 z + B sin k 1 z (4.3) Ģeklinde elde edilir. II.Bölge de Schrödinger denklemi: d 2 dz 2 + V 0 ψ 2 z = E 0 ψ 2 z d 2 dz 2 + V 0 E 0 ψ 2 z = 0 (4.4) olur. Burada; k 2 = V 0 E 0 dir. ψ 2 (z) = Ce k2z + De k 2z (4.5) Ģeklinde dalga fonksiyonları elde edilmiģ olur. II. bölgede ψ 2 (z) dalga fonksiyonu z = için ψ 2 z = = 0 dır ve C katsayısı 0 olmalıdır. Dalga fonksiyonunun yeni hali; ψ 2 (z) = De k 2z
38 24 olur. Bu dalga fonksiyonlarına sınır Ģartları uygulanırsa; z L 2 bölgesinde V z = olduğundan dalga fonksiyonu ψ 1 z = L 2 olmalıdır. Acos k 1L 2 + Bsin k 1L 2 A = Btan k 1L 2 = 0 = 0 (4.6) Bu durumda ψ 1 z dalga fonksiyonu Denklem (3.7) deki gibi olur. ψ 1 z = Btan k 1L 2 cos(k 1 z) + Bsin(k 1 z) (4.7) ψ 1 (z) z= L 2 = ψ 2 (z) z= L 2 ; z = L de dalga fonksiyonunun sürekliliğinden; 2 L Btan k 1 cos(k L 2 1 ) + Bsin(k L 2 1 ) = 2 De k 2 2 (4.8) L dψ 1 (z) dx z= L 2 = dψ 2(z) dx sürekliliğinden; z= L 2 ; z = L de dalga fonksiyonlarının türevlerinin 2 L Bk 1 tan k 1 sin k L L + Bk 1 cos(k 1 ) = Dk 2 2e k L 2 2 (4.9) olur. Denklem (4.8) ve Denklem (4.9) oranlanırsa; L Btan k 1 2 cos(k L 1 Bk 1 tan k 1 L 2 sin k 1 k 2 tan k 1 L 2 L 2 ) 2 ) + Bsin(k 1 = L 2 + Bk L 1cos(k 1 2 ) De k 2 L 2 Dk 2 e k 2 L 2 + k 1 = 0 (4.10) Burada k 1 = E 0 ve k 2 = V 0 E 0 olmak üzere Denklem (4.10); V 0 E 0 tan E 0 L + E 0 = 0 (4.11)
39 25 bulunur. Bu denklemi sağlayan enerji değerleri nümerik olarak FORTRAN programı yardımı ile hesaplanmıģtır. Buna göre dalga fonksiyonları: ψ 1 z = Btan k 1L 2 cos(k 1 z) + Bsin(k 1 z) (4.12) ve ψ 2 x = De k 2z (4.13) olur. Bu denklemlerdeki B ve D sabitleri dalga fonksiyonun normalizasyonu ile elde edilir. L 2 ψ 1 z ψ 1 z dz + ψ L 2 2 z ψ 2 z dz = 1 L 2 (4.14) Denklemi kullanılırsa dalga fonksiyonları; ψ z = Btan k 1L 2 B sin k 1L cos k 1 L 2 cos k 1 z + Bsin k 1 z L 2 < z < L 2 e k 2 L 2 e k 2z z > L 2 (4.15) olarak elde edilir, burada B katsayısı: B 2 = L 2 1 sin k 1L 2k 1 L + sin 2 (k 1 L) k 2 L (4.16) dir. Elektronun taban durum dalga fonksiyonu nümerik olarak hesaplanmıģ ve V 0 =200,400 mev potansiyel engelli kuyu için; Denklem (4.10), Denklem (4.14) ve
40 26 Denklem (4.15) kullanılarak hesaplanmıģ ve hesaplanan dalga fonksiyonları Grafik 4.1 de çizilmiģtir. L=100,200 A 0 için taban durum enerjinin V 0 engel potansiyeline bağlı olarak hesaplanmıģ ve V 0 engel potansiyeline bağlı değiģimi Grafik 4.2 de verilmiģtir. Artan engel potansiyeli ile elektronun enerjinin arttığı ve onsuz kuantum kuyusundaki enerji değerine yaklaģtığı görülmektedir.
41 27 Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu
42 28 Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 A kuyu geniģliklerinde basamak potansiyelinin değiģimine göre enerjinin değiģimi
43 Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi ġekil 6:Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu Yarı sonlu kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni; Burada H i = ћ2 2m 2 e2 ε 0 r (4.1.1) dir. Kartezyen den silindirik koordinatlara geçilirse; 2 = 2 x y z 2 (4.1.2) x = ρ cos θ y = ρ sin θ z = z ρ 2 = x 2 + y 2 r = x 2 + y 2 + z 2
44 30 z i yabancı atomun konumunu göstermek üzere sistemin Hamiltonieni genel olarak: H i = V(z) (4.1.3) z 2 ρ 2 +(z z i ) 2 Ģeklindedir. Hamiltonien ifadesini iki bölge için yazacak olursak; H i1 = 2 H i2 = 2 Silindirik koordinatlar kullanılarak Schrödinger Denklemi; z 2 2 ρ 2 + z z i 2 (4.1.4) 2 + V(z) (4.1.5) z 2 ρ 2 +(z z i ) 2 H i ψ i ρ, z = E i ψ i ρ, z (4.1.6) 2 z 2 1 ρ ρ ρ ρ 2 ρ 2 +(z z i ) 2 + V(z) ψ i ρ, z = E i ψ i ρ, z (4.1.7) Ģeklinde yazılır. Bu denklemin tam çözümü olmadığı için varyasyon çözüm yöntemi ile çözülecektir. Ġki bölge için taban durum deneme dalga fonksiyonları: ψ i1 ρ, z = N tan k 1L 2 cos k 1 z + sin k 1 z e ρ 2+(z z i)2 λ (4.1.8) ψ i2 ρ, z = N sin k 1L cos k 1 L 2 e k 2 L 2 e k 2z e ρ 2 +(z zi )2 λ (4.1.9) Ģeklindedir. N normalizasyon katsayısı, λ varyasyon parametresidir.
45 31 Taban durum elektronun enerjisi için, E 1 = ψ i1 ρ,z H i1 ψ i1 ρ,z + ψ i2 ρ,z H i2 ψ i2 ρ,z ψ i1 ρ,z ψ i1 ρ,z + ψ i2 ρ,z ψ i2 ρ,z min (4.1.10) ifadesi yazılır. E 0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E 1 yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere bağlanma enerjisi: E b = E o E 1 (4.1.11) olur. Farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 4.3 te verilmiģtir. Kuyu geniģliği arttıkça bağlanma enerjisinin azaldığı görülmektedir.
46 32 Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi
47 Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Elektrik Alan Etkisi ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde L/2 de sonsuz,+l/2 de Vo potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu Ġçinde donor bulunan yarı sonlu kuantum kuyusuna +z yönünde bir elektrik alan uygulandığında, F elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyu içine hapsedilmiģ olan elektron için silindirik koordinatlarda, a * ve R * birimlerinde Hamiltonyen aģağıdaki Ģekilde ifade edilir. H fi = 2 1 z 2 ρ ρ ρ 2 + ηz + V z (4.2.1) ρ ρ 2 +(z z i ) 2 ve Schrödinger Denklemi: H fi ψ fi ρ, z = E fi ψ fi ρ, z (4.2.2)
48 34 2 z 2 1 ρ ρ ρ ρ 2 ρ 2 +(z z i ) 2 + ηz + V z ψ fi ρ, z = E fi ψ fi ρ, z (4.2.3) olur. Bu denklemin tam çözümü olmadığından varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Taban durum deneme dalga fonksiyonları; ψ fi1 ρ, z = N 1 tan k 1L 2 cos k 1 z + sin k 1 z e βz e ρ 2+(z z i)2 λ (4.2.4) ψ fi2 ρ, z = N 1 sin k 1L cos k 1 L 2 e k 2 L 2 e k 2z e βz e ρ 2 +(z zi )2 λ (4.2.5) Burada β ve λ varyasyonel parametrelerdir. Böyle bir elektronun enerjisi ise, E fi = ψ fi ρ,z H fi ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z min β λ (4.2.6) Ģeklinde olur. F=0,100 kv/cmı elektrik alan Ģiddetleri için antisimetrik basamak engelli sonsuz kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu Grafik 4.4 de verilmiģtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığı ve basamak içindeki tünellemeyi azalttığı görülmektedir. Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin z i =L/4 ve z i =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kv/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik 4.5 ve Grafik 4.7 te verilmiģtir.
49 35 Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin z i =L/4 ve z i =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A kuyu geniģliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi Grafik 4.6 ve Grafik 4.8 te verilmiģtir.
50 36 Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu
51 37 Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin z i =L/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
52 38 Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom z i =L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
53 39 Grafik 4.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu z i =-L/4 konumundayken kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
54 40 Grafik 4.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu z i =-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
55 41 5.) POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE Kuantum kuyularına elektrik alanın uygulandığında, elektronun dağılımında değiģimlere yol açması ile polarizasyon oluģur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düģük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıģ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir. Donor etkisi altında kuyuda elektrik alanın etkisi ile oluģan polarizasyon ; P = ψ fi ρ,z e z z i ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z donor var F 0 ψ i ρ,z e z z i ψ i ρ,z ψ i ρ,z ψ i ρ,z donor var F=0 (5.1) veya, P = ψ fi ρ,z z ψ fi ρ,z e ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z donor var F 0 + ψ i ρ,z z ψ i ρ,z ψ i ρ,z ψ i ρ,z donor var F=0 (5.2) ifadelerinden hesaplanır. Bu denklemlerde; ψ fi ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki taban durum dalga fonksiyonu, ψ i ρ, z yabancı atom etkisi altında taban durum dalga fonksiyonudur. Birim elektrik alan baģına polarizasyona polarizabilite denir. Polarizabilite; α = P F (5.3) Ģeklindedir.
56 Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) kullanılarak hesaplanacaktır. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri; ψ i ρ, z = N cos π L z e ρ 2+(z z i )2 λ (5.1.1) ψ fi ρ, z = N 2 cos π L z e βz e ρ2+(z z i )2 λ (5.1.2) olmak üzere polarizasyon ve polarizebilite hesaplanır. ψ i ρ, z yabancı atom etkisindeki dalga fonksiyonu ve ψ fi ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki dalga fonksiyonudur. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilitenin z i =+L/4 ve z i =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A kuyu geniģliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi Grafik 5.2.1, Grafik 5.2.5, Grafik ve Grafik da verilmiģtir. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilitenin z i =+L/4 ve z i =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kv/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik ve Grafik Grafik ve Grafik de verilmiģtir.
57 43 Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom z i =L/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
58 44 Grafik 5.1.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom z i =L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
59 45 Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom z i =L/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
60 46 Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin yabancı atom z i =L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
61 47 Grafik 5.1.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom z i = - L/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
62 48 Grafik 5.1.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom z i = - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
63 49 Grafik 5.1.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom z i =-L/4 konumundayken farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
64 50 Grafik 5.1.8: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom z i =-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi
65 Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) yardımıyla hesaplanacaktır. Yarı sonlu potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri; ψ i1 ρ, z = N tan k 1L 2 cos k 1 z + sin k 1 z e ρ 2+(z z i)2 λ (5.2.1) ψ i2 ρ, z = N sin k 1L cos k 1 L 2 e k 2 L 2 e k 2z e ρ 2 +(z zi )2 λ (5.2.2) ve ψ fi1 ρ, z = N 1 tan k 1L 2 cos k 1 z + sin k 1 z e βz e ρ 2+(z z i)2 λ (5.2.3) ψ fi2 ρ, z = N 1 sin k 1L cos k 1 L 2 e k 2 L 2 e k 2z e βz e ρ 2 +(z zi )2 λ (5.2.4) dir.. Birim elektrik alan baģına polarizasyon olarak tanımlanan polarizabilite ise; α = P F (5.2.6) bağıntısından hesaplanır. Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyonun ve polarizeblite z i =+L/4 ve z i =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A 0 kuyu geniģliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi Grafik ve Grafik te verilmiģtir. Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilite z i =+L/4 ve z i =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 Kv/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniģliğine bağlı değiģimi Grafik ve Grafik te verilmiģtir.
66 52 Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i =L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
67 53 Grafik 5.2.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i =L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
68 54 Grafik 5.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i =L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
69 55 Grafik 5.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i =L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi
70 56 Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i = - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
71 57 Grafik 5.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i = - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kv/cm) için kuyu geniģliğine bağlı değiģimi
72 58 Grafik 5.2.7: : Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i = - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı kuyu geniģlikleri (L=100,150,200,250 A ) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiģimi
73 59 Grafik 5.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom z i = - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kv/cm) için kuyunun geniģliğine bağlı değiģimi
74 60 SONUÇLAR VE TARTIġMA Bu çalıģmada düzgün elektrik alan altında Al x1 Ga 1 x1 As GaAs Al x2 Ga 1 x2 As sonsuz, x 1 = x 2 = 1, ve yarı sonlu, x 1 = 1 ve 0 < x 2 < 1, kuantum kuyularında donor yabancı atomuna ait bağlanma enerjisi, donor yabancı atomuna ait enerji ve donor elektronunun polarizebilitesi hesaplanmıģtır. Bağlanma enerjisinin, donor yabancı atom enerjisinin ve polarizebilitenin kuyu geniģliğine, yabancı atomun konumuna ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak değiģtiği bulunmuģtur. Yapılan hesaplamalarda, genel kural olarak, yabancı atom kuyu kenarlarına yaklaģtıkça ve elektrik alan arttıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizebilitenin de Ģiddetli bir Ģekilde sıfıra yaklaģığı bulunmuģtur. Aynı zamanda elektrik alan ve kuyu geniģliği arttırıldıkça polarizasyonun da arttığı gözlemlenmiģtir. BaĢka bir deyiģle hapsedilme ve simetri azaldıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizasyonun arttığı sonucuna ulaģılmıģtır. Bu sonuçlar literatürle uyum içindedir.
75 61 KAYNAKLAR 1. AKANKAN O., ERDOGAN I., AKBAS H., 2006, Spatial electric field effect on the self-polarization in GaAs/AlAs square quantum-well wires, Physica E, 35, AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAS H., 2005, Spatial electric field effect in GaAs AlAs quantum wires, Physica E, 25, AKBAġ H.,EKMEKÇĠ S.,AKTAġ ġ.,tomak M., 1995, Electric field effect on shallow impurity states in mıltiple quantum well structures, Tr. J. of Physics, 19, AKTAġ ġ.,boz F., 2004, The binding energy of a hydrogenic impurity in triple GaAs/AlxGa1-xAs quantum well-wires under applied electric field, Trakya Univ. J. Sci., 5(2), CHAO HT, TRAN THOAI DB., 1995 Effect of the electric field on a hydrogenic impurity in a quantum-well wire, Physica B, 205, ILAIWI K.F., TOMAK M., 1990, Polarizabilities of shallow donors in finitebarrier quantum wires, Phys. Rev. B, 42, KARAOĞLU B., 1994, Kuantum Mekaniğine GiriĢ, Bilgitek yayıncılık, Ġstanbul KASAPOGLU E., SARĠ H., SOKMEN I.,2003, Binding energies of shallow donor impurities in different shaped quantum wells under an applied electric field, Physica B, 339, KITTEL C, 1996, Katıhal Fiziğine GiriĢ ( Bekir Karaoğlu), 6.basım,224, BilgiTekyayın.,Ġst. 10. MANUK G., BARSEGHYAN, ALBERT A. KĠRAKOSYAN, 2005, Electronic states in a step quantum well in a magnetic field, Physica E, 28, PACHECO M., BARTICEVIC Z., LATGÉ A., 2001, Electronic and impurity states in triple quantum wells Physica B, , SARI H., KASAPOĞLU E., SÖKMEN I., 2003, Shallow donors in a triple graded quantum well under electric and magnetic field Physica B, 325, SARI H., SÖKMEN I., YESILGÜL U., 2004, Photoionization of donor impurities in quantum wires in a magnetic field J. Phys. D: Appl. Phys., 37, XIAO Z., ZHU J., HE J., 1995, Impurity binding energy of a cylindrical quantum wire in a magnetic field Phys. Status Solidi (b), 191, 401
76 62 ÖZGEÇMĠġ Adı Soyadı : Gizem ġen Doğum Yeri ve Yılı : Ġstanbul-1988 Medeni Hali : Bekar Öğrenim Durumu: : T. Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü (Lisans) :T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans) Konu: Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite : T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans). Yayınlar: 1- Simetrik Ve Antisimetrik Kuantum Kuyularında Elektrik Alan Etkisi: Polarizasyon Ve Polarizabilite Sunum, Türk Fizik Derneği 27. Fizik Kongresi, Ġstanbul, 2010.
77 63
SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI FAĠK GÜNDOĞDU
I SONSUZ VE YARI SONLU KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE SELF POLARĠZASYON YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI FAĠK GÜNDOĞDU Tez Yöneticisi: Prof. Dr. Hasan AKBAġ EDĠRNE 011 II T.C TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ
LAZER ALANLARI ALTINDA KUANTUM KUYUSU ĐÇĐNDEKĐ YABANCI ATOMUN ĐNCELENMESĐ
LAZER ALANLARI ALTINDA KUANTUM KUYUSU ĐÇĐNDEKĐ YABANCI ATOMUN ĐNCELENMESĐ Bahadır BEKAR YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK ANABĐLĐM DALI Danışman: Yrd. Doç. Dr. Şaban AKTAŞ Edirne-2010 T.C. TRAKYA ÜNĐVERSĐTESĐ FEN
Ga 1-xR. As/GaAs/Al xr
Marmara Fen Bilimleri Dergisi 16 3: 11-117 DOI: 1.74/mufbed.45891 Antisimetrik Al x As/GaAs/Al x As Kuantum Kuyusunda Hidrostatik Basının Etkisi Sema MİNEZ 1 Serpil SUCU 1 Hasan AKBAŞ 1 1 Trakya Üniversitesi
Parabolik Kuantum Kuyusundaki Hidrojenik Düzeyler Üzerine Manyetik Alan Etkisi
Cumhuriyet Üniversitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 37, No. 2 (2016) ISSN: 1300-1949 Cumhuriyet University Faculty of Science Science Journal (CSJ), Vol. 37, No. 2 (2016) ISSN: 1300-1949
Yüksek Lisans Tezi GaAs / AlAs Kuantum Tellerine Hidrostatik Basıncın Etkisi. Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü. Fizik Anabilim Dalı ÖZET
i Yüksek Lisans Tezi GaAs / AlAs Kuantum Tellerine Hidrostatik Basıncın Etkisi Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada GaAs/AlAs kuantum telleri çalışılmıştır.
ÇİFT PARABOLİK KUŞATMA ALTINDA KUANTUM SİSTEMİ ELEKTRONİK ENERJİ DÜZEYLERİ
Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 0 (008) 1-1 Marmara Üniversitesi ÇİFT PARABOLİK KUŞATMA ALTINDA KUANTUM SİSTEMİ ELEKTRONİK ENERJİ DÜZEYLERİ SEZAİ ELAGÖZ *, OSMAN USLU VE PINAR BAŞER Cumhuriyet Üniversitesi
Kuantum Mekaniğinin Varsayımları
Kuantum Mekaniğinin Varsayımları Kuantum mekaniği 6 temel varsayım üzerine kurulmuştur. Kuantum mekaniksel problemler bu varsayımlar kullanılarak (teorik/kuramsal olarak) çözülmekte ve elde edilen sonuçlar
FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı
Potansiyel Engeli: Tünelleme
Potansiyel Engeli: Tünelleme Şekil I: Bir potansiyel engelinde tünelleme E
Bugün için Okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3), Bölüm 1.6 (3. Baskıda 1.4 )
5.111 Ders Özeti #4 Bugün için Okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3), Bölüm 1.6 (3. Baskıda 1.4 ) Ders #5 için Okuma: Bölüm 1.3 (3. Baskıda 1.6 ) Atomik Spektrumlar, Bölüm 1.7 de eģitlik 9b ye kadar (3. Baskıda
8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.
Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem Bir boyutlu bir problem için etkin kütle yaklaşımı ve zarf fonksiyonu (envelope function) yaklaşımı çerçevesinde Hamiltoniyen ve Schrodinger
KUANTUM NOKTASINDA ELEKTRİK ALAN VE SICAKLIĞIN BAĞLANMA ENERJİSİNE ETKİLERİ SERDİNÇ YENİ
KUANTUM NOKTASINDA LKTRİK ALAN V SICAKLIĞIN BAĞLANMA NRJİSİN TKİLRİ SRDİNÇ YNİ YÜKSK LİSANS TZİ FİZİK ANABİLİM DALI Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Hasan AKBAŞ dirne - 009 T.C. TRAKYA ÜNİVRSİTSİ FN BİLİMLRİ
Tartışmalar ve sonuçlar kısmında GaN/Al x Ga 1-x N kuantum kuyularının elektrik, manyetik, lazer alanların ve hidrostatik basıncın etkisinde enerji
BÖLÜM 1 GİRİŞ Teknolojinin hızla gelişmesiyle birlikte elektroniğin iki temel elemanı olan diyot ve transistörlerin üretiminde özellikle geniş band aralığına sahip yarıiletkenler tercih edilmektedir. Günümüzde
Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1
İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Genelleştirilmiş Koordinatlar... 2 1.3. Koordinat Dönüşüm Denklemleri... 3 1.4. Mekanik Dizgelerin Bağ Koşulları... 4 1.5. Mekanik Dizgelerin
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL Elektriksel Potansiyel Enerji Elektriksel potansiyel enerji kavramına geçmeden önce Fizik-1 dersinizde görmüş olduğunuz iş, potansiyel enerji ve enerjinin korunumu kavramları ile
A. Seçilmiş bağıntılar Zamana bağlı Schrödinger denklemi: Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi: Hamilton işlemcisinin konum temsili
A. Seçilmiş bağıntılar Zamana bağlı Schrödinger denklemi: Zamandan bağımsız Schrödinger denklemi: Hamilton işlemcisinin konum temsili Momentum işlemcisinin konum temsili Konum işlemcisinin momentum temsili
Coulomb Kuvvet Kanunu H atomunda çekirdek ve elektron arasındaki F yi tanımlar.
5.111 Ders Özeti #3 Bugün için okuma: Bölüm 1.2 (3. Baskıda 1.1 ), Bölüm 1.4 (3. Baskıda 1.2 ), 4. Baskıda s. 10-12 veya 3. Baskıda s. 5-7 ye odaklanın. Ders 4 için okuma: Bölüm 1.5 (3. Baskıda 1.3 ) Maddenin
BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER
BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER Farklı eksenlere karşılık gelen operatörler, komut verilerek birbiriyle komute olabilir. Ayrıca, bir değişken için olan operatör, başka bir operatörün fonksiyonu
ψ( x)e ikx dx, φ( k)e ikx dx ψ( x) = 1 2π θ açısında, dθ ince halka genişliğinin katı açısı: A. Fiziksel sabitler ve dönüşüm çarpanları
A. Fiziksel sabitler ve dönüşüm çarpanları B. Seçilmiş bağıntılar Rutherford saçınımının diferansiyel kesiti: Compton kayması Bohr un hidrojenimsi atom modelinde izinli yörüngelerin yarıçapı: olup burada
Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü 7. Hafta. Aysuhan OZANSOY
FİZ102 FİZİK-II Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü 7. Hafta Aysuhan OZANSOY Bölüm 6: Akım, Direnç ve Devreler 1. Elektrik Akımı ve Akım Yoğunluğu 2. Direnç ve Ohm Kanunu 3. Özdirenç 4. Elektromotor
Modern Fizik (Fiz 206)
Modern Fizik (Fiz 206) 3. Bölüm KUANTUM Mekaniği Bohr modelinin sınırları Düz bir dairenin çevresinde hareket eden elektronu tanımlar Saçılma deneyleri elektronların çekirdek etrafında, çekirdekten uzaklaştıkça
EMAT ÇALIŞMA SORULARI
EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) A = 4. ı x 2. ı y ı z ve B = ı x + 4. ı y 4. ı z vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz. İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir. A. B = 4.1 + ( 2). 4 + ( 1). ( 4)
olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan
1.ÜNİTE MODERN ATOM TEORİSİ -2.BÖLÜM- ATOMUN KUANTUM MODELİ
1.ÜNİTE MODERN ATOM TEORİSİ -2.BÖLÜM- ATOMUN KUANTUM MODELİ Bohr Modelinin Yetersizlikleri Dalga-Tanecik İkiliği Dalga Mekaniği Kuantum Mekaniği -Orbital Kavramı Kuantum Sayıları Yörünge - Orbital Kavramları
8.04 Kuantum Fiziği DersXIX
Bu takdirde yani, 1 = a ˆ 0 de bir enerji özdurumudur, ancak 0 için enerjisi 1hω yerine 3 hω dir. 2 2 Benzer şekilde, 2 = a ˆ 1 inde bir enerji özdurumu olduğunu fakat enerjisinin 5 hω, vs. 2 söyleyebiliriz.
I. ÇOK ELEKTRONLU ATOMLAR ĠÇĠN DALGA FONKSĠYONLARI
5.111 Ders Özeti #8 Bugün için okuma: Bölüm 1.12 (3. Baskıda 1.11) Orbital Enerjileri ( çok-lu atomlar), Bölüm 1.13 (3. Baskıda 1.12) Katyapı Ġlkesi. Ders #9 için okuma: Bölüm 1.14 (3. Baskıda 1.13) Elektronik
FİZ304 İSTATİSTİK FİZİK VE TERMODİNAMİK. Parçacık Sistemlerinin İstatistik Tanımlanması II
FİZ304 İSTATİSTİK FİZİK VE TERMODİNAMİK Parçacık Sistemlerinin İstatistik Tanımlanması II Prof.Dr. Orhan ÇAKIR Ankara Üniversitesi, FizikBölümü 2017 Makroskopik Sistemde Girilebilir Durum Sayısı Dengedeki
Akım ve Direnç. Bölüm 27. Elektrik Akımı Direnç ve Ohm Kanunu Direnç ve Sıcaklık Elektrik Enerjisi ve Güç
Bölüm 27 Akım ve Direnç Elektrik Akımı Direnç ve Ohm Kanunu Direnç ve Sıcaklık Elektrik Enerjisi ve Güç Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ Elektrik Akımı Elektrik yüklerinin
MANYETİK ALAN ALTINDAKİ İKİ BOYUTLU ELEKTRON GAZININ KİMYASAL POTANSİYELİ, ISI SIĞASI VE MANYETİZASYONU
MANYETİK ALAN ALTINDAKİ İKİ BOYUTLU ELEKTRON GAZININ KİMYASAL POTANSİYELİ, ISI SIĞASI VE MANYETİZASYONU Oscillations of Chemical Potential, Magnetizations and Head Capacity Under Magnetic Field of Two-Dimensional
BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II DOĞRUSAL ISI İLETİMİ DENEYİ 1.Deneyin Adı: Doğrusal ısı iletimi deneyi..
Ders #15 için okuma: Bölümler 3.4, 3.5, 3.6 ve 3.7 (3.baskıda, Bölümler 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 ve 3.8) Değerlik Bağı Teorisi.
5.111 Ders Özeti #14 Bugün için okuma: Bölüm 3.8 (3. Baskıda 3.9) Lewis Teorisinin Sınırları, Bölüm 3.9 (3. Baskıda 3.10) Molekül Orbitalleri, Bölüm 3.10 (3. Baskıda 3.11) Ġki Atomlu Moleküllerin Elektron
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z)
Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi
2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi Mehmet Ali Olpak Fizik Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara, Aralık 2011 Outline 1 2 3 Geometri Denklemin Parçalanması 4 Genel Durum N boyutlu bir uzayın,
BÖLÜM 12-15 HARMONİK OSİLATÖR
BÖLÜM 12-15 HARMONİK OSİLATÖR Hemen hemen her sistem, dengeye yaklaşırken bir harmonik osilatör gibi davranabilir. Kuantum mekaniğinde sadece sayılı bir kaç problem kesin olarak çözülebilmektedir. Örnekler
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
MASSACHUSETTS TEKNOLOJİ ENSTİTÜSÜ Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 1 Salı, Mart 14, :00-12:30
Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 1 Salı, Mart 14, 2006 11:00-12:30 SOYADI ADI Öğrenci No. Talimat: 1. TÜM ÇABANIZI GÖSTERİN. Tüm cevaplar sınav kitapçığında gösterilmelidir? 2. Bu kapalı bir sınavdır.
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin. Matris Metotları. Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL Bahar Yarıyılı
Yapı Sistemlerinin Hesabı İçin Matris Metotları 2015-2016 Bahar Yarıyılı Prof.Dr. Engin ORAKDÖĞEN Doç.Dr. Ercan YÜKSEL 1 BÖLÜM VIII YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DIŞ ETKİLERE GÖRE HESABI 2 Bu bölümün hazırlanmasında
Hareket halindeki elektrik yüklerinin oluşturduğu bir sistem düşünelim. Belirli bir bölgede net bir yük akışı olduğunda, akımın mevcut olduğu
Akım ve Direnç Elektriksel olaylarla ilgili buraya kadar yaptığımız tartışmalar durgun yüklerle veya elektrostatikle sınırlı kalmıştır. Şimdi, elektrik yüklerinin hareket halinde olduğu durumları inceleyeceğiz.
AMETĠST 'ĠN TERMOLÜMĠNESANS VE OPTĠKSEL ÖZELLĠKLERĠNĠN ARAġTIRILMASI SERA ĠFLAZOĞLU HASAN YÜREK ADĠL CANIMOĞLU
AMETĠST 'ĠN TERMOLÜMĠNESANS VE OPTĠKSEL ÖZELLĠKLERĠNĠN ARAġTIRILMASI SERA ĠFLAZOĞLU HASAN YÜREK ADĠL CANIMOĞLU Niğde Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, Niğde GĠRĠġ Doğal radyasyonun olduğu
KİNETİK GAZ KURAMI. Doç. Dr. Faruk GÖKMEŞE Kimya Bölümü Hitit Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi 1
Kinetik Gaz Kuramından Gazların Isınma Isılarının Bulunması Sabit hacimdeki ısınma ısısı (C v ): Sabit hacimde bulunan bir mol gazın sıcaklığını 1K değiştirmek için gerekli ısı alışverişi. Sabit basınçtaki
FİZK Ders 5. Elektrik Alanları. Dr. Ali ÖVGÜN. DAÜ Fizik Bölümü.
FİZK 104-0 Ders 5 Elektrik Alanları Dr. Ali ÖVGÜN DAÜ Fizik Bölümü Kaynaklar: -Fizik. Cilt (SERWAY) -Fiziğin Temelleri.Kitap (HALLIDAY & RESNIK) -Üniversite Fiziği (Cilt ) (SEARS ve ZEMANSKY) http://fizk104.aovgun.com
Delta Tipi Engel Potansiyeli Olan Kane Tipi Yarıiletkenlerde Elektronların Etkin g-çarpanı
Delta Tipi Engel Potansiyeli Olan Kane Tipi Yarıiletkenlerde Elektronların Etkin g-çarpanı Arif Babanlı 1,*, Deniz Türköz Altuğ 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü,
BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
BİLECİK ŞEYH EDEBALİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE VE İMALAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MÜHENDİSLİKTE DENEYSEL METOTLAR II ZAMANA BAĞLI ISI İLETİMİ 1.Deneyin Adı: Zamana bağlı ısı iletimi. 2. Deneyin
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
GÜÇ VE HAREKET ĠLETĠM ELEMANLARI
GÜÇ VE HAREKET ĠLETĠM ELEMANLARI P=sbt n m? n iģmak Ġġ MAKĠNASI Yapı olarak motor, güc ve hareket iletim elemanları ve iģ makinası kısmından oluģan bir makinanın esas amacı baģka bir enerjiyi mekanik enerjiye
MASSACHUSETTS TEKNOLOJİ ENSTİTÜSÜ Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 2 Salı, Mart 14, :00-12:30
Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 2 Salı, Mart 14, 2006 11:00-12:30 SOYADI ADI Öğrenci No. Talimat: 1. TÜM ÇABANIZI GÖSTERİN. Tüm cevaplar sınav kitapçığında gösterilmelidir? 2. Bu kapalı bir sınavdır.
Kane Tipi Kuantum Halkalarında Elektronların Etkin g-çarpanı. Effective g-factor of Electrons in the Kane Type Quantum Rings
Kane Tipi Kuantum Halkalarında Elektronların Etkin g-çarpanı Arif Babanlı 1,*, Deniz Türköz Altuğ 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü, 32260, Isparta, Türkiye 2 Süleyman
Tek Boyutlu Potansiyeller: Potansiyel eşiği
Tek Boyutlu Potansiyeller: Potansiyel eşiği Şekil I: V 0 yüksekliğindeki potansiyel eşiği. Parçacık soldan gelmekte olup, enerjisi E dir. Zamandan bağımsız bir durumu analiz ediyoruz ki burada iyi belirlenmiş
UBT Foton Algılayıcıları Ara Sınav Cevap Anahtarı Tarih: 22 Nisan 2015 Süre: 90 dk. İsim:
UBT 306 - Foton Algılayıcıları Ara Sınav Cevap Anahtarı Tarih: 22 Nisan 2015 Süre: 90 dk. İsim: 1. (a) (5) Radyoaktivite nedir, tanımlayınız? Bir radyoizotopun aktivitesi (A), izotopun birim zamandaki
HİDROLİK. Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU
HİDROLİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Ders Hakkında Genel Bilgiler Görüşme Saatleri:---------- Tavsiye edilen kitaplar: 1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL. ) 2-Akışkanlar Mekaniği
BÖLÜM 25 HELYUM ATOMU
BÖLÜM 25 HELYUM ATOMU Şimdi, Hidrojene benzer atomları daha detaylı inceleyelim. Bir sonraki en basit sistemi tartışmaya başlayalım: Helyum atomu. Bu durumda, R noktasında konumlanmış Z = 2 yükü bulunan
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
MIT Açık Ders Malzemeleri Fizikokimya II 2008 Bahar
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 5.62 Fizikokimya II 2008 Bahar Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr
Mühendislik Mekaniği Dinamik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Dinamik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 17 Rijit Cismin Düzlemsel Kinetiği; Kuvvet ve İvme Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Dinamik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ
ÖZEL EGE LİSESİ NAPOLEON PROBLEMİNE FARKLI BİR BAKIŞ HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Fatma Gizem DEMİRCİ Hasan Atakan İŞBİLİR DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gülşah ARACIOĞLU İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2.
FARKLI RENKLERDE IġIĞIN VE SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN GÜNEġ PĠLĠNĠN GÜCÜNE ETKĠSĠNĠN ARAġTIRILMASI
FARKLI RENKLERDE IġIĞIN VE SICAKLIK DEĞĠġĠMĠNĠN GÜNEġ PĠLĠNĠN GÜCÜNE ETKĠSĠNĠN ARAġTIRILMASI Hazırlayan Öğrenciler BaĢar ALPTEKĠN 7-C Rıza Lider BÜYÜKÇANAK 7-C DanıĢman Öğretmen Meltem GÖNÜLOL ÇELĠKOĞLU
Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine
Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine 1 Yalçın Yılmaz, 2 İsmail Küçük ve 3 Faruk Uygul *1 Faculty of Arts and Sciences, Dept. of Mathematics, Sakaya University, Sakarya, Turkey 2 Faculty of Chemical
PERDELĠ BETONARME YAPILAR ĠÇĠN DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZ METOTLARI
PERDELĠ BETONARME YAPILAR ĠÇĠN DOĞRUSAL OLMAYAN ANALĠZ METOTLARI Nonlinear Analysis Methods For Reinforced Concrete Buildings With Shearwalls Yasin M. FAHJAN, KürĢat BAġAK Gebze Yüksek Teknoloji Enstitüsü,
SİLİNDİRİK ELEKTROT SİSTEMLERİ
EM 420 Yüksek Gerilim Tekniği SİLİNDİRİK ELEKTROT SİSTEMLERİ YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRONIK YÜK. MÜH. Not: Tüm slaytlar, listelenen ders kaynaklarından alıntı yapılarak ve faydalanılarak
Bölüm 24 Gauss Yasası
Bölüm 24 Gauss Yasası Elektrik Akısı Gauss Yasası Gauss Yasasının Yüklü Yalıtkanlara Uygulanması Elektrostatik Dengedeki İletkenler Öğr. Gör. Dr. Mehmet Tarakçı http://kisi.deu.edu.tr/mehmet.tarakci/ Elektrik
9.14 Burada u ile u r arasındaki açı ve v ile u θ arasındaki acının θ olduğu dikkate alınarak trigonometrik eşitliklerden; İfadeleri elde edilir.
9.14 Burada u ile u r arasındaki açı ve v ile u θ arasındaki acının θ olduğu dikkate alınarak trigonometrik eşitliklerden; İfadeleri elde edilir. 9.15 Bu bölümde verilen koordinat dönüşümü uygulanırsa;
Fizik II Elektrik ve Manyetizma Elektriksel Potansiyel
Ders Hakkında FizikII Elektrik ve Manyetizma Dersinin Amacı Bu dersin amacı, fen ve mühendislik öğrencilerine elektrik ve manyetizmanın temel kanunlarını lisans düzeyinde öğretmektir. Dersin İçeriği Hafta
Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Arş. Gör. Gülden AKDAĞ Arş. Gör. Esra AÇIKGÜL
Doç. Dr. Mustafa ÖZDEN Arş. Gör. Gülden AKDAĞ Arş. Gör. Esra AÇIKGÜL 11.07.2011 Adıyaman Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Bölümü Fen Bilgisi Öğretmenliği A.B.D GĠRĠġ Fen bilimleri derslerinde anlamlı
Elektrik Akımı, Direnç ve Ohm Yasası
1. Akım Şiddeti Elektrik akımı, elektrik yüklerinin hareketi sonucu oluşur. Ancak her hareketli yük akım yaratmaz. Belirli bir bölge ya da yüzeyden net bir elektrik yük akışı olduğu durumda elektrik akımından
Bölüm 8: Atomun Elektron Yapısı
Bölüm 8: Atomun Elektron Yapısı 1. Elektromanyetik Işıma: Elektrik ve manyetik alanın dalgalar şeklinde taşınmasıdır. Her dalganın frekansı ve dalga boyu vardır. Dalga boyu (ʎ) : İki dalga tepeciği arasındaki
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Ağırlık Merkezi ve Geometrik Merkez Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C. Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9. Ağırlık
5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek
Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. Akışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde
Önerilen süre dakika (22 puan) dakika (16 puan) dakika (38 puan) 4. 9 dakika (24 puan) Toplam (100 puan) Ġsim
Birinci Tek Saatlik Sınav 5.111 Ġsminizi aģağıya yazınız. Sınav sorularını sınav başladı komutunu duyuncaya kadar açmayınız. Sınavda notlarınız ve kitaplarınız kapalı olacaktır. 1. Problemlerin her bir
BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR
BÖLÜM 17 RİJİT ROTOR Birbirinden R sabit mesafede bulunan iki parçacığın dönmesini düşünelim. Bu iki parçacık, bir elektron ve proton (bu durumda bir hidrojen atomunu ele alıyoruz) veya iki çekirdek (bu
Subat 2013 Şubat 2014 Doktora Yeterlik Sınavı Elektrodinamik 1. Yarıçapları sırasıyla a ve b olan eş merkezli iki küre Va ve Vb sabit potansiyellerinde tutuluyorlar. Ara bölgedeki ( a r b ) elektrik
TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU. Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi
TEZSİZ YÜKSEK LİSANS PROJE ONAY FORMU Eğitim Bilimleri Anabilim Dalı Eğitim Yönetimi, Denetimi, Planlaması ve Ekonomisi Bilim Dalı öğrencisi Ahmet ÖZKAN tarafından hazırlanan Ġlkokul ve Ortaokul Yöneticilerinin
DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü
DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket
Statik Manyetik Alan
Statik Manyetik Alan Noktasal Yüke Etki eden Manyetik Kuvvet Akım Elemanına Etki Eden Manyetik Kuvvet Biot-Savart Kanunu Statik Manyetik Alan Statik manyetik alan, sabit akımdan veya bir sürekli mıknatıstan
İstatistiksel Mekanik I
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için
LİNEER DALGA TEORİSİ. Page 1
LİNEER DALGA TEORİSİ Giriş Dalgalar, gerçekte viskoz akışkan içinde, irregüler ve değişken geçirgenliğe sahip bir taban üzerinde ilerlerler. Ancak, çoğu zaman akışkan hareketi neredeyse irrotasyoneldir.
J.J. Thomson (Ġngiliz fizikçi, 1856-1940), 1897 de elektronu keģfetti ve kütle/yük oranını belirledi. 1906 da Nobel Ödülü nü kazandı.
1 5.111 Ders Özeti #2 Bugün için okuma: A.2-A.3 (s F10-F13), B.1-B.2 (s. F15-F18), ve Bölüm 1.1. Ders 3 için okuma: Bölüm 1.2 (3. Baskıda 1.1) Elektromanyetik IĢımanın Özellikleri, Bölüm 1.4 (3. Baskıda
YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRO NIK Y Ü K. M Ü H.
EM 420 Yüksek Gerilim Tekniği EŞ MERKEZLİ KÜRESEL ELEKTROT SİSTEMİ YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRO NIK Y Ü K. M Ü H. Not: Tüm slaytlar, listelenen ders kaynaklarından alıntı yapılarak
TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Silindirsel Elektrot Sistemi
Aralarında yalıtkan madde (dielektrik) bulunan silindir biçimli eş eksenli yada kaçık eksenli, iç içe yada karşılıklı, paralel ve çapraz elektrotlar silindirsel elektrot sistemlerini oluştururlar. Yüksek
8.04 Kuantum Fiziği Ders V ( ) 2. = dk φ k
Geçen Derste ψ( x) 2 ve φ( k) 2 sırasıyla konum ve momentum uzayındaki olasılık yoğunlukları Parseval teoremi: dxψ( x) 2 = dk φ k ( ) 2 Normalizasyon: 1 = dxψ( x) 2 = dk φ k ( ) 2 Ölçüm: x alet < x çözünürlüğü
SCHRÖDİNGER: Elektronun yeri (yörüngesi ve orbitali) birer dalga fonksiyonu olan n, l, m l olarak ifade edilen kuantum sayıları ile belirlenir.
. ATOMUN KUANTUM MODELİ SCHRÖDİNGER: Elektronun yeri (yörüngesi ve orbitali) birer dalga fonksiyonu olan n, l, m l olarak ifade edilen kuantum sayıları ile belirlenir. Orbital: Elektronların çekirdek etrafında
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 3 Laminanın Mikromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 3 Laminanın Mikromekanik
ATOMUN KUANTUM MODELİ
ATOMUN KUANTUM MODELİ 926 yıllarında Erwin Schrödinger Heisenberg den bağımsız olarak de Broglie nin hipotezinden ilham alarak tüm parçacıkların hareketinin hesaplanabileceği bir dalga mekaniği oluşturmuştur.
Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:
KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi
ELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI
ELEKTROMANYETIK ALAN TEORISI kaynaklar: 1) Electromagnetic Field Theory Fundamentals Guru&Hiziroglu 2) A Student s Guide to Maxwell s Equations Daniel Fleisch 3) Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri
SUFEFD (2015), 41: İKİ ELEKTRONLU VE ÇOK TABAKALI KÜRESEL BİR KUANTUM NOKTASININ ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ
REVIEW SUFEFD (2015), 41: 65-75 SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ FEN DERGİSİ İKİ ELEKTRONLU VE ÇOK TABAKALI KÜRESEL BİR KUANTUM NOKTASININ ELEKTRONİK ÖZELLİKLERİ Raşit AYDIN 1, Mehmet ŞAHİN 2 1 Selçuk
5. Boyut Analizi. 3) Bir deneysel tasarımda değişken sayısının azaltılması 4) Model tasarım prensiplerini belirlemek
Boyut analizi, göz önüne alınan bir fiziksel olayı etkileyen deneysel değişkenlerin sayısını ve karmaşıklığını azaltmak için kullanılan bir yöntemdir. kışkanlar mekaniğinin gelişimi ağırlıklı bir şekilde
DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ ÇALIŞMA SORULARI
DEVRE VE SİSTEM ANALİZİ 01.1.015 ÇALIŞMA SORULARI 1. Aşağıda verilen devrede anahtar uzun süre konumunda kalmış ve t=0 anında a) v 5 ( geriliminin tam çözümünü diferansiyel denklemlerden faydalanarak bulunuz.
3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
Adı ve Soyadı : Nisan 2011 No :... Bölümü :... MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI
Adı ve Soyadı :................ 16 Nisan 011 No :................ Bölümü :................ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ ARA SINAV SORULARI 1) Aşağıdakiler hangisi/hangileri doğrudur? I. Coulomb yasasındaki Coulomb
Magnetic Materials. 7. Ders: Ferromanyetizma. Numan Akdoğan.
Magnetic Materials 7. Ders: Ferromanyetizma Numan Akdoğan akdogan@gyte.edu.tr Gebze Institute of Technology Department of Physics Nanomagnetism and Spintronic Research Center (NASAM) Moleküler Alan Teorisinin
Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi
JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin
SİSTEMİ YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRONIK YÜK. MÜH.
EM 420 Yüksek Gerilim Tekniği DÜZLEMSEL ELEKTROT SİSTEMİ YRD.DOÇ. DR. CABBAR VEYSEL BAYSAL ELEKTRIK & ELEKTRONIK YÜK. MÜH. Not: Tüm slaytlar, listelenen ders kaynaklarından alıntı yapılarak ve faydalanılarak