EĞRİSEL YAPI ELEMANLARININ ETKİN SAYISAL ANALİZİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA 1. A Study on An EfficientNumerical Analysis of TheCurvedStructuralElements

Transkript

1 EĞRİSEL YAPI ELEMANLARININ ETKİN SAYISAL ANALİZİ ÜZERİNE BİR ARAŞTIRMA 1 A Study on An EfficientNumerical Analysis of TheCurvedStructuralElements Timuçin Alp ASLAN İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı Beytullah TEMEL İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı ÖZET Bu çalışmada, geometrik özellikleri eksen boyunca değişen, düzlemi içinde ve düzlemine dik yüklü eğri eksenli çubukların statik yükler altında analizleri incelenmiştir. Analizlerde homojen, izotropik ve elastik malzemeler seçilmiştir. Bu tür yapı elemanlarının statik yükler altında davranışını idare eden temel denklemler özetlenmiş, kanonik formda elde edilen birinci mertebeden adi diferansiyel denklem takımlarının çözümleri Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi (TFY) ile yapılmıştır. Düzlemsel yapı elemanlarının statik analizleri için genel amaçlı Fortran dillinde bilgisayar programları hazırlanmıştır. Hazırlanan bilgisayar programlarının kontrolü, literatürde mevcut değişik yöntemlerin sonuçları ve analitik çözümler ile karşılaştırılarak, literatür ile uyumlu ve etkin oldukları gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: İki-NoktalıSınır Değer Problemleri, Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi ABSTRACT Inthisstudy, inplaneloadedandperpendicularlyloadedtoplanecurvedrodswithvariablegeometricprop ertiesalongtheaxissubjectedtostaticloadsaretheoreticallyinvestigated. Thematerials of thestructuralelementsareassumedto be homogeneous, isotropicandelastic.thegoverningequations of suchstructuralelementsunderstaticloadshavebeensummarized. Theobtainedcanonical form of thefirstorderordinarydifferentialequations has beensolvedbycomplementaryfunctionsmethod (CFM). Forthesuggestedmodels, thecomputerprogramswiththestaticanalysis of theplanarcurvedstructuralelementsarecoded in Fortran. Verification of thecomputerprogramsareperformedbycomparingtheresults of thepresentmethodswiththeothernumericalmethodsandanalyticalsolutions. Theprocedureshavebeenprovedto be highlyaccurateandefficientcomparedtovariousothernumericalmethodsavailable in theliteratures. KeyWords : Two-Point Boundary Value Problems, ComplementaryFunctionsMethod 1 Aynı başlıklı Yüksek Lisans tezinden üretilmiştir

2 Giriş Bazı mühendislikproblemlerininikinoktalısınırdeğerproblemleriolaraketkinçözümlerininar aştırılmasıhalagüncelliğinidevamettirmektedir. Bu türproblemlere; doğrusalveeğriselçubuksistemlerigibibirçokyapıelemanlarıörnekolarakverilebilir. Çubuklar,günümüzdebirçokmühendislikalanında;örneğininşaat,makina,otomotivgib iönemliendüstrikollarındayapısalelemanolarakkullanılmaktadır.genellikleinşaatmüh endisliğindekemer, köprüvemerdivenlergibieğrieksenliyapıelemanlarıolarakkullanılagelmektedir. Bu sebeptendirki, yukarıdabahsedilenyapıelemanlarınınstatikyükleraltındadavranışınınbelirlenmesiö nemarzetmektedir. Özbek (1963), eğrieksenliçubuklarınstatikdavranışlarınıincelemiştir. Deplasmanvekesittesirlerini, birbirleriyleardışıktürevlerile ilk defaifadeederekeldeetmiştir. İnan (1964), elastomekaniktebaşlangıçdeğerproblemlerininvetaşımamatrisinedayalıçözümlerini incelemiştir. Doğru, düzlemselvedaireeksenliçubuklarındiferansiyelgeçişmatrisikullanaraktaşımamatris lerinieldeetmiştir. İnan (1966), elastikçubuklarıngenelteorisiniincelemiş, buradandoğru, düzlemselvedaireeksenliçubuklarıntaşımamatrisinieldeederek, çözümlerdetaşımamatrisiyönteminiuygulamıştır. HaktanırveKıral (1991), eksenidüzlemindeherhangibireğriolabilen, kesitgeometrisiveözelliklerieksenboyuncadeğişebilençubukların, düzlemiiçindeveyadüzleminedik, çubukekseniboyuncadeğişkenyükleraltında, çubukstatiğiniidareedendiferansiyeldenklemlerinçözümündetfy nikullanmışlardır. Bayhan (1993), daireeksenlidüzlemçerçevelerinstatikyükleraltındakidavranışlarıtaşımaverijitlikm atrisiyöntemiilegerçekleştirmiştir. DaireeksenlielemanlarınelemanrijitlikmatrisiveelemanyükvektörleriTaşımaMatrisiy öntemiyleeldeetmiştir. Haktanır (1994), elastikizotropmalzemeyesahipdüzlemselçubuklarınstatikdavranışınıtfy yedayalıri jitlikmatrisiyöntemiyleincelemiştir. EldeettiğidenklemlerinçözümündeRunge-Kutta 4 (RK4) algoritmasınıkullanmıştır. Bozkurt (1995), eğrieksenliyapılarınstatikyükleraltındaeğilmesinihesaplamakiçin, TamamlayıcıFonksiyonlarYöntemi(TFY) nikullanmıştır. Çalım (1996), eğrieksenliçubuksistemlerinstatikyükleraltındakidavranışlarınıidareedendenklemle ri, kanonikhaldebirincimertebedenadidiferansiyeldenklemtakımıhalindeeldeetmiştir. Bu denklemleri (RK4) algoritmasınıkullanarakdirektamamlayıcıfonksiyonlaryöntemivetamamlayıcıfon ksiyonlaryönteminedayalırijitlikmatrisiyöntemiileçözmüştür.karaca (2014), düzlemiiçindevedüzleminedikyüklüdaireeksenliçubuklarınstatikvedinamikanalizleri niteorikolarakincelemiştir

3 Yapılanaraştırmalarsonunda, eğrieksenlidüzlemselyapıelemanlarınınstatikyüklemeleraltındakiçözümlerininfarklı yöntemlerleyapıldığınadairbirçokçalışmayarastlanmaktadır. Bu çalışmada geometrik özellikleri ve yükleri eksen boyunca değişen, düzlemi içinde veya düzlemine dik yüklü çubukların, davranışını idare eden diferansiyel denklemlerin çözümlerinde Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi (TFY) kullanılmıştır. TFY, iki noktalı sınır değer problemlerini başlangıç değer problemine dönüştüren bir sayısal çözüm yöntemidir. Başlangıç değer probleminin çözümleri için bu çalışmada 5. mertebe Runge-Kutta (RK5) algoritması kullanılmıştır. Ele alınan çubuk malzemesi homojen, izotropik ve lineer elastiktir. Daireeksenliçubuklardaaramesnetvearatekilyüklerinbulunduğudurumlarda,Tama mlayıcıfonksiyonlaryöntemiiledoğrudançözümlerkolaylıklayapılamamaktadır. Bu nedenle, TFY ileelemanrijitlikmatrisleriveelemanyükvektörleribulunarak, analizlerrijitlikmatrisimetoduileyapılabilmektedir. Bu amaçla her bir durum içinfortrandilindebilgisayarprogramlarıhazırlanmıştır. Hazırlananprogramdaneldeedilensonuçlar, literatürdeverilenanalitikçözümlertablolarüzerindekarşılaştırılmıştır. Materyal ve Metot Çubuk ekseniolarakherhangibireğridüşünülecekolursa;böylebireğri: r=r(s)yervektörüiletarifedilir. Şekil 1. Çubuk ekseni BuradaseğriüzerindebaşlangıçolarakseçilenbirAnoktasıileBnoktasıarasınd akimesafeyiifadeeder,s seçilendoğrultudapozitiftir.eğrieksenliçubuklarda,eksenebağlıhareketlibirkoordinatt akımının(t,n,b)seçilmesiproblemintanımlanmasındakolaylıksağlamaktadır.ayrıcah erüçbirimvektör deyervektörünebağlıdır. Buradat,nvebsırasıylateğet,normalvebinormalbirimvektörleriolaraktarifedil mektedir.tartansyönünde,nteğetbirimvektöredikolup,yönüeğrilikmerkezinedoğrudur.b, binormalbirimvektörolup, tven birimvektörlerininoluşturduklarıdüzlemediktir. Buşekildetarifedilen;t,n,bbirimvektörlerininteşkilettiğitakımsağ elkuralınagöreteşkiledilirvearalarındafrenetformülleridenilentürevselbağıntılarvardı

4 r. dt ds = n dn ds = τb t db ds = τn(1) Burada, eğrilikolupdaimapozitiftir. τ,tabiburulmayıifadeederveuzayeğrilerin desıfırdanfarklı,düzlemseleğrileriçinsıfırdır. τ = 0olaneğrilere doğru denilmektedir. Daire için ise, = sabittir. Statik halde denge, bünye ve uygunluk denklemlerinden elde edilen formülasyonlar aşağıda verilmektedir. dt ds dm ds dω + p = 0(2) + t T + m = 0 (3) ds [D] 1 M = 0 (4) du ds + t Ω-[C] 1 T = 0 (5) Buradahesaplanmasıgerekeniçkuvvetler,T vemile;yerdeğiştirmevedönme,u veωolmaküzeredörtvektörelbüyüklükvardır.hesaplardakolaylıksağlaması bakımındanskalerdenklemlerleişlemyapılmasıuygunolacaktır.eksentakımıolarak ( t,n,b) hareketlitakımıalınmışolup, buvektörelifadelersözü edilen hareketlitakımaaktarılmıştır.hesaplardaserbestdeğişkensyerine ifadesi kullanılmıştır. Aralarında ds = rbağıntısıvardır. Eğrilik ise, = 1/r şeklinde tarifedilir.böylece eğrieksenliçubuklarınstatikyükleraltındakidavranışıidareedengeneldenklemlervekt örelformdaeldeedilmişvesonrasayısalçözümyapılacağından, denklemlerhareketlitakımaaktarılmıştır. Denklemlerin,düzlemiiçindevedüzleminedikyüklüolmaküzere,altışaradetikigrubaayr ılmasıhesaplamalardabüyükkolaylıksağlayacaktır. Düzlemi İçinde Yüklü Hal İçin Kanonik Denklemler du t = U n + r T t C tt U t + r b + r T n C nn b = r M b D bb (6) dt t = T n rp t du n =

5 dt n = T t rp n dm b = rt n rm b şeklinde düzlemi içinde yüklü hal için 6 adet olarak elde edilir. Düzlemine Dik Yüklü Hal İçin Kanonik Denklemler du b t = r n + r T b C bb = n + r M t D tt n = t + r M n D nn (7) dt b = rp b dm t d M n = M n rm t = M t+rt b rm n şeklinde düzlemine dik yüklü hal için 6 adet denklem olarak yer almaktadır. Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi İle Diferansiyel Denklemlerin Birinci mertebeden 6 adet diferansiyel denklem, Çözümü d{y( )} = [A( )] nxn [Y( )] nx1 + [F( )] nx1 (8) şeklinde olsun. Burada bağımsız değişken, {Y} bilinmeyen bağımlı değişkenleri içeren kolon matris, [A] diferansiyel geçiş matrisi, {F}yüklemeyi içeren kolon matristir. Düzlem içinde yüklü daire eksenli çubuklar için durum vektörünün elemanları Y( ) = {U t ( ), U n ( ), b ( ), T t ( ), T n ( ), M b ( ) } T (9) olarak tanımlanmaktadır. Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi, başlangıç şartları yardımıyla (8)denkleminin çözümüne dayanmaktadır. TFY ile sınır değer problemi başlangıç değer problemine indirgenmektedir. Denklemin genel çözümü ise, {Y( )} = 6 m=1 C m (U (m) ( )) + {V( )} (10) şeklindedir. U (m) ( )m inci bileşenine 1, diğerlerine sıfır değeri verilerek elde edilen homojen çözümdür. V( ) ise, başlangıç şartları sıfır alınarak elde edilen özel çözümdür. Burada C m integrasyon sabiti sınır şartlarından elde edilmektedir

6 Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemine Dayalı Rijitlik Matrisinin Hesaplanması Eleman denklemi aşağıdaki şekilde yazılmaktadır. {p} = [k]{d} + {f} (11) Her düğümde üç serbestlik derecesi olmak üzere, bunun ikisi deplasman birisi dönmedir. Elemanın başlangıç düğümü i, diğerucu j düğümü olmak üzere eleman deplasman ve eleman uç kuvvetleri {d} = {U t ( i ), U n ( i ), b ( i ), U t ( j ), U n ( j ), b ( j )} T (12) {p} = {T t ( i ), T n ( i ), M b ( i ), T t ( j ), T n ( j ), M b ( j )} T şeklinde ifade edilmektedir. Eleman rijitlik matrisini hesaplamak için (8)ifadesindeki eleman uç deplasmanlarına sırasıyla birim deplasman uygulanır. Bu işlem 6 kez tekrarlanır. Ankastrelik uç kuvvetleri ise, bütün uç deplasmanları sıfıra eşitleyerek (8)denkleminin çözümünden hesaplanmaktadır. {f}={ T t ( i ), T n ( i ), M b ( i ), T t ( j ), T n ( j ), M b ( j )} T (13) Eleman koordinatlarında elde edilen bu denklemlerden sistem koordinatlarına geçmek için aşağıdaki transformasyon işlemi uygulanmalıdır. [k ] = [T] T [k][t] ; [f ] = [T] T [f] (14)Burada T transformasyon matrisi olup eğri eksenli düzlemsel çubuklar için aşağıda verilmektedir. Çubuğun i ve j uçları için dönüşüm matrisleri: t i 0 Cosθ i Sinθ i 0 Cosθ j Sinθ j 0 T = [ 0 t ], t i = [ Sinθ i Cosθ i 0], t j = [ Sinθ j Cosθ j 0](15) j Bu şekilde sistem koordinatlarında elde edilen eleman matrislerinin uygun bileşenleri kullanılarak, kodlama tekniği ile sistem rijitlik matrisi ve sistem yük vektörü oluşturulmaktadır.düzlemine dik yüklü daire eksenli çubuklar için de işlemler benzer şekilde yapılmaktadır. Örnek 1: Düzlemi İçinde Yüklü İki Açıklıklı Daire Eksenli Çubuk

7 Şekil2. Düzlemi içinde yüklü iki açıklıklı daire eksenli çubuk vekodlama durumu Düzlemiiçindeyüklüikiyarımdairedenoluşanikiucuankastredaireeksenliçubuk problemielealınmaktadır(şekil2).daireeksenlikirişe,p=1tşiddetindetekilyükuygulanm ıştır.geometrikvemalzemeözellikleri: ataletmomentii b =1/12m 4,yarıçapr=10m,elastisitemodülüE= t/m 2,poissonoranı ν=0.3vea = 1 m 2 olarakverilmiştir. Bulunansonuçlar, (Bayhan,1993) ve ANSYSprogramıyardımıyla100 adetdoğrueksenlielamankullanılarakbulunankesittesirleriçizelge1. dekıyaslanmakt adır. Çizelge 1. Düzlemi içinde yüklü iki açıklıklı daire eksenli çubukların uç kuvvetleri Eleman No Kesit Tesirleri Bu Çalışma Bayhan(1993) Taşıma Matrisi ANSYS (100 eleman) 1 Tti Tni Mbi

8 Ttj Tnj Mbj Tti Tni Mbi Ttj Tnj Mbj Tti Tni Mbi Ttj Tnj Mbj Çizelge 1.'de görüldüğü gibi, bu çalışmada elde edilen sonuçlar ile (Bayhan,1993) ve ANSYS değerleri uyum içerisindedir. Örnek 2: Düzlemine Dik Yüklü Daire Eksenli Çubuk

9 Şekil 3. Düzlemine dik yüklü daire eksenli çubuk vekodlama durumu Düzleminedikyüklüdaireeksenliçubukproblemigözönünealınmaktadır(Şekil 3.).Daireeksenlikirişe,q b =1t/myayılıveP=100tşiddetindetekilyükuygulanmıştır. Geometrikvemalzemeözellikleri:ataletmomentleriI n =1/12m 4, I t =0.141m 4, yarıçap r=10m,elastisitemodülüe= t/m 2,poissonoranıν=0.3 v e A = 1 m 2 olarakverilmiştir. ProblemeaitsonuçlarÇizelge 2.'deverilmektedir Çizelge 2. Düzlemine dik yüklü daire eksenli çubuklarınuç kuvvetleri

10 Eleman No Kesit Tesirleri Bu Çalışma TFY ile I t =0.141 m 4 Bayhan (1993) TaşımaMatrisi I t =0.208 m 4 Bu Çalışma TFY ile I t =0.208 m Mti Mni Tbi Mtj Mnj Tbj Mti Mni Tbi Mtj Mnj Tbj Mti Mni Tbi Mtj Mnj Tbj Bu problem Çizelge 2. üzerindeliteratür (Bayhan,1993) ilekarşılaştırılmıştır. Ancakliteratürdeverilenburulmaataletmomentideğeri,I t =0.208 m 4 hatalıolup, buhatalıataletmomentiiçinliteratürilekarşılaştırılmışveuyumiçerisindeolduklarıgörülmü ştür. Ayrıca, doğruburulmaataletmomenti,i t =0.141 m 4 değeriiçinpoblemtekrarçözülmüştür Tartışma ve Sonuçlar Eğrieksenliçubuklarınstatikdavranışıiçindengedenklemleri,bünyedenklemleri veuygunlukşartlarındandörtadetvektöreldenklemeldeedilmiş ve sonra sayısal çözüm yapılabilmesi bakımından denklemler hareketli takıma aktarılmıştır.denklemlerin, düzlemi içinde ve düzlemine dik yüklü olmak üzere,altışaradetikigruba ayrılmasıhesaplamalarda büyükkolaylık sağlamaktadır.eksenelvekaymadeformasyonuetkileri dedikkatealınarakyapılan çözümler için Fortran dilinde bilgisayar programları hazırlanmıştır. Hazırlanan programdan elde edilen sonuçlar, literatürde verilen analitik çözümler ile tablolar üzerinde karşılaştırılmış ve sonuçların uyum içerisinde olduğu görülmüştür

11 Kaynaklar ANSYS, 2013, Inc Release 15.0, Canonsburg, PA BAYHAN, S., Daire Eksenli Düzlemsel Çubukların Taşıma Ve Rijitlik Matrisi İle Analizi. Yüksek Lisans Tezi, Çukurova Üniversitesi, Adana.193s. BOZKURT, M., Silindirik Tonozlar Daire Ve Helisel Eksenli Taşıyıcı Sistemlerin Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yöntemi İle Analizi Mathematıca Uygulamaları-. Yüksek Lisans Tezi, Çukurova Üniversitesi, Adana.213s. ÇALIM,F.F.,1996. Eğri Eksenli Çubuk Sistemler Ve Silindirik Tonoz Yapıların Tamamlayıcı Fonksiyonlar Metodu Ve Rijitlik Yöntemi İle Statik Analizi. Yüksek Lisans Tezi, Çukurova Üniversitesi, Adana.166 s. HAKTANIR,V.,1994. A New MethodForThe Element StifnessMatrix Of Arbıtrary PlanarBars, 4; HAKTANIR,V., KIRAL E.,1991. Tamamlayıcı Fonksiyonlar Yönteminin Düzlemsel Çubukların Statiğine Doğrudan Uygulanması, Ç.Ü. Müh. Mim. Fak. Dergisi., Adana, 2; KARACA, N.,2014. Düzlemsel Çubukların Taşıma Ve Rijitlik Matrisi Metodu İle Statik Ve Dinamik Analizi Yüksek Lisans Tezi, Mustafa Kemal Üniversitesi, Hatay.67s. İNAN, M.,1966. Elastik Çubukların Genel Teorisi. Berksoy Matbaası,İstanbul, 179s. ÖZBEK, T., Bulletin of TechinalUniversity of İstanbul vol. 15 Teşekkür Bu çalışmada vermiş olduğu desteklerinden dolayı çok değerli meslektaşım İnş. Y. Müh. AhmadReshadNOORI yeteşekkür ederim