Soru. x y R olmak üzere 2 x y 3 1 x 4 olduğuna göre y nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 y 1 B 6 y 2

Transkript

1 Eşitsizliklerde taraf tarafa toplama Sağlama işlemi apma Adana Ankara İzmir zümresine katılan meslektaşlarımızla birlikte piasada cevabı hatalı verilen sorular azıldığını tespit ederek anı hatanın tekrarı aşanmaması için bu azının azılmasında hem fikir olduk. Yazımız düzenleme ve eksiklerin giderilmesine açıktır. R olmak üzere 1 4 olduğuna göre nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? A 3 1 B bulunan bu çözümün sağlamasını apmak ne demek? Eşitsizliklerde sağlama apmak ne demek? 1 4 ve 3 1 aralıklarında seçilen her ve değeri için toplamı aralığında değerler alır. Buraa kadar problem okmuş gibi görünüor çünkü gerçekten tamamlama öntemi dediğimiz bu öntemle bulunan aralığı bir çözümdür. Fakat en geniş çözüm kümesi değildir. nin başka değerleri de alındığında 1 4 eşitsizlik sistemi sağlanır. Eşitsizlik sistemini sağlaan en geniş aralığı için taraf tarafa toplama öntemini kullanmak eterlidir. Önce bu öntemle nin hangi aralıkta olması gerektiğini bulalım aralığında in aldığı değerlere göre aralığında da birtakım değerler alır ki bizden istenen de zaten nin aldığı bu değerlerin hangi aralığı oluşturduğudur? Sağlama apmak demek ve aralıklarını alarak aralığını oluşturmak demek değildir. Çünkü sorulan eşitsizlik ve eşitsizlik sisteminde nin aralığıdır. O halde bu sorunun cevabı 6 aralığıdır. Bunu biraz daha açıklaalım aralığı verildiğine göre ile bu aralıkta toplama işlemile birbirine bağlı iki değişkendir. Burada birbirinden bağımsız olabileceği düşünülemez. Eğer 1 4 ve 3 1 eşitsizlik sistemi biçiminde verilsedi nin en geniş aralığını bulmak için de taraf tarafa toplama öntemi geçerli olacaktı. in her bir değeri için bir aralıkta değer alır. Örneğin için bunun orumu şudur in bir değeri için bile belli bir aralıkta değer alır. Bizim istediğimiz şe in her değeri için nin alabileceği tüm değerlerin oluşturduğu en geniş aralıktır. Bunu grafik üzerinde de görelim O ve eşitsizlik sistemi grafikte sarı renk ile taralı bölgedir. Bu eşitsizlik sisteminde nin alabildiği en geniş aralığın 6 olduğu görülmektedir. Bizden istenen şe de verilen eşitsizlik sisteminde nin aldığı değerlerin aralığıdır. Sağlama apmak elde edilen ve aralıklarından aralığını oluşturmaa çalışmak değildir. Bu düşünce bizi bambaşka bir eşitsizlik sistemi problemine götürmektedir. Adana Ankara İzmir 007 TMOZ matematik zümresi

2 Eşitsizliklerde çözüm kümesi çözüm aralığı ne demek? Eşitsizliği sağlaan her değeri kapsaan öle bir küme seçilmeli ki eşitsizliği sağlamaan değerleri kapsamamalıdır. Tuhaf bir cümle gibi duruor ama sanırım işin özünü en ii anlatabilecek ifadelerden biri oldu. 3 3 ve 3 3 olduğuna göre hangi aralıktadır? Problem bu şekilde sorulduğunda kast edilen şe öle bir küme bulmalıız ki verilen eşitsizliği sağlaan her değeri kapsamalı eşitsizliği sağlamaan hiçbir değeri de içermemeli. Burada nei nasıl algıladığınıza ve ne düşündüğünüze bağlı. Anı şei farklı şekillerde ifade edebilirsiniz. 1. Verilen eşitsizliği sağlaan değerlerden oluşan en geniş küme çözüm kümesidir.. Verilen eşitsizliği sağlaan tüm değerleri içeren en dar küme çözüm kümesidir. Sorulan 6 6 çözüm aralığıdır. Muhtemelen her matematikçi bunu bilir fakat nedense dar geniş küme olması durumu ve vea kesişim birleşim bağımlı bağımsız gibi ifadelerle karıştırılarak anlaşmazlıklara neden olur. Dielim ki verilen f 0 gibi bir eşitsizliğin çözüm kümesi 1 olsun. Eğer bir matematikçi şöle bir ifade kullanmışsa f 0 eşitsizliğini sağlaan aralık nedir? Burada sormak istediği çözüm aralığıdır. Şu önerme de doğru olur f 0 eşitsizliğini sağlaan değerleri 0 3 aralığındadır. Şu önerme ise anlıştır f 0 eşitsizliğini 0 3 aralığındaki her değer sağlar. Şu önerme de doğrudur f 0 eşitsizliği aralığındaki her değeri için sağlanır. Bunların her biri eri geldiğinde kullanılabilecek matematiksel ifadelerdir. Aksi bir durum belirtilmedikçe biz çözüm kümesinin sorulduğunu varsaarız. Eşitsizliklerde anlaşmazlığa neden olan bir durum da bağımlı bağımsız değişkenlerdir. 4 olduğuna göre hangi aralıkta değer alır? Burada ile bağımlı değişkenlerdir deriz. Hem hem de kefi değerler alamaz. 4 eşitsizliğinin grafiği aşağıda verilmiştir. Şekle vea verilen eşitsizliğe bakarak değişkeni ile arasında değerler almıştır. Anı şekilde değişkeni de ile arasında değerler almıştır. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa 4 4 elde edilir. Bu aralık için çözüm aralığı değildir çünkü bu aralıktaki her değer için 4 eşitsizliği sağlanmaz. Taraf tarafa toplama işleminden değil ile nin bağımlı değişken olmasından Kanaklandığını söleriz ve şunu kast ederiz. Taraf tarafa toplamada in en küçük değeri ile nin en küçük değeri toplanmış olur. Osa in en küçük değeri olan e aklaştıkça en küçük değerine aklaşmaz dolaısıla değeri 4 e aklaşmaz. Biz matematikçiler ugun bir ifade ile bunu da sorabiliriz. Konu dağılmasın die bu durumu atlıorum. nin çözüm aralığını merak edenlere kısaca ol göstermiş olalım 4 çemberi ile k doğrusunun teğet olmasını ani ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfır olması gerektiği düşünülerek çözüm aralığı olarak bulunur. Türkçesi çember içinde hangi noktaı alırsanız alın koordinatları toplamı aralığında bulunur. Bu çemberin içinde olup ta koordinatları toplamı bu aralık içinde olmaan bir tek nokta bile oktur. Bu ifadenin tersi doğru olmak zorunda değildir. Ancak aralığındaki değerler 4 eşitsizliğini sağlar. Demek ki sağlama denilen şe tersine işlemlerle apılmamalı. Matematikte bazı soru kalıpları vardır. En ince arıntısına kadar her şe ifade edilmeden de nei sormak istediği anlaşılır. Aksi de mümkündür en ince arıntısına kadar her şe soruda ifade edilebilir. Fakat çoğu zaman soruda ne sorduğunu anlarız. Örneğin Bir paranın tura gelme ihtimali nedir? Bu sorua cevabımız 1 olur. Osa ihtimalin ne olduğunu bilmeen ne saçma die düşünebilir. 5 farklı kitap 5 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? sağ elle dağıtılır sol elle dağıtılır üçüne anı anda ikisine birer saat ara ile dağıttım vs Maskotlu maskotsuz anahtarlık die bir kavram kullanılan permütason soruları da var ki çok gereksiz. anahtarı sonsuz farklı şekilde bir anahtarlığa dizebilirim dien bile olabilir. Örneğin 1. anahtar kapıa akın ikinci anahtar penceree varın gerisini siz düşünün. Matematikteki sorular belli anlam içeren sorulardır. Sorularda ne kast edildiği bellidir. Bu eşitsizlik sorularında da aksi bir durum vurgulanmadıkça sağlaan değerler hangi aralıktadır? denildiğinde çözüm aralığının sorulduğu düşünülür. Eşitsizliklerde kesişim birleşim ve vea küçük küçük eşit gibi karıştırılan ifadelerin açıklamasını zümre arkadaşlarıma bırakıorum. Eksik ve hatalarımı düzeltip azıa katkıda sağlanırsa memnun olurum tmoz Eüp Kamil Yeşilurt

3 Eşitsizlik sorusunu analitik düzleme taşıma Verilen bir eşitsizlik problemi ve değişkenlerile değil de a ve b değişkenlerile verildiğinde analitik düzleme taşırken hangi değişkeni apsis hangisini ordinat alacağımızı nasıl anlaacağız? 3 a b 10 b 3 olduğuna göre a hangi aralıktadır? Çözüm b 3 4 b 6 6 b 4 3 a b 10 9 a 14 Analitik düzleme taşıalım Hangi bilinmeeni apsis almak isterseniz alabilirsiniz. Bu durum neticei değiştirmez. Analitik düzlemde bir noktanın apsisi ile ordinatı er değiştirdiğinde birinci açıorta doğrusuna göre simetrik olduğundan karşımıza çıkacak iki durum simetriktir. 1. Durum a ordinat b apsis alınsın. Sorulan nin aralığı olur Durum a apsis b ordinat alınsın. Sorulan in aralığı olur

4 Eşitsizliklerde taraf tarafa toplamanın sorunsuz kullanılabilmesi çıkarma çarpma ve bölme işlemlerinde kullanılamama sebebi ve genelleştirilmesi Anı önlü eşitsizliklerde sadece taraf tarafa toplama işleminin apılabileceğini söleriz. Aslında taraf tarafa toplama apmak alt alta gelen ifadelerin toplamından başka bir şe değil. Taraf tarafa toplama işlemini genişletip farklı bir isim koarak dört işlemi apmamız mümkün olabilir die sezinliorum. Eğer bilinen durumlarla çelişmezse bildiğimiz ve daha fazla durumu kapsarsa aptığımız işleme eni bir isim verebiliriz. Öncelikle taraf tarafa toplama işlemi denildiğinde ne anladığımızı tekrar edelim 3 olduğuna göre hangi aralıktadır? _ Anı sonucu taraf tarafa toplama apmadan da elde edebiliriz. için uç değerler ve 4 dür. için uç değerler 3 ve dur. için bulunan uç değerlerin toplamlarının minimum ve maksimum değerlerinden başka bir şe değildir. Yani min ma min 1 7 ma Zaten taraf tarafa toplama işleminde en küçük sınırlar alt alta gelmiş olur biz minimumu hemen bulmuş oluruz maksimum değerde de öle. Artık eşitsizliklerin önüne bile bakmadan toplama çıkarma çarpma ve bölme işlemleri de apılabilir. Bölme işlemi padanın sıfır olmaması gibi özel durum içerdiği için arıca açıklama gerektireceği açık. 3 olduğuna göre hangi aralıktadır? min ma min 5 1 ma Sonsuz işlemlerini limit işlemleri olarak düşündük. 3 olduğuna göre hangi aralıktadır? min ma min 6 1 ma olduğuna göre hangi aralıktadır? min ma min ma Bölme işleminde aralığında sıfır gelme durumunda durumunu dikkate almak gerektiği çok açık. Bu duruma da örnek azalım ve 1 1 olduğuna göre hangi aralıktadır? min Sıfır ve sonsuz ile işlemleri limit gibi aldığımızı düşünüoruz aksi halde bilimsellik için limit gösterimleri kullanabilirdik.

5 Eşitsizlik sistemi çözümlerinde kesişim birleşim işlemi Zümrelerimizde en dar olan aralık en geniş olan aralık kavramları kullanılırken zihinlerde farklı farklı manalar oluşturduğundan anlaşmazlıkların aşandığını anlıoruz. En dar en geniş aralıkla ilgili ukarıda sölediklerimi tekrar etme ihtiacı hissetmiorum. Bu kavramlar kullanılırken ifade edilmek istenen hususa dikkat çekeceğiz eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi denir? Çözüm Öle bir küme bulmalıız ki verilen her iki eşitsizlik de sağlanmalı. Bu verilen iki aralığın kesişim kümesinden başka bir şe değildir. Dolaısıla cevabımız 1 dir. Verilen iki aralığın birleşim kümesi ise 6 3 aralığıdır. Hiçbir matematikçi haır doğru cevap 6 3 aralığıdır demez diemez. Sistemin çözüm kümesi demek öle bir küme bulacağız ki her iki eşitsizliği de sağlaacak. Çözüm kümesi eşitsizliklerden birini bile sağlamaan değer içermemeli. Aslında neden matematikçilerin birbirile çelişkie düştüğü şimdi daha ii anlaşılıor. Yazıdaki ilk örnekte buradaki manada en geniş birleşim kümesi aldığımızı sandıkları için kendilerini ikna edemiorlar. Osa ilk örnekte aptığımız buradakinden çok farklı. Örneğin burada eşitsizliklerden birini sağlamadığı için çözüm kümesine dahil etmioruz. Nerede olursa olsun eşitsizliklerden birini sağlamaan bir durum olduğunda çözüm kümesine dahil edilemez. Baştan itibaren aptığımız şe şundan ibarettir İlk soruda bize eşitsizlik biçiminde iki önerme verilmiştir. Her iki önermei doğru apan değerler sistemin çözüm kümesine dahil edioruz. Önermelerden birini bile anlış apan hiçbir elemanı çözüm kümesine dahil etmioruz. O halde ilk sorua geri dönerek sorua bu açıdan tekrar bakalım 1 4 olduğuna göre nin alabileceği değerler hangi aralıktadır? Çözüm kümesi 6 demiştik. Bu aralıktaki her değer ukarıdaki iki önermei de doğru apar. Bu aralık dışında başka hiçbir değeri için verilen iki önerme ikisi birden doğru olamaz. 0 ukarıdaki iki önermei doğru apan bir değer değilse çözüm kümesine dahil edilmemelidir. 0 için verilen eşitsizlik sistemi biçimindedir. Bu iki aralığı sağlaan bir değer olmadığı zaman önerme anlıştır dieceğiz. Yani aralıkların kesişimi boş küme ise önerme anlış boştan farklı ise önerme doğru dioruz. 3 için aralıklarının kesişimi boş küme olduğundan 3 için önerme anlıştır çözüm kümesine 3 dahil edilemez. için aralıklarının kesişimi boş küme değil. Dikkat edilirse burada 0 5 aralığı 1 4 aralığını kapsadığı için 1 4 aralığı elde edilmiş olur. Su götürmez bir biçimde sorudaki iki önermenin de doğru olduğunu sölemiş oluruz. Su götürmez dediğimiz bu durum 3 1 aralığı hatta arkadaşlarımızın dediği gibi 3 1 aralığıdır. Bizden istenen verilen eşitsizlik sistemini sağlaan tüm değerlerinden oluşan kümei tespit etmek. 0 için 1 4 eşitsizliklerini sağlaan bir tek değeri varsa bile örneğin olarak ifade edersek noktaları her iki eşitsizliği sağladığı için bu noktalar eşitsizlik sistemini sağlaan noktalardır. Eğer bu noktaları çözüm kümesine almazsak ona çözüm kümesi denilemez. Çözüm kümeleri sağlaan her noktaı içermeli. 1 4 eşitsizlik sistemini 3 noktası sağlamıorsa zaten nin çözüm kümesine 3 dahil edilemez. 3 ifadesini biçiminde bir nokta olarak aldım.) Eşitsizliklerde erine azalım demek ki 3 noktası çözüm kümesine dahil edilmesi gereken bir noktadır. Yani nin çözüm aralığında 3 değeri de olmalıdır. Burada amaç aralığı bulmak değil önermenin doğru a da anlış olduğunu söleebilmektir. 3 alındığında 1 4 aralığındaki her için doğru olmalı die bakmıoruz. 3 için ve 1 4 önermeleri doğru dioruz. Çünkü eşitsizlik önermelerine doğru diebildiğimiz en az bir noktası bulabilioruz. Neticede iki iddiaı birbirinden aıran şe şu soru azarları bu durumları dikkate alarak sorularını net azmış olur. En azından tartışmaa medan vermeecek şekilde soru azmak azarların inisiatifindedir. 1. Anlam 1 4 aralığındaki her için öle değerleri bulunmalı ki sağlanmalı. Bu aralık 3 1 dir.. Anlam 1 4 aralığındaki en az bir için öle değerleri bulunmalı ki sağlanmalı. Bu aralık 6 dir. Yazının başındaki gibi bir sorula karşılaşırsak. anlamı içerdiğini aldığımızı sölemiştik. Zümrede hem fikir olduğumuz şe budu. Katılmak vea katılmamak elbette öğretmenlerimizin inisiatifindedir. Ta ki böle bir soru MEB vea ÖSYM tarafından kullanılıp birliktelik sağlanana kadar