uzayında vektörler olarak iç çarpımlarına eşittir. Bu iç çarpım simetrik ve hem w I T s formuna karşılık gelir. Buna p u v u v v v

Transkript

1 1. Temel Form: Brnc temel form geometrk olarak yüzeyn çnde blndğ zayına gtmeden yüzey üzernde ölçme yamamızı sağlar. (Eğrlern znlğ, teğet ektörlern açıları, bölgelern alanları gb) S üzerndek ç çarım, br düzgün S yüzeynn her T le gösterlen br ç çarım err. Eğer ektörlernn s teğet düzlem üzernde, w1, w T s se, w1, w değer w 1 le w zayında ektörler olarak ç çarımlarına eşttr. B ç çarım smetrk e hem w 1, hem de w ye göre doğrsaldır e I w = ww, = w > 0 Olarak tanımlanan. Dereceden br : noktasındak 1. temel form denr. I T s formna karşılık gelr. Bna S Not: ϕ (, ) yüzey üzernde ( t), ( t) = = eğrs erlsn dϕ dϕ dϕ = d + d d d ds = dϕ, dϕ = ϕ, ϕ d + ϕ, ϕ dd + ϕ, ϕ d = Ed + Fdd + Gd Brnc temel form katsayıları denr.,, = t t = t = t a t b Yüzey arçası erlsn. ' ' ' ( t0) = ( 0, 0) ( t0) + ( 0, 0) ( t0) ( 1) ( ( 0, 0) ) ( 0, 0) 0

2 dr. O halde ' ' ', aynı noktada sıfır değlse alırsak e dt le ç çararsak t = 0 (1) eştlğnde türe yerne dferansyel d d d d x = x d + x d elde edlr. C eğrsnn noktasındak teğetne aralel olan dx d ektörü den tbaren alındığında yüzeye teğet olr. Bnn doğrlts erlrse d d oranına bağlıdır. O halde eğr g, = 0 le g d + g d = 0 ol d d g = g olr. C eğrsnn noktasındak lneer elemanı ds = dx oldğndan ds = dx = x d + x d x d + x d = x d + x x dd + x d ol I = ds = Ed + Fdd + Gd elde edlr. Bna yüzeyn 1 temel form, metrk form, temel kadratk form denr. Not: B formda, arsayım gereğ, d e d aynı zamanda sıfır olmadıklarından e P de yüzeyn düzgün br noktası olarak alındığından, yan b noktada e nn ks brden

3 sıfır ektörüden farklı oldğndan artı şaretldr. I = ds kadratk formnn değer, gerçel elemanlar çn Not: E e G, ektörlernn, = sbt e = sbt koordnat çzglernn teğet doğrltlarını eren e znlklarının karelerne eşt oldklarından, ger.el elemanlar halnde, düzgün noktada sıfırdan farklıdırlar. O halde yüzeyn düzgün her P noktasında EG>, 0 dır. Not: Reel olmayan değerlernn ykarıdak blgler doğr değldr. Başlangıçtan geçen yanal, = + k + + k + k 1 Düzlem çn = k1+ k = k1+ k + k dr. 0, E = = 0, 0 G = = 0 ^ 0 Not: F çn yorm nedr? F =, E = İd F koordnat çzgler arasındak ϕ açısının değernde bağlıdır. F = = cosϕ = E Gcosϕ F = EG cosϕ dr. ϕ dar açı se F > 0 ϕ dk açı se F = 0 ϕ genş açı se F < 0 dr.

4 O halde I = ds = Ed + Fdd + G d Kadratk formnn determnantı H = EG F = EG EG cos ϕ = EG sn ϕ > 0 ( ϕ 0) Olarak gösterleblr. Yüzeyn düzgün e reel her noktasında EG ϕ H ^ = sn = > 0 dır. 1. Temel Kadrk Formn Bçmler 1. Yarı geodezk, geodezk e zometrk bçmler: 1) Koordnat çzglernn br dk sstem olştrmaları halnde yüzey üzernde F = 0 Ol 1. Temel form (, ) (, ) ds = Ed + gd E = E G = G Bçmndedr. F nn yüzey üzernde, hç olmazsa yerel olarak, sıfıra özdeşlğ dama sağlanablr. ) Eğer koordnat çzgler

5 E = E, F = 0 Olmasını sağlayacak bçmde seçlmşse, 1. Temel form (, ) ( 1) ds = E d + G d Bçmndedr. Bna yarı geodezk form denr. Özel olarak, d = Ed eya = E d = 0 Bağıntısıyla tanımlanan y, yan, eğrsel koordnatlarını lk olarak (1) eştlğ, yerne gene koyarsak (, ) ds = d + G d Bçmnde yazılablr. E > 0 oldğ çn yaılan düzgün arametre değşmdr. B forma geodezk form denr. ) 1. Temel form, (, ) ds = λ d + d Bçmnde de yazılablr. Bna zometrk eya zotermk form denr. 4) Bazı yüzeylerde 1. Temel Form

6 ds = E + G d + d bçmnde de yazılablr. B tür yüzeylere Lolle yüzeyler denr. 5) ds = E() d + G() d bçmnde de yazılablr. B tür yüzeylere Açılablr yüzeyler denr. Örnek P = ( x, y, z ) noktasından geçen e w ( a, a, a ), w ( b, b, b ) ektörlern çeren P düzlem denklem = = ortonormal (, ) = + + (, ) P w w 0 1 Olmak üzere = w1, = w E = 1, F = 0, G = 1 dr. Örnek x + y = 1 çember üzerndek br dk slndr x: U (, ) = ( cos,sn, ) {, 0 π, } = < < < < dr. E = + = F = G = cos sn 1, 0, 1 Not: Yüzeyler farklı olmasına rağmen sonçlar aynıdır.

7 Not: Br arametrk α : I S eğrsnn s yay znlğ t t t ' ' α α s t = t dt = I t dt = Ed + Fdd + Gd dt dr. Not: t = t0 noktasında kesşen α : I S e β : I S eğrler arasındak açı olmak üzere cos = ' α ' α ' ( t0), β ( t0) ' ( t ) β ( t ) 0 0 İle erlr özel olarak (, ) arametrelenmesnn koordnat eğrlernn arasındak ϕ açısı, F cosϕ = = EG dr. F = 0 dr. S yüzey üzerndek α ( t) = ( t), ( t) eğrsnn yay znlğ s s( t) = dersek ds d d d d = E + F + G dt dt dt dt dt dr. Not: form nargant ol EFG,, katsayıları nargant değldr. Yüzeyn düzgün br noktasında EG F > 0 dır. 1. Temel Form Kllanılarak Alan Hesabı:

8 Şekl U kümes üzernde tanımlı olan aralel kenarın alanını ölçer. Önce ^ dönüşümü, e ektörlernn belrledğ ^ dd İntegralnn arametrelernden bağımsız oldğn göstereceğz. Gerçekten : U S dönüşümü ( U) 1 = olsn. drmda 1 h olacak şeklde başka br arametreleme e = arametre değşmnn Jakobyen, (, ) (, ) olsn. B (, ) ^ dd= ^ (, ) 1 = ^ dd = A, Q = dr. ^ +, = dr. O halde ^ = EG F

9 dr. Alanın Geometrk Yorm: Br S bölgesnn alanını tanımlamak çn, sonl tane bölgesnden olşan, bölgesnn arçalanışını alacağız. = olarak yazacağız bölgesnn çaı, bölgesndek nokta arasındak zaklıkların en küçük üst sınırıdır. Verlen br arçalanışındak tüm çalarının en büyüğü, arçalanışının M norm olarak smlendrlr. bölgelernn Şmd her bölgesnn br arçalanışını alırsak, bölgesnn arçalanışını ncelttğn söyledğmz yen br arçalanışını elde ederz. bölgesnn erlen br = Parçalanışı çn, gelş güzel noktalarını seçelm e bölgesnn, normal doğrsnn yönünde noktasında k teğet düzlemne zdüşümü alalım. noktasında k B z düşümü e alanını ( ) A le gösterlr. ( ) tolamı bölgesnn sezgsel A olarak algıladığımız alanının yaklaşık br değerdr.

10 Eğer Şekl,..., 1 n arçalanışlarını gderek ncelen e n arçalanışının yakınsayacak bçmde seçerek, ( ) lmt seçmlerden bağımsızsa, bölgesnn alanı ardır. A M n norm 0 a tolamlarının br lmtn elde edyorsak e b ( ) lm ( ) A = A = ^ dd M n 0 dr. Not: 1. Temel Form blndğ zaman, b hesalamalar yüzey terk etmeden yaılablr. B yüzden b karamlara (znlk, açı, alan b.) çsel özellkler denr. Not: Düzlem e slndr farklı yüzey olmasına karşın 1. Temel formları eşttr. Bnn anlamı, znlk, alan, açı gb çsel metrk özellkler söz kons oldğnda yerel olarak b k şekl aynı bçmde daranırlar. (Slndr br doğr boynca kes açarsanız düzlem elde edersnz.) Not: Yay element ds e Alan element da, 1. Temel Form cnsnden ds = Edx + Fdxdy + Gdy Ve

11 A= ^, ^ = ^ ^ ^ = EG F dr.