Bir önceki bölümde bir fonksiyon dizisinin bir baflka fonksiyona

Transkript

1 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama Br öncek bölümde br fonksyon dzsnn br baflka fonksyona düzgün yak nsamas n n knc ve daha kullan fll br tan m n gördük. Bunun çn ƒ = sup{ ƒ(x) : x X} n 0 {} tan m na htyaç duyduk. Bu, öneml br tan md r, o kadar k, üzernde durmaya de er demek ble yeternce güçlü br fade de ldr. ƒ fades bazen ktaplarda ƒ olarak geçer; ad na da u ƒ nn denr. Bu bölümde süpnormun baz baflat özellklern ve Fonk(X, ) kümesnn özel baz altkümelern görece z Fonk(, ) Cebr X, herhang br küme olsun. Fonk(X, ), X ten ye gden fonksyonlar kümes olsun 1. Fonk(X, ) kümes üzernde dkkat çeken üç öneml fllem vard r: toplama, br say yla çarpma ve çarpma. 1 Bu bölümün brçok sonucunda, blenler, Fonk(x, ) dek yerne herhang br metrk uzay alablrler. Bu takdrde gerekt nde tam metrk uzay varsay m nda bulunmak gerekecektr. Bu genelleflmeler br sonrak notlar m zda yapaca z. 573

2 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 1) Toplama. k fonksyonu toplayablrz. Ntekm ƒ ve g, X ten ye gden k fonksyonsa, ƒ + g fonksyonu, her x X eleman nda, ƒ(x) + g(x) de ern alan fonksyondur; br baflka deyflle, ƒ + g : X fonksyonu, (ƒ + g)(x) = ƒ(x) + g(x) efltl yle tan mlan r. 2. Br Say yla Çarpma. E er ƒ, X ten ye gden br fonksyonsa ve rbr gerçel say ysa, rƒ : X ad verlen fonksyon, her xxçn, (rƒ)(x) = r ƒ(x) olarak tan mlanan fonksyondur. Yukardak k maddeden flu ç kar: Her ƒ ve gfonk(x, ) çn ƒ g fllem, stenrse ƒ + (1)g olarak, stenrse de (ƒ g)(x) = ƒ(x) g(x) kural yla tan mlanablr; her k tan m da ayn kap ya ç kar. 3. Çarpma 2. k fonksyonu çarpablrz. Ntekm ƒ ve g, X ten ye gden k fonksyonsa, ƒ g fonksyonu, her xxeleman nda, ƒ(x)g(x) de ern alan fonksyondur; br baflka deyflle, ƒ g : X 2 Fonk(X, ), burada tan mlanan toplama ve çarpma fllemleryle ad na halka denlen br yap olur. Fonk(X, ), bu toplama ve br say yla çarpma fllemleryle br vektör uzay olur. Fonk(X, ) kümesn hem halka hem de vektör uzay olarak (brlkte) görürsek, o zaman Fonk(X, ), br cebr olur. Bu kavramlara bu ders notlar nda htyac m z olmayacak.

3 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 575 fonksyonu, (ƒ g)(x) = ƒ(x)g(x) efltl yle tan mlan r. Fonk(X, ) kümesnde her zaman bölme yapamay z. Sadece X n hçbr noktas nda 0 olmayan fonksyonlara böleblrz Fonksyonlar n Sup u Br ƒ Fonk(X, ) fonksyonu çn, ƒ = sup{ ƒ(x) : xx} tan m n yapal m (yapt k da zaten). Elbette ƒ, br gerçel say olablece gb da olablr. Yan ƒ, 0 {} kümesnn br eleman d r. Örne n, X = ve ƒ(x) = x se, ƒ = olur. Öte yandan, X = ve ƒ fonksyonu, 1 ( x) 2 1 x kural yla tan mlanm flsa, afla dak grafkten de görülece üzere, ƒ = 1 dr. Ama dkkat ƒ(x) = x/(x + 1) se de ƒ = 1 olur ama ƒ(x) = 1 efltl n sa layan br x yoktur. 1 1 ƒ(x) = 1 + x 2 0 {} kümes üzerne, 0 kümesnn bld mz toplamas n ve s ralamas n, her rçn, r + = + r = + = ve r < kurallar yla genflleten br toplama ve s ralama tan mlayablrz. Bu toplama ve s ralamaya göre, her ƒ Fonk(X, ) ve her xxçn,

4 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama ƒ(x) ƒ(x) ƒ olur elbette. Ayr ca ƒ, 0 {} kümesnn yukardak efltszl sa layan en küçük eleman d r. fu sonucu kan tlamak oldukça kolayd r: Önsav Her ƒ, g Fonk(X, ) ve her r çn, flu önermeler do rudur.. ƒ = 0 ve ƒ = 0 efltlklernden br do ruysa d er de do rudur.. rƒ = r ƒ.. ƒ + g ƒ + g. v. ƒ g ƒ g. Dolay s yla, her ƒ, g, hfonk(x, ) a. ƒ g = 0 ƒ = g. b. ƒ g = gƒ. c. ƒ g ƒ h + hƒ. Kan t: lk k önerme, tan mdan dolay barz; asl nda üçüncüsü de: ƒ + g = sup{ ƒ(x) + g(x) : xx} sup{ ƒ(x) + g(x) : xx} sup{ ƒ(x) : xx} + sup{ g(x) : xx} = ƒ + g. Dördüncüsünü ve knc k sm okura al flt rma olarak b rak yoruz. Önsav 56.1 dek özellklern, aynen gerçel say lar üzerne tan mlanm fl olan mutlak de er çn de geçerl oldu una özellkle dkkatnz çekmek sterz. Yan Fonk(X, ) yerne kümesn alsak ve yerne mutlak de er alsak, yukardak teoremn ve mutlak de er çn do ru oldu unu, lse, hatta ortaokul y llar ndan ber bld mzn fark na var r z. Tek fark, Fonk(X, ) kümesndek br ƒ eleman çn ƒ denen fleyn sonsuz olablmes; oysa de mutlak de er sonsuz olamaz tab. Ama tek derdmz bu olsun! Bunun da yak n gelecekte çaresn bulaca z.

5 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama Fonk(X, ) Üzerne Mesafe ƒ ve g, Fonk(X, ) kümesnden k eleman se, ƒ ve g aras ndak mesafey d(ƒ, g) = mn{1, ƒ g } olarak tan mlayal m. Böylece d(ƒ, g) hçbr zaman sonsuz olmaz, hatta hçbr zaman 1 aflamaz. Ama bzm çn d(ƒ, g) nn 1 aflmamas de l, Önsav 56.2 de kan tlayaca m z özellkler öneml olacak. Ntekm herhang br a > 0 çn d(ƒ, g) = mn{a, ƒ g } olarak tan mlanm fl olsayd da herhang br fley de flmezd, yapacaklar m z n heps bu yen d çn de geçerl olurdu. d(ƒ, g) nn tan m nda belren 1 n yegâne fllev, ƒ le g aras ndak mesafenn sonsuz olmas n engelleyp Önsav 56.1 n a, b ve c özellklern sa lamas (bkz. Önsav 56.2). E er ƒ g sonsuz olmasayd böyle br tan ma htyaç duymazd k ble. Ntekm, s n rl fonksyonlarla çal fl rken yukardak d(ƒ, g) tan m n unutup, d(ƒ, g) = ƒ g tan m yla çal flmak bz ma dur etmeyecek (öte yandan pek br fley de kazand rmayacak!) Bu arada, daha ler gtmeden, d(ƒ, g) 1, d(ƒ, g) = ƒ g ve ƒ g 1 önermelernn brbrne denk olduklar n da farkedelm. Yan küçük mesafeler çn, d(ƒ, g) le ƒ g aras nda br ayr m yoktur. Önsav Her ƒ, g, hfonk(x, ) çn flu önermeler geçerldr:. d(ƒ, g) 0.. d(ƒ, g) = 0 ve ƒ = g efltlklernden br geçerlyse, d er de geçerldr.. d(ƒ, g) = d(g, ƒ). v. d(ƒ, g) d(ƒ, h) + d(h, g). Kan t: Bunlar n her br Teorem 1 n ve tan m n brer sonucudur. () çok barz. () de:

6 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama d(ƒ, ƒ) = mn{1, ƒ ƒ } = mn{1, 0} = 0 olur. Öte yandan d(ƒ, g) = 0 se, o zaman, 0 = d(ƒ, g) = mn{1, ƒ g } oldu undan ƒ g = 0 buluruz; bundan da Teorem 1. e göre ƒ = g ç kar. () ün kan t : Önsav 56.1 den dolay, ƒ g = (1)(gƒ) = 1 gƒ = gƒ. oldu undan, d(ƒ, g) = d(g, ƒ) olur. (v) ün kan t : E er d(ƒ, h) ya da d(h, g) mesafelernden br 1 se, efltszlk elbette geçerl olur. ksnn de 1 den küçük olduklar n varsayal m. O zaman, d(ƒ, h) = ƒ g ve d(h, g) = hg olmak zorunda. Dolay s yla, d(ƒ, g) = mn{1, ƒ g ] ƒ g (ƒ h) + (hg) ƒ h + hg = d(ƒ, h) + d(h, g). Teorem kan tlanm flt r. Bu aflamada durup braz soluklanal m ve ne kan tlad m - za dkkatlce (ama bell br mesafeden) bakal m. Gerçel say larda mutlak de ern de benzer özellkler vard r: Her x, y, z gerçel say s çn, flu önermeler do rudur:. xy 0,. xy = 0 ve x = y efltlklernden br geçerlyse, d er de geçerldr.. xy = yx. v. xy xz + zy. Yan Fonk(X, ) yerne kümesn alsayd k ve her x, y çn, d(x, y) = xy tan m n yapsayd k da, Önsav 56.2 geçerl olacakt. Önsav 56.2 dek dört özell e sahp br d fonksyonuna mesafe fonksyonu denr. Demek k,

7 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 579 d(ƒ, g) = mn{1, ƒ g } kural yla tan mlanm fl d : Fonk(X, ) Fonk(X, ) fonksyonu, Fonk(X, ) kümes üzerne br mesafe fonksyonudur. (Fonk(X, ), d) çftne de metrk uzay ad verlr. Aynen bunun gb, d(x, y) = xy kural yla tan mlanm fl d : fonksyonu da üzerne br mesafe fonksyonudur ve (, d) çft br metrk uzayd r. Önsav 56.2 de kan tlanan dört özell n sa layan br d fonksyonuna mesafe fonksyonu denmes nedensz de ldr. Ntekm bu dört özellk mesafe kavram n n sa lamas gereken özellklern özüdür: Mesafe denen fley, e er gerçekten mesafe ad n hakedyorsa, her fleyden önce br gerçel say olmal ve hç negatf olmamal. Bu, Önsav de verlmfl. Ayr ca, ancak br noktan n kendsne olan mesafes 0 olablmel; k de flk noktan n mesafes poztf olmal. Bu da Önsav de verlmfl. Ayr ca mesafe smetrk olmal, yan A n n B ye mesafes B nn A ya olan mesafesne eflt olmal. Bu, Önsav te verlmfl. Ve son olarak, A dan B ye gtmek çn br C noktas ndan geçlmek stenrse, mesafey k saltm fl olamay z. Bu son özell e üçgen efltszl ad verlr. Bu özellk de Önsav 56.2.v te verlmfltr. h ƒ g Üçgen efltszl (Ressam n yorumu!)

8 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama Sonuç olarak, Önsav 56.2 dek dört özellk, sezgsel olarak hssett mz mesafe kavram n n vazgeçlmez ve en baflat özellklerdr. Bu yüzden böyle br fonksyona mesafe fonksyonu ad verlr. Ve bu yüzden mesafe kavram n n tan mland kümeye de metre den türeyen metrk uzay denr. Br metrk uzay, br M kümes ve br Önsav 56.1 n a, b ve c özell n sa layan br d : MM 0 fonksyonu çn, (M, d) bçmnde yaz lan br çfttr. d ye M üzerne mesafe denr. Ço u zaman d nn ne oldu u blnr ve gözard edlerek, (M, d) metrk uzay yerne M metrk uzay denr. Örne n M = se, aks söylenmedkçe d(x, y) = xy dr. M x y Br metrk uzay! Bu ders notlar nda amac m z hçbr bçmde metrk uzaylar n n genel teorsn göstermek de l, ama bu dle al flmakta yarar var dye düflünüyoruz. de tan mlanan hemen hemen her kavram metrk uzaylar - na da genellefltrleblr, hele metrk uzay üzerne toplama ve çarpma gb fllemler varsa. Örne n, yak nsakl k, lmt, Cauchy dzs, sürekllk, taml k gb kavramlar gerçel say lardan metrk uzaylara genellefltrleblr. Bunun çn, de yap lm fl br tan mda görünen her xy türünden fade yerne d(x, y) koymak yeterldr; böylece ayn kavram metrk uzaylara genellefltrmfl oluruz. (matematk flte böyle br fley!) Her metrk uzay nda toplama ve çarpma gb fllemler olmaz. Ama ve Fonk(X, ) metrk uzaylar nda, mesafe d fl nda br de

9 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 581 toplama, ç karma, çarpma ve br say yla çarpma gb fllemlermz var. Bunlar zengn yap s olan metrk uzaylar olarak alg - layablrz. Bu bölümde, geçmflte flled mz brçok kavram den Fonk(X, ) metrk uzay na genellefltrece z Fonk(X, ) Uzay nda Yak nsakl k (ƒ n ) n, Fonk(X, ) kümesnden br dz olsun. ƒ Fonk(X, ) olsun. E er her > 0 çn, n > N se d(ƒ n, ƒ) < koflulunu sa layan br N varsa, (ƒ n ) n nn ƒ ye yak nsad söylenr. Bu koflulun aynen lm n d(ƒ n, ƒ) = 0, demek oldu unu okurun dkkatne sunar z. Ama e er d(ƒ n, ƒ) say lar n n lmt 0 se, bu say lar br zaman sonra 1 n alt na grerler ve o zaman da d(ƒ n, ƒ) = mn{1, ƒ n ƒ } = ƒ n ƒ olur, yan lm n ƒ n ƒ = 0 olur. Bunun ters de do rudur: E er lm n ƒ n ƒ = 0 se, o zaman ƒ n ƒ say lar br zaman sonra 1 n alt na grerler ve o zaman gene d(ƒ n, ƒ) = mn{1, ƒ n ƒ } = ƒ n ƒ efltl geçerldr, yan lm n d(ƒ n, ƒ) = 0 olur. Dolay s yla tan m flöyle de vereblrdk: E er her > 0 çn, n > N se ƒ n ƒ < koflulunu sa layan br N varsa, (ƒ n ) n nn ƒ ye yak nsad söylenr. Sonuç: Tan mlanan bu yak nsakl k kavram, aynen, öncek bölümlerde tan mlanan düzgün yak nsakl k kavram d r, ne br fazla ne br eksk!

10 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama ƒ n (ƒ, ƒ+) flerd ƒ Br (ƒ n ) n fonksyon dzsnn ƒ fonksyonuna düzgün yak nsamas, her > 0 çn, dznn bell br göstergeçten sonra ƒ nn flerdnn çne grmes demektr. Demek k (ƒ n ) n fonksyon dzsnn ƒ ye düzgün yak nsamas çn yeter ve gerek koflul, her > 0 çn, ƒ n fonksyonlar n n br zaman sonra, yan bell br N göstergecnden sonra, yukardak ve afla dak flekllerdek gb, ƒ le ƒ + flerdnn çne grmesdr. ƒ n fonksyonlar ƒ ƒ ƒ Verlmfl br (ƒ n ) n dzs e er yak nsaksa, tek br fonksyona yak nsayablr. Lmtn brckl br öncek paragraftan ve bölümlerden bell: (ƒ n ) n dzs ƒ ye yak ns yorsa, ƒ ancak (ƒ n ) n dzsnn noktasal lmt olablr (bkz. Teorem 54.1). Böylece lm n ƒ n = ƒ efltl n yazma hakk n kazan r z. Böyle br ƒ nn oldu u br dzye yak nsak ya da daha do ru olarak düzgün yak nsak dz denr. ƒ ye de (ƒ n ) n dzsnn düzgün lmt ya da süpnormuna X

11 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 583 göre lmt denr. Noktasal yak nsakl kla kar flmas n dye, geçen bölümlerde de belrtt mz gb, lm n ƒ n = ƒ yerne, lm n ƒ n = u ƒ yaz l r. Bu bulgular m z br önsav halnde toparlayal m: Önsav (ƒ n ) n, Fonk(X, ) kümesnden br dz olsun. ƒ Fonk(X, ) olsun. Afla dak önermeler eflde erdr:. lm n ƒ n = u ƒ.. lm n d(ƒ n, ƒ) = 0.. lm n ƒ n ƒ = 0. v. lm n (ƒ n ƒ) = u 0. Önsav n son koflulundak 0 elbette sabt 0 fonksyonunu smgelemektedr. Noktasal yak nsakl kla düzgün yak nsakl yukarda geometrk br bak fl aç s yla karfl laflt rd k. fmd d bçmsel br bak fl aç s yla karfl laflt ral m. ƒ = p lm n ƒ n efltl, aynen, (xx)( > 0) N (n > N) ƒ n (x) ƒ(x) < anlam na gelr. Buradak N say s x e ve a göre de flr. Zaten yukardak matematksel formüldek s ralamada da, N say s n n varl (xx)( > 0) smgelernden sonra söylenyor. Yan her x X ve her > 0 çn, stenen koflulu sa layan ayr br N olablr. Bu ba ml l göstermek çn bazen N yerne N, x yaz l r. N nn a göre de flmes ola an çünkü ne de olsa küçüldükçe

12 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama ƒ n (x) ƒ(x) < efltszl n sa lamak, yan ƒ n (x) nn ƒ(x) e en fazla kadar yak n olmas n sa lamak güçleflmel: Genelde küçüldükçe bu efltszl n sa land N say lar n büyütmek gerekr; sadece pek ender durumlarda N, dan ba ms zd r. N nn x e göre de flmes de ola an bulunablr. Gerçekten de pek s k durumda x de fltkçe ƒ n (x) ƒ(x) < efltszl nn sa lanmas geckeblr. Öte yandan bazen de geckmez, baz durumlarda, hatta oldukça s k rastlanan baz durumlarda, bell br N den büyük n say lar çn ƒ n (x) ƒ(x) < efltszl her xxçn sa lan r. flte bu durumda, (ƒ n : X) n fonksyon dzsnn ƒ : X fonksyonuna düzgün yak nsad söylenr. Düzgün yak nsakl n bçmsel tan m flöyle: ( > 0) N (xx) (n > N) ƒ n (x) ƒ(x) <. Bu formülü br öncek formülle karfl laflt r p xx smgelernn nerden nereye geçt n gözlemlemekte yarar vard r. Al flt rmalar 1. Her ƒ, g, hfonk(x, ) çn, d(ƒ, g) = d(ƒ g, 0) = d(ƒ h, gh) efltl n kan tlay n. (Buradak 0, elbette sabt 0 fonksyonu anlam na gelyor.) 2. Önsav 56.1.v ü kan tlay n. Önsav te ve Önsav 56.1.v te efltlklern her zaman do ru olmad n göstern. 3. X = olsun. Her n do al say s çn, ƒ n : fonksyonu, n d fl nda her yerde 0 de ern als n ve n de de n de- ern als n.

13 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 585 lm n ƒ n = p 0 efltl nn do ru ama lm n ƒ n = u 0 efltl nn yanl fl oldu unu kan tlay n. 4. X = olsun. Her poztf n do al say s çn, ƒ n : fonksyonu, n d fl nda her yerde 0 de ern als n ve n de 1/n de- ern als n. lm n ƒ n = u 0 efltl n kan tlay n Düzgün Yak nsakl n Cebr fmd düzgün yak nsakl n cebr (daha do rusu artmet ) üzerne brkaç sonuç kan tlayal m. Teorem X br küme olsun. (ƒ n ) n ve (g n ) n, X ten ye gden k fonksyon dzs ve r olsun. E er lm n ƒ n = u ƒ ve lm n g n = u g se, (ƒ n + g n ) n ve (rƒ n ) n fonksyon dzlernn de düzgün lmtler vard r ve lm n (ƒ n + g n ) = u ƒ + g ve lm n rƒ n = u rƒ olur. Kan t: Brnc efltl n kan t tamamen, (ƒ n + g n ) (ƒ + g) = (ƒ n ƒ) + (g n g) ƒ n ƒ + g n g efltszl ne dayan r ve Sandvç Teorem sayesnde Önsav 56.3 ten hemen ç kar. kncsn okura b rak yoruz. Belk flafl rt c ve hayal k r kl na neden olacak ama, benzer sonuç çarpma çn benzer sonuç bu genellkte do ru de ldr.

14 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama Buna hemen br örnek verelm. X = olsun. ƒ n (x) = 1/n ve g n (x) = g(x) = x olsun. O zaman lm n ƒ n = u 0 ve lm n g n = u g olur. Teorem 53.1 e göre lm n ƒ n g n = p 0 olur elbette ama Örnek 55.1 e göre lm n ƒ n g n = u 0 olmaz. Öte yandan e er her ƒ n ve her g n fonksyonu X üzerne s - n rl ysa o zaman Teorem 56.4 çarpma çn de geçerldr. S n rl fonksyonlarla br sonrak bölümde lglenece mzden bunun kan t n ertelyoruz. (Dleyen afla dak 9 ve 10 uncu al flt rmalara bakablr.) Bunu bld mz varsayarsak, nn her s n rl I altkümesnde, lm n (ƒ n g n ) I = u 0 oldu unu buluruz (k bunun böyle oldu unu Örnek 55.2 de elle göstermfltk.) Al flt rmalar Afla dak al flt rmalarda ters söylenmedkçe X br küme ve (ƒ n ) n gb dzler fonksyon dzler; ayr ca her fonksyon X ten ye gdyor. 1. X = olsun. ƒ n : fonksyonlar flöyle tan mlans n: n e er x n se n( x) x e er n x n se n e er x n se ƒ n fonksyonlar n n grafklern çzn. Noktasal yak nsad fonksyonu bulun. (ƒ n ) n dzs bu noktasal lmte düzgün yak nsar m?

15 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama X = (0, 1) ve ƒ n (x) = x n olsun. lm n ƒ n = p 0 efltl n ve her n çn ƒ n = 1 efltl n göstern. Demek k süpnormu 1 olan br fonksyonlar dzs, süpnormu 1 olmayan br fonksyona noktasal olarak yak nsayablyorlar. 3. E er lm n ƒ n = u ƒ se lm n ƒ n = ƒ efltl n kan tlay n. (Tersnn do ru olmas sözkonusu ble olamaz!) 4. X = ve ƒ n (x) = x + 1/n olsun. lm n ƒ n (x) = u x efltl nn do ru oldu unu ama lm n ƒ n (x) 2 = u x 2 efltl nn yanl fl oldu unu göstern. 5. lm n ƒ n = u ƒ olsun. ƒ nn s n rl oldu unu varsayal m, yan ƒ < olsun. funu kan tlay n: Öyle br A ve N vard r k, her n > N çn, ƒ n A. (Yan (ƒ n ) n dzsnn kuyru unun s n rl oldu unu kan tlay n.) 6. Her fley yukardak al flt rmadak gb olsun ama ƒ lla s - n rl olmas n. O zaman al flt rmadak sonucun do ru olmayablece n kan tlay n. 7. E er her ƒ n s n rl ysa ve (ƒ n ) n dzs düzgün yak nsaksa, o zaman ( ƒ n ) n say dzsnn s n rl oldu unu kan tlay n. 8. E er her ƒ n s n rl ysa ve (ƒ n ) n dzs düzgün yak nsaksa, o zaman ( ƒ n ) n say dzsnn s n rl oldu unu kan tlay n. 9. (ƒ n ) n ve (g n ) n, X ten ye gden k s n rl fonksyon dzs olsun. E er lm n ƒ n = u ƒ ve lm n g n = u g se, lm n ƒ n g n = u ƒ g efltl n kan tlay n. ( pucu: Br öncek al flt rmadan yararlanacaks n z.) 10. ( ƒ n ) n say dzsnn br M taraf ndan s n rl oldu unu varsayal m. g : [M, M] sürekl br fonksyon olsun. lm n g ƒ n = u g ƒ efltl n kan tlay n.

16 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 11. lm n ƒ n = u ƒ olsun. funu kan tlay n: > 0 ne olursa olsun, öyle br N say s vard r k, her n, m > N çn, ƒ n ƒ m < olur. (Bu son özell sa layan dzlere Cauchy dzler ad verlr ve bu dzler br sonrak altbölümünün konusu.) Cauchy Dzler fmd gerçel say lardan Fonk(X, ) metrk uzay na genellefltrece mz knc kavram ele alal m: Cauchy dzs kavram. (ƒ n ) n, Fonk(X, ) metrk uzay ndan br dz olsun. E er her > 0 çn, n, m > N se d(ƒ n, ƒ m ) < koflulunu sa layan br N varsa, (ƒ n ) n ye Cauchy dzs ad verlr. Tan mdak u dlersek 1 den küçükeflt alablece mzden (e er tan m 1 den küçükeflt lar çn do ruysa her çn do rudur), tan mdak d(ƒ n, ƒ m ) yerne ƒ n ƒ m alablrz. Dolay s yla tan m E er her > 0 çn, n, m > N se ƒ n ƒ m < koflulunu sa layan br N varsa, (ƒ n ) n ye Cauchy dzs ad verlr olarak de fltreblrz. Aynen gerçel say larda oldu u gb, Fonk(X, ) metrk uzay n n her yak nsak dzs Cauchy dzsdr ve her Cauchy dzs yak nsakt r. Bu özellk (daha do rusu bu özell n knc k sm ) her metrk uzay taraf ndan paylafl lmaz. (Örne n de bu do ru de ldr.) Bu özell olan metrk uzaylar na tam metrk uzaylar denr. Teorem Fonk(X, ) metrk uzay ndak her yak nsak dz Cauchy dzsdr. Ayr ca Fonk(X, ) metrk uzay n n her Cauchy dzs yak nsakt r. Daha ayr nt l söylemek gerekrse, Fonk(X, ) metrk uzay ndak her Cauchy dzsnn noktasal lmt vard r ve dz bu noktasal lmte düzgün yak nsar. K sacas Fonk(X, ) metrk uzay tamd r.

17 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 589 Kan t: Brnc k sm n tan m standart ve oldukça kolay. lm n ƒ n = u ƒ olsun, yan lm n ƒ n ƒ = 0 olsun. > 0 rastgele seçlmfl olsun. O zaman öyle br N vard r k, her n > N çn ƒ n ƒ < /2 olur. Dolay s yla Teorem 1. e göre, her n, m > N çn, ƒ n ƒ m = (ƒ n ƒ) + (ƒ ƒ m ) ƒ n ƒ + ƒ ƒ m < /2 + /2 = olur. Demek k (ƒ n ) n dzs Cauchy dzsymfl. fmd teoremn knc k sm n kan tlayal m. (ƒ n ) n, Fonk(X, ) metrk uzay nda br Cauchy dzs olsun. Demek k her > 0 çn, n, m > N se ƒ n ƒ m < koflulunu sa layan br N vard r. Br baflka deyflle, her > 0 çn, n, m > N se sup{ ƒ n (x) ƒ m (x) : xx} < koflulunu sa layan br N vard r. Bundan da tab k, her > 0 ve her xxçn, n, m > N se ƒ n (x) ƒ m (x) < koflulunu sa layan br N nn varl ç kar. Demek k, (ƒ n (x)) n dzs gerçel say larda br Cauchy dzsdr. Gerçel say lar tam oldu undan bu dznn br lmt vard r. Lmte ƒ(x) dyelm: ƒ(x) = lm n ƒ n (x). Böylece X ten ye gden br ƒ fonksyonu bulmufl oluruz. fmd lm n ƒ n = u ƒ efltl n kan tlamam z gerekyor. Okurun, verece mz kan t n ne kadar zekce oldu unu kavrayablmes çn en az br saat kend bafl na kan tlamaya çal flmas nda yarar vard r. Herhang br > 0 seçelm. N de yukardak gb olsun. m > N sabt br say olsun. Demek k her her xxve n > N çn, ƒ n (x) ƒ m (x) <

18 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama efltszl sa lan r. fmd bu efltszlkte n y sonsuza götürelm (m ve x sabt kalacaklar). Gerçel say lardan gerçel say lara gden mutlak de er fonksyonu sürekl oldu undan, Sandvç Teorem nden, lm n ƒ n (x) ƒ m (x) = lm n (ƒ n (x) ƒ m (x)) = ƒ(x) ƒ m (x) elde ederz. Bu efltszlk her xxçn do ru oldu undan, ƒ ƒ m elde ederz. Her > 0 çn, m > N se ƒ ƒ m efltszl nn sa land br N say s bulduk. Ama bu aynen, lm n ƒ ƒ m = 0 demektr, yan gerçekten de lm n ƒ n = u ƒ olur. Kan t m z btmfltr S n rl Fonksyonlar Kümes (X) (X, ), ya da k saca (X), X kümesnden ye gden s - n rl fonksyonlar kümes olsun: ƒ (X) ƒ(x) s n rl. E er ƒ, g (X) se, elbette ƒ g br gerçel say olur. Dolay s yla Önsav 56.1 e göre, d(ƒ, g) = mn{1, ƒ g } yerne d(ƒ, g) = ƒ g al rsak da (X) br metrk uzay olur. Her k metrkten brn seçelm. Bzm çn öneml olmayacak. Teorem X br küme olsun. (X), d metr çn tam br metrk uzayd r. Kan t: (X) nn d çn br metrk uzay oldu u bell. Taml - kan tlayal m. (X) metrk uzay ndan br (ƒ n ) n Cauchy dzs seçelm. Herhang br > 0 seçelm. N, her n, m > N çn,

19 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 591 d(ƒ n, ƒ m ) < efltszl n sa lanacak bçmde seçlsn. O zaman her x X çn, ƒ n (x) ƒ m (x) d(ƒ n, ƒ m ) < olur. Demek k (ƒ n (x)) n dzs nn br Cauchy dzsdr. tam oldu undan bu dz yak nsakt r. Bu dznn lmtne ƒ(x) dyelm. Böylece X ten ye gden br ƒ fonksyonu elde ederz. ƒ, elbette (ƒ n ) n dzsnn noktasal lmtdr. k fley kan tlamal y z: ƒ nn s n rl oldu unu ve lm n ƒ n = u ƒ efltl n. ƒ nn s n rl oldu unun kan t kolay: Düzgün yak nsaman n tan m nda = 1 alal m. O zaman br n çn d(ƒ n, ƒ) < 1 olur, dolay s yla her xxçn, ƒ n (x) ƒ(x) < 1 olur. Böyle br n y sabtleyelm. x 0 X sabt br eleman olsun. B say s, her xxçn, ƒ n (x) ƒ n (x 0 ) B efltszl sa lanacak bçmde seçlsn. (ƒ n s n rl br fonksyon oldu undan, böyle br B vard r.) fmd her xxçn, ƒ(x) ƒ(x 0 ) ƒ(x) ƒ n (x) + ƒ n (x) ƒ n (x 0 ) + ƒ n (x 0 ) ƒ(x 0 ) ƒ(x) ƒ n (x) + B + ƒ n (x 0 ) ƒ(x 0 ) 1 + B + 1 = B + 2 olur. Bu da ƒ nn s n rl br fonksyon oldu unu gösterr. fmd s ra lm n ƒ n = u ƒ efltl n kan tlamaya geld. Herhang br > 0 seçelm. Her n, m > N çn d(ƒ n, ƒ m ) < koflulunu sa layan br N vard r. Böyle br N seçelm. m > N göstergec de sabtlensn. Her xxve n > N çn, ƒ n (x) ƒ m (x) < efltszl sa lan r. fmd bu efltszlkte n y sonsuza götürelm (m ve x sabt kalacaklar). den ye gden

20 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama y yƒ m (x) fonksyonu sürekl oldu undan (Önsav 42.4), Sandvç Teorem nden, lm n ƒ n (x) ƒ m (x) = lm n ƒ n (x) ƒ m (x) = ƒ(x) ƒ m (x) elde ederz. Bu efltszlk her xxçn do ru oldu undan, d(ƒ, ƒ m ) elde ederz. Demek k her > 0 çn, m > N se d(ƒ, ƒ m ) efltszl nn sa land br N say s bulduk. Ama bu aynen, lm m d(ƒ, ƒ m ) = 0 demektr, yan gerçekten de lm n ƒ n = u ƒ olur. Kan t m z btmfltr. Yukardak kan tta (X) metrk uzay ndak her Cauchy dzsnn s n rl oldu unu kan tlad m z n fark na vard n z m? Varmad ysan z yukardak teorem kullanan br baflka kan t n verelm: Teorem (X) metrk uzay ndak her Cauchy dzs s n rl d r. Kan t: (ƒ n ) n, (X) metrk uzay nda br Cauchy dzs olsun. ƒ bu dznn düzgün lmt olsun. = 1 olarak seçlmfl olsun. N, her n > N çn, ƒ ƒ n < 1 olacak bçmde seçlmfl olsun. Demek k, her n > N çn, ƒ n = (ƒ n ƒ) + ƒ ƒ n ƒ + ƒ 1 + ƒ elde ederz. Dolay s yla, M = max{ ƒ 0, ƒ 1,..., ƒ N, 1 + ƒ } se, her n çn, ƒ n M olur.

21 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 593 fmd düzgün yak nsakl n cebr (daha do rusu artmet ) üzerne sonuçlar kan tlayal m. Teorem 56.4 ve ard ndan gelen örnekten farkl olarak (X) metrk uzay nda fonksyon çarpmas da terbyel br davran fl serglyor. Teorem X br küme olsun. (ƒ n ) n ve (g n ) n, (X) den k dz olsun ve r olsun. E er lm n ƒ n = u ƒ ve lm n g n = u g se, (ƒ n + g n ) n, (ƒ n g n ) n ve (rƒ n ) n fonksyon dzlernn de düzgün lmtler vard r ve lm n (ƒ n + g n ) = u ƒ + g, lm n (ƒ n g n ) = u ƒg ve lm n rƒ n = u rƒ olur. Kan t: Brnc ve üçüncü efltlk aynen Teorem 56.4, yaln z ƒ + g ve rƒ fonksyonlar n n (X) uzay nda olmalar gerekt kan tlanmas gerekyor k bunu da Teorem 56.1 den blyoruz. lm n (ƒ n g n ) = u ƒg efltl n kan tlayal m. > 0 verlmfl olsun. Teorem 56.6 dan g nn s n rl oldu unu blyoruz. A > 0 say s g A olarak seçlmfl olsun. Ayr ca Teorem 56.7 den (ƒ n ) n dzsnn s n rl oldu- unu blyoruz. B > 0 say s, her n çn ƒ n < B olarak seçlmfl olsun. Varsay ma göre, her n > N 1 çn, g n g < /2B efltszl n sa layan br N 1 vard r. Gene varsay ma göre, her n > N 2 çn, ƒ n ƒ < /2A efltszl n sa layan br N 2 vard r. N = N 1 + N 2 olsun. O zaman her n > N çn,

22 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama ƒ n g n ƒg = (ƒ n g n ƒ n g) + (ƒ n gƒg) ƒ n g n ƒ n g + ƒ n gƒg ƒ n g n g + ƒ n ƒ g < B (/2B) + (/2A) A = efltlkler sa lan r. Demek k, lm n (ƒ n g n ) = u ƒg olur Sürekl Fonksyonlar Kümes C(X) X olsun. X ten Y ye gden sürekl fonksyonlar kümes C(X, ) ya da k saca C(X) olarak gösterlr. C(X) Fonk(X, ) oldu undan, C(X) d mesafes alt nda br metrk uzay olarak alg layablrz. E er X s n rl ve kapal br aral ksa, Teorem 47.2 ye göre, C(X) (X) olur 3. Aks durumda stenrse C(X) (X) altuzay na bak lablr. Bu bölümde C(X) metrk uzay n rdeleyece z. Akla lk gelen soru bunun tam br metrk uzay olup olmad sorusu: Teorem Sürekl fonksyonlardan oluflan dzlern düzgün lmt de sürekldr. Yan C(X) tam br metrk uzay d r. Bu teorem afla dak sonuçtan ç kar. Teorem E er (ƒ n : X ) n dzs ƒ fonksyonuna düzgün yak ns yorsa ve ƒ n fonksyonlar n n her br br a X noktas nda süreklyse, o zaman ƒ fonksyonu da a noktas nda sürekldr. 3 Bu ded mz genel olarak e er X s n rl ve kapal (yan r k z) br kümeyse de geçerldr.

23 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 595 Kan t:> 0 olsun. Öyle br N seçelm k, her n N çn, d(ƒ, ƒ n ) < /3 olsun. n = N + 1 olsun. O zaman her xxçn, ƒ(x) ƒ n (x) < /3 olur. ƒ n fonksyonu a da sürekl oldu undan a y çeren öyle br UXaç k kümes vard r k, her xuçn, ƒ n (x) ƒ n (a) < /3 olur. fmd xuçn hesaplayal m: ƒ(x) ƒ(a) ƒ(x) ƒ N (x) + ƒ N (x) ƒ n (a) + ƒ n (a) ƒ n (x) /3 + /3 + /3 = olur. Dolay s yla ƒ fonksyonu a noktas nda sürekldr. Sonuç C(X) ve C(X) (X) metrk uzaylar tamd r. Al flt rmalar 1. [0, 1] kümesnden ye gden öyle br sürekl fonksyon dzs bulun k, dznn noktasal lmt olsun ama lmt fonksyonu s n rs z olsun. 2. den ye gden n x 1 ( ) 2 n( 1 x ) fonksyonlar n n 0 fonksyonuna düzgün yak nsad n kan tlay n. 1 e er x 1/ n se 3. n( x) olarak tan mlanan n x e er x 1/ n se ƒ n : fonksyon dzs düzgün yak nsak m d r? 4. Öyle sürekl (ƒ n : [0, 1] ) n fonksyon dzs bulun k sürekl br fonksyona noktasal yak nsas n ama düzgün yak nsamas n. 5. Her ƒ n fonksyonu s n rl ysa ve (ƒ n ) n düzgün yak nsaksa (ƒ n ) n dzsnn s n rl br dz oldu unu göstern.

24 Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 6. [0, ) aral ndan ye gden x n( x) n 1 x fonksyon dzsnn noktasal yak nsad n ama düzgün yak nsamad n kan tlay n. Bu fonksyon dzsnn düzgün yak nsad br altküme bulun. (ƒ n fonksyonlar n szn çn afla da çzdk.) ƒ 0 1 ƒ 1 1/2 ƒ 2 1 ƒ 4 7. xçn n( x ) x 1 1 n olsun. fonksyonu rrasyonellerde 0 de ern als n ve brbrne asal a ve b tamsay lar çn (a/b) = b olsun. g n (x) = (x) + 1/n olsun. (ƒ n ) n ve (g n ) n dzlernn her sonlu aral kta düzgün yak nsad n ama (ƒ n g n ) n dzsnn hçbr sonlu aral kta düzgün yak nsamad n kan tlay n. 8. x(0, 1) çn n x x ( ) 1 nx olsun. (ƒ n ) n dzsnn (0, 1) üzernde noktasal yak nsad n ama düzgün yak nsamad n kan tlay n. 9. E er X kapal br aral ksa ve (ƒ n : X) n dzs ƒ fonksyonuna düzgün yak ns yorsa ve g : X\ {0}

25 56. Fonk(X, ) Metrk Uzay ve Düzgün Yak nsama 597 fonksyonu süreklyse, (ƒ n /g) n dzsnn ƒ/g fonksyonuna düzgün yak nsad n kan tlay n. 10. Her ƒ, g (X) çn, ƒ g ƒ + g efltszl n kan tlay n. 11. Y = olsun. Her n ve her x çn, ƒ n+1 (x) ƒ n (x) se ve lm n ƒ n = u 0 se n 0 (1) n ƒ n (x) dzsnn düzgün yak nsad n kan tlay n. 12. ƒ : düzgün sürekl (bkz. Bölüm 42, Örnek 42.8 den hemen sonra) ve her n > 0 do al say s çn ƒ n (x) = ƒ(x + 1/n) olsun. (ƒ n ) n dzsnn ƒ ye düzgün yak nsad n kan tlay n. E er ƒ düzgün sürekl de lse bunun do ru olmayablece n göstern. 13. ƒ n : Xfonksyonlar ƒ fonksyonuna düzgün yak nsas n. X n (x n ) n dzs x noktas na yak nsas n. (ƒ n (x n )) n dzsnn ƒ(x) e yak nsad n kan tlay n.

26 57. Weerstrass M-Test ve Sonuçlar Kuvvet Serler Kuvvet serlern öncek say lar m zda görmüfltük. An msatal m. Bunlar, bçmnde yaz lan fadelerd. Burada her a n br gerçel say d r. x se gerçel say larda de er alan br de flken olarak görüleblr. fadede x sabt br gerçel say olarak al p, sonsuz br toplam an msatan fadesn, 0 0 lm n a x a x n 0 say s olarak görmek styoruz; tab böyle br lmt varsa... Yoksa, sernn x say s nda raksak oldu unu söylüyoruz. (Sernn x te tan ms z oldu unu da söyleyeblrz.) Örne n x = 0 se, lmt vard r ve a 0 de erne eflttr. D er say larda lmt olablr de olmayablr de. funu kan tlam flt k [bkz. Teorem 35.1]: Öyle br R 0 vard r k, x (R, R) çn yukardak lmt vard r ve x [R, R] çn se lmt yoktur. x = R çn se lmt olab- a x 599

27 Weerstrass M-Test ve Sonuçlar lr de olmayablr de, kuvvet sersne göre de flr. Bu R, R sup n olarak belrlenmfltr ve ad na yak nsakl k yar çap denr. R nn ya da 0 olablece n de an msatal m. Örne n, exp x, sn x, cos x kuvvet serlernde R sonsuzdur ve bu kuvvet serler den ye gden brer fonksyon verrler. Öte yandan, kuvvet sers çn R = 1 dr ve bu kuvvet sers sadece (1, 1) aral nda br fonksyon tan mlar. (Bu fonksyon da, ƒ(x) = (1 x) 1 fonksyonudur.) Fonksyonlar n Sonsuz Toplam Kuvvet serler, a x gb fonksyonlar n (sonsuz) toplam olarak alg lanablr. Böyle alg land nda, kuvvet serlern genellefltrmek flten ble de ldr: a x fonksyonlar toplanabld gb herhang ƒ (x) fonksyonlar da toplanablr. Hatta bu durumda x, herhang br X kümesnden br eleman olarak da görüleblr. X herhang br küme olsun. Her do al say s çn, ƒ Fonk(X, ) olsun. Bu fonksyonlar teker teker toplay p, n n fonksyonlar na bakablrz. Ard ndan bu sonlu toplamlar n n sonsuza gderken lmtn alablrz: lm 0 n 0 tan m n yapal m. Tan m yapal m dedk ama bu asl nda çok eksk br tan md r. Tan mda k sorun var: 1) Tan mda lmtn noktasal lmt m yoksa düzgün lmt m oldu u söylenmemfl. 1 a x 0 1/ n n n

28 57. Weerstrass M-Test ve Sonuçlar 601 2) Lmt yoksa tan m ne demek oluyor? Brnc sorun o kadar öneml de l çünkü her fleyden önce e er düzgün yak nsakl k varsa noktasal yak nsakl n da oldu- unu ve bu durumda noktasal lmtle düzgün lmtn brbrne eflt olduklar n blyoruz. Ayr ca hang yak nsakl k sözkonusuysa o yak nsakl n ad n ayr ca zkredeblrz; fonksyonlar n toplam n n noktasal ya da düzgün yak nsak oldu unu söylemek bu sorunu çözer. knc soruna gelnce: Ntekm bu sonsuz toplam (yan lmt) baz noktalarda yak nsak olablr, baz noktalarda da olmayablr. Bu sorunu da sonsuz toplam n hang kümede yak nsak oldu- unu belrtmekle çözerz. Demek k, söylenmes gereken, 0 sersnn X n br A altkümesnde noktasal ya da düzgün yak nsak oldu udur. Böylece tan mdak belrszlkler gderlmfl olur. Örne n exp, cos ve sn fonksyonlar - blnd üzere - üzerne noktasal yak nsakt r ama üzerne düzgün yak nsak de ldrler. Ama - brazdan kan tlayaca m z üzere - nn her s n rl altkümes üzerne bu serler düzgün yak nsakt r. Br baflka örnek, x 0 sers (1, 1) aral üstünde noktasal yak nsakt r ama düzgün yak nsak de ldr öte yandan her 0 < a < 1 çn ser [a, a] aral üstünde düzgün yak nsakt r. (Brazdan görece z bunlar.) Weerstrass M-Test Br fonksyon sersnn düzgün yak nsak olup olmad n anlaman n en kolay yolu Weerstrass M-test ad verlen afla dak test uygulamakt r.

29 Weerstrass M-Test ve Sonuçlar Teorem Weerstrass M-Test. X herhang br küme olsun. (ƒ ), (X) de herhang br fonksyon dzs olsun. Her çn, ƒ M efltszl n sa layan ve sers düzgün yak nsakt r. Testn ne kadar uygulanablr oldu u her halnden bell, ne de olsa düzgün yak nsakl k gb zor br kavram, gerçel say serlerde normal yak nsakl a ndrgyor. Weerstrass M-Test nn Kan t : Teorem kan tlamak çn, n 0 n dzsnn süpnorm çn br Cauchy dzs oldu unu kan tlamak yeterl (Teorem 57.4). Bu dznn k termnn fark n n süpnormunu belrleyelm. n > m olsun. Hesaplayal m: En sondak say y küçülteblr myz? Evet! sers yak nsak oldu undan, M 0 sersnn yak nsak oldu u M say lar varsa o zaman 0 n m n n 0 0 m1 m1 n n m m1 0 0 M M M. M 0 n M 0 n dzs yak nsakt r, dolay s yla br Cauchy dzsdr. fmd verlmfl br > 0 çn, N y, her n > m > N çn, n m M 0 0 M

30 57. Weerstrass M-Test ve Sonuçlar 603 efltszl do ru olacak bçmde seçelm. Böylece her n, m > N çn, n m n n 0 0 m1 m1 n n m m1 0 0 M M M olur ve böylece Weerstrass M-Test nn kan t tamamlan r. Teorem uygularken seçlen M nn x ten ba ms z olmas na özen göstermel. Hemen uygulamalara geçelm. Sonuç exp, cos ve sn fonksyonlar n n serler olan x x x!, ( ) ( )!, ( ) ( 2 1 )! serler nn her s n rl altkümes üzernde düzgün yak nsakt r. Kan t: Düzgün yak nsakl [R, R] aral çn kan tlamak yeterl. Öyle yapal m. Bu aral ktan herhang br x alal m. Önce exp n dzsn s n rlayal m: oldu undan, Weerstrass M-Test nde, ƒ (x) = x /! ve M y R /! olarak almak yeterl. fmd cos x n sersne bakal m. n R 2n R exp. R 0 0 ( 2)!! Bu sefer de M y R 2 /(2)! olarak almak yeterl. sn x sers okura b rak lm flt r. 2 n x n x n R expr!!! 2 2 x n x n x ( 1) ( 1) ( 2 )! 0 ( 2 )! 0 ( 2 )! n 0 2 2

31 Weerstrass M-Test ve Sonuçlar Yukardak sonuçtan çok daha genel br sonuç geçerldr. Zaten sonucun kan t ndan da hssetmflsnzdr daha genel br teoremn do ru oldu unu: Teorem R a x, sersnn yak nsakl k yar çap ol 0 sun. S < R olsun. O zaman a x 0 sers [S, S] aral üstünde düzgün yak nsakt r. Kan t: Teorem 35.1 e göre, ser S de mutlak yak nsakt r. Dolay s yla, a S 0 sers yak nsakt r. Weerstrass M-Test n ƒ (x) = a x fonksyonlar na ve M = a S say lar na uygulayal m. Teoremden kuvvet serlernn yak nsakl n n oldukça güçlü oldu u ç k yor. Sonuç Kuvvet serler yak nsakl k yar çaplar çnde sürekldr. Kan t: Kuvvet sers a x 0 olsun. Yak nsakl k yar çap R olsun. a, a < R efltszl n sa las n. S, a < S < R efltszlklern sa layan herhang br say olsun. [S, S] kapal aral çnde, s x n n a x ( ) 0 fonksyonlar (polnomyal olduklar ndan) sürekl fonksyonlard r. Ayr ca, yukardak teoreme göre bu kapal aral k üzernde, lm n sn ( x ) u 0 a x

32 57. Weerstrass M-Test ve Sonuçlar 605 olur, yan yak nsakl k düzgündür. Demek k, sürekl fonksyonlar n düzgün lmt olan sermz [S, S] kapal aral üzernde sürekldr [Teorem 57.1]. Dolay s yla a da da sürekldr. Sonuç exp, sn, cos fonksyonlar sürekldr. Kan t: Yukardaklerden do rudan ç kar. Al flt rmalar 1. ƒ : düzgün sürekl olsun (bkz. Bölüm 42, Örnek 42.8 den hemen sonra). ƒ n (x) = ƒ(x + 1/n) olsun. (ƒ n ) n dzsnn ƒ ye düzgün yak nsad n kan tlay n. E er ƒ düzgün sürekl de lse bunun do ru olmayablece n göstern. n kan tlay n x sn 0 k 4 dzsnn üzernde düzgün yak nsad x 3. x dzs 'nn hang altkümeler üzerne düz fu serlern düzgün yak nsak olduklar n kan tlay n: n cosnx x 1 a). b). c). n1 2 n1 3 / 2 n1 2 2 n n x n 5. fu sernn düzgün yak nsak oldu u br aral k var m d r? snnx. n 1 n