Matrisinin kararlı durum olasılıklarını hesaplayınız.

Transkript

1 1. 0,2 0, 0 0, 0 0,6 0, 0, 0 Matrisinin kararlı durum olasılıklarını hesaplayınız. 2. Bir lisenin kabul ofisi, öğrencilerin sınıflar arası geçişlerini Markov Zinciri kullanarak modellemeye çalışmaktadır. Söz konusu durumlar ve geçiş olasılıkları aşağıda belirtilmiştir. 1. Sınıf 2. Sınıf. sınıf Son Sınıf Atılma Mezun 1. Sınıf 0,10 0, , Sınıf 0 0,10 0, 0 0,0 0. Sınıf 0 0 0,1 0,0 0,0 0 Son Sınıf ,10 0,0 0, Atılma Mezun Her bir öğrencinin durumu, dönem başındaki durumunu ifade etmektedir. Örneğin; öğrenci. sınıf öğrencisi ise 0% ihtimalle bir sonraki döneme son sınıf öğrencisi olarak devam edecek, 1% ihtimalle. sınıf öğrencisi olarak kalacak, % ihtimalle atılacaktır. (Atılan bir öğrencinin yeniden kaydının mümkün değildir.) a) 1. Sınıf olarak okula kayıt yaptıran bir öğrencinin kaç yılını bu lisede öğrenci olarak geçirmesi beklenmektedir? b) 1. Sınıftaki bir öğrencinin mezun olma ihtimalini bulunuz.. Bir çam vadisinde gri ve siyah olmak üzere 2 tür sincap vardır. Her yılın başında aşağıdakilerden birinin doğru olduğu belirlenmektedir. i. Sadece gri sincap var ii. Sadece siyah sincap var iii. Her ikisi de var iv. Hiç sincap yok Yıllara göre şöyle bir geçiş matrisi tahmin edilmektedir. Sadece Gri Sadece Siyah Gri ve Siyah Hiçbiri Sadece Gri Sadece Siyah Gri ve Siyah Hiçbiri a) Genel olarak çam vadisinde gri sincap görülme ihtimali nedir? b) Genel olarak çam vadisinde siyah sincap görülme ihtimali nedir?. Firma için önemli bir makinanın aydan fazla çalışmadığı biliniyor. 1. Aydaki işlemler sonrasında makine %10 ihtimalle arızalanmaktadır. Makine 1. Ayı arızasız tamamlarsa 2. Aydaki işlemler sırasında %20 ihtimalle arızalanmaktadır. Makine 2. Ayı arızasız tamamlarsa. Aydaki işlemler sırasında %0 ihtimalle arızalanmaktadır. Makine. Ayı arızasız tamamlarsa. Ayın sonunda %100 ihtimalle arızalanmaktadır. Her ayın başında makinanın yeni bir makine ile değiştirilip değiştirilmeyeceğine

2 karar verilmektedir. Her yeni makine 00$ dır. Eğer makine arızalanırsa, fabrikayı durdurmasından ötürü 1000 $ lık maliyet söz konusu olacaktır ve makine gelecek ayın başında yenisi ile değiştirilecektir. i. Bir makinenin. ayın başında değiştirilmesi ii. Bir makinenin. ayın başında değiştirilmesi iii. Bir makinenin 2. ayın başında değiştirilmesi Yukarıda belirtilen farklı politikanın sonucunda hangi politikanın daha karlı olduğunu hesaplayınız.. Bir orman 2 tip ağaç içermektedir. Bu ağaçlar 0- m. uzunluğu arasındaki ( m. dahil) ve m. den uzun ağaçlardır. Her yıl 0- m. uzunluğundaki ağaçların %0 ı yok olmaktadır. %10 u tanesi 20 den satılmakta ve %0 u 0- m. aralığında kalmak üzere büyümeye devam etmektedir. %20 si m. nin üstüne çıkmaktadır. Her yıl m. den uzun ağaçların %0 si 0 den satılıyor. %20 si 0 den satılıyor. % 0 u ise ormanda kalıyor. a) 0- m. arasındaki ağaçların satılmadan önce ölme olasılığı nedir? b) m. den kısa bir ağaç dikildiğinde bundan kaç para kazanılması beklenmektedir? 6. Freezco şirketi buzdolabı satmaktadır. Şirket yıla kadar bozulan buzdolapları için yerine yenisini vermektedir. Yeni buzdolaplarının % ü ilk yıl bozulmaktadır. 1 yaşındaki buzdolaplarının % i 2. yıl bozulmaktadır. 2 yaşındaki buzdolaplarının %7 si. yıl bozulmaktadır. Yeni verilen buzdolabı garanti kapsamında değildir. a) Markov zinciri teorisini kullanarak Freezco nun yerine vereceği buzdolaplarının oranını tahmin ediniz. b) Varsayalım ki arızalanan buzdolabının yerine yeni bir buzdolabı vermek 00$ a mal oluyor ve Freezco yılda buzdolabı satıyor. Eğer Freezco garanti süresini 2 yıla çekerse ne kadar kar elde eder? 7. Bir telefon satıcısı müşteri bağlantılarını Markov zincirleri ile modellemiştir. Zincirde 6 durum söz konusudur, bu durumlar: 1. Son görüşmede satış yapıldı 2. Son görüşmede satış yapılmadı. İlk defa arayan müşteri. Son aramada müşterinin az ilgili olduğu görüldü. Son aramada müşterinin orta derecede ilgili olduğu görüldü 6. Son aramada müşterinin çok ilgili olduğu görüldü

3 a) Çağrı merkezine gelen yeni bir müşteri için, müşteri ürünü satın alana kadar olan ortalama gelen çağrı sayısını bulunuz. b) Çağrı merkezine gelen yeni bir müşteri için, müşterinin ürünü almaktan vazgeçmesine kadar olan ortalama gelen çağrı sayısını bulunuz. c) Şuan az ilgili olan müşterilerin satın alma oranını hesaplayınız. d) Her telefon görüşmesinin maliyeti 1$ ve her satışta 10$ kazanç elde edildiği varsayılmaktadır. Her tip müşterinin değerini hesaplayınız.. Bir makinanın ürettiği kabul edilebilir kalitedeki ilaçların sayısı her hafta gözlemlenmektedir. Bu gözlem değerleri gruba ayrılmıştır, bu gruplar ve geçiş matrisi aşağıdaki gibidir. > > Örneğin 1 haftada 100 den fazla ilaç üretildiğini gözlemlediğimiz durumda bir sonraki hafta %10 olasılıkla arasında ilaç üretilmektedir. a) Geçen hafta 200 ilaç üretildiğini varsayalım. Makine arızalanmadan önce ortalama kaç hafta zaman geçer? b) Geçen hafta 0 ilaç üretildiğini varsayalım. Makine arızalanmadan önce ortalama kaç hafta zaman geçer?. Varsayalım ki 2 dolarımız var. Hedefimiz 6 dolara sahip olmak. Yazı tura atıyoruz ve %0 olasılıkla tura geliyor. Eğer tura gelirse ortaya ne kadar para koyarsak o kadar para kazanıyoruz. Eğer yazı gelirse ortaya ne kadar para koyarsak o kadar para kaybediyoruz. Hedefimize ulaşma olasılığımız nedir? 10. Bir ülkedeki vergi mükellefleri üç gruba ayrılabilir: hiç vergi kaçırmayan, bazen vergi kaçıran ve hiç vergi vermeyen. Yapılan bir araştırmaya göre bir yıl vergi kaçırmayan mükelleflerin % i bir sonraki yıl da vergisini kaçırmamış, % ü bazen vergi kaçıran kategorisinde yer almıştır. Bazen vergi kaçıran mükelleflerin % 6 sı hiç kaçırmayan, % 0 ı yine bazen vergi kaçıran, % ü ise hiç vergi ödemeyen grubunda yer almıştır. Hiç vergi ödemeyen mükellefler ise bir sonraki yıl % 10 ihtimalle bazen vergi kaçıran, % 0 ihtimalle ise yine hiç vergi ödemeyen grupta yer almışlardır. a) Problemi Markov Zinciri olarak ifade edin. b) Uzun dönemde vergi mükellefleri gruplarının oranları ne olacaktır? c) İstatistiklere göre bazen vergi kaçıranlar grubundaki bir mükellef yaklaşık 000 TL, hiç vergi vermeyen grubundaki bir mükellef yaklaşık TL vergi kaçırmaktadır. Bu ülkede milyon vergi mükellefi bulunmaktadır. Vergi oranı % 20 ise, bu ülkede kaçırılan vergi miktarı kaç TL dir. 11. Aşağıda verilen projenin; a) Şebekesini çizin b) Projenin tamamlanma süresini hesaplayın c) Bolluk sürelerini hesaplayın

4 Faaliyet Öncül Faaliyet Süre A - 1 B A C A D B 2 E B 1 F D, E 2 G C, D H F, G [Proje Hızlandırma] Aşağıda verilen projenin verilen normal ve hızlandırılmış süre ve maliyetlere göre tamamlanma zamanı ve toplam maliyetlerini hesaplayın. Normal Hızlandırılmış Faaliyet Öncül Faaliyet Süre Maliyet Süre Maliyet A B A C A D B E B F D, E G C, D H F, G [Minimum Kapsayan Ağaç] Bir kampüste fiber optik kablolarla birbirine bağlanması planlanan altı bina bulunmaktadır. Bazı binaların arasında bulunan yüzme havuzu vb. engellerden dolayı bu binaları birbirine doğrudan bağlamak mümkün olmamaktadır. Birbirine bağlanabilen binalar aşağıda verilmiştir. Herhangi iki binayı birbirine bağlamanın maliyeti TL olarak hesaplanmıştır. Tüm binaları birbirine bağlamanın minimum maliyetini hesaplayınız ve kabloların hangi binalar arasına yerleştirileceğini yazınız

5 1. [En Kısa Yol] Aşağıda verilen kaynak ve hedefleri içeren yönlü ağa göre en kısa yol güzergâhını ve toplam uzunluğunu bulunuz [Maksimum Akış] Aşağıda verilen yönlü ağa göre maksimum akışı bulunuz. Kullanılan yolları ve kapasite kullanımlarını gösteriniz. 16. [CPM] Aşağıdaki proje için; a) Faaliyetleri ok üzerinde göstererek şebekesini çizin, b) Faaliyetleri düğüm üzerinde göstererek şebekesini çizin, c) Projenin en erken tamamlanma süresini ve kritik yolu hesaplayın. Faaliyet A B C D E F G H Öncül Faaliyet - - A A, B B D, E E C, F, G Süre [CPM] Bir firma depo operasyonlarını değiştirerek otomatik stok taşıma sistemi kurmak istemektedir. Bu amaçla, depo yerleşiminin yeniden tasarlanması, yeni donanımın kurulması, yeni donanımın test edilmesi vb. faaliyetleri gerçekleştirecektir. Projenin şebekesi ve her bir faaliyetin tahmini süresi aşağıda verilmiştir. Buna göre kritik yolu ve beklenen proje tamamlanma zamanını hesaplayın.

6 Faaliyet Tahmini Süre (Hafta) A B 2 C D 0 E 6 F G 0 H I 0 J K 6 1. [PERT] Bir yayınevi Yöneylem Araştırması kitabının ikinci baskısını hazırlamaktadır. Yapılması gereken faaliyetler ve bunların beklenen süreleri aşağıda verilmiştir. a) Kritik yolu belirleyin. b) Projenin beklenen tamamlanma zamanını hesaplayın. c) Projenin 21, 2 ve 27 ayda tamamlanma ihtimallerini hesaplayın. Süreler (Ay) Faali yet Açıklama Öncül Faaliyet İyimser Kötüms er Ortalam a A Pazar değerlendirmesi B İlk baskıyı kullanan okuyucuların görüşlerinin A alınması C Eski materyallerin rezive edilmesi, yenilerinin B eklenmesi D Eleştiri yazılarının temin edilmesi ve taslağın C 12 6 hazırlanması E Tekrar gözden geçirilmesi ve problemlerin daha B 2 7 ayrıntılı sunulması F Son taslağın kontrollerinin yapılması D G Problem ve çözümlerin kontrollerinin yapılması E H Kitabın basılması F, G 6 I Öğretmen kılavuzunun hazırlanması E 2 J Öğretmen kılavuzunun basılması I K Kitabın ve öğretmen kılavuzunun tamamlanması H, J 0 0 0

7 1. [PERT] Küçük bir proje aşağıda verilen on beş faaliyetten oluşmaktadır. a) Kritik yolu muhtemel ve beklenen sürelerle hesaplayarak karşılaştırın. b) Her faaliyetin beklenen en erken tamamlanma zamanı ile bu faaliyetlerin planlanan zamanda tamamlanması olasılığını hesaplayınız. c) Yapmış olduğunuz analizin farklı aşamalarında kabul ettiğiniz varsayımları tartışınız. Faaliyet A B C D E F G H I J K L M N O Öncül Faaliyetler B, L I B H F, G A C L - E, K D I J, O D N Süreler a m b Planlanan Tamamlanma Zamanı [En Kısa Yol] Bir televizyon şirketi yedi dağıtım noktasını merkezi bir vericiye en az miktarda kablo kullanarak bağlamak istemektedir. Aşağıdaki tabloda bu noktalar arasındaki mesafeler (km) verilmiştir. a) Eğer verici 1.Düğüme yerleştirilirse en kısa yol güzergâhını ve toplam uzunluğunu bulunuz. b) Eğer verici.düğüme yerleştirilirse çözüm değişir mi? [Minimum Kapsayan Ağaç] Bir kurumda 12 bilgisayar merkezi arasında iletişim bağlantısını sağlayacak yerel alan ağı (LAN) kurulacaktır. Bu bağlantıların maliyeti aşağıda verilmiştir. Teknik zorluklardan ötürü verilen şekilden başka türlü bağlantı kurulamamaktadır. Yerel alan ağı için minimum maliyeti veren çözümü bulunuz.

8 [Proje Hızlandırma] Küçük bir proje aşağıda detayları verilen on altı faaliyetten oluşmaktadır. Şebekeyi oluşturup kritik yolu belirleyin. Projeyi normal sürelere göre analiz ederek her faaliyetin en erken ve en geç başlangıç zamanları, en erken ve en geç bitiş zamanları, toplam bolluk, serbest bolluk ve bağımsız bolluk değerlerini bulun. Doğrusal bir maliyet-zaman ilişkisi olduğu varsayalım. Toplam sürenin minimum maliyetle dört gün kısaltılmak istenmesi durumunda hangi faaliyetlerin ne kadar hızlandırılması gerektiğini bulunuz. Süre (Gün) Maliyet (TL) Faaliyet Öncül Normal Hızlandırılmış Normal Hızlandırılmış A B B F C D F, P E O F K G F H C I J J P 0 60 K C L A M B, D, E, G N I, L, M O P P H [Maksimum Akış] Aşağıda verilen şebekede 1. ve 2. düğümler kaynak, 1. düğüm hedef olmak üzere toplam 1 düğüm bulunmaktadır. Kaynaklar ile hedef arasındaki maksimum akışı bulun C ij =

9 2. General Motors şirketi üç adet oto bölümüne sahiptir (Bölüm 1, Bölüm 2, ve Bölüm ). Bu firma ayrıca Muhasebe bölümü ve İdari danışmanlık bölümüne sahiptir. Buradaki soru, muhasebe ve idari danışmanlık bölümünün maliyetleri hangi oranlarda bahsedilen üç oto bölümüne paylaştırılacaktır. Muhasebe ve İdari Danışmanlık bölümlerinin bütün maliyetlerinin bu üç oto bölümüne paylaştırılacağını varsaymaktayız. Verilen herhangi bir yılda aşağıdaki tablo teki gibi muhasebe ve idari danışmanlık bölümlerinin işleri her bir bölüm için verilmiştir. Tablo Muhasebe İdari danışmanlık Bölüm 1 Bölüm 2 Bölüm Muhasebe 10% 0% 20% 20% 20% İdari danışmanlık 0% 20% 0% 0% 20% Örneğin muhasebe bölümü işlerinin %10 u muhasebe bölümünden, %0 u idari danışmanlık bölümünden ve örneğin %20 lik iş bölüm den dolayı kaynaklanmaktadır. Her bir yıl muhasebe bölümünü idare etmek $6 milyon dolara ve İdari danışmanlık bölümünü idare etmek $210 milyon dolara mal olmaktadır. Bu maliyetler hangi oranda üç oto bölümüne paylaştırılmalıdır. Örneğin $1 dolar 20% ihtimalle herhangi bir oto bölümüne atanır veya 0% ihtimalle idari danışmanlık bölümüne atanır ve 10% ihtimalle muhasebe bölümüne atanır ve muhasebe bölümüne atanan harcamaları tekrar üç oto bölümüne atamamız gerekmektedir. Benzer şekilde idari danışmanlık bölümünün maliyetlerini de üç oto bölümüne atamamız gerekmektedir. Emici-Yutucu zincirleri kullanarak muhasebe ve idari danışmanlık bölümlerinin giderleri bu üç oto bölümü arasında nasıl bölüştürülmelidir? 2. Armada sekreter koltukları satmaktadır. Sekreter koltuklarına yıllık talep ortalama 100 koltuk olup normal dağılmakta ve standart sapması 0. koltuktur. Armada koltukları depolarından sipariş etmektedir. Sipariş verme maliyeti 100 euro olup tedarik süresi 2 haftadır. Armada stok boşalmasının 0 euro müşteri memnuniyetsizliğine sebep olduğunu düşünmektedir. Armada her bir koltuk için 60 euro ödemektedir ve her bir koltuğu 100 euro ya satmaktadır. Bir koltuğun yıllık stok tutma maliyeti alış fiyatının %0 udur. a) Bütün yok satılan ürünlerin sonradan tedarik edildiği düşünüldüğünde optimum sipariş noktası ve emniyet stok seviyesi ne olur? b) Stok boşalması durumunda oluşan taleplerin kaybedilen satışlar olduğu durumda optimum sipariş noktası ve emniyet stok seviyesi ne olur? 26. Stone River tekstil firması OSHA tarafından incelenmiş ve bazı güvenlik düzenlemelerini ihlal ettiği tesbit edilmiştir. OSHA müfettişleri firmaya bazı makinelerini daha güvenli olsu diye değiştirmelerini, güvenlik görevlileri eklemelerini, bazı eski ve tehlikeli makineleri yenileriyle değiştirmelerini, bazı makinelerin yerlerinin değiştirilmesini (aralar, giriş ve çıkışın daha güvenli ve engellemesiz olması için) emretmişlerdir. OSHA firmaya değişiklikler için

10 hafta süre vermiştir. Bu tarihe kadar bu değişikliklerin olmaması durumunda firmaya $00,000 ceza keseceklerini bildirmişlerdir. Firma CPM/PERT ağında aşağıdaki aktiviteleri belirlemiştir ve aktivite sürelerini tablodaki gibi tahmin etmiştir: Aktivite süresi tahmini (hafta) Aktivite Aktivite tarifi Aktivite Önceli a (İyimser) m (Muhtemel) b (Kötümser) a Yeni makineleri sipariş et b Yeni fiziksel yerleşimi planla - 2 c Mevcut makinelerdeki güvenlik - 1 değişiklikleri belirle d Teçhizatları al a e Yeni işçileri al a 7 11 f Fabrika değişikliklerini yap b g Mevcut makinelerdeki c değişiklikleri yap 1 h Yeni işçileri eğit d,e 2 i Yeni makineleri kur d,e,f 1 7 j Eski makineleri yeniden d,e,f,g 2 yerleştir k Çalışan güvenliği oryantasyonu h,i,j 2 2 yap 2 A) Yukarıdaki problemde Aktivite sürelerinden muhtemel süreleri kesin süreler gibi düşünün. Proje Ağını AOA ve AON yöntemlerine göre oluşturun ve her iki proje ağı gösterimi için Problemi CPM yöntemiyle çözün, Kritik yolu bulun ve bollukları hesaplayın. B) Şimdi de Problemi PERT Yöntemine göre çözün. Kritik yolu gösterin. Projenin beklenen tamamlanma süresi nedir? Varyans nedir? Projenin 2 haftadan önce tamamlanma ihtimali nedir? Firmanın $00,000 ceza yeme ihtimali nedir? ) Batıkent şehir havalimanında bütün yolcular valizlerini kontrol ettirmek zorundadırlar. Şehir havalimanına üstel dağılan ve dakikada ortalaması 10 olacak şekilde yolcu gelmektedir. Yolcuları kontrol etme için metal dedektör ve X-Ray makinesinin olduğu ve iki personelin çalıştığı bir kontrol noktası gerekmektedir. Kontrol noktası üstel dağılacak şekilde dakikada ortalama 12 yolcu kontrol etmektedir. a) Kontrol edilmeden önce bir yolcunun bekleme olasılığı nedir? b) Kontrol noktasına girmeden önce bekleyen yolcuların ortalaması nedir? c) Ortalama olarak kontrol noktasında bir yolcu ne kadar bekler? 2) Yukarıdaki bölüm 1 deki problemde havalimanı kaç tane kontrol noktası oluşturacağına karar verecektir. Bir yolcuyu 1 saat bekletme maliyetini $10 olup ve havalimanı 16 saat

11 çalışmaktadır. Bir kontrol noktasını oluşturmak, personel tutmak ve çalıştırmak 10 yıl için 1 milyon dolardır. a) Birden fazla kontrol noktası olduğu durumda yolcular bu noktalara eşit olasılıkla gireceklerdir. Bu bilgilere göre kaç tane kontrol noktası işletilmelidir? (Her bir kontrol noktasını ayrı bir kuyruk sistemi gibi düşünün) b) Şimdi ortak kuyruklu ve çok servisçili bir kuyruk sistemi gibi düşünün ve kaç kontrol noktası oluşturulması gerektiğine karar verin. Ayrıca yukarıda bölüm 1 deki üç soruyu bu kuyruk sistemi içinde cevaplayın. 2. Sabun üretimi yapan bir fabrika, sabunu aşamada üretmektedir: 1. Aşama: Yağların saflık derecesine göre ayrılıp arıtılması. 2. Aşama: Yağlara gerekli dozda alkali eklenerek yeterli ısı altında karıştırılıp sabunlaşma reaksiyonunun gerçekleştirilmesi.. Aşama: Gliserini alınmış sabunun vakumlu sprey yöntemi ile kurutulması ve granül haline getirilmesi.. Aşama: Sabun granüllerinin diğer gerekli malzemeler ile karıştırılıp merdaneli ve ekstruzyon preslerinde sıkıştırılarak homojenize edilmesi. Bir sabunun maliyeti 2 TL ve satışı, TL dir. Hatalı ürünler fabrikada tekrar işlenememekte ve yakıt üretimde kullanılması için bir firmaya 0,1 TL den satılmaktadır. İşlemlerin sonunda sabunlar kalıplar halinde kesilip paketlenirler. dönemlik gözlemlerin ortalamalarına göre geçiş matrisi şöyle belirlenmiştir. 1. Aşama 2. Aşama. Aşama. Aşama Hatalı Nihai Ürün 1. Aşama 0,6 0, 0 0 0, Aşama 0 0, 0,1 0 0,0 0. Aşama 0 0 0, 0,60 0,0 0. Aşama ,2 0,01 0,7 Hatalı Nihai Ürün a) İlk işlemden paketlenene kadar geçen ortalama adım sayısı nedir? b) 000 sabun üretmek için başlanması gereken miktar ne olmalıdır? c) 200 sabunla başlanan partiden elde edilecek kâr ne kadardır? 2. Bir inşaaat firması gelecek ay içerisinde projeyi tamamlamalıdır. Proje 1, üç ay içerisinde tamamlanmalı ve adam-ay lık işgücü gerektirmektedir. Proje 2, dört ay içerisinde tamamlanmalı ve 10 adam-ay işgücü gerektirmektedir. Proje, iki ay içerisinde tamamlanmalı ve 12 adam-ay işgücü gerektirmektedir. Her bir ayda işçi kullanılabilir ve herhangi bir ayda bir projeye en fazla 6 işçi tahsis edilebilir. Bu problemi maksimum akış problemi olarak modelleyin ve üç projenin zamanında bitirilmesi mümkün müdür? Bulun.

12 0. Bir grup planlamacı yeni bir alışveriş merkezi inşa etmektedirler. Bir Danışman planlamacılar için aşağıdaki proje ağını oluşturmuştur ve hafta cinsinden aktivite sürelerini belirlemiştir. Her bir dairedeki üst rakam aktivite adını alttaki rakam hafta cinsinden aktivite süresini göstermektedir. a) AOA yöntemiyle proje ağını oluşturunuz. b) Her bir düğüm için en erken ve en geç zamanları bulun. Kritik yol ve proje süresini gösterin. Kritik aktiviteleri belirtin. c) Her bir aktivite için toplam bolluk ve serbest bolluk zamanlarını hesaplayın. 1. Bu soruda bütün gelişlerarası süre ve servis süreleri üstel dağılmaktadır. a) Hali hazırda finans ve pazarlama departmanlarının kendi yazıcıları vardır. Her bir yazıcı günde 2 mektup yazabilmektedir. Finans departmanı günde 20 mektup yazılmasını istemekteyken, Pazarlama departmanı günde 1 mektup yazılmasını istemektedir. Her bir departman için bir mektup talebi ve mektubun tamamlanması arasında geçen ortalama zamanı bulunuz. b) Şimdi yazıcıların ortak havuzda toplandığını düşünürsek; Bu durumda bir mektup için talebin oluşması ile mektubun tamamlanması arasında geçen ortalama zamanı bulunuz. c) a ve b seçeneklerindeki sonuçları yorumlayın.