Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Modül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50"

Transkript

1 Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

2 Giriş M bir toplamsal değişmeli grup olsun. End(M) = {f : M M f grup homomorfizması} kümesini tanımlayalım. End(M) kümesi üzerinde; f, g End(M) ve x M için; (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (g (x)) işlemleri tanımlansın. Bu durumda, f, g End(M) ve x, y M için; ve (f + g) (x + y) = f (x + y) + g (x + y) (işlem tanımından) = f (x) + f (y) + g (x) + g(y) (f, g, homomorfizma) = f (x) + g (x) + f (y) + g (y) (M değişmeli) = (f + g) (x) + (f + g) (y) (tanımdan) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

3 Giriş (f g) (x + y) = f (g (x + y)) = f (g (x) + g (y)) = f (g (x)) + f (g (y)) = f (x) g (x) + f (y) g (y) = (f g) (x) + (f g) (y) olduğundan, f + g ve f g fonksiyonlarıda grup homomorfizmalarıdır. O halde f + g, f g End(M) dir. 0 : M M, 0(x) = 0 olarak tanımlanan fonksiyon bir grup homomorfizmasıdır. O halde 0 End(M) dir. Üstelik her f End(M) için; olduğundan (f + 0) (x) = f (x) + 0(x) = f (x) + 0 = f (x) (0 + f )(x) = 0(x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) f + 0 = 0 + f = f olur. O halde 0 End(M) etkisiz elemandır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

4 Giriş Keyfi bir f End(M) için; f : M M, ( f ) (x) = (f (x)) ile tanımlanan f bir fonksiyondur. Ayrıca x, y M için olduğundan f End(M) dir. Üstelik ( f ) (x + y) = (f (x + y)) = (f (x) + f (y)) = f (x) f (y) = ( f )(x) + ( f )(y) (f + ( f ))(x) = f (x) + ( f )(x) = f (x) f (x) = 0 = 0(x) (( f ) + f )(x) = ( f )(x) + f (x) = f (x) + f (x) = 0 = 0(x) olduğundan f + ( f ) = 0 ve ( f ) + f = 0 olur. O halde f End(M), f End(M) nin tersidir. Ayrıca x M için; (f + g)(x) = f (x) + g(x) = g(x) + f (x) = (g + f )(x) olduğundan f + g = g + f dir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

5 Giriş Diğer taraftan her f, g, h End(M) ve x M için; [(f + g) + h] (x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) = f (x) + (g + h)(x) = [f + (g + h)] (x) olduğundan (f + g) + h = f + (g + h) olur. Böylece (End(M), +) bir değişmeli gruptur. Diğer taraftan f, g, h End(M) ve x M için; [(f g).h] (x) = (f g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g h)(x)) = [f (g h)] (x) olduğundan (f g) h = f (g h) olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

6 Giriş [(f + g) h] (x) = (f + g)(h(x)) = f (h(x)) + g(h(x)) = (f h)(x) + (g h)(x)) = [(f h) + (g h)] (x) ve [f (g + h)](x) = f ((g + h)(x)) = f (g(x) + h(x)) = f (g(x)) + f (h(x)) = (f g)(x) + (f h)(x) = (f g + f h)(x) olduğundan (f + g) h = f h + g h ve f (g + h) = f g + f h bulunur. Ayrıca, I : M M, I (x) = x ile tanımlanan fonksiyon bir grup homomorfizmasıdır ve (f I )(x) = f (I (x)) = f (x) (I f )(x) = I (f (x)) = f (x) olduğundan I f = f I = f dir. Böylece End(M), üzerinde tanımlanan bu işlemler ile bir birimli halkadır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

7 Giriş Bu halkayıkullanarak M toplamsal değişmeli grubu üzerinde bir dış işlemi aşağıdaki biçimde tanımlayalım. f End(M) ve m M için f m işlemi, f altında ki m M nin görüntüsü olsun. Yani, End(M) M M (f, m) f m = f (m) olarak tanımlansın. Bu şekilde tanımlanan dış işlem aşağıdaki özelliklere sahiptir. f, g End(M) ve m, m 1, m 2 M için; 1 f (m 1 + m 2 ) = f (m 1 + m 2 ) = f (m 1 ) + f (m 2 ) = f m 1 + f m 2 olduğundan f (m 1 + m 2 ) = f m 1 + f m 2 2 (f + g) m = (f + g)(m) = f (m) + g(m) = f m + g m olduğundan (f + g) m = f m + g m 3 (f g) m = (f g)(m) = f (g(m)) = f (g m) = f (g m) olduğundan (f g) m = f (g m) 4 I m = I (m) = m olduğundan I m = m olur. Şimdi M toplamsal değişmeli grup üzerinde yukarıda oluşturulan yapıdan faydalanarak aşağıdaki tanımıverelim. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

8 Tanım Definition R bir halka, M bir toplamsal değişmeli grup olmak üzere R M M, (r, m) r m ile tanımlanan dış işlem, r 1, r 2, r R ve m, m 1, m 2 M için; M1) r (m 1 + m 2 ) = r m 1 + r m 2 M2) (r 1 + r 2 ) m = r 1 m + r 2 m M3) (r 1.r 2 ) m = r 1 (r 2 m) koşullarınısağlıyor ise M ye bir sol R modül denir. Bu koşullara ek olarak R halkasıbirimli (1 R R) ve M4) 1 R m = m koşuluda sağlanıyor ise M ye bir sol unitary R modül denir. Eğer M bir unitary sol R modül ve R bir bölüm halkası(division ring) ise M ye R üzerinde bir sol vektör uzayıdenir. Yukarıda tanımlanan m M, r R için, r m dış çarpımına skaler çarpım denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

9 Tanım Sağ R modül benzer olarak aşağıdaki biçimde tanımlanır. Definition R bir halka, M bir toplamsal değişmeli grup olmak üzere M R M, (m, r) m r ile tanımlanan işlem m, m 1, m 2 M ve r, r 1, r 2 R için i) (m 1 + m 2 ) r = m 1 r + m 2 r ii) m (r 1 + r 2 ) = m r 1 + m r 2 iii) m (r 1 r 2 ) = (m r 1 ) r 2 koşullarısağlanıyor ise M ye bir sağ R modül denir. Bu koşullara ek olarak R halkasıbirimli (1 R R) ve iv) m 1 R = m koşulu da sağlanıyor ise M ye bir sağ unitary R modül denir. Eğer M bir unitary sağ R modül ve R bir bölüm halkasıise M ye R üzerinde bir sağ vektör uzayıdenir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

10 Özellikler Lemma Eğer R bir değişmeli halka ve M bir sol R modül ise m.r = r.m olarak tanımlanan dış işlem ile M bir sağ R modül yapılabilir. Solution M bir sol R modül ve R değişmeli olsun. Bu durumda M R M (m, r) m r = r m dış işlemini ele alalım. Her m, m 1, m 2 M ve r, r 1, r 2 R için, (m 1 + m 2 ) r = r (m 1 + m 2 ) (işlem tanımı) = r m 1 + r m 2 (sol R modül) = m 1 r + m 2 r (işlem tanımı) olduğundan (m 1 + m 2 ) r = m 1 r + m 2 r olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

11 Özellikler Solution Benzer olarak m (r 1 + r 2 ) = (r 1 + r 2 ) m (işlem tanımı) = r 1 m + r 2 m (sol R modül) = m r 1 + m r 2 (işlem tanımı) olduğundan m (r 1 + r 2 ) = m r 1 + m r 2 olur. Ayrıca olduğundan elde edilir. m (r 1 r 2 ) = (r 1 r 2 ) m (işlem tanımı) = (r 2 r 1 ) m (R değişmeli) = r 2 (r 1 m) (sol R modül) = r 2 (m r 1 ) (işlem tanımı) = (m r 1 ) r 2 (işlem tanımı) m (r 1 r 2 ) = (m r 1 ) r 2 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

12 Özellikler O halde R değişmeli bir halka olduğunda sağ R modül aynızamanda sol R modül ve bunun tersi de doğru olduğundan, R değişmeli ise R modül diye isimlendirilir. Aksi belirtilmedikçe, bundan sonra R modül denince sol R modül anlaşılacaktır. Lemma R bir halka, M bir R modül olsun. Bu durumda m M ve a R için özellikleri sağlanır. i) 0 R m = 0 M ii) a 0 M = 0 M iii) ( a) m = (a m) = a ( m) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

13 Özellikler Proof. R bir halka ve M bir R modül olsun. (i) m M ve a R için a m M dir. a m = (a + 0 R ) m = a m + 0 R m olduğundan 0 R m = 0 M elde edilir. (ii) m M ve a R için a m M dir. a m = a (m + 0 M ) = a m + a 0 M olmasından a 0 M = 0 M bulunur. (iii) 0 M = 0 R m olmasıkullanılarak 0 M = 0 R m = (a + ( a)) m = a m + ( a) m olmasından ( a) m = (a m) ve benzer biçimde 0 M = a 0 M = a (m + ( m)) = a m + a ( m) olmasından a ( m) = (a m) bulunur. Böylece istenenler bulunmuş olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

14 Özellikler Example Her toplamsal değişmeli A grubu bir sol(sağ) Z modüldür. Solution A bir toplamsal değişmeli grup olsun. n Z ve a A için, n a, n defa a elemanının toplamıolarak tanımlansın. Z A A (n, a) n a = a + a + + a Bu durumda k, k 1, k 2 Z ve a, a 1, a 2 A için olur. k (a 1 + a 2 ) = (a 1 + a 2 ) + + (a 1 + a 2 ) (k defa) = (a a 1 ) + (a a 2 ) (A değişmeli) = k a 1 + k a 2 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

15 Özellikler Solution Ayrıca (k 1 + k 2 ) a = a + a + + a (k tane) = (a + + a) + (a + + a) = k 1 a + k 2 a ve (k 1 k 2 ) a = k 1 (k 2 a) olduğu grup teoriden sağlandĭgından A bir (sol) Z modüldür. Üstelik 1 Z Z ve 1 Z a = a olduğundan unitary sol Z modüldür. Z değişmeli ve birimli bir halka olduğundan A bir unitary Z modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

16 Örnekler Example R bir halka olsun. R halkasının toplamsal değişmeli grubunu M ile gösterirsek, R üzerinde var olan çarpma işlemi ile bir R modül olur. Solution M = R nin toplamsal grubu, R M M, (r, m) r m = ra buradaki ra, R halkasındaki ikinci işlem olmak üzere; her r, r 1, r 2 R ve x, x 1, x 2 M = R için, r (x 1 + x 2 ) = r x 1 + r x 2 (soldan dağılma özelliği) (r 1 + r 2 ) x = r 1 x + r 2 x (sağdan dağılma özelliği) (r 1.r 2 ) x = r 1 (r 2 x) (birleşme özelliği) koşullarının sağlandĭgıaçıktır. O halde yukarıda tanımlanan işlem ile R bir sol R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

17 Örnekler Solution Benzer şekilde aynıişlemi kullanarak M R M (m, r) m.r = mr tanımlanmasıdurumunda yine sağdan ve soldan dağılma özellikleri ve birleşme özellikleri ile birlikte R bir sağ R modül olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

18 Örnekler Example R bir halka ve I, R nin bir (sağ, sol) ideali olsun. Bu durumda I bir (sol, sağ) R modül olur. Solution I üzerindeki dış işlem R halkasındaki çarpma işlemi olmak üzere R I I (r, a) r a = ra tanımlanırsa yine R halkasındaki bilinen soldan ve sağdan dağılma özelliği ve birleşme özelliği I yıbir sol R modül yapar. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

19 Örnekler Example R bir halka ve I, R nin bir ideali olsun. O zaman R I halkasıaşağıda tanımlanan R R I R I (r, a + I ) r (a + I ) = ra + I dış işlemi ile bir R modüldür. Solution (i) r, a, b R elemanlarıiçin r ((a + I ) + (b + I )) = r (a + b + I ) = r (a + b) + I = (ra + rb) + I = ra + I + rb + I = r (a + I ) + r (b + I ) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

20 Örnekler Solution (ii) r 1, r 2, a R elemanlarıiçin (r 1 + r 2 ) (a + I ) = (r 1 + r 2 )a + I = r 1 a + r 2 a + I = r 1 a + I + r 2 a + I = r 1 (a + I ) + r 2 (a + I ) (iii) r 1, r 2, a R elemanlarıiçin (r 1 r 2 ) (a + I ) = (r 1 r 2 )a + I = r 1 (r 2 a) + I = r 1 (r 2 a + I ) = r 1 (r 2 (a + I )) olduğundan R I bir R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

21 Örnekler Example M ve N iki R modül olsun. M N abelian grubu R (M N) (M N) (r, (x, y)) r (x, y) = (rx, ry) ile tanımlanan işlem ile bir R modüldür. Solution (x, y), (x 1, y 1 ) M N ve r, r 1 R için, olur. r ((x, y) + (x 1, y 1 )) = r (x + x 1, y + y 1 ) = (r (x + x 1 ), r(y + y 1 )) = (rx + rx 1, ry + ry 1 ) = (rx, ry) + (rx 1, ry 1 ) = r (x, y) + r (x 1, y 1 ) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

22 Örnekler Solution Ayrıca ve (r + r 1 ) (x, y) = ((r + r 1 )x, (r + r 1 )y) = (rx + r 1 x, ry + r 1 y) = (rx + rx 1, ry + ry 1 ) = (rx, ry) + (r 1 x, r 1 y) = r (x, y) + r 1 (x, y) (r 1 r 2 ) (x, y) = ((r 1 r 2 )x, (r 1 r 2 )y) = (r 1 (r 2 x), r 1 (r 2 y)) = r 1 (r 2 x, r 2 y) = r 1 (r 2 (x, y)) olduğundan M N bir R modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

23 Alt Modüller Definition R bir halka ve M bir R modül olsun. N, M nin boş kümeden farklıbir altkümesi olsun. Her a, b N ve her r R için i) 0 M N ii) a b N iii) r a N (a r N) oluyorsa N ye M nin bir sol (sağ) R alt modülü denir. Definition (0) ve M nin kendisi birer R alt modüllerdir. Bu alt modüllere aşikar alt modüller denir. Eğer R birimli ve M unitary R modül ve R bir bölüm halkasıise o zaman, eğer N, M nin bir R alt modülü ise bu alt modüle alt uzay denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

24 Alt Modüller Example Bir R halkasının her ideali, R nin bir R alt modülüdür. Bunun tersi de doğrudur. Yani R halkasının her R alt modülü, R halkasının bir idealidir. Solution R bir halka olsun. R bir R modüldür. I, R nin bir ideali olsun. O halde her a, b I ve r R için. a r dış işlemi olarak R halkasındaki çarpma işlemi tanımlanırsa (i) a b I ve (ii) r a, a r I olduğundan I bir R alt modüldür. Tersine I, R nin bir R alt modülü olsun. O halde tanımdan a, b I ve r R için, (i) 0 R I, (ii) a b I ve (iii) r a, a r I olduğundan I, R nin bir idealidir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

25 Alt Modüller Example M bir R modül ve x M olsun. Rx = {rx r R} kümesi M nin bir R alt modülüdür. Solution 0 R R ve 0 R x = 0 M Rx M dir. Rx = dir. Diğer taraftan r 1 x, r 2 x Rx için; olduğundan istenen gösterilmiş olur. r 1 x r 2 x = (r 1 r 2 ) x Rx r 1 (r 2 x) = (r 1 r 2 ) x Rx Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

26 Alt Modüller Lemma M bir R modül ve x M olsun. K = {r x + nx r R, n Z} kümesini tanımlayalım. K, x elemanınıkapsayan, M nin bir R altmodülüdür. Üstelik R birimli bir halka ve M unitary R modül ise K = Rx dir. Proof. 1 Z Z ve x = 0 R x + 1 Z x K olduğundan x K ve K = dir. Diğer taraftan, her r R, her n Z için ve M toplamsal grup olduğundan r x M, nx M r x + nx M olur. O halde K M dir. k 1 = r 1 x + n 1 x, k 2 = r 2 x + n 2 x K için olduğundan (K, +) < (M, +) dır. k 1 k 2 = (r 1 r 2 ) x + (n 1 n 2 )x K Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

27 Alt Modüller Proof. a R ve r x + nx K olsun. Bu durumda n 0 ise n < 0 ise a (r x + nx) = a (r x) + a (nx) = (ar) x + a(x + x + + x) = (ar) x + a x + + a x = (ar) x + n(a x) a (r x + nx) = a (r x) + a (nx) = (ar) x + a(( x) + + ( x)) = (ar) x + a ( x) + + a ( x) = (ar) x + ( a x a x) = (ar) x + n(a x) olur. O halde K, x elemanınıbulunduran M nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

28 Alt Modüller Proof. Eğer L, x elemanınıbulunduran başka bir R altmodül ise, o zaman her r R için r x L ve her n Z için nx L ve L toplamsal grup olduğundan r x + nx L olacağından K L olur. Böylece K, x elemanınıbulunduran M nin en küçük R altmodülüdür. Şimdi kabul edelim ki R birimli ve M unitary R modül olsun. Bu durumda n > 0 ise r x + nx = r x + n(1 R x) = r x + (1 R x R x) = (r + 1 R R ) x Rx ve n 0 ise n = m > 0 olur. Yine r x + nx = r x + m(( 1 R ) x + + ( 1 R ) x) = (r + ( 1 R ) + + ( 1 R )) x Rx olduğundan K Rx dir. Diğer taraftan Rx K olduğu açıktır. Böylece K = Rx elde edilir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

29 Devirli Alt Modüller Definition M bir R modül olsun. x M için, x elemanıile üretilen devirli R alt modül (x) = {r x + nx r R, n Z} dir. Eğer R birimli ve M unitary R modül ise o zaman x elemanıile üretilen devirli R altmodül (x) = Rx = {r x r R} dir. Theorem M bir R modül ve (N i ) i I ailesi M nin R alt modüllerinin bir ailesi olsun. O zaman N i bir R alt modüldür. i I Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

30 Alt Modüller Proof. i I için, 0 M N i olduğundan 0 M N i ve N i = dir. x, y N i ve i I i I i I a R olsun. O zaman i I için, x y N i ve a x N i olduğundan x y, a x N i olur. O halde i I i I altkümesi olsun. N i bir R alt modüldür. M bir R modül ve S M A = {N N, M nin S yi kapsayan R alt modülü} kümesini tanımlayalım. M A olduğundan A = dir. K = N N A R alt modülünü alalım. Bu durumda K, M nin S kümesini kapsayan en küçük R alt modülüdür. Bu şekilde tanımlanan en küçük R alt modülüne S kümesi ile üretilen M nin bir R alt modülü denir ve (S) ile gösterilir. Eğer S = {x 1,..., x n } sonlu küme ise (S) = (x 1,..., x n ) gösterimi kullanılır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

31 Alt Modüller Definition M bir R modül olsun. 1 i k, x i M için M = (x 1,..., x k ) ise M ye sonlu üreteçli R modülü denir. Buradaki x 1,..., x n elemanlarına M nin üreteçleri denir. M bir R modül olsun. Eğer bir x M için M = (x) ise M ye devirli R modül denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

32 Alt Modüller Lemma M bir R modül ve N 1, N 2,..., N t M nin R alt modülleri olsun. Bu durumda N N t = {n n t i = 1, 2,..., t için, n i N i } kümesi M nin R alt modülüdür. Proof. Her i için N i ler R alt modül olduğundan 0 m = 0 m m N N t dir. Şimdi i = 1, 2,..., t için, n i, k i N olmak üzere (n n t ) (k k t ) = (n 1 k 1 ) + + (n t k t ) ve (n 1 k 1 ) + + (n t k t ) N N t dir. Çünkü i = 1, 2,..., t için (n i k i ) N i dir. Ayrıca r R ve 1 i t için r n i N i olduğundan r (n n t ) = r n r n t N N t olur. Böylece N 1 + N N t bir R alt modüldür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

33 Direkt Toplam Definition M, bir R modül ve N 1, N 2,..., N t M nin R alt modülleri ve 1 i t için, N i (N N i 1 + N i N t ) = {0} oluyorsa N N t, R alt modülüne, N i, R alt modüllerinin direkt toplamı denir ve N 1 N 2 N t ile gösterilir. Lemma M bir R modül ve N 1, N 2,..., N t, M nin R alt modülleri olsun. N 1 N 2 N t direkt toplamındaki her bir x elemanı1 i t için, n i N i olmak üzere x = n 1 + n n t biçiminde tek türlü yazılır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

34 Direkt Toplam Proof. x N 1 N 2 N t alalım. Kabul edelimki her i için, n i, k i N i olmak üzere x = n 1 + n n t = k 1 + k k t biçiminde iki farklışekilde yazılsın. Buradan n 1 k 1 = (k 2 n 2 ) + + (k t n t ) yazılır. Eşitliğin sol tarafın 1 in elemanıdır. Eşitliğin sağ tarafın N t nin elemanıdır. N 1 + N N t direkt toplam olduğundan n 1 k 1 N 1 (N N t ) = {0} olmasından n 1 = k 1 bulunur. Benzer şekilde her 1 i t için n i = k i elde edilir. Böylece istenen elde edilmiş olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

35 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül olsun.f : M N dönüşümü her x, y M ve her r R için; H1) f (x + y) = f (x) + f (y) H2) f (r x) = r f (x) koşullarısağlanıyor ise f ye bir R modül homomorfizmasıveya kısaca R homomorfizmasıdenir. M den N ye bütün R homomorfizmalarının kümesi Hom R (M, N) = {f : M N f bir R homomorfizma} ile gösterilir. Eğer M = N ise Hom R (M, M) = End R (M) = {f : M M f bir R homomorfizma} olur. Eğer R bir bölüm halkası(veya cisim) ve modüller unitary R modül ise f ye M ve N vektör uzaylarıarasında bir lineer dönüşüm denir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

36 Homomorfizmalar Lemma M ve N iki R modül f : M N, R homomorfizma olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır. f (0 M ) = 0 N x M için, f ( x) = f (x) x, y M için, f (x y) = f (x) f (y) olur. Proof. f : M N, R homomorfizma olsun. (i) f : M N bir grup homomorfizmasıolduğundan birimi birime götürür. Böylece f (0 M ) = 0 N dir. (ii) Yukarıdaki (i) kullanılarak, x M için, 0 N = f (0 M ) = f (x + ( x)) = f (x) + f ( x) olmasından f (x) = f ( x) elde edilir. (iii) Yukarıdaki (i) ve (ii) kullanılarak x, y M için f (x y) = f (x + ( y)) = f (x) + f ( y) = f (x) f (y) elde edilir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

37 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül ve f : M N, bir R homomorfizma olsun. O zaman a) {x M f (x) = 0 N } kümesine f nin çekirdeği denir ve ker f ile gösterilir. b) f (M) = {f (x) x M} kümesine f altında M nin homomorfik görüntüsü denir ve Im f ile gösterilir. Lemma M ve N iki R modül ve f : M N, bir R homomorfizma ise a) ker f, M nin bir R alt modülüdür. b) Im f, N nin bir R alt modülüdür. Proof. (a) f (0 M ) = 0 N olduğundan 0 M ker f dir. Böylelikle ker f = dir. x, y ker f olsun. f (x y) = f (x) f (y) = 0 N 0 N = 0 N olduğundan x y ker f dir. Ayrıca a ker f ve r R için f (r a) = r f (a) = r 0 N = 0 N olmasından r a ker f dir. Böylece ker f, M nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

38 Homomorfizmalar Proof. (b) 0 N = f (0 M ) ve 0 M M olduğundan 0 N Im f dir. x, y Im f olsun. O zaman x = f (a), y = f (b) olacak şekilde a, b M vardır. Buradan x y = f (a) f (b) = f (a b) ve a b M olduğundan x y Im f dir. b Im f ve r R için; r b = r f (a) = f (r a) ve r a M olduğundan r b Im f dir. O halde Im f, N nin bir R alt modülüdür. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

39 Homomorfizmalar Example M bir R modül ve N bir R alt modül olsun. a M için π : M M/N a a + N olarak tanımlanan dönüşüm bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca Im π = M/N ve ker π = N dir. Solution N, M nin bir R alt modülü olduğundan bir idealidir. O halde M/N bir R modüldür. a, b M ve r R için π(a + b) = (a + b) + N = a + N + b + N = π(a) + π(b) ve π(r a) = (r a) + N = r (a + N) = r π(a) olduğundan π bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

40 Homomorfizmalar Solution ve x Im π π(a) = x olacak biçimde bir a M vardır. a M için a + N = x x M/N Im π M/N y M/N y = b + N = π(b) y Im π M/N Im π dir. O halde Im π = M/N dir. Diğer taraftan x ker π π(x) = N x + N = N x N olur. O halde ker π N dir. Eğer a N M ise π(a) = a + N = N olduğundan a ker π dir. O halde ker π = N dir Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

41 Homomorfizmalar Definition M ve N iki R modül ve f : M N bir R homomorfizmasıolsun. i) f bire-bir ise f ye R monomorfizması, ii) f örten ise f ye R epimorfizması, iii) f bire-bir ve örten ise f ye R izomorfizması denir. Eğer f bir izomorfizma ise M ile N izomorftur denir ve M = N ile gösterilir. Lemma f : M N bir R homomorfizmasıolsun. a) f bir monomorfizmadır ker f = {0} b) f bir epimorfizmadır Im f = N olur. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

42 Homomorfizmalar Proof. f : M N bir R homomorfizmasıolsun. (a) ( ) ker f = {0} olsun. x, y M için, f (x) = f (y) x = y ve böylece x y ker f = {0} olmasından x = y bulunur. O halde f bire-bir dir. ( ) Tersine f bir monomorfizma olsun. Bu durumda a ker f için f (a) = 0 = f (0 M ) ve f bire-bir olduğundan a = 0 M bulunur. O halde ker f = {0} dır. (b) ( ) f örten olsun. O zaman f (M) = N olduğundan Im f = N dir. ( ) Tersine Im f = N ise f örtendir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

43 Homomorfizmalar Lemma f : M N bir R izomorfizmasıolsun. O zaman f 1 : N M, bir R izomorfizmadır. Proof. f : M N bir R izomorfizmasıolsun. f, 1 1 ve örten olduğundan tersi vardır. Üstelik f 1 : N M, 1 1 ve örten dönüşümdür. Bunun bir R homomorfizma olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için y, y 1, y 2 N ve a R elemanlarınıalalım. f örten olduğundan y = f (x), y 1 = f (x 1 ), y 2 = f (x 2 ) olacak şekilde x, x 1, x 2 M elemanlarıvardır. Buradan f 1 (y 1 + y 2 ) = f 1 (f (x 1 ) + f (x 2 )) = f 1 (f (x 1 + x 2 )) = x 1 + x 2 = f 1 (y 1 ) + f 1 (y 2 ) ve f 1 (a y) = f 1 (a f (x)) = f 1 (f (a x)) = a x = a f 1 (y) olduğundan f 1 : N M bir R izomorfizmadır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

44 Homomorfizmalar Example M bir R modül olsun. I : M M, I (x) = x ile tanımlanan özdeşlik dönüşümü bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca 0 : M M, 0(x) = 0 M ile tanımlanan dönüşüm bir R homomorfizmasıdır. Example R bir halka olsun. Bu durumda R bir R modül ve R n = R R R nin bir R modül olduğunu biliyoruz. Buradan sabit bir k için, f k : R n R, f k (x 1, x 2,..., x n ) = x k olarak tanımlanan dönüşüm bir R modül epimorfizmasıdır. Bu R homomorfizmaya k. izdüşüm R homomorfizmasıdenir. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

45 Homomorfizmalar Solution x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) R n ve r R için f k (x + y) = f k (x 1 + y 1,..., x n + y n ) = x k + y k = f k (x) + f k (y) f k (r x) = f k (r x 1,..., r x n ) = r x k = r f k (x) olduğundan f k, bir R homomorfizmasıdır. Ayrıca örten olduğu acıktır. Example V = {her mertebeden türevlenebilen, tek değişkenli, reel değerli fonksiyonlar} kümesi olsun. V kümesi, a) f, g V için, (f + g)(x) = f (x) + g(x) ile tanımlanan işlem ile bir değişmeli gruptur. b) f V ve r R olmak üzere (r f )(x) = rf (x) ile tanımlanan işlem ile bir R modüldür. c) D : V V, D(f ) = df dx = f (x) olarak tanımlanan türev alma operatörü olmak üzere D bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

46 Homomorfizmalar Solution (a) V kümesinin toplamsal değişmeli grup olduğunu göstermek kolay olduğundan alıştırma olarak bırakılmıştır. (b) f, g V için (f g)(x) = f (x) g(x) (r f )(x) = rf (x) olduğundan V nin bir R modül olduğunu göstermek kolaydır. (c) f, g V için D(f + g) = D(f ) + D(g) D(r f ) = rd(f ) olduğundan D bir R homomorfizmasıdır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

47 Alıştırmalar I 1 R bir halka, R [x], R halkasıüzerindeki polinomlar halkasıolmak üzere R [x] in bir R modül olduğunu gösteriniz. 2 M bir R modül olsun. {x R xm = (0)} olarak tanımlanan kümenin R halkasının bir ideali olduğunu gösteriniz. 3 R bir halka ve S = {(a i ) i N, a i R} olsun. (a) S kümesinin (a i ) + (b i ) = (a i + b i ) işlemi ile bir toplamsal abelian grup olduğunu gösteriniz. (b) α R ve (a i ) S için, α (a i ) = (αa i ) olarak tanımlanan işlem ile bir R modül olduğunu gösteriniz. 4 M ve N iki R modül olsun. Z = {a R ar = ra, r R} kümesine R halkasının merkezi denir. (a) Z nin alt halka olduğunu gösteriniz. (b) Hom(M, N) nin bir Z modül olduğunu gösteriniz. (c) R değişmeli ise, Hom(M, N) nin bir R modül olduğunu gösteriniz. 5 R birimli bir halka, M bir R modül ve M unitary modül olmasın. Her r R için, rm = 0 olacak şekilde bir 0 = m M elemanının var olduğunu gösteriniz. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

48 Alıştırmalar II 1 M bir R modül olsun. Eğer M nin alt modülleri sadece (0) ve M ise M ye indirgenemez (irreducible) R modül denir. Bir unitary indirgenemez R modülün devirli olduğunu gösteriniz. 2 M bir indirgenemez R modül ise M modülünün ya devirli veya her m M ve r R için, rm = 0 olduğunu gösteriniz. 3 M bir R modül olsun. Eğer M ve {0} dan başka alt modülleri yoksa M ye basit modül denir. M bir basit modüldür. 0 = x M için, M = Rx (= {rx r R}) dir. 4 R birimli bir halka olsun. R basit modüldür R kesir (division) halkasıdır. (Yol gösterme: Önce 0 = x için Rx = {rx r R} nin sıfırdan farklır nin bir alt modülü olduğunu gösteriniz. Buradan R = Rx ve bunun 1 R yi bulundurduğunu gösteriniz.) 5 R birimli ve değişmeli bir halka ve f : R R R bir dönüşüm olsun. f bir R homomorfizmasıdır x, y R için, f (x, y) = αx + βy olacak şekilde α, β R vardır. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

49 Alıştırmalar III 1 f : M N ve g : N P, R homomorfizmalarıolsun. (a) g f : M P bir R homomorfizmadır. (b) f ve g, R epimorfizmalar g f, R epimorfizmadır. (c) f ve g, R monomorfizmalar g f, R monomorfizmadır. (d) g f, bir R epimorfizma g, bir R epimorfizmadır. (e) g f, bir R monomorfizma f, R monomorfizmadır. 2 M bir R modül, A ve B alt modülleri olsun. M = A B A B = {0} ve M = A + B olduğunu gösteriniz. 3 M bir R modül ve A, M nin bir direkt toplananı(yani, M = A B, B, M nin bir alt modülü) olsun. O zaman ker f = B, Im f = A ve f 2 = f olacak şekilde bir f : M M, R homomorfizmasının var olduğunu gösteriniz. 4 M ve N, R modüller olsun. (a) Eğer M basit R modül ise sıfırdan farklıher f : M N, R homomorfizmasıbir R monomorfizmadır. (b) Eğer N basit R modül ise sıfırdan farklıher f : M N, R homomorfizmasıbir R epimorfizmadır. (c) M bir basit R modül ise (End R, +, ) kümesinin bir bölüm (division) halkası olduğunu gösteriniz. (End R = {f : M M f, R homomorfizma}) Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

50 Alıştırmalar IV 1 R birimli bir halka ve Hom R (R, R), R nin sol R modül endomorfizmalarının halkasıolsun. O zaman halka olarak R p = Hom R (R, R) olduğunu gösteriniz. 2 M, R modül ve x M için rx = 0 ise r = 0 olsun. O zaman modül olarak Rx = R olduğunu gösteriniz. 3 R birimli bir halka olsun. (a) Hom R (R, R) = {f f : R R, R sağ modül homomorfizması} kümesinin bir halka olduğunu gösteriniz. (b) Hom R (R, R) = R olduğunu gösteriniz. Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50

SOYUT CEBİR SORULAR. tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös-

SOYUT CEBİR SORULAR. tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığınıgös- SOYUT CEBİR SORULAR 1. S = { a b Q (a, b) = 1 ve 6 b} kümesini ele alalım. Rasyonel sayılar halkasıüzerinde tanımlıadi toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halka olup olmadığını 2. K = { a Q (a, b) =

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

13.Konu Reel sayılar

13.Konu Reel sayılar 13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: G, ve H, iki grup ve f : G H

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir.

SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon denir. SOYUT CEBİR Tanım 1: Uzunluğu 2 olan dairesel permütasyona transpozisyon Tanım 2: Bir grubun kendi üzerine izomorfizmine otomorfizm, grubun kendi üzerine homomorfizmine endomorfizm Sadece birebir olan

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.

12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon. 12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş

Detaylı

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan

Soru Toplam Puanlama Alınan Puan 18.11.2013 No: Ad-Soyad: İmza: Soru 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Toplam Puanlama 20 20 20 20 20 20 20 20 100 Alınan Puan 405024142006.1 CEBİRSEL TOPOLOJİ ARASINAVI CEVAP ANAHTARI (ÖRGÜN ÖĞRETİM) Not: Süre 90

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması

1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin

SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I. Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin 1 SOYUT CEBİR ÇALIŞMA SORULARI HALKALAR I Soru 1 Standart toplama ve : a b = 0 olarak tanımlanan işlemler altında (Z, +, ) nin bir halka yapısıoluşturup oluşturmadĭgınıinceleyiniz. Soru 2 a, b Z, b tek

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

12.Konu Rasyonel sayılar

12.Konu Rasyonel sayılar 12.Konu Rasyonel sayılar 1. Rasyonel sayılar 2. Rasyonel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma ve bölme 4. Tam rayonel sayılar 5. Rasyonel sayılar kümesinde sıralama

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır.

3. işleminin birim elemanı vardır, yani her x A için x e = e x = x olacak şekilde e A vardır. 0.1 GRUPLAR Tanım 1 A kümesi boştan farklıolmak üzere işlemine göre aşağıdaki koşulları gerçekliyorsa (A, ) ikilisine bir Grup denir. 1. kapalılık özelliğine sahiptir, yani her x, y A için x y A olur.

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016

11. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 23, 2016 11. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 23, 2016 1 Önceki Ders Üzerine Bazı Notlar Wikipedia dan Killing ile ilgili bir alıntıyla başlayalım. "1880 civarında, Killing Sophus Lie den bağımsız olarak Lie cebirlerini

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar

3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar 3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)

Detaylı

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI

1.4. KISMİ SIRALAMA VE DENKLİK BAĞINTILARI Reel sayılar kümesinin "küçük ya da eşit", bağıntısı ile sıralanmış olduğunu biliyoruz. Bu bağıntı herhangi bir X kümesine aşağıdaki şekilde genelleştirilebilir. Bir X kümesi üzerinde aşağıdaki yansıma,

Detaylı

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ

T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A 2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A

Detaylı

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim

Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Ders 8: Konikler - Doğrularla kesişim Geçen ders RP 2 de tekil olmayan her koniğin bir dönüşümün ardından tek bir koniğe dönüştüğü sonucuna vardık; o da {[x : y : z x 2 + y 2 z 2 = 0]} idi. Bu derste bu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.

için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun. 11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 4 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı

MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13. TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı MODÜLER ARİTMETİK A)1 B)3 C)8 D)11 E)13 TANIM Z tam sayılar kümesinde tanımlı ={(x,y): x ile y nin farkı n ile tam bölünür} = {(x,y): n x-y, n N + } bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. (x,y) ise x y (mod

Detaylı

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI

Soyut Cebir. Prof. Dr. Dursun TAŞCI Soyut Cebir Prof. Dr. Dursun TAŞCI Ankara 2007 674 ÖNSÖZ Bu kitap; Selçuk Üniversitesi ve Gazi Üniversitesinde uzun yıllar okutmuş olduğum Soyut Cebir ve Cebire Giriş ders notlarının düzenlenmesi ve daha

Detaylı

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon

1. Fonksiyonlar Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon Alıştırmalar Çift ve Tek Fonksiyon İçindekiler Cebir 1. Fonksiyonlar....... 1.1 Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi...... 1.1.1 Fonksiyon.. 1.1. Görüntü Kümesi... 1.1.3 Eşit Fonksiyonlar. 1.1.4 Fonksiyonun Gösterimi. 1.1.4.1 Liste

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve

Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek:

MODÜLER ARİTMETİK. Örnek: MODÜLER ARİTMETİK Bir doğal sayının ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,, } dir. ile bölünmesinden elde edilen kalanlar kümesi { 0,,, } tür. Tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan {( x, y)

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS

A COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS . Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi. Esra Pınar AKKAYMAK T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisans Tezi α, α YAKIN-HALKALARIN REGÜLERLİĞİ ÜZERİNE Esra Pınar AKKAYMAK Tez Danışmanı Yrd. Doç. Dr. Akın Osman ATAGÜN Yozgat

Detaylı

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ 000000000 Komison ÖABT LİSE MATEMATİK PİYASA 9 DENEME ISBN 978-605-38-86-6 Kitapta er alan bölümlerin tüm sorumluluğu azarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım,

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2

Ç.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2 SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı

İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu

Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve

Detaylı

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu

Detaylı

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve

(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

T.C. TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ T.C. TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ Abdullah DERTLĠ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ CEBĠR VE SAYILAR TEORĠSĠ ANABĠLĠM DALI Tez Yönetici: Yrd. Doç. Dr. Yasemin ÇENGELLENMĠġ 2012-EDĠRNE TRAKYA ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3

Çözüm: Z 3 = 27 = 27CiS( +2k ) Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = 2 k=1 için z 1 = 3 p ve q iki önerme olsun p q q p dir. p: = 3 ve q: y< 8 alınırsa I ve III ün denk olduğu görülür. Yanıt B Z 3 = 7 = 7CiS( +k ) k Z k =3CiS ( ) 3 3 k = 0 için z 0 = k=1 için z 1 = 3 k = için z = Yanıt A

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 )

30 NİSAN-14 MAYIS ZEYNEP KAYAR. 1) L : R 3 R 2, L(x 1, x 2, x 3 ) = ( 3x 1 + 2x 3 4x 2, 2x 1 + x 2 3x 3 ) 3 NİSAN-4 MAYIS ZEYNEP KAYAR MATEMATİK BÖLÜMÜ LİNEER CEBİR-II DERSİ ÖDEV 4 Soru I: Aşağıda verilen dönüşümlerin lineer olup olmadığını gösteriniz. ) L : R 3 R, L(x, x, x 3 ) = ( 3x + x 3 4x 4, x + x 3x

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ SERBEST İDEAL HALKALARI ÜZERİNDEKİ MODÜLLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2013 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST İDEAL

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi

Fen ve Anadolu Liselerine Öğretmen Seçme Sınav Denemesi EN LİSELERİ, SOSYL İLİMLER LİSELERİ,SPOR LİSELERİ,NDOLU LİSELERİ ÖĞRETMENLERİNİN SEÇME SINVIN HZIRLIK DENEME SINVI. 2 HZIRLYN : İ:K(2008) idensu@gmail.com kuscuogluibrahim@gmail.com http://idensu.googlepages.com

Detaylı

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/

Mat624 Cebir II. Ders Notları. Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ Mat624 Cebir II Ders Notları Bülent Saraç Hacettepe University Department of Mathematics http://www.mat.hacettepe.edu.tr/personel/akademik/bsarac/ İçindekiler Kısım 1. CİSİM TEORİSİ iii Bölüm 1. Eşitliklerin

Detaylı

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR

KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR KARAKTER DİZGİLERİ, BAĞINTILAR, FONKSİYONLAR KESİKLİ MATEMATİKSEL YAPILAR 2012-2013 Karakter Dizgisi Karakter Dizgisi Üzerine İşlemler Altdizgi Tanım 3.1.1: Bir X kümesi üzerinde bir karakter dizgisi (string)

Detaylı

ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ. o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR

ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ. o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR ECEM ERDURU GAMZE SERİN ZEHRA SABUR EMİNE ÖLMEZ o TAMSAYILAR KONUSU ANLATILMAKTADIR Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın solundaki sayılar negatif tam sayılardır. Pozitif tam sayılar,

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Murat SUBAŞI İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV UYGULAMALARI-I HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV UYGULAMALARI-I Artan ve Azalan Fonksiyonlar Fonksiyonların Maksimum ve Minimumu Birinci Türev Testi İkinci Türev Testi Türevin Geometrik Yorumu Türevin Fiziksel Yorumu MATEMATİK-1

Detaylı

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar

Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sezgisel Kümeler Kuramı (Math 111) Birinci Vize Sorular ve Cevaplar Sonbahar 2002 Ali Nesin 10 Ekim 2010 1. a) Verilen bir X kümesi için X şöyle tanımlansın: y X ancak ve ancak öyle bir x X var ki y x.

Detaylı

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu

ÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org

Mehmet ŞAHİN. www.mehmetsahinkitaplari.org 0. Sınıf M AT E M AT İ K Mehmet ŞAHİN www.mehmetsahinkitaplari.org M.E.B Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı nın 0..009 tarih ve 4 sayılı kararı ve 00-0 öğretim yılından itibaren uygulanacak programa göre

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR. ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FıRAT ÜNIVERSITESI TEKNOLOJI FAKÜLTESI YAZıLıM MÜHENDISLIĞI BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı