Hisabu l-hataeyn aha hau

Transkript

1 Hisabu l-hataeyn İslam matematiğinde, ilmü'l-cebr ve'l-mukabele haricinde bilinmeyenin (mechûl) tespitinde kullanılan "tarîk"ler veya diğer ismiyle "kânûn"lar oldukça çeşitlidir (Mesela bkz., İbn Fellus, Nisâbü'l-habr fi hisabi'l-cebr, Laleli, nr. 1231, yaprak 1b; Meçhul, Risale fi'l-hisab, Reşid Efendi, nr 1185, yaprak 11b; Allâme Salahaddin Musa, Muhtasar fi'l-hisab, Şehid Ali, nr. 1992/1, 9b vd., 19a vd.). Ancak bunlardan el-a'dadü'l-arbaatü'l-mütenasibe (dört orantılı sayı), hisabü'l-hataeyn (çift yanlış hisabı) ve hisabu't-tahlil ve't-teaküs (analiz ve ters çevirme) en çok kullanılan üç yöntemdir (Bahaeddin el-amili, Hulasatü'l-hisab, s , 78-81, 82-83; Meçhul, Risale fi'l-hisab, Hacı Mahmud, nr. 4246/1, 1b-48b. Bu eser İslam matematiğinde bilinmeyenin tespiti yöntemlerini en iyi özetleyen eserlerden biridir. Nitekim meçhul müellif eserin üçüncü babını (istihrâcu'lmeçhulât) dört asla ayırmakta ve sırasıyla el-erbaatü'l-mütenâsibe, el-hataeyn, elamel bi'l-aks ve el-cebr ve'l-mukabeleyi incelemektedir). Matematik tarihinde, hisabü'l-hataeyn'nin kaynağı konusunda henüz neticelendirilmeyen bir çok tartışma mevcuttur. Modern araştırmalara göre yöntemin kökü Mısır hisab sistemine kadar geri gitmektedir. Mısırlılar, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirilebilecek bazı hisab problemlerini "aha veya hau=grup, öbek" denilen bir yöntem kullanarak çözmekte idiler. Bu yöntem çift yanlış hisabının ibtidai hali olan tek yanlış yöntemi olması açısından dikkati çekmektedir. Bu yöntemde, verilen problemin şartlarına uygun olarak, çözüm olabilecek bir tahminde bulunmak, daha sonra gerekli aritmetik işlemler ile doğru çözümü tespit etmek esastır. Bu açıdan Mısır cebiri "aha-hesaplaması" olarak ta kabul edilmektedir (Aydın Sayılı, Mısırlılarda

2 ve Mezepotamyalılarda Matematik Astronomi ve Tıp, Ankara, s 45-46; Richard J. Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, New York 1982, s ). Mısırlıların da kullandığı ve daha sonra İslam dünyasında förmüle edilen tek hata yöntemi şu şekilde özetlenebilir: ax ax c x = c olur; buradan x =. 1 c = c denkleminde x = x 1 alınırsa denklem elde edilir. Mısırlıların ve daha sonra İslam matematikçilerinin böyle bir çözüm yoluna baş vurmalarının temel sebebi, denklemin kökükün tespiti esnasında "çok sayıda kesrin hisabından kaçınma" düşüncesi olabilir. Nitekim birim kesir anlayışına dayalı Mısır kesir anlayışının ve bu kesir anlayışını tevarüs edip geliştiren İslam matematiğindeki kesir sisteminin karmaşık yapısı hatırlanırsa niçin böyle bir yola başvurulduğu daha kolay anlaşılabilir (İslam matematiğindeki kesir sistemi için bkz. hisabu'l-hevai maddesi). Çift yanlış hisabının ortaya çıkmasının en önemli sebebi ise, bilinmeyen şeklinde ifade edilebilecek cebirsel nicelik ile temel cebir kavram ve yöntemlerinin varolmadığı bir ortamda denklem çözümünde işe yaramasıdır. Çift yanlış hisabı ile ilgili ilk yazılı metin, miladi birinci yüzyılda Çinli matematikçiler tarafından kaleme alınan Chiu Chang Suan Shu adlı eserin yedinci bölümünde kullanılan ying pu tsu (çok fazla ve yeterli değil) yöntemi hakkında verilen bilgilerdir (Joseph Needham, Science and Civilisation in Chine, c. III, Cambridge 1979, s ). Ancak bazı klasik matematik metinlerinde zikredildiği ve Salih Zeki'nin de vurguladığı gibi hisabü'l-hataeyn, İslam medeniyetine Hind dünyasından gelmiştir. Nitekim Yunanlılardan tevarüs edilen matematik eserlerinde bu hisab yöntemine ilişkin herhangi bir bilgi mevcut değildir. Bunun yanında İbnü'l- Benna ve İbnü'l-Haim gibi bazı İslam matematikçileri eserlerinde hisabü'lhataeyn'nin menşeinin hendesî temelli olduğunu vurgulamaktadır.

3 İslam matematiğinde bu hisab yönteminin hisabu'l-hataeyn yanında el-amel bi'lkeffat, hisab bi'l-kaffeteyn gibi değişik adları vardır. İkisi arasındaki en önemli fark, hataeyn'de çözüm sayısal olarak yapılırken, keffat'da sayısal çözüm iki terazi kefesi şeklindeki bir geometrik çizimle temsil edilmektedir. Bu hisab yöntemi ile birinci dereceden bir bilinmeyenli her türlü aritmetik problem tam değer olarak, yüksek dereceli denklemler ise yaklaşık olarak çözümlenebilir. Nitekim Cemşid el-kaşi, bu yöntemin sadece lineer denklemlerde tam çözüm verdiğini, yüksek dereceli denklemler için sahih olmadığını belirtmektedir. Gerçekte çift yanlış hisabı birinci dereceden olmak şartıyla daha karmaşık problemler için de kolayca kullanılabilir. Çok bilinmeyenli birinci dereceden bir denklem sisteminin çözümü de bu yöntem ile halledilebilir. Nitekim bu yöntem yukarıda zikredilen Çin matematik eserinde iki bilinmeyenli, daha sonra Avrupa'da da XIII. yüzyıldan itibaren iki, üç ve hatta dört bilinmeyenli lineer denklem sistemleri için kullanılmıştır. İslam matematiğinde ax + b = c denkleminin çift yanlış hisabına göre çözümü için -negatif sayılar olmadığından-, verilen kaide modern matematik diliyle şu şekilde özetlenebilir: ax + b = c denkleminde 1). x = x 1 alınırsa ax + b = c ve 2). 1 1 x = x 2 alınırsa ax2 + b = c2 elde edilir. Çift yanlış ise 1 = c c 1 ve 2 = c c 2 x1 2 x2 1 olacaktır. 1 ve 2 yanlışları aynı işaretli iseler x = ; farklı işaretli iseler 2 1 x1 2 + x2 1 x = olur Literatür:İslam matematiğinde, hemen hemen bütün klasik matematik metinlerinde birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü için kullanılan ve kendisine özel bir bölüm tahsis edilen hisab el-hataeyn, hisab

4 kitapları içinde bağımsız bir yöntem (tarîk) olarak kabul görmüş, ayrıca hakkında bağımsız birçok risale yazılmıştır. Bu eserlerden bazıları şu şekilde zikredilebilir: Ebu Abdullah Muhammed b. Ahmed b. Yusuf el-harizmî el-katip, Mefâtîhu'lulum'unda, hisabu'l-hatayen'den bahsetmiş ve genel kaidesini vermiştir (nşr. Cevdet Fahruddin, Beyrut 1991, s. 179). Ünlü cebirci Ebu Kamil Şuca b. Eslem, Kitabü'l-hataeyn, Ebu Yusuf Yakub b. Muhammed el-hasib el-masîsî, Kitabü'lhataeyn, Ebu Yusuf Yakub b. Muhammed el-razi, Kitab Hisabi'l-hataeyn adlı birer eser telif etmiştir (İbn el-nedim, el-fihrist, neşr: Nahid Abbas Osman, Davha 1985, s ). Ünlü matematikçi, astronom ve fizikçi İbnü'l-Heysem bu yöntem hakkında Kitab fi hisabi'l-hataeyn ismiyle bir eser kaleme almıştır (Kadri Hafız Tukan, Turasü'l-Arabi'l-İlmi fi'r-riyadiyyat ve'l-felek, Nablus 1963, s. 305). İbnü'l-Havvâm adıyla tanınan İmaduddîn Ebu Ali Abdullah b. Muhammed b. Abdurrezzak el-bağdadî'nin (öl. 724/1324) Şaban 675/Ocak 1276 tarihinde telif ettiği el-fevaidü'l-bahaiyye fi'l-kavâidi'l-hisâbiyye adlı eserin dördüncü makalesinin son babını hisabü'l-hataeyne ayırmış (tenkitli metin s. 129), öğrencisi Kemaluddin Hasan b. Ali Farisî (ö. 718/1319) hocasının adı geçen bu eserine yazdığı Esas el-kavaid fi Usuli'l-Fevaid adlı şerhinde verilen kaideyi üç mukaddime üzerine kurarak sıkı bir ispat sürecine tabi tutmuştur (nşr: Mustafa Mevaldî, Kahire, 1994, s ). Daha sonra İmaduddin Yahya b. Ahmed Kaşî (ö. 745/1344) adlı matematikçi İbnü'l-Havvam'ın aynı eserine kaleme aldığı İzahu'l- Mekasid li'l-feraidi'l-fevaid isimli şerhinde hisabu'l-hataeyn babını Kemaleddin Farisi'den farklı bir şekilde ele alarak incelemiştir (Laleli, nr. 2745, yaprak 162a- 164a. Her üç eserin Osmanlı matematiği içindeki yeri için bkz. Hisab maddesi ile hisabü'l-hevai maddesi). İmaduddin el-kaşî ayrıca Lubabu'l-Hisab adlı önemli eserinin ikinci makalesinin ikinci babını hisabü'l-hataeyne tahsis etmiştir (Ayasofya, nr. 2757). Ebu'l-Hasan ed-duskerî (?) Tarika fi istihraci'l-hataeyn adlı bir risale kaleme almıştır (Fatih, nr. 3439/21, yaprak 235b-236b, ist. 587h, GAS,

5 c. V, s. 392). İbn el-bennâ el-merrâkuşî diye tanınan Siracüddin Ebu'l-Abbas Ahmed b. Muhammed b. Osman el-ezdi (öl. 721/1321) Telhîs A'mali'l- Hisâb'ının ikinci cüzünün birinci kısmında fi'l-amel bi'n-nisbe başlığı altında keffatı vermektedir (nşr. Suveysi, Tunus 1969, s , Osmanlı matematiği içindeki yeri için bkz. hisabü'l-hindî maddesi). Ebu Abdullah Yaiş b. İbrahim b. Yusuf el-umevi el-endelusî (VIII/XIV. asır) Merasimü'l-intisab fi mealimi'l-hisab adlı eserinde el-amel bi'l-keffat adı altında hisabü'l-hataeyni incelemektedir (nşr. Ahmed Selim Saidan, Haleb 1981, s ). İbnü'l-Haim diye tanınan Ebü'l- Abbas Şihabuddin Ahmed b. Muhammed el-makdisi (öl. 815/1412) 791 tarihinde telif ettiği el-ma'une fi'l-hisabi'l-hevai adlı eserinde hisabu'l-hataeyni incelemektedir (nşr. Hudayr Abbas Muhammed el-münşidavî, Bağdad 1988 s , Osmanlı matematiği içindeki yeri için bkz. hisabu'l-hevai maddesi). Ünlü matematikçi astronom Gıyaseddin Cemşid el-kaşi, Miftahü'l-hisab'ının beşinci makalesinin ikinci babını bu yönteme ayırmaktadır (nşr. Nadir Nabulsî, s , Osmanlı matematiği içindeki yeri için bkz. hisab maddesi). Batı İslam matematiğinin önemli isimlerinden olan Nureddin Ebü'l-Hasan Ali b. Muhammed b. Muhammed b. Ali el-kalasâdî el-endelüsî (öl. 891/1486) Keşfu'l- Esrâr an İlmi Hurufi'l-Ğubar adlı eserinin dördüncü cüzünün ikinci bölümünde fi'l-amel bi'l-keffât adıyla hisabü'l-hataeyni incelemektedir (Hasan Hüsni Paşa, nr. 1292/2). İstanbul'da yazma eserlerin bulunduğu kütüphanelerde, hisabü'lhataeyni konu alan müellifi meçhul onlarca risale bulunmaktadır (Mesela bkz. Risale fi hisabi'l-hatayen, Reşid Efendi, nr. 1147/3, yaprak 40b-44a, İstinsahı 1148; Risale fi'l-hataeyn, Hasan Hüsni Paşa, nr. 1292, yaprak 104b-105b, Osmanlı matematikçisi Mustafa Sıdkı tarafından 1167'de istinsah edilmiştir; Hisabü'lhataeyn, Fatih nr. 3439/21, yaprak ; Telhîs mesaili'l-hisab, Belediye, M. Cevdet, nr. K 352/1, 1b-57a, dördüncü bölüm).

6 Osmanlı döneminde Ali Kuşçu, el-muhammediye isimli eserinin birinci fenninin dördüncü makalesini hisab el-hataeyne ayırmış (Ayasofya 2733/2, 149a-151b), X/XVI. asır Osmanlı sahasında yaşadığı tahmin edilen matematikçilerden olan Abdülmecid b. Abdullah el-samulî el-sa'dî el-hindî, Risale el-nafia fi'l-hisab ve'l- Cebr ve'l-hendese adlı hacimli eserinin ikinci makalesinin birinci babının ikinci faslında "el-amel bi'l-keffat ve yusemma zalike bi'l-hataeyn"i incelemiş (Topkapı, Emanet Hazinesi, nr. 2003, yaprak 50b vd.), Ali b. Veli b. Hamza el-mağribi ise Tuhfet el-adad lizevi el-rüşd ve el-sedad adlı eserinin üçüncü makalesinin ikinci bölümünde aynı konuyu işlemiştir (Darü'l-kütübi'l-misriyye, Talat Riyada Türki, nr. 1, yap 143a-153b). Konu ile ilgili daha sonraki telifler Bahaeddin el- Amili'nin, Hulasat el-hisab'ının dördüncü babını esas alarak devam etmiştir (nşr. Celal Şevki, Kahire 1981, s ; Mesela, bkz. Abdurrahim b. Ebî Bekr b. Süleyman el-maraşi (öl. 1149/1736), Şerhu'-risaleti'l-bahaiyye fi'l-hisab, İbrahim Efendi (mükerrer), nr. 245, yap. 132a vd; Hasan b. Muhammed, Şerhu'r-Risaleti'l- Bahaiyye fi'l-hisab, Hacı Beşir Ağa, nr. 658/5, 371b-450b, dördüncü bab). Muhammed b. Ömer b. Ahmed el-vasîtî el-ğamri el-feleki (1161/1748'de sağ), bu konuda önce Risale fi'l-hataeyn adlı bir risale yazmış (Yazma Bağışlar, nr. 1347, yaprak 32-33), daha sonra Risale uhrâ fi'l-hataeyn adlı başka bir risale telif etmiştir (Yazma Bağışlar, nr. 1347, yaprak 33-36). Gelenbevi İsmail Efendi ise Hisab el- Kusur'unun üçüncü babını hisab el-hataeyn'e tahsis etmiştir (İstanbul Üniversitesi, TY, nr. 1592, yaprak 16b vd.). Gelenbevi burada keffatı verirken farklı bir sembol yapısı kullanmaktadır (Adı geçen eserler için bkz. Hisab maddesi). Hisabü'l-hataeyn Osmanlı muhasebe kalemlerinde çalışan muhasib ve katiplerin sıkça kullandığı bir hisab yöntemi olmuştur. Bu sebebten dolayı Osmanlı döneminde telif edilen hemen hemen tüm muhasebe matematiği kitaplarında

7 hisabü'l-hataeyne yer verilmiştir. Nitekim Fatih Sultan mehmed ve Sultan II. Bayezid devri matematikçilerinden olan Hayruddîn Halil b. İbrahim divan muhasipleri için kaleme aldığı Miftah-i Kunuz-i Erbab-i Kalem ve Misbah-i Rumuz-i Eshab-ı Rakam adlı Farsça eserinin onaltıncı babını (Şehid Ali, nr. 1978/2) hisabü'l-hataeyn tahsis etmiştir. Eserin tümü Sultan II. Bayezid döneminde Hayruddin'in öğrencisi Mahmud Sıdkı el-edirnevi tarafından Türkçeye tercüme edildiği gibi (Şehid Ali, nr. 1973), on altıncı bab da yine Sultan II. Bayezid döneminde, Muhyiddin b. Hacı Atmaca (899/1494'te sağ) tarafından Türkçe'ye çevrilmiştir (Halet Efendi, nr. 221/4). Ayrıca İbn Atmaca telifini 899'da tamamladığı Mecma el-kavaid isimli Türkçe eserinin şıkk-ı evvelinin on altıncı faslını hataeyn'e ayırmıştır (Esad Efendi, nr. 3176). XVI. yüzyılın sonlarında Türkçe kaleme alınan Gencinetü'l-Hüssâb ve Hizanetü'l-Küttâb adlı müellifi meçhul eserde hisabü'l-hataeyn örnekleri ile beraber geniş bir şekilde işlenmiştir. Bu kitapta dikkati çeken rakamların yazılışı, işlemlerin yapılışı ve keffat ile temsilin diğer matematik kitaplarına göre oldukça farklı olmasıdır (İstanbul Üniversitesi, TY, nr. 1792, yaprak 78a-82b). Avrupa'ya Geçiş: Hisabü'l hataeyn Arapça eserlerden tercümeler esnasında Batı Avrupa'ya aktarılmıştır. Leonardo Fibonacci (XIII. yüzyıl) Liber Abaci'de bu yönteme elchataym adını vermektedir. Pacioli (XV. yüzyıl) 1494'de telif ettiği Sûma'da, muhtemelen Fibonacci'den esinlenerek, el cataym kelimesini kullanmaktadır. XVI. yüzyılda Avrupalı yazarlar Pacioli'yi takip ederek aynı tabiri bazen, il cataino, del cattaino (Pagnani, XVI. yüzyıl), helcataym (Tartaglia, XVI. yüzyıl), catain gibi Arapça aslının bozuk şekilleri ile, bazende Regula duorum falsorum şeklindeki Latince tercümesini kullanmışlardır. XVI. yüzyıldan başlayarak ise yavaş yavaş çeşitli Avrupa ülkelerinde farklı adlar verilmiştir. Bu gün matematikte rule of <double> false position olarak

8 isimlendirilmektedir (David Eugene Smith, History of Mathematics, c. II, New York 1953, s ). el-amel bi'l-keffat ise, Latince'de regula lancium veya regula bilancis olarak isimlendirilmiştir. Bu hisab yöntemi Avrupa'da XVIII. yüzyılda okul kitaplarında yaygınlaşmış, on dokuzuncu yüzyılda da bu yaygınlık nisbi olarak devam etmiştir. Bu kadar yaygınlaşmasının temel sebebi, sayısal analize ve cebire ihtiyaç duyulmaksızın bir bilinmeyenli lineer denklemlerin çözümünde algoritmik bir hisab yöntemi olarak kullanılmasına bağlanılmaktadır. Kaynaklar: Madde içinde verilenler haricinde, Salih Zeki, Asar-ı Bakiye, c. II, s ; İhsan Fazlıoğlu, İbn el-havvam ve Eseri El-Fevaid El-Bahaiyye fi el-kavaid el-hisabiyye -Tenkitli Metin Tarihi Değerlendirme- İstanbul Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü yayınlanmamış yüksek lisans tezi, İstanbul 1993, s , , tenkitli metin 129.