BÖLÜM 3 LAMİNER AKIMIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ

Transkript

1 BÖLÜM 3 LAMİNER AKIMIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ 3.1- Giriş 3.. Külenin kornm: Süreklilik denklemi 3.3. Momenmn kornm: Momenm denklemi Laminer kama gerilmesinin modellenmesi 3.3. Momenm denkleminin laminer akımda çeşili biçimleri 3.4. Enerjinin kornm: Enerji denklemi Laminer ısı akısının modellenmesi 3.6 Eksenel simerik denklemlerin iki bol biçime dönüşümü

2 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 1 BÖLÜM 3 LAMİNER AKIMIN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ 3.1. Giriş B bölümde hareke denklemlerinin sınır abaka formları incelenecekir. B amaçla diferansiel büüklükeki bir akışkan elemanına kornm ilkeleri glanacakır. İncelemelerin kasamı mükemmel gazlar için iki-bol e eksenel-simerik akımlarla sınırlı lacakır. Oraa çıkan denklem sisemi maemaiksel olarak karmaşık olmakla birlike akımın sınır abaka içerisindeki arınılarını ansıabilmekedir. 3.. Külenin kornm: Süreklilik denklemi İki-bol sınır abaka akımı içinde Şekil 3.1 deki gibi diferansiel büüklüke bir konrol hacmini ele alalım. U, d d d d d τ τ d d d, τ d Şekil 3.1- Viskoz abakada küle e momenmn kornm için konrol hacmi B konrol hacmine sol arafan giren, sağ arafan çıkan debiler arasındaki fark d d d d d d ( d d ( d d al arafan giren e üs arafan çıkan külesel debiler arasındaki fark d d d d d d ( d d ( d d ol, konrol hacminden çıkan ne debi konrol hacmi içerisinde birim zamanda medana gelecek küle değişimine (azalmasına ( ( d d d d şeklinde eşi olacakır. B bağını düzenlenerek ( ( UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

3 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri şeklinde geirilebilir. Anı bağını eksenel-simerik halde 1 r ( r 1 ( r r r şeklini alır. Brada r büüklüğü simeri eksenine olan radal zaklığı belirmekedir. Sabi oğnlkl akım halinde düzlemsel e eksenel-simerik süreklilik denklemleri, akım daimi olsn ea olmasın e 1 r ( r 1 ( r r r şekline indirgenir. Açıkça görülmekedir ki süreklilik denklemi, sabi oğnlkl halde lineer bir adi diferansiel denklemdir. Denklemde iskozie büüklüğü er almadığından iskoz e iskoz olmaan akımların her ikisinde de geçerlidir. Denklemde birden fazla bağımlı değişken oldğndan başka denklemlerle birlike çözülmelidir. Süreklilik denkleminin iki-bol (düzlemsel ea eksenel-simerik biçimi akım fonksionnn anımına göürmekedir. Niekim ψ ; ψ şeklinde bir ψ skaler fonksion anımlanırsa bnn süreklilik denklemini sağladığı görülmekedir. B skaler fonksion eksenel-simerik halde de ψ r r ; ψ r şeklinde anımlanır. Sıkışırılabilir halde akımın daimi olması kadıla b anımlamalar ψ ; ψ ψ r r ; ψ r şeklinde aılır. Akım fonksion karamı bilinmeen saısını bire indirerek süreklilik denkleminin çözümüne imkan araığı için fadalı olmakadır Momenmn kornm: Momenm denklemi Sınır abaka aklaşımında üzee dik doğrlda basınç sabi oldğndan momenm denkleminin sadece doğrlsnda azılması eerli olr. Bna göre ine Şekil 3.1 deki konrol hacmi dikkae alınarak, konrol hacmine soldan giren e sağdan çıkan külelerin doğrlsnda aşıdıkları momenmlar arasındaki fark UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

4 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 3 ( d d d ( d ( d d al arafan giren e üs arafan çıkan külesel debilerin ine -doğrlsnda aşıdıkları momenmlar arasındaki fark d ( ( d d d d d şeklinde azılabilir. Konrol hacminde -doğrlsnadaki momenm arıca küle mikarının zamanla değişmesi soncnda da ( d d kadarlık bir değişim göserecekir. Bna göre ne momenm değişimi ( ( ( d d olarak elde edilir. Ki b momenm değişimi -doğrlsnda ekien bileşke kele dengelenecekir. Konrol hacmi içindeki akışkan kilesine ekien keler bünesel e üzesel keler olmak üzere iki grba arılır. Brada doğrlsnda ekien bünesel keler kısaca, birim hacim başına f ile emsil edilecekir. Çoğ raik roblemde üze keleri basınç keleri e eğesel kelerdir. Şekil 3.1 e göre -doğrlsndaki basınç kelerinin bileşkesi d d d d d olr. Sınır abaka içerisinde basınç doğrlsnda değişmediğinden kısmi üre erine adi üre alınması düşünülebilir. Ancak brada daimi olmaan haller göz önüne alınarak basıncın anında değişkenine de bağlı olacağı düşüncesile kısmi üre sembolü mhafaza edilmişir. -Doğrlsndaki eğesel keler konrol hacminin al üzeindeki aaşlaıcı e üs üzündeki sürükleici kama gerilmelerinden kanaklanmaka ol, bnların bileşkesi τ τ d d τd τ d d şeklinde azılabilir. Momenm değişimi ile kelerin bileşkesi eşilenerek ( ( ( τ f ea eni bir düzenleme ile UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

5 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları 4 ( ( f τ elde edilir. Brada ilk aranez içindeki erimler olamı süreklilik denklemi gereği sıfıra eşiir. Gerie kalan erimler oğnlkla bölünerek τ f 1 1 elde edilir. B eşilik düzlemsel, zamana bağlı, sıkışırılabilir sınır abakalar için bünesel keleri de içeren denklem ol, çıkarılması sırasında akımın laminer ol olmadığı dikkae alınmamışır. B bakımdan gerek laminer, gerekse ürbülanslı akımlar için geçerlidir. Laminer e ürbülanslı sınır abakalar arasındaki ek fark b denklemdeki τ kama gerilmesinin modellenmesi sırasında görülecekir Laminer kama gerilmesinin modellenmesi τ kama gerilmesinin modellenmesi, önce sınırlı bir hal dikkae alınarak açıklanabilir. Bünesel kelerin olmadığı, daimi, sabi oğnlkl sınır abaka için süreklilik e momenm denklemleri sırasıla τ 1 1 şeklindedir. Basıncın ( şeklindeki değişimi amamıla dış akım arafından belirlenmeke ol b denklem siseminin bilinmeenleri,, e τ dr. İki denkleme karşılık üç bilinmeen blndğndan denklem siseminin çözülebilir hale gelmesi için üçüncü bir denkleme (ea bağınıa ihiaç ardır. e hız bileşenleri arasında direk bir ilişki aramanın anlamı olmaı aranan üçüncü bağınının τ için olması gerekir. Yani τ büüklüğü diğer büüklükler cinsinden bir biçimde ifade edilmelidir. Bn ifade ediş biçimi modelleme olarak adlandırılır. Newonien bir akışkanın laminer sınır abakadaki akışı için µ τ bağınısı geçerlidir. B halde iskozie kasaısı µµ(t şeklinde sadece akışkanın fiziksel bir özelliği e sıcaklığın bir fonksion ol akışkanın harekeinden bağımsızdır. Non- Newonien akışkanlarda b bağını biraz daha karmaşıkır Momenm denkleminin laminer akımda çeşili biçimleri Kama gerilmesi için erilen bağını momenm denkleminde kllanılarak e bünesel kele ilgili erim ihmal edilerek µ

6 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları 5 elde edilir. Şae akımda sıcaklık değişiorsa µµ(t ol en son erimde µ kasaısı ürein içinde lmalıdır. Şae akım eksenel simerik ise momenm denklemi µ r r r r r 1 şeklinde olr. Eksenel simerik cisim üzerinde Şekil 3. deki gibi bir koordina sisemi kllanılırsa momenm e süreklilik denklemleri µ ( ( r r r j j j şeklinde azılabilir. Brada r ( lokal göde,, U r ( Şekil 3.- Eksenel simerik sınır abaka için gödee bağlı eksen akımı arıçaıdır. B denklemler keskin köşeler olmamak e δ << r o olmak kadıla geçerlidir. Yani d²r o /d² ürei gn biçimde olmalıdır. Momenm denklemi düzlemsel haldeki ile anıdır. Süreklilik denklemi ise bir mikar farklılık gösermekedir. Süreklilik denklemi b farklılığı içerecek biçimde düzenlenmiş ol, j için düzlemsel hal, j1 için de eksenel simerik hal elde edilmekedir. Sabi oğnlk halinde süreklilik denklemi, akım daimi olsn ea olmasın ( ( r r j j şekline gelir. Sabi özellikli akım halinde (ki gaz akımları için sabi oğnlk haline karşılık gelir momenm denklemi 1 ν şekline gelir. Daimi akım için ilk erim oradan kalkar e basıncın ürei de adi üre şekline gelir. Momenm denkleminin fadalı bir biçimi de akım fonksion soklarak elde edilir. İkibol halde hız bileşenlerinin akım fonksion cinsinden ifadeleri momenm denkleminde erleşirilerek 3 1 ψ ν ψ ψ ψ ψ ψ elde edilir. Denklemin ek bilinmeeni ψ(,, büüklüğüdür.

7 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri Enerjinin kornm: Enerji denklemi Akımdaki ısıl enerji iç enerji, anali ea sıcaklık cinsinden ifade edilebilir. B üç büüklüğün olam değerleri (drma nokası değerleri de kllanılabilir. B nedenle lieraürde enerji denkleminin bir çok biçimini görmek mümkündür. Enerjinin kornm ermodinamiğin birinci asası ile ifade edilir. B asa bir sisemin enerjisindeki değişimin ısı ransferi ile iş arasındaki farkan kanaklandığını belirir. Yasaı Şekil 3.3 deki diferansiel konrol hacmine glaalım. T U,, d d δ T ( T e T( δ ( U e ( T q q d d T T d τ τ d d τ d T T d T q Şekil 3.3- Sınır abakada enerjinin kornm için konrol hacmi Sınır abaka aklaşımı gereği, >>, >> Sıcaklık alanı için benzeri şekilde T >> T Mükemmel bir gaz akımındaki enerji değişimi ısıl enerji ile kineik enerji değişimlerinin olamı olarak de d c dt d şeklinde ifade edilebilir. Konrol hacmine soldan giren külelerin sokğ enerji e d e sağdan çıkan külelerin çıkardığı enerji ( d e e Al üzeden giren e üs üzeden çıkan enerjiler d d UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

8 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 7 e ( d d e e d d Arıca konrol hacmi içindeki küle mikarının zamanla değişiminden kanaklanan enerji değişimi de e d d şeklinde azılabilir. B büüklükler birleşirilerek ne enerji değişimi, d,d için olarak elde edilir. e e e Isı akısı q ekörü ile belirilirse e sınır abaka aklaşımı gereği ısı akısının sadece konrol hacminin al e üs üzelerinde önemli oldğ dikkae alınırsa ne ısı akısı için azılabilir. q q qd q d d d d Bünesel keler ihmal edildiği akdirde sisem üzerinde iş aan keler sadece basınç keleri e iskoz keler olacakır. Konrol hacminin dike üzlerile aa üzelerine ekien kelerin aıkları ne işler sırasıla ( d d e ( d d Konrol hacminin al e üs üzelerindeki eğesel kelerin aığı ne iş de şeklinde ifade edilebilir. ( ( τ τ τ d τ d d d d Sisem üzerinde basınç kelerinin e eğesel kelerin aığı ne işler birleşirilerek elde edilir. ( ( ( τ d d UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

9 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 8 Şimdi, ermodinamiğin birinci asası gereği, konrol hacmine soklan ısı ile sisem üzerinde aılan iş olamı konrol hacminin enerjisindeki değişime eşilenirse, birim hacim başına ( ( ( q τ e e e elde edilir. B eşilik enerji denkleminin ek kllanışlı olmaan bir biçimini olşrmakadır. B eşiliğin solndaki erimler, maeral üre anımı gereği D e e e e D ile belirilerek enerji denklemi ( ( ( D q τ D e şeklinde azılabilir. Öe andan anali anımından h e e h Maeral üre alınarak Süreklilik denkleminden De D Dh D D h D D D D D ( ( D D Ykarıdaki maeral ürede kllanılarak De Dh D D D D De Dh D D ( ( De Dh D D UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

10 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 9 Bradan basınçla ilgili üreler çekilerek Enerji denkleminde kllanılarak e düzenlenerek ( ( Dh De D D ( q τ e D D D D Dh De ( q τ e D D D D Dh De ( q τ h D D elde edilir. -Momenm denklemi iki arafı ile çarılarak düzenlenerek τ τ τ ea şekline gelir. B denklem D τ D mekanik enerji denklemi enerji denkleminin son halinde kllanılarak ( q τ D D Dh D Dh τ q τ τ D h h h τ q Arıca dh c dt ol T T T q c τ UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

11 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 1 elde edilir. B bağını sınır abakalar için enerji denkleminin çok ercih edilen kllanışlı bir biçimini olşrmakadır. Bradaki kama gerilmesi e ısı ransfer hız henüz modellenmediği için b denklem laminer e ürbülanslı sınır abakaların her ikisi için de geçerlidir Laminer ısı akısının modellenmesi Bilinen çoğ akışkanın laminer sınır abakası için ısı ileimi T Forier asası q k ile modellenir. Brada k büüklüğü akışkanın fiziksel bir özelliği ol sıcaklığın bir fonksiondr: kk(t. B ifade e arıca Newonien akışkanlar için kama gerilmesi modeli enerji denkleminde kllanılarak T T T T c k µ B denklem sabi özellikli akışkanlar için T T T T c k µ şekline gelir. Eksenel simerik sınır abakalar için benzeri denklemler e T T T 1 T c kr µ r r r r T T T k T c r µ r r r r şeklindedir Eksenel simerik denklemlerin iki bol biçime dönüşümü Bazı hallerde eksenel simerik bir cisim erafındaki sınır abakanın hesalanması roblemi eşdeğer iki-bol bir cisim üzerindeki sınır abakanın hesalanması roblemine indirgenebilir. Akıma dik eğriliğin ekisinin küçük oldğ (δ << r o hallerde b indirgemei sağlaan bir dönüşüm Mangler (1945 arafından oraa konmşr. Sıkışırılabilir şekli de mec olan dönüşüm brada sabi-oğnlkl, sabi özellikli akış için göserilecekir. Eksenel simerik haldeki daimi akım için Süreklilik ( r ( r UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları

12 Bölüm 3: Laminer akımın diferansiel denklemleri 11 Momenm denklemlerinde dönüşümleri glanırsa ν 1 1 r r d'; L L L dr ; ; Ue Ue r r d ( ( ν d 1 d ( ( elde edilir. B dönüşüm önemi ileride görüleceği gibi bazı basi sonçların doğrdan gelişirilmesini sağlar. Arıca sınır abaka roblemlerinin saısal çözümünde hesalama bölgesinin şeklinin dönüşürülmesinde de aralı olmakadır. UZB 386 Sınır Tabaka 7-8 Bahar Yarıılı Ders Noları