INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS
|
|
- Emine Akalın
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Cumhuriyet Ünivertsitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 35, No. (4) ISS: Cumhuriyet University Faculty of Sciences Science Journal (CSJ), Vol. 35, No. (4) ISS: FRENET DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ SİSTEMİ TİPİNDEKİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ İÇİN İNTEGRAL GÖSTERİMLERİ R. KH. AMIROV and T. MERT Department of Mathematics, Faculty of Science and Arts, Cumhuriyet University, 584 Sivas, Turkey Received 6..3; Accepted Ozet. Bu çalışmada Frenet diferansiyel denklem sisteminin çözümleri için bazı integral gösterimleri elde edilmiştir. Çevirme Operatörü ve özellikleri araştırılmış, özdeğer ve normalleştirici sayıların davranışları incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Dönüsüm operatörü, Integral denklemi, Sturm-Liouville. INTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS Abstract. In this paper, we obtain some integral representations system for solution of Frenet differential equations system. In addition that we search transformation operator and its properties and also we investigate eigenvalue and behaviour of normalized number. Keywords: Transformation operator, Integral equaiton, Sturm-Liouville.. GİRİŞ Spektral analizin bir dalı olan inverse (ters) problemler yani, spektral karakteristiklere göre operatörlerin kurulması problemi, fiziğin bir çok alanında kullanılmaktadır. Örneğin mekanikte, verilen dalga boylarına göre homojen olmayan yayda yoğunluk dağılımının öğrenilmesinde, Kuantum mekaniğinde, verilen enerji seviyelerine veya saçılma verilerine göre parçacıklar arasında etkileşmenin öğrenilmesinde, jeofizikte yer altı madenlerinin aranmasında karşımıza çıkmaktadır. Bu yüzden verilen sistemin enerji seviyelerinin ve dalga fonksiyonlarının bulunması en önemli problemlerden birisidir. Söz konusu problemler verilen sistemin yerleştiği potansiyel alana bağlıdır. Bu tip problemlerin çözümü, farklı potansiyelli Schrödinger denklemi için sınır-değer problemlerinin özdeğer, özfonksiyon ve normalleştirici sayıların bulunmasına indirgenmektedir. Ayrıca, Kuantum teorisinin önemli problemlerinden biriside sistemin enerji seviyeleri belli iken sistemin bulunduğu potansiyel alanı bulmaktır. Bu tip problemler, singülariteye sahip Sturm-Liouville operatörler için inverse(ters) problemler Author's addresses. c 4 Faculty of Sciences, Cumhuriyet University
2 R. KH. AMIROV and T. MERT yardımıyla çözülmektedir. Bu yüzden de, söz konusu operatörlerin spektral karakteristiklerine göre belirlenmesi probleminin çözülmesi için önem taşımaktadır. Tanım. : Tanım bölgesi sonlu, katsayıları toplanabilir fonksiyonlar olan diferansiyel operatöre regüler operatör, tanım bölgesi sonsuz veya katsayıları (bazıları veya tamamı) toplanabilir olmayan diferansiyel operatöre singüler operatör denir. İkinci mertebeden regüler operatörler için spektral teori günümüzde Sturm-Liouville teorisi olarak bilinir. XIX. yüzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operatörler için sonlu aralıkta regüler sınır şartları sağlanacak şekilde adi diferansiyel operatörlerin dağılımı Birkof tarafından incelenmiştir. Diskret spektruma sahip ve uzayın tamamında tanımlı operatörlerin özdeğerlerinin dağılımı, özellikle Kuantum mekaniğinde çok önem taşımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin regüler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmıştır. Singüler operatörler için spektral teori ilk olarak Weyl tarafından incelenmiştir. Daha sonra Riestz, Neumann, Friedrichs ve diğer matematikçiler tarafından simetrik ve self-adjoint operatörlerin genel spektral teorisi oluşturulmuştur. Simetrik operatörlerin tüm self-adjoint genişlemelerinin bulunması problemi Neumann tarafından bir süre sonra yapılmıştır. İkinci mertebeden singüler operatörlerin spektral teorisine yeni bir yaklaşımı 946 yılında Titchmarsh vermiştir. Doğru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelli L = d dx + q (x) Sturm-Liouville operatörleri için özdeğerlerin dağılımı formülü Titchmarsh tarafından bulunmuşur. Son yıllarda bu operatöre bir boyutlu q (x) potansiyelli Schrödinger denklemi de denir. Aynı zamanda bu çalışmada Schrödinger operatörü için özdeğerlerin dağılım formülüde verilmiştir. Singüler diferansiyel operatörlerin incelenmesine ilişkin ve diferansiyel operatörlerin spektral teorisinde önemli bir yere sahip olan çalışmalar, 949 yılında Levitan tarafından yapılmıştır. Levitan bu çalışmalarında spektral teoriyi esaslandırmak için kendine has bir yöntem vermiştir. Farklı singüler durumlarda diferansiyel operatörlerin spektral teorisi, özellikle özdeğerlerin, özfonksiyonların asimptotiğine ve öz fonksiyonların tamlığına ilişkin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov, Keldish vs. matematikçiler tarafından geliştirilmiştir.. ÇEVİRME OPERATÖRÜ VE ÖZELLİKLERİ.. İntegral Denklemin Oluşturulması y (x) = iρκ (x) y (x) y (x) = iρ κ (x) y λ = ρ (x),, < x < π () { y () hy () = y (π) + Hy (π) = () sınır-değer problemini ele alalım. Burada κ (x), κ (x) L [, π] ve x [, π]
3 FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI için κ (x) dır. İlk önce y (x, ρ) = κ (x)u (x, ρ) ve y (x, ρ) = κ (x) V (x, ρ) (3) dönüşümleri yapılırsa { U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρv (x, ρ) V (x, ρ) m (x) V (x, ρ) = iρu (x, ρ) (4) denklemler sistemi elde edilir. Burada m (x) = κ (x) κ (x) dir. ve U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρv (x, ρ) U (x, ρ) + [ m (x) m (x) ] U (x, ρ) = ρ U (x, ρ) U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λu (x, ρ) (5) elde edilir. Burada q (x) = m (x) m (x), λ = ρ, q (x) L [, π] dir. Böylece Sturm-Liouville denklemi elde edilmiş olur. Şimdi (5) denkleminin çözümünü bulalım. q (x) = için homojen kısmın çözümü U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx şeklindedir. Homojen olmayan kısmı çözmek için sabitlerin değişimi yöntemi kullanılırsa ve buradan da U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx + iρ iρ q (t) U (t, ρ) e iρ(t) q (t) U (t, ρ) e iρ(t) dt elde edilir. ve U (x, ρ) = c e iρx + c e iρx + V (, ρ) = hκ (), U (, ρ) = U (, ρ) = iρhκ () κ () κ () sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ 3
4 R. KH. AMIROV and T. MERT koşulları yardımıyla c ve c ı hesaplanırsa c = + hκ () κ () 4iρκ () ve c = hκ () + κ () 4iρκ () bulunur. Dolayısıyla U (x, ρ) = + ( ) ( ) () + hκ κ () e iρx () + hκ + κ () e iρx 4iρκ () 4iρκ () sin ρ() ρ q (t) U (t, ρ) dt (6) olur. Dolayısıyla elde edilir. U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt (7) ρ.. Çevirme Operatörünün Varlığı Bu bölümde. alt bölümünde alınan integral denklemlerin her bölge için çözümünün varlığı ve tekliği gösterilecektir. Ayrıca çevirme operatörünün çekirdeğinin sağladığı özellikler incelenecektir. Bunun için ardışık yaklaşımlar yöntemi uygulanacaktır. Şimdi U (x, ρ) çözümünü U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + şeklinde arayalım. (8) ifadesi (7) de yerine yazılırsa Ae iρx + Be iρx + + elde edilir. Ohalde sin ρ (x ξ) ρ K (x, t) e iρt dt = Ae iρx + Be iρx + q (ξ) Ae iρξ + Be iρξ + K (x, t) e iρt dt (8) K (ξ, µ) e iρµ dµ dξ 4
5 FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (x, t) e iρt dt = = A + = A + e iρ(x) e iρ(x) q (ξ) Ae iρξ + Be iρξ + iρ e iρx e iρ(x) q (ξ) dξ + B iρ K (ξ, µ) e iρµ dµ dξ e iρ(x) e iρx q (ξ) dξ+ iρ e iρ(x+µ) e iρ(x µ) K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ iρ e iρt q (ξ) dtdξ + B x e iρt q (ξ) dtdξ+ +ξ x+µ +ξ+µ e iρt K (ξ, µ) q (ξ) dtdµdξ şeklinde yazarız. Yukardaki integrallerde gerekli bölge dönüşümlerini yaparsak I 3 = t+x I = I = +ξ x e iρt q (ξ) dtdξ = e iρt q (ξ) dtdξ = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt+ x+t e iρt q (ξ) dξdt e iρt q (ξ) dξdt t+ξ şeklinde elde edilir. Burada µ > ξ için K (ξ, µ) = dır. Ohalde K (x, t) e iρt dt = A + + x+t q (ξ) dξ e iρt dt + B t+x t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt+ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt q (ξ) dξ e iρt dt+ 5
6 R. KH. AMIROV and T. MERT K (x, t) A t+x x+t q (ξ) dξ B K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ q (ξ) dξ t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ e iρt dt = olur. Burada A (x, t) = K (x, t) A alınırsa olur. t+ξ x+t K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ fonksiyonunu tanımlarsak q (ξ) dξ B q (ξ) dξ A (x, t) e iρt dt = < t < x à (x, t) = A (x, t) < t < x x < t < + + à (x, t) e iρt dt = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ yazılabilir. Son eşitlik à (x, t) fonksiyonunun Fourier dönüşümüdür. Fourier dönüşümünün birebirliğinden à (x, t) = yani dır. Ohalde K (x, t) = A + t+ξ x+t q (ξ) dξ + B A (x, t) = q (ξ) dξ + K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ, x < t < x t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ 6
7 olarak elde edilir. Şimdi ve FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI σ (x) = σ (x) = şeklinde tanımlansın. Burada - σ (x) ve σ (x) artan fonksiyonlardır. - σ (x) = olur. Dolayısıyla elde edilir. σ (t) dt = t q (s) dsdt = σ (x) = q (ξ) dξ σ (t) dt s (x s) q (s) ds q (s) dtds = (x s) q (s) ds ve K (x, t) = A x+t q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ K m (x, t) = t+x m =,, 3,...olacak şekilde serisini tanımlayalım. A K (x, t) = A x+t K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + K (x, t) = K m (x, t) m= t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K m (x, t) serisinin düzgün yakınsak olduğunu gösterelim. m= q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ A q (ξ) dξ = x+t q (ξ) dξ + B q (ξ) dξ = Cσ (x) q (ξ) dξ 7
8 olur. Dolayısıyla R. KH. AMIROV and T. MERT K (x, t) Cσ (x) elde edilir. Burada C = A + B dir. t+x K (x, t) = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + şeklinde yazılır. Burada J = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 ve = C 4 j = = C σ ( ) C σ (x) = C 4 q (ξ) σ (ξ) (x + t) dξ C 4 σ ( ) t+ξ t+ξ t+ξ q (ξ) σ (ξ) ( ) x C q (ξ) dξ σ ( ) (x ξ) q (ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+x (x + t) q (ξ) dξ q (ξ) σ (ξ) dµdξ (x ξ) q (ξ) dξ t+ξ q (ξ) σ (ξ) (x t) dξ C x 4 σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ dµdξ C σ (x) x (x ξ) q (ξ) dξ olur. O halde K (x, t) C σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ + C x σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ C x σ (x) (x ξ) q (ξ) dξ = σ (x) σ (x) 8
9 FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI olduğundan K (x, t) C σ (x) σ (x) elde edilir. Benzer şekilde K (x, t) = + t+x t+x t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+ξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ olur.. j = = C 4 t+x C σ (x) K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x + t) dξ C σ (x) şeklindedir. Benzer şekilde j = = C 4 t+ξ σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C 4 σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x t) dξ C σ (x) q (ξ) q (ξ) x t+x σ (ξ) σ (ξ) dµdξ σ (ξ) q (ξ) ( x t+ξ σ (ξ) σ (ξ) dµdξ σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ ) dξ elde edilir. O halde 9
10 R. KH. AMIROV and T. MERT veya K (x, t) C σ (x) σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ + C σ (x) C x σ (x) (x s) σ (s) q (s) ds = C x σ (x) σ (s) q (s) = C x σ (x) = C σ (x) [σ (x)] σ (s) q (s) dsdξ = C x σ (x) K (x, t) C σ (x) [σ (x)] şeklinde elde edilir. Benzer şekilde t+x K 3 (x, t) = K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + şeklinde yazılır. Burada j 3 = t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ C C 4 C σ (x) q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] (x + t) dξ = C olur. Benzer şekilde j 3 = = C 4 t+ξ C σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] (x ξ) dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] (x t) dξ x q (ξ) (x ξ) [σ (ξ)] dξ t+ξ t+ξ q (ξ) x σ (ξ) σ (ξ) q (ξ) (x ξ) dξ s dξds q (s) ds dξ K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+x K (ξ, µ) q (ξ) dµdξ σ (ξ) [σ (ξ)] dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] ( ) x dξ
11 elde edilir. Ohalde K 3 (x, t) C FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI q (ξ) [σ (ξ)] (x ξ) dξ + C x σ (x) q (ξ) (x ξ) [σ (ξ)] dξ = C x σ (x) (x ξ) [σ (ξ)] q (ξ) ds = C x σ (x) [σ (ξ)] q (ξ) dsdξ s = C x σ (x) [σ (ξ)] q (ξ) dsdξ = C x σ (x) [σ (ξ)] q (s) ds dξ = C σ (x) [σ (x)] 3 elde edilir. Şimdi kabul edelimki olsun. Gösterelim ki dir. K m+ (x, t) = dir. 3! K 3 (x, t) C σ (x) [σ (x)] 3 3! K m (x, t) C σ (x) [σ (x)] m K m+ (x, t) C σ (x) [σ (x)] m+ t+x t+x K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + (m + )! K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ + + t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ t+ξ K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ
12 j m = C 4 = C t+x C σ (x) q (ξ) olur. Benzer şekilde R. KH. AMIROV and T. MERT K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ = t+x q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m σ (ξ) [σ (ξ)] m dµdξ = C 4 q (ξ) [σ (ξ)] m ( ) x dξ (x ξ) dξ q (ξ) t+x K m (ξ, µ) dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m (x + t) dξ j m = C 4 = C 4 t+ξ C σ (x) q (ξ) K m (ξ, µ) q (ξ) dµdξ = t+ξ σ (ξ) [σ (ξ)] m dµdξ q (ξ) σ (ξ) [σ (ξ)] m (x t) dξ x q (ξ) [σ (ξ)] m (x ξ) dξ q (ξ) t+ξ K m (ξ, µ) dµdξ
13 FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI dir. Ohalde K m+ (x, t) C σ (x) + C x σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] m q (ξ) [σ (ξ)] m (x ξ) dξ+ (x ξ) dξ C x σ (x) (x ξ) q (ξ) [σ (ξ)] m dξ = C x σ (x) q (ξ) [σ (ξ)] m dξds = C x σ (x) elde edilir. Bu tümevarımdan olduğunu gösterir. Dolayısıyla K (x, t) := şeklinde elde edilir. = C x σ (x) [σ (ξ)] m = C σ (x) [σ (x)] m+ m + q (ξ) [σ (ξ)] m dsdξ s q (s) ds dξ K m+ (x, t) C σ (x) [σ (x)] m+ = C σ (x) [σ (x)] m+ (m + )! (m + )! m için K m (x, t) C σ (x) [σ (x)] m K m (x, t) ve K (x, t) C σ (x) exp [σ (x)] n=.3. Çevirme Operatörünün Özellikleri () denklem sisteminin çözümü. alt bölümünde şeklinde verilmiştir. Ohalde U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + K (x, t) e iρt dt 3
14 R. KH. AMIROV and T. MERT U (x, ρ) = iρae iρx iρbe iρx + K (x, x) e iρx K (x, ) e iρx + ve K x (x, t) e iρt dt U (x, ρ) = ρ Ae iρx ρ Be iρx dk (x, x) + e iρx + iρk (x, x) e iρx dx dk (x, ) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K x (x, t) t=x e iρx dx K x (x, t) t= e iρx + şeklindedir. Şimdi bu ifadeleri denkleminde yerine yazalım. Ohalde K xx (x, t) e iρt dt U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λu (x, ρ) ρ Ae iρx + ρ Be iρx + dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx dx dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx K x (x, t) t=x e iρx dx +K x (x, t) t= e iρx +Bq (x) e iρx + = Aρ e iρx + Bρ e iρx + ρ dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx + dx K xx (x, t) e iρt dt + Aq (x) e iρx q (x) K (x, t) e iρt dt K x (x, t) t=x e iρx + K x (x, t) t= e iρx +Bq (x) e iρx + q (x) K (x, t) e iρt dt = ρ K (x, t) e iρt dt dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx dx K xx (x, t) e iρt dt + Aq (x) e iρx K (x, t) e iρt dt 4
15 olur. Öteyandan ρ ρ FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (x, t) e iρt dt = iρ elde edilir. Dolayısıyla K (x, t) e iρt dt integralinde iki kez kısmi integrasyon yapılırsa K (x, t) ( e iρt) dt = iρ K (x, t) e iρt x K t (x, t) e iρt dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) ( e iρt) dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) t=x e iρx K t (x, t) t= e iρx dk (x, x) e iρx iρk (x, x) e iρx + dx K x (x, t) t=x e iρx + K x (x, t) t= e iρx +Aq (x) e iρx + Bq (x) e iρx + K tt (x, t) e iρt dt dk (x, ) e iρx iρk (x, ) e iρx dx q (x) K (x, t) e iρt dt K xx (x, t) e iρt dt = iρk (x, x) e iρx + iρk (x, ) e iρx + K t (x, t) t=x e iρx K t (x, t) t= e iρx olur. Buradan elde edilir. K tt (x, t) e iρt dt K xx (x, t) q (x) K (x, t) = K tt (x, t) dk (x, x) + Aq (x) = dx dk (x, ) + Bq (x) = dx K (x, ) = 3. ÖZDEĞER VE NORMALLEŞTİRİCİ SAYILARIN DAVRANIŞLARI () () problemi için κ () κ () U (x, ρ) = e iρx e iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ 5
16 R. KH. AMIROV and T. MERT çözümü elde edilir. Burada A = κ () ve B = κ () olarak alırsak U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + ve. alt bölümünde gösterildiği gibi U (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + sin ρ (x t) q (t) U (t, ρ) dt ρ K (x, t) e iρt dt olur. olur. Buradan y (π) =, (ρ) = U (π, ρ) = y (π) = (ρ) = Ae iρπ + Be iρπ + K (π, t) e iρt dt = π (ρ) = Ae iρπ + Be iρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = ve κ () κ () e iρπ e iρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = burandan i κ () sin ρπ + K (π, t) e iρt dt + K (π, t) e iρt dt = sin ρπ + i κ () K (π, t) e iρt dt + i κ () K (π, t) e iρt dt = (ρ) = sin ρπ + K (ρ) 6
17 şeklinde yazılabilir. Burada şeklindedir. FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI K (ρ) = i κ () bölgesi tanımlansın. = i κ () + i κ () = i κ () + i κ () Γ n = K (π, t) e iρt dt + i κ () K (π, t) [cos ρt + i sin ρt] dt+ K (π, t) [cos ( ρt) + i sin ( ρt)] dt [K (π, t) + K (π, t)] cos ρt+ [K (π, t) K (π, t)] sin ρtdt { λ λ = ( n + ) }, n N K (π, t) e iρt dt yazılabilir. (ρ) = f (ρ) + g (ρ), f (ρ) = sin ρπ, g (ρ) = K (ρ) sin ρπ = e iρπ e iρπ e iρπ i e iρπ = e Im ρ π Im ρ π e ρ π e Im ρ G = {ρ ρ k δ, k }, δ > bölgesinde Im ρ π sin ρπ c δ e eşitsizliği geçerli olacak şekilde c δ sayısı vardır. { cos ρπ e Im ρ π olduğundan Im ρ π sin ρπ e Im ρ π g (ρ) c.e yazılır. Dolayısıyla n ler yeterince büyük olmak üzere λ Γ n için f (ρ) > g (ρ) 7
18 yazılır. Ohalde Rouche teoreminden R. KH. AMIROV and T. MERT f (ρ) = sin ρπ fonksiyonunun sıfırlarının sayısı ile (ρ) nin Γ n içindeki sıfırlarının sayısı aynıdır ( yani (n + ) tanedir. Böylece λ < n + ) çemberinde verilen L probleminin λ, λ,.., λ n olmak üzere tam olarak (n + ) tane özdeğeri vardır. (ρ) = sin ρπ = ρ n π = nπ buradanda ρ n = n yani ρ n = n + ɛ n, ɛ n = (), n elde edilir. Dolayısıyla = ( ) ρ n = sin (n + ɛ n ) π + K (ρ n ) sin nπ cos ɛ n π + cos nπ sin ɛ n π + K (ρ n ) = olur. Buradan ( ) n sin ɛ n π + K (ρ n ) = n iken ɛ n olduğundan ɛ n = ( )n+ K (ρ n ) π 8
19 FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI eşitliği elde edilir. Dolayısıyla ɛ n = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] cos ρ n tdt+ κ () + π [K (π, t) K (π, t)] sin ρ n tdt κ () = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] cos (n + ɛ n ) tdt+ κ () π [K (π, t) K (π, t)] sin (n + ɛ n ) tdt κ () = ( )n+ π i [K (π, t) + K (π, t)] (cos nt cos ɛ n t sin nt sin ɛ n t) dt+ κ () + π [K (π, t) K (π, t)] (sin nt cos ɛ n t + cos nt sin ɛ n t) dt κ () olur. Dolayısıyla ɛ n = ( )n+ π +δ n, δ n l i K () π ˆK (π, t) cos ntdt + Ǩ (π, t) sin ntdt K () şeklindedir. Burada ˆK (π, t) = K (π, t) + K (π, t) ve Ǩ (π, t) = K (π, t) K (π, t) dir. Ayrıca ˆK (π, t) L (, π), Ǩ (π, t) L (, π) olduğundan ˆK (π, t) cos ntdt l ve olur. Böylece Ǩ (π, t) sin ntdt l ρ n = n + ɛ n, ɛ n = (), n 9
20 R. KH. AMIROV and T. MERT ve ɛ n = ( )n+ π i K () +O (ɛ n t), ɛ n, ɛ n l π ˆK (π, t) cos ntdt + Ǩ (π, t) sin ntdt K () dir. Şimdi α n normalleştirici sayımızı hesaplayalım. α n = sayımızı hesaplamak için gerekli hazırlıklarımızı yapalım. ϕ (x, ρ n ) dx idi. Bu ϕ (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + ifadesinde bir kez kismi integrasyon yapılırsa yazılabilir.a = κ () ϕ (x, ρ) = Ae iρx + Be iρx + O ve B = κ () olmak üzere K (x, t) e iρt dt ( ) ρ ( ) ϕ (x, ρ n ) = Ae iρnx + Be iρnx + O ρ n ϕ (x, ρ n ) = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () + ( κ ()e iρnx O ( ) κ ()e iρnx O ρ n + [ O ( )] ρ n ) ρ n = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () + [ ( )] b κ ()e iρnx + O ρ n ρ n [ ( )] ( ) b κ ()e iρnx + O ρ n ρ + O n ρ n = κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () κ ()b + e iρnx ρ n κ ()b ρ n ( ) e iρnx + O ρ n 3
21 şeklinde yazılır. Ohalde α n = FRENET DIFERANSIYEL DENKLEMLERI SISTEMI = ϕ (x, ρ n ) dx [ κ () 4 eiρnx + κ () 4 e iρnx κ () κ ()b + ρ n ( ) e iρnx + O ]dx κ ()b ρ n ρ n = [ κ () 8iρ n e iρnx κ () 8iρ n e iρnx κ () x+ ( ) κ ()b κ ()b + iρ e iρnx + n iρ e iρnx ] π +O n ρ n = κ () 8iρ n e iρnπ κ () 8iρ n e iρnπ κ () π+ κ ()b κ ()b + iρ e iρnπ + n iρ e iρnπ κ ()b n iρ n ( ) + O ρ n κ ()b κ ()b + iρ e iρnπ + n iρ e iρnπ ( ) κ ()b n iρ + O n ρ n = κ () sin ρ n π κ () ( ) 4ρ n π + O ρ n = π ( ) sin ε nπ + O ρ n = π ( ) [sin nπ cos ε nπ + cos nπ sin ε n π] + O n = π ( ) sin ε nπ + O n = π + = π + ε n n e iρnx ( ) sin ε n π + O n = π ε ( ) n n π + O n [ ε ] [ n n + ε n n ε n π (ε nπ) 3 + (ε nπ) 5 3! 5! ] 3
22 elde edilir. Yani şeklindedir. Dolayısıyla R. KH. AMIROV and T. MERT α n = π ( )n+ n i κ () + π Ǩ (π, t) sin ntdt + O (ɛ n t) κ () ˆK (π, t) cos ntdt + O α n = π + K n n + δ n şekilnde elde edilir. Burada K n sınırlı dizi ve δ n l dir. ( ) n References [] Marchenko, V.A.,Sturm-Liouville Operators and their Applications, Kiev: Naukova Dumka, 977, (Endl. Transl. 986 (Basel: Birkhauser)). [] Freiling, G. and Yurko, V.A., Inverse problems for differential equations with turning points, Inverse Problems, 3 (997), [3] Freiling G. and Yurko A.A.,Inverse spectral problems for differential equations on the half-line with turning points, J. Diff. Equations, 54 (999), [4] Yurko, V.A., Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications, New York: Gordon & Breach, 999. [5] Yurko, V.A., On higher-order differential operators with a singular point, Inverse problems, 9 (993), [6] Freiling, G. And Yurko, V.A.,On constructing differential equations with singularities from incomplete spectral information, Inverse Problems ), 3-5. [7] Freiling, G. And Yurko, V.A.,Reconstructing parameters of a medium from incomplete spectral information, Result in Matematics 35 (999), [8] Yurko, V.A., Inverse problem for differential equations with a singularity, Differ. Uravreniya 8 (99), no. 8, (in Russian); English transl. İn Differ. Equations 8 (99),-7. [9] Bellman, R. and Cook, K., Differential-difference Equations, Academic Press, New York,963. [] Convay, J.B., Functions of One Complex Variable, nd ed., vol. I, Springer-Verlag, New York,995. [] Levitan, B.M., Inverse Sturm-Liouville Problems, Moscow: Nauka, 984, (Engl. Transl.987 (Utrecth: VNU Science Press)). 3
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL
ÖZGEÇMİŞ Doç. Dr. NİLÜFER TOPSAKAL TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1978 Yazışma Adresi : Telefon : 346-2191010/1531 e-posta : Fen Fakültesi Matematik Bölümü 58140 Sivas/ ntopsakal@cumhuriyet.edu.tr
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıÖZGEÇMİŞ Prof. Dr. RAUF AMİROV
TC Kimlik No / Pasaport No: Doğum Yılı: 1956 Yazışma Adresi : ÖZGEÇMİŞ Prof. Dr. RAUF AMİROV CUMHURİYET ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ - 58140 Sivas/Türkiye Telefon : 346-21910101522
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.
Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton
DetaylıSTURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN SAYISAL ÖZDEĞERLERİ NUMERICAL EIGENVALUES OF STURM-LIOUVILLE OPERATORS
Niğde Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi, Cilt 2, Sayı 2, (2013), 43-49 STURM-LIOUVILLE OPERATÖRÜNÜN SAYISAL ÖZDEĞERLERİ Güldem YILDIZ 1*, Bülent YILMAZ 2 Matematik Bölümü, Fen Edebiyat Fakültesi,
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
DetaylıKuantum Mekaniğinin Varsayımları
Kuantum Mekaniğinin Varsayımları Kuantum mekaniği 6 temel varsayım üzerine kurulmuştur. Kuantum mekaniksel problemler bu varsayımlar kullanılarak (teorik/kuramsal olarak) çözülmekte ve elde edilen sonuçlar
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
DetaylıİÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER
İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıToplam İkinci harmonik. Temel Üçüncü harmonik. Şekil 1. Temel, ikinci ve üçüncü harmoniğin toplamı
FOURIER SERİLERİ Bu bölümde Fourier serilerinden bahsedeceğim. Önce harmoniklerle (katsıklıklarla) ilişkili sinüsoidin tanımından başlıyacağım ve serilerin trigonometrik açılımlarını kullanarak katsayıları
DetaylıBirinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
DetaylıRastgele Süreçler. Rastgele süreç konsepti (Ensemble) Örnek Fonksiyonlar. deney. Zaman (sürekli veya kesikli) Ensemble.
1 Rastgele Süreçler Olasılık taması Rastgele Deney Çıktı Örnek Uzay, S (s) Zamanın Fonksiy onu (t, s) Olayları Tanımla Rastgele süreç konsepti (Ensemble) deney (t,s 1 ) 1 t Örnek Fonksiyonlar (t,s ) t
DetaylıPlazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine
Plazma İletiminin Optimal Kontrolü Üzerine 1 Yalçın Yılmaz, 2 İsmail Küçük ve 3 Faruk Uygul *1 Faculty of Arts and Sciences, Dept. of Mathematics, Sakaya University, Sakarya, Turkey 2 Faculty of Chemical
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği DersXIX
Bu takdirde yani, 1 = a ˆ 0 de bir enerji özdurumudur, ancak 0 için enerjisi 1hω yerine 3 hω dir. 2 2 Benzer şekilde, 2 = a ˆ 1 inde bir enerji özdurumu olduğunu fakat enerjisinin 5 hω, vs. 2 söyleyebiliriz.
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıSınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRLÜĞÜ DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 5001
Dersi Veren Birim: Fen Bilimleri Enstitüsü Dersin Türkçe Adı: Uygulamalı Matematik Dersin Orjinal Adı: Applied Mathematics Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisansüstü Dersin Kodu:
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPOLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2012-YL-023 POLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ Maide ŞEN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Ali IŞIK AYDIN
DetaylıFİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders XII
Enerji ölçümünden sonra Sonucu E i olan enerji ölçümünden sonra parçacık enerji özdurumu u i de olacak ve daha sonraki ardışık tüm enerji ölçümleri E i enerjisini verecektir. Ölçüm yapılmadan önce enerji
DetaylıENİNE DEMET DİNAMİĞİ. Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi. Ankara Üniversitesi
ENİNE DEMET DİNAMİĞİ Prof. Dr. Abbas Kenan Çiftçi Ankara Üniversitesi 1 Dairesel Hızlandırıcılar Yönlendirme: mağnetik alan Odaklama: mağnetik alan Alan indisi zayıf odaklama: 0
Detaylıx 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)
ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıMath 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
DetaylıS4 u(x, y) = ln ( sin y. S5 u(x, y) = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t)) fonksiyonunun
Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
DetaylıBölüm 1: Lagrange Kuramı... 1
İÇİNDEKİLER Bölüm 1: Lagrange Kuramı... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Genelleştirilmiş Koordinatlar... 2 1.3. Koordinat Dönüşüm Denklemleri... 3 1.4. Mekanik Dizgelerin Bağ Koşulları... 4 1.5. Mekanik Dizgelerin
DetaylıMIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar
MIT Açık Ders Malzemesi http://ocw.mit.edu 8.334 İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 008 Bahar Bu malzemeye atıfta bulunmak ve Kullanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms
DetaylıMASSACHUSETTS TEKNOLOJİ ENSTİTÜSÜ Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 2 Salı, Mart 14, :00-12:30
Fizik Bölümü Fizik 8.04 Bahar 2006 SINAV 2 Salı, Mart 14, 2006 11:00-12:30 SOYADI ADI Öğrenci No. Talimat: 1. TÜM ÇABANIZI GÖSTERİN. Tüm cevaplar sınav kitapçığında gösterilmelidir? 2. Bu kapalı bir sınavdır.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıHanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem. Logistic Differential Equations Obtained from Hanta-virus Model
SDU Journal of Science (E-Journal), 2016, 11 (1): 82-91 Hanta-virüs Modelinden Elde Edilen Lojistik Diferansiyel Denklem Zarife Gökçen Karadem 1,*, Mevlüde Yakıt Ongun 2 1 Süleyman Demirel Üniversitesi,
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıBÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER
BÖLÜM 16 KUANTUM : AYRILABİLEN SİSTEMLER Farklı eksenlere karşılık gelen operatörler, komut verilerek birbiriyle komute olabilir. Ayrıca, bir değişken için olan operatör, başka bir operatörün fonksiyonu
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
DetaylıSağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar)
3.1.2.1. Sağ Taraf Fonksiyonu İle İlgili Özel Çözüm Örnekleri(rezonans durumlar) ÖRNEK: y + 4.y + 4.y = 5.sin2x diferensiyel denkleminin genel çözümünü bulalım: Homojen kısmın çözümü: y + 4.y + 4.y = 0
DetaylıA COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
DetaylıTRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Mehmet ÖZCEYLAN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI 006 EDİRNE Tez Yöneticisi: Yard. Doç.
DetaylıFEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem Bir boyutlu bir problem için etkin kütle yaklaşımı ve zarf fonksiyonu (envelope function) yaklaşımı çerçevesinde Hamiltoniyen ve Schrodinger
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALARI
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALARI Demet TÜRECİ FİZİK ANABİLİM DALI ANKARA Her hakkı saklıdır
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıStatik Manyetik Alan
Statik Manyetik Alan Noktasal Yüke Etki eden Manyetik Kuvvet Akım Elemanına Etki Eden Manyetik Kuvvet Biot-Savart Kanunu Statik Manyetik Alan Statik manyetik alan, sabit akımdan veya bir sürekli mıknatıstan
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
DetaylıFEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü
FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem 8-Mayıs-24 (9-Mayıs-24) Bir boyutlu bir problem için ölçeklenmiş (boyutsuz) niceliklerle yazılmış Schrodinger denklemi ve Hamiltoniyen Hψ(z)
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
DetaylıDiferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
DetaylıANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ SINIR KOŞULLARINDA SPEKTRAL PARAMETRE BULUNAN NON-SELFADJOİNT FARK OPERATÖRLERİNİN SPEKTRAL ANALİZİ Turhan KÖPRÜBAŞI MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA
DetaylıGalois Teori, Örtü Uzayları ve Diferansiyel Denklemler
Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori, ve Diferansiyel Denklemler Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
DetaylıADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ
Ders List ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DERS LİSTESİ 17.11.2016 Yüksek Lisans Dersleri Kod Ders Adı Ders Adı (EN) T U L K AKTS MTK501 Reel
DetaylıPotansiyel Engeli: Tünelleme
Potansiyel Engeli: Tünelleme Şekil I: Bir potansiyel engelinde tünelleme E
DetaylıSTURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI
XVIII. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 6-0 Ağustos 0 Celal Baar Üniversitesi Manisa STURM-LlOUVlLLE PROBLEMİNİN REZOLVENT OPERATÖRÜ VE ÖZFONKSİYONLARI Erdoğan ŞEN Okta MUKHTAROV Kamil ORUÇOĞLU Namık Kemal Üniversitesi
DetaylıDers 6: Sürekli Olasılık Dağılımları
Ders 6: Sürekli Olasılık Dağılımları Normal Dağılım Standart Normal Dağılım Binom Dağılımına Normal Yaklaşım Düzgün (uniform) Dağılım Üstel Dağılım Dağılımlar arası ilişkiler Bir rastgele değişkenin, normal
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıMAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
DetaylıCopyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@ankara.edu.tr 10 KASIM 2017 5. HAFTA 2.7 M/M/1/ / sistemi için Bekleme zamanının dağılımı ( ) 1 T j rastgele değişkeni j. birimin
DetaylıDÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
DetaylıÖzdeğer ve Özvektörler
Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
DetaylıDiverjans teoremi ise bir F vektörüne ait hacim ve yüzey İntegralleri arasındaki ilişkiyi ortaya koyar ve. biçiminde ifade edilir.
Maxwell denklemlerini intagral bicimlerinin elde edilmesinde Stokes ve Diverjans Teoremlerinden yararlanilir. Stokes Teoremiaşağıdaki gibi ifade edilir, bir F vektörüne ait yüzey integrali ile çizgi integrali
DetaylıB ol um 5 ANALOG IS ARETLER IN SPEKTRUM ANAL IZ I
Bölüm 5 ANALOG İŞARETLERİN SPEKTRUM ANALİZİ 10 Bölüm 5. Analog İşaretlerin Spektrum Analizi 5.1 Fourier Serisi Sınırlı (t 1, t 2 ) aralığında tanımlanan f(t) fonksiyonunun sonlu Fourier serisi açılımı
Detaylı3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10
Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık
DetaylıHAFTA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ. İçindekiler
HAFA 8: FOURIER SERİLERİ ÖZELLİKLERİ İçindekiler 4.4. Fourier serisinin özellikleri... 2 4.4.1 Doğrusallık özelliği (Linearity property)... 2 4.4.2 Zamanda tersine çevirme özelliği (ime Reversal Property)...
DetaylıTez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)
HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu
DetaylıAralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri
C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi
2+1 Boyutlu Eğri Hiperyüzeyde Dirac Denklemi Mehmet Ali Olpak Fizik Bölümü Orta Doğu Teknik Üniversitesi Ankara, Aralık 2011 Outline 1 2 3 Geometri Denklemin Parçalanması 4 Genel Durum N boyutlu bir uzayın,
DetaylıODAKLANAN KÜBİK, ODAKLANAN KUİNTİK ORTAMDA PT-SİMETRİSİNE SAHİP KAFESLER ÜZERİNDE NLS DENKLEMİNİN TEMEL SOLİTON ÇÖZÜMLERİ
XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 24-28 Ağustos 2015, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Trabzon ODAKLANAN KÜBİK, ODAKLANAN KUİNTİK ORTAMDA PT-SİMETRİSİNE SAHİP KAFESLER ÜZERİNDE NLS DENKLEMİNİN TEMEL SOLİTON ÇÖZÜMLERİ
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBĠR BOYUTLU ISI DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠNĠN ÇÖZÜMÜ ÜZERĠNE
BĠR BOYUTLU ISI DENKLEMĠ ĠÇĠN BĠR SINIR DEĞER PROBLEMĠNĠN ÇÖZÜMÜ ÜZERĠNE VOLKAN ALA MERSĠN ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MATEMATĠK ANA BĠLĠM DALI YÜKSEK LĠSANS TEZĠ DanıĢman Prof. Dr. Hanlar REġĠDOĞLU
DetaylıEK-3 ÖZGEÇMİŞ. Derece Alan Üniversite Yıl
EK-3 ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Mahir HASANSOY 2. Doğum Tarihi : 1.07.1961 3. Unvanı : Profesör 4. Öğrenim Durumu : Doktora 5. Çalıştığı Kurum : Doğuş Üniversitesi Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
DetaylıDiferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları
Diferansiyel Denklemler (MATH 276) Ders Detayları Ders Adı Diferansiyel Denklemler Ders Kodu MATH 276 Dönemi Ders Uygulama Laboratuar Kredi AKTS Saati Saati Saati Bahar 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Math
Detaylı1.58 arasındaki her bir değeri alabileceği için sürekli bir
7.SUNUM Hatırlanacağı gibi, kesikli rassal değişkenler sonlu (örneğin; 0, 1, 2,...,10) veya sayılabilir sonsuzlukta (örneğin; 0, 1, 2,...) değerler alabilmektedir. Fakat birçok uygulamada, rassal değişkenin
DetaylıBir H Hilbert uzay üzerinde herhangi bir kompakt simetrik T operatörü için,
Ritz Yöntemi Kullan larak Integral Operatörlerin Özde¼gerlerinin Yaklaş k Hesab Yüksel SOYKAN, Erkan TAŞDEM IR, Melih GÖCEN Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, 6700
Detaylı18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıZaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy SAYISAL KARARLILIK Sayısal çözümlerin kararlı olması zorunludur. Buna göre ZUSF çözümleri de uzay ve zamanda ayrıklaştırma kapsamında kararlı olması için kararlılık koşullarını sağlaması
Detaylı