Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Transkript

1 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

2 Giriş M bir toplamsal değişmeli grup olsun. End(M) = {f : M M f grup homomorfizması} kümesini tanımlayalım. End(M) kümesi üzerinde; f, g End(M) ve x M için; (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (g (x)) işlemleri tanımlansın. Bu durumda, f, g End(M) ve x, y M için; ve (f + g) (x + y) = f (x + y) + g (x + y) (işlem tanımından) = f (x) + f (y) + g (x) + g(y) (f, g, homomorfizma) = f (x) + g (x) + f (y) + g (y) (M değişmeli) = (f + g) (x) + (f + g) (y) (tanımdan) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

3 Giriş (f g) (x + y) = f (g (x + y)) = f (g (x) + g (y)) = f (g (x)) + f (g (y)) = f (x) g (x) + f (y) g (y) = (f g) (x) + (f g) (y) olduğundan, f + g ve f g fonksiyonlarıda grup homomorfizmalarıdır. O halde f + g, f g End(M) dir. 0 : M M, 0(x) = 0 olarak tanımlanan fonksiyon bir grup homomorfizmasıdır. O halde 0 End(M) dir. Üstelik her f End(M) için; olduğundan (f + 0) (x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 = f (x) (0 + f )(x) = 0(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) f + 0 = 0 + f = f olur. O halde 0 End(M) etkisiz elemandır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

4 Giriş Keyfi bir f End(M) için; f : M M, ( f ) (x) = (f (x)) ile tanımlanan f bir fonksiyondur. Ayrıca x, y M için olduğundan f End(M) dir. Üstelik ( f ) (x + y) = (f (x + y)) = (f (x) + f (y)) = f (x) f (y) = ( f )(x) + ( f )(y) (f + ( f ))(x) = f (x) + ( f )(x) = f (x) f (x) = 0 = 0(x) (( f ) + f )(x) = ( f )(x) + f (x) = f (x) + f (x) = 0 = 0(x) olduğundan f + ( f ) = 0 ve ( f ) + f = 0 olur. O halde f End(M), f End(M) nin tersidir. Ayrıca x M için; (f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x) olduğundan f + g = g + f dir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

5 Giriş Diğer taraftan her f, g, h End(M) ve x M için; [(f + g) + h] (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)] (x) olduğundan (f + g) + h = f + (g + h) olur. Böylece (End(M), +) bir değişmeli gruptur. Diğer taraftan f, g, h End(M) ve x M için; [(f g).h] (x) = (f g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g h)(x)) = [f (g h)] (x) olduğundan (f g) h = f (g h) olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

6 Giriş [(f + g) h] (x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = (f h)(x) + (g h)(x)) = [(f h) + (g h)] (x) ve [f (g + h)](x) = f ((g + h)(x)) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) = (f g)(x) + (f h)(x) = (f g + f h)(x) olduğundan (f + g) h = f h + g h ve f (g + h) = f g + f h bulunur. Ayrıca, I : M M, I (x) = x ile tanımlanan fonksiyon bir grup homomorfizmasıdır ve (f I )(x) = f (I (x)) = f (x) (I f )(x) = I (f (x)) = f (x) olduğundan I f = f I = f dir. Böylece End(M), üzerinde tanımlanan bu işlemler ile bir birimli halkadır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

7 Giriş Bu halkayıkullanarak M toplamsal değişmeli grubu üzerinde bir dış işlemi aşağıdaki biçimde tanımlayalım. f End(M) ve m M için f m işlemi, f altında ki m M nin görüntüsü olsun. Yani, End(M) M M (f, m) f m = f (m) olarak tanımlansın. Bu şekilde tanımlanan dış işlem aşağıdaki özelliklere sahiptir. f, g End(M) ve m, m 1, m 2 M için; 1 f (m 1 + m 2 ) = f (m 1 + m 2 ) = f (m 1 ) + f (m 2 ) = f m 1 + f m 2 olduğundan f (m 1 + m 2 ) = f m 1 + f m 2 2 (f + g) m = (f + g)(m) = f (m) + g(m) = f m + g m olduğundan (f + g) m = f m + g m 3 (f g) m = (f g)(m) = f (g(m)) = f (g m) = f (g m) olduğundan (f g) m = f (g m) 4 I m = I (m) = m olduğundan I m = m olur. Şimdi M toplamsal değişmeli grup üzerinde yukarıda oluşturulan yapıdan faydalanarak aşağıdaki tanımıverelim. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

8 Tanım Definition R bir halka, M bir toplamsal değişmeli grup olmak üzere R M M, (r, m) r m ile tanımlanan dış işlem, r 1, r 2, r R ve m, m 1, m 2 M için; M1) r (m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 M2) (r 1 + r 2 ) m = r 1 m + r 2 m M3) (r 1.r 2 ) m = r 1 (r 2 m) koşullarınısağlıyor ise M ye bir sol R modül denir. Bu koşullara ek olarak R halkasıbirimli (1 R R) ve M4) 1 R m = m koşuluda sağlanıyor ise M ye bir sol unitary R modül denir. Eğer M bir unitary sol R modül ve R bir bölüm halkası(division ring) ise M ye R üzerinde bir sol vektör uzayıdenir. Yukarıda tanımlanan m M, r R için, r m dış çarpımına skaler çarpım denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

9 Tanım Sağ R modül benzer olarak aşağıdaki biçimde tanımlanır. Definition R bir halka, M bir toplamsal değişmeli grup olmak üzere M R M, (m, r) m r ile tanımlanan işlem m, m 1, m 2 M ve r, r 1, r 2 R için i) (m 1 + m 2 ) r = m 1 r + m 2 r ii) m (r 1 + r 2 ) = m r 1 + m r 2 iii) m (r 1 r 2 ) = (m r 1 ) r 2 koşullarısağlanıyor ise M ye bir sağ R modül denir. Bu koşullara ek olarak R halkasıbirimli (1 R R) ve iv) m 1 R = m koşulu da sağlanıyor ise M ye bir sağ unitary R modül denir. Eğer M bir unitary sağ R modül ve R bir bölüm halkasıise M ye R üzerinde bir sağ vektör uzayıdenir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

10 Özellikler Lemma Eğer R bir değişmeli halka ve M bir sol R modül ise m.r = r.m olarak tanımlanan dış işlem ile M bir sağ R modül yapılabilir. Solution M bir sol R modül ve R değişmeli olsun. Bu durumda M R M (m, r) m r = r m dış işlemini ele alalım. Her m, m 1, m 2 M ve r, r 1, r 2 R için, (m 1 + m 2 ) r = r (m 1 + m 2 ) (işlem tanımı) = r m 1 + r m 2 (sol R modül) = m 1 r + m 2 r (işlem tanımı) olduğundan (m 1 + m 2 ) r = m 1 r + m 2 r olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

11 Özellikler Solution Benzer olarak m (r 1 + r 2 ) = (r 1 + r 2 ) m (işlem tanımı) = r 1 m + r 2 m (sol R modül) = m r 1 + m r 2 (işlem tanımı) olduğundan m (r 1 + r 2 ) = m r 1 + m r 2 olur. Ayrıca olduğundan elde edilir. m (r 1 r 2 ) = (r 1 r 2 ) m (işlem tanımı) = (r 2 r 1 ) m (R değişmeli) = r 2 (r 1 m) (sol R modül) = r 2 (m r 1 ) (işlem tanımı) = (m r 1 ) r 2 (işlem tanımı) m (r 1 r 2 ) = (m r 1 ) r 2 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

12 Özellikler O halde R değişmeli bir halka olduğunda sağ R modül aynızamanda sol R modül ve bunun tersi de doğru olduğundan, R değişmeli ise R modül diye isimlendirilir. Aksi belirtilmedikçe, bundan sonra R modül denince sol R modül anlaşılacaktır. Lemma R bir halka, M bir R modül olsun. Bu durumda m M ve a R için özellikleri sağlanır. i) 0 R m = 0 M ii) a 0 M = 0 M iii) ( a) m = (a m) = a ( m) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

13 Özellikler Proof. R bir halka ve M bir R modül olsun. (i) m M ve a R için a m M dir. a m = (a + 0 R ) m = a m + 0 R m olduğundan 0 R m = 0 M elde edilir. (ii) m M ve a R için a m M dir. a m = a (m + 0 M ) = a m + a 0 M olmasından a 0 M = 0 M bulunur. (iii) 0 M = 0 R m olmasıkullanılarak 0 M = 0 R m = (a + ( a)) m = a m + ( a) m olmasından ( a) m = (a m) ve benzer biçimde 0 M = a 0 M = a (m + ( m)) = a m + a ( m) olmasından a ( m) = (a m) bulunur. Böylece istenenler bulunmuş olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

14 Özellikler Example Her toplamsal değişmeli A grubu bir sol(sağ) Z modüldür. Solution A bir toplamsal değişmeli grup olsun. n Z ve a A için, n a, n defa a elemanının toplamıolarak tanımlansın. Z A A (n, a) n a = a + a + + a Bu durumda k, k 1, k 2 Z ve a, a 1, a 2 A için olur. k (a 1 + a 2 ) = (a 1 + a 2 ) + + (a 1 + a 2 ) (k defa) = (a a 1 ) + (a a 2 ) (A değişmeli) = k a 1 + k a 2 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

15 Özellikler Solution Ayrıca (k 1 + k 2 ) a = a + a + + a (k tane) = (a + + a) + (a + + a) = k 1 a + k 2 a ve (k 1 k 2 ) a = k 1 (k 2 a) olduğu grup teoriden sağlandĭgından A bir (sol) Z modüldür. Üstelik 1 Z Z ve 1 Z a = a olduğundan unitary sol Z modüldür. Z değişmeli ve birimli bir halka olduğundan A bir unitary Z modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

16 Örnekler Example R bir halka olsun. R halkasının toplamsal değişmeli grubunu M ile gösterirsek, R üzerinde var olan çarpma işlemi ile bir R modül olur. Solution M = R nin toplamsal grubu, R M M, (r, m) r m = ra buradaki ra, R halkasındaki ikinci işlem olmak üzere; her r, r 1, r 2 R ve x, x 1, x 2 M = R için, r (x 1 + x 2 ) = r x 1 + r x 2 (soldan dağılma özelliği) (r 1 + r 2 ) x = r 1 x + r 2 x (sağdan dağılma özelliği) (r 1.r 2 ) x = r 1 (r 2 x) (birleşme özelliği) koşullarının sağlandĭgıaçıktır. O halde yukarıda tanımlanan işlem ile R bir sol R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

17 Örnekler Solution Benzer şekilde aynıişlemi kullanarak M R M (m, r) m.r = mr tanımlanmasıdurumunda yine sağdan ve soldan dağılma özellikleri ve birleşme özellikleri ile birlikte R bir sağ R modül olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

18 Örnekler Example R bir halka ve I, R nin bir (sağ, sol) ideali olsun. Bu durumda I bir (sol, sağ) R modül olur. Solution I üzerindeki dış işlem R halkasındaki çarpma işlemi olmak üzere R I I (r, a) r a = ra tanımlanırsa yine R halkasındaki bilinen soldan ve sağdan dağılma özelliği ve birleşme özelliği I yıbir sol R modül yapar. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

19 Örnekler Example R bir halka ve I, R nin bir ideali olsun. O zaman R I halkasıaşağıda tanımlanan R R I R I (r, a + I ) r (a + I ) = ra + I dış işlemi ile bir R modüldür. Solution (i) r, a, b R elemanlarıiçin r ((a + I ) + (b + I )) = r (a + b + I ) = r (a + b) + I = (ra + rb) + I = ra + I + rb + I = r (a + I ) + r (b + I ) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

20 Örnekler Solution (ii) r 1, r 2, a R elemanlarıiçin (r 1 + r 2 ) (a + I ) = (r 1 + r 2 )a + I = r 1 a + r 2 a + I = r 1 a + I + r 2 a + I = r 1 (a + I ) + r 2 (a + I ) (iii) r 1, r 2, a R elemanlarıiçin (r 1 r 2 ) (a + I ) = (r 1 r 2 )a + I = r 1 (r 2 a) + I = r 1 (r 2 a + I ) = r 1 (r 2 (a + I )) olduğundan R I bir R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

21 Örnekler Example M ve N iki R modül olsun. M N abelian grubu R (M N) (M N) (r, (x, y)) r (x, y) = (rx, ry) ile tanımlanan işlem ile bir R modüldür. Solution (x, y), (x 1, y 1 ) M N ve r, r 1 R için, olur. r ((x, y) + (x 1, y 1 )) = r (x + x 1, y + y 1 ) = (r (x + x 1 ), r(y + y 1 )) = (rx + rx 1, ry + ry 1 ) = (rx, ry) + (rx 1, ry 1 ) = r (x, y) + r (x 1, y 1 ) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

22 Örnekler Solution Ayrıca ve (r + r 1 ) (x, y) = ((r + r 1 )x, (r + r 1 )y) = (rx + r 1 x, ry + r 1 y) = (rx + rx 1, ry + ry 1 ) = (rx, ry) + (r 1 x, r 1 y) = r (x, y) + r 1 (x, y) (r 1 r 2 ) (x, y) = ((r 1 r 2 )x, (r 1 r 2 )y) = (r 1 (r 2 x), r 1 (r 2 y)) = r 1 (r 2 x, r 2 y) = r 1 (r 2 (x, y)) olduğundan M N bir R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

23 Alt Modüller Definition R bir halka ve M bir R modül olsun. N, M nin boş kümeden farklıbir altkümesi olsun. Her a, b N ve her r R için i) 0 M N ii) a b N iii) r a N (a r N) oluyorsa N ye M nin bir sol (sağ) R alt modülü denir. Definition (0) ve M nin kendisi birer R alt modüllerdir. Bu alt modüllere aşikar alt modüller denir. Eğer R birimli ve M unitary R modül ve R bir bölüm halkasıise o zaman, eğer N, M nin bir R alt modülü ise bu alt modüle alt uzay denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

24 Alt Modüller Example Bir R halkasının her ideali, R nin bir R alt modülüdür. Bunun tersi de doğrudur. Yani R halkasının her R alt modülü, R halkasının bir idealidir. Solution R bir halka olsun. R bir R modüldür. I, R nin bir ideali olsun. O halde her a, b I ve r R için. a r dış işlemi olarak R halkasındaki çarpma işlemi tanımlanırsa (i) a b I ve (ii) r a, a r I olduğundan I bir R alt modüldür. Tersine I, R nin bir R alt modülü olsun. O halde tanımdan a, b I ve r R için, (i) 0 R I, (ii) a b I ve (iii) r a, a r I olduğundan I, R nin bir idealidir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

25 Alt Modüller Example M bir R modül ve x M olsun. Rx = {rx r R} kümesi M nin bir R alt modülüdür. Solution 0 R R ve 0 R x = 0 M Rx M dir. Rx = dir. Diğer taraftan r 1 x, r 2 x Rx için; olduğundan istenen gösterilmiş olur. r 1 x r 2 x = (r 1 r 2 ) x Rx r 1 (r 2 x) = (r 1 r 2 ) x Rx Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

26 Alt Modüller Lemma M bir R modül ve x M olsun. K = {r x + nx r R, n Z} kümesini tanımlayalım. K, x elemanınıkapsayan, M nin bir R altmodülüdür. Üstelik R birimli bir halka ve M unitary R modül ise K = Rx dir. Proof. 1 Z Z ve x = 0 R x + 1 Z x K olduğundan x K ve K = dir. Diğer taraftan, her r R, her n Z için ve M toplamsal grup olduğundan r x M, nx M r x + nx M olur. O halde K M dir. k 1 = r 1 x + n 1 x, k 2 = r 2 x + n 2 x K için olduğundan (K, +) < (M, +) dır. k 1 k 2 = (r 1 r 2 ) x + (n 1 n 2 )x K Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

27 Alt Modüller Proof. a R ve r x + nx K olsun. Bu durumda n 0 ise n < 0 ise a (r x + nx) = a (r x) + a (nx) = (ar) x + a(x + x + + x) = (ar) x + a x + + a x = (ar) x + n(a x) a (r x + nx) = a (r x) + a (nx) = (ar) x + a(( x) + + ( x)) = (ar) x + a ( x) + + a ( x) = (ar) x + ( a x a x) = (ar) x + n(a x) olur. O halde K, x elemanınıbulunduran M nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

28 Alt Modüller Proof. Eğer L, x elemanınıbulunduran başka bir R altmodül ise, o zaman her r R için r x L ve her n Z için nx L ve L toplamsal grup olduğundan r x + nx L olacağından K L olur. Böylece K, x elemanınıbulunduran M nin en küçük R altmodülüdür. Şimdi kabul edelim ki R birimli ve M unitary R modül olsun. Bu durumda n > 0 ise r x + nx = r x + n(1 R x) = r x + (1 R x R x) = (r + 1 R R ) x Rx ve n 0 ise n = m > 0 olur. Yine r x + nx = r x + m(( 1 R ) x + + ( 1 R ) x) = (r + ( 1 R ) + + ( 1 R )) x Rx olduğundan K Rx dir. Diğer taraftan Rx K olduğu açıktır. Böylece K = Rx elde edilir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

29 Devirli Alt Modüller Definition M bir R modül olsun. x M için, x elemanıile üretilen devirli R alt modül (x) = {r x + nx r R, n Z} dir. Eğer R birimli ve M unitary R modül ise o zaman x elemanıile üretilen devirli R altmodül (x) = Rx = {r x r R} dir. Theorem M bir R modül ve (N i ) i I ailesi M nin R alt modüllerinin bir ailesi olsun. O zaman N i bir R alt modüldür. i I Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

30 Alt Modüller Proof. i I için, 0 M N i olduğundan 0 M N i ve N i = dir. x, y N i ve i I i I i I a R olsun. O zaman i I için, x y N i ve a x N i olduğundan x y, a x N i olur. O halde i I i I altkümesi olsun. N i bir R alt modüldür. M bir R modül ve S M A = {N N, M nin S yi kapsayan R alt modülü} kümesini tanımlayalım. M A olduğundan A = dir. K = N N A R alt modülünü alalım. Bu durumda K, M nin S kümesini kapsayan en küçük R alt modülüdür. Bu şekilde tanımlanan en küçük R alt modülüne S kümesi ile üretilen M nin bir R alt modülü denir ve (S) ile gösterilir. Eğer S = {x 1,..., x n } sonlu küme ise (S) = (x 1,..., x n ) gösterimi kullanılır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

31 Alt Modüller Definition M bir R modül olsun. 1 i k, x i M için M = (x 1,..., x k ) ise M ye sonlu üreteçli R modülü denir. Buradaki x 1,..., x n elemanlarına M nin üreteçleri denir. M bir R modül olsun. Eğer bir x M için M = (x) ise M ye devirli R modül denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

32 Alt Modüller Lemma M bir R modül ve N 1, N 2,..., N t M nin R alt modülleri olsun. Bu durumda N N t = {n n t i = 1, 2,..., t için, n i N i } kümesi M nin R alt modülüdür. Proof. Her i için N i ler R alt modül olduğundan 0 m = 0 m m N N t dir. Şimdi i = 1, 2,..., t için, n i, k i N olmak üzere (n n t ) (k k t ) = (n 1 k 1 ) + + (n t k t ) ve (n 1 k 1 ) + + (n t k t ) N N t dir. Çünkü i = 1, 2,..., t için (n i k i ) N i dir. Ayrıca r R ve 1 i t için r n i N i olduğundan r (n n t ) = r n r n t N N t olur. Böylece N 1 + N N t bir R alt modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

33 Direkt Toplam Definition M, bir R modül ve N 1, N 2,..., N t M nin R alt modülleri ve 1 i t için, N i (N N i 1 + N i N t ) = {0} oluyorsa N N t, R alt modülüne, N i, R alt modüllerinin direkt toplamı denir ve N 1 N 2 N t ile gösterilir. Lemma M bir R modül ve N 1, N 2,..., N t, M nin R alt modülleri olsun. N 1 N 2 N t direkt toplamındaki her bir x elemanı1 i t için, n i N i olmak üzere x = n 1 + n n t biçiminde tek türlü yazılır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

34 Direkt Toplam Proof. x N 1 N 2 N t alalım. Kabul edelimki her i için, n i, k i N i olmak üzere x = n 1 + n n t = k 1 + k k t biçiminde iki farklışekilde yazılsın. Buradan n 1 k 1 = (k 2 n 2 ) + + (k t n t ) yazılır. Eşitliğin sol tarafın 1 in elemanıdır. Eşitliğin sağ tarafın N t nin elemanıdır. N 1 + N N t direkt toplam olduğundan n 1 k 1 N 1 (N N t ) = {0} olmasından n 1 = k 1 bulunur. Benzer şekilde her 1 i t için n i = k i elde edilir. Böylece istenen elde edilmiş olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

35 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül olsun.f : M N dönüşümü her x, y M ve her r R için; H1) f (x + y) = f (x) + f (y) H2) f (r x) = r f (x) koşullarısağlanıyor ise f ye bir R modül homomorfizmasıveya kısaca R homomorfizmasıdenir. M den N ye bütün R homomorfizmalarının kümesi Hom R (M, N) = {f : M N f bir R homomorfizma} ile gösterilir. Eğer M = N ise Hom R (M, M) = End R (M) = {f : M M f bir R homomorfizma} olur. Eğer R bir bölüm halkası(veya cisim) ve modüller unitary R modül ise f ye M ve N vektör uzaylarıarasında bir lineer dönüşüm denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

36 Homomorfizmalar Lemma M ve N iki R modül f : M N, R homomorfizma olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır. f (0 M ) = 0 N x M için, f ( x) = f (x) x, y M için, f (x y) = f (x) f (y) olur. Proof. f : M N, R homomorfizma olsun. (i) f : M N bir grup homomorfizmasıolduğundan birimi birime götürür. Böylece f (0 M ) = 0 N dir. (ii) Yukarıdaki (i) kullanılarak, x M için, 0 N = f (0 M ) = f (x + ( x)) = f (x) + f ( x) olmasından f (x) = f ( x) elde edilir. (iii) Yukarıdaki (i) ve (ii) kullanılarak x, y M için f (x y) = f (x + ( y)) = f (x) + f ( y) = f (x) f (y) elde edilir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

37 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül ve f : M N, bir R homomorfizma olsun. O zaman a) {x M f (x) = 0 N } kümesine f nin çekirdeği denir ve ker f ile gösterilir. b) f (M) = {f (x) x M} kümesine f altında M nin homomorfik görüntüsü denir ve Im f ile gösterilir. Lemma M ve N iki R modül ve f : M N, bir R homomorfizma ise a) ker f, M nin bir R alt modülüdür. b) Im f, N nin bir R alt modülüdür. Proof. (a) f (0 M ) = 0 N olduğundan 0 M ker f dir. Böylelikle ker f = dir. x, y ker f olsun. f (x y) = f (x) f (y) = 0 N 0 N = 0 N olduğundan x y ker f dir. Ayrıca a ker f ve r R için f (r a) = r f (a) = r 0 N = 0 N olmasından r a ker f dir. Böylece ker f, M nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

38 Homomorfizmalar Proof. (b) 0 N = f (0 M ) ve 0 M M olduğundan 0 N Im f dir. x, y Im f olsun. O zaman x = f (a), y = f (b) olacak şekilde a, b M vardır. Buradan x y = f (a) f (b) = f (a b) ve a b M olduğundan x y Im f dir. b Im f ve r R için; r b = r f (a) = f (r a) ve r a M olduğundan r b Im f dir. O halde Im f, N nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

39 Homomorfizmalar Example M bir R modül ve N bir R alt modül olsun. a M için π : M M/N a a + N olarak tanımlanan dönüşüm bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca Im π = M/N ve ker π = N dir. Solution N, M nin bir R alt modülü olduğundan bir idealidir. O halde M/N bir R modüldür. a, b M ve r R için π(a + b) = (a + b) + N = a + N + b + N = π(a) + π(b) ve π(r a) = (r a) + N = r (a + N) = r π(a) olduğundan π bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

40 Homomorfizmalar Solution ve x Im π π(a) = x olacak biçimde bir a M vardır. a M için a + N = x x M/N Im π M/N y M/N y = b + N = π(b) y Im π M/N Im π dir. O halde Im π = M/N dir. Diğer taraftan x ker π π(x) = N x + N = N x N olur. O halde ker π N dir. Eğer a N M ise π(a) = a + N = N olduğundan a ker π dir. O halde ker π = N dir Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

41 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül ve f : M N bir R homomorfizmasıolsun. i) f bire-bir ise f ye R monomorfizması, ii) f örten ise f ye R epimorfizması, iii) f bire-bir ve örten ise f ye R izomorfizması denir. Eğer f bir izomorfizma ise M ile N izomorftur denir ve M = N ile gösterilir. Lemma f : M N bir R homomorfizmasıolsun. a) f bir monomorfizmadır ker f = {0} b) f bir epimorfizmadır Im f = N olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

42 Homomorfizmalar Proof. f : M N bir R homomorfizmasıolsun. (a) ( ) ker f = {0} olsun. x, y M için, f (x) = f (y) x = y ve böylece x y ker f = {0} olmasından x = y bulunur. O halde f bire-bir dir. ( ) Tersine f bir monomorfizma olsun. Bu durumda a ker f için f (a) = 0 = f (0 M ) ve f bire-bir olduğundan a = 0 M bulunur. O halde ker f = {0} dır. (b) ( ) f örten olsun. O zaman f (M) = N olduğundan Im f = N dir. ( ) Tersine Im f = N ise f örtendir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

43 Homomorfizmalar Lemma f : M N bir R izomorfizmasıolsun. O zaman f 1 : N M, bir R izomorfizmadır. Proof. f : M N bir R izomorfizmasıolsun. f, 1 1 ve örten olduğundan tersi vardır. Üstelik f 1 : N M, 1 1 ve örten dönüşümdür. Bunun bir R homomorfizma olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için y, y 1, y 2 N ve a R elemanlarınıalalım. f örten olduğundan y = f (x), y 1 = f (x 1 ), y 2 = f (x 2 ) olacak şekilde x, x 1, x 2 M elemanlarıvardır. Buradan f 1 (y 1 + y 2 ) = f 1 (f (x 1 ) + f (x 2 )) = f 1 (f (x 1 + x 2 )) = x 1 + x 2 = f 1 (y 1 ) + f 1 (y 2 ) ve f 1 (a y) = f 1 (a f (x)) = f 1 (f (a x)) = a x = a f 1 (y) olduğundan f 1 : N M bir R izomorfizmadır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

44 Homomorfizmalar Example M bir R modül olsun. I : M M, I (x) = x ile tanımlanan özdeşlik dönüşümü bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca 0 : M M, 0(x) = 0 M ile tanımlanan dönüşüm bir R homomorfizmasıdır. Example R bir halka olsun. Bu durumda R bir R modül ve R n = R R R nin bir R modül olduğunu biliyoruz. Buradan sabit bir k için, f k : R n R, f k (x 1, x 2,..., x n ) = x k olarak tanımlanan dönüşüm bir R modül epimorfizmasıdır. Bu R homomorfizmaya k. izdüşüm R homomorfizmasıdenir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

45 Homomorfizmalar Solution x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ve r R için f k (x + y) = f k (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = x k + y k = f k (x) + f k (y) f k (r x) = f k (r x 1,..., r x n ) = r x k = r f k (x) olduğundan f k, bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca örten olduğu acıktır. Example V = {her mertebeden türevlenebilen, tek değişkenli, reel değerli fonksiyonlar} kümesi olsun. V kümesi, a) f, g V için, (f + g)(x) = f (x) + g(x) ile tanımlanan işlem ile bir değişmeli gruptur. b) f V ve r R olmak üzere (r f )(x) = rf (x) ile tanımlanan işlem ile bir R modüldür. c) D : V V, D(f ) = df dx = f (x) olarak tanımlanan türev alma operatörü olmak üzere D bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

46 Homomorfizmalar Solution (a) V kümesinin toplamsal değişmeli grup olduğunu göstermek kolay olduğundan alıştırma olarak bırakılmıştır. (b) f, g V için (f g)(x) = f (x) g(x) (r f )(x) = rf (x) olduğundan V nin bir R modül olduğunu göstermek kolaydır. (c) f, g V için D(f + g) = D(f ) + D(g) D(r f ) = rd(f ) olduğundan D bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

47 Alıştırmalar I 1 R bir halka, R [x], R halkasıüzerindeki polinomlar halkasıolmak üzere R [x] in bir R modül olduğunu gösteriniz. 2 M bir R modül olsun. {x R xm = (0)} olarak tanımlanan kümenin R halkasının bir ideali olduğunu gösteriniz. 3 R bir halka ve S = {(a i ) i N, a i R} olsun. (a) S kümesinin (a i ) + (b i ) = (a i + b i ) işlemi ile bir toplamsal abelian grup olduğunu gösteriniz. (b) α R ve (a i ) S için, α (a i ) = (αa i ) olarak tanımlanan işlem ile bir R modül olduğunu gösteriniz. 4 M ve N iki R modül olsun. Z = {a R ar = ra, r R} kümesine R halkasının merkezi denir. (a) Z nin alt halka olduğunu gösteriniz. (b) Hom(M, N) nin bir Z modül olduğunu gösteriniz. (c) R değişmeli ise, Hom(M, N) nin bir R modül olduğunu gösteriniz. 5 R birimli bir halka, M bir R modül ve M unitary modül olmasın. Her r R için, rm = 0 olacak şekilde bir 0 = m M elemanının var olduğunu gösteriniz. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

48 Alıştırmalar II 1 M bir R modül olsun. Eğer M nin alt modülleri sadece (0) ve M ise M ye indirgenemez (irreducible) R modül denir. Bir unitary indirgenemez R modülün devirli olduğunu gösteriniz. 2 M bir indirgenemez R modül ise M modülünün ya devirli veya her m M ve r R için, rm = 0 olduğunu gösteriniz. 3 M bir R modül olsun. Eğer M ve {0} dan başka alt modülleri yoksa M ye basit modül denir. M bir basit modüldür. 0 = x M için, M = Rx (= {rx r R}) dir. 4 R birimli bir halka olsun. R basit modüldür R kesir (division) halkasıdır. (Yol gösterme: Önce 0 = x için Rx = {rx r R} nin sıfırdan farklır nin bir alt modülü olduğunu gösteriniz. Buradan R = Rx ve bunun 1 R yi bulundurduğunu gösteriniz.) 5 R birimli ve değişmeli bir halka ve f : R R R bir dönüşüm olsun. f bir R homomorfizmasıdır x, y R için, f (x, y) = αx + βy olacak şekilde α, β R vardır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

49 Alıştırmalar III 1 f : M N ve g : N P, R homomorfizmalarıolsun. (a) g f : M P bir R homomorfizmadır. (b) f ve g, R epimorfizmalar g f, R epimorfizmadır. (c) f ve g, R monomorfizmalar g f, R monomorfizmadır. (d) g f, bir R epimorfizma g, bir R epimorfizmadır. (e) g f, bir R monomorfizma f, R monomorfizmadır. 2 M bir R modül, A ve B alt modülleri olsun. M = A B A B = {0} ve M = A + B olduğunu gösteriniz. 3 M bir R modül ve A, M nin bir direkt toplananı(yani, M = A B, B, M nin bir alt modülü) olsun. O zaman ker f = B, Im f = A ve f 2 = f olacak şekilde bir f : M M, R homomorfizmasının var olduğunu gösteriniz. 4 M ve N, R modüller olsun. (a) Eğer M basit R modül ise sıfırdan farklıher f : M N, R homomorfizmasıbir R monomorfizmadır. (b) Eğer N basit R modül ise sıfırdan farklıher f : M N, R homomorfizmasıbir R epimorfizmadır. (c) M bir basit R modül ise (End R, +, ) kümesinin bir bölüm (division) halkası olduğunu gösteriniz. (End R = {f : M M f, R homomorfizma}) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

50 Alıştırmalar IV 1 R birimli bir halka ve Hom R (R, R), R nin sol R modül endomorfizmalarının halkasıolsun. O zaman halka olarak R p = Hom R (R, R) olduğunu gösteriniz. 2 M, R modül ve x M için rx = 0 ise r = 0 olsun. O zaman modül olarak Rx = R olduğunu gösteriniz. 3 R birimli bir halka olsun. (a) Hom R (R, R) = {f f : R R, R sağ modül homomorfizması} kümesinin bir halka olduğunu gösteriniz. (b) Hom R (R, R) = R olduğunu gösteriniz. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50