DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS 6. Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum Minimum"

Transkript

1 DERS Çok Değişkenli onksionlarda Maksimum Minimum.. Yerel Maksimum Yerel Minimum. z denklemi ile tanımlanan iki değişkenli bir onksionu ve bu onksionun tanım kümesi içinde ab R verilmiş olsun. Tanım. Eğer ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her için ab ise bu takdirde ab e nin bir erel maksimum değeri denir. z abab ab değeri nin bir erel maksimum değeri ise nin ab ab civarındaki graiği anda görüldüğü gibi olacaktır. ab Tanım. Eğer ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her için ab ise bu takdirde ab e nin bir erel minimum değeri denir. z ab değeri nin bir erel minimum değeri ise nin ab ab civarındaki graiği anda görüldüğü gibi olacaktır. abab ab Bir onksionun erel maksimum vea erel minimum değerleri tanım kümesindeki hangi noktalarda ortaa çıkabilir? Bir değişkenli onksionlar için de anı soruu sormuş ve anıtlamıştık. İki değişkenli onksionlar için bu sorunun anıtı aşağıdaki teoremde verilmektedir. Bu anıtın bir değişkenli durumda verilen anıta ne kadar benzadiğine dikkat ediniz. Teorem. ab nin erel maksimum vea erel minimum değeri ise ve ab ab kısmi türevleri varsa ab ab dır.

2 Ders. 8 Örnek. z onksionu için erel minimum değeridir. Teoremde iade edildiği üzere her iki kısmi türev de noktasında değerini alırlar. - z -. z Tanım. ab ab olan ab noktalarına onksionunun kritik noktaları denir. Eğer tanım kümesindeki her için kısmi türevleri mevcut olan iki değişkenli bir onksion ise nin erel maksimum vea minimum değerleri kritik noktalarda ortaa çıkacaktır. Ancak erel maksimum vea minimum değere ol açmaan kritik noktalar da olabilir. Tanım 4. Eğer ab nin bir kritik noktası akat erel maksimum vea erel minimumu değilse ab ab noktasına nin bir eer noktası denir. Örnek. z - için noktası bir eer noktasıdır. Gerçekten ve olup a akın her a için a a > ve her b için b b < dır. Dolaısıla noktası ne erel maksimum ne de erel minimum değere ol açmaan bir kritik noktadır. Bir onksionun bir kritik noktasının erel maksimum vea erel minimum değer vea eer noktasına ol açıp açmadığını aşağıdaki teoremde iade edilen ikinci türev testi ile belirleebiliriz. Teoremİkinci Türev Testi. ab noktası z ile verilen onksionunun bir kritik noktası olsun. Arıca ab i merkez kabul eden bir dairesel bölgenin her noktasında nin tüm ikinci mertebeden türevleri mevcut olsun ve tanımlansın. Bu takdirde A ab B ab C ab a AC - B > ve A < ise ab erel maksimumdur b AC - B > ve A > ise ab erel minimumdur c AC - B < ise ab ab eer noktasıdır d AC - B ise bu test geçersizdir.

3 Maksimum Minimum 87 Örnek. z onksionunu ele alalım. Kritik noktaları bulmak için birinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaıp sııra eşitlioruz. Buradan görüoruz ki noktası nin bir kritik noktasıdır. Şimdi ikinci türev testini ugulaalım. A B C AC B. 4 > A > AC B > ve A > olduğundan nin erel minimum değeridir. Örnek 4. z onksionunun kritik noktalarını araştırırsak denklemlerinin çözümünden 4 noktasının nin bir kritik noktası olduğunu görürüz. İkinci türev tesitini ugulaalım. A 4 B 4 C 4 AC B. 4 > A < AC B > ve A < olduğundan 4 4 nin erel maksimum değeridir. Örnek 5. z onksionunun kritik noktalarını araştıralım. Birinci mertebeden kısmi türevleri sıır apan değerlerini buluoruz. m m.

4 Ders. 88 Bölece nin dört adet kritik noktası bulunur: - -. İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaalım. için noktası ikinci türev testini ugulaalım. C B A. > > A B AC Buradan 4 değerinin nin bir erel minimum değeri olduğu görülür. Benzer şekilde - ve noktaları eer noktaları olup 4 - değeri nin bir erel maksimum değeridir. Örnek. z onksionu için de önceki örneklerde aptıklarımızı tekrarlaalım. Birinci mertebeden kısmi türevlerden denklemlerini elde ederiz. Bu iki denklemi ortak çözmek için ikinci denklemden elde edilip birinci denklemde nin bu değeri erleştirilirse bulunur. Dolaısıla kritik noktalar ve 8 noktalarıdır. İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplaalım.

5 Maksimum Minimum 89 8 noktası için : A B C AC B. < eer noktasıdır. noktası için : A 8 B 8 C 8 AC B. > A > erel minimumdur... Maksimum - Minimum Problemleri. Bu kesimde günlük aşamda karşılaşılabilecek maksimum minimum problemlerine örnekler vereceğiz. Örnek. İki bölmeli üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde 48 cm hacimli bir küçük karton kutu apılmak istenior. Bu iş için kullanılacak karton levhanın alanının minimum olması için kutunun boutları ne olmalıdır? Kullanılacak levhanın alanının minimum olması istenior. Kutunun boutlarını şekilde görüldüğü gibi ve z ile gösterelim. Bu takdirde kutu için kullanılacak levhanın alanı z A z z olur. Diğer andan kutunun hacmi 48 cm olduğundan 48 z ve buradan z 48/ olduğu görülür. Bölece A alanı iki değişkene bağlı olarak iade edilebilir: 44 9 A A. Problemin doğası gereği > ve > olmalıdır. Şimdi problemimiz A A nin minimum değerini belirlemektir. A nın birinci mertebeden kısmi türevlerini hesaplaalım A A.

6 Ders. 9 Bu türevler > ve > olan her için tanımlıdır. A nın minimum değeri kritik noktalar arasında ortaa çıkacaktır. 44 A 9 A Yukarıdaki hesaplamalar bir tek kritik nokta bulunduğunu gösterior: 4. Problemin doğasından bu noktanın erel minimum değere ol açacağı görülmekle beraber ikinci türev testi ugulanınca A A A B A C 4 A C B 4 > A > ve bölece A değeri A nın erelminimum değeridir. O 4 halde kullanılacak levha miktarının minimum olduğu 48 cm hacimli kutunun boutları 4 z cm ve kullanılacak levhanın alanı da 7 cm olmalıdır. Örnek. Bir ılda bin tane A türü ve bin tane B türü ürün üreten bir irmanın ıllık gideri C 4 5 milon YTL ve ıllık geliri R 5 4 milon YTL olmaktadır. Bu irmanın ıllık kârının maksimum olması için ılda kaç bin adet A türü ve kaç bin adet B türü ürün üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Kâr onksionu olup P R C P 4 P denklem sisteminin çözümünden

7 Maksimum Minimum 9 4 kritik noktası elde edilir. İkinci türev testi P AC B A P 4 B 48 > A < P 4 C P in P nin maksimum değeri olduğunu gösterir. Dolaısıla ılda bin adet A ve 4 bin adet B türü ürün üretilirse maksimum kâr elde edilir. Maksimum kâr 8 milon YTL dir. Örnek. Poziti reel saılardan oluşan z saı üçlüsündeki saıların toplamı z dur. Bu saı üçlülerinden hangisi için z çarpımı maksimum olur? Çözüm. z koşulundan z elde edilir. Problemimiz > ve > olmak üzere onksionunun minimum değerini bulmaktır. Birinci mertebeden kısmi türevler denklem sistemini verir. Burada ikinci denklem birinci denklemden çıkarılırsa ve buradan da olması gerektiği görülüraksi halde ve z olması gerekir ve bu z > olmasıla çelişir. Birinci denklemde alalım ve denklemi çözelim. > koşulundan. O halde noktası nin kritik noktasıdır. İkinci türev testini ugulaalım. A B C AC B 4 > A <. Sonuç olarak değeri ninerel maksimum değeridir; z olup z çarpımının minimum olduğu z değerleri z dur.

8 Ders. 9.. Lagrange Çarpanları Yöntemi. Pratikte karşılaşılan çok değişkenli maksimum ve minimum problemlerinden pek çoğunun çözümünü veren Lagrange Çarpanları öntemini aşağıdaki örnek problem üzerinde açıklaacağız. Örnek. Şekilde görüldüğü gibi uzun bir duvarın önünde bir taraı duvar ve diğer üç taraı tel örgü ile çevrili dikdörtgen biçiminde bir alan oluşturulmak istenior. Bu iş için en çok 4 m tel örgü kullanılabilecektir. Oluşturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? Problemin çözümü için dikdörtgenin boutlarını ve ile gösterelim. O zaman oluşturulan alan A ; kullanılacak tel örgünün uzunluğu 4 m olur. Bu ve üzerinde bir kısıtlamadır. Şimdi problemimizi matematiksel olarak şöle ormüle edebiliriz: z nin g - 4 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. Problemimizin çözümünü bir süre için erteleerek konu ile ilgili bazı temel tanım ve bilgilerri sunalım. Tanım. z nin g kısıtlaması altında maksimum vea minimum değerini bulunuz. biçiminde iade edilmiş problemlere kısıtlamalı maksimizason vea minimizason problemleri denir. g koşuluna problem kısıtı denir. Örnek de bir kısıtlamalı maksimizason problemi söz konusudur. z nin g kısıtlaması altında maksimum vea minimum değerini bulunuz. biçiminde iade edilmiş bir kısıtlamalı maksimizason vea minimizason probleminin çözümü için tanımlanır. g Tanım. Yukarıda tanımlanan onksionuna ilgili problemin Lagrange onksionu ve onksionu tanımlaan iadedeki sembolüne Lagrange Çarpanı denir. Kısıtlamalaı maksimizason ve minimizason problemlerinin çözümünde Lagrange ın aşağıdaki teoremi kullanılır.

9 Maksimum Minimum 9 TeoremLagrange. g kısıtlaması altında z nin herhangi bir erel maksimum vea minimum değeri ab ise ab noktası aşağıdaki denklemler sisteminin bir çözümüdür:. Örnek deki problemimizin Lagrange onksionu 4 dir. Lagrange Teoremi ni ugulaalım Demek ki maksimum alan için dik dörtgenin bou m eni m olmalıdır. Maksimum alan 7 m dir. Örnek. z nin kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. Burada problem kısıtını g biçiminde iade ederek Lagrange onksionu nun g olduğunu görürüz. Lagrange Teoremi ni ugulaalım. 5. Bölece onksionunun kısıtlaması altında minimum değeri 55 5 dir. Burada onksionunun olan her noktasındaki değerinin 5 den büük olduğunu gözlemleebilirsiniz.

10 Ders. 94 Örnek deki problemin çözümünde elde edilen sonucu aşağıdaki graikten izleebilirsiniz. z z Örnek. z 5 nin 4 bulunuz. kısıtlaması altında maksimum değerini Problem kısıtını g 4 biçiminde iade edersek Lagrange onksionu g 5 4 olur. Bu takdirde 4 4. Bölece onksionunun 4 kısıtlaması altında maksimum değeri 7 dir. Burada onksionunun 4 olan her noktasındaki değerinin 7 den küçük olduğunu gözlemleebilirsiniz.

11 Maksimum Minimum 95 Örnek teki problemin çözümünde elde edilen sonucu aşağıdaki graikten izleebilirsiniz. z 5 7 z Lagrange çarpanları önteminin ugulanabileceği problemlere bir örnek te ekonomiden verioruz. Örnek 4. Bir irmanın üretmee karar verdiği eni bir ürün için birimlik iş gücü ve birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılması durumunda o üründen üretebileceği ürün saısı N Cobb Douglass onksionu olarak belirlenior. Bir birimlik iş gücü 45 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat 9 YTL olarak düşünüldüğüne ve bu iş için 45 YTL arıldığına göre üretilen ürün saısının maksimum oması için bu meblağın ne kadarı iş gücü için ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir? Çözüm. Bu problemin matematiksel modeli iş gücü için birimlik ham madde ve teçhizat için birimlik atırım apıldığı varsaılarak

12 Ders. 9 N onksionunu kısıtlaması altında maksimize ediniz. biçiminde iade edilebilir. Bölece Lagrange çarpanları önteminde N g N g İlk iki denklemden okedilirse elde edilir. Üçüncü denklem kullanılarak /9 45/ /9 5 5 / Eğer 5 5 birimlik iş gücü 5 birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılırsa maksimum saıda ürün üretilir ki bu maksimum saı dır. N

13 Maksimum Minimum 97 Problemler. İlgili teoremi kullanarak verilen onksionun erel ekstremumlarını bulunuz. a 4 b 4 c ç d e 4 g e. Ambalaj işi apan bir şirket karton levhadan aşağıdaki şekilde gösterilen apıda bölmeli 4 cm hacimli kutular üretmek istemektedir. Bu biçimde bir kutunun üretiminde kullanılan malzeme miktarının minimum olması için kutunun boutları ne olmalıdır?. A ve B türü olmak üzere iki tür hesap makinesi üreten bir irmanın ılda bin tane A ve bin tane B türü hesap makinesi üretmesi durumunda ıllık gideri C 9 5 ve geliri de R birim para olmaktadır. Bu irmanın ıllık kârının maksimum olması için her tür hesap makinesinden kaç adet üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? 4. Düz bir platoda bulunan A B ve C kentlerine hizmet vermek üzere bir baz istasonu kurulacaktır. Platoda erleştirilen bir Kartezen koordinat sistemine göre kentlerin konumu andaki şekilde gösterilmiştir. Baz istasonunun P noktasına erleştirileceği varsaıılırsa P den A B ve C kentlerine olan uzaklıkların kareleri toplamının minimum olması için ve ne olmalıdır? Bu durumda baz istasonunun her üç kente olan uzaklığını bulunuz. A B P C 5. Posta idaresi postaa verilecek kutuların şekilde görüldüğü gibi uzunluğu ile çevre uzunluğunun toplamı cm. i geçmeecek biçimde olmasını istemektedir. Bu koşulları sağlaan ve hacmi maksimum olan kutunun boutlarını bulunuz. uzunluk çevre uzunluğu

14 Ders. 98. Bir kırtasie mağazasında A ve B türü olarak adlandırılan iki tür kalem satılacaktır. Mağaza A türü kalemlerden her birini YTL e B türü kalemlerden her birini 8 YTL e mal etmektedir. Yapılan araştırmalar bir A türü kalemin satış iatı YTL ve bir B türü kalemin satış iatı YTL olarak belirlendiği takdirde A türü kalemlerden hatada s B türü kalemlerden de hatada t 44 4 adet satılabileceğini göstermiştir. a ve olması durumunda hatalık satışı belirleiniz. b ve olması durumunda hatalık satışı belirleiniz. c Hatalık kârın maksimum olması için A ve B türü kalemlerin satış iatı ne olmalıdır? Maksimum kâr ne olur? 7. Lagrange Çarpanları öntemi ile çözünüz. a onksionunun kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. b onksionunun 4 5 kısıtlaması altında minimum değerini bulunuz. c onksionunun 8 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. d Toplamları olan reel saı ikilileri arasında çarpımı maksimum olan ikilii bulunuz. e z z onksionunun z 8 kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz. z z onksionunun z kısıtlaması altında maksimum değerini bulunuz 8. İki model televizon üreten bir irma A model televizonlardan hatada adet B model televizonlardan hatada adet üretmesi durumunda hatalık toplam gideri C birim parabp olmaktadır. Eğer irmanın hatada her iki türden ürettiği televizonların toplam saısının 9 olması isteniorsa giderin minimum olması için hatalık üretim programı ne olmalıdır? Minimum gider nedir? 9. Bir irmanın üretmee karar verdiği eni bir ürün için birimlik iş gücü ve birimlik ham madde ve teçhizat atırımı apılması durumunda o üründen üretebileceği ürün saısı N.4. Cobb Douglass onksionu olarak belirlenior. Bir birimlik iş gücü 5 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat 75 YTL olarak düşünüldüğüne ve bu iş için 5 YTL arıldığına göre üretilen ürün saısının maksimum oması için bu meblağın ne kadarı iş gücü için ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir?. Beşinci problemi Lagrange Çarpanları Yöntemi ile çözünüz.

4.3. Türev ile İlgili Teoremler

4.3. Türev ile İlgili Teoremler 4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem

Detaylı

www.mehmetsahinkitaplari.org

www.mehmetsahinkitaplari.org MATEMA www.mehmetsahinkitaplari.org T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü :

Detaylı

ŞEKİL YETENEĞİ TEST 1

ŞEKİL YETENEĞİ TEST 1 SAYISAL MANTIK ŞEKİL YETENEĞİ TEST. + = = 4. I. a c a + b + c Yukarıdaki eşitliklerden,, sembolleri belli bir sayının yerine kullanılmıştır. b + nin değeri kaçtır? II. c b b c + m c A) B) C) D) 4 E) 5

Detaylı

Soru. x y R olmak üzere 2 x y 3 1 x 4 olduğuna göre y nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 y 1 B 6 y 2

Soru. x y R olmak üzere 2 x y 3 1 x 4 olduğuna göre y nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 y 1 B 6 y 2 Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama Sağlama işlemi apma Adana Ankara İzmir zümresine katılan meslektaşlarımızla birlikte piasada cevabı hatalı verilen sorular azıldığını tespit ederek anı hatanın tekrarı

Detaylı

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: KARMAŞIK SAYILAR x 2 +3=0 gibi denklemlerin gerçek sayılarda çözümü olmadığından bu denklemlerin boş kümeden farklı çözüm kümeleri

Detaylı

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına

SAYMA. Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına SONLU MATEMATİK SAYMA SAYMANIN İKİ TEMEL PRENSİBİ TOPLAMA PRENSİBİ Ayrık iki kümenin bileşimindeki eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayıları toplamına eşittir. Örnek. Bir sınıftaki her öğrencinin, iki

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK

EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK EN AZ SAYIDA AĞIRLIKLA AĞIRLIKLARI TARTMAK Amaç: 1 den n ye kadar olan tamsayı ağırlıkları, toplamları n olan en az sayıda ağırlığı kullanarak tartmak. Giriş: Bu araştırmanın temelini Ulusal Bilgisayar

Detaylı

SAYISAL ÜRETİLMİŞ, YA DA SAYISALLAŞTIRILMIŞ PAFTALAR ÎLE UYGULAMALAR

SAYISAL ÜRETİLMİŞ, YA DA SAYISALLAŞTIRILMIŞ PAFTALAR ÎLE UYGULAMALAR 20 SAYISAL ÜRETİLMİŞ, YA DA SAYISALLAŞTIRILMIŞ PAFTALAR ÎLE UYGULAMALAR Ahmet YAŞAYAN. GİRİŞ Büyük ölçekli haritaların alışılmış yöntemlerle üretiminde, arazide uygulama amacı ile de kullanılabilecek poligon

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ

OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ OLASILIK VE OLAY ÇEŞİTLERİ KAZANIMLAR Örnek uzay Olasılık kavramı Bir olayın olasılığının hesaplanması Teorik olasılık kavramı Deneysel olasılık kavramı Öznel olasılık kavramı Bağımsız olay Bağımlı olay

Detaylı

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar:

BÖLÜM 5 TRANSİSTÖRLERİN DC ANALİZİ. Konular: Amaçlar: ÖLÜM 5 5 TRANSİSTÖRLRİN D ANALİZİ Konular: Amaçlar: 5.1 Transistörde D çalışma noktası 5.2 Transistörde temel polarama 5.3 eyz polarma 5.4 Gerilim bölücülü polarma devresi 5.5 Geribeslemeli polarma devresi

Detaylı

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar :

ULUSLARARASI KT SAT NOT: Uluslararas Ekonomik Olaylar: NOT: Uzun Vadeli Sermaye Al mlar : K sa Vadeli Sermaye Al mlar : ULUSLARARASI İKTİSAT Az gelişmiş ülkeler kalkınma açısından dışa bağımlıdırlar. Üretim yapabilmek için dışardan mal ve hizmet satın almalıdır. 1980 lerden sonra küreselleşme ortaya çıkmıştır. Dünyadaki

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları

Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin. Alternatif Gerilim. Alternatif Akımın Fazör Olarak İfadesi. Temel Devre Elemanlarının AG Etkisi Altındaki Davranışları Yrd. Doç. Dr. Levent Çetin İçerik Alternatif Gerilim Faz Kavramı ın Fazör Olarak İfadesi Direnç, Reaktans ve Empedans Kavramları Devresinde Güç 2 Alternatif Gerilim Alternatif gerilim, devre üzerindeki

Detaylı

Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek

Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek MADENCİLİK Eylül September 1984 Cilt Volume XXIII Sayı No 3 Doğrusal Programlama ve Madenciliğe İlişkin iki Basit Örnek Linear Programming and Two Simple Examples From Mining A.Oktay YALGIN(*) ÖET Bu yazıda

Detaylı

SU DALGALARINDA GİRİŞİM

SU DALGALARINDA GİRİŞİM SU DALGALARINDA GİRİŞİM Yukarıda iki kaynağın oluşturduğu dairesel su dalgalarının meydana getirdiği girişim deseni gösterilmiştir Burada kesikli çizgiler dalga çukurlarını, düz çizgiler dalga tepelerini

Detaylı

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım

BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak

Detaylı

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde

2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ. 2.1. Saf Madde 2. SAF MADDENİN ÖZELİKLERİ 2.1. Saf Madde Her noktasında aynı ve değişmeyen bir kimyasal bileşime sahip olan maddeye saf madde denir. Saf maddenin sadece tek bir kimyasal element veya bileşimden oluşması

Detaylı

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları

Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları 4.Ders Rasgele Vektörler Çok Değişkenli Olasılık Dağılımları Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X, X,,X n : R n X, X,,X n X, X,,X n olmak üzere, her a, a,,a n R n için : X i a i, i,, 3,,n U özelliği sağlanıyor

Detaylı

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,

Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir, 14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.

Detaylı

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ

Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Bölüm 9 KÖK-YER EĞRİLERİ YÖNTEMİ Kapalı-döngü denetim sisteminin geçici-durum davranışının temel özellikleri kapalı-döngü kutuplarından belirlenir. Dolayısıyla problemlerin çözümlenmesinde, kapalı-döngü

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 11. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: DÖRTGENLER DÖRTGEN VE TEMEL ELEMANLARI Herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C ve D noktaları verilsin. [AB], [BC], [CD] ve [DA]

Detaylı

YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA

YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA YENİDEN YAPILANMA SÜRECİNDE FİZİK EĞİTİMİ ÖĞRENCİLERİNİN GENEL FİZİK KAVRAMLARI İLE İLGİLİ BİLGİ DÜZEYLERİNİN BELİRLENMESİNE İLİŞKİN BİR ÇALIŞMA Ömer GEMİCİ 1, Hüseyin KÜÇÜKÖZER 1, Aysel MERGEN KOCAKÜLAH

Detaylı

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI

PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ OCAK 25 CİLT 2 SAYI 1 (19-36) PARALEL MEKANİZMALARIN KİNEMATİĞİ, DİNAMİĞİ VE ÇALIŞMA UZAYI Elmas ANLI Uçak Müh. Böl İstanbul Teknik Üni. anli@itu.edu.tr Hüseyin

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır?

Hangi mallar/hizmetler ne miktarda üretilmelidir? Hangi kaynaklar ne kadar kullanılarak üretimde bulunulmalıdır? 3. TERCİH, TÜKETİCİ VE ÜRETİCİ KURAMLARI Bu bölümde, mikro iktisadın iki önemli yapı taşı üretici ve tüketicinin rasyonel davranışlarının iktisadi olarak nasıl analiz edileceğini öğreneceğiz. Üretici ve

Detaylı

T E M E L L E R. q zemin q zemin emniyet q zemin 1.50 q zemin emniyet

T E M E L L E R. q zemin q zemin emniyet q zemin 1.50 q zemin emniyet T E E L L E R 1 Temeller taşııcı sistemin üklerini zemine aktaran apı elemanlarıdır. Üst apı üklerinin ugun şekilde zemine aktarılması sırasında, taşııcı sistemde ek etkiler oluşabilecek çökmelerin ve

Detaylı