STOKASTİK PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN YARIGRUP METODU YAKLAŞIMI. DOKTORA TEZİ Mehmet Emin ŞAN. Anabilim Dalı: Matematik-Bilgisayar

Transkript

1 İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STOKASTİK PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN YARIGRUP METODU YAKLAŞIMI DOKTORA TEZİ Mehmet Emin ŞAN Anabilim Dalı: Matematik-Bilgisayar Programı: Matematik Doktora OCAK

2 İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STOKASTİK PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN YARIGRUP METODU YAKLAŞIMI DOKTORA TEZİ Mehmet Emin ŞAN 944 Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 5 Ocak Tezin Savunulduğu Tarih : Ocak Tez Danışmanı: Tez Eşdanışmanı: Diğer Jüri Üyeleri: Doç Dr Mert ÇAĞLAR, İKÜ Prof Dr Allaberen ASYRALYEV, FÜ YrdDoçDr Yasar POLATOGLU, İKÜ Prof Dr Alexey LUKASOV, FÜ YrdDoçDr Remzi Tunç MISIRLIOGLU, İKÜ OCAK

3 ÖNSÖZ Başta bu çalışmamda en fazla emeği olan sevgili Prof Dr Allaberen ASYRA- LYEV hocama, eş danışmanım Doç Dr Mert ÇAĞLAR, sonra aileme, eşime, Fatih ve Kültür üniversitesindeki değerli arkadaşlarıma teşekkür ederim Uzun süreli bir emeğin ürünü olan bu tezin tüm insanlığa fayda sağlamasını ümit ediyorum Ocak Mehmet Emin ŞAN ii

4 İÇİNDEKİLER SEMBOL LİSTESİ iv ÖZET v SUMMARY vi GİRİŞ BÖLÜM Rothe Fark Şeması BÖLÜM K apalı Fark Şeması 4 BÖLÜM C rank-nicholson Fark Şeması 5 SAYISAL SONUÇLAR 9 SONUÇLAR 9 KAYNAKLAR 9 ÖZGEÇMİŞ 9 EK 9 iii

5 SEMBOL LİSTESİ P : Toplam E() : Tahmini Değer : Norm R : Integral : ilbert Uzayı A : Kendine Adjoint Operatör δ : Keyfi Pozitif Reel Sayı iv

6 Üniversitesi : İstanbul Kültür Üniversitesi Enstitüsü : Fen Bilimleri Anabilim Dalı : Matematik-Bilgisayar Programı : Matematik Tez Danışmanı : Doç Dr Mert ÇAĞLAR Tez Türü ve Tarihi : Doktora - OCAK ÖZET STOKASTİK PARABOLİK DENKLEMLER İÇİN YARIGRUP METODU YAKLAŞIMI Mehmet Emin ŞAN Bu tezde yerel olmayan sınır değer Stokastik parabolik denklemlerin tek basamaklı fark şemaları sunulmuştur Bu fark şemalarının yaklaşım tahminleri yapılmıştır Yerel olmayan parabolik sınır değer problemlerinin sayısal çözüm fark şemalarının yakınsama tahminleri yapılmıştır Son olarak sayısal uygulamalarınada yer verilmiştir Anahtar Kelimeler : Operatörlerin Yarı Grupları, Stokastik Parabolik Eşitlikler, Fark Şeması, Tahminin Yakınsaması, ilbert Uzayı Bilim Dalı Sayısal Kodu : 94 v

7 University : İstanbul Kültür University Institute : Institute of Science Science Programme : Mathematics and Computer Programme : Mathematics Supervisor : Doç Dr Mert ÇAĞLAR Degree Awarded and Date : PhD - JANUARY SUMMARY An Approximation of Semigroups Method for Stochastic Parabolic Equations Mehmet Emin ŞAN In the present thesis, the single step difference schemes for the numerical solution of the nonlocal boundary value problem for stochastic parabolic equations are presented The convergence estimates for the solution of these difference scheme are established In applications, the convergence estimates for the solution of difference schemes for the numerical solution of nonlocal boundary value problems for parabolic equations are obtained The numerical applications are given Keywords : Semigroups of Operators, Stochastic Parabolic Equations, Difference Scheme, Convergence Estimates, ilbert space Science Code : 94 vi

8 GİRİŞ ava tahminleri, fizyon hareketleri, finansal instrümentler örneğin bona değerleri, enflasyon tahminleri vs ler belirsiz sistemlerdir ve bu belirsiz sistemler parabolik stokastik diferansiyel denklemler yardımı ile yorumlanırlar Sınır değer problemleri çözümü bu belirsiz sitemlerin yorumlanmasında bir model oluşturur Stokastik diferansiyel denklemlerin ilbert ve Banach uzaylarında araştırılmasında Operatörler metodundan istifade edilir Bu konuda araştırma yapan yazarları kaynaklar kısmı içınde bulabilirsiniz (bkz [], [], [], [4]) Stokastik diferansiyel denklemlerin başlangıç sınır değer kısmı birçok araştırmacı tarafından ele alındı (bakınız, [5], [], [], [], [9], [], [], [], []) Ancak, çoknoktalı yerel olmayan sınır değer problemleri için aynı şeyi pek söyleyemeyiz Son olarak ilbet ve Banach uzaylarındaki operetör yarıgrupları metodu, parçalı evülasyon diferansiyel denklemlerinde sistemli olarak ele alınıp geliştirilmiştir(bakınız, [], [], [9], [], [], [] kaynaklar) Fiziğin matematik kısmında fark şemalarından sıklıkla istifade edilmektedir Bilgisayar programları bizlere fark şemalarında uygulama yapma imkanı vermektedir Böylece fark şemalari oluşturup yerel olmayan sınır değer problemlerine çözüm geliştirmek araştırmacıların ilgisini celp etti Fourier ve Laplace dönüşüm metotları ile yerel olmayan stokastik parabolik sınır değer problemlerini çözmek mümkün Şimdi yerel olmayan stokastik parabolik sınır değer eşitliğini ele alalım dv v xx dt = e t sin xdw t, < t <, < x < π, v(, x, ) = v(, x, w ) e sin xw, x π, () v(t,, w t ) = v(t, π, w t ) =, t, w t = tξ ξ N(, ) Problem () in çözümü için, Fourier serisi metodunu kullanabiliriz Problemi çözebilmek için ayrıştırmamız gerekmektedir

9 ve du u xx dt =, < t <, < x < π, u(, x, ) = u(, x, w ), x π, u(t,, w t ) = u(t, π, w t ) =, t () dz z xx dt = e t sin xdw t, < t <, < x < π, z(, x, ) = z(, x, w ) e sin xw, x π, z(t,, w t ) = z(t, π, w t ) =, t () İlk olarak problem () nin çözümünü elde ederiz Fourier serisi metodu ile, u(t, x, w t ) = T (t, w t )X(x) ı elde ederiz Dolayısı ile veya T (t, w t )X(x) = T (t, w t )X (x), ve sınır değer şartlarını kullanarak T (t, w t ) T (t, w t ) = X (x) X(x) = λ X() =, X(π) = elde edilir Kolaylıkla göstermek mümkün ki eğer λ sınır değer problemi X (x) λx(x) =, X() =, X(π) = verilen başlangıç değer şartlarında trivial çözüm X(x) = ise biz λ < durumunda çözümleri inceleyeceğiz Bunlar X (x) λx(x) =, X() =, X(π) = X k (x) = sin kx, k =,, ikinci eşitliği kullanarak ve λ = k, den

10 T (t, w t ) + k T (t, w t ) = elde edilir Lineer diferansiyel denklemin gerçek çözümü aşağıdaki gibidir, Böylece T k (t, w t ) = C k ()e kt u(t, x, w t ) = X k= C k ()e kt sin kx Sınır şarlarını kullanarak u(, x, ) = u(, x, w ), X C k () sin kx = X k= k= C k ()e k sin kx elde ederiz Buradan C k () C k ()e k = ve C k () = Böylece u(t, x, w t ) İkinci olarak, () ün çözümünü elde ederiz olsun Bundan z(t, x, w t ) = X k= A k (t, w t ) sin kx, dz z xx dt = X k= (da k (t, w t ) + k A k (t, w t ))dt sin kx = e t sin xdw t Eğer k için da k (t, w t ) + k A k (t, w t )dt = yi çözersek, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz A k (t, w t ) = A k (, )e kt Eğer k =, da (t, w t ) + A (t, w t )dt = e t dw t dir çözerek şunu yazabiliriz A (t, w t ) = A (, )e t + Z t = A (, )e t + e t w t e (t s) e s dw s

11 buradan z(t, x, w t ) = X k= A k (, )e kt sin kx + e t w t sin x Yerel olmayan sınır değer şarlarını kullanirsak, z(, x, ) = z(, x, ) e w sin x, veya X A k (, ) sin kx = X k= k= A k (, )e k sin kx + e w sin x e w sin x, X A k (, ) sin kx = X k= k= A k (, )e k sin kx Buradan A k (, ) = ve z(t, x, w t ) = + e t w t sin x = e t w t sin x Böylece, veya v(t, x, w t ) = u(t, x, w t ) + z(t, x, w t ) = + e t sin xw t, v(t, x, w t ) = e t sin xw t ifadesi verilen sınır değer problemi () nin bir çözümüdür Aynı yoldan çok boyutlu yerel olmayan sınır değer stokastik diferansiyel problemini çözmek mümkün dv(t, x, w t ) n P r= α v(t,x,w t) r dt + δv(t, x, w x t ) = f(t, x)dw t, r x = (x,, x n ) Ω, < t < T, P v(, x, ) = J α j v(λ j, x, w λj ) + ϕ(x, w λ,,w λj ), x Ω, JP α j, < λ < < λ J, v(t, x, w t ) =, x S, öyleki α r, δ > ve f(t, x)(t [, T ], x Ω), ϕ(x, w ), x Ω iyi tanımlı fonksiyolar olarak veriliyor Burada Ω açık n boyutlu birim küp Öklit Uzayıdır Rn ( < x k <, k n) sınır şartları S, Ω = Ω S dır Değişkenlerin ayrışımı metodu sadece katsayılar sabit olması durumunda kullanılabilinir Fark metodu, t ve uzay değişkenlerine bağlı değişken katsayılı parçalı diferansiyel denklemlerinde sıklıkla kullanılır 4

12 İkinci olarak, stokastik terimli parabolik eşitliklerde sınır değer problemini ele alacağız dv(t, x, w t ) v xx dt + vdt = e (t+x) dw t, < t <, < x <, v(, x, ) = v(, x, w ) e (+x) w, x <, v(t,, w t ) = e t w t, v x (t,, w t ) = e t w t, t (4) Problem (4) ün çözümünde, son eşitliğin her iki tarafına Laplace dönüşüm metodunu kullanarak L{dv} = L{v xx dt} L{vdt} + L{e (t+x) dw t } elde edilir dl{v} = s L{v}dt sv(t,, w t )dt v x (t,, w t )dt L{v}dt + e t dw t s + L{v(t, x, w t )} = v(t, s, w t ) diyelim Sonra dv(t, s, w t ) s v(t, s, w t )dt + se t w t dt e t w t dt + v(t, s, w t )dt = e t dw t s + Böylece, aşağıdaki denlklemi elde ederiz Böylece, dv(t, s, w t ) + ( s )v(t, s, w t )dt = e t dw t s + (s )e t w t dt v(t, s, w t ) = e ( s )t v(, s, ) + e ( s )t s + t e ( s )p dw p e ( s )t (s ) t e ( s)p w p dp v(, s, ) = v(, s, w ) + ϕ(s, w ) sınır değer şartlarını kullanarak ve kısmi integrasyon metoduyla şunu elde ederiz Sonra v(t, s, w t ) = e t w t s + 5

13 veya Böylece, v(t, x, w t ) = L {v(t, s, w t )} = L { e t w t s + }, v(t, x, w t ) = L { s + }e t w t v(t, x, w t ) = e (t+x) w t yerel olmayan sınır değer brobleminin (4) çözümüdür Aynı yoldan çok boyutlu yerel olmayan sınır değer stokastik diferansiyel problemini çözmek mümkün dv(t, x, w t ) n P r= α v(t,x,w t) r dt + δv(t, x, w x t ) = f(t, x)dw t, r x = (x,, x n ) Ω +, < t < T, P v(, x, ) = J α j v(λ j, x, w λj ) + ϕ(x, w λ,,w λj ), x Ω +, JP α j, < λ < < λ J, v(t, x, w t ) =, v xk (t, x, w t ) =, x S +, k =,, n, öyleki α r, δ > ve f(t, x)(t [, T ], x Ω + ), ϕ(x, w λ,,w λj ), x Ω + iyi tanımlı fonksiyonlar olsun Burada Ω + n boyutlu açık Öklit uzayı Rn ( < x k <, k n) sınırı S +, Ω + = Ω + S + Laplace değişim metodu sadece katsayılar sabit olması durumunda kullanılabilinir Fark metodu, t ve uzay deişkenlerine bağlı değişken katsayılı parçalı diferansiyel denklemlerinde sıklıkla kullanılır Üçüncü olarak, stokastik terimli parabolik eşitliklerde sınır değer problemini Fourier değişim metodu ile çözümünü ele alacağız dv v xx dt = x e 4t dw πt t, v( +, x, + ) = v(, x, w ) x e 4 w π, < x < Eşitiğin (5) her iki tarafına Fourier değşimini uygulayalım Sonra, (5) elde edilir Buradan F {dv} F {v xx dt} = F { e x 4t πt dw t}

14 elde edilir df {v(t, x, w t )} (is) F {v(t, s, w t )}dt = F { e x 4t πt }dw t F {v(t, x, w t )} = v(t, s, w t ) olsun, buradan elde edilir dv(t, s, w t ) + s v(t, s, w t )dt = e st dw t Adi diferansiyel denkleminin çözümünden, elde edilir sınır değerleri kullanılarak v(t, s, w t ) = v( +, s, + )e st + e s t t dw p Buradan v(t, s, w t ) = v(, s, w )e st e s w e st + e s t t dw p v(t, s, w t ) = e st w t Son olarak ters Fourier dönüşümünü kullanırsak Böylece, u(t, x, w t ) = F {F {e st w t }} problem (5) in çözümünü elde ederiz u(t, x, w t ) = e x 4t πt w t Aynı yoldan çok boyutlu yerel olmayan sınır değer stokastik diferansiyel prob-

15 lemini çözmek mümkün dv(t, x, w t ) P α r v(t,x,w t) r x r r =m x rn n dt + δv(t, x, w t )dt = f(t, x)dw t, x, r R n t T, r = r + + r n, P v(, x, ) = J α j v(λ j, x, w λj ) + ϕ(x, w λ,,w λj ), x R n, JP α j, < λ < < λ J, öyleki α r, δ > ve f(t, x)(t [, T ], x R n ), ϕ(x), x R n iyi tanımlı fonksiyonlardır Ancak, Fourier dönüşümü yöntemi yalnızca denklem sabit katsayılı olması durumunda kullanılabilinir Katsayıları t ve uzay değişkenli bağımlı kısmi diferansiyel denklemleri çözmek için en faydalı yöntem fark şemaları yöntemi olduğu bilinmektedir Yerel olmayan stokastik parabolik sınır değer problemleri yerel olmayan sınır değer problemine indirgenebilinir dv(t) = Av(t)dt + f(t)dw t, < t < T, P v() = J α j v(λ j ) + ϕ(w λ,,w λj ), JP α j, < λ < < λ J ilbert uzayında A kendine adjoint pozitif operatördür Burada () i w t bu bir standart Wiener proses olduğu (Ω, F, P ) ihtimal uzayında verilmiştir sağlar ii f(t), M w([, T ], ) uzayının elemanıdır i içerir ve aşağıdaki şartı E Z T f(t) dt <, Şimdi gelecekte ihtiyacımızın olacağı bazı lemmaları ve ispatlarını verelim Bu tezin tamamında verilen bu tanımlama geçerlidir, bir ilbert uzayı olsun, A bir pozitif tanımlı kendine adjoint operatör A δi, olsun öyleki δ > Lemma Aşağıdaki souçları almak mümkün: e ta e δt (t ), Ae ta (t > ) () t

16 Lemma Kabul edelimki sağlanır Buradan, operatör tersi elde edilir Υ = aşağıdaki sonuçlar elde edilir: k= I I α k () k= k= α k e λ ka α k e λ ka! (9) Υ İspat: Üçgen eşitsizli, kabul () ve sonuç I k=! α k e λ ka e λ δ C(δ, λ ) () sup δ µ< P J k= α k e λ kµ dan elde edebiliriz Şimdi problem () için bir çözüm bulmaya çalışalım (i) (ii) ve E v() <,, kabulleri altında Cauchy problemi dv(t) = Av(t)dt + f(t)dw t, < t < T, v() veriliyor () nin tek çözümü vardır ve aşağıdaki gibi yazılır v(t) = e At v() + Sonra bu formül ve çok noktalı sınır değer şartlarından Z t e A(t s) f(s)dw s () bunu elde ederiz v() = α j v(λ j ) + ϕ(w λ,,w λj ), v() = α j e Aλ j Z λ j v() + α j 9 e A(λ j s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj )

17 P Lemma den operatör I J α j e Aλ j tersi sınırlıdır Υ = Buradan v() = Υ < : Z λ j α j I J P 9 = α j e Aλ jœ e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ; () Böylece, Şu formülleri () ve () ü problem () nın çözümü için elde ederiz Şimdi [, T ] aralığında tek adımlı tam fark şemasını inceleyeceğiz Düzgün ağ (uniform grid) uzayını > basamağında ele alalım [, T ] = {t k = k, k =,,, N, N = T } N belirli pozitif tam sayıdır Teorem v(t k )ifadesi () nın t = t k ağ noktalarında çözümü olsun Sonra {v(t k )} N ifadesi aşağıdaki çok noktalı yerel olmayan sınır değer fark denkleminin v (t k ) v (t k ) + I e AŠ v (t k ) = Z tk t k e (t k s)a f(s)dw s, (4a) çözümdür v () = Υ < : Z λ j α j k N, 9 = e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ; İspat t = t k ve t = t k yı formül () de yerine yazarsak, v(t k ) = e t ka v() + = e A e t k A v() + + Z tk v(t k ) = e t k A v() + Z tk Z tk e (t k s)a f(s)dw s t k e (t k s)a f(s)dw s, Z tk elde edilir Böylece, v(t k ) ve v(t k ) arasındaki ilişkiyi v(t k ) = e A v(t k ) + Z tk e (t k s)a f(s)dw s e (t k s)a f(s)dw s, t k e (t k s)a f(s)dw s elde ederiz Son eşitlik ve ilişkisi (4a) a denk Theorem ispatlandı

18 Mevcut çalışmalarla, yerel olmayan sınır değer problemi () nin sayısal çözümleri için tek adımlı fark şemaları oluşturulmuştur Bu fark şemaları içinde yakınsak tahminler oluşturulmuştur Uygulamada bu soyut sonuç bize yerel olmayan parabolik sınır değer problemlerinin sayısal çözümlerinde yakınsak tahminleri elde etmeye yarar Teorik tüm sonuçları sayısal olarak ele alıp destekledik Şimdi tezimizdeki bölümleri kısaca özetleyelim Tez altı bölümden oluşmaktadir İlk bölüm Giriş İkinci bölüm de problem () nın yaklaşık çözümlerini bulmak için / inci mertebeden doğru Rothe fark şemasını kurduk ve araştırdık Uygulamada bu soyut sonuç bize yerel olmayan parabolik sınır değer problemlerinin sayısal çözümlerinde yakınsak tahminleri elde etmeye yarar Üçüncü bölümde de problem () nın yaklaşık çözümlerini bulmak için / inci mertebeden doğru fark şemasını, A dan oluşturulan, kurduk ve araştırdık Dördüncü bölümde de problem () nın yaklaşık çözümlerini bulmak için oluşturulan / inci mertebeden doğru Crank-Nicholson fark şemasını kurduk ve araştırdık Beşinci bölüm sayısal analize ve altıncı bölümde sonuç kısmına ayrıldı

19 Rothe Fark Şeması Bu bölümde / inci mertebeden doğru fark şemasını problem () in tahmini çözümü için kurduk ve araştırdık Bu fark şemasının tahmini çözümü için yakınsama tahmini oluşturuldu Uygulama olarak, yerel olmayan çok noktalı sınır değer stokastik parabolik eşitliklerin fark şemaları çözümlerinin yakınsama tahminleri elde edilmiştir /-inci Mertebeden Doğru Rothe Fark Şeması: Standard Wiener Prosesli İleride gerekli olan lemmaları sırayla verelim Lemma Aşağıdaki sonuçları alamak mümkün: A e A(t s p) e AŠ C, ts p t s, s N, () A α R k, k N, α, () (k) α A α R k e kaš α öyleki R = (I + A), k N, α, () k α Lemma Kabul edelimki () doğrudur Sonra, Aşağıdaki operatörün I α j R λj tersi vardır ve operatör sınırlıdır Υ = I α j R λj Ž (4) ve aşağıdaki sonuç sağlanır: Υ C(δ, λ ) (5)

20 İspat İspat üçgen eşitsizliğinden ve kabul()den elde edilir, ve sonuç I α j R λj Ž sup δ µ< P J α k λk (+µ) (4a) nın yardımı ile çok noktalı yerel olmayan sınır değer problemlerinin tahmini değer çözümleri çok daha kolay () ifadesini tahmin etmemiz gerekli Z tk e A, t k e (t k s)a f(s)dw ve çoknoktalı yerel olmayan sınır değer şartı v() = α j v(λ j ) + ϕ(w λ,,w λj ) f(t) için (ii) den daha kuvvetli bir kabulle bu mümkündür E A ϕ(wλ,,w λj ) + max A E f(s) s T C e A, e (t k s)a ifadelerini R = (I + A), ile yer değiştirirsek problem () nin çözümü için Rothe fark şemasını aşağıdaki gibi elde ederiz R t k u k u k + Au k = ϕ k, ϕ k = f(s)dw s, t k = k, k N, t k P u = J Rothe fark şemasının α j u λj + ϕ(wλ,,w λj ) R t k u k u k + Au k = ϕ k, ϕ k = f(s)dw s, t k = k, k N, t k u = ϕ(w λ,,w λj ) () Cauchy problemi çözümleri için dv(t) = Av(t)dt + f(t)dw t, < t < T, v() = ϕ(w λ,,w λj ), w t = tξ, ξ N(, ), t T () tek çözümü vardır, aşağıdaki formülle şöyle ifade edilir u k = R k u + kx Z t k R k s+ t k f(s)dw s, k N ()

21 Bu formül ve çok noktalı yerel olmayan sınır değer şartlarından aşağıdakini elde ederiz u = α j R λj u = u + α j u λj + ϕ(wλ,,w λj ), X λj α j R λj P Lemma 5 yardımı ile operatör I J α j R Υ = I s+ λj α j R f(p)dw p + ϕ(w λ,,w λj ) λj ün sınırlı tersi vardır Ž Sonra u = Υ > : X λj α j R λj s+ 9 >= f(p)dw p + ϕ(w λ,,w λj ) >; (9) Böylece, () ve (9) formüllerini problem () in çözümleri için elde ederiz Şimdi fark şeması () nın yakınsama tahminini araştıracağız Teorem Aşağıdaki yakınsama tahmini max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) () k N elde edilir Burada, C ve C (δ, λ ) dan bağımsızdır İspat formül () ve (9) yi kullanarak, aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz v() u = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ) +Υ Z λ j α j +(Υ Υ ) Z λ j α j e A(λ j s) f(s)dw s e A(λ j s) f(s)dw s X λj α j R λj s+ f(p)dw p = P,J + P,J + P,J + P 4,J + P 5,J + P,J, öyleki 4

22 P 5,J = Υ P 4,J = Υ P,J = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ), () P,J = (Υ Υ ) λj α j P,J = Υ X λj α j X p= P,J = Υ Z t p p= t p e λj Š p X λj α j p= Z λ j α j Z λ j α j λj e A(λ j s) f(s)dw s, () e A(λ j s) f(s)dw s, () e (λj s)a e λj Š Œ s A f(s)dw s, (4) R λj A R λj p Z t p Œ p Zt p t p e (tp s)a f(s)dw s, (5) t p e (tp s)a R f(s)dw s () Bütün k =,,, ler için P k,j ı bulalım P,J den başlıyalım (9) ve (4) formüllerini kullanarak, aşağıdaki ifadeyı elde ederiz Υ Υ = ΥΥ J X α j e Aλ j R λj Œ Ž () P,J nin beklenen değerini tahmin edelim Formül () ü kullanarak, üçgen eşitsizliği, (5), () ve () sonuçlarını kullanarak E P,J Υ Š Υ α j E A ϕ(wλ,,w λj ) A e Aλ j R λ j elde edilir C (δ, λ ) E A ϕ(wλ,,w λj ) Şimdi P,J yi tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini, (5), (), () ve () leri kullanarak şunu elde ederiz E P,J Υ Š Υ α j 5 A e Aλ j R λ j

23 E C 5 (δ, λ ) Z λ j e A(λj s) A f(s)dws X J α j max E A f(s) s λ j C (δ, λ ) max E A s T f(s) Şimdi P,J i tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini, (5) ve () leri kullanarak şunu elde ederiz Υ C (δ, λ ) α j C (δ, λ ) E P,J Š e A(λ j s) α j α j λ j C (δ, λ ) Z λ j λj λj Z λ j λj E f(s) ds Ž E f(s) ds Œ max E s T f(s) max E s T f(s) Şimdi P 4,J i tahmin edelim (4) formülünü, üçgen eşitsizliğini, (5) ve () yi kullanarak şunu elde ederiz E P4,J Š Υ α j λj X E Z t p p= t p A e (λj s)a e λj Š Œ s A E A f(s) ds C (δ, λ ) λj X p= Z t p t p E A f(s) ds C (δ, λ ) max E A f(s) s T

24 Şimdi P 5,J i tahmin edelim (5) formülünü, üçgen eşitsizliğini, (5), () ve () yi kullanarak şunu elde ederiz E P5,J Š Υ C (δ, λ ) E E ZT Z t p α j t p e (tp s)a Ž A f(s) ds λj X A p= e λj Š p A f(s) ds C (δ, λ ) A R λj Œ p max E A f(s) s T Şimdi P,J yi tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini, (5), () ve () yi kullanarak şunu elde ederiz E P,J Š Υ E Z t p t p e (tp s)a R C (δ, λ ) α j λj X p= λj A R p A f(s) ds max E A f(s) s T yukarıdakileri kullanarak P k,j, k =,,, şunu elde ederiz E v(t ) u Š C 4 (δ, λ ) () Theorem i ispatlamak için aşağıdaki sonucu elde etmek yeterlidir max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) (9) k N () ve () formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz v(t k ) u k = e ka v() + kx Zt s e (k s)a e A(ts p) f(p)dw p

25 R k u öyleki kx R k s+ Zt s D,k = (e ka R k )Υ D 4,k = D,k = kx k X Z ts R k s D 5,k = f(p)dw p = D,k + D,k + D,k + D 4,k + D 5,k, < : Z λ j α j 9 = e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ;, D,k = R k (v() u ), ts e (k s)a R k sš kx Z e A(ts p) f(p)dw p, e A(ts p) f(p)dw p e A Š Z ts R k s e A R f(p)dw p f(p)dw p D m,k i tüm m =,, 5 ler için ayrı ayrı bulalım D,k dan başlayalım Üçgen eşitsizliğini, (), (), () ve () leri kullanarak şunu elde ederiz E D,k Š (e ka R k )A, E Υ C (δ, λ ) < : Z λ j α j E Υ A e A(λ j s) f(s)dw s + A ϕ(wλ,,w λj ) Z λ j α j C (δ, λ ) Υ < : 9 = ; e A(λ j s) A f(s)dws + A ϕ(wλ,,w λj ) α j Z λ j + A ϕ(wλ,,w λj ) e A(λ j s) A E f(s) ª ds C (δ, λ ) C 4 (δ, λ ) T Z E A f(s) ds + E A ϕ max E A f(s) s T Ž + E A ϕ!

26 Şimdi D,k i tahmin edelim () ü kullanarak aşağıdaki ifadeyi E D,k R k Š E v() u ve () i kullanırsak, şu sonucu elde ederiz: E v() u Š, E D,k Š C(δ, λ ) Şimdi D,k i tahmin edelim üçgen eşitsizliğini, (), () ve () yı kullanarak, şu sonucu elde ederiz C(δ, λ ) E D,k Š C(δ, λ ) k X E e A(t s p) A f(p) C (δ, λ ) k X E dp A Zts e (k s)a R k s A f(p) C(δ, λ ) max E A f(s) s T dp E Z T Ž A f(p) dp Şimdi D 4,k i tahmin edelim üçgen eşitsizliğini, (5), () ve () i kullanarak şu sonucu elde ederiz C(δ, λ ) D 4,k = kx E D4,k Š kx E Z ts R k s kx R k s E A f(p) e A(ts p) e A Š f(p)dw p A f(p) dp A e A(t s p) e AŠ dp C(δ, λ ) max E A f(s) s T Son olarak, D 5,k i tahmin edelim üçgen eşitsizliğini, () ve () yı kullanarak şu sonucu elde ederiz E D5,k Š kx R k s 9 E Zts A f(s) ds

27 Š A e A R C (δ, λ ) max E A f(s) s T D,k, D,k, D,k, D 4,k ve D 5,k leri toparlarsak (9) elde edilir ve Theorem ispatlanmış olur Şimdi Theorem in uygulamasına bir göz atalım İlk önce, bir boyutlu yerel olmayan stokastik parabolik diferansiyel denklem için sınır değer problemine bakalım du(t, x) (a(x)u x ) x dt + δu(t, x)dt = f(t, x)dw t, < t < T, < x <, P u(, x) = J α j u(λ j, x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x, u(t, ) = u(t, ), u x (t, ) = u x (t, ), t T, () öyleki δ >, a(x) a > (x (, )), ϕ(w λ,,w λj, x) (x [, ]) ve f(t, x) (t, x [, ]) x e göre iyi tanımlı fonksiyonlardır Problem () ün diskritizasyonu iki aşamalıdır tanımlayalım, İlk aşamada bir ağ uzayı [, ] h = {x = x n : x n = nh, n M, Mh = } ilbert uzayını tanımlayalım Ağ fonksiyonlarını L h = L ([, ] h ) ϕ h (x) = {ϕ n } M ve [, ] h de tanımlayalım, normuda olsun ϕ h Lh = X x [,] h ϕ(x) h Ž / Problem () yardımı ile oluşturulan A fark operatörünü A x h i şöyle ifade edebiliriz A x hϕ h (x) = { (a(x)ϕ x ) x,n + δϕ n } M () ağ fonksiyonlar uzayında ϕ h (x) = {ϕ n } M ϕ = ϕ M, ϕ ϕ = ϕ M ϕ M şartlarını sağlıyor A x h L h uzayında pozitif tanımlı kendinden adjoint bir operatördür Yerel olmayan sınır değer problemine A x h ın yardımı ile ulaşırız du h (t, x) + A x hu h (t, x)dt = f h (t, x)dw t, < t < T, x [, ] h, P u h (, x) = J α j u h (λ j, x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x [, ] h ()

28 İkinci aşamada, () yı fark şeması () ile yer değiştirelim u h k(x) u h k (x) + A x hu h k(x) = fk (x), h fk (x) h = f h (s, x)dw s, t k t k = k, k N, x [, ] h, P u h (x) = J α j u h [ λ j ](x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x [, ] h R t k () Teorem ve h keyfi ve yeterince küçük sayı olsun Böylece,() nin çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar max k N öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır E v h (t k ) u h k C(δ, λ ) + h, (4) L h Theorem in ispatı Theorem in soyut formu temel alınarak ve A x h () de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır İkinci, Ω n boyutlu Öklit uzayında açık birim küp olsun Rn = {x = (x,,, x n ) : < x i <, i =,, n} sınırları S Ω = Ω S [, T ] Ω nın içinde çok boyutlu yerel olmayan parabolik eşitlik için sınır değer problemi olsun P du(t, x) n (a r (x)u xr ) xr dt = f(t, x)dw t, r= < t < T, x = (x,, x n ) Ω, P u(, x) = J α j u(λ j, x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x Ω, u(t, x) =, x S, t T, (5) Dirichlet şartını ele alalım Burada a r (x), (x Ω), ϕ(x) (x Ω), ve f(t, x) (t (, ), x Ω) verilen x ve a r (x) a > göre iyi tanımlı fonksiyonlardır Problem (5) nın diskritizasyonu iki aşamalıdır İlk aşamada, ağ uzayını şöyle tanımlayalım Ü Ω h = {x = x m = (h m,, h n m n ); m = (m,, m n ), m r N r, h r N r =, r =,, n}, Ω h = Ü Ω h Ω, S h = Ü Ω h S L h ilbert uzayını ifade eder L h = L ( Ü Ω h ) = ϕh (x) : X x e Ωh ϕ h (x) h h n / >= < 9 >;

29 (5) daki Fark operatörü A yı aşağıdaki ifade ile yer değiştirelim A x hu h (x) = nx Š ar (x)u h x r r= x r,j r, () öyleki, fark operatörü A x h ağ fonksiyonlarında şöyle tanımlanmıştır u h (x) =, S h deki her x çina x h ler L h uzayında kendine-adjoint pozitif tanımlıdır (5) ve () yı kullanarak, aşağıdakini elde ederiz du h (t, x) + A x hu h (t, x)dt = f h (t, x)dw t, < t < T, x Ω h, P u h (, x) = J α j u h (λ j, x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x Ω Ü h () İkinci aşamada, () yı fark şeması () ile yer değiştirelim u h k(x) u h k (x) + A x hu h k(x) = fk (x), h fk (x) h = f h (s, x)dw s, t k t k = k, k N, x Ω h, P u h (x) = J α j u h [ λ j ](x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x Ω Ü h R t k () Teorem ve h = È h + + h n keyfi küçük sayılar olsun Böylece, fark şeması çözümleri () aşağıdaki yakınsama tahminini sağlar, max k N öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır E v h (t k ) u h k C(δ, λ ) + h, (9) L h Theorem ün ispatı Theorem in soyut formuna ve () de tanımlı fark operatörü A x h in simetri özelliğine bağlıdır

30 Rothe Fark Şeması: Standard Dışı Wiener Prosesli Kabul edelimki, max t [,T ] A f (t) + max t [,T ] A f(t) C e A ve e (t k s)a ifadelerini R = (I + A) ifadesiyle, v(λ j ) ifadesini v h λ j ifadesiyle ve f(s) fonksiyonunu f(t k ) fonksiyonu ile yer değiştirirsek, Rothe fark şemasını u k u k + Au k = f(t k )(w tk w tk ), k N, P u = J + ϕ(wλ,,w λj ) α j u λj i () elde ederiz Problem () in çözümü için formül bulalım Cauchy problemi () için Rothe fark şeması u k u k + Au k = f(t k )(w tk w tk ), k N, u is given nın tek çözümü vardır, ve aşağıdaki gibi temsil edilir u k = R k u + kx R k s+ f( )(w ts w ts ), k N () Sonra bu formülden ve çoknoktalı yerel olmayan sınır şartlarından şunu elde ederiz u = α j u λj + ϕ(wλ,,w λj ), = α j R λj u + X λj α j R λj P Lemma den operatör I J α j R Υ = I u s+ f( )(w ts w ts ) + ϕ(w λ,,w λj ) λj sınırlı tersi vardır, α j R λj Ž,

31 sonra u = Υ > : X λj α j R λj s+ f( )(w ts w ts ) + ϕ(w λ,,w λj ) >; () Böylece, problem () in çözümü için () ve (9) formüllerimiz vardır Şimdi, farklar şemasının yakınsamasını () inceleyeceğiz 9 >= Teorem 4 Kabul edelimki aşağıdaki yakınsama tahmini E A ϕ(wλ,,w λj ) C, max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ), () k N doğrudur Burada C ve C (δ, λ ) dan bağımsızdır İspat () ve () formüllerini kullanarak, aşağıdaki gibi yazabiliriz Υ v() u = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ) +Υ λj α j Z λ j α j X R λj e A(λ j s) f(s)dw s s+ f( )(w ts w ts ) öyleki = P,J + P,J + P,J + P 4,J + P 5,J + P,J + P,J, P 4,J = Υ P,J = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ), (4) P,J = (Υ Υ ) P,J = Υ α j λj X Z t p p= t p Z λ j α j Z λ j α j λj e A(λ j s) f(s)dw s, (5) e A(λ j s) f(s)dw s, () e (λj s)a e λj Š Œ s A f(s)dw s, () 4

32 P 5,J = Υ P,J = Υ α j λj α j λj X p= X p= P,J = Υ e λj Š p R λj p α j Z tp λj X p= t p R A R λj Œ p Zt p e (tp s)a f(s)dw s λj t p e (tp s)a f(s)dw s, () Z t p t p e A f(t p )dw s, (9) p e A R Š f(t p ) w tp (4) P k,j yı bütün k =,,, ler için ayrı ayrı tahmin edelim P,J den başlayalım (4), (9), (4) formüllerini, (5) ve () sonuçlarını, üçgen eşitsizliğini kullanılarak aşağıdaki gibi yazabiliriz Υ Υ = ΥΥ J X α j e Aλ j R λj Œ Ž (4) E P,J Υ Š Υ α j A E A ϕ(wλ,,w λj ) C (δ, λ ) E A ϕ(wλ,,w λj ) e Aλ j R λ j Şimdi P,J i tahmin edelim (5) formülünü, üçgen eşitsizliğini () yi kullanarak şunu elde ederiz E P,J Š C 5 (δ, λ ) C 5 (δ, λ ) C (δ, λ ) E Z λ j Z λ j e A(λ j s) A f(s)dws A f(s) ds A max f(s) s T 5

33 Şimdi P,J i tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini ve (5) u kullanarak şunu eldeederiz Υ α j E P,J Š e A(λ j s) C (δ, λ ) C (δ, λ ) α j α j λ j C (δ, λ ) Z λ j λj λj A Z λ j λj A f(s) ds, A f(s) ds, Œ max A f(s) s T A max f(s) s T Şimdi P 4,J i tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini (5) u kullanarak şunu elde ederiz(), λj X Z t p A p= t p C (δ, λ ) Şimdi P 5,J λj X p= Z t p E P4,J Š Υ e (λj s)a e λj Š Œ s A t p A f(s) ds α j C (δ, λ ) A f(s) ds max A f(s) s T i tahmin edelim formül () yi, üçgen eşitsizliğini, (5), () ve () yı kullanarak şunu elde ederiz α j E P5,J Š Υ λj X A p= Z t p t p e (tp s)a e λj Š p A R λj A f(s) ds Œ p

34 C (δ, λ ) T Z Ž A f(s) ds C (δ, λ ) max A f(s) s T Şimdi P,J yi tahmin edelim Formül (9) ü, üçgen eşitsizliğini, (5), (), () ve (), i kullanarak şunu elde ederiz λj X Z t p p= t p C (δ, λ ) Z tp λj R λj X P,J Š p= p Z t p Υ α j e (tp s)a f(s) e A f(t p ) ds t p e (tp s)a f(s) e (tp tp )A f(t p ) = C (δ, λ ) λj X p= ds t p e (tp s)a e (tp tp )A Š f(s) + e (tp tp )A (f(s) f(t p )) ds C (δ, λ ) λj X Z t p p= t p A Š e (t p s)a e (tp t p )A A f(s) + e (t p t p )A (f(s) f(t p )) ds C (δ, λ ) λj X Z t p p= t p A f(s) + f(s) f(t p ) ds C 4 (δ, λ ) λj X Z t p p= t p A f(s) + f (s) ds

35 C 4 (δ, λ ) C 5 (δ, λ ) ZT A f(s) Z T ds + A max f(s) + max s T s T Ž f (s) ds f (s) Š Son olarak, P,J yi tahmin edelim Formül (4) ü, üçgen eşitsizliğini, (5), () ve () i kullanarak şunu elde ederiz λj X p= λj R p E P,J Š C(δ, λ ) Υ α j! Š A e A R A f(tp ) E wtp λj X p= A f(tp ) E wtp w tp bir wiener prosesi olduğundan aşağıdaki sonuç E w tp tp = elde edilir Böylece, E P,J Š C(δ, λ ) C (δ, λ ) λj X p= A f(tp ) A max f(s) s T P k,j, k =,, i kullanarak aşağıdaki tahmini elde ederiz, E v(t ) u Š C 4 (δ, λ ) (4) Teorem 4 in ispati için aşağıdaki tahmini elde etmek yeterlidir max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) (4) k N () ve () formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz, v(t k ) u k = e ka v() + kx Zt s e (k s)a e A(ts p) f(p)dw p

36 R k u öyleki, kx R k s+ f(t s )(w ts w ts ) = D,k + D,k + D,k + D 4,k + D 5,k, D,k = (e ka R k )Υ D 4,k = D,k = kx k X R k s D 5,k = Zt s < : Z λ j α j 9 = e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ;, D,k = R k (v() u ), Z e (k s)a R k s t s e A(ts p) f(p)dw p, e A(ts p) f(p)dw p e A f( )(w ts w ts ), kx R k s e A R f( )(w ts w ts ) D m,k yi bütün m =,, 5 ler için ayrı ayrı tahmin edelim D,k ile başlayalım üçgen eşitsizliğini ve önceki sonuçları (), (), () ve () kullanarak şunu yazabiliriz E Υ C (δ, λ ) α j < : Z λ j E D,k Š α j A E Υ Z λ j α j e A(λ j s) C (δ, λ ) C 4 (δ, λ ) (e ka R k )A e A(λ j s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) Z λ j 9 = ; e A(λ j s) A f(s)dws + A ϕ(wλ,,w λj ) C (δ, λ ) Υ A f(s) ds + E A ϕ(wλ,,w λj ) ZT A f(s) Ž ds + E A ϕ max A f(s) + A! ϕ s T Şimdi D,k i tahmin edelim () sonucunu kullanarak şunu elde ederiz E D,k Š R k E v() u 9 E v() u Š

37 (4) tahminini kullanarak şunu elde ederiz E D,k Š C(δ, λ ) Şimdi D,k i tahmin edelim Üçgen eşitsizliğini, () ve () sonuçlarını kullanrak şunu yazabiliriz C(δ, λ ) E D,k Š C(δ, λ ) k X e A(ts p) k X A f(p) dp C(δ, λ ) A e (k s)a R k s A f(p) dp C(δ, λ ) T Z max A f(s) s T Şimdi D 4,k i tahmin edelim Yardımcı bir değişken tanımlayalım Ž A f(p) dp b j = Z t j Z s e A A f (z) + A e (t j z)a f(s) dzdw s ve t j t j b j = b j, j k,, değilse Sonra ve = D 4,k = kx Zt s R k s = kx A R k s kx Zt s R k s e A(ts p) f(p) e A f( ) Š dw p e A(ts p) e A Š f(p) + e A (f(p) f( )) Š dw p Z t j Z s t j t j e A A f (z) + A e (t j z)a f(s) dzdw s = NX i= R i A b k i

38 E D4,k = E Š NX R i A b k i i= Ž Üçgen eşitsizliğini, () ve () sonuçlarını kullanarak şunu yazabiliriz E D4,k Š NX E R i A b k i i=! NX A R i E i= b k i! = Z t j t j Z t j Z s t j t j Z s Z t j t j Zs t j t j C(δ, λ ) olduğundan, şu elde edilir, E b j e A A f (z) + A e (t j z)a f(s) dzdw s e A A f (z) + A e (t j z)a f(s) dz e A A f (z) + A e (t j z)a f(s) dzds max A f(s)! + max A f (s) s T s T E P4,k Š NX i= A max f(s) s T C (δ, λ ) NX i= C E b k i i C i C(δ, λ ) + max s T A f (s)! A max f(s)! A + max f (s) s T s T Son olarak, D 5,k i tahmin edelim Aşağıdaki değişkene ihtiyacımız olacak ds q j = A f(tj ) w tj

39 ve q j = q j, j k,, değilse Böylece, D 5,k = NX Š A R i A e A R qk i i= Üçgen eşitsizliğini, () ve () sonuçlarını kullanarak, aşağıdaki elde edilir E D5,k Š olduğundan NX i= NX A R i A Š e A R E q k i i= E q k i i C max E qj Š j N E qj E Š A f(tj ) w tj şu elde edilir C (δ, λ ) max A f(s) s T D5,k C Š (δ, λ ) A max f(s) s T D,k, D,k, D,k, D 4,k ve D 5,k leri birleştirirsek, (4) elde edilir Teorem 4 ispatlanmıştır Şimdi Teorem 4 ün uygulamasına bir göz atalım İlk olarak, bir boyutlu yerel olmayan stokastik parabolik denklem için sınır değer problemine bakalım Problem () ün diskritizasyonu benzer şekilde iki aşamalıdır İlki bir önceki gibi İkinci aşamada, () yı fark şeması () ile yer değştirsek, aşağıdaki fark şemasını elde ederiz u h k(x) u h k (x) + A x hu h k(x) = f h k (x)(w tk w tk ), k N, fk (x) h = f h (t k, x), t k = k, k N, x [, ] h, P u h (x) = J α j u h [ λ j ](x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x [, ] h (44)

40 Teorem 5 ve h yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, (44) fark şemasının çözümü, aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar: max k N öyleki C(δ, λ ) ve h den başımsızdır E v h (t k ) u h k C(δ, λ ) + h, (45) L h Teorem 5 in ispatı teorem 4 in soyut formu temel alınarak ve A x h () de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır İkici olarak, çoknoktalı yerel olmayan parabolik sınır değer problemini (5) ele alalım (44) nun diskritizasyonu önce yapılanlar gibi İkinci aşamada, () yı () ile yer değiştirirsek u h k(x) u h k (x) + A x hu h k(x) = f h k (x)(w tk w tk ), k N, fk (x) h = f h (t k, x), t k = k, k N, x Ω h, P u h (x) = J α j u h [ λ j ](x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x Ω Ü h elde edilir Teorem ve h = È h + + h n (4) yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, (4) fark şemasının çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar max k N öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır E v h (t k ) u h k C(δ, λ ) + h, (4) L h Teorem in ispatı Teorem 4 in soyut formu temel alınarak ve A x h () de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır

41 Kapalı Fark Şeması Bu bölümde / inci mertebeden doğru fark şemasını problem () in tahmini çözümü için kurduk ve araştırdık A ve A den oluşturulan bu fark şemasının tahmini çözüm yakınsaması oluşturuldu Uygulama olarak, yerel olmayan çok noktalı sınır değer stokastik parabolik eşitliklerin fark şemaları çözümlerinin tahmini yakınsamaları elde edilmiştir /-inci Mertebeden Doğru Kapalı Fark Şeması: Standard Wiener Prosesli İleride gerekli olan lemmaları sırayla verelim Lemma Aşağıdaki sonuçları almak mümkün, A α R k, k N, α, () (k) α A α R k e kaš α öyleki R = I + A + (A), k N, α, () k α Lemma Kabul edelimki () doğruysa aşağıdaki operatörün tersi vardır ve sınırlıdır Υ = I I α j R λj α j R λj Ž () Υ C(δ, λ ) (4) İspat İspat üçgen eşitsizli, () ve () un kabulünden elde edilir Sonucu şöyle ifade edilir, Υ Υ + Υ Υ C(δ, λ ) 4

42 Şimdi, çoknoktalı sınır değer probleminin yaklaşık çözümünün /-inci mertebeden doğru fark şeması () nı ele alalım (4a) nın da yardımıyla Çoknoktalı yerel olamayan sınır değer probleminin çözümünün yakınsaklığı aşikardır Aşağıdaki ifadelerin yakınsaklıklarına bakalım, Z tk e A, e (tk p)a f(p)dw p t k ve çoknoktalı sınır değer şartları v() = α j v(λ j ) + ϕ(w λ,,w λj ) Yerel olmayan sınır değer şartları için şunu kabul edelim λ j [, T ] then λ j h λj i e A yı R = I + A + (A) ile = e (t k p)a f(p) ifadesini (I + (p t k ) A) Rf(p) ile yer değiştirirsek, kapalı fark şeması elde edilir u k u k + (I R)u k = Rϕ k, R t k ϕ k = f(p)dw p + A tk (p t k )f(p)dw p, t k t k P u = J α j u λ j + ϕ(w λ,,w λj ) Problem () in yakınsak çözümleri için kapalı fark şemasının u k u k + (I R)u k = Rϕ k, R t k ϕ k = f(p)dw p + A tk (p t k )f(p)dw p, t k t k R R u veriliyor Cauchy problemi () nin çözümü için tek çözümü vardır ve şöyle ifade edilir u k = R k u + kx (5) R k s+ ϕ s, k N () Bu formül ve çok noktalı yerel olmayan sınır değer şartlarından u = α j u λ j + ϕ(w λ,,w λj ), 5

43 aşağıdakini elde ederiz u = α j R λ j u + X λ j R λ j s+ ϕ s + ϕ(w λ,,w λj ) Lemma yardımı ile operatör I α j R λ j ün sınırlı tersi vardır Sonra u = Υ > : Υ = X λ j I α j R λ j α j R λ j Ž 9 >= s+ ϕ s + ϕ(w λ,,w λj ) >; () Böylece, () ve () formüllerini problem (5) in çözümleri için elde ederiz Şimdi fark şeması (5) nın yakınsama tahminini araştıracağız Teorem Eğer E A ϕ(wλ Z T,,w λj ) + E A f(s) ds C, doğruysa,bundan yakınsama tahmini, max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) () k N sağlanır Burada C ve C (δ, λ ) dan bağımsızdır İspat formül () ve () i kullanırsak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz v() u = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ) +(Υ Υ ) Z λ j α j e A(λ j p) f(p)dw p +Υ Z λj α j e A(λ j p) f(p)dw p X λ j R λ j s+ Zt s (A(p ) + I) f(p)dw p

44 = P,J + P,J + P,J + P 4,J + P 5,J, öyleki P 4,J = Υ P,J = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ), (9) P,J = (Υ Υ ) P,J = Υ Z λ j α j X λ j e A(λ j s) f(s)dw s, () α j e A(λ j t s) e A(ts p) (A(p ) + I) e A Š f(p)dw p, X λ j α j Z e (λ j t s)a R λ ts j s () (A(p ) + I) e A f(p)dw p, () P 5,J = Υ X λ j α j R λ j s Zt s (A(p ) + I) e A R Š f(p)dw p () Bütün k =,, 5, ler için P k,j yi bulalım P,J den başlıyalım () ve () formüllerini kullanarak, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz Υ Υ = ΥΥ α j e Aλ j R λ j (4) (4) ve (9) yi kullanarak aşağıdaki gibi yazarız P,J = ΥΥ α j e Aλ j R λ j ϕ(w λ,,w λj ) P,J nin beklenen değerini tahmin edelim E P,J Š Υ Υ E α j A e Aλ j R λ j A ϕ(wλ,,w λj )

45 (), (4) ve () leri kullanarak aşağıdaki sonucu elde ederiz E P,J Š C (δ, λ ) E α j A A ϕ(wλ,,w λj ) e Aλ j R λ j C (δ, λ ) E A ϕ(wλ,,w λj ) P,J nin beklenen değerini tahmin edelim (4) ve () formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz P,J = ΥΥ α j e Aλ j R λ j (), (4) ve () lerden şunu elde ederiz C (δ, λ ) C (δ, λ ) E Z λ j C (δ, λ ) E P,J Š α j A Z λ j e A(λ j s) f(s)dw s e Aλ j R λ j e A(λ j s) A f(s)dws α j E C 4 (δ, λ ) Şimdi P,J yi tahmin edelim = Z p Z z Z λ j α j E E Z T e A(λ j s) A f(s)dws Z λ j A f(s) ds Ž A f(s) ds e A(ts p) e A A(p )e A A e A(ts λ) dλdz = Z p (p λ) A e A(ts λ) dλ, (5)

46 formüllerini kullanarak aşağıdakini yazabiliriz P,J = Υ λ j X α j e A(λ j t s) Z p (p λ) A e A(ts λ) dλf(p)dw p son formülü, üçgen eşitsizliğini, () ve (4) formüllerini kullanarak şunu elde ederiz E P,J Š Υ C (δ, λ ) α j E X e (λ j s)a λ j Z p (t s λ) e A(ts λ) A f(p) dpdλ λ j X Z t Z s p α j E (t s λ) A f(p) dpdλ C (δ, λ ) E Z T Ž A f(p) dp Şimdi P 4,J yi tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini, (4), () ve () yi kullanarak şunu elde ederiz E P4,J Š Υ α j X λ j A e (λ j t s)a R λ j s E Z t p t p (A(s tp ) + I) e A C (δ, λ ) E ZT A f(s) ds Ž A f(s) ds Şimdi P 5,J yi tahmin edelim () formülünü, üçgen eşitsizliğini, (4), () ve () leri kullanarak şunu elde ederiz E P5,J Š Υ X λ j α j R λ j s 9

47 E Z t p t p (A(s tp ) + I) A Š e A R A f(s) ds C (δ, λ ) E Z T Ž A f(s) ds Yukarıdakileri kullanarak P k,j, k =,, 5 şunu elde ederiz E v(t ) u Š C 4 (δ, λ ) () Teorem ü ispatlamak için aşağıdaki sonucu elde etmek yeterlidir max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) () k N () ve () formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz öyleki v(t k ) u k = e ka v() + R k u kx Z ts R k s+ D,k = (e ka R k )Υ D,k = D 4,k = kx D 5,k = e (k s)a k X kx Zt s e (k s)a f(p)dw p + A = D,k + D,k + D,k + D 4,k + D 5,k, Zt s < : Z λ j α j e A(ts p) f(p)dw p (p )f(p)dw p 9 = e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ;, D,k = R k (v() u ), e A(ts p) (A(p ) + I) e A Š f(p)dw p, Zts e (k s)a R k sš (A(p ) + I) e A f(p)dw p, kx Š Z ts R k s e A R (A(p ) + I) e A f(p)dw p D m,k tüm m =,, 5 ler için ayrı ayrı bulalım D,k dan başlayalım Üçgen eşitsizliği, (4), () ve () leri kullanarak şunu elde ederiz 4

48 E D,k Š E Υ C (δ, λ ) α j E < : Z λ j α j Z λ j E Υ (e ka R k )A A e A(λ j s) f(s)dw s + A ϕ(wλ,,w λj ) Z λ j α j e A(λ j s) C (δ, λ ) C 4 (δ, λ ) 9 = ; e A(λ j s) A f(s)dws + A ϕ(wλ,,w λj ) C (δ, λ ) Υ E ZT A f(s) ds + E A ϕ(wλ,,w λj ) ZT A f(s) Ž ds + E A ϕ E A f(s) Ž ds + E A ϕ Şimdi D,k yı tahmin edelim () ü kullanarak şu sonuç elde edilir E D,k R k Š E v() u () i kullanırsak aşağıdaki tahminelde edilir E v() u Š E D,k Š C(δ, λ ) Şimdi D,k yı tahmin edelim (5) formülünü kullanarak şunu yazabiliriz D,k = kx Zt s e (k s)a Z p (p λ) A e A(ts λ) dλf(p)dw p Son formülü, üçgen eşitsizliğini ve () yi kullanırsak, şu sonucu elde ederiz E D,J Š E kx e (λ j s)a 4

49 Z p C (δ, λ ) (t s λ) e A(ts λ) E kx C (δ, λ ) Z p A f(p) dpdλ (t s λ) A f(p) E Z T Ž A f(p) dp dpdλ Şimdi D 4,J yi tahmin edelim Üçgen eşitsizliğini, (), () ve () ü kullanarak şu sonucu elde ederiz C(δ, λ ) C(δ, λ ) E D4,k Š E k k X A (A(p ts ) + I) e A X E A f(p) E D4,k Š E k k X dp A (A(p ts ) + I) e A X E A f(p) dp e (k s)a R k sš C(δ, λ ) A f(p) dp E ZT e (k s)a R k sš C(δ, λ ) Ž A f(p) dp A f(p) dp E ZT Ž A f(p) dp Son olarak, D 5,k i tahmin edelim Üçgen eşitsizliğini, () ve () i kullanarak şu sonucu elde ederiz C(δ, λ ) E E D5,k Š kx A (A(p ts ) + I) R k s kx E A f(p) dp 4 e A R Š C(δ, λ ) A f(p) dp E Z T Ž A f(p) dp

50 D,k, D,k, D,k, D 4,k ve D 5,k leri toparlarsak () elde edilir ve teorem ispatlanır Şimdi teorem ün uygulamasına bir göz atalım İlk olarak, bir boyutlu yerel olmayan stokastik parabolik denklem için sınır değer problemine bakalım Problem () in diskritizasyonu benzer şekilde iki aşamalıdır İlki bir önceki gibi İkinci aşamada, () yı (5) fark şeması ile yer değiştirirsek Œ u h k(x) u h k (x) + A xh + (Ax h) u h k(x) = ϕ h k(x), R t k Rt k ϕ h k(x, k) = f h (p, x)dw p + A x h (p t k )f h (p, x)dw p, t k = k, t k t k k N, x [, ] h, P u h (x) = J α j u h λ j (x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x [, ] h elde edilir () Teorem ve h yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, () fark şemasının çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar max k N E v h (t k ) u h k L h öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır C(δ, λ ) + h, (9) Teorem 5 in ispatı Teorem in soyut formu temel alınarak ve A x h ()de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır İkici olarak, çoknoktalı yerel olmayan parabolik sınır değer problemini (5) ele alalım () nun diskritizasyonu önce yapılanlar gibi İkinci aşamada, () i (5) ile yer değiştirirsek, Œ u h k(x) u h k (x) + A xh + (Ax h) u h k(x) = ϕ h k(x), k N, R t k Rt k ϕ h k(x, k) = f h (p, x)dw p + A x h (p t k )f h (p, x)dw p, t k = k, t k t k k N, x Ω h, P u h (x) = J elde edilir α j u h λj (x) + ϕ(wλ,,w λj, x), x Ω Ü h () 4

51 Teorem ve h yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, () fark şemasının çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar, max k N öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır E v h (t k ) u h k C(δ, λ ) + h, L h Teorem ün ispatı teorem in soyut formu temel alınarak ve A x h () de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır Kapalı Fark Şeması: Standard Dışı Wiener Prosesli e A ifadesini R = I + A + (A) ifadesi ile R tk t k e (tk s)a f(s)dw s ifadesini R f(t k ) w tk + (f (t k ) + Af(t k )) Z t k t k (s t k )dw s ifadesi ile yer değiştirirsek kapalı fark şemasını elde ederiz Yerel olmayan sınır değer probleminin yaklaşık çözümü için şunu kabul edelim λ j [, T ] ise λ j i, h λj u k u k = (R I)u k + Rϕ k, ϕ k = f(t k ) w tk + (f (t k ) + Af(t k )) t k w tk = w tk w tk, P u = J + ϕ(wλ,,w λj ) α j u λj R t k (s t k )dw s, k N, = Problem () nin yaklaşık çözümü için bu fark şeması ve aşağıdaki kapalı fark şeması u k u k + A + (A) uk = ϕ k, k N, R ϕ k = f(t k ) w tk + (f (t k ) + Af(t k )) t k w tk = w tk w tk, k N, P u = J + ϕ(wλ,,w λj ) α j u λj 44 t k (s t k )dw s, ()

52 problem () nin denk yaklaşık çözümüdür Problem () için çözüm formülleri bulalım kapalı fark şemasının u k u k + A + (A) u is given uk = ϕ k, k N, Cauchy problem () için tek çözümü vardır, ve aşağıdaki gibi temsil edilir u k = R k u + kx R k s+ ϕ s, k N () Sonra bu formülden ve çoknoktalı yerel olmayan sınır şartlarından şunu elde ederiz + u = λj α j X α j u λj + ϕ(wλ,,w λj ), u = R λj Lemma den aşağıdaki operatörün I α j R λj u s+ ϕ s + ϕ(w λ,,w λj ) α j R λj sınırlı tersi vardır Buradan Υ = I α j R λj Ž u λj X = Υ > α j : R λj f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) s+ (p )dw p 9 = ; +ϕ(w λ,,w λj )} 45

53 böylece, problem () nin çözümü için () ve () formüllerimiz var Şimdi, () fark şemasının yakınsamasını inceleyeceğiz Teorem 4 Eğer E A ϕ(wλ,,w λj ) + max t [,T ] f (t) doğruysa, aşağıdaki yakınsama tahmini + max A f t [,T ] (t) + max t [,T ] A f(t) C, max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ), () k N doğrudur Burada C ve C (δ, λ ) dan bağımsızdır İspat () ve () formüllerini kullanarak, aşağıdaki gibi yazabiliriz X λ j v() u = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ) +(Υ Υ ) +Υ Z λ j α j Z λj α j e A(λ j p) f(p)dw p e A(λ j p) f(p)dw p R λ j s+ f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) Υ Υ = ΥΥ J X (p )dw p α j e Ž Aλ j R λ j (4) öyleki = P,J + P,J + P,J + P 4,J + P 5,J, P,J = (Υ Υ )ϕ(w λ,,w λj ), (5) P,J = (Υ Υ ) P,J = Υ Z λ j α j X λ j e A(λ j s) f(s)dw s, () α j e A(λ j t s) 4 ()

54 Z ts e A(ts p) f(p)dw p e A f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) P 4,J = Υ X λ j α j f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) P 5,J = Υ α j (p )dw p e (λ j t s)a R λ j s e A () X f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) λ j (p )dw p R λ j s e A R Š (9) (p )dw p Şimdi P k,j ya bakalım Bütün k =,, 5 lar için ayrı ayrı ele alalım P,J den başlayalım (9) ve () formüllerini kullanarak şunu elde ederiz Υ Υ = ΥΥ () ve (5) formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz P,J = ΥΥ P,J nin beklenen değerini tahmin edelim α j e Aλ j R λ j () α j e Aλ j R λ j ϕ(w λ,,w λj ), E P,J Š Υ Υ E α j A e Aλ j R λ j (), (4) ve () ifadelerinden şunu elde ederiz E P,J Š C (δ, λ ) α j A ϕ(wλ,,w λj ) A E A ϕ(wλ,,w λj ) 4 e Aλ j R λ j

55 C (δ, λ ) E A ϕ(wλ,,w λj ) Şimdi P,J i tahmin edelim () ve () formüllerini ve üçgen eşitsizliğini kullanarak şunu elde ederiz P,J = ΥΥ α j e Aλ j R λ j Z λ j e A(λ j s) f(s)dw s () (4) ve () lerden istifade ile aşağıdaki ifade elde edilir C (δ, λ ) C (δ, λ ) Z λ j E P,J Š α j A e Aλ j R λ j e A(λ j s) A f(s)dws C (δ, λ ) α j C 4 (δ, λ ) Z λ j α j T Z e A(λ j s) A f(s)dws Z λ j A f(s) ds Ž A f(s) ds Şimdi P,J yi tahmin edelim C 5 (δ, λ ) max A f(s) s T e A(ts p) f(p) e A f( ) e A (f ( ) + Af( )) (p ) = = Z p Z p Zz A f(λ) + Af (λ) + f (λ) Š (e A(ts λ) dλdz () (p λ) A f(λ) + Af (λ) + f (λ) Š e A(ts λ) dλ, 4

56 formüllerinden aşağıdaki ifade elde edilir Z p P,J = Υ X λ j α j e A(λ j t s) (p λ) A f(λ) + Af (λ) + f (λ) Š e A(ts λ) dλdw p Son formül, üçgen eşitsizliği, () ve (4) ifadelerinin yardımı ile şöyle yazmak mümkün Z p C (δ, λ ) E P,J Š Υ (t s λ) e A(ts λ) α j λ j X C (δ, λ ) C (δ, λ ) Z p α j E X e (λ j s)a λ j A f(p) + Af (p) + Af (p) Š dpdλ (t s λ) A f(p) + Af (p) + f (p) Š T Z max s T Š Ž A f(p) + Af (p) + f (p) dp A f(s) + Af (s) + f (s) dpdλ Şimdi P 4,J i tahmin edelim () formülü üçgen eşitsizli, (4), () ve () ifadelerinin yardımı ile şöyle yazabiliriz E P4,J Š Υ Z t p α j X λ j A t p (I + A (p ts )) e A + (p ts )e A C (δ, λ ) T Z e (λ j t s)a R λ j s A f(ts ) A f ( ) ds Ž A (f(s) + f (s )) ds 49

57 Şimdi P 5,J C (δ, λ ) max A f(s) + A f (s ) s T i tahmin edelim (9) formülü üçgen eşitsizliği, (4), () ve () ifadelerinden istifade ile şunu elde ederiz P 5,J = Υ X λ j α j R λ j s f( ) w ts + (f ( ) + Af( )) e A R Š (p )dw p P 5,J = Υ X λ j α j R λ j s Zt s E P5,J Š Υ (A(p ) + I) e A R Š f(p)dw p X λ j α j R λ j s Z t p t p (I + A (p ts )) e A + (p ts )e A C (δ, λ ) C (δ, λ ) Š e A R A f(ts ) Š e A R A f ( ) ds ZT A max f(s) A + s T A (f(ts ) + f ( )) f (s ) Ž ds P k,j, k =,, 5 i kullanarak aşağıdaki tahmini elde ederiz E v(t ) u Š C 4 (δ, λ ) () Teorem 4 in ispati için aşağıdaki tahmini elde etmek yeterlidir max E v(tk ) u k C Š (δ, λ ) () k N () ve () formüllerini kullanarak şunu yazabiliriz 5

58 R k u öyleki v(t k ) u k = e ka v() + kx Z ts R k s+ D,k = (e ka R k )Υ kx Zt s e (k s)a e A(ts p) f(p)dw p [f( ) + (f ( ) + Af( ))(p )] dw p = D,k + D,k + D,k + D 4,k + D 5,k, < : Z λ j α j 9 = e A(λj s) f(s)dw s + ϕ(w λ,,w λj ) ;, D,k = R k (v() u ), D,k = kx e (k s)a e A(ts p) f(p) f( ) (f ( ) + Af( ))(p )e A dw p, Z ts D 4,k = k X e (k s)a R k sš [f( ) + (f ( ) + Af( ))(p )] dw p D 5,k = kx Š R k s e A R e A(ts p) f(p) f( ) (f ( ) + Af( ))(p )e A dw p Bütün m =,, 5 ler için ayrı ayrı D m,k yı tahmin edelim D,k ile başlayalım Üçgen eşitsizliğini, önceki sonuçlar, (4), () ve () ifadelerinden istifadeyle şunu yazabiliriz E D,k Š E Υ < : Z λ j α j (e ka R k )A A e A(λ j s) f(s)dw s + A ϕ(wλ,,w λj ) 5 9 = ;

59 C (δ, λ ) α j Z λ j E Υ Z λ j α j e A(λ j s) C (δ, λ ) C 4 (δ, λ ) C 5 (δ, λ ) e A(λ j s) A f(s)dws + A ϕ(wλ,,w λj ) C (δ, λ ) Υ T Z ZT max s T A f(s) ds + E A ϕ(wλ,,w λj ) A f(s) Ž ds + E A ϕ A f(s) Ž ds + E A ϕ A f(s) + E! A ϕ Şimdi D,k yı tahmin edelim () ifadesinden istifade ile şu elde edilir E D,k R k Š E v() u Tahmin() den istifadeyle şunu elde ederiz E v() u Š E D,k Š C(δ, λ ) Şimdi D,k i tahmin edelim Formül () ü kullanarak, şöyle yazmak mümkün D,k = kx Zt s e (k s)a Z p (p λ) A f(λ) + Af (λ) + f (λ) Š e A(ts λ) dλdw p son formül, üçgen eşitsizliği ve ifade () den istifade edersek, şu elde edilir Z p E D,J Š (t s λ) e A(ts λ) C (δ, λ ) kx Z p kx e (λ j s)a A f(p) + Af (p) + f (p) Š dpdλ (t s λ) A f(p) + Af (p) + f (p) Š dpdλ 5

60 C (δ, λ ) C (δ, λ ) T Z max s T Š Ž A f(p) + Af (p) + Af (p) dp A f(p) + Af (p) + f (p) Œ Şimdi D 4,J i tahmin edelim Üçgen eşitsizliği, (), () ve () ifadelerinden şunu yazabiliriz E D4,k Š k X A e (k s)a R k sš (A(p ts ) + I) e A C(δ, λ ) C (δ, λ ) A f(ts ) + A f ( ) dp k X A f(ts ) + A f ( ) dp A max f(p )! A + f (p ) s T Son olarak, D 5,k yı tahmin edelim Üçgen eşitsizliği, () ve () ifadelerinden şunu yazabiliriz E D5,k Š (A(p ts ) + I) R k s C(δ, λ ) C (δ, λ ) kx A e A R Š A f(ts ) + A f ( ) dp kx A f(ts ) + A f ( ) dp max A f(p ) + A f (p ) s T! D,k, D,k, D,k, D 4,k ve D 5,k leri birleştirirsek, () elde edilir Teorem 4 ispatlanmıştır Şimdi teorem 4 ün uygulamasına bir göz atalım İlk olarak, bir boyutlu yerel olmayan stokastik parabolik denklem için sınır değer problemine bakalım 5

61 Problem () ün diskritizasyonu benzer şekilde iki aşamalıdır İlki bir önceki gibi İkinci aşamada, () yı () fark şeması ile yer değiştiririz ve aşağıdaki fark şemasısını, Œ u h k(x) u h k (x) + A xh + (Ax h) u h k(x) = ϕ h k(x), ϕ h k(x, k) = f h (t k, x) w tk (f + h (t k,x) f h (t k,x) R tk + A x hf h (t k, x) (p t k )dw p, t k = k t k k N, x [, ] h, P u h (x) = J α j u h λ j (x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x [, ] h, (4) elde ederiz Teorem 5 ve h yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, (4) fark şemasının çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar max k N E v h (t k ) u h k L h öyleki C(δ, λ ) ve h den başımsızdır C(δ, λ ) + h, (5) Teorem 5 in ispatı Teorem 4 in soyut formu temel alınarak ve A x h ()de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır İkici olarak, çoknoktalı yerel olmayan parabolik sınır değer problemini (5) ele alalım (4) nun diskritizasyonu önce yapılanlar gibi İkinci aşamada, () i () ile yer değiştiririsek aşağıdaki fark şeması Œ u h k(x) u h k (x) + A xh + (Ax h) u h k(x) = ϕ h k(x), k N, ϕ h k(x, k) = f h (t k, x) w tk (f + h (t k,x) f h (t k,x) R tk + A x hf h (t k, x) (p t k )dw p, t k = k t k k N, x Ω h, P u h (x) = J α j u h λ j (x) + ϕ(w λ,,w λj, x), x Ω Ü h, () elde edilir 54

62 Teorem ve h yeterince küçük keyfi sayılar olsun Sonra, () fark şemasının çözümü aşağıdaki tahminin yakınsamasını sağlar, max E k N v h (t k ) u h k L h C(δ, λ ) + h, öyleki C(δ, λ ) ve h den bağımsızdır Teorem in ispatı Teorem 4 in soyut formu temel alınarak ve A x h () de tanımlı fark şemaları operatörlerinin simetri özelliğinden istifade ile yapılır 55