Iki Boyutlu Sabit Katsay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sistemleri (Euler Metodu)

Transkript

1 Iki Boyulu Sabi Kasay l Lineer Homogen Diferensiyel Denklem Sisemleri (Euler Meodu) Bu bölümde sabi kasay l, lineer, homogen 8 >< d = a 1x + b 1 y >: dy d = a 2x + b 2 y sisemi ele al nmakad r. Burada a 1 ; a 2 ; b 1 ; b 2 kasay lar reel sabilerdir. (1) siseminin y = Be (2) formunda üsel çözümlerini arayaca¼g z, burada A; B ve sabilerdir. (2) ifadesi (1) siseminde yerine yaz l rsa, ve buradan Ae = a 1 Ae + b 1 Be Be = b 1 Ae + b 2 Be (1) (a 1 )A + b 1 B = 0 (3) a 2 A + (b 2 )B = 0 bulunur, burada A ve B bilinmeyen sabilerdir. (3) sisemi aç k olarak A = B = 0 aşikar çözümüne sahipir ki bu durum (2) siseminin x = y = 0 aşikar çözümünü oraya ç kar r. Di¼ger arafan bilinmekedir ki (3) cebirsel siseminin aşikar olmayan bir çözüme sahip olmas için gerek ve yeer koşul kasay lar marisinin deerminan n n s f r olmas d r. Yani a 1 b 1 a 2 b 2 = 0 ya da 2 (a 1 + b 2 ) + (a 1 b 2 a 2 b 1 ) = 0 (4) olmas d r, burada bilinmeyendir. (4) denklemine (1) sisemine ilişkin karakerisik denklem denir. Karakerisik denklemin 1 ; 2 kökleri karakerisik kökler ad n al r. 1

2 = 1 (4) karakerisik denkleminin bir kökü olsun. Bu durumda 1 de¼geri (3) siseminde yerine yaz larak karş l k gelen A = A 1 ve B = B 1 de¼gerleri bulunur. Böylece (2) göz önüne al n rsa, (1) siseminin aşikar olmayan bir çözümü x = A1 e 1 y = B 1 e 1 şeklinde bulunur. Şimdi aşa¼g daki üç durum göz önüne al nacak r: 1. 1 ve 2 kökleri reel ve birbirinden farkl d r ve 2 kökleri reel ve eşiir ve 2 kökleri eşlenik kompleksir. Teorem 1. (1) sisemine ilişkin (4) karakerisik denkleminin 1 ve 2 kökleri reel ve farkl olsun. Bu durumda (1) sisemi x = A1 e 1 y = B 1 e 1 ve x = A2 e 2 y = B 2 e 2 şeklinde iki ane aşikar olmayan lineer ba¼g ms z çözüme sahipir; burada A 1 ; B 1 ; A 2 ; B 2 belli sabilerdir. Buradan (1) siseminin genel çözümü x = c1 A 1 e 1 + c 2 A 2 e 2 dir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. Örnek 1. 8> < y = c 1 B 1 e 1 + c 2 B 2 e 2 d = 6x dy >: d = 2x + y siseminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm. (5) siseminin formunda çözümü aran rsa, bilinmeyenli 3y (5) y = Be (6) (6 )A 3B = 0 (7) 2A + (1 )B = 0 2

3 cebirsel sisemi bulunur. (7) siseminin aşikar olmayan bir çözüme sahip olmas için gerek ve yeer koşul = 0 olmas d r. Bu deerminan hesaplan rsa, = 0 karakerisik denklemi elde edilir. Karakerisik kökler 1 = 3; 2 = 4 bulunur. = 1 = 3 de¼geri (7) siseminde yerine yaz larak sisemin aşikar olmayan bir çözümü A = B = 1 bulunur. (6) dan (5) siseminin aşikar olmayan bir çözümü x = e 3 y = e 3 (8) bulunur. Benzer işlemler = 2 = 4 de¼geri için yap l rsa, (5) siseminin aşikar olmayan di¼ger bir çözümü x = 3e 4 y = 2e 4 (9) bulunur. çözümü (8) ve (9) çözümleri lineer ba¼g ms z olup (5) siseminin genel x = c1 e 3 + 3c 2 e 4 y = c 1 e 3 + 2c 2 e 4 olarak elde edilir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. Teorem 2. (1) sisemine ilişkin (4) karakerisik denkleminin 1 ve 2 kökleri reel ve eşi olsun. Bu durumda (1) sisemi y = Be ve x = (A1 + A 2 )e y = (B 1 + B 2 )e formunda iki lineer ba¼g ms z çözüme sahipir; burada A; B; A 1 ; B 1 ; A 2 ; B 2 belli sabiler olup, A 1 ve B 1 s f rdan farkl ve B 1 = B A 1 A siseminin genel çözümü x = c1 Ae + c 2 (A 1 + A 2 )e y = c 1 Be + c 2 (B 1 + B 2 )e 3 d r. Buradan (1)

4 dir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. Örnek 2. 8> < d = 4x dy >: d = x + 2y siseminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm. (10) siseminin y (10) y = Be formunda çözümü aran rsa, bilinmeyenli (4 )A B = 0 (11) A + (2 )B = 0 cebirsel sisemi bulunur. (11) siseminin aşikar olmayan bir çözüme sahip olmas için gerek ve yeer koşul = 0 olmas d r. Buradan karakerisik kökler 1 = 2 = 3 bulunur. = 3 de¼geri (11) de yerine yaz larak aşikar olmayan bir çözüm A = B = 1 elde edilir. O halde (10) siseminin aşikar olmayan bir çözümü x = e 3 y = e 3 (12) dir. (10) siseminin ikinci bir çözümünü x = (A1 + A 2 )e 3 y = (B 1 + B 2 )e 3 (13) biçiminde arayal m. (13) verilen sisemde yerine yaz l p gerekli düzenlemeler yap l rsa, (A 1 B 1 ) + (A 2 A 1 B 2 ) = 0 (A 1 B 1 ) + (A 2 B 1 B 2 ) = 0 4

5 sisemi elde edilir. Bu sisemin aşikar olmayan bir çözümü A 1 = B 1 = A 2 = 1; B 2 = 0 d r. O halde (13) den (10) siseminin ikinci bir çözümü x = ( + 1)e 3 y = e 3 (14) bulunur. (12) ve (14) çözümleri lineer ba¼g ms zd r. Dolay s yla (10) siseminin genel çözümü x = c1 e 3 + c 2 ( + 1)e 3 dir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. y = c 1 e 3 + c 2 e 3 Teorem 3. (1) sisemine ilişkin (4) karakerisik denkleminin kökleri 1;2 = a ib olsun. Bu durumda (1) sisemi x = e a (A 1 cos b A 2 sin b) x = e y = e a ve a (A 2 cos b + A 1 sin b) (B 1 cos b B 2 sin b) y = e a (B 2 cos b + B 1 sin b) formunda iki lineer ba¼g ms z çözüme sahipir; burada A 1 ; B 1 ; A 2 ; B 2 belli reel sabiler olup (1) siseminin genel çözümü x = e a [c 1 (A 1 cos b A 2 sin b) + c 2 (A 2 cos b + A 1 sin b)] y = e a [c 1 (B 1 cos b B 2 sin b) + c 2 (B 2 cos b + B 1 sin b)] dir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. Örnek 3. 8> < d dy >: d = siseminin genel çözümünü bulunuz. Çözüm. (15) siseminin = 3x + 2y 5x + y (15) y = Be formunda çözümü aran rsa, bilinmeyenli (3 )A + 2B = 0 (16) 5A + (1 )B = 0 5

6 cebirsel sisemi bulunur. (16) siseminin aşikar olmayan bir çözüme sahip olmas için gerek ve yeer koşul = 0 olmas d r. Buradan karakerisik kökler 1;2 = 2 3i bulunur. = 2 + 3i de¼geri (16) da yerine yaz larak aşikar olmayan bir çözüm A = 2; B = 1+3i elde edilir. Bu de¼gerler kullan larak (15) siseminin kompleks bir çözümü x = e 2 [(2 cos 3) + i(2 sin 3)] y = e 2 [( cos 3 3 sin 3) + i((3 cos 3 sin 3)] biçiminde yaz labilir. Bu çözümün reel ve sanal k s mlar (15) siseminin çözümleri olduklar ndan, ayn sisemin iki reel çözümü x = 2e 2 cos 3 y = e 2 (17) (cos sin 3) ve x = 2e 2 sin 3 y = e 2 (3 cos 3 sin 3) (18) biçimindedir. (17) ve (18) çözümleri lineer ba¼g ms z olduklar ndan (15) siseminin genel çözümü x = 2e 2 (c 1 cos 3 + c 2 sin 3) y = e 2 [c 1 ( cos 3 3 sin 3) + c 2 (3 cos 3 sin 3)] dir, burada c 1 ve c 2 key sabilerdir. 6