K YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN Dİ

Transkript

1 TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ Oğuz Akın DÜZGÜN Doktora Tezi İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK 7

2 ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ Oğuz Akın DÜZGÜN İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ERZURUM 7 Her hakkı saklıdır

3 Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK danışmanlığında, Oğuz Akın DÜZGÜN tarafından hazırlanan bu çalışma 8/11/7 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı nda Doktora tezi olarak kabul edilmiştir. Başkan : Prof. Dr. Adem DOĞANGÜN İmza : Üye : Prof. Dr. Sadri ŞEN İmza : Üye : Doç. Dr. Suat AKBULUT İmza : Üye : Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK İmza : Üye : Yrd. Doç. Dr. Mehmet H. ÖZYAZICIOĞLU İmza : Yukarıdaki sonucu onaylarım (imza) Prof. Dr. Mehmet ERTUĞRUL Enstitü Müdürü

4 ÖZET Doktora Tezi TOPOGRAFİK YAPININ ZEMİN YAPI SİSTEMLERİNİN DİNAMİK DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİLERİ Oğuz Akın DÜZGÜN Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK Bu çalışmada, yer hareketi etkisi altındaki iki boyutlu bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin sistemin dinamik davranışı üzerindeki etkileri incelenmektedir. Yapı ve zemin olmak üzere iki ayrı kısımdan oluşan sistem sonlu ve sonsuz elemanlarla modellenerek zemin yapı etkileşimi analizi yapılmıştır. Sistemin modellenmesinde yapı ve yapının yakınındaki zemin bölgesi için sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi için sonsuz elemanlar kullanılmıştır. İncelenen sistemlerin homojen, izotrop ve elastik/viskoelastik olduğu kabul edilmiştir. Çalışmada statik, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için FORTRAN programlama dili kullanılarak bilgisayar programları hazırlanmıştır. Hazırlanan programlarda hem düzlem elastisite hem de eksenel simetri durumları göz önüne alınmaktadır. Programlar kullanılarak elde edilen sonuçların öncelikle literatürde verilen sonuçlarla uyumlu olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın ikinci aşamasında ise yer hareketi etkisi altındaki bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin yapının ve zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkilerinin incelendiği bir takım parametrik çalışmalar yapılmıştır. Zemin tabakasının farklı topografyalara sahip olması durumları için yapılan parametrik çalışmalardan elde edilen sonuçlar topografik yapıdaki değişikliklerin tüm sistemin dinamik davranışı üzerinde oldukça etkili olduğunu göstermektedir. Bunun yanı sıra zeminin jeolojik koşullarının da sistemin dinamik davranışı üzerinde etkili olduğu sonucuna varılmıştır. Çalışmadan elde edilen sonuçlar ayrıca şiddetli deprem olaylarında düzgün olmayan geometrilere sahip yamaç ve kanyon gibi topografyaların üst kısımlarında inşa edilen yapılarda alt kısımdaki yapılara göre daha fazla hasar meydana gelebileceğini ve yamaca yakın olan yapıların uzaktaki yapılara göre daha fazla hasar gördüğünü göstermektedir. 7, 37 sayfa Anahtar Kelimeler: Zemin yapı dinamik etkileşimi, Topografya, Sonlu elemanlar, Sonsuz elemanlar, Yer hareketi i

5 ABSTRACT Ph.D. Thesis EFFECTS OF TOPOGRAPHY ON THE DYNAMIC RESPONSE OF SOIL STRUCTURE SYSTEMS Oğuz Akın DÜZGÜN Atatürk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Civil Engineering Supervisor: Asst. Prof. Dr. Ahmet BUDAK In this study, the effects of the changes on surface topography for -D soil structure interaction system under strong ground motion are investigated. The system, consisting of supporting soil and structure, is modelled by coupling finite and infinite elements. Finite elements are used to model the structure and the near soil region (near field), infinite elements are used to model the far field. The system is assumed to be homogeneous, isotropic and elastic/viscoelastic. For static, harmonic and transient loading conditions, different computer programs have been coded in FORTRAN for both plane and axisymmetric elasticity. It is shown that the results, obtained from the programs are in a good agreement with those available in the literature. In the second part of the study, a parametric study is carried out to investigate the effects of surface topography, on the response of soil and structure under strong ground motion. The results obtained from the parametric studies for different topographies show that the differences on the topography and geological conditions of the soil significantly influences the whole system response. The results also show that structures located at the top of irregular topographies, such as ridges and canyons, suffer more considerable damage than those located at the base, moreover, structures standing near the edge of irregular topographies are affected more than those at some distance from the edge, in the event of a strong earthquake. 7, 37 pages Keywords: Dynamic soil structure interaction, Topography, Finite elements, Infinite elements, Ground motion ii

6 TEŞEKKÜR Bu doktora tez çalışmasının her safhasında çalışmalarıma yön veren, değerli vaktini, bilgisini, teşvik ve yardımlarını esirgemeyerek bana her türlü desteği sağlayan danışman hocam, Sayın Yrd. Doç. Dr. Ahmet BUDAK a en içten teşekkürlerimi sunarım. Tez çalışmam boyunca sık sık bir araya gelerek çalışmalarımı takip eden, bilgi ve tecrübelerini benimle paylaşan, karşılaştığım problemlere çözümler öneren tez izleme komitesi üyeleri Sayın Prof. Dr. Sadri ŞEN e ve Sayın Doç. Dr. Suat AKBULUT a da içten teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca özellikle Laplace dönüşümleri ile ilgili olmak üzere yardımlarını esirgemeyen Sayın Yrd. Doç. Dr. Mehmet H. ÖZYAZICIOĞLU na, sonsuz elemanlar ile ilgili çeşitli dokumanlar gönderen Sayın Prof. Peter BETTESS e, elektronik posta yolu ile sorduğum sorulara içtenlikle cevap veren Çukurova Üniversitesi öğretim üyelerinden Sayın Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ ye ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Beytullah TEMEL e, başta mesai arkadaşlarım olmak üzere bu çalışmada emeği geçen herkese çok teşekkür ederim. Doktora tez çalışmam süresince gösterdikleri anlayış, sabır ve desteklerinden dolayı anneme, babama, aileme ve kardeşlerime de teşekkürlerimi sunarım. Oğuz Akın DÜZGÜN Ekim 7 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT...ii TEŞEKKÜR...iii İÇİNDEKİLER...iv SİMGELER DİZİNİ...vii ŞEKİLLER DİZİNİ...x ÇİZELGELER DİZİNİ...xxi 1. GİRİŞ...1. KAYNAK ÖZETLERİ MATERYAL ve YÖNTEM Düzlem Elastisite Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı Düzlem elastisitenin temel kabulleri Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları Düzlem elastisitede denge denklemleri Sınır şartları Denge denklemlerinin integral formda ifadesi Düzlem elastisite bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması Çalışmada kullanılan sonlu eleman Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı Eleman yük vektörünün hesabı Eksenel Simetri Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları Eksenel simetri bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı Yarı sonsuz ortamda denge denklemleri ve elastik dalgalar Statik Yükleme Durumu ve Sonsuz Eleman Yaklaşımı Statik yükleme durumu için sonsuz eleman bağıntıları...48 iv

8 3.5. Harmonik Yükleme Durumu ve Sonsuz Eleman Yaklaşımı Harmonik yükleme durumu için sonsuz eleman bağıntıları Zamanla Keyfi Değişen Yükleme Durumu ve Sonsuz Eleman Yaklaşımı Zamanla keyfi değişen yükleme durumu için sonsuz eleman bağıntıları Sayısal Direkt Laplace ve Ters Laplace Dönüşüm Yöntemleri Direkt Laplace dönüşüm yöntemleri a. FFT ye (Fast Fourier Transform) dayalı direkt Laplace dönüşümü b. Analitik Laplace dönüşümü Sayısal ters Laplace dönüşüm yöntemleri a. Dubner ve Abate nin ters Laplace dönüşüm yöntemi b. Durbin in ters Laplace dönüşüm yöntemi Yer Hareketi Etkisindeki Sistemlerin Zemin Yapı Etkileşimi Analizi Denge denklemlerinin ve eleman matrislerinin elde edilmesi Eleman yük vektörünün hesabı Hazırlanan Bilgisayar Programlarının Çalışma Prensibi ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA Hazırlanan Programların Kontrolü Amacıyla Ele Alınan Problemler Çizgisel düşey yüklü elastik yarı sonsuz düzlem problemi Boussinesq problemi Yüzeyine dik dairesel yayılı yük etkiyen elastik yarı sonsuz uzay problemi Yarı sonsuz düzlem üzerine oturan tekil yüklü rijit disk problemi Harmonik şerit yük altındaki viskoelastik yarı sonsuz zemin problemi Yarı sonsuz düzlem içerisinde gömülü harmonik tekil yük problemi Yarı sonsuz ortam üzerine oturan harmonik tekil yüklü rijit disk problemi Yarı sonsuz ortam üzerindeki harmonik çizgisel yüklü rijit disk problemi Yarı sonsuz zemin üzerine oturan şerit yüklü elastik temel problemi Ortasında kare delik bulunan sonsuz levha problemi Yüzeydeki açık ve doldurulmuş çukurlarla titreşim izolasyonu problemi Yarı sonsuz zemin içerisindeki tünel problemi Elastik yarı sonsuz zemin ve elastik zemin tabakası problemi Yer Hareketi Etkisindeki Zemin Yapı Sistemi v

9 4.3. Topografik Yapıdaki Değişiklikler ile İlgili Parametrik Çalışmalar Sisteme etki eden deprem ivmesi Göz önüne alınan zemin yapı sistemleri Sonuçların yer değiştirmeler açısından değerlendirilmesi Sonuçların gerilmeler açısından değerlendirilmesi Sonuçların hızlar açısından değerlendirilmesi Sonuçların ivmeler açısından değerlendirilmesi SONUÇ ve ÖNERİLER...5 KAYNAKLAR...9 EKLER...36 EK ÖZGEÇMİŞ...38 vi

10 SİMGELER DİZİNİ A e Elemanın alanı a gx, a gy Yer hareketi ivmesinin yatay ve düşey bileşenleri a Boyutsuz frekans [B] Şekil değiştirme matrisi [B i ] i. düğüme ait şekil değiştirme matrisi c P, c S, c R Elastik dalga hızları * * * c P,c S,c R [D] E F k f(t) F(s) f x, f y {f} G G * h e Im Viskoelastik dalga hızları Malzeme matrisi Elastisite modülü Fejer faktörü Zamana bağlı bir fonksiyon Zaman bağlı f(t) fonksiyonunun Laplace dönüşümü Hacim kuvvetleri Hacim kuvvetlerinden oluşan eleman yük vektörü Kayma modülü Viskoelastik durumda kayma modülü Elemanın kalınlığı Kompleks bir sayının sanal kısmı i Kompleks bir sayı ( i = 1) [J] J Jacobian dönüşüm matrisi Jacobian dönüşüm matrisinin determinantı [k] Düzlem elastisitede eleman direngenlik matrisi [k e ] Eksenel simetrik durumda eleman direngenlik matrisi [K] Sistem direngenlik matrisi [L] Diferansiyel operatör matrisi L Sonsuz elemanın karakteristik uzunluğu L k Lanczos faktörü [m] Düzlem elastisitede eleman kütle matrisi vii

11 [m e ] Eksenel simetrik durumda eleman kütle matrisi [M] Sistem kütle matrisi M i Sonsuz elemanların geometrik şekil fonksiyonları N Laplace parametrelerinin sayısı N i İnterpolasyon şekil fonksiyonları [N] İnterpolasyon şekil fonksiyonları matrisi n x, n y Doğrultman kosinüsleri P(ξ) Statik sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu P(ξ,s) Transient sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu P(ξ,ω) Harmonik sonsuz elemanlar için deplasman yayılma fonksiyonu {q} Yer hareketinden dolayı oluşan eleman yük vektörü Re Kompleks bir sayının reel kısmı r, z Kutupsal koordinatlar s Laplace dönüşüm parametresi T Çözüm süresi t x, t y Yüzey gerilmeleri {t} Yüzey gerilmelerinden oluşan eleman yük vektörü u, v Yer değiştirme bileşenleri u,v u,v Yer değiştirme bileşenlerinin Laplace uzayındaki ifadesi Yatay ve düşey ivme bileşenleri u r, v r Rölatif yer değiştirme bileşenleri u g, v g Yer ivmesinden dolayı oluşan yer değiştirme bileşenleri {u} Eleman yer değiştirme vektörü {u d } Eleman düğüm yer değiştirme vektörü {U d } Sistem düğüm yer değiştirme vektörü {U rd } Rölatif sistem düğüm yer değiştirme vektörü W m, W n Sayısal integrasyon ağırlık değerleri x, y Kartezyen koordinatlar α Deplasman genlik azaltma parametresi β Dalga sayısı Δt Zaman artımı viii

12 γ xy, γ yx Düzlem elastisite durumunda açısal şekil değiştirmeler γ rz, γ zr Eksenel simetri durumunda açısal şekil değiştirmeler ε x, ε y Düzlem elastisite durumunda birim şekil değiştirmeler ε r, ε z, ε θ Eksenel simetri durumunda birim şekil değiştirmeler {ε} Birim şekil değiştirme vektörü ε Hacimsel birim şekil değiştirme ξ, η Referans eleman koordinatları ζ Sönüm oranı λ Lamé sabiti υ Poisson oranı ρ Kütlesel yoğunluk σ x, σ y Normal gerilmeler {σ} Gerilme vektörü τ xy, τ yx Kayma gerilmeleri ω Açısal frekans ix

13 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 1.1. Yarı sonsuz zemin içerisinden ayrılan sonlu zemin parçası...3 Şekil 3.1. Zemin yapı etkileşim modeli...19 Şekil 3.. Elastisitede (a) düzlem gerilme, (b) düzlem şekil değiştirme durumu... Şekil 3.3. Elemanter bir cismin serbest cisim diyagramı...4 Şekil 3.4. Sınır Şartları...6 Şekil 3.5. Seçilen sonlu eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman...3 Şekil 3.6. Elemanın kenarına etki eden teğetsel ve normal yükler...37 Şekil 3.7. Eksenel simetri durumu...38 Şekil 3.8. Eksenel simetri durumunda seçilen sonlu eleman...4 Şekil 3.9. Elemanter bir eleman üzerinde etkiyen gerilmeler...43 Şekil 3.1. Zeminlerde oluşan basınç (P), kayma (S) ve Rayleigh (R) dalgaları...47 Şekil Beş düğümlü sonsuz eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman...49 Şekil 3.1. Yedi düğümlü sonsuz eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman...55 Şekil f(t) yük fonksiyonunun zamanla değişimi...67 Şekil El-Centro (194) depremine ait ivmenin Kuzey-Güney bileşeni...68 Şekil Düzlemsel bir sonlu elemanın serbest cisim diyagramı...73 Şekil Ana programların genel akış şeması...78 Şekil 4.1. Yarı sonsuz düzlem şekil değiştirme problemi...8 Şekil 4.. Problemin sonlu-sonsuz eleman ağı...8 Şekil 4.3. Düşey yer değiştirmelerin yatay mesafe ile değişimi...8 Şekil 4.4. Düşey yer değiştirmelerin derinlik ile değişimi...8 Şekil 4.5. Düşey gerilmelerin derinlik ile değişimi...8 Şekil 4.6. Boussinesq problemi...84 Şekil 4.7. Düşey yer değiştirmelerin yatay mesafe ile değişimi...86 Şekil 4.8. Düşey yer değiştirmelerin derinlik ile değişimi...86 Şekil 4.9. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmeler...86 Şekil 4.1. Üniform yayılı yüklü yarı sonsuz uzay problemi...87 Şekil Düşey yer değiştirmelerin yatay mesafe ile değişimi...9 Şekil 4.1. Simetri ekseni üzerindeki yatay gerilmelerin derinlik ile değişimi...9 x

14 Şekil Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmelerin derinlik ile değişimi...9 Şekil Yarı sonsuz düzlem üzerine oturan tekil yüklü rijit disk...91 Şekil Harmonik şerit yüklü viskoelastik zeminin sonlu-sonsuz eleman ağı...93 Şekil Harmonik tekil yük etkisindeki yarı sonsuz düzlem...96 Şekil Düşey kompleyansın reel kısmı...97 Şekil Düşey kompleyansın sanal kısmı...97 Şekil Boyutsuz düşey kompleyansın boyutsuz frekansla değişimi...97 Şekil 4.. Yarı sonsuz ortam üzerine oturan harmonik tekil yüklü rijit disk...98 Şekil 4.1. Rijit diskin altındaki düşey kompleyans değerlerinin frekansla değişimi...99 Şekil 4.. Yarı sonsuz ortam üzerinde oturan harmonik yüklü rijit temel...1 Şekil 4.3. Düşey kompleyansın frekans ile değişimi...11 Şekil 4.4. Yatay kompleyansın frekans ile değişimi...11 Şekil 4.5. Elastik yarı sonsuz zemin üzerine oturan şerit yüklü elastik temel...1 Şekil 4.6. Yarı sonsuz ortamın ve temelin sonlu sonsuz eleman ağı...13 Şekil 4.7. Farklı rijitlik durumlarında B noktasındaki düşey yer değiştirmeler...14 Şekil 4.8. E Z /E T =1/4 ve rijit temel durumunda düşey yer değiştirmeler...14 Şekil 4.9. E Z /E T =1/1 ve rijit temel durumunda düşey yer değiştirmeler...14 Şekil 4.3. E Z /E T =1/1 ve rijit temel durumunda düşey yer değiştirmeler...15 Şekil Kütlesiz ve kütleli temel durumlarında düşey yer değiştirme (A noktası).15 Şekil 4.3. Kütleli temel (M T =1,5) durumunda düşey yer değiştirmeler...15 Şekil Ortasında kare delik bulunan sonsuz levha...16 Şekil Sonsuz levhanın sonlu-sonsuz eleman ağı...17 Şekil A noktasındaki yatay yer değiştirmelerin zamanla değişimi...17 Şekil Yarı sonsuz zeminde çukur problemi ve yükleme durumu...18 Şekil A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...19 Şekil A noktasındaki yatay yer değiştirmenin zamanla değişimi...19 Şekil A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi (H/B=3)...11 Şekil 4.4. A noktasındaki yatay yer değiştirmenin zamanla değişimi (H/B=3)...11 Şekil Yarı sonsuz zeminde tünel problemi ve yükleme durumu Şekil 4.4. A noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...11 Şekil B noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...11 xi

15 Şekil C noktasındaki düşey yer değiştirmenin zamanla değişimi...11 Şekil (a) Elastik yarı sonsuz zemin (b) Elastik zemin tabakası Şekil Ricker Wavelet yüklemesi Şekil Düşey yükten dolayı düşey yer değiştirme Şekil Düşey yükten dolayı yatay yer değiştirme Şekil Yatay yükten dolayı yatay yer değiştirme Şekil 4.5. Elastik zemin tabakası üzerine oturan yapı Şekil Yatay yer ivmesinin zamanla değişimi Şekil 4.5. A noktasındaki yatay yer değiştirmelerin zamanla değişimi Şekil B noktasındaki yatay gerilmelerin zamanla değişimi Şekil tarihli Bingöl depremi ivmesinin Kuzey Güney bileşeni Şekil Yüzeyi düz bir zemin yapı sistemi...1 Şekil Yüzeyde dik bir şev bulunması durumu (L)...11 Şekil Yüzeyde h/l= eğiminde bir şev bulunması durumu (L1)...11 Şekil Yüzeyde h/l=1 eğiminde bir şev bulunması durumu (L)...11 Şekil Yüzeyde h/l=,5 eğiminde bir şev bulunması durumu (L4)...1 Şekil 4.6. Yüzeyde dikdörtgen bir çukur bulunması durumu (V)...1 Şekil Yüzeyde trapez bir çukur bulunması durumu (V1)...1 Şekil 4.6. Yüzeyde üçgen bir çukur bulunması durumu (V)...13 Şekil Yüzeyde dikdörtgen bir tepe bulunması durumu (Λ)...13 Şekil Yüzeyde trapez bir tepe bulunması durumu (Λ1)...13 Şekil Yüzeyde üçgen bir tepe bulunması durumu (Λ)...14 Şekil Elastik ve şevsiz durum için A noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil Viskoelastik ve şevsiz durum için A noktasının yatay yer değiştirmesi...15 Şekil Elastik ve şevsiz durum için B noktasının yatay yer değiştirmesi...15 Şekil Viskoelastik ve şevsiz durum için B noktasının yatay yer değiştirmesi...15 Şekil 4.7. Elastik ve şevsiz durum için C noktasının yatay yer değiştirmesi...16 Şekil Viskoeelastik ve şevsiz durum için C noktasının yatay yer değiştirmesi...16 Şekil 4.7. Farklı zeminler için A noktasının yer değiştirmesi (Elastik, Şevsiz)...16 Şekil Farklı zeminler için A noktasının yer değiştirmesi (Viskoelastik, Şevsiz).17 Şekil Farklı zeminler için B noktasının yer değiştirmesi (Elastik, Şevsiz)...17 xii

16 Şekil Farklı zeminler için B noktasının yer değiştirmesi (Viskoelastik, Şevsiz).17 Şekil Farklı zeminler için C noktasının yer değiştirmesi (Elastik, Şevsiz)...18 Şekil Farklı zeminler için C noktasının yer değiştirmesi (Viskoelastik, Şevsiz).18 Şekil Elastik ve sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L)...13 Şekil Elastik ve orta sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L)...13 Şekil 4.8. Elastik ve gevşek zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil 4.8. Viskoelastik ve orta sıkı zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve gevşek zemin için A noktasının yer değiştirmesi (L)...13 Şekil Elastik ve sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L)...13 Şekil Elastik ve orta sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L)...13 Şekil Elastik ve gevşek zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve orta sıkı zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve gevşek zemin için B noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil 4.9. Elastik ve sıkı zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L) Şekil Elastik ve orta sıkı zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L) Şekil 4.9. Elastik ve gevşek zemin için C noktasının yatay yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve sıkı zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve orta sıkı zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve gevşek zemin için C noktasının yer değiştirmesi (L) Şekil Viskoelastik ve sıkı zemin için D noktasının yatay yer değiştirmesi (L).136 Şekil L1 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil L1 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil L1 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil 4.1. L1 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil L durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil 4.1. L durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil L durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil L durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil L4 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi xiii

17 Şekil L4 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil L4 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil L4 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi...14 Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (A noktası), (Yapı Üstte) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (B noktası), (Yapı Üstte) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (C noktası), (Yapı Üstte) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (D noktası), (Yapı Üstte) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (A noktası), (Yapı Altta) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (B noktası), (Yapı Altta) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (C noktası), (Yapı Altta) Şekil Eğimin yer değiştirmeler üzerindeki etkisi (D noktası), (Yapı Altta) Şekil A noktasındaki yer değiştirmeler (y=1 m) Şekil B noktasındaki yer değiştirmeler (y=1 m) Şekil V durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil 4.1. V durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil 4.1. V durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V1 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi...15 Şekil V1 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V1 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V1 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil V durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ1 durumu için A noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ1 durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi xiv

18 Şekil Λ1 durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ1 durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için B noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için C noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Λ durumu için D noktasının yatay yer değiştirmesi Şekil Eğimin A noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...16 Şekil Eğimin B noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...16 Şekil Eğimin C noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...16 Şekil Eğimin D noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi Şekil Eğimin A noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi Şekil Eğimin B noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi Şekil Eğimin C noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...16 Şekil Eğimin D noktasındaki yer değiştirme üzerindeki etkisi...16 Şekil Şevsiz durum için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil L durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil L1 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil L durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil L4 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil V durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil V1 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil V durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil Λ durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil Λ1 durumu için yapının yer değiştirmeler üzerindeki etkisi Şekil L ve V için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Üstte) Şekil L ve V için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Altta) Şekil L1 ve V1 için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Üstte) Şekil L1 ve V1 için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Altta) Şekil L ve V için yer değiştirmelerin karşılaştırılması (Yapı Üstte) Şekil Şevsiz durum için A noktasının yatay gerilmesi Şekil Şevsiz durum için B noktasının yatay gerilmesi Şekil L durumu için A noktasının yatay gerilmesi xv

19 Şekil L durumu için B noktasının yatay gerilmesi...17 Şekil L1 durumu için A noktasının yatay gerilmesi...17 Şekil L1 durumu için B noktasının yatay gerilmesi Şekil L durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil L durumu için B noktasının yatay gerilmesi Şekil L4 durumu için A noktasının yatay gerilmesi...17 Şekil L4 durumu için B noktasının yatay gerilmesi...17 Şekil Eğimin A noktasının yatay gerilmesi üzerindeki etkisi Şekil Eğimin B noktasının yatay gerilmesi üzerindeki etkisi Şekil V durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil V1 durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil V durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil Λ durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil Λ1 durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil Λ durumu için A noktasının yatay gerilmesi Şekil V, V1 ve V durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte)..177 Şekil V, V1 ve V durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)..177 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)..177 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumları için eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte).178 Şekil V, V1 ve V durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte)..178 Şekil V, V1 ve V durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta)..178 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta).179 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumları için eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte).179 Şekil Şevsiz durum için A noktasının yatay hızı...18 Şekil Şevsiz durum için B noktasının yatay hızı...18 Şekil Şevsiz durum için C noktasının yatay hızı...18 Şekil L durumu için A noktasının yatay hızı...18 Şekil L durumu için B noktasının yatay hızı...18 Şekil L durumu için C noktasının yatay hızı...18 Şekil L durumu için D noktasının yatay hızı Şekil L1 durumu için A noktasının yatay hızı xvi

20 Şekil 4.. L1 durumu için B noktasının yatay hızı Şekil 4.1. L1 durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.. L1 durumu için D noktasının yatay hızı Şekil 4.3. L durumu için A noktasının yatay hızı Şekil 4.4. L durumu için B noktasının yatay hızı Şekil 4.5. L durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.6. L durumu için D noktasının yatay hızı Şekil 4.7. L4 durumu için A noktasının yatay hızı Şekil 4.8. L4 durumu için B noktasının yatay hızı Şekil 4.9. L4 durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.1. L4 durumu için D noktasının yatay hızı Şekil Eğimin A noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) Şekil 4.1. Eğimin B noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) Şekil Eğimin C noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) Şekil Eğimin D noktasının yatay hızı üzerindeki etkisi (Yapı Üstte) Şekil V durumu için A noktasının yatay hızı Şekil V durumu için B noktasının yatay hızı Şekil V durumu için C noktasının yatay hızı Şekil V durumu için D noktasının yatay hızı...19 Şekil V1 durumu için A noktasının yatay hızı...19 Şekil 4.. V1 durumu için B noktasının yatay hızı...19 Şekil 4.1. V1 durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.. V1 durumu için D noktasının yatay hızı Şekil 4.3. V durumu için A noktasının yatay hızı Şekil 4.4. V durumu için B noktasının yatay hızı Şekil 4.5. V durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.6. V durumu için D noktasının yatay hızı Şekil 4.7. Λ durumu için A noktasının yatay hızı Şekil 4.8. Λ durumu için B noktasının yatay hızı Şekil 4.9. Λ durumu için C noktasının yatay hızı Şekil 4.3. Λ durumu için D noktasının yatay hızı xvii

21 Şekil Λ1 durumu için A noktasının yatay hızı Şekil 4.3. Λ1 durumu için B noktasının yatay hızı Şekil Λ1 durumu için C noktasının yatay hızı Şekil Λ1 durumu için D noktasının yatay hızı Şekil Λ durumu için A noktasının yatay hızı Şekil Λ durumu için B noktasının yatay hızı Şekil Λ durumu için C noktasının yatay hızı Şekil Λ durumu için D noktasının yatay hızı Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte) Şekil 4.4. V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte)... Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Üstte)... Şekil 4.4. V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Üstte)... Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)...1 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta)...1 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Altta)...1 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Altta)... Şekil Şevsiz durum için A noktasının yatay ivmesi... Şekil Şevsiz durum için B noktasının yatay ivmesi...3 Şekil Şevsiz durum için C noktasının yatay ivmesi...3 Şekil 4.5. L durumu için A noktasının yatay ivmesi...4 Şekil L durumu için B noktasının yatay ivmesi...5 Şekil 4.5. L durumu için C noktasının yatay ivmesi...5 Şekil L durumu için D noktasının yatay ivmesi...5 Şekil L1 durumu için A noktasının yatay ivmesi...6 Şekil L1 durumu için B noktasının yatay ivmesi...6 Şekil L1 durumu için C noktasının yatay ivmesi...6 Şekil L1 durumu için D noktasının yatay ivmesi...7 Şekil L durumu için A noktasının yatay ivmesi...7 Şekil L durumu için B noktasının yatay ivmesi...7 Şekil 4.6. L durumu için C noktasının yatay ivmesi...8 Şekil L durumu için D noktasının yatay ivmesi...8 xviii

22 Şekil 4.6. L4 durumu için A noktasının yatay ivmesi...8 Şekil L4 durumu için B noktasının yatay ivmesi...9 Şekil L4 durumu için C noktasının yatay ivmesi...9 Şekil L4 durumu için D noktasının yatay ivmesi...9 Şekil Eğimin A noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte)...1 Şekil Eğimin B noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte)...1 Şekil Eğimin C noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte)...11 Şekil Eğimin D noktasının ivmesi üzerindeki etkisi (Yapı Üstte)...11 Şekil 4.7. V durumu için A noktasının yatay ivmesi...1 Şekil V durumu için B noktasının yatay ivmesi...1 Şekil 4.7. V durumu için C noktasının yatay ivmesi...13 Şekil V durumu için D noktasının yatay ivmesi...13 Şekil V1 durumu için A noktasının yatay ivmesi...13 Şekil V1 durumu için B noktasının yatay ivmesi...14 Şekil V1 durumu için C noktasının yatay ivmesi...14 Şekil V1 durumu için D noktasının yatay ivmesi...14 Şekil V durumu için A noktasının yatay ivmesi...15 Şekil V durumu için B noktasının yatay ivmesi...15 Şekil 4.8. V durumu için C noktasının yatay ivmesi...15 Şekil V durumu için D noktasının yatay ivmesi...16 Şekil 4.8. Λ durumu için A noktasının yatay ivmesi...17 Şekil Λ durumu için B noktasının yatay ivmesi...17 Şekil Λ durumu için C noktasının yatay ivmesi...17 Şekil Λ durumu için D noktasının yatay ivmesi...18 Şekil Λ1 durumu için A noktasının yatay ivmesi...18 Şekil Λ1 durumu için B noktasının yatay ivmesi...18 Şekil Λ1 durumu için C noktasının yatay ivmesi...19 Şekil Λ1 durumu için D noktasının yatay ivmesi...19 Şekil 4.9. Λ durumu için A noktasının yatay ivmesi...19 Şekil Λ durumu için B noktasının yatay ivmesi... Şekil 4.9. Λ durumu için C noktasının yatay ivmesi... xix

23 Şekil Λ durumu için D noktasının yatay ivmesi... Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Üstte)...1 Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Üstte)... Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Üstte)... Şekil V, V1 ve V durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Üstte)... Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (A noktası), (Yapı Altta)...3 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (B noktası), (Yapı Altta)...3 Şekil 4.3. Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (C noktası), (Yapı Altta)...3 Şekil Λ, Λ1 ve Λ durumlarında eğimin etkisi (D noktası), (Yapı Altta)...4 xx

24 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1. Bazı fonksiyonların kapalı Laplace dönüşümleri...65 Çizelge 3.. El-Centro (194) depremi ivmesinin K-G bileşeninin Laplace dönüşümü 69 Çizelge 4.1. Düşey yer değiştirmelerin karşılaştırılması...83 Çizelge 4.. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmelerin karşılaştırılması...83 Çizelge 4.3. Düşey yer değiştirmelerin mesafe ile değişimi...85 Çizelge 4.4. Simetri ekseni üzerindeki düşey gerilmelerin karşılaştırılması...87 Çizelge 4.5. Yüzeydeki düşey yer değiştirmelerin mesafe ile değişimi...89 Çizelge 4.6. Simetri ekseni üzerindeki gerilmelerin mesafe ile değişimi...89 Çizelge 4.7. Rijit diskin altındaki düşey yer değiştirme...9 Çizelge 4.8. a =,5 boyutsuz frekansı için yatay ve düşey kompleyans değerleri...94 Çizelge 4.9. a = 1, boyutsuz frekansı için yatay ve düşey kompleyans değerleri...95 Çizelge 4.1. Yapı ve zemine ait malzeme sabitleri...1 xxi

25 1 1. GİRİŞ Zemin yapı dinamik etkileşimi problemleri Deprem Mühendisliği nin önemli bir konusunu oluşturmaktadır. Yapı sistemlerinin analizi için kullanılan klasik yöntemlerde, yapının oturduğu zeminin genellikle şekil değiştirmeyen, rijit bir ortam olduğu kabul edilmekte, dolayısıyla yapı temelinden zemine ankastre bağlı bir sistem, sisteme etki eden yer hareketi de yapının varlığından etkilenmeyen yatay, rijit bir öteleme olarak göz önüne alınmaktadır. Ancak bu yaklaşım, zemin yapı etkileşiminin ihmal edilebilir seviyede olduğu durumlar için geçerlidir. Oysa makine temelleri, hareketli trafik yükleri gibi yeryüzündeki aktiviteler, benzer şekilde yeraltındaki patlamalar ve depremler, zemin içerisinde yayılan çeşitli tipte dalgalar oluşturmaktadır. Dolayısıyla yeryüzünde oluşan titreşimlerden dolayı yeraltında bulunan yapıların, yerin altındaki titreşimlerden dolayı da yeryüzünde bulunan yapıların ne ölçüde etkilendiğinin hesaplanması gereklidir. Özellikle nükleer güç santralleri, barajlar, yüksek binalar, köprüler, viyadükler gibi depreme karşı davranışlarının önemli olduğu bilinen yapı sistemlerinin analizinde, zeminin şekil değiştiren ve yapının davranışına etki eden dinamik bir sistem olarak ele alınması gerekmektedir. Dolayısıyla yarı sonsuz ortamın içinden ve/veya dışından etki eden dinamik yüklere ve sismik dalgalara karşı, yapıların emniyetli bir şekilde tasarlanarak inşa edilmeleri gerekmektedir. Birçok depremde yapılan gözlemler, yapı temeli üzerinde ve zemin yüzeyinde fakat temelden fazla uzakta olmayan bir noktada aynı anda alınan kayıtlar arasında önemli değişiklikler bulunduğunu göstermiştir. Bu değişiklikler, depremin yapıya etkisinin karşılığı olarak yapının da zemini ve dolayısıyla deprem hareketini etkilediğini göstermektedir (Kutaniş 1). Zemin yapı etkileşimi olarak isimlendirilen bu iki yönlü oluşum, özellikle nükleer santraller gibi özel yapıların yapılmaya başlanması ile birlikte önem kazanmış ve üzerinde en çok çalışılan konulardan biri olmuştur. Zemin yapı sistemleri, esas olarak sonlu bir boyuta sahip yapı ve yarı sonsuz zemin olmak üzere iki önemli bileşenden oluşmaktadır. Dolayısıyla zemin ve yapı olmak üzere iki ayrı sistemin birleşmesinden oluşan zemin yapı etkileşimi problemleri, bir birleşik sistem problemidir (Bettess and Zienkiewicz 1977).

26 Zemin yapı etkileşimi problemleri, yarı sonsuz zemin ortamında enerjinin yayılması, zeminin sönümlü olması, yapının zeminin davranışını, zeminin de yapının davranışını etkilemesi, deprem yükleri altında zeminin sıvılaşma ihtimali gibi nedenlerden dolayı klasik yapı dinamiği problemlerinden ayrılır. Ayrıca zemindeki süreksizlikler, zeminin yarı sonsuz bir ortam olması, zemindeki tabakalaşma ve bu tabakaların değişkenliği, zeminde suyun bulunması, zeminin çekme gerilmesi almayan bir malzeme olması gibi olgular da zemin yapı etkileşimi problemlerini klasik analiz problemlerinden ayıran özelliklerdir. Sayılan bu zorluklar nedeniyle, zemin yapı etkileşimi problemlerinde tüm sistem, uygun bir matematiksel model ile idealize edilerek gerçeğe yakın sonuçlar elde edilmeye çalışılır (Pala vd 3). Zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümünde, sonlu elemanlar yöntemi oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntem ile homojen ve/veya homojen olmayan ortamlar için lineer ve lineer olmayan problemler rahatlıkla ele alınabilmektedir. Özellikle statik yükleme durumunda, sadece sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak, bölgenin yeterli uzaklıktaki sınırlarla ayrılması oldukça iyi sonuçlar vermektedir. Ancak dinamik yükleme durumunda, zeminin sonsuza uzanmasından dolayı, analiz sırasında zeminin ne kadarının alınacağı ve alınan bu zemin parçasının sınırları oldukça önemli bir problemdir. Çünkü zemin içerisinde yayılan dalgalar sonsuza gitmektedir. Sonsuza uzanan zemin ortamının belirli bir kısmını göz önüne almakla, zemin için yapay bir sınır belirlenmiş olmaktadır. Yani sonsuza uzanan zemin, sonlu bir zemin bölgesi ile modellenmektedir (Şekil 1.1). Bu da zemin içerisinde yayılan dalgaların sonlu bölgenin sınırlarına çarparak sonlu bölgede kalmasına ve sürekli olarak bu bölgede hareket etmelerine neden olmaktadır. Doğal olarak bu davranış, gerçek dalga hareketini idealize edemediği için, gerçekçi olmayan sonuçların elde edilmesine neden olmaktadır. Çünkü gerçekte dalgalar yayılarak uzaklaşmakta ve sonsuza gitmektedirler. Dolayısıyla seçilen sonlu bölgenin sınırlarında, dalgaların yayılma şartlarını sağlayacak bir model kullanılmalıdır. Zemin içinde hareket eden dalgaların sonlu elemanlarla modellenmiş bölgenin yapay sınırından geçmesi için, dalgaların sınırdan geçme şartının matematiksel modelde sağlanmış olması gerekmektedir. Dolayısıyla, zemin yapı etkileşimi

27 3 problemlerinde, yapay sınırdan enerji geçişi matematiksel olarak gerçekçi bir şekilde ifade edilmelidir (Kaçın ). Yapı Dalga Zemin Kesim Yüzeyleri Şekil 1.1. Yarı sonsuz zemin içerisinden ayrılan sonlu zemin parçası (Pala vd 3) Zemin yapı etkileşimi problemlerinde yapay sınırdan enerji geçişini sağlayan ve uygulanan yöntemlerden bir tanesi, zemindeki sonlu bölgenin sınırlarına geçirgen yapay sınırlar kullanılmasıdır. Bu yapay sınırlar dalga geçirimliliği bakımından mükemmel olmamakla beraber belirli durumlarda yeterli bir çözüm sağlayabilmektedir. Geçirgen yapay sınırların kullanıldığı durumlarda, dalgaların sınıra çarpma açısını küçültmek için yapay sınırların yapıdan oldukça uzak bir bölgede tanımlanmasıyla bulunan sonuçların doğru sonuca gittikçe yaklaştığı görülmektedir. Fakat bu durumda özellikle büyük ölçekli problemlerde eleman sayısı artmakta ve bu durum bilinmeyen sayısını arttırarak çözümü güçleştirmekte ve çözüm süresini arttırmaktadır (Yerli 1998; Kaçın ). Literatürde en çok kullanılan geçirgen yapay sınır şartı Viskoz Sınır Şartı (Lysmer and Kuhlemeyer 1969) olarak bilinen sınır şartıdır. Viskoz sınır şartı belirli bir mesafede kesilen zeminin sınır yüzeylerine uygulanmaktadır. Ancak viskoz sınırlar ancak belirli doğrultudaki dalgaları yutabildiği ve sınır boyunca yer değiştirmelerin karşılıklı etkisini göz önüne alamadığı için yetersiz kalmıştır (Kutaniş 1).

28 4 Uygulanan bir diğer yöntem ise altyapılara ayırma (Substructure Method) yöntemidir. Aydınoğlu (1981) de bu yöntemde sistemin üstyapı, etkileşim arakesiti ve zemin ortamı olmak üzere üç alt sisteme ayrıldığı ve ayrı bir alt sistem olarak göz önüne alınan zeminin dinamik rijitlik matrisi ve yük vektörü, yapı zemin arakesitindeki serbestlik dereceleri cinsinden elde edilerek, yapının dinamik dengesinde göz önüne alınması esasına dayandığı belirtilmektedir. (Kutaniş 1). Bir diğer yöntem ise, yapı ve yakınındaki zemin bölgesi için Sonlu Elemanlar Yöntemi, uzaktaki zemin bölgesi için ise yarı analitik bir yöntem olan Sınır Elemanlar Yöntemi nin birlikte kullanılmasıdır. Sınır Elemanlar Yöntemi, dalga yayılma şartını sağlamak için sonsuza uzanan bölge üzerinde temel çözümü analitik olarak yapan bir yöntemdir. Bu yöntemle çözüm yapıldığında problemin boyutu daha küçük olmakta ve bilinmeyen sayısı azalmaktadır. Bu da özellikle üç boyutlu sistemlerde önemli bir avantaj sağlamaktadır. Bu yöntem ile sistemin analizi hem zaman, hem de frekans tanım alanlarında yapılabilmektedir. Ayrıca, Sınır Elemanlar Yöntemi nde elde edilen katsayı matrisleri simetrik olmadığından sayısal çözümü daha güç olmaktadır. Fakat Sonlu elemanlar ve Sınır elemanlar yöntemlerinin birbirlerine göre bazı avantajlarının bulunması, yapılan çalışmalarda, bu iki çözüm yönteminin üstün özellikleri birlikte kullanılarak, zemin yapı etkileşimi problemleri etkin bir şekilde ele alınabilmiştir. Zemin yapı etkileşimi problemlerinde kullanılan etkili bir yöntem ise, sonlu elemanlar ile sonsuz elemanların birlikte kullanılmasıdır. İlk olarak Bettess (1977) tarafından statik ve harmonik yük etkisi altındaki problemlerin çözümü için geliştirilen bu modelde, kullanılan sonsuz elemanlar ortamda yayılan ve sonsuza doğru ilerleyen dalga özelliklerini idealize edecek şekilde seçilmektedir. Ayrıca sonsuz elemanlar için şekil fonksiyonları kullanılarak direngenlik ve kütle matrisleri elde edilmekte ve sonlu elemanlar ile birlikte kolaylıkla uygulanabilmektedir. Burada Sonlu Elemanlar Yönteminin özelliği sayesinde, yarı sonsuz zemin ile sonlu boyuttaki üstyapı birlikte düşünülerek, zemin yapı sistemlerinin analizi direkt olarak gerçekleştirilmektedir. Bu yöntem uygulandığında, sistemi idare eden denklemin oluşturulmasında, standart sonlu eleman formülasyonu kullanılmakta ve sistem matrislerinin simetri ve bant tipi

29 5 özellikleri korunmaktadır. Böylelikle bellek problemleri azalmakta ve çözüm kolaylaşmaktadır. İki ve üç boyutlu zemin yapı etkileşimi problemleri zaman uzayında ele alınabildikleri gibi, genellikle dönüşüm teknikleri (Fourier veya Laplace) kullanılarak dönüşmüş uzayda incelenmektedir. Ancak ele alınan sistemler incelenirken, genellikle harmonik yükleme durumu ele alınarak, impedans ve kompleyans analizleri yapılmaktadır. Bunun yanı sıra zamanla keyfi değişen yükleme durumunda ve deprem etkisi altında zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümleri de yapılmaktadır (Yerli 1998). Bu çalışmada, deprem yükleri etkisindeki iki boyutlu bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin sistemin davranışı üzerindeki etkilerinin araştırılması amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda sistem sonlu ve sonsuz elemanlar birlikte kullanılarak modellenmiş ve zemin yapı etkileşimi analizi gerçekleştirilmiştir. Sistemin modellenmesinde yapı ve yapının etrafındaki zemin bölgesi için sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi için sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Çalışmada sonlu eleman olarak sekiz düğümlü izoparametrik, kuadratik sonlu eleman tipi, sonsuz eleman olarak da farklı dalga özelliklerini taşıyan azalan fonksiyonlu sonsuz eleman tipi kullanılmıştır. Yapı ve zemin malzemesinin ise homojen, izotrop ve lineer elastik/viskoelastik olduğu kabul edilmiştir. Kullanılan sonsuz elemanlar, sonlu elemanlar ile birlikte uygulanabilmekte ve homojen, elastik ve/veya viskoelastik ortamlar kolaylıkla ele alınabilmektedir. Ayrıca sonsuz elemanlara ait sistem matrisleri bant ve simetri özelliklerini koruduklarından hız ve bellek problemleri oldukça azalmaktadır. Çalışmada öncelikle statik, dinamik yükleme etkisi altındaki zemin yapı sistemlerinin modellenmesi ve analizi için FORTRAN programlama dili kullanılarak hem düzlem gerilme/şekil değiştirme hem de eksenel dönel simetri durumları göz önünde bulundurularak ayrı ayrı bilgisayar programları hazırlanmıştır. Statik yükleme durumunda, sonlu ve sonsuz elemanlar için sadece direngenlik matrisleri ve yük vektörleri elde edilmektedir. Harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumu olmak üzere iki kısımda incelenen dinamik yükleme durumunda ise sonlu ve sonsuz

30 6 elemanlar için direngenlik matrisleri ve yük vektörlerinin yanı sıra kütle matrisleri de elde edilmektedir. Hazırlanan programlarda; harmonik yükleme durumu için frekans tanım alanında, zamanla keyfi değişen yükler ve yer hareketi için de Laplace dönüşüm uzayında formülasyon yapılarak sistem hareket denklem takımı lineer cebrik denklem takımına dönüştürülmüş ve Cholesky lineer denklem çözme algoritması kullanılarak aranan büyüklükler elde edilmiştir. Zamanla keyfi değişen yükleme durumu ve yer hareketi için çözüm Laplace uzayında elde edildiği için Durbin (1974) in geliştirdiği sayısal ters Laplace yöntemi kullanılarak aranan büyüklükler zaman tanım alanında ifade edilebilmiştir. Hem statik hem de dinamik yükleme durumunda sonlu elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller her iki doğrultu için 4 noktalı Gauss- Legendre sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Sonsuz elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller ise sonlu doğrultuda 4 noktalı Gauss Legendre sayısal integrasyon yöntemi, sonsuza uzanan doğrultuda ise 1 noktalı Newton Cotes sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Statik, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için hazırlanan bilgisayar programlarının kontrolü amacıyla literatürde daha önceden çözülmüş çeşitli sayısal örnekler ele alınmıştır. Ele alınan örneklere ait bu çalışmadan elde edilen sonuçlar, literatürde verilen ya analitik sonuçlarla, ya da diğer alternatif yöntemlerle çözülerek elde edilmiş sonuçlarla karşılaştırılmaktadır. Çalışmanın ikinci aşamasında ise deprem yükleri etkisi altındaki bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin hem yapının hem de zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkilerinin araştırıldığı bir takım parametrik çalışmaların sonuçları sunulmaktadır. Parametrik çalışmalarda bir zemin tabakası göz önüne alınarak yüzey topografyasındaki değişikliklerin yapının ve zeminin dinamik davranışı üzerindeki etkileri araştırılmıştır. Bu amaçla zeminin hem elastik hem de viskoelastik bir malzeme olduğu kabul edilerek sıkı, orta sıkı ve gevşek zemin durumları için ve farklı topografik yapılara sahip zemin yapı sistemlerinin dinamik davranışı incelenmiştir.

31 7. KAYNAK ÖZETLERİ Dinamik zemin yapı etkileşimi konusu, özellikle nükleer santraller gibi özel yapıların yapılmaya başlanması ile birlikte önem kazanmış ve bu alanda günümüze kadar pek çok araştırma yapılmıştır. Zemin yapı etkileşimi konusu ile ilgili yapılan çalışmalara ilk olarak 195 li yıllarda analitik yöntemlerin kullanılmasıyla başlanmıştır. Ancak zemin yapı etkileşimi problemlerinin analitik olarak ele alınmasındaki bir takım zorluklar 197 li yıllardan itibaren araştırmacıları sayısal çözüm yöntemlerinin kullanılmasına yöneltmiştir. Yapılan bu çalışmalar da genel olarak, alt yapılara ayırma yöntemi (Substructure Method) ve doğrudan çözüm yöntemi (Direct Method) olmak üzere iki temel yaklaşım çerçevesinde gerçekleşmiştir. Zemin yapı sistemlerinin analizinde analitik yöntemlerin kullanıldığı ilk çalışmalardan olan Bycroft (1956) da harmonik yükleme etkisi altında, yarı sonsuz zemin üzerinde rijit, kütlesiz temel sistemleri ele alınıp, zemine ait impedans (rijitlik) sabitlerinin hesaplanmasına çalışılmıştır. Ancak zemin yapı etkileşimi problemlerinin analitik olarak ele alınmasındaki zorluklardan dolayı basit ve düzenli geometriye sahip homojen ve izotrop ortamlar incelenebilmiştir. Rijit ve kütlesiz temel olarak Luco and Westman (1971) de dairesel, Luco and Westman (197) de ise uzun şerit temel tipleri ele alınarak harmonik yükler altında zemine ait impedans sabitleri hesaplanmaya çalışılmıştır. Veletsos and Verbic (1973) de yarı sonsuz zemin malzemesinin homojen, lineer elastik ve/veya viskoelastik olması durumu, Luco (1974) de ise zeminin homojen ve/veya tabakalı olması durumu ele alınarak yine harmonik yükler için analitik zemin yapı etkileşimi analizi yapılmıştır. Zemin yapı sistemlerinin analizinde sayısal çözüm yöntemlerinin kullanılmaya başlanmasıyla birlikte yapılan çalışmalarda sistem genel olarak ya alt yapılara ayırma yöntemi ile ya da doğrudan çözüm yöntemi kullanılarak ele alınmaktadır. Aydınoğlu (1981) de alt yapılara ayırma yönteminin, tüm sistem içerisinde zemin ortamının ayrık ya da sürekli bir alt sistem olarak göz önüne alınması esasına dayandığı belirtilmektedir.

32 8 Alt yapılara ayırma yönteminde zemin ortamının bağımsız bir sistem olarak incelenmesiyle, zemin yapı arakesitindeki serbestlik dereceleri cinsinden elde edilen zemin dinamik rijitlik matrisi ve etkin yük vektörü yapının dinamik dengesinde göz önüne alınır (Kutaniş 1). Bu yönteme ilişkin çeşitli teknikler Wolf (1985) de verilmektedir. Nükleer santraller ve barajlar gibi büyük kütleli yapılar ile zemin arasındaki etkileşim problemlerinin, yapı ile zeminin birlikte göz önüne alınarak doğrudan analizinin yapılması oldukça zaman alıcı olabilmektedir. Bu nedenle büyük hacimli zemin-yapı etkileşimi problemleri için alt yapılara ayırma yöntemi basit ve ekonomik çözümler sağlamaktadır (Gutierrez and Chopra 1978). Gutierrez and Chopra (1978) nın çalışmasında, frekans tanım alanında, sistemin lineer elastik davrandığı kabul edilerek, üst yapı iki boyutlu sonlu elemanlarla, zemin ortamı için yarı sonsuz ortam yaklaşımı kullanılarak zemine gömülü temeller için bu yöntem uygulanmıştır. Sisteme etki eden deprem verisi ise zemin yapı arakesitinde serbest yer hareketi olarak tanımlanmıştır. Bu çalışmadan başka, Gupta and Penzien (198) de dinamik yükler etkisi altındaki üç boyutlu zemin yapı sistemleri alt yapılara ayırma yaklaşımı çerçevesinde ele alınmaktadır. Bu amaçla yapı ve yakınındaki sonlu zemin bölgesi sonlu elemanlarla modellenmiştir. Uzak zemin bölgesi ayrı bir sistem olarak incelenmiş ve yakın bölge-uzak bölge arakesitindeki düğüm noktalarında sistem tanımlama yöntemleriyle uzak bölgesinin dinamik rijitlik matrisi ve etkin yük vektörü elde edilerek yakın bölgenin dinamik dengesinde göz önünde bulundurulmuştur. Sonuçta önerilen yaklaşımın zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılabileceği belirtilmiştir. Wolf (1993) de hem zaman tanım alanında hem de frekans tanım alanında zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılan temel yaklaşımlar karşılaştırılmış, Aydınoğlu (1993) de ise temel yaklaşımların karşılaştırılmasının yanı sıra bu yaklaşımların gelişiminden bahsedilmiştir. Filho et al. (1997) tarafından frekans tanım alanında yüzeysel ve derin temellerin zeminle dinamik etkileşimi problemleri, Halbritter et al. (1998) de nükleer güç santrallerinin dinamik yükler etkisi altında analizi yapılırken sistemin davranışı üzerinde zemin yapı etkileşiminin rolü alt yapılara ayırma yöntemi ile ele alınmıştır. Zhang et al. (1999) ın çalışmasında ise, üç boyutlu dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinin zaman tanım alanında çözümü için sayısal bir yöntem geliştirilmiştir. Bu yöntemde alt yapılara ayırma yöntemi çerçevesinde, zemin ortamının lineer elastik davrandığı kabul edilerek, zemin ortamı Ayarlanmış Sınır-Sonlu

33 9 Elemanlar Yöntemi (Scaled Boundary Finite Element Method) adı verilen sayısal bir yöntemle, üst yapı ise sonlu elemanlar ile modellenmiştir. Wegner and Zhang (1) de bir zemin yapı sisteminde yapı sonlu elemanlarla, zemin ise Ayarlanmış Sınır-Sonlu Elemanlar Yöntemi ile modellenerek alt yapılara ayırma yaklaşımı çerçevesinde, doğrusal olmayan bir öz değer problemini de kapsayan, sistemin serbest titreşim analizi için bir yöntem önerilmiştir. Zemin yapı sistemlerinin dinamik analizinde doğrudan çözüm yönteminin kullanılması alt yapılara ayırma yönteminin kullanılmasıyla hemen hemen eş zamanlı olmuştur. Ancak bu yöntemde yarı sonsuz zemin belirli yerlerden kesilerek sonlu bir zemin bölgesi ele alınmakta ve böylelikle oluşturulan yapay sınırlardan enerji geçişinin matematiksel olarak gerçekçi bir şekilde ifade edilme zorunluluğu ortaya çıkmaktadır. Bu zorunluluk araştırmacıları zemindeki sonlu bölgenin sınırlarına geçirgen yapay sınırlar kullanmaya itmiştir. Lysmer and Kuhlemeyer (1969) tarafından geliştirilen ve literatürde viskoz sınır şartı olarak bilinen geçirgen yapay sınır modeli bu problemin çözümünde öncü olmuştur. Geçirgen yapay sınırların kullanıldığı durumlarda, dalgaların sınıra çarpma açısını küçültmek, dolayısıyla dalga yansımasını azaltmak üzere Lysmer and Kuhlemeyer (1969) ve Chow and Smith (1981) gibi araştırmacılar bazı geçirgen sınır modelleri önermişlerdir. Sonlu Elemanlar Yönteminin gelişmesiyle birlikte araştırmacılar geçirgen yapay sınırları dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerine uygulamışlardır. Murakami et al. (1981) de yarı sonsuz zemin ortamında dalga yayılması ve yapay sınırlardan enerji geçişi, geçirgen yapay sınır şartları kullanılarak sağlanmış ve zemindeki geometrik ve malzeme süreksizliklerine rağmen önerilen geçirgen yapay sınır şartlarının dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinde uygulanabileceği belirtilmiştir. Mengi and Tanrıkulu (1993) de sonlu elemanlarla modellenmiş bölgenin sınırlarında uygulanmak üzere literatürde çok kullanılan geçirgen yapay sınır şartları özetlenmekte ve örnekler üzerinde karşılaştırmalar yapılmaktadır. Sonsuza uzanan zemini modellemek için Wolf and Song (1996a) tarafından geliştirilen Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi (Consistent Infinitesimal Finite Element Cell Method) ise diğer bir geçirgen yapay sınır modeli olarak, zemin yapı etkileşimi problemlerinde kullanılmaktadır. Bu yöntemde hem zaman tanım alanında, hem de frekans tanım

34 1 alanında Sonlu Elemanlar Yöntemine dayalı bir formülasyon yapılmaktadır. Wolf and Song (1996b) de ise zaman tanım alanında zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümünde yine Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi kullanılmaktadır. Genes and Kocak () de harmonik ve zamanla keyfi değişen yükler etkisi altındaki büyük ölçekli yapıların dinamik analizi, Sonlu Elemanlar Yöntemi ve Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi birlikte kullanılarak ele alınmıştır. Çalışmada büyük ölçekli yapıların analizini kolaylaştırmak ve analiz süresini kısaltmak amacıyla bir paralel programlama tekniği kullanılmış ve olumlu sonuçlar elde edilmiştir. Halabian and Naggar () tarafından yapılan benzer bir çalışmada ise yine Sonlu Elemanlar Yöntemi ve Tutarlı Küçük Hücre Yöntemi birlikte kullanılarak, ayrıca yapı ve zeminin doğrusal davranmadığı kabul edilerek, yüksek narin yapıların dinamik davranışları üzerinde zemin yapı etkileşiminin etkileri araştırılmıştır. Homojen ve tabakalı iki boyutlu yarı sonsuz ortamlarda zamanla keyfi değişen yükler altında, dalga yayılmasının ele alındığı Zhao and Liu () nin çalışmasında ise fiziksel olarak yay, sönüm ve enerji yutucu sistemiyle tanımlanan geçirgen yapay sınır şartları kullanılarak matematiksel modelde sonlu bölgeden enerji geçişi sağlanmıştır. Doğrudan çözüm yaklaşımı çerçevesinde, sonsuza uzanan zeminlerin davranışını idealize etmek için, geçirgen yapay sınırlardan daha gerçekçi bir yaklaşım olarak ve yapay sınırı yapıdan çok uzakta tanımlamaya ihtiyaç bırakmayan sonsuz elemanlar modeli ilk olarak Bettess (1977) tarafından ortaya atılmıştır. Bettess and Zienkiewicz (1977) de genel bir dalga problemi ortaya atılmış ve bu tip problemler için sonlu ve sonsuz elemanların kullanıldığı bir model önerilmiştir. Önerilen sonsuz elemanların sonlu elemanlarla birlikte yarı sonsuz ortamların modellenmesinde kullanılabileceği ve sistem matrislerinin bant ve simetri özelliklerini korudukları belirtilmiştir. Çalışmada ayrıca sonsuz elemanların sonsuza uzanan doğrultusu için sayısal integrasyon yapılmasında Newton-Cotes yönteminin kullanılmasının daha uygun olduğu sonucuna varılmıştır. Bettess (198) de azalan fonksiyonlu sonsuz eleman tipleri geliştirilmiş, izoparametrik sonsuz elemanlar tanımlanmıştır. Medina and Penzien (198) de ise frekans tanım alanında yarı sonsuz ortamda ilerleyen Rayleigh, kayma ve basınç dalgalarının özelliklerini taşıyan, hem üç boyutlu hem de eksenel dönel simetrik

35 11 durumlar için sonsuz eleman modeli geliştirilmiştir. Medina and Taylor (1983) de yapı ve yakınındaki zemin bölgesi sonlu elemanlarla, uzaktaki zemin bölgesi ise sonsuz elemanlarla modellenerek hem statik hem de dinamik yükler altında zemin yapı etkileşimi analizi yapılmaktadır. Çalışmada statik ve dinamik yükler için sonsuz eleman modelleri önerilmekte ve elastik zemin üzerine oturan, ortasından düşey yüklü dairesel rijit plak örneği üzerinde modelin doğruluğu kontrol edilmektedir. Bettess and Bettess (1984) de ise statik yükleme durumu için sonsuz elemanların tarihsel gelişiminden bahsedilmektedir. Çalışmada sonsuz elemanlar için iki temel sınıflandırma olan azalan fonksiyonlu sonsuz elemanlar ve tasvir edilebilir sonsuz elemanlar detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Kumar (1985) de de statik yükleme durumunda farklı azalma fonksiyonları için sonsuz eleman modelleri geliştirilmiş ve önerilen sonsuz elemanların hem düzlem elastisite hem de eksenel dönel simetri problemleri için uygun olduğu sonucuna varılmıştır. Chuhan and Chongbin (1987) nin yaptığı çalışmada ise elastik veya viskoelastik zemin üzerinde oturan temel sistemlerinin harmonik yükler altındaki davranışı iki boyutlu sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak ele alınmaktadır. Chongbin et al. (1989) da ise yine harmonik yükler altındaki temel zemin sistemlerinin davranışı üç boyutlu sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak belirlenmektedir. Godbole et al. (199) da farklı azalma fonksiyonlarına sahip sonsuz elemanlar kullanılarak doğrusal olmayan davranış gösteren zemin üzerine oturan farklı rijitliklerdeki şerit temellerin davranışı incelenmektedir. Viladkar et al. (1991) de ise doğrusal olmayan davranış gösteren zemin üzerine oturan düzlem çerçevenin iki boyutlu analizi yapılmaktadır. Çalışmada düzlem çerçeve izoparametrik çubuk elemanlarla, sonlu zemin bölgesi izoparametrik düzlem elemanlarla, sonlu zemin bölgesinin sınırları ise sonsuz elemanlar kullanılarak modellenmektedir. Bettess and Bettess (1991a, 1991b) de ise dinamik yükleme etkisi altındaki zemin yapı sistemlerinin analizinde uzak zemin bölgesinde kullanılacak sonsuz eleman modelleri çeşitli problem türleri için detaylı bir şekilde ele alınmaktadır. Yang and Yun (199) de harmonik yükler altındaki zemin yapı sistemlerinin analizi, yapı ve yakın zemin bölgesi sonlu elemanlar, uzak zemin bölgesi ise farklı dalga tipleri için geliştirilen eksenel dönel simetrik sonsuz elemanlar kullanılarak yapılmaktadır. Çalışmada kullanılan sonlu-sonsuz eleman modeli elastik yarı sonsuz ortam üzerine oturan rijit, dairesel temel sisteminde uygulanmış ve elde edilen sonuçlar analitik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Üç boyutlu sistemlerin ele alındığı

36 1 Chongbin and Valliappan (1993) nın çalışmasında ise yarı sonsuz ortamda bir veya daha fazla dalga tipinin aynı anda bulunup bulunmamasına göre sonsuz elemanların şekil fonksiyonlarında kullanılmak üzere deplasman yayılma fonksiyonları geliştirilmiş ve harmonik yükler etkisi altındaki elastik veya viskoelastik zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmıştır. Yang et al. (1996) ın çalışmasında ise uzak zemin bölgesinde kullanılan sonsuz elemanların hem azaltma parametresinin kesin hesabında hem de sonlu-sonsuz eleman ağının frekansa bağımlı bir karakteristiği olmasının önemli bir dezavantaj olduğu belirtilmektedir. Bu amaçla yarı sonsuz ortamlarda dalga yayılma özelliklerine dayanarak frekanstan bağımsız yeni bir sonsuz eleman modeli önerilmekte ve harmonik yükler altındaki zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmaktadır. Cheng (1996) da zemin yapı sistemlerinin analizinde yerçekiminden kaynaklanan kütle kuvvetleri göz önüne alındığında daha önce Bettess (199) ve Marques and Owen (1984) tarafından ileri sürülen sonsuz eleman modellerinin iyi sonuç vermediği, bu problemin bu sonsuz elemanlara iki tane daha interpolasyon şekil fonksiyonu eklenerek giderildiği belirtilmiştir. Zamanla keyfi değişen yükleme etkisindeki iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizinde sonlu ve sonsuz elemanların kullanıldığı Yerli et al. (1998) nin çalışmasında ise Laplace dönüşüm uzayında formülasyon yapılarak birden fazla dalga tipini içeren sonsuz elemanlar geliştirilmiştir. Çalışmada aranan büyüklükler Laplace uzayında elde edilip, sayısal ters Laplace dönüşüm yöntemiyle zaman uzayında çözüm elde edilmektedir. Yerli et al. (1999) un yaptığı benzer bir çalışmada ise iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizinde yine sonlu elemanlarla, harmonik ve zamanla keyfi değişen yükleme durumları için birden fazla dalga tipini içeren sonsuz elemanlar birlikte kullanılmaktadır. Khalili et al. (1999) da tamamen suya doygun yarı sonsuz ortamların frekans tanım alanında iki boyutlu analizi sonlu ve sonsuz elemanlar kullanılarak yapılmıştır. Çalışmada sonsuz elemanın dalga yayılma fonksiyonu, doygun ortamlarda dalga yayılma denkleminin analitik çözümünden türetilmiştir. Elde edilen sonuçlar doygun yarı sonsuz ortamların modellenmesinde sonlu ve sonsuz elemanların birlikte kullanılması gerektiğini göstermiştir. Zaman tanım alanında hem harmonik hem de zamanla keyfi değişen yükler için Kim and Yun () ve frekans tanım alanında harmonik yükler için Yun et al. () tarafından yapılan çalışmalarda ise iki boyutlu zemin yapı sistemlerinin analizi, sonlu ve frekansa bağımlı sonsuz elemanlar birlikte kullanılarak yapılmaktadır. Sadecka () de tabakalı yarı sonsuz zemin üzerine

37 13 oturan ince plağın davranışı incelenmektedir. Çalışmada plak sonlu elemanlarla, plağın kenarları ise sonsuz elemanlarla modellenmektedir. Choi et al. (1) nin çalışmasında ise büyük ölçekli bir model yapının deprem yükleri altındaki dinamik davranışı incelenmektedir. Analiz eksenel simetrik durum için sonlu elemanlar ile sonsuz elemanların birlikte kullanılması esasına dayanan bir bilgisayar programıyla yapılmıştır. Zeminin lineer olmayan davranışı ise iteratif eşdeğer lineerleştirme adı verilen bir teknikle göz önünde bulundurulmuştur. Yerli et al. (3) nin çalışmasında ise sonlu ve sonsuz elemanların birlikte kullanıldığı iki boyutlu zemin yapı etkileşimi problemlerinde uygulanmak üzere zamandan ve bilgisayar belleğinden tasarruf etmek amacıyla paralel programlama tekniği uygulanmıştır. Doğrudan çözüm yaklaşımı çerçevesinde zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılan yöntemlerden bir diğeri de sonlu elemanlar ile modellenen bölgenin sınırlarında sınır elemanların kullanılmasıdır. Özellikle yüzeysel ve gömülü temellerin zemin dinamik rijitlik matrislerinin hesaplanmasında, sınır elemanlar yönteminin oldukça etkili olduğu 198 li yıllardan itibaren literatürde yer almaya başlamıştır. Bu yöntem yarı analitik bir yöntem olup, dinamik Green fonksiyonlarının hesaplanması esasına dayanmaktadır. Sınır elemanlar yöntemi, radyasyon sönümünü doğrudan hesaba katması ve problemin çözüm boyutunu bir derece azaltması nedeniyle sürekli ortamların idealleştirilmesinde çok uygun bir yöntemdir. Sınır elemanlar yöntemi ile ilgili çeşitli teknikler Wolf (1985, 1988) ve Mengi et al. (1994) tarafından verilmiştir. Dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinde, sınır elemanlar yöntemi ile sonlu elemanlar yönteminin birlikte kullanılması en çok kullanılan tekniklerden biri olmuştur. Literatürde bu birleştirilmiş model kullanılarak birçok çalışma yapılmıştır. Karabalis and Beskos (1984) de sınır elemanlar kullanılarak lineer elastik, homojen ve izotrop yarı sonsuz zemin üzerine oturan üç boyutlu rijit temelin dinamik davranışı hem dıştan etkiyen dinamik yükler için hem de çeşitli tip ve doğrultudaki sismik dalgalar için zaman tanım alanında ele alınmıştır. Ahmad and Banerjee (1988) de ise periyodik ve zamanla keyfi değişen yükler altındaki iki boyutlu elastik veya viskoelastik ortamların davranışı sınır elemanlar kullanılarak incelenmektedir. Çalışmada zemin yapı sistemleri Laplace dönüşüm uzayında ele alınmaktadır. Estorff and Kausel (1989) da dinamik zemin yapı

38 14 etkileşimi problemlerinin çözümünde sınır elemanlar ve sonlu elemanlar birleştirilerek kullanılmıştır. Böylelikle sınır elemanlarla, sonlu elemanların yetersiz kaldığı sınırsız ortamların modellenmesi konusunda avantaj sağlanırken, sonlu elemanlar tekniği ile de lineer ve homojen olmayan sistemlerde hesap kolaylığı sağlanmıştır. Çalışmada önerilen sonlu-sınır eleman modelinin karmaşık zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmasının etkili bir yöntem olduğu vurgulanmıştır. Israil and Banerjee (199a) da da zaman tanım alanında zamanla keyfi değişen yükler altındaki iki boyutlu sistemlerin analizinde yine sınır elemanlar kullanılmaktadır. Çalışmada aranan büyüklükler zaman artımı yöntemiyle elde edilmektedir. Israil and Banerjee (199b) de ise üç boyutlu zemin yapı sistemlerinin dinamik davranışı üzerinde geometrik ve malzeme özelliklerinin etkisi sonlu ve sınır elemanlar birlikte kullanılarak ele alınmıştır. Estorff et al. (199) da frekans tanım alanında ayrık sınır elemanlar, zaman tanım alanında sürekli sınır elemanlar ve zaman tanım alanında sonlu ve sınır elemanlar olmak üzere üç farklı sınır eleman yaklaşımı kullanılarak yarı sonsuz zemin ortamının ve elastik bir zemin tabakasının yüzeyden etkiyen dinamik yük altındaki davranışı incelenmektedir. Yang and Lu (199) de ise statik durumda kule tipi yapıların zeminle etkileşimi sonlu ve sınır elemanlar kullanılarak ele alınmıştır. Beskos (1993) de hem zaman hem de frekans tanım alanında dıştan etkiyen dinamik yükler ve sismik yükler etkisindeki zemin yapı sistemleri, iki ve üç boyutlu olmak üzere sonlu ve sınır elemanlar kullanılarak modellenmektedir. Çalışmada yapı ve zemin homojen, izotrop, lineer elastik veya viskoelastik olarak ele alınmakta ve kullanılan yöntemin zemin yapı sistemlerinin analizinde kullanılmasının oldukça etkili olduğu vurgulanmaktadır. Auersch (1996) da sonlu ve sınır elemanlar birlikte kullanılarak harmonik yükler altında farklı rijitliklerdeki plakların elastik ve homojen zeminle dinamik etkileşimi araştırılmıştır. Abouseeda and Dakoulas (1998) in yaptığı çalışmada ise yarı sonsuz zemin ortamı lineer elastik ve homojen kabul edilerek iki boyutlu sınır elemanlar kullanılarak, üst yapı ise sonlu elemanlar kullanılarak ve homojen olmayan malzeme davranışı için doğrusal olmayan histeretik model kullanılarak modellenmiştir. Yöntemin geçerliliğini kanıtlamak amacıyla, iki boyutlu toprak barajın deprem yükleri altındaki davranışı hakkında parametrik çalışmalar yapılmış ve olumlu sonuçlar alınmıştır. Liolios et al. (1998) de zemin içerinde gömülü boru hattı sistemlerinin deprem yükleri altındaki davranışı sonlu ve sınır elemanlar kullanılarak Laplace dönüşüm uzayında ele

39 15 alınmaktadır. Chuhan et al. (1999) nın çalışmasında ise sonlu elemanlar ve sınır elemanların yanı sıra sonsuz elemanlar ve sonsuz sınır elemanlar kullanılarak zemin yapı etkileşimi analizi yapılmaktadır. Çalışmada yapı ve yakın zemin bölgesi sonlu elemanlarla, uzak zemin bölgesi ise sonsuz elemanlarla, rijit taban kayası ise sınır elemanlar ve sonsuz sınır elemanlar ile modellenmektedir. Elde edilen sonuçlar nükleer santrallerin analizinde çok kullanılan FLUSH ve SASSI programlarından elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmaktadır. Yazdchi et al. (1999) da homojen, izotrop ve lineer elastik yarı sonsuz ortama gömülü elastik bir yapının zamanla keyfi değişen ve deprem yükleri altındaki davranışı sonlu ve sınır elemanlar birleştirilerek incelenmiştir. Estorff and Firuziaan () da ise iki boyutlu bir zemin yapı sisteminin zamanla keyfi değişen yükler altında nonlineer davranışını incelemek üzere sonlu ve sınır elemanlar kullanılmıştır. Çalışmada malzemenin homojen olmaması ve elastoplastik davranış göz önünde bulundurulmuştur. Lehmann and Antes (1) in çalışmasında trafik, rüzgâr ve deprem yükleri etkisi altındaki yüksek binaların dinamik davranışının incelenmesinde zemin yapı etkileşiminin göz önüne alınması gerektiği belirtilerek, yapı için sonlu elemanlar, zemin için Galerkin sınır elemanları kullanılarak üç boyutlu analiz gerçekleştirilmiştir. Tanrikulu et al. (1) de ise dinamik yükler altındaki iki ve üç boyutlu tabakalı zemin- yapı sistemlerinin analizi için lokal olmayan sınır şartlarını içeren sınır eleman formülasyonuna dayalı iki genel amaçlı bilgisayar programı geliştirilmiştir. Czygan and Estorff () de ise zaman tanım alanında sıvı yapı etkileşimi problemleri sonlu ve sınır elemanlar birlikte kullanılarak ele alınmaktadır. Yapının modellenmesinde sonlu elemanlar, sıvının modellenmesinde ise sınır elemanlar kullanılmıştır. Ele alınan sistemde doğrusal olmayan etkiler de göz önünde tutulmuştur. Küçükarslan et al. (3) de de yine sonlu ve sınır elemanlar birlikte kullanılarak elastik olmayan kazık temel zemin etkileşimi analizi yapılmıştır. Spyrakos and Xu (3) de ise P ve S dalgalarının etkisi altındaki zemine gömülü, esnek temellerin dinamik davranışını incelemek üzere sonlu ve sınır elemanlar kullanılmıştır. Bu çalışmalardan başka, zemin yapı sistemlerinin davranışını farklı yöntemlerle ele alan birçok çalışma da yapılmıştır. Guan and Moore (1997) de toprak barajların tabakalı zeminle ve rezervuarıyla etkileşimi incelenmektedir. Çalışmada baraj sonlu elemanlarla

40 16 modellenmekte, zeminin dinamik rijitliği ise tabaka transfer matrisiyle elde edilmektedir. Ayrıca baraj ile rezervuar ara yüzeyinde, hidrostatik etkiyi göz önünde bulundurmak üzere frekansa bağımlı fonksiyonlar kullanılmaktadır. Spyrakos and Xu (1997) de ise tahliye kulelerinin su ve zemin ile dinamik etkileşimi de göz önüne alınarak dinamik analiz yapılmaktadır. Çalışmada yapı, üzerinde toplanmış kütle olan bir çubuk elemanla, zemin ise yay ve sönüm sistemiyle modellenmektedir. Ayrıca farklı zemin durumları ve yapının geometrik narinlik oranları için suyun varlığı ve yokluğu dikkate alınarak parametrik çalışmalar yapılmıştır. Bernal and Youssef (1998) de dinamik zemin yapı etkileşimi problemlerinin çözümünde frekans ve zaman tanım alanında çözüm tekniklerini birleştiren alternatif bir yöntem üzerinde çalışılmıştır. Çalışmada üst yapının doğrusal olmayan davranış gösterdiği kabul edilerek, problem zaman tanım alanında çözülmüş, zemin ortamı ise frekansa bağımlı yay ve sönüm sistemi ile temsil edilmiştir. Ayrıca bu yöntemin diğer yöntemlere göre daha hızlı çözüme gittiği belirtilmektedir. Avilés and Pérez-Rocha (1998a) da dinamik yükler altında temel gömme derinliğinin zemin yapı sisteminin davranışı, yapının hâkim periyodu ve sönümü üzerindeki etkileri araştırılmaktadır. Çalışmada kinematik ve ataletsel etkileşim kuvvetleri göz önünde bulundurularak formülasyon yapılmaktadır. Sayısal çözüm homojen, elastik yarı sonsuz zemine gömülü tek katlı yapıdan oluşan sistem üzerinde gösterilmiştir. Iida (1998) çalışmasında, 1985 Mexico City depreminde Lakebed bölgesindeki özellikle orta yükseklikteki yapıların ağır hasar görmüş olmalarının nedenleri araştırılmaktadır. Bu amaçla sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak üç katlı, on beş katlı ve kırk katlı binaların üç boyutlu zemin yapı etkileşimi analizi yapılmaktadır. Yazar yapıları hem ankastre mesnetli hem de zemin yapı etkileşimini göz önünde bulundurarak lineer ve lineer olmayan analizlerini gerçekleştirmiştir. Sonuç olarak etkileşimin dikkate alınmadığı durumların binalardaki hasarın nedenlerini açıklamakta yetersiz kaldığı belirlenmiştir. Hayashi et al. (1999) tarafından yapılan benzer bir çalışmada ise 1995 Kobe depreminde hasar gören yapılar için zemin yapı etkileşimi dikkate alınarak bir takım simülasyon uygulamaları yapılmakta ve etkileşimin önemi özellikle vurgulanmaktadır. Shrikhande and Gupta (1999) da deprem yükleri altındaki bir asma köprünün davranışını incelemek üzere zemin yapı etkileşimi de göz önüne alınarak stokastik bir yaklaşım önerilmektedir. Saadeghvaziri et al. () de deprem etkisiyle, köprülerin boyuna doğrultudaki dinamik davranışı üzerinde zemin

41 17 yapı etkileşiminin rolü araştırılmıştır. Sonuçta zemin yapı etkileşiminin köprülerin boyuna doğrultudaki sismik davranışını etkilediği belirtilmiştir. Pala vd. (3) de dinamik yükler altında, farklı zemin türleri ve yapı boyutlarının zemin yapı etkileşimi üzerindeki etkileri araştırılmış ve yapay sinir ağlarına uygulanmıştır. Araştırmanın sonucunda yapay sinir ağlarının zemin yapı etkileşimi analizlerinde alternatif bir yöntem olduğu belirtilmiştir. Ayrıca yumuşak zeminlerde zemin yapı etkileşimin önemi özellikle vurgulanmış ve yapı yüksekliği arttıkça yumuşak zeminlerden sert zeminlere gidildikçe yer değiştirmelerin arttığı belirtilmiştir. Gürsoy ve Durmuş (3) de ise betonarme istinat duvarlarının davranışları Erzincan (199) depremi doğu-batı bileşenine göre zemin yapı etkileşimi de dikkate alınarak farklı analitik yöntemler ve SAP programı yardımıyla karşılaştırmalı olarak incelenmektedir. Sonuç olarak istinat duvarlarının sonlu elemanlar yöntemiyle zemin yapı etkileşiminin dikkate alınarak gerçekleştirilen analizinde duvarın titreşim periyodunun arttığı ve sönüm oranının azalmasıyla duvarın üst noktasındaki yer değiştirmelerin arttığı belirlenmiştir. Park and Antin (4) de yarı sonsuz ortamda deprem yüklerinden dolayı dalga yayılması incelenmiş ve zaman tanım alanında zemin yapı etkileşimi problemlerinde uygulanmıştır. Çalışmada sınır elemanlar yönteminden daha hızlı çalışan ve daha az bellek gerektiren Süreksiz Galerkin Yöntemi ne (Discontinuous Galerkin Method) dayalı bir teknik kullanılmıştır. Öne sürülen yöntemin performansı deprem etkisindeki bir baraj zemin etkileşimi örneği üzerinde kontrol edilmiştir. Bu çalışmaların yanı sıra yüzey topografyasındaki değişikliklerin zemin ortamındaki dalga yayılması üzerindeki etkilerinin incelendiği çalışmalar da yapılmıştır. Boore (197) de elastik, homojen ve izotrop kabul edilen zemin ortamında Deprem Mühendisliği açısından önemli olan SH dalgalarının yayılması üzerinde topografyanın önemli bir etkisinin olduğu belirtilmiştir. Trifunac (1973) de ve Wong and Trifunac (1974) de sırasıyla yarı silindirik ve yarı eliptik kanyon şeklindeki topografyalara sahip zeminlerde düzlem SH dalgalarının yayılmasının analitik çözümünü yapmışlardır. Wong and Jennings (1975) de ise bu problem sınır integral teknikleri ve Fourier dönüşümleri kullanılarak deprem yükleri altındaki rastgele topografyalar için çözümlenmiştir. Wong (1979) da ise dairesel ve eliptik kanyon şeklindeki

42 18 topografyalara sahip zeminlerde P, SV ve Rayleigh dalgalarının yayılması üzerine çalışmalar yapılmıştır. Ohtsuki and Harumi (1983) ve Ohtsuki et al. (1984) de sırasıyla sismik SV ve Rayleigh dalgaları üzerinde topografyanın etkileri sonlu elemanlara dayalı bir yöntem kullanılarak incelenmiştir. Chuhan ve Chongbin (1988) de ise kanyon şeklindeki topografyaların ve jeolojik özelliklerin yer hareketi üzerindeki etkileri sonlu ve sonsuz elemanlar birlikte kullanılarak incelenmiştir. Avilés and Pérez-Rocha (1998b) de ise deprem etkisindeki alüvyonlu zeminler üzerine oturan yapıların dinamik davranışı üzerinde bölge etkisinin ve zemin yapı etkileşiminin etkilerini araştıran parametrik bir çalışma yapılmıştır. Stewart and Sholtis (5) de 1983 Coalinga depreminin etkisiyle bir yamacın alt ve üst kısımlarında kaydedilen yer hareketi üzerinde topoğrafyanın etkileri araştırılmak üzere zemin yapı etkileşimi etkileri de göz önünde bulundurularak bir takım parametrik çalışmalar yapılmıştır. Assimaki et al. (5) tarafından yapılan benzer bir çalışmada ise 1999 Atina depremi nedeniyle hasar görmüş bir bölge ele alınarak topoğrafyadaki değişikliklerin, yarı sonsuz ortamda dalga yayılışı ve zemin yapı etkileşimi üzerindeki etkileri iki boyutlu modellenerek incelenmiştir.

43 19 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu bölümde, statik ve dinamik yükler etkisi altındaki iki boyutlu düzlemsel veya eksenel simetrik yükleme ve geometriye sahip sistemlerin zemin yapı etkileşimi analizinden bahsedilmektedir. Bu bölümde göz önünde bulundurulan sistemlerin homojen, izotrop ve lineer elastik/viskoelastik malzeme olduğu kabul edilmektedir. Sonlu bir boyuta sahip yapı ile yarı sonsuz zeminden oluşan zemin yapı etkileşimi problemleri incelenirken, yapı ve yapının etrafındaki zemin bölgesi (Yakın Bölge) sonlu elemanlarla, uzaktaki zemin bölgesi (Uzak Bölge) ise sonsuz elemanlarla modellenmekte ve doğrudan çözüm yöntemi (Direct Method) yaklaşımıyla analiz edilmektedir. (Şekil 3.1). Yapı Uzak Bölge Yakın Bölge Uzak Bölge Uzak Bölge Zemin Şekil 3.1. Zemin yapı etkileşim modeli Statik ve dinamik yükleme etkisi altındaki iki boyutlu zemin yapı etkileşimi analizi yapılırken yapı ve yapının etrafındaki zemin bölgesinin modellenmesinde sekiz düğümlü, izoparametrik, kuadratik sonlu elemanlar kullanılmıştır. Seçilen sonlu elemana ait eleman matrislerinin elde edilmesinden bu bölümde bahsedilmiştir. Sonlu elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller ise her iki doğrultu için 4 noktalı Gauss Legendre sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir.

44 Uzaktaki zemin bölgesinin modellenmesinde ise sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Sonsuz eleman olarak harmonik yükler için matematiksel ifadeleri Chuhan and Chongbin (1987) de verilen ancak düzlem dalgaların süperpozisyonu ilkesine dayanarak farklı dalga tipleri için Yerli (1998) tarafından yeniden formüle edilen sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Zamanla keyfi değişen yükleme durumu için de yine Yerli (1998) tarafından geliştirilen farklı dalga tiplerini içeren sonsuz elemanlar kullanılmıştır. Bu bölümde çalışmada kullanılan sonsuz elemanlara ait matrislerin elde edilmesinden de bahsedilmektedir. Kullanılan sonsuz elemanlar yarı sonsuz ortamda dalga yayılma şartlarını sağlayacak ve sonlu zemin bölgesinin sınırlarından enerji geçişini matematiksel olarak ifade edilebilecek şekilde formüle edilmiştir. Sonsuz elemanlara ait eleman matrislerinin hesabı için gerekli integraller ise sonlu doğrultuda 4 noktalı Gauss- Legendre sayısal integrasyon yöntemi, sonsuza uzanan doğrultuda ise 1 noktalı Newton-Cotes sayısal integrasyon yöntemi kullanılarak elde edilmiştir. Çalışmada kullanılan sonsuz elemanlar, sonlu elemanlar ile birlikte uygulanabilmekte ve homojen, elastik ve/veya viskoelastik ortamlar kolaylıkla ele alınabilmektedir. Ayrıca sonsuz elemanlara ait sistem matrisleri bant ve simetri özelliklerini koruduklarından hız ve bellek problemleri oldukça azalmaktadır. Matematiksel ifadeleri bu bölümde verilen sonlu ve sonsuz elemanlara ait matrislerin elde edilmesi ve sistem hareket denklem takımının çözümü için FORTRAN programlama dili kullanılarak hem düzlem gerilme/şekil değiştirme hem de eksenel dönel simetri durumları göz önünde bulundurularak ayrı ayrı bilgisayar programları hazırlanmıştır. Hazırlanan programlarda; harmonik yükleme durumu için frekans tanım alanında, zamanla keyfi değişen yükler için de Laplace dönüşüm uzayında formülasyon yapılarak sistem hareket denklem takımı lineer cebrik denklem takımına dönüştürülmüş ve Cholesky lineer denklem çözme algoritması kullanılarak aranan büyüklükler elde edilmiştir. Statik ve dinamik yükleme durumları için hazırlanan bilgisayar programları literatürde daha önceden çözülmüş çeşitli sayısal örnekler ele alınarak kontrol edilmiş ve deprem yükleri etkisi altındaki bir zemin yapı sisteminde yüzey topografyasındaki değişikliklerin sistemin dinamik davranışı üzerindeki etkilerinin araştırıldığı bir takım parametrik çalışmalar yapılmıştır.

45 Düzlem Elastisite Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı Düzlem elastisitenin temel kabulleri Düzlem elastisite problemleri, düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme problemleri olmak üzere iki ana sınıfa ayrılmaktadır (Şekil 3.). Şekil 3.a da görülen düzlemi içerisinde yüklü ince levha göz önünde bulundurulursa cismin kalınlığı (h) diğer boyutlarına göre çok küçük olduğundan cismin kenarlarına uygulanan kuvvetlerin h boyunca üniform olması kaydıyla σ z = τ xz = (3.1) τ yz = gerilme bileşenlerinin cismin tüm kesiti için sıfır olduğu, diğer gerilme bileşenlerinin ise h kalınlığı boyunca değişmediği kabul edilmektedir. Bu tip bir problem düzlem gerilme problemi olarak ele alınmaktadır (Timoshenko and Goodier 198). Şekil 3.b de görülen ekseni boyunca yüklü uzun silindir göz önünde bulundurulursa cismin bütün enkesitlerinin aynı şartlara sahip olduğu, dolayısıyla cismin herhangi bir kesitindeki yerdeğiştirmelerin z ekseninden bağımsız olduğu kabul edilmektedir. Sonuç olarak düzlem şekil değiştirme olarak ele alınan bu tip problemlerde ise aşağıdaki kabuller yapılmaktadır (Timoshenko and Goodier 198). ε z = γ xz = (3.) γ yz =

46 F q y A v t y u n t x x σ y τ xy σ x y x z z h (a) (b) Şekil 3.. Elastisitede (a) düzlem gerilme, (b) düzlem şekil değiştirme durumu Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları Düzlem elastisite durumunda yer değiştirmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki ilişki, u ε x = x v ε y = y u v γ xy = + (3.3) y x veya matris formunda ε x x u ε = ε y = L u y = v γxy y x [ L] {} [ ]{} (3.4) şeklinde ifade edilmektedir (Timoshenko and Goodier 198). Buradaki u ve v, sırasıyla x ve y doğrultularındaki yer değiştirmeleri ifade etmektedir.

47 Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları Cismin içindeki herhangi bir noktanın gerilmeler ile birim şekil değiştirmeler arasındaki ilişki Hooke kanunu kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. {} = [ ]{} ε σ D (3.5) Düzlem elastisite durumu için (3.5) ifadesinde görülen gerilme ve birim şekil değiştirme vektörleri ile malzeme matrisi sırasıyla, {} σ σ = σ τ x y xy {} ε ε = ε γ x y xy D11 D1 D = D 1 D (3.6) D 33 [ ] şeklinde tanımlanmaktadır. (3.6) bağıntısındaki malzeme matrisinde görülen D ij ler malzeme sabitleri olup, düzlem gerilme problemi durumunda, E D11 = D = (1 ν ) νe = D 1 = (3.7) (1 ν ) D1 D 33 = G = E (1 + ν) şeklinde iken, düzlem şekil değiştirme problemi durumunda ise, D11 = D E(1 ν) = (1 + ν)(1 ν) νe = D = (3.8) (1 + ν)(1 ν) D1 1 D 33 = G = E (1 + ν)

48 4 şeklindedir. Burada, E elastisite modülünü, G kayma modülünü gösterirken, υ ise Poisson oranını temsil etmektedir (Chandrupatla and Belegundu ) Düzlem elastisitede denge denklemleri Düzlem elastisite problemlerinde kullanılan denge denklemleri Şekil 3.3 de görülen elemanter bir elemana etki eden kuvvetlerin dengesinden yararlanılarak elde edilmektedir. σy σy + dy y τ xy τxy + dy y ρ u σ x dy f y f x σ x σx + dx x y τ xy dx σ y x Şekil 3.3. Elemanter bir cismin serbest cisim diyagramı x doğrultusunda kuvvetler dengesi yazılırsa, σ x ( x xy σ x + dx) dy h e σ x dy h e + ( τ xy + dy)dx h τ e xy τ y dx h + f dx dy h ρdx dy h u (3.9) x e e = e elde edilir. (3.9) denkleminde her iki taraf dx dy ye bölünürse, σ x x τ xy + y + f x ρ u = (3.1)

49 5 ifadesi elde edilir. Benzer şekilde y doğrultusu için kuvvetler dengesi yazılırsa, σ τ ( σ + dy) dx h σ dx h + ( τ + dx)dy h τ dy h y x y xy y e y e xy e xy e + f dx dy h ρ dx dy h v = (3.11) y e e elde edilir. (3.11) denkleminde de yine her iki taraf dx dy ye bölünürse, σ y y τ f v (3.1) xy + + y ρ = x şeklinde denge denklemleri elde edilmiş olur. (3.1) ve (3.1) ifadelerinde görülen f x ve f y sırasıyla x ve y doğrultularındaki hacim kuvvetlerini, σ x ve σ y normal gerilmeleri, τ xy ise kayma gerilmesini göstermektedir. ρ malzemenin kütlesel yoğunluğu olup, u ve v sırasıyla x ve y doğrultularındaki yer değiştirmeleri ifade etmektedir. (3.1) ve (3.1) de verilen denge denklemleri düzenlenirse, σ x xy + + fx =ρ x σ y τ y τ y xy + + fy =ρ x u v (3.13) şeklinde ifade edilmektedir. Denge denklemleri matris formunda, x y σ y σ τ x x y xy f + f x y u = ρ v (3.14) şeklinde veya y = y x [ ] T x L (3.15)

50 6 olmak üzere kapalı formda T [ L] { σ } + { f} u =ρ v (3.16) olarak ifade edilmektedir. Eşitliğin sağ tarafı kütle kuvvetlerini göstermekte olup, sıfır olması halinde statik duruma karşılık gelmektedir Sınır şartları Cismin yüzeyinde, iç gerilmelerle dış gerilmeler dengede olmak zorundadır. Bu nedenle cismin yüzeyinde bulunan herhangi bir noktadaki sınır şartları, Şekil 3.4 yardımıyla, tx =σ xnx +τ xyny ty =τ xynx +σ yny (3.17) şeklinde ifade edilmektedir (Timoshenko and Goodier 198). Buradaki t x ve t y sırasıyla x ve y doğrultularındaki yüzey gerilmelerini, n x ve n y ise doğrultman kosinüsleri göstermektedir (n x = cosθ, n y = sinθ). σ y x τ xy σ x θ t x τ t y n y Şekil 3.4. Sınır Şartları

51 Denge denklemlerinin integral formda ifadesi Şekil 3.3 de görülen elemana virtüel iş ilkesi uygulandığında, (3.1) ifadesinde x doğrultusu için verilen denge denklemi integral formda, σ τ x xy W1 = h e ψ A 1( + + fx ρ u)da= (3.18) e x y elde edilir. (3.18) denklemindeki ifadeler daha açık yazılırsa, x 1 ψ 1 = σ A A x + ψ s 1σx x e σ ψ da da n ds x e x xy 1 ψ 1 = τ A A xy + ψ s 1τxy y e τ y ψ da da n ds e y (3.19) elde edilir. (3.19) denklemlerinde Galerkin yöntemine göre yazılırsa, ψ = u ifadesi yerine 1 δ x δ = σ A A x + δ σ s x x e σ (u) δ u da da u n ds x e x xy δ = A τ A xy + δ τ s xy y e τ δ (u) u da da u n ds y e y (3.) elde edilir. (3.3) denklemlerindeki u ε x = ifadesinin diferansiyeli alınırsa, x u (u) δ =δ ( ) =δε x x x (3.1) elde edilir. (3.) ve (3.1) denklemleri (3.18) denkleminde yerlerine yazılırsa, δu W1 = σx δε A x da+ δuσx nx ds xy da u xynyds e s τ δ + δ τ Ae y s u f A x da u u da (3.) A + δ δ ρ = e e

52 8 elde edilir. Benzer işlemler (3.1) ifadesinde y doğrultusu için verilen denge denklemi için de yapılırsa, δv W = σyδε A yda+ δvσynyds xy da v xynx ds e s τ δ + δ τ Ae y s v f A y da v v da (3.3) A + δ δ ρ = e e elde edilir. (3.) ve (3.3) ifadeleri toplanırsa, W = W 1 +W = u v h e ( σ A x δε x + σ y δε y + τ xy δ ( + ) + ρ uδ u+ ρ vδv)da h e (f x δ u+ f y δv)da e y x Ae (3.4) h δ u( σ n +τ n )ds h δ v( σ n +τ n )ds = e s x x xy y e s y y xy x ifadesi elde edilir. (3.3) ve (3.17) ifadeleri (3.4) denkleminde yerlerine yazılıp, gerekli düzenlemeler yapılırsa, T δε σ x x T T T δu u δu fx δu tx e δεy σ y + ρ = e e Ae v v Ae v f s δ δ y δv ty δγ xy τxy h ( )da h da h ds (3.5) ifadesi elde edilir. Yukarıdaki (3.5) eşitliği virtüel iş ilkesini ifade etmektedir. Eşitliğin sol tarafı iç kuvvetlerin yaptığı virtüel işi, sağ tarafı ise dış kuvvetlerin yaptığı virtüel işi göstermektedir. Burada A e elemanın alanını, h e elemanın kalınlığını ve δ ise varyasyonu göstermektedir Düzlem elastisite bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması Bu kısımda (3.5) ifadelerinden yararlanarak düzlem elastisite bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanmasından bahsedilmektedir. Elemanın herhangi bir noktasındaki yer değiştirmelerin birbirinden bağımsız olduğu kabul edilerek, x ve y doğrultularındaki her iki yer değiştirme bileşeni (u ve v), interpolasyon şekil fonksiyonları kullanılarak,

53 9 n u = N i u i = i= 1 n v N i v i (3.6) i= 1 şeklinde elde edilir. Burada u ve v elemanın herhangi bir noktasındaki yatay ve düşey yer değiştirmeleri, u i ve v i elemanın düğümlerindeki yer değiştirmeleri gösterirken, n ise elemanın düğüm sayısını temsil etmektedir. N i ise elemanın ilgili düğümüne ait şekil fonksiyonunu göstermektedir. (3.6) ifadelerindeki yer değiştirmeler matris formunda, u N = v 1 N 1 N N N n u1 v 1 u v N n : u n v n {} u = [ N]{ u } d (3.7) şeklinde elde edilir. Düğüm yer değiştirmelerinin varyasyonu ise (3.7) yardımıyla, { u} = [ N]{ δ } δ (3.8) u d olarak elde edilir. (3.7) ifadesi (3.4) de verilen birim şekil değiştirme vektöründe yerine yazılırsa, { ε } = [ L]{ u} = [ L][ N] { u } = [ B]{ u } [ B] d d (3.9) olarak şekil değiştirmeler ile düğüm noktası yer değiştirmeleri arasındaki ilişki elde edilmektedir. (3.9) ifadesinde görülen [B] matrisi şekil değiştirme matrisi olarak isimlendirilmektedir. (3.9) ifadeleri yardımıyla şekil değiştirme vektörünün varyasyonu ise, { } = [ ]{ } δε B δu d (3.3) (3.9) ifadesi, (3.5) de görülen gerilme ifadesinde yerine yazılırsa gerilmelerin düğüm noktası yer değiştirmeleri cinsinden ifadesi ise,

54 3 {} = [ D][ B]{ } σ (3.31) u d şeklinde elde edilir. Bu aşamadan sonra sırasıyla yer değiştirme, birim şekil değiştirme ve gerilmeler için elde edilen (3.7), (3.8), (3.9), (3.3) ve (3.31) bağıntıları (3.5) virtüel iş denkleminde yerlerine yazılırsa, e T T T { δ } [ ] [ ][ ]{ } +ρ[ ] [ ]{ } h u ( B D B u N N u )da e A d d d f t = h δ u N da+ h δu N ds T e A d e d e s fy ty T x T T x { } [ ] { } [ ] (3.3) bağıntısı elde edilir. (3.3) ifadesinde elemana ait direngenlik [k] ve kütle [m] matrisleri ile yük vektörleri, T T [ k] = he [ B] [ D][ B] da [ ] = e ρ[ ] [ ] A e m h N N da T x {} f = he [ N] da {} e [ ] A e f f y A e T tx t = h N da Ae t y (3.33) olarak tarif edilirse, (3.3) ifadesi, T { δu } ( [ k]{ u } + [ m]{ u } { f} { t} ) d d d = (3.34) şeklini alır. Sonlu eleman yaklaşımında varyasyonlar keyfi olduğundan (3.34) bağıntısının geçerli olması için parantez içindeki ifadenin sıfır olması gerekmektedir. Bu durumda, [ m]{ u } + [ k]{ u } = { f} {} t (3.35) d d + şeklinde elemana ait hareket denklemi elde edilir. Benzer işlemler tüm elemanlar için tekrar edilip, kodlama tekniği veya benzeri bir yöntemle birleştirildiğinde tüm sisteme ait hareket denklemi elde edilir. [ M]{ u } + [ K]{ U } = { P} (3.36) d d Burada, [M] ve [K] sırasıyla (nxn) boyutundaki sistem kütle ve direngenlik matrislerini, {P}ise (nx1) boyutundaki yük vektörünü göstermektedir.

55 Çalışmada kullanılan sonlu eleman Bu kısımda, tez çalışmasında kullanılan sonlu eleman tipinden bahsedilmiştir. Düzlem elastisite (düzlem gerilme/şekil değiştirme) ve eksenel simetrik problemlerin analizi yapılırken, sonlu eleman olarak sekiz düğümlü, izoparametrik, kuadratik sonlu eleman tipi kullanılmıştır (Şekil 3.5). Şekil 3.5 de görülen sekiz düğümlü, izoparametrik sonlu elemanın herhangi bir noktasının koordinatları, şekil fonksiyonları kullanılarak, 8 x = N i x i = i= 1 8 y N i y i (3.37) i= 1 şeklinde elde edilmektedir. Burada x i ve y i, i düğümünün x ve y koordinatlarını ifade etmektedir. N i şekil fonksiyonları ise, elemanın köşe noktalarında; N i 1 = (1 + ξξi )(1 + ηηi )( ξξi + ηηi 1) (3.38a) 4 elemanın kenar orta noktalarında ( ξ i = için); N i 1 = (1 ξ )(1 + ηηi ) (3.38b) elemanın kenar orta noktalarında ( η i = için); N i 1 = (1 + ξξi )(1 η ) (3.38c) şeklinde tarif edilmiştir (Reddy 1993). Elemanın herhangi bir noktasındaki yatay ve düşey yer değiştirmeler ise yine şekil fonksiyonları kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. Kullanılan sonlu eleman izoparametrik olduğundan interpolasyon şekil fonksiyonları ile geometrik şekil fonksiyonları birbirlerinin aynısıdır. 8 u = N i u i = i= 1 8 v N i v i (3.39) i= 1

56 η ξ (b) x y (a) Şekil 3.5. Seçilen sonlu eleman (a) gerçek eleman, (b) referans eleman Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı (3.9) ifadesinde verilen birim şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki yardımıyla, sonlu eleman için şekil değiştirme matrisi [B], şekil fonksiyonları cinsinden matris formunda; [ ] (x16) (3x) (3x16) N... N N N... N N x y y x B = (3.4) [ ] [ ] 8 1 B... B B B = şeklinde ifade edilmektedir. (3.4) ifadesinde görülen tipik bir [B i ] alt matrisi ise, [ ] (3x ) i i i i i x N y N y N x N B = (3.41)

57 33 şeklinde ifade edilmektedir. (3.41) denkleminde şekil fonksiyonlarının x ve y ye göre kısmi türevleri görülmektedir. Ancak şekil fonksiyonları ξ ve η ya bağımlı olduklarından öncelikle şekil fonksiyonlarının ξ ve η ya göre türevleri hesaplanmalıdır. Şekil fonksiyonlarının ξ ve η ya göre türevleri ise, ξ + ξ = ξ y y N x x N N i i i (3.4) η + η = η y y N x x N N i i i şeklinde hesaplanmaktadır. (3.4) ifadesi matris formunda ise, [] = η η ξ ξ = η ξ y N x N J y N x N y x y x N N i i i i i i (3.43) şeklinde ifade edilmektedir. Burada [J], Jacobian dönüşüm matrisi olup, şekil fonksiyonları kullanılarak, [] = η η ξ ξ = η η ξ ξ = 8 1 i i i i i i i i i y N x N y N x N y x y x J (3.44) şeklinde hesaplanmaktadır. (3.43) ifadesinin her iki tarafı soldan Jacobian matrisinin tersi ile çarpılıp düzenlemeler yapılırsa, şekil fonksiyonlarının x ve y ye göre kısmi türevleri, [ ] η ξ = i i * i i N N J y N x N (3.45) olarak elde edilir. Burada [J * ], Jacobian matrisinin tersini ifade etmektedir ( [J * ] = [J -1 ] ). Jacobian matrisinin tersi ise matris formunda,

58 34 * [ ] J = J J * * J 11 1 * J * 1 = 1 J y η x η y ξ x ξ (3.46) olarak ifade edilmektedir. Burada J Jacobian dönüşüm matrisinin determinantını göstermektedir. (3.45) ifadesinde görülen şekil fonksiyonlarının x ve y koordinatlarına göre kısmi türevleri açık yazılacak olursa, N x i N i y = J = J * 11 * 1 N ξ i N ξ i + J + J * 1 * N i η N i η (3.47) ifadeleri elde edilir. Bu ifadeler (3.41) ifadesinde yerine yazılırsa, şekil değiştirme matrisinin elemanları elde edilir. Bu durumda şekil değiştirme matrisi, N i ξ * * N J i 11 J1 * * η B i = J 1 J (3.48) N i * * * * J 1 J J 11 J1 ξ N i η [ ] şeklinde elde edilir. Ayrıca kartezyen koordinatlarındaki elemanter bir alan (da e ), Jacobian dönüşümü kullanılarak, da e = dx dy = J dξdη (3.49) şeklinde ξ η referans koordinat sisteminde ifade edilmektedir. Bu aşamalardan sonra, (3.33) de verilen eleman direngenlik matrisi ξ η referans koordinat sisteminde,

59 35 T T [ k] (16x16) = he [ B] [ D][ B] da= he [ B] [ D][ B] J dξdη (3.5) A e şekline dönüşmektedir. (3.5) ifadesinde görülen [D] malzeme matrisinin elemanları, problemin tipine göre (3.7) veya (3.8) eşitlikleri kullanılarak hesaplanmaktadır. Benzer şekilde eleman kütle matrisi de yine ξ η referans koordinat sisteminde, T T [ m] (16x16) = he ρ [ N] [ N] da= he ρ[ N] [ N] J dξdη (3.51) A e şeklinde ifade edilmektedir. Burada ρ kütlesel yoğunluğu göstermektedir. (3.5) ve (3.51) denklemlerinde görülen integraller, standart Gauss Legendre sayısal integrasyon yöntemi ile hesaplanmaktadır. Bu yönteme göre bir eleman matrisi, I = F( ξ, η)dξ dη Wm Wn F( ξ m, ηn ) (3.5) 1 1 m= 1 n= 1 L L şeklinde hesaplanmaktadır. Burada, L Gauss integrasyon nokta sayısını, W m ile W n Gauss integrasyon ağırlık değerlerini, ξ m ve η n ise Gauss integrasyon nokta koordinatlarını göstermektedir. Elemanın herhangi bir noktasındaki gerilmeler ise (3.31) ifadesinden yararlanarak hesaplanabilmektedir. Gerilme ifadesinde görülen şekil değiştirme matrisi için (3.41) ifadesi kullanılırsa, σ τ x {} σ = σ y = [ ] xy 8 i= 1 N i x N u i i D (3.53) y vi N i N i y x şeklinde düğüm noktalarının yer değiştirmelerine ve şekil fonksiyonlarına bağlı olarak gerilme vektörü elde edilmiş olmaktadır.

60 Eleman yük vektörünün hesabı Kenar yüklerinden düğüm noktalarına gelen katkılar: Elemanın bir kenarına etkiyen yayılı yüklerin (Şekil 3.6), eşdeğer düğüm yükleri cinsinden ifadesi, t t 3 n t = (t n ) i N i = 1 (t t ) i i (3.54) eşitliği ile tarif edilmektedir. Yayılı yüklerin eleman kenarında, ds boyuna etki ettiği kabul edilirse, x ve y doğrultularındaki bileşenler sırasıyla, dt x = t t dscosα t n dssinα = t t dx t dt y = t n dscosα + t t dssinα = t n dx + t t n dy dy (3.55) olarak ifade edilmektedir. (3.55) ifadelerinin, elemanın (η=sabit) kenarı boyunca integrali için, x y d x = dξ d y = dξ (3.56) ξ ξ tarifleri yapılırsa, (3.55) ifadesi, dt dt x y x y = (t t t n ) dξ ξ ξ x y = (t n t t ) dξ ξ ξ (3.57) şekline dönüşür. Bu durumda eleman kenarına etkiyen normal ve teğetsel yüklerden dolayı oluşan eşdeğer düğüm yükleri, x y txi = N S i (tt t n )dξ ξ ξ x y tyi = N S i (tn + t t )dξ ξ ξ (3.58)

61 37 η ξ y x t t t n α ds t n dx t t dy Şekil 3.6. Elemanın kenarına etki eden teğetsel ve normal yükler şeklinde hesaplanmaktadır. Burada S elemanın yüklü kenarını göstermekte olup, bu kenar boyunca çizgisel integraller hesaplanmaktadır. Benzer işlemler elemanın (ξ=sabit) kenarı için de yapılırsa eşdeğer düğüm yükleri aşağıdaki şekilde ifade edilmektedir. y x txi = N S i (tt t n )dη η η y x tyi = N S i (tn + t t )dη η η (3.59) 3.. Eksenel Simetri Durumu İçin Sonlu Eleman Yaklaşımı Üç boyutlu eksenel simetriye sahip sistemler ve dönen cisimler, yükleme durumu da eksenel simetriye uygun olduğu zaman bazı basitleştirmeler ile iki boyutlu problem olarak ele alınabilmektedir. Cisim, Şekil 3.7 de görüldüğü üzere z simetri ekseni etrafında çepeçevre simetriye sahip olması nedeniyle tüm büyüklükler θ dönme açısından bağımsız olmaktadır. Bu nedenle problem r-z düzleminde, şekilde görülen alan üzerindeki iki boyutlu bir problem olarak ele alınmaktadır. Bu tip sistemlerde yerçekimi kuvvetleri eğer z doğrultusunda etkiyorsa hesaba katılmaktadır. Dönel cisimlerdeki merkezkaç kuvvetleri ise, kütle kuvvetlerine ilave edilerek hesaplanmaktadır (Chandrupatla and Belegundu ).

62 38 z z z t P dθ dv= r dθ dr dz = r dθ da r dθ v da u r dz da dr r r θ (a) (b) (c) Şekil 3.7. Eksenel simetri durumu Yer değiştirme-birim şekil değiştirme bağıntıları Eksenel dönel simetri durumunda herhangi bir noktanın yer değiştirmesi, u = u(r, z) v = v(r,z) (3.6) şeklinde ifade edilmektedir. Dolayısıyla birim şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki, {} ε ε ε = ε γ r z θ rz u r v = z u u r v + z r (3.61) şeklinde ifade edilmektedir (Timoshenko and Goodier 198). Buradaki u ve v, sırasıyla r ve z doğrultularındaki yer değiştirmeleri ifade etmektedir.

63 Gerilme-birim şekil değiştirme bağıntıları Cismin içindeki herhangi bir noktanın gerilmeler ile birim şekil değiştirmeler arasındaki ilişki Hooke kanunu kullanılarak (3.5) de verildiği gibi ifade edilmektedir. Ancak eksenel simetrik durum için gerilme ve birim şekil değiştirme vektörleri ile malzeme matrisi düzlem elastisite durumundan farklı olarak aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır (Chandrupatla and Belegundu ). {} σ [ D ] σ σ = σ τ r z θ rz {} ε ε ε = ε γ (1 υ) E = (1 + υ)(1 υ) Simetrik r z θ rz υ (1 υ) υ υ (1 υ) 1 (1 υ) (3.6) Eksenel simetri bağıntılarının sonlu elemanlara uygulanması Eksenel simetrik durumunda da düzlem elastisite problemlerinde olduğu gibi standart sonlu eleman adımları takip edilmektedir. Bu durumda da yine sekiz düğümlü, izoparametrik, kuadratik sonlu eleman kullanılmaktadır (Şekil 3.8). Sonlu eleman yaklaşımı çerçevesinde, Şekil 3.8 de görülen sonlu elemanın herhangi bir noktasının koordinatları, (3.38) ifadelerinde verilen şekil fonksiyonları kullanılarak, 8 r = N i r i = i= 1 8 z N i z i (3.63) i= 1 şeklinde elde edilmektedir. Benzer şekilde elemanın herhangi bir noktasındaki yatay ve düşey yer değiştirmeler ise yine şekil fonksiyonları kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır.

64 4 = = 8 1 i N i u i u = = 8 1 i N i v i v (3.64) r z da Şekil 3.8. Eksenel simetri durumunda seçilen sonlu eleman Sonlu eleman direngenlik ve kütle matrislerinin hesabı Eksenel simetri durumunda da yine düzlem elastisite durumunda olduğu gibi elemanın herhangi bir noktasının yer değiştirmeleri, düğüm noktalarının yer değiştirmeleri cinsinden, şekil fonksiyonları kullanılarak matris formunda (3.7) de verildiği gibi hesaplanmaktadır. Düzlem elastisite problemleri için (3.9) da verilen şekil değiştirme vektörü ise eksenel simetri durumunda, {} [ ] [ ]{ } u d B v u N r z r 1 z r = = ε (3.65)

65 41 şekline dönüşmektedir. Bu durumda eleman direngenlik matrisi, T [ k e] = ( [ B] [ D][ B] rd θ)da (3.66) A e π θ= olarak ifade edilmektedir. (3.66) denkleminde görülen şekil değiştirme matrisi [B], eksenel simetri durumunda [ ] [ B B... ] fonksiyonları cinsinden matris formunda, B = olmak üzere, [B i ] alt matrisi, şekil 1 B8 N i ξ * * J N 11 J1 i * * η J 1 J i = 1 N i (3.67) r ξ * * * * J J J J N i η N i [ B ] şeklinde elde edilmektedir. (3.67) ifadesinde görülen J * ij terimleri, Jacobian matrisinin tersinin elemanlarını göstermektedir. (3.66) denklemiyle verilen eleman rijitlik matrisindeki tüm ifadeler θ açısından bağımsız olduğundan, θ üzerinde (,π) arasında integralin alınmasıyla eleman direngenlik matrisi ξ η referans koordinat sisteminde, T [ ] [ ] [ ][ ] ke (16x16) = π B D B r J dξdη (3.68) 1 1 şekline dönüşmektedir. (3.68) ifadesinde görülen [D] malzeme matrisinin elemanları ise (3.6) eşitliği kullanılarak hesaplanmaktadır. Benzer şekilde eleman kütle matrisi de yine ξ η referans koordinat sisteminde, T [ ] [ ] [ ] me (16x16) = π ρ N N r J dξdη (3.69) 1 1 şeklinde ifade edilmektedir. Burada ρ kütlesel yoğunluğu göstermektedir. Yukarıdaki denklemlerde görülen integraller, düzlem elastisite durumunda olduğu gibi yine standart

66 4 Gauss Legendre sayısal integrasyon yöntemi ile hesaplanmaktadır. Elemanın herhangi bir noktasındaki gerilmeler ise düğüm noktalarının yer değiştirmelerine ve şekil fonksiyonlarına bağlı olarak aşağıdaki gibi ifade edilmektedir. Ni r σ N r i 8 u σ z i σθ i= 1 N v i i τ rz r z { σ } = = [ D] (3.7) N z i Ni r 3.3. Yarı sonsuz ortamda denge denklemleri ve elastik dalgalar Bu kısımda statik ve dinamik yük etkisi altındaki yarı sonsuz zemine ait denge denklemlerinden bahsedilmiştir. Statik yük altındaki zemine ait denge denklemleri Şekil 3.9 da görülen elemanter bir elemana etki eden kuvvetlerin dengesinden yararlanarak, en genel durumda aşağıdaki gibi elde edilmektedir. σ x x τ yx + y τ + z zx = τ xy x σ y + y τzy + z = (3.71) τ x xz τ yz + y σ + z z = Burada σ x, σ y ve σ z normal gerilmeleri, τ ij ise ilgili düzlemdeki kayma gerilmelerini göstermektedir. u, v ve w sırasıyla x, y ve z doğrultularındaki yer değiştirmeler olmak üzere, yer değiştirmeler ile birim şekil değiştirmeler arasındaki ilişki ise,

67 43 y τ yz σy σy + dy y τ xy σ z σ x τ zy τ xy σx σx + dx x τ xz x τ zx σz σz + dz z σ y z Şekil 3.9. Elemanter bir eleman üzerinde etkiyen gerilmeler u ε x = x γ xy u v = + y x v ε y = y v w γ yz = + (3.7) z y w ε z = z γ xz w u = + x z şeklinde ifade edilmektedir. Cismin içerisindeki herhangi bir noktadaki gerilmeler ise, ε = ε + ε + ε (3.73) x y z hacimsel birim şekil değiştirmeyi göstermek üzere, = Gγ σ x = λε + Gε x xy xy σ y =λε+ Gε y yz G yz σ z =λε+ Gε z τ xz = Gγ xz τ τ = γ (3.74) şeklinde ifade edilmektedir. Burada λ Lamé sabitini ve G kayma modülünü göstermekte olup, E elastisite modülü ve υ Poisson oranı olmak üzere,

68 44 υe λ = (1 + υ)(1 υ) E G = (1 + υ) υg = (1 υ) (3.75) şeklinde elde edilmektedirler. Bu durumda statik yükleme altındaki yarı sonsuz zemin ortamındaki hareket denklemleri, λ Lamé sabiti ve G kayma modülü cinsinden, x y z = + + (3.76) Laplace operatörünü göstermek üzere, ε ( λ + G) + G x u = ε ( λ + G) + G v = (3.77) y ε ( λ + G) + G z w = şeklinde elde edilir. Böylelikle (3.71) de verilen diferansiyel denklemler, (3.77) de verilen ve Navier denklemleri adı verilen denklem takımına dönüşmektedir. Dinamik yükleme etkisi altındaki yarı sonsuz zemine ait x, y ve z doğrultularındaki denge denklemleri ise, (3.77) ifadelerinde görülen denklemlerde, atalet kuvvetlerinin katkısı göz önünde bulundurulduğunda, ε ( λ + G) + G x u u = ρ t ( ε y v t λ + G) + G v = ρ (3.78) ε ( λ + G) + G z w w = ρ t

69 45 olarak ifade edilmektedir (Özaydın 198). Burada ρ zeminin kütlesel yoğunluğunu, t ise zamanı göstermektedir. Dinamik yükleme durumunda da birim şekil değiştirmeler ile yer değiştirmeler arasındaki ilişki için yine (3.7) de, gerilmeler içinse (3.74) de verilen bağıntılar kullanılmaktadır. (3.78) de verilen denklemlerin çözümü; a) hacimsel şekil değiştirme dalgasının yayılmasını ve b) sadece dönmeden oluşan dalgaların yayılmasını tanımlayan çözümler olmak üzere iki şekilde yapılabilmektedir (Özaydın 198). İlk olarak (3.78) ifadelerinde verilen x, y ve z doğrultularındaki hareket denklemlerinin sırasıyla x, y ve z ye göre türevleri alınıp elde edilen sonuçlar toplanırsa, ( ε t λ + G) ε = ρ (3.79a) bağıntısı elde edilmektedir. Bu ifade klasik dalga denklemi olup, ε t ( λ + G) = ρ ε (3.79b) şeklinde de ifade edilebilmektedir. ε nin hacimsel birim deformasyon olduğu göz önünde bulundurulursa, (3.79b) ifadesi dönmesiz bir dalgayı ifade etmektedir (Kramer 3). Bu tür dalgalar genellikle basınç dalgası, boyuna veya kısaca P dalgası olarak isimlendirilmekte ve ortam içerisindeki yayılma hızı λ + G c P = (3.8) ρ şeklinde hesaplanmaktadır. Burada λ Lamé sabitini, G kayma modülünü ve ρ zeminin kütlesel yoğunluğunu göstermektedir. P dalgaları karakteristik olarak geçtikleri ortamda önce sıkışma, sonra genleşme meydana getirmektedir. Ses dalgalarına benzeyen bu dalgalardan etkilenen bir parçacığın titreşimi dalga ilerleme yönüne paraleldir (Kramer 3) (Şekil 3.1). (3.78) de verilen hareket denklemlerinin ikinci çözümünde ise, z doğrultusundaki hareket denkleminin y ye göre türevinden, y doğrultusundaki hareket denkleminin z ye göre türevi çıkarılırsa ε devre dışı bırakılmış olur ve sonuç olarak,

70 46 w v w v ρ ( ) = G ( ) (3.81) t y z y z ifadesi elde edilir (Özaydın 198). Bu ifade de yine bir dalga denklemidir. Burada w x w v = (3.8) y z tanımı yapılırsa, w w G ρ x x ρ = G w x = w x (3.83) t t bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı x ekseni etrafındaki dönme den oluşan dalgayı tanımlamaktadır (Kramer 3). y ve z eksenleri etrafındaki dönmeler için de benzer işlemler yapılmaktadır. Bu tür dalgalar genellikle kayma dalgası, enine veya kısaca S dalgası olarak isimlendirilmekte ve ortam içerisindeki yayılma hızı, c = G S (3.84) ρ şeklinde hesaplanmaktadır. Burada G kayma modülünü ve ρ kütlesel yoğunluğu göstermektedir. Kayma dalgaları genellikle içinden geçtikleri ortamda kayma deformasyonlarına yol açmaktadırlar. S dalgasından etkilenen bir parçacığın titreşimi dalga ilerleme yönüne diktir (Kramer 3) (Şekil 3.1). Basınç ve kayma dalgalarından başka zeminlerin yüzeye yakın bölgelerinde ilerleyen, yüzey dalgaları mevcuttur. Yüzey dalgaları, yer yüzeyi ve yüzeydeki katmanlar ile cisim dalgaları adı da verilen P ve S dalgaları arasındaki etkileşim sonucu ortaya çıkmaktadır. Mühendislik açısından en önemli yüzey dalgaları Rayleigh (Şekil 3.1) ve Love dalgalarıdır. Rayleigh (R dalgası) dalgaları etkisindeki bir parçacık hem yatay hem de düşey yönde hareket etmektedir. Rayleigh dalgasının hızı ile cisim dalgalarının hızları arasındaki ilişki, Poisson oranına (υ) bağlı bir katsayı olarak ifade edilmektedir

71 47 (Kramer 3). Ayrıca zeminlerde oluşan cisim ve yüzey dalgalarının hızları arasında aşağıdaki gibi bir ilişki de mevcuttur. c > c > c (3.85) P S R Basınç (P) Dalgası Parçacık Hareketi Kayma (S) Dalgası Parçacık Hareketi Rayleigh (R) Dalgası Parçacık Hareketi Şekil 3.1. Zeminlerde oluşan basınç (P), kayma (S) ve Rayleigh (R) dalgaları (