INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS

Transkript

1 BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS FATMA GAMZE DÜZGÜN PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi Lisansüstü Eğitim-Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin Matematik Anabilim Dalı İçin Öngördüğü DOKTORA TEZİ olarak hazırlanmıştır. 14

2 Fatma Gamze DÜZGÜN ün hazırladığı Bir Sınıf Doğrusal Olmayan Difüzyon Denklemlerinin İncelenmesi adlı bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından MATEMATİK ANABİLİM DALI nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Prof. Dr. Hüseyin BEREKETOĞLU Başkan... Prof. Dr. Kamal SOLTANOV Danışman... Prof. Dr. Emin ÖZC. AĞ Üye... Prof. Dr. Emil NOVRUZOV Üye... Yrd. Doç. Dr. Uğur GÜL Üye... Bu tez Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tarafından DOKTORA TEZİ olarak onaylanmıştır. Prof. Dr. Fatma SEVİN DÜZ Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü

3 ETİK Hacettepe Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında, tez içindeki bütün bilgi ve belgeleri akademik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, görsel, işitsel ve yazılı tüm bilgi ve sonuçları bilimsel ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, başkalarının eserlerinden yararlanılması durumunda ilgili eserlere bilimsel normlara uygun olarak atıfta bulunduğumu, atıfta bulunduğum eserlerin tümünü kaynak olarak gösterdiğimi, kullanılan verilerde herhangi bir tahrifat yapmadığımı, ve bu tezin herhangi bir bölümünü bu üniversitede veya başka bir üniversitede başka bir tez çalışması olarak sunmadığımı beyan ederim FATMA GAMZE DÜZGÜN

4 ÖZET BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ Fatma Gamze DÜZGÜN Doktora, Matematik Bölümü Tez Danışmanı: Prof. Dr. Kamal SOLTANOV Mart 14, 8 sayfa Bu çalışmada, lineer olmayan difüzyon tipli denklem için konulmuş 3. sınıf başlangıçsınır değer probleminin genelleşmiş çözümünün varlığı, tekliği gösterilmiş ve çözümün davranışı üzerine sonuçlar elde edilmiştir. Birinci bölümde, incelediğimiz problem tanıtılmış ve göz önüne alınan denklem tipinin tarihsel gelişiminin yanı sıra, ele aldığımız probleme benzer problemler için daha önce yapılan bazı çalışmalardan bahsedilmiştir. İkinci bölümde, bu çalışmada kullanılacak genel bilgiler ve yapılan çalışmaya gerek olacak bazı özel bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde, göz önüne alınan problem incelenmiştir. Bu bölüm, problemin başlangıç değeri sıfır ve sıfırdan farklı olmak üzere iki alt bölümden oluşmaktadır. Her bir alt bölüm ise problemin lineer olmayan kısmına bağlı olarak üç ayrı durumda incelenmiştir. Uygun uzaylarda problemin genelleşmiş çözümünün varlığı ve tekliği için yeterli koşullar elde edililerek ve bu koşullar altında çözümün varlığı ve tekliği kanıtlanmıştır. Dördüncü bölümde ise, çözümün davranışı üzerine sonuçlar alınmıştır. Anahtar Kelimeler : Lineer olmayan difüzyon denklemleri, Robin koşullu başlangıçsınır değer problemi, Alt lineer durum, Lineer durum, Süper lineer durum, Varlık ve teklik teoremleri, C. özümün davranışı, Yutan Küme i

5 ABSTRACT INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS Fatma Gamze DÜZGÜN Doctor of Philosophy, Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Kamal SOLTANOV March 14, 8 pages This work is devoted to the existence and uniqueness of the solution of 3. type initial-boundary value problem for nonlinear diffusion type equation and also devoted to the behavior of solution. In the first chapter, our problem is defined and not only the historical development of the type of this equation but also some studies done on the type of our problem are mentioned. In the second, general and special informations are given for this work. In the third, the problem which is taken into account is analysed. This chapter consists of two sub chapters related to the initial value of the problem. These sub chapters are investigated in three different cases as depending on nonlinear part of the problem. Sufficient conditions for the existence and uniqueness of generalized solution of the problem are obtained and under these conditions the existence and uniqueness of generalized solution of the problem is proved. In the forth, behavior of the solution is investigated. Keywords: Nonlinear diffusion equations, Initial-Boundary value problem with Robin boundary condition, Sub linear case, Linear case, Super linear case, Existence and uniqueness theorems, Behavior of solution, Absorbing set ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisans ve doktora programım boyunca, engin bilgi ve büyük tecrübeleriyle bana yol gösteren ve bu çalışmanın oluşmasında büyük emeği geçen değerli tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Kamal Soltanov a sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca beni yönlendiren tüm hocalarıma ve çalışanlara teşekkür ederim. Gerektiğinde yardımlarını esirgemeyen çok sevgili arkadaşlarım Kerime Kallı ve Eylem Öztürk e teşekkür ederim. Tüm eğitim sürecim boyunca destekleriyle her zaman yanımda olan sevgili aileme ve verdiği mutluluk ve motivasyondan dolayı ailemizin en küçük bireyi sevgili yeğenim Can Düzgün e çok teşekkür ederim. iii

7 İçindekiler ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR İC. İNDEKİLER i ii iii iv 1 GİRİŞ 1 ÖN BİLGİLER 5 3 BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİ İC. İN 3. SINIF BAŞLANGIC. - SINIR DEĞER PROBLEMİNİN GENELLEŞMİŞ C. ÖZÜMÜNÜN VARLIĞI VE TEKLİĞİ 3.1 Başlangıç Koşulu Sıfır İken (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi < 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi = 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi > 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi Özel Durumda (1.1)-(1.3) Probleminin C. özümünün Tekliği Başlangıç Koşulu Sıfırdan Farklı İken (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi < 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi = 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi > 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi (1.1)-(1.3) Probleminin C. özümünün Tekliği (1.1)-(1.3) PROBLEMİNİN C. ÖZÜMÜNÜN DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Homojen Durum (h(x, t) =, φ(x, t) = ): Homojen Olmayan ve Otonom Durum: L () Uzayında Yutan Kümenin Varlığı: W 1 () L +1 () Uzayında Yutan Kümenin Varlığı: iv

8 KAYNAKLAR 76 ÖZGEC. MİŞ 79 v

9 1 GİRİŞ Bu çalışmada, aşağıdaki ikinci mertebeden yarı lineer parabolik denklem için konulmuş 3. sınıf başlangıç-sınır değer problemi göz önüne alınmıştır: u t u + g(x, t, u) + e(x, t) u L () (t) = h(x, t), (x, t) Q T (, T ) (1.1) u(x, ) = u, x R n, n 3 (1.) ( u η + a(x, t)u) Σ T = φ(x, t), (x, t) Σ T [, T ], T > (1.3) R n (n 3), sınırı yeterince düzgün sınırlı bölgedir., n boyutlu Laplace Operatörü, yani = n ile tanımlı ikinci dereceden diferensiyel bir operatördür. x i i=1 g : Q T R 1 R 1, e : Q T R 1 ve a : Σ T R 1 verilen fonksiyonlardır. h ve φ ise verilen genelleştirilmiş fonksiyonlardır ve u bilinmeyen fonksiyondur. Bu problem, genel olarak q > 1 olmak üzere, h L (, T ; (W 1 ()) ) + L q (Q T ), φ L (, T ; W 1 ( )) ve u W 1 () L +1 () olduğu durumda incelenecektir. (1.1) denklemi yarı lineer difüzyon tipli denklem olarak adlandırılır. Isı, gaz, momentum, popülasyon vs. gibi pek çok niceliğin yayılımı, difüzyon denklemleri ile ifade edilebilir. Difüzyon denklemi ilk olarak 18 lü yıllarda Fourier tarafından incelenen ve lineer bir denklem olan, ısı denklemi (u t = u) olarak ortaya çıkmıştır ve daha sonralarda difüze olan birçok olay, matematiksel olarak daha iyi ve genel bir biçimde ifade edilerek incelenmiştir. Difüzyon tipli denklemler için konulmuş problemler son yüz yılı aşkın süredir ve daha karmaşık bir model olan lineer olmayan difüzyon tipli denklemler ise yaklaşık son elli yıldır yoğun olarak ele alınmakta ve incelenmektedir. (1.1) tipindeki difüzyon denklemleri, nükleer enerji, mekanik, popülasyon dinamiği ve biyoloji gibi pek çok alandan doğmaktadır. 1

10 Örneğin denklemde yer alan g(x, t, u) terimi özel bir durumda ısı artışını temsil ederken, lineer olmayan e(x, t) u L () (t) terimi ise toplam kütleyi koruma amaçlı, sisteme giren soğurucu katalitik maddeyi temsil edebilir. Yine başka bir örnekte (popülasyon dinamiğinde), g(x, t, u) terimi hücre büyümesindeki artışı gösterirken, e(x, t) u L () (t) terimi toplam kütlenin korunmasını sağlayan etkiyi gösterebilir. Bu nedenle e(x, t) u L () (t) terimi genellikle, modellenen fiziksel olay veya kimyasal reaksiyonda sisteme girerek, sistemdeki niceliğin miktarını etkileyen materyali temsil etmektedir. Yine bu tip denklemler, özel durumda tümörün büyümesi ya da yer altı sularının akışı gibi modellere de denk gelmektedir. (1.1)-(1.3) e benzer problemler için son yıllarda yapılan çalışmalara gözatalım: A. Dall Aglio, D. Giachetti, I. Peral, S. S. Leon [4] 8 yılındaki çalışmalarında µ sonlu Radon ölçümü olmak üzere g(x, t, u) := f(u) µ ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denklemini (, ) bölgesinde, başlangıç ve homojen Dirichlet sınır koşulu ile göz önüne almışlar ve bu problemin global çözümünün varlığını göstermişlerdir. L. E. Payne, L. A. Philippin, S. V. Piro [] 1 yılındaki çalışmalarında, g(x, t, u) := f(u) ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denklemini başlangıç koşulu ve homojen olmayan Neumann koşulu ile birlikte incelemiş ve problemin global çözümünün varlığı için yeterli koşullar ortaya koymuşlardır. L. Ma [19] 1 yılındaki çalışmasında, g(x, t, u) := u p 1 u ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denkleminin homojen Dirichlet koşullu başlagıç-sınır değer problemini göz önüne almıştır. p nin özel durumlarına göre bu problemin, global pozitif çözümünün varlığını incelemiştir. P. J. Martinez-Aparicio ile F. Petita [] 11 yılındaki çalışmalarında, g(x, t, u) := u ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denkleminin, homojen Dirichlet koşullu başlangıç- 1 u sınır problemini göz önüne almışlardır. Bu problemin pozitif çözümlerinin varlığını göstermişler ve çözümlerin t sonsuza giderken asimptotik davranışını incelemişlerdir. C. Bandle, M. A. Pazio, A. Tesei [3] 11 yılındaki çalışmalarında g(x, t, u) := u p 1 u ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denklemi için Cauchy problemini R n (, T ) bölgesinde ele almışlardır. Bu problemin çözümünün varlık ve yokluğu için yeterli koşullar elde etmişlerdir. J. Rault [5] 11 yılındaki çalışmasında (, ) bölgesinde, g(x, t, u) := u p ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denklemini, başlangıç koşulu ve a(x, t) fonksiyonu

11 negatif olmayan bir fonksiyon iken homojen (1.3) sınır koşulu ile göz önüne alarak, yeterli koşullar altında global çözümün varlığını göstermiştir. M. Lazzo, P. G. Schmidt [14] 5 yılındaki çalışmasında, (, ) bölgesinde g(x, t, u) := u p 1 u ve e(x, t) = alarak homojen (1.1) denkleminin, homojen Dirichlet koşullu başlagıç-sınır değer problemini göz önüne almışlardır. Bu problemin çözümünün davranışı üzerine çalışma yaparak ve stabil çekici kümelerini incelemişlerdir. A. L. Pereira ile M. C. Pereira [3] 7 yılındaki çalışmalarında, a pozitif bir sayı olmak üzere g(x, t, u) := f(u) + au ve e(x, t) = alarak (, ) bölgesi üzerinde homojen (1.1) denklemini, homojen olmayan Neumann koşulu ile incelemişler ve bu problemin çözümü için global kompakt çekicilerin, problemdeki parametrelere bağlı olarak surekli bir şekilde değiştiğini göstermişlerdir. M. Jazar ile R. Kiwan [11] 8 yılındaki çalışmasında g(u) := u p ve e(x, t) u L () (t) 1 terimi yerine u p dx alarak, W.Gao ile Y.Han [9] 11 yılındaki çalışmasında, g(u) := u p 1 1 u ve e(x, t) u L () (t) terimi yerine u p 1 udx alarak ve C.P. Niculescu ile I. Roventa [1] 11 yılındaki çalışmasında g(u) : f( u ) ve e(x, t) u L () (t) terimi yerine 1 f( u )dx alarak homojen (1.1) denklemini, başlangıç koşulu ve ho- mojen Neumann sınır koşulu ile incelemişlerdir. Görüldüğü gibi bu çalışmalarda g dönüşümü haricindeki lineer olmayan terimde yine g dönüşümünün etkisi kullanılmış bu terim ortalama değerde ele alınmıştır. Bu çalışmalarda çözümün davranışı incelenmiş ve yeterli koşullar altında çözümlerin sonlu zamanda patlama (blow-up) yaptığı gösterilmiştir. X. Runzhang [6] 9 yılındaki çalışmasında, g(x, t, u) := f(u) ve e(x, t) = alarak (1.1) denkleminin homojen Dirichlet sınır koşullu başlangıç-sınır değer problemini göz önüne almış ve çözümün t sonsuza giderken azalarak sıfıra gitmesi için ve sonlu zamanda patlama yapması için yeterli koşullar elde etmiştir. X. Li ile S. Ruan [15] 11 yılındaki çalışmasında, g(x, t, u) := f(x, u) ve e(x, t) = alarak (1.1) denkleminin homojen Dirichlet sınır koşullu başlangıç-sınır değer problemini göz önüne almış ve uygun uzaylarda düzgün çekicilerin varlığını göstermiştir. L. Yang [3] 1 yılındaki çalışmasında, g(x, t, u) := f(u) ve e(x, t) = alarak (1.1) denklemini homojen ve lineer olmayan sınır koşulu ile incelemiş ve çözümlerin asimptotik düzgünlüğünü kanıtlamıştır. 3

12 Daha önce yapılan çalışmalardan görülüyor ki, çoğunlukla homojen formda alınan (1.1) denklemi genellikle homojen Dirichlet ya da Neumann sınır koşulu ile ele alınmış ve lineer olmayan g dönüşümü özel durumlarda incelenmiştir. Farklı olarak bu çalışmada ise homojen olmayan (1.1) denklemi, homojen olmayan 3. sınıf sınır değeri (Robin sınır koşulu) ile göz önüne alınmıştır. Ayrıca denklemin genellikle lineer olmayan kısmını temsil eden g dönüşümü, genel formda ele alınmıştır ve yine farklı olarak e(x, t) u L () (t) terimi de yerel olmayan (global) anlamda denklemin lineer olmayan kısmını temsil etmektedir. Bu çalışmanın 3. bölümünde, (1.1)-(1.3) probleminin uygun uzaylarda çözümünün varlığı (daha önceki çalışmalarda yerel olarak incelenmesinin aksine, global olarak tüm uzay üzerinde incelenerek) ve tekliği için yeterli koşullar elde edilmiş ve bu koşullar altında çözümün varlığı ve tekliği ispatlanmıştır. 4. bölümde ise, özel durumlarda problemin çözümünün davranışı üzerine sonuçlar alınmıştır. 4

13 ÖN BİLGİLER Bu bölümde ilerideki bölümlerde kullanılacak bazı tanımlar, teoremler, gösterimler, eşitsizlikler ve sonuçlar verilecektir. Tanım.1 [7] Tam lineer normlu X uzayına Banach uzayı denir. Tanım. [1] X normlu uzayı sayılabilir yoğun alt kümeye sahipse X e ayrılabilir uzay denir. Tanım.3 [1] X uzayı, üzerindeki iç çarpımın ürettiği norma göre Banach uzayı ise X e Hilbert uzayı denir. Tanım.4 [1] X bir lineer normlu uzay olsun. X üzerindeki tüm lineer sınırlı fonksiyoneller uzayına X uzayının duali denir ve X ile gösterilir. X üzerindeki norm, x X olmak üzere biçiminde tanımlanır. x X = x, x sup x X,x x X Tanım.5 [7] X denir. bir Banach uzayı olsun. Eğer (X ) = X ise X e refleksif uzay Tanım.6 [1], R n de bir bölge ve p 1 gerçel sayı olmak üzere, üzerinde u (x) p dx <, x koşulunu sağlayan u fonksiyonlar sınıfına L p () uzayı denir. Bu uzay üzerindeki norm 1 p u Lp () = u (x) p dx biçiminde tanımlanır. Tanım.7 [1] üzerinde hemen hemen sınırlı fonksiyonların uzayına L () uzayı denir ve bu uzay üzerindeki norm, şeklindedir. u L () = ess sup u (x) x 5

14 Teorem.8 [1] Eğer 1 p ise L p () Banach uzayıdır. Teorem.9 [1] Eğer 1 p < ise L p () ayrılabilir uzaydır. Teorem.1 [1] 1 < p < L p () refleksif uzaydır. Tanım.11 [7] X bir Banach uzayı, 1 p < ve a < b olmak üzere b a u(t) p X dt < koşulunu sağlayan ölçülebilir u : (a, b) X fonksiyonlardan oluşan uzaya L p (a, b; X) uzayı denir. L p (a, b; X) bir lineer normlu uzaydır ve üzerindeki norm biçiminde tanımlıdır. b u Lp (a,b;x) = ( a u(t) p X dt) 1 p Tanım.1 [7] X bir Banach uzayı, p = ve a < b olmak üzere ölçülebilir ve hemen hemen her yerde sınırlı u : (a, b) X fonksiyonlardan oluşan uzaya L (a, b; X) uzayı denir. L (a, b; X) bir lineer normlu uzaydır ve üzerindeki norm biçiminde tanımlıdır. u L (a,b;x) = ess sup u(t) X t (a,b) Teorem.13 [7] X ve Y Banach uzayları olsunlar. L p (a, b; X) aşağıdaki özellikleri sağlar: (i) p [1, ] için L p (a, b; X) bir Banach uzayıdır. (ii) p [1, ) için L p (a, b; X) ayrılabilir uzaydır ancak ve ancak X ayrılabilir uzaydır. (iii) p (1, ) için X refleksif uzay ise L p (a, b; X) refleksif uzaydır. (iv) 1 p q ve X Y sürekli gömülmesi varsa L q (a, b; X) L p (a, b; Y ) sürekli gömülmesi vardır. Teorem.14 B, B, B 1 aşağıdaki koşulları sağlayan Banach uzayları olsunlar: 6

15 (i) B B B 1, B ve B 1 yansımalı uzaylar olsunlar. (ii) B B kompakt gömülsün. Bu durumda < T <, 1 < p, p 1 olmak üzere kompakt gömülmesi vardır. {v : v L p (, T ; B ), dv dt L p 1 (, T ; B 1 )} L p (, T ; B) Tanım.15 [8] X f : X X operatörü bir Banach uzayı ve X onun dual uzayı olmak üzere sağlarsa, f e coercive dir denir. u X iken f (u), u u X Tanım.16 [8], R n de bir bölge olmak üzere, h = h (x, ξ) fonksiyonu, hemen hemen her x ve her ξ R m için tanımlı olsun. Eğer aşağıdaki koşullar sağlanırsa, h fonksiyonu Caratheodory özelliğine sahiptir denir: 1. her ξ R m için h ξ (x) = h (x, ξ) da ölçülebilirdir.. hemen hemen her x için h x (ξ) = h (x, ξ) R m de süreklidir. Tanım.17 [8] X bir Banach uzayı olmak üzere {x n } X ve x X olsun. Eğer her f X için lim f, x n = f, x n ise {x n } dizisi x e zayıf yakınsaktır denir ve x n x biçiminde gösterilir. Teorem.18 [8] Banach uzaylarında zayıf yakınsak dizi sınırlıdır. Teorem.19 [8] X refleksif bir Banach uzayı ve {x n } bu uzayda sınırlı bir dizi olsun. O zaman bu diziden öyle bir alt dizi seçebiliriz ki bu uzayda zayıf yakınsar. 7

16 Tanım. [4] (, Σ, µ) ölçüm uzayı, µ() <, {f n } ölçülebilir fonksiyonlar dizisi ve f ölçülebilir fonksiyon olmak üzere, ε > için lim µ {x : f (x) f n (x) ε} = n ise {f n } dizisi f fonksiyonuna ölçüme göre yakınsıyor denir ve f n µ f olarak gösterilir. Lemma.1 [4] (, Σ, µ) ölçüm uzayı olsun. {f n } ölçülebilir fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna ölçüme göre yakınsarsa, öyle {f nk } {f n } altdizisi vardır ki f nk sağlanır. f hhy Lemma. [4] {f n }, L p () da fonksiyonlar dizisi ve f n {f n } dizisi f e ölçüme göre yakınsar. L p () f olsun. O zaman Teorem.3 [33] X, Y lineer normlu uzaylar ve T : D(T ) X Y lineer operatör olsun. O zaman, T operatörü süreklidir ancak ve ancak öyle bir pozitif sabit β vardır ki, T (x) β x, x D(T ) eşitsizliği sağlanır. Teorem.4 [18] X, Y lineer normlu uzaylar ve A : X Y lineer sınırlı operatör olsun. Eğer {x n } X dizisi için x n x ise Ax n Ax dır. Yani, her sınırlı lineer X Y operatör sadece sürekli değil aynı zamanda zayıf süreklidir. Tanım.5 p > 1 sayısı için, 1 p + 1 q denir. = 1 eşitliğini sağlayan q > 1 sayısına p nin duali Teorem.6 (Genel Hölder Eşitsizliği) [7] 1 p 1,..., p m, 1 p p m = 1 olsun. u k L pk (), k = 1,..., m ise sağlanır. u 1...u m dx m u k Lpk () k=1 8

17 Lemma.7 (Young Eşitsizliği) [7] 1 < p, q <, = 1 olsun. Bu durumda p q a.b ap p + bq q (a, b > ) veya a.b εa p + c (ε) b q (ε > ) sağlanır. Lemma.8 (İnterpolasyon Eşitsizliği) R n sınırlı bir bölge olmak üzere, λ = λ(p, q, r) [, 1] ve 1 p q r olsun. O zaman f L r () için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: f Lq() f λ L p () f 1 λ L r () Lemma.9 (Kısmi İntegrasyon Formülü) [7], R n de sınırlı, açık bir bölge ve sınırı C 1 den olsun. O zaman, u, v C 1 ( ) için i = 1,..., n olmak üzere, u xi vdx = uv xi dx + uvη i ds sağlanır. Burada η i, sınırının dış yönlü normal vektörü (η = (η 1,.., η n )) nün i.bileşenidir. Lemma.3 (Green Formülü) [7], R n de sınırlı, açık bir bölge ve sınırı C 1 den olmak üzere, u C 1 ( ) için u nun (dış) normal türevi u η := η Du (Du := (u x 1,.., u xn ))olsun. O zaman u, v C ( ) için aşağıdakiler sağlanır: (i) udx = u ds η (ii) Dv Dudx = u vdx+ v η uds (iii) (u v v u)dx = (u v v u)ds η η Lemma.31 [1] Eğer 1 p < ve a, b ise o zaman (a + b) p p 1 (a p + b p ) eşitsizliği sağlanır. 9

18 Lemma.3 [16], R n (n 1) de sınırlı bölge olmak üzere, p, q > 1 sayıları için, f(x, τ) fonksiyonu aşağıdakileri sağlasın: (i) f : L p () L q () sınırlı bir dönüşüm (ii) f (x, ) : R 1 R 1 sürekli bir fonksiyon olsun. Ayrıca {u m } L p () da bir dizi ve u L p () olmak üzere olsun. u m u ve u m u Lp () hhy O zaman öyle {u mk } {u m } altdizisi vardır ki sağlanır. f(x, u mk ) f (x, u) Lq() Tanım.33 [1] R n de bir bölge, m > bir tamsayı ve 1 p olsun. W m p () = {u L p () : D u L p (), m } biçiminde tanımlanan uzaya Sobolev uzayı denir. Burada = n ve D u (x) u (x) = 1 x 1 x... n x n dir. Bu lineer uzay üzerindeki norm, 1 p < için; ( u W m p () = Σ D u p L m p() ) 1 p ve p = için; u W m () = max m D u L () 1

19 şeklindedir. Sobolev uzayları Banach uzaylardır. m = için W p () = L p () dır. p = ise W m () uzayı bir Hilbert uzayıdır. Bu uzay üzerindeki iç çarpım u, v m = Σ D u (x) D v (x) dx m biçiminde tanımlanır. Teorem.34 (Trace) [7], sınırı C 1 sınıfına ait sınırlı bir bölge olsun. Öyle bir lineer sınırlı T : Wp 1 () L p ( ) operatörü vardır ki aşağıdakiler sağlanır: 1. T u = u, u Wp 1 () C ( ). T u Lp( ) c u W 1 p (), u W 1 p (), c = c (p, ) Teorem.35 [1] Eğer u Wp m () ise v = u (u nun sınırdaki değeri), W m 1 p p ( ) uzayına aittir ve v W m p 1 K 1 u W m p ( ) p () (i) sağlanır ve tersine eğer v W m 1 p p ( ) ise o zaman u W m p () vardır ki, v = u ve u W m p () K v W m p 1 p ( ) (ii) sağlanır. Teorem.36 [8] Eğer aşağıdaki iki koşul sağlanırsa, X Banach uzayı Y Banach uzayına kompakt gömülür denir: 1. X Y. X Banach uzayında u X e zayıf yakınsayan keyfi {u n } n=1 dizisi (u n X u ), Y uzayında u a güçlü yakınsar (u n Y u ). Tanım.37 [7] X bir Banach uzayı, 1 p < ve a < b olmak üzere W 1 p (a, b; X) = {u L p (a, b; X) : u L p (a, b; X)} 11

20 biçiminde tanımlanan uzaya W 1 p (a, b; X) uzayı denir. Bu uzay bir normlu lineer uzaydır ve bu uzay üzerindeki norm f W 1 p (a,b;x) = biçiminde tanımlıdır. b ( u(t) p X dt + u (t) p X ) 1 p, a ess sup ( u(t) X + u (t) X ), t (a,b) 1 p < p = Sonuç.38 [8] X refleksif bir Banach uzayı ve Y keyfi bir Banach uzay olmak üzere X in Y ye kompakt gömülmesi aşağıdaki iki koşulun sağlanmasına denktir: 1. X Y. X teki keyfi sınırlı bir alt küme, Y deki kompakt bir alt küme tarafından kapsanır. Tanım.39 [1] X, Y lineer normlu uzaylar ve X Y olsun. Her u X için u Y c u X olacak şekilde bir c > sayısı varsa, X uzayı Y uzayına sürekli gömülür denir. Teorem.4 [1] = R n + ya da C 1 sınıfına ait açık sınırlı bir bölge olsun. Bu durumda aşağıdaki gömülmeler süreklidir. (i) Eğer 1 p < n ise, W 1 p () L q (), q (ii) Eğer p = n ise, W 1 p () L q (), q [n, ) (iii) Eğer p > n ise, W 1 p () L (). [ ] 1, np n p Teorem.41 [1], C 1 sınıfına ait açık sınırlı bir bölge olsun. Bu durumda aşağıdaki gömülmeler kompakttır. (i) Eğer p < n ise, W 1 p () L q (), q [ ) 1, np n p (ii) Eğer p = n ise,w 1 p () L q (), q [1, ) (iii) Eğer p > n ise, W 1 p () C ( ). 1

21 Teorem.4 [1] R n de uniform C m -regularity özelliğine sahip olsun. Eğer mp < n ve p q (n 1)p n pm ise Wp m () L q ( ) sürekli gömülmesi vardır. Eğer mp = n ise p q < için bu gömülme vardır. (Uniform C m -regularity özelliği: Eğer sınırının yerel bir sonlu açık örtüsü {U j } ve ona karşılık gelen birebir, m-smooth dönüşümlerin bir dizisi {Φ j } varsa öyle ki Φ j, U j yi B = {y R n : y < 1} kümesine götürüyor ve şu özellikler sağlanıyor: (i) Bazı δ > için, j=1ψ j ( { y R n : y < 1 } ) δ, Ψ j = Φ 1 j. (ii) Bazı sonlu R için, U j kümelerinin her R + 1 koleksiyonu boş arakesite sahiptir. (iii) Her j için, Φ j (U j ) = {y B : y n > }. (iv) (Φ j,1,.., Φ j,n ) ve (Ψ j,1,.., Ψ j,n ), Φ j ve Ψ j nin bileşenlerini temsil etmek üzere, öyle bir sonlu M sayısı vardır ki, her için m, her i için 1 i n ve her j için, D Φ j,i (x) M, x U j ve D Ψ j,i (y) M, y B dir. o zaman, uniform C m -regularity özelliğine sahiptir.) Teorem.43 [1] Eğer 1 p < ise W m p () ayrılabilir uzaydır. Teorem.44 [1] Eğer 1 < p < ise W m p () refleksif uzaydır. Teorem.45 [3] Her u W 1 () için öyle bir c = c() sabiti vardır ki, u dx c( Du dx + u dx ) eşitsizliği sağlanır. Bu teoremden aşağıdaki sonuç elde edilir: Sonuç.46 [3] Her u W 1 () için öyle bir c = c(c()) sabiti vardır ki, u W 1 () c( Du L () + u L ( ) ) eşitsizliği sağlanır. 13

22 Sonuç.47 Her u W 1 () L +1 () ( > 1) için öyle bir c = c() sabiti vardır ki, u W 1 () u +1 L +1 () + Du L () + c eşitsizliği sağlanır. İspat. u L () yani, normuna aşağıdaki şekilde Young Eşitsizliği ni uygularsak, u dx + 1 u +1 dx + 1 dx + 1 u L () u +1 L +1 () + mes() eşitsizliğini alırız ( +1, 1 +1 < 1). Bu eşitsizlikte her iki tarafa Du L () terimini eklersek, u L () + Du L () u +1 L +1 () + Du L () + mes() eşitsizliğini dolayısıyla, u W 1 () u +1 L +1 () + Du L () + c eşitsizliğini elde ederiz (c = mes(); mes(), nın ölçümüdür). Sonuç.48 Her u W 1 () L +1 () ( > 1) için öyle bir c = c() ve c = ct sabitleri vardır ki, u L (,T ;W 1 ()) u +1 L +1 (Q T ) + Du L (Q T ) + c u W 1 () + u +1 L +1 () ( Du L () + u +1 L +1 () ) + c u L (,T ;W 1 ()) + u +1 L +1 (Q T ) ( Du L (Q T ) + u +1 L +1 (Q T ) ) + c eşitsizlikleri sağlanır. Tanım.49 [1] φ, kompakt support a sahip gerçel değerli ve her mertebeden sürekli türevi olan bir fonksiyon ise (φ Cc ()) φ ye test fonksiyonu denir. Bilinen toplama ve skalerle çarpma işlemi ile test fonksiyonlar kümesi bir vektör uzayıdır (Bu uzayı D ile göstereceğiz). 14

23 Tanım.5 [1] f, D üzerinde tanımlı bir fonksiyonel olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f e genelleştirilmiş fonksiyon denir: (a) Her 1 ve gerçel (veya kompleks) sayıları ve her φ 1, φ D için f, 1 φ 1 + φ = 1 f, φ 1 + f, φ (b) Her sıfıra yakınsayan {φ n } D dizisi için { f, φ n } dizisi sıfıra yakınsar. Yukarıdaki tanımdan çıkar ki, f integrallenebilir fonksiyonu D üzerinde genelleştirilmiş fonksiyondur. Gerçekten, her φ D için f, φ = f(x)φ(x)dx integrali sonludur ve integralin özelliklerinden yukarıdaki tanımın koşulları sağlanır. Tanım.51 (Zayıf Türev) [7] R n açık bir bölge, u, v L 1 loc () (L 1 loc () = {u : R her V için v L1 (V )}) ve multiindex olmak üzere eğer her test fonksiyonu φ için ud φdx = ( 1) vφdx eşitliği sağlanırsa, v ye u nun. zayıf kısmi türevi denir (D u = v). Teorem.5 (Varlık Teoremi) [8] X ve Y Banach uzayları, X ve Y da sırasıyla dual uzayları olsun, M X zayıf tam reflexive pn-uzay, X M Y ayrılabilir topolojik vektör uzayı olsun. Aşağıdaki koşullar sağlansın: (I) f : P L q (, T ; Y ) zayıf sürekli bir dönüşümdür, burada P L p (, T ; M ) W 1 q (, T ; Y ) {x (t) x () = } 1 < max{q, q } p <, q = q q 1 ; (II) s, m 1 olmak üzere A : W s m (, T ; X ) W s m (, T ; Y ) lineer sürekli operatörü vardır ki, bu operatör t ile değişmelidir ve ker(a ) = {} dır; 15

24 (III) f and A genelleşmiş anlamda turevlenebilir operatörleri, L p (, T ; X ) uzayı üzerinde coercive ikili oluşturur, yani öyle bir r > sayısı ve Ψ : R+ 1 R+ 1 fonksiyonu vardır ki, τ iken Ψ(τ)/τ ve her x L p (, T ; X ) için [x] Lp(M ) r koşulu altında aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: T f(t, x (t)), Ax (t) dt Ψ ( ) [x] Lp (M ) (IV) Öyle C >, C 1, C, ν > 1 sabitleri vardır ki her x W 1 p (, T ; X ) ve ξ L p (, T ; X ) için aşağıdaki eşitsizlikler sağlanır: T ξ (t), Aξ (t) dt C ξ ν L q (,T ;Y ) C, t dx dτ, Ax (τ) dτ C 1 x ν Y (t) C, h.h.h t [, T ]. (I) - (IV) koşulları sağlansın. O zaman dx dt + f(t, x (t)) = y (t), y L q (, T ; Y ) ; x () = Cauchy problemi, P uzayında aşağıdaki anlamda çözülebilirdir: T 1 sup y (t), Ax (t) dt x L p (, T ; X ) [x] Lp (,T ;M ) <. eşitsizliğini sağlayan her y L q (, T ; Y ) için T dx dt + f(t, x (t)), y (t) dt = T y (t), y (t) dt, y L q (, T ; Y ) eşitliği sağlanır. Tanım.53 (Yarı Grup) [] H bir metrik uzay olsun. S(t) : H H olmak üzere, aşağıdaki özellikleri sağlayan {S(t)} t operatör ailesine yarı grup denir: (i) S(t + s) = S(t).S(s), s, t (ii) S() = I (H de birim operatör). 16

25 Tanım.54 (Yutan Küme) [31] H bir metrik uzay, B ise H nin herhangi bir alt kümesi ve U, B yi içeren açık küme olsun. Aşağıdaki özelliği sağlayan B kümesine U da yutan küme denir: Her B U sınırlı kümesi için t (B ) vardır ki, her t t için S(t)B B sağlanır. Lemma.55 (Düzgün Gronwall) [31] f j, j = 1,, 3 fonksiyonları (, ) aralığında negatif olmayan sürekli fonksiyonlar olsun ve T, c j pozitif sabitleri için t+t t f j (s)ds c j, j = 1,, 3, t sağlasın. Ayrıca f 1 türevlenebilir olsun ve aşağıdaki eşitsizliği sağlasın:. d dt f 1 f 1 f + f 3, t O zaman, sağlanır. f 1 (t + T ) ( c 1 T + c 3) exp{c }, t 3. ve 4. Bölümlerde kullanacağımız sabit sayılar aşağıdaki eşitsizliklerinden gelmektedir: 1.. u Lp () c 3 u W 1 () (.1) u L (,T ;L p ()) c 3 u L (,T ;W 1 ()) (.) Burada c 3 = c 3 () ve c 3 = c 3 (c 3 ) sabitleri, p = n n W 1 () L p () sürekli gömülmesinden gelen sabitlerdir. (n 3) olmak üzere c u W 1() ( Du L () + u L ( )); (.3) c u L (,T ;W 1 ()) ( Du L (Q T ) + u L (Σ T ) ) (.4) Burada c = c () sabiti, Sonuç.46 dan gelmektedir. 17

26 3. u L ( ) c 4 u W 1 () (.5) u L (Σ T ) c 4 u L (,T ;W 1 ()) (.6) Burada c 4 = c 4 () sabiti, W 1 () L ( ) sürekli gömülmesinden gelmektedir. 4. u L (,T ;L n n Burada c 5 = c 5 (), W 1 () L n n ( ) c 5 u L (,T ;W 1 ()) (.7) ( ) sürekli gömülmesinden gelen sabittir. 5. u L () c 6 u Lp () (.8) Burada c 6 = c 6 () sabiti, L p () L () sürekli gömülmesinden gelmektedir. 6. u L () c 7 u L+1 () (.9) Burada c 7 = c 7 () sabiti, L +1 () L () sürekli gömülmesinden gelen sabittir. 7. u L (,T ) c 8 u L +1 (,T ) (.1) Burada c 8 = c 8 (T ) sabiti, L +1 (, T ) L (, T ) sürekli gömülmesinden gelmektedir. 8. Burada c 9 = c 9 () sabiti, p u L( 1) p () c 9 u W 1 () (.11) p = n n (n 3) ve > 1 olmak üzere W 1 () L p ( 1) () sürekli gömülmesinden gelmektedir. p 9. c 1 u (W 1 ()) u L () (.1) Burada c 1 = c 1 () sabiti, L () (W 1 ()) sürekli gömülmesinden gelmektedir. 18

27 1. c 11 u L (,T ;(W 1()) )+L +1 (Q T ) u L (Q T ) (.13) Burada c 11 = c 11 (Q T ) sabiti, L (Q T ) L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) sürekli gömülmesinden, gelmektedir. 19

28 3 BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİ İC. İN 3. SINIF BAŞLANGIC. - SINIR DEĞER PROBLEMİNİN GENELLEŞMİŞ C. ÖZÜMÜNÜN VARLIĞI VE TEKLİĞİ Bu bölümde, (1.1)-(1.3) probleminin uygun uzaylarda genelleşmiş anlamda çözümünün varlığı incelenecektir. u t u + g(x, t, u) + e(x, t) u L () (t) = h(x, t), (x, t) Q T (, T ) (1.1) u(x, ) = u, x R n, n 3 (1.) ( u η + a(x, t)u) Σ T = φ(x, t), (x, t) Σ T [, T ], T > (1.3) R n (n 3), sınırı yeterince düzgün sınırlı bölgedir. Bu problem, genel olarak q > 1 olmak üzere, h L (, T ; (W 1 ()) ) + L q (Q T ), φ L (, T ; W 1 ( )) ve u W 1 () L +1 () olduğu durumda incelenecektir. Aşağıdaki koşulları kabul edelim: (1) g(x, t, ξ), (Q T R 1 ) de Caratheodory fonksiyonu olmak üzere, öyle sayısı ve c 1 L s1 (, T ; L r1 ()), c L s (, T ; L r ()) fonksiyonları vardır ki, hemen hemen her (x, t) Q T ve her ξ R 1 için g(x, t, ξ) c 1 (x, t) ξ + c (x, t) eşitsizliği sağlanır. (r 1, r, s 1, s > 1 sayıları sayısına bağlı olarak daha sonra tanımlanacaktır). () a L (, T ; L n 1 ( ))

29 (3) e fonksiyonu aşağıdaki uzaya aittir: e L (, T ; L q ()), q := q, 1 +1, > 1 Burada, p := n n olmak üzere q := (p ) dır ve sayısı (1) koşulundan gelmektedir. Gözönüne alınan problemin çözümü aşağıdaki şekilde anlaşılacaktır: P := L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) {u : u(x, ) = u } olsun. Tanım 3.1 Keyfi v L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) için, T u v t dxdt + u(x, T )v(x, T )dx u(x, )v(x, )dx + T Du.Dvdxdt T + g(x, t, u)vdxdt + T T e(x, t) u L () vdxdt + a(x, t)uvdx dt T = hvdxdt + T φvdx dt eşitliğini sağlayan u P fonksiyonuna (1.1)-(1.3) probleminin genelleşmiş çözümü denir. Bu bölümde (1.1)-(1.3) problemini, u başlangıç koşulu sıfır ve sıfırdan farklı iken olmak üzere iki alt bölümde inceleyeceğiz. Göz önüne alınan problemin çözümünün varlığı araştırıldığında, (1.1) denkleminin lineer olmayan kısmına bağlı olarak farklı koşullar elde edildiğinden, her iki alt bölüm de üç ayrı durumda incelenecektir: (i) < 1 Durumu, (ii) = 1 Durumu, (iii) > 1 Durumu. L (, T ; W 1 ()) ile L +1 (Q T ) uzayları arasında sayısına bağlı olarak ilişki var olduğundan, alt bölümlerde P uzayı buna göre tanımlanacaktır. 1

30 3.1 Başlangıç Koşulu Sıfır İken (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi Bu bölümde (1.1)-(1.3) problemi, u = başlangıç koşulu ile incelenecektir. İlk üç alt bölümde çözümün varlığı, son alt bölümde ise özel durumda çözümün tekliği gösterilecektir < 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi Bu durum g dönüşümüne göre alt lineer durumdur ve (1) koşulu < 1 için sağlandığından, Sobolev in Gömülme Teoremi nden L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) dir. Bu nedenle P L (, T ; W 1 ()) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) {u : u(x, ) = } olur. Aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim: (1) s 1 := 1, r 1 := p q p q, s :=, r := q sayıları ve < 1 olmak üzere (1) koşulu sağlansın (p := n n ve q := (p ) ). (4) Hemen hemen her (x, t) Σ T için a(x, t) a > olacak şekilde bir a sayısı vardır. (5) e L (,T ;L q ()) < θ c c 6 c 3, θ := min{1, a } dır. (c, c 3 ve c 6 sırasıyla, (.4), (.), (.8) deki sabitlerdir.) Teorem 3. (1), (), (3), (4) ve (5) koşulları sağlansın. O zaman, keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında genelleşmiş çözümü vardır. Bu teoremin kanıtı için genel bir varlık teoremi olan Teorem.5 den yararlanacağız. Bunun için önce (1.1)-(1.3) probleminin yarattığı dönüşümleri tanımlayalım: öyle ki f = {f 1, f } : P L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) f 1 (u) := u + g(x, t, u) + e(x, t) u L () (t), (3.1) f (u) := u η + a(x, t)u; (3.) A : P P

31 Şimdi Teorem 3. nin ispatı için gerekli lemmaları verelim: A Id (3.3) Lemma 3.3 f ve A dönüşümleri, L (, T ; W 1 ()) uzayında coercive ikili oluşturur. İspat. A birim dönüşüm olarak tanımlandığından burada coercive ikililik, f dönüşümünün adi anlamda coercive liğine denk gelir. f nin L (, T ; W 1 ()) da coercive olduğunu görmek için önce f(u), u QT dual formunu alttan değerlendireceğiz. (3.1) ve (3.) yi kullanarak kısmi integrasyon yaparsak, f(u), u QT T = Du L (Q T ) + g(x, t, u)udxdt T + u L () e(x, t)udxdt + T a(x, t)u dx dt eşitsizliğini elde ederiz. Şimdi (1), (3) ve (4) koşullarını göz önüne alarak Hölder eşitsizliğini uygulayalım: f(u), u QT T Du L (Q T ) + a u L (Σ T ) c 1 (x, t) u udxdt T c (x, t)udxdt T u L () e L q () u L p () dt θ := min {1, a } dersek, (.4), (.8) ve Hölder, Young eşitsizlikleri ile, f(u), u QT T θ c u L (,T ;W 1()) c 1 L p q () u +1 L p () dt p q ε 1 u L (,T ;L p ()) c(ε 1) c L (,T ;L q ()) c 6 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;L p ()) yazabiliriz. Eşitsizliğin sağ tarafındaki ikinci terime de Young eşitsizliği uygularsak, f(u), u QT θ c u L (,T ;W 1()) ε u L (,T ;L p ()) c(ε ) c 1 1 L (,T ;L p q ()) 1 p q ε 1 u L (,T ;L p ()) c(ε 1) c L (,T ;L q ()) c 6 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;L p ()) elde ederiz. Burada (.) yi kullanırsak, f(u), u QT θ c u L (,T ;W 1 ()) ε c 3 u L (,T ;W 1 ()) c(ε ) c 1 1 L 1 (,T ;L p q p q ()) 3

32 ε 1 c 3 u L (,T ;W 1 ()) c(ε 1) c L (,T ;L q ()) c 6c 3 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;W 1 ()) değerlendirmesini alırız. Z 1 := c(ε 1 ) c L (,T ;L q ()) c(ε ) c 1 1 L (,T ;L p q ()) dersek son eşitsizliği, 1 p q f(u), u QT ( ) θ c εc 3 c 6 c 3 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;W 1()) Z 1 olarak yazabiliriz. (5) koşulundan ve ε pozitif sayısı yeterince küçük seçilebileceğinden, son eşitsizlikteki u L (,T ;W 1()) normunun katsayısı pozitif olarak alınır. O halde f dönüşümü, L (, T ; W 1 ()) uzayında coercive dir. Lemma 3.4 f dönüşümü, P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) uzayına zayıf süreklidir. İspat. f dönüşümünün lineer kısımları sınırlı olduğundan zayıf süreklidir. Bu durumda lineer olmayan kısımların zayıf sürekliliğini incelemek yeterlidir. g 1 (x, t, u) = e(x, t) u L () (t) dersek, g ve g 1 dönüşümlerini ayrı ayrı inceleyebiliriz. Önce g dönüşümünün P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) uzayına zayıf sürekli olduğunu görelim. {u m } P dizisi alalım öyle ki ū P için u m P ū olsun. Lemma.3 den yararlanarak, {u mj } {u m } alt dizisi için g(x, t, u mj ) L (,T ;(W 1 ()) ) g(x, t, ū) olduğunu göstermek istiyoruz. Bunun için önce g : P L (, T ; L p ()) L (, T ; L q ()) sınırlı dönüşüm olduğunu görelim: T (1) koşulu ve Hölder eşitsizliği ile, [ T g(x, t, u) q dx] q dt 4 c 1 (x, t) q u q dx + c (x, t) q dx q dt eşitsizliğini alırız. T q [ ] c 1 q L r1 () u q L p () + c q q L q () dt T [ ] c 1 L r1 () u L p () + c L q () dt. 4

33 Buradan, γ ( u L (,T ;L p ()) ) ] := q [ c 1 L s1 (,T ;L r1 ()) u L (,T ;L p ()) + c L (,T ;L q ()) dersek, elde ettiğimiz son eşitsizliği olarak yazabiliriz. g(x, t, u) L (,T ;L q ()) γ ( u L (,T ;L p ()) ) γ (.) : R 1 + R 1 + monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan, sınırlı dönüşümdür. g : L (, T ; L p ()) L (, T ; L q ()) Şimdi Lemma.3 den yararlanmak için gerekli diğer özellikleri aşağıda sıralayalım: 1. P L (, T ; W 1 ()) L (, T ; L p ()) olduğundan u m ū dır. L (,T ;L p ()). L (, T ; W 1 ()) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) L (Q T ) kompakt gömülmesi var olduğundan, Lemma.1 ve Lemma. den öyle bir {u ml } {u m } alt dizisi vardır ki Q T de hemen hemen her yerde u ml ū dir. 3. (1) koşuluna göre g Caratheodory fonksiyonu olduğundan, hemen hemen her (x, t) Q T için, sürekli fonksiyondur. g(x, t, ) : R 1 R 1 Yukarıdaki özelliklerden, Lemma.3 ye göre {u mj } {u m } alt dizisi vardır ki g(x, t, u mj ) g(x, t, u mj ) g(x, t, ū) dır. L (, T ; L q ()) L (, T ; (W 1 ()) ) olduğundan, L (,T ;L q ()) g(x, t, ū) zayıf yakınsaklığını elde ederiz. L (,T ;(W 1 ()) ) O halde g dönüşümü, P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) uzayına zayıf süreklidir. Şimdi g 1 dönüşümünün P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) uzayına zayıf sürekli olduğunu görelim: {u m } P dizisi alalım öyle ki ū P için u m P ū olsun. Yine Lemma.3 den yararlanarak, {u mj } {u m } alt dizisi için g 1 (x, t, u mj ) olduğunu göstereceğiz. 5 L (,T ;(W 1 ()) ) g 1 (x, t, ū)

34 Yukarıda g dönüşümü için sıraladığımız 1. ve. özellikler, g 1 dönüşümü için de geçerli olduğundan ve g 1 (x, t, ) : R 1 R 1 sürekli fonksiyon olduğundan, bu dönüşümün P L (, T ; L p ()) uzayından L (, T ; L q ()) uzayına sınırlı dönüşüm olduğunu göstermek yeterli olacaktır. (.6) ile Hölder eşitsizliği uygularsak, T = [ T T g 1 (x, t, u) q dx] q dt = u L () e(x, t) q q dx dt = e(x, t) q u q L () T dx q dt u L () e L q () dt yazabiliriz. u L (Q T ) e L (,T ;L q ()) c 6 u L (,T ;L p ()) e L (,T ;L q ()) γ 1 ( u L (,T ;L p ()) ) := c 1 6 u L (,T ;L p ()) e L (,T ;L q ()) dersek, g 1 L (,T ;L q ()) γ 1( u L (,T ;L p ()) ) elde ederiz. γ 1 (.) : R 1 + R 1 + monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan, sınırlı dönüşümdür. g 1 : L (, T ; L p ()) L (, T ; L q ()) O halde Lemma.3 ye göre {u mj } {u m } alt dizisi vardır ki g 1 (x, t, u mj ) g 1 (x, t, u mj ) g 1 (x, t, ū) dır. L (, T ; L q ()) L (, T ; (W 1 ()) ) olduğundan, L (,T ;L q ()) g 1 (x, t, ū) zayıf yakınsaklığını elde ederiz. Yani, g 1 dönüşümü, L (,T ;(W 1 ()) ) P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) uzayına zayıf süreklidir. İspat. (Teorem 3.) A birim dönüşüm olduğundan, Teorem.5 nin (II) koşulu sağlanır. Ayrıca (.1) sayesinde, keyfi u W 1 (, T ; W 1 ()) için (.1) ve (.13) ile aşağıdaki eşitsizlikler vardır: T t u, u dt = T u L ()dt c 1 u L (,T ;(W 1 ()) ) u τ, u dτ = 1 u L ()(t) 1 c 1 u (W (t), 1()) 6

35 h.h.h. t [, T ]. Lemma 3.3, Lemma 3.4 ve yukarıdaki özelliklerden, Teorem.5 nin tüm koşulları sağlanır. O halde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında çözümü vardır: T h, u + φ, u dt sup : u L (, T ; W 1 u L (,T ;W 1()) ()) <. Bu eşitsizlikte (h, φ) fonksiyonlarının ait oldukları uzaylardaki normlarını göz önüne alırsak, (1.1)-(1.3) probleminin keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için P uzayında çözümü olduğunu göstermiş oluruz = 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi Bu durum g dönüşümüne göre lineer durumdur ve (1) koşulu = 1 için sağlandığından, Sobolev in Gömülme Teoremi nden L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) dir. Bu nedenle P L (, T ; W 1 ()) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) {u : u(x, ) = } olur. Aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim: (1) s 1 :=, r 1 := n, s :=, r := q sayıları ve = 1 olmak üzere (1) koşulu sağlansın. (6) Aşağıdaki koşullardan biri sağlansın: I. Hemen hemen her (x, t) Σ T için a(x, t) a > olacak şekilde bir a sayısı vardır ve c 6 e L (,T ;L q ()) + c 1 L (,T ;L n ()) < θ 1c c 3 eşitsizliği sağlanır. Burada θ 1 := min{1, a } dır. II. Öyle k >, k 1 R sayıları vardır ki, hemen hemen her (x, t) Q T ve her ξ R için, g(x, t, ξ)ξ k ξ k 1 7

36 eşitsizliği ve c 5 a L (,T ;L n 1 ( )) + c 3c 6 e L (,T ;L q ()) < θ eşisizliği sağlanır. Burada θ := min{1, k } dır. (c, c 3, c 5 ve c 6 sırasıyla,(.4), (.), (.7) ve (.8) deki sabitlerdir.) Teorem 3.5 (1), (), (3) ve (6) koşulları sağlansın. O zaman, keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında genelleşmiş çözümü vardır. Bu teoremin kanıtı için de Teorem.5 den yararlanacağız. O halde (3.1)-(3.3) dönüşümlerini gözönüne alarak, Teorem 3.5 in ispatında gerekli olacak lemmaları verelim: Lemma 3.6 f ve A dönüşümleri, L (, T ; W 1 ()) uzayında coercive ikili oluşturur. İspat. A birim dönüşüm olarak tanımlandığından, f nin L (, T ; W 1 ()) da coercive olduğunu göstereceğiz. f(u), u QT T = Du L (Q T ) + g(x, t, u)udxdt T + u L () e(x, t)udxdt + T a(x, t)u dx dt (3.4) Burada ilk olarak (6)-I. koşulunu gözönüne alalım: (1) ve (3) koşulu ile Hölder eşitsizliğini kullanırsak, f(u), u QT T Du L (Q T ) + a u L (Σ T ) c 1 (x, t)u dxdt T c (x, t) u dxdt T u L () e L q () u L p () dt eşitsizliğini elde ederiz. θ 1 := min {1, a } diyelim. (.4) ve (.8) ile Hölder ve Young eşitsizliklerini kullanırsak, f(u), u QT T θ 1 c u L (,T ;W 1()) c 1 L n () u L p () dt 8

37 ε 1 u L (,T ;L p ()) c(ε 1) c L (,T ;L q ()) c 6 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;L p ()) yazabiliriz. Buradan, (.) yi kullanarak aşağıdaki değerlendirmeleri alırız: f(u), u QT θ 1 c u L (,T ;W 1 ()) c 1 L (,T ;L n ()) u L (,T ;L p ()) ε 1 u L (,T ;L p ()) c(ε 1) c L (,T ;L q ()) c 6c 3 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;W 1 ()) f(u), u QT (θ 1 c c 3 c 1 L (,T ;L n ()) c 6c 3 e L (,T ;Lq ()) c 3ε 1 ) u L (,T ;W 1 ()) c(ε 1 ) c L (,T ;L q ()) (6)-I. koşulu kullanılarak ve ε 1 pozitif sayısı yeterince küçük seçilerek, son eşitsizlikteki u L (,T ;W 1 ()) normunun katsayısı pozitif alınır ve buradan coercive lik elde edilir. Bu kez (3.4) eşitliğinde (1) koşulunu göz önüne alalım: () ve (3) koşulu ile Hölder eşitsizliğini de kullanırsak, f(u), u QT T Du L (Q T ) + k u L (Q T ) a Ln 1 ( ) u n ( ) dt n yazabiliriz. T θ := min {1, k } dersek, (.8) ile u L () e L q () u L p () dt k 1T mes f(u), u QT θ u L (,T ;W 1 ()) a L (,T ;L n 1 ( )) u L (,T ; n n ( )) c 6 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;L p ()) k 1T mes elde ederiz. (.) ve (.7) yi kullanarak, aşağıdaki eşitsizliği yazabiliriz: f(u), u QT ( ) θ c 5 a L (,T ;L n 1 ( )) c 6c 3 e L (,T ;L q ()) u L (,T ;W 1()) Son eşitsizlikten coercive lik elde edilir. k 1 T mes Lemma 3.7 f dönüşümü, P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) uzayına zayıf süreklidir. 9

38 İspat. Bu ispat Lemma 3.4 ün ispatına benzer şekilde yapılır. Farklı olarak = 1 durumunda g dönüşümünün P L (, T ; L p ()) uzayından L (, T ; L q ()) uzayına sınırlı dönüşüm olduğunu görelim: T (1) koşulunu ve Hölder eşitsizliğini kullanırsak, [ T g(x, t, u) q dx] q dt 4 c 1 (x, t) q u q dx + c (x, t) q dx q dt eşitsizliğini alırız. Buradan, T q [ ] c 1 q L r1 () u q L p () + c q q L q () dt T [ ] c 1 L r1 () u L p () + c L q () dt. γ ( u L (,T ;L p ()) ) [ ] := q c 1 L s1 (,T ;L r1 ()) u L (,T ;L p ()) + c L (,T ;L q ()) dersek, elde ettiğimiz son eşitsizliği g(x, t, u) L (,T ;L q ()) γ ( u L (,T ;L p ()) ) olarak yazabiliriz. γ (.) : R 1 + R 1 + monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan, g : L (, T ; L p ()) L (, T ; L q ()) sınırlı dönüşümdür. İspat. (Teorem 3.5) durumuna benzer şekilde, A birim dönüşüm olduğundan Terorem.5 nin (II) koşulu sağlanır. Ayrıca, keyfi u W 1 (, T ; W 1 ()) için (.1) ve (.13) ile aşağıdaki eşitsizlikler vardır: T T u, u dt = u L ()dt c 1 u L (,T ;(W 1()) ) 3

39 h.h.h. t [, T ] t u τ, u dτ = 1 u L ()(t) 1 c 1 u (W (t), 1()) Lemma 3.6, Lemma 3.7 ve yukarıdaki özelliklerden, Teorem.5 nin tüm koşulları sağlanır. O halde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında çözümü vardır: T h, u + φ, u dt sup : u L (, T ; W 1 u L (,T ;W 1()) ()) <. Bu eşitsizlikte (h, φ) fonksiyonlarının ait oldukları uzaylardaki normlarını göz önüne alırsak, (1.1)-(1.3) problemini keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) L (, T ; W 1 ( )) için P uzayında çözümü olduğunu göstermiş oluruz > 1 Durumunda (1.1)-(1.3) Probleminin İncelenmesi Bu durum g dönüşümüne göre süper lineer durumdur ve (1) koşulu > 1 için sağlandığından, P := L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) {u : u(x, ) = } olur. Aşağıdaki koşulların sağlandığını kabul edelim: (1) s 1 :=, r 1 :=, s := +1, r := +1 sağlansın. sayıları ve > 1 olmak üzere (1) koşulu (7) Öyle k >, k 1 R sayıları vardır ki, hemen hemen her (x, t) Q T ve her ξ R için, eşitsizliği sağlanır. g(x, t, ξ)ξ k ξ +1 k 1 (8) Hemen hemen her (x, t) Σ T için a(x, t) a olacak şekilde bir < a < θ c 4 sayısı vardır. Burada k < k olmak üzere θ := min{1, k } dır. (c 4, (.6) daki sabittir.) Teorem 3.8 (1), (), (3), (7) ve (8) koşulları sağlansın. O zaman, keyfi (h, φ) [ ] L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında genelleşmiş çözümü vardır. 31

40 Bu teoremin kanıtı için de Teorem.5 den yararlanacağız. [ f = {f 1, f } : P L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 ] (Q T ) L (, T ; W 1 ( )); A : P P olmak üzere (3.1)-(3.3) dönüşümlerini gözönüne alalım ve ispat için gerekli olacak lemmaları verelim: Lemma 3.9 f ve A dönüşümleri, L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) uzayında coercive ikili oluşturur. İspat. A birim dönüşüm olarak tanımlandığından, f nin L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) uzayında coercive olduğunu göstereceğiz. f(u), u QT T = Du L (Q T ) + g(x, t, u)udxdt T + u L () e(x, t)udxdt + T a(x, t)u dx dt (3), (7), (8) koşulları ile Hölder eşitsizliğini kullanırsak, yazabiliriz. f(u), u QT Du L (Q T ) + k u +1 L +1 (Q T ) a u L (Σ T ) dt T u L () e L +1 () u L +1 () dt k 1T mes (.6), (.9) ve (.1) dan aşağıdaki eşitsizlikler vardır: f(u), u QT Du L (Q T ) + k u +1 L +1 (Q T ) a c 4 u L (,T ;W 1 ()) e L (,T ;L +1 ()) c 7 T u L +1 () dt k 1T mes f(u), u QT Du L (Q T ) + k u +1 L +1 (Q T ) a c 4 u L (,T ;W 1 ()) c 7 c 8 e L (,T ;L +1 ()) u L +1 (Q T ) k 1T mes Burada Young eşitsizliğini kullanarak, f(u), u QT Du L (Q T ) + (k ε) u +1 L +1 (Q T ) c(ε)(c 7c 8 e L (,T ;L +1 3 ()) ) +1 1

41 değerlendirmesini alırız. a c 4 u L (,T ;W 1 ()) k 1T mes < ε < k seçerek θ 3 := min{1, k ε} dersek ve Sonuç.48 i kullanırsak, [ ] f(u), u QT (θ 3 a c 4 ) Du L (Q T ) + u +1 L +1 (Q T ) Z 1 yazabiliriz. Burada Z 1 := c(ε)(c 7 c 8 e L (,T ;L +1 ()) ) k1 T mes + a c 4 c dir. Yine Sonuç.48 den, f(u), u QT 1 [ ] (θ 3 a c 4 ) u L (,T ;W 1 ()) + u +1 L +1 (Q T ) Z Burada Z := Z 1 + c (θ 3 a c 4 ) dır. Son eşitsizliği aşağıdaki şekilde yazabiliriz: f(u), u QT 1 [ ] (θ 3 a c 4 ) u L (,T ;W 1()) + u L +1 (Q T ) Z 3 Z 3 := Z + 1 (θ 3 a c 4 ) dır. O halde, f(u), u QT 1 [ 4 (θ 3 a c 4 ) u L (,T ;W 1()) + u L +1 (Q T )] Z3 = 1 4 (θ 3 a c 4 ) u L (,T ;W 1 ()) L +1(Q T ) Z 3 elde edilir. Buradan f dönüşümünün L (, T ; W 1 ()) L +1 (Q T ) uzayında coercive olduğu görünür. [ Lemma 3.1 f dönüşümü, P uzayından uzayına zayıf süreklidir. L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 ] (Q T ) L (, T ; W 1 ( )) İspat. Daha önce de belirttiğimiz gibi, f dönüşümünün lineer kısımları sınırlı olduğundan zayıf süreklidir. Bu nedenle lineer olmayan kısımların zayıf sürekliliğini incelemek yeterlidir. g 1 (x, t, u) = e(x, t) u L () (t) dersek, g ve g 1 dönüşümlerinin zayıf sürekliliğini ayrı ayrı inceleyelim. Önce g dönüşümünün P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) uzayına zayıf sürekli olduğunu görelim: {u m } P dizisi alalım öyle ki ū P için u m P ū olsun. Lemma.3 den yararlanarak, {u mj } {u m } alt dizisi için g(x, t, u mj ) 33 L (,T ;(W 1 ()) )+L +1 (Q T ) g(x, t, ū)

42 olduğunu göstermek istiyoruz. Bunun için önce g : P L +1 (Q T ) L +1 (Q T ) sınırlı dönüşüm olduğunu görelim: (1) koşulu ve Hölder eşitsizliğinden yararlanarak, T g(x, t, u) +1 dxdt +1 T c 1 (x, t) +1 u +1 dx + c (x, t) +1 dx dt +1 c 1 +1 L (Q T ) +1 eşitsizliğini alırız. Buradan, T T u +1 L +1 () dt + c +1 [ c 1 +1 L (Q T ) u +1 L +1 (Q T ) + c +1 γ 3 ( u L+1 (Q T ) ) [ := c 1 +1 L (Q T ) ũ + u +1 dersek, elde ettiğimiz son eşitsizliği L +1 L +1 (Q T ) + c +1 L +1 L +1 (Q T ) (Q T ) () dt ] ] +1 olarak yazabiliriz. g(x, t, u) L +1 (Q T ) γ 3( u L+1 (Q T ) ) γ 3 (.) : R 1 + R 1 + monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan, sınırlı dönüşümdür. g : L +1 (Q T ) L +1 (Q T ) Şimdi Lemma.3 den yararlanabilmek için gerekli diğer özellikleri aşağıda sıralayalım: 1. P L +1 (Q T ) olduğundan u m ū dır. L +1 (Q T ). L (, T ; W 1 ()) W 1 (, T ; (W 1 ()) ) L (Q T ) kompakt gömülmesi var olduğundan, öyle bir {u ml } {u m } alt dizisi vardır ki Q T de hemen hemen her yerde u ml ū dir. 34

43 3. (1) koşuluna göre g Caratheodory fonksiyonu olduğundan, hemen hemen her (x, t) Q T için, g(x, t, ) : R 1 R 1 sürekli fonksiyondur. Yukarıdaki özelliklerden, Lemma.3 ye göre {u mj } {u m } alt dizisi vardır ki g(x, t, u mj ) g(x, t, u mj ) L +1 (Q T ) g(x, t, ū) dır. L +1 L (,T ;(W 1 ()) )+L +1 (Q T ) (Q T ) L (, T ; (W 1 ()) )+L +1 (Q T ) olduğundan, g(x, t, ū) zayıf yakınsaklığını elde ederiz. O halde g dönüşümü, P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 süreklidir. (Q T ) uzayına zayıf Şimdi g 1 dönüşümünün P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) uzayına zayıf sürekli olduğunu görelim: {u m } P dizisi alalım öyle ki ū P için u m P ū olsun. Lemma.3 den yararlanarak, {u mj } {u m } alt dizisi için g 1 (x, t, u mj ) olduğunu göstereceğiz. L (,T ;(W 1 ()) )+L +1 (Q T ) g 1 (x, t, ū) Yukarıda g dönüşümü için sıraladığımız 1. ve. özellikler, g 1 dönüşümü için de geçerli olduğundan ve g 1 (x, t, ) : R 1 R 1 sürekli fonksiyon olduğundan, bu dönüşümün P L +1 (Q T ) uzayından L +1 (Q T ) uzayına sınırlı dönüşüm olduğunu göstermek yeterlidir. (3) koşulu, (.9) ve Young eşitsizliğinden faydalanırsak, T T [ g 1 (x, t, u) +1 dx]dt = e(x, t) +1 = c 7 e +1 yazabiliriz. T L (,T ;L +1 u +1 L () ()) T u +1 e(x, t) +1 T dx dt = L +1 () dt c 7 e +1 γ 4 ( u L+1 (Q T ) ) := c +1 7 e L (,T ;L +1 ()) +1 u L () u +1 L (,T ;L +1 dx dt L () e +1 L +1 () ()) ( ) ε u +1 L +1 (Q T ) + T c(ε) +1 dt ( ε u +1 L +1 (Q T ) + T c(ε) ) dersek, g 1 L +1 (Q T ) γ 4( u L+1 (Q T ) ) 35

44 elde ederiz. γ 4 (.) : R 1 + R 1 + monoton artan, sürekli fonksiyon olduğundan, sınırlı dönüşümdür. g 1 : L +1 (Q T ) L +1 (Q T ) O halde Lemma.3 ye göre {u mj } {u m } alt dizisi vardır ki g 1 (x, t, u mj ) g 1 (x, t, u mj ) L +1 (Q T ) g 1 (x, t, ū) dır. L +1 L (,T ;(W 1 ()) )+L +1 (Q T ) dönüşümü, P uzayından L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) L (, T ; (W 1 ()) )+L +1 (Q T ) olduğundan, g 1 (x, t, ū) zayıf yakınsaklığını elde ederiz. Yani, g 1 (Q T ) uzayına zayıf süreklidir. İspat. (Teorem 3.8) A birim dönüşüm olduğundan, Terorem.5 nın (II) koşulu sağlanır. Ayrıca, keyfi u W 1 (, T ; W 1 ()) için (.1) ve (.13) ile aşağıdaki eşitsizlikler vardır: T h.h.h. t [, T ] u, u dt = t T u L ()dt c 11 u L (,T ;(W 1()) )+L +1 (Q T ) u τ, u dτ = 1 u L ()(t) 1 c 1 u (W (t), 1()) Lemma 3.9, Lemma 3.1 ve yukarıdaki özelliklerden, Teorem.5 nin tüm koşulları [ ] sağlanır. O halde aşağıdaki eşitsizliği sağlayan keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) L (, T ; W 1 ( )) için (1.1)-(1.3) probleminin P uzayında çözümü vardır: T h, u + φ, u dt sup : u L (, T ; W u L (,T ;W 1()) L 1 ()) L +1 (Q T ) <. +1(Q T ) Bu eşitsizlikte (h, φ) fonksiyonlarının ait oldukları uzaylardaki normlarını göz önüne [ ] alırsak, (1.1)-(1.3) probleminin keyfi (h, φ) L (, T ; (W 1 ()) ) + L +1 (Q T ) L (, T ; W 1 ( )) için P uzayında çözümü olduğunu göstermiş oluruz Özel Durumda (1.1)-(1.3) Probleminin C. özümünün Tekliği Bu bölümde, (1.1)-(1.3) probleminin çözümünün tekliği özel durumda ispatlanmıştır. Genel durumda çözümün tekliği ise, başlangıç koşulu sıfırdan farklı iken 3..4 Bölümü nde 36