Sigma , 2008

Transkript

1 Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen ilimleri Dergisi raştırma Makalesi / Research rticle NEW METOD FOR SOLVING THE RESETION ROLEM Sigma 6 0-, 008 Veli KRSU * Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Zonguldak Meslek Yüksekokulu, Teknik rogramlar ölümü, Harita Kadastro rogramı, ZONGULDK Geliş/Received: Kabul/ccepted: STRT This paper presents a solution to the two-dimensional resection problem that involves determining the rectangular coordinates of the unknown point b obtaining the distances connecting it to the points, and which coordinates are known. The three-point resection problem is a numerical one. The input data are two horizontal angles computed using the X,Y coordinates of the three points and three directions or distances. The output data are the vertical coordinates X,Y of the point. In this stud a new numerical solution method has been developed for the mentioned numerical problem which is different from the eisting ones. The most important part of this stud are eplanation of theoretical foundations and demonstration of the numerical application. Kewords: Resection, geodetic measurement, circle, deltoid. S numbers/numaraları : 9.0.Jf, 9.0.p GERİDEN KESTİRME ROLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE YENİ İR YÖNTEM ÖZET ilinmeen bir noktasından, dik koordinatları bilinen, ve gibi üç noktaa apılan doğrultu vea uzunluk ölçüleri ile noktasının dik koordinatlarının hesaplanması bir iki boutlu geriden kestirme problemidir. Üç noktaa daalı geriden kestirme problemi saısal bir problemdir. Giriş verileri üç noktanın (X,Y) dik koordinatları, üç doğrultu vea uzunluk ölçülerinden hesaplanan iki ata açıdır. Çıkış verileri ise noktasının (X,Y) dik koordinatlarıdır. u çalışmada, anılan saısal problem için mevcut saısal çözüm öntemlerinden farklı eni bir saısal çözüm öntemi geliştirilmiştir. Yeni öntemin teorik temellerinin açıklanması ve saısal ugulamasının gösterilmesi bu çalışmanın özünü oluşturmaktadır. nahtar Sözcükler: Geriden kestirme, jeodezik ölçme, çember, deltoid.. GİRİŞ Saısal sonuçlar bazı hata kanaklarından olumsuz olarak etkilenir. Hata, ölçme ve hesap sonuçlarının doğruluk ve/vea incelikten(presizondan) uzaklaşmasıdır. Ölçmelerde ve hesaplamalarda hatalar doğruluk ve incelik ile ifade edilir. Doğruluk, ölçme ve hesap sonuçlarının gerçek değere akınlığını; incelik ise ölçme ve hesap sonuçlarının birbirine akınlığı olarak ifade edilir. Duarlık, ölçü aletlerinin ölçebileceği en küçük birimdir. Ölçmeler ile elde edilen giriş verileri rast gele hataları içerirler. Jeodezik çalışmaların bütün basamaklarının her adımında * / e-ileti: [email protected], tel: (7) / 7 0

2 V. karsu Sigma 6, 0-, 008 kendini kontrol olanağı bulması demek, jeodezik verilerin hatasının belirlenmesi ve kaçınılmaz rastlantısal ölçü hatalarının etkilerini düzenli hatalardan en geniş ölçüde arılması demektir []. Jeodezik ölçmelerin güvenirlik ve doğruluklarını geliştirmek jeodezide önemli bir ödevdir. Jeodezik ölçmelerin bu niteliklerini geliştirmek geçmişte vardı, günümüzde var ve gelecekte de olacaktır. Her bilim alanı kendi inceleme konusu ile öne çıkmaktadır. Jeodezinin inceleme konusu ise eruvarı, içi ve akın çevresinde bulunan gezegenler arasındaki geometrik ve fiziksel büüklüklerin zaman içerisindeki değişimini incelemee önelik ölçme, hesaplama, değerlendirme ve orumlamaı konu edinen bir bilim dalıdır. Jeodezi, çeşitli nedenlerle verilerinin kalitesini düzeltmek ve sonuçlarını daha çabuk kazanmak için bilgi ve öntemlerini geliştirmek zorundadır []. İnsanların haatlarına, faalietine hakim olan kuvvet aratma ve icat kabilietidir []. Jeodezik geriden kestirme(resection) problemi bilinmeen bir noktanın (ölçme apılan noktanın) konum koordinatlarının, konum koordinatları bilinen en az üç bilinen noktaa apılan üç doğrultu ölçüsü ardımıla hesaplanan iki düzlem açı ardımıla a da konum koordinatları bilinen iki noktaa apılan iki uzunluk ölçüsü ile hesaplanmasıdır. Eğer kestirme noktasından üç bilinen noktaa üç uzunluk ölçüsü apılırsa kestirme noktasının koordinatları En Küçük Kareler Yöntemine(EKKY) göre dengelemele hesaplanır. Düzlem açı Öklid uzaında iki doğrultu arasında önlendirilmiş açıdır []. Oklid uzaında düzlem açı tanımı ise birim çember üzerindeki a parçası uzunluğunun radan türünden ifadesidir [4]. ir objee ait geometri ancak ve ancak uzunluk ve açı büüklüklerinin ölçülmesile belirlenir [5]. ir mühendislik problemi modellenirken, problemin daandığı matematik ii kavranmalı ki, matematik çözüm ile üretilen sonuçlar doğru orumlanabilsin [6]. Düzlem açı, doğrultu ölçme öntemile üretilen ölçülerin indirgenmiş değerlerinin ortalaması alınarak hesaplanır [7]. Uzunluk ise elektromağnetik uzunluk ölçer ile ölçülür. 970 li ıllardan sonra elektromağnetik uzunluk ölçerlerle uzunluk ölçümünün nedeni uzunlukların doğru, ekonomik, çabuk ve doğa koşullarına daha az bağımlı ölçülebilmesi anında, ölçü amacının gerektirdiği doğruluğu elde etmek için ölçü saısını artırmak düşüncesinden kanaklanmaktadır [8]. Geriden kestirme ile bir noktanın konumu belirlenecek ise en az bilinen dört noktaa gözlem apılmalı ve oluşan ikişerli iki üçgene göre hesap apılmalıdır[9]. Geriden kestirmede eğer sadece nokta ile çözüm apılırsa matematiksel bir çözüm elde edilir. u çözüm ölçülerin doğruluğunu kontrol etmez. Ölçülerin doğruluğu, en az dört noktanın geriden kestirmede kullanılması ile anlaşılabilir. Elde edilen koordinatlar hoşgörü sınırları içinde birbirine eşit çıkarsa ortalama teşkili ile eni nokta koordinatları belirlenir. ksi taktirde ölçüleri eniden apmak gerekir [0]. Ölçme noktasından koordinatları bilinen üçten fazla noktaa doğrultu a da ikiden fazla noktaa uzunluk ölçüleri apılırsa, ölçme noktasının koordinatları EKKY ile dengelemeli olarak hesaplanır. Geriden kestirme problemi, günümüzde de önemini korumaktadır. Çünkü, Global Konum elirleme Sistemi(GS) ile bir ölçme noktasının ermerkezli iki, üç a da dört boutlu koordinatlarının belirlenmesinin mantığı, geriden kestirme probleminin mantığına daanmaktadır. Yeruvarında koordinatları bilinmeen bir noktanın dört boutlu koordinatları (+zaman), ölçme noktasında bulunan bir alıcı ardımıla, koordinatları bilinen udulara apılan uzunluk ölçmeleri ile geriden kestirme öntemile belirlenmektedir. Geriden kestirmenin trigonometrik ilk çözümü 67 de Willebrord Snellius tarafından apılmıştır [,]. roblemin bazı tür çözümleri geçmişte belli hesaplama araçlarına ugun geliştirilmiştir []. Geriden kestirme öntemi ile güvenilir ve presizonlu sonuçlar elde etmek ve tehlikeli çember durumunu ortadan kaldırmak için koordinatı bilinen 4. noktaa da ölçme apılmalıdır. Geriden kestirmede sadece bir tek noktada ölçme apıldığından ölçme hatalarına karşı güvensiz, fakat diğer öntemlere göre ekonomik bir öntemdir [4]. İki boutlu geriden kestirme probleminin çözüm kümesi, iki çemberin ortak kesişme noktalarından birisidir. Günümüzde iki boutlu geriden kestirme probleminin çözümünde kullanılan öntemler : ollins, Kaestner, Delambre, assini ve nsermet öntemleridir. u öntemler [5-] kanaklarında mevcuttur. 0

3 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008 İki boutlu geriden kestirme probleminin çözüm öntemleri ugulanırken, koordinatları bilinen noktalar ile ölçme noktasının bir çember üzerinde bulunmaları durumunda, tek anlamlı çözüm erine, sonsuz saıda çözüm söz konusu olur. Tek anlamlı çözüm üretmeen bu çembere literatürde tehlikeli çember adı verilmiştir. u çalışmada, iki boutlu geriden kestirme problemi için ukarıda anılan saısal çözüm öntemlerinden farklı eni bir saısal çözüm öntemi geliştirilmiştir. Yeni öntemin teorik temellerinin açıklanması ve saısal ugulamasının apılması bu çalışmanın özünü oluşturmaktadır.. YENİ YÖNTEMİN TEORİSİ E D α β δ γ R R r O ω α β O ω r ω r Şekil. Uzunluk vea doğrultu ölçümü ile geriden kestirme problemi Geriden kestirme probleminin eni çözüm öntemi için Şekil e göre çıkartılan analitik ifadelerde kullanılacak sembollerin anlamları aşağıdaki gibidir: (, ), ),, ),, ) ( : Koordinatı hesaplanacak eni nokta ( ( = =, = : Koordinatları bilinen noktalar, : Ölçülen ata uzunluklar r, r, r : noktasından, ve noktalarına ölçülen ata doğrultular = α, = β : Hesaplanan ata iç açılar ( ) = X,( ) = X,... : çıklık açıları = a, = b : Doğru parçası uzunlukları O, O : Ç ve Ç çemberlerinin merkezleri O O = R, O = O = R Ç (O,R ) Ç (O,R ) = : Ç ve Ç çemberlerinin arı çap uzunlukları Yeni çözüm öntemi, çember, kesişen iki çemberin kuvvet ekseni ve deltoid geometrisi mantığına daanmaktadır. Şekil e göre, ve noktalarından O merkezli ve R arı çaplı Ç ( O, R ) çemberi ve, ve noktalarından iseo merkezli ve R arı çaplı 0

4 V. karsu Sigma 6, 0-, 008 Ç ( O, R ) çemberi geçtiği varsaılır. u çemberlerin geometrisi ancak merkezlerinin dik koordinatları ile arı çaplarının bilinmesile olanaklıdır. Önce çemberlerin arı çapları, X = arc tan X = arc tan α = r β = r r r = arc cos = arc cos,, a = = sin X cos X b = sin X + a + b = cos X a b R =, R = (4) sinα sin β (), (), () ve (4) eşitlikleri ile hesaplanır. Çemberde çevre açı ve teğet - kiriş açılar arasındaki ilişkiden hareketle, Şekil e göre, = E = α, = D = β (5) (5) eşitlikleri azılabilir. O ve O ikiz kenar üçgenlerin O = O = γ O = O = δ taban açıları ise (5) eşitliklerindeki α ve β açılarının (6) da ki.,.,. ve 4. seçeneklerinde belirtilen dar ve / vea geniş iç açı olma durumlarına göre aşağıdaki (6) eşitliklerinden birisile hesaplanır.. 00 g, β 00 g. 00 g, β 00 g. 00 g, β 00 g g, β 00 g α iseγ = 00 g α, δ = 00 g β α iseγ = α 00 g, δ = β 00 g α ise γ = 00 g α, δ = β 00 g α iseγ = α 00 g, δ = 00 g β, ve noktalarından, Ç ve Ç çemberlerinin O ve O merkezlerine olan açıklık açıları ise, XO XO XO XO = X + γ = X γ = X + δ = X δ (7) eşitlikleri ile hesaplanır. Ç ve Ç çemberlerinin O ve O merkezlerinin dik koordinatları ise (4) ve (7) eşitliklerinden üretilen veriler kullanılarak, () () () (6) (7) 04

5 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008 O = R sin XO R sin XO + + O = + R cos XO + R cos XO O = + R sin XO + R sin XO O = + R cos XO + R cos XO (8) eşitlikleri ile hesaplanır. (8) eşitliklerinden ise XOO = arc tan O O O O, O O O O = c = sin XO O O O = cos XO O (8) (9) (9) eşitlikleri hesaplanır. Şekil e göre arı çapları R ve R, merkezleri arasındaki uzaklık c ve çemberlerin kesişme açısı O O = O O = ω olmak üzere kesişen iki çember için, c = R + R R R cosω (0) (0) eşitliği azılabilir. (0) eşitliğinden ise, cos R + R c ω = () RR () eşitliği azılabilir. () eşitliğinin sol tarafı kesişen çemberler ve sağ tarafı ise kesişmeen çemberler için anlamlıdır. Şöle ki, R + R c η () = R R () eşitliğinden, η ise çemberler farklı iki noktadan kesişir. Çember merkezleri arsındaki uzaklık (9) vea (0) eşitlikleri ile hesaplanır. u durumda, R R OO + ve Ç Ç = { } () () eşitsizliği gerçekleşir. Ç ve Ç çemberleri Şekil gereği bilinen ve aranan noktalarında kesişirler. () eşitsizlik koşulunun sağlanması geriden kestirme probleminin tek anlamlı çözümünün olduğunu gösterir. Tehlikeli çember olarak ifade edilen,, ve noktaları anı çember üzerinde olmaları durumunda ise noktasının dik koordinatları için sonsuz çözüm durumu oluşur. 05

6 V. karsu Sigma 6, 0-, 008 η = ise ω = 0 g olur ve Ç ve Ç çemberleri içten teğet olur. OO = c = R R η = ise ω = 00 g olur ve Ç ve Ç çemberleri dıştan teğet olur. O O = c = R + R η ise Ç ve Ç çemberleri kesişmez ve çemberlerin ortak noktaları olmaz. O O = c ( R + ) R Şekil de Ç ve Ç çemberlerinin O ve O merkez noktaları ile bilinen ve aranan noktaları tarafından oluşturulan geometrik apı bir deltoiddir. O O deltoiddin O O köşegeni, O ve O açılarının açıortaıdır. Deltoid özelliği gereği, çemberlerin kuvvet ekseninin üzerinde bulunan ve noktalarındaki, O O ve O O açıları birbirine eşittir. Çemberlerin merkezlerinin, ve noktaları ile oluşturduğu O O ve O O düzlem üçgenlerin, ω, ω veω iç açılarının hesabı ise açıklık açıları farkından, OO = OO = ω = XOO XO O O = OO = ω = XO XO OO = OO = ω = X O XO O (4) eşitlikleri ile bulunur. ω + ω + ω = 00 g ilişkisi ile (4) eşitliklerinden hesaplanan açıların doğruluğu kontrol edilir. İki çemberin kuvvet ekseni, bu çemberlere göre anı kuvvetteki bir noktadan, çember merkezlerini birleştiren doğru parçasına indirilen dik bir doğrudur. Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni ise ortak kirişi taşıan doğrudur. Şekil e göre Ç ve Ç çemberlerinin kuvvet ekseni ortak kesim noktalarından bilinen noktası ile aranan noktasından geçen ortak kiriş uzunluğunu içine alan doğrudur., Ç ve Ç kesişen çemberlerin kuvvet ekseni doğrusu üzerinde olmasından dolaı, değerleri çarpımı eksi bire eşit olmasından dolaı X = arc tan tan XO O O O olur. irbirine dik iki doğru parçasının eğim X açıklık açısı, (5) (5) eşitliğinden hesaplanır. noktası ile çember merkezlerio ve O noktalarından noktasına olan açıklık açıları, XO = XOO + ω, XO = XOO ω X = XO ω + 00 g = XO + ω 00 g (6) (4) 06

7 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008 (6) eşitlikleri ile hesaplanır. Şekil e göre kiriş uzunluğu ise, = = R sinω R sinω (7) (7) eşitliği ile iki kez kontrollü olarak hesaplanır. Koordinatları bilinen O,O çember merkezleri ve noktasından, noktasına olan açıklık açıları ve uzunluklar bilindiğinden, ) noktasının dik koordinatları, O O O O = = = O + sin X O O O + R sin XO + R sin XO = + cos X = + R cos XO = + R cos XO ( (8) ve (9) eşitlikleri ile hesaplanır. noktasının sonuç koordinatları ise aritmetik ortalama alınarak, O O O O = ( + + ), = ( + + ) (0) (0) eşitlikleri ile elde edilir. p. YENİ YÖNTEMİN SYISL UYGULMLRI.. Üç Noktaa Uzunluk Ölçüleri İle Geriden Kestirme Hesabı p (8) (9) Şekil. ilinmeen noktası ve bilinen, ve noktalarının geometrisi[4] Yukarıdaki, Şekil de, ve noktaları ile noktasının oluşturdukları geometri, aşağıdaki Çizelge de ise bilinen, ve noktalarının koordinatları ve noktasından bilinen noktalara ölçülen kenar uzunlukları verilmiştir. noktasına ait koordinatların eni çözüm öntemile hesabı, Çizelge de verilmiştir. 07

8 V. karsu Sigma 6, 0-, 008 Çizelge. ilinen nokta koordinatları ve uzunluk ölçüleri[4] N.N Y(m) X(m) Uzunluklar(m) = 96, = 70, = 546,9 Çizelge. Yeni çözüm önteminin saısal ugulaması = α = 06,959 g, = β = 87, 0048 g X = 9,878 g, X =,768 g = a = 7, 68m, = b = 88, 67 m R = 66,95m, R = 48, 0m γ = 6,959 g, δ =, 995 g XO =,4764 g, XO = 6,67 g XO = 44,79 g, XO = 8,87 g = 450,54 m, = 0650,4m O O XO O R + R O = 45078,5m, O = 76,577 g, = 0757,5m O O = 04,96m c = 70,05m = c = 70,05m η = 0,867, η, X = 76,577 g ω = 40,065g, ω = 67,598g, ω = 9,095g ω + ω + ω = 00g, = 70,06m XO= 6,880 g, XO= 08,9755 g = 4595, m, = 07098, 80 m.. Dört Noktaa Doğrultu Ölçüleri İle Geriden Kestirme Hesabı şağıdaki Çizelge ve Şekil de verilen geriden kestirme problemine ait veriler, [9] numaralı kanağın. safasından anen alınmıştır. noktasının koordinatlarının eni çözüm öntem ile hesabı ise Çizelge 4 ve Çizelge 5 de verilmiştir. 08

9 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008 Çizelge. Koordinat değerleri ve doğrultu ölçüleri[9] N.N Y(m) X(m) D.N.N Y. Doğrultu(g) 47,7 6554, 0, , ,64 4,90 50,47 984,58 60,640 D 4648, ,5 D 54,9 r α r β r γ r D Şekil. ilinmeen noktası ve bilinen,, ve D noktalarının geometrisi[9] D 09

10 V. karsu Sigma 6, 0-, 008, ve noktalarının noktası ile oluşturduğu üçgen ile çözüm Çizelge 4. Yeni çözüm önteminin saısal ugulaması = α = 4,90g, = β = 7, 79g X =,4697 g, X = 68, 9844 g = a = 76,6 m, = b = 50, 05m R = 0,64 m, R = 8, 79 m γ = 57,0989 g, δ = 7, 79g XO = 90,5686 g, XO = 76,708 g XO = 5,45 g, XO = 86, 75 g = 507,9m, = 677,09 m O O XO O R + R = 4,5m, O O = 4,54 g, = 9007,40 m O O = c = 94,4m c = 465,66m = 465,66m η = 0,84499, η, X = 4,54 g ω = 47,784g, ω = 7,09g, ω = 5,55g ω + ω + ω = 00g, = 504,4m XO = 7,976 g, XO = 97, 06g = 505,7 m, = 787, 55m 0

11 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008, ve D noktalarının noktası ile oluşturduğu üçgen ile çözüm Çizelge 5. Yeni çözüm önteminin saısal ugulaması = β = 7,79g, D = γ = 94, 89 g X = 68,9844 g, XD =, 974 g = b = 505,05, D = d = 979, m R = 8,79m, R = 495, 6m δ = 7,79g, θ = 5, 78g XO = 5,45 g, XO = 86,75 g XO = 7,6455 g, XDO = 6,09 g = 4,5m, = 9007,40 m O O R + R = 4794,m, XO O O O = 4,89 g, = 7,4m c = 7946,0m O O = c = 75,45m = 75,45m η = 0,466844, η, X = 4,89 g ' ' ' ω = 75,75g, ω = 55,697g, ω = 69,0780g ' ' ' ω + ω + ω = 00g, = 776,90m XO = 97,069 g, XO = 66, 409 g 4. SONUÇ = 505,7 m, = 787, 55m Yeni çözüm öntemi; çember, çemberde kuvvet ekseni ve deltoid gibi kola anlaşılır geometrik kavramlara daandırılması nedenile diğer çözüm öntemlerinden arılmaktadır. Dolaısıla geliştirilen eni çözüm öntemi, mevcut öntemlerden tamamen farklı ve orijinal bir öntemdir. Geriden kestirme probleminin çözümü için geliştirilen eni çözüm önteminin teorisi bu çalışmada açıklanmış ve üç noktalı saısal ugulaması Çizelge de ve dört noktalı saısal ugulaması ise, Çizelge 4 ve Çizelge 5 de verilmiştir. (.) deki birinci saısal ugulama (6) formülünün 4. seçenek ugulaması olup, (.) deki iki saısal ugulama ise (6) formülünün. ve 4. seçeneklerinin ugulamalarıdır. Geriden kestirme öntemile, bir noktasının koordinatlarının

12 V. karsu Sigma 6, 0-, 008 hesabı için noktasından koordinatları bilinen dört noktaa apılan jeodezik ölçüler ile hem ölçülerin hem de noktasının koordinatlarının hesabının doğruluğu kontrol edilmektedir. u durum (.) deki ugulamaların çözümü olan Çizelge 4 ve Çizelge 5 de gösterilmiştir. Osa bilinmeen bir noktasından koordinatları bilinen üç noktaa apılan jeodezik ölçüler ile böle bir kontrol olanağı oktur. u durum ise (.) deki ugulamanın çözümü olan Çizelge de gösterilmiştir. Yeni çözüm önteminin aşamalarından olan çember belirleme işlemi( () den (9) a kadar olan hesaplamalar) gerçekleştirildikten sonra, probleme ait noktalar kümesinin ugun bir geometri oluşturup oluşturmadığı, diğer bir deiş ile problemin çözümünün olup olmadığı, () eşitliğinden üretilen η < ölçütü ve () bağıntısı ile kararlaştırılmaktadır. u karar sürecile kestirme noktasından apılan jeodezik ölçülerin eniden apılmasına vea noktalar arasında ugun geometri oluşturulmasına karar verilebilmektedir. Giriş bölümünde bahsedilen geriden kestirme probleminin çözüm öntemlerinde problemin çözümünün olup olmadığı önünde bir karar sürecinin olmaması, eni çözüm önteminin mevcut öntemlere göre bir avantajı ve ekonomik önüdür. KYNKLR [] an T., Toplumda ir Düzen Faktörü Olarak Jeodezi, Harita Dergisi, Saı:86, nkara, 67-7, 979. [] Özata M., tatürk, ilim ve Üniversite,. asım, Tübitak Yaınları, nkara, 007, -. [] Tezer., Düzlem Geometride çılar ve Ölçüleri, Matematik Dünası, Saı, -6, 99. [4] Nesin., çı Ölçmek, Matematik Dünası, ahar Saısı, 7-79, 005. [5] karsu V., Uza, Düşe ve Yata çılar rasındaki Fonksionel İlişki, Selçuk Üniversitesi Teknik ilimler Meslek Yüksekokulu, Teknik-Online Dergi, ilt 4, Saı, Kona, 4-4, 005. [6] karsu V., Şirinov V., Düzlem Trigonometrinin Mühendislik roblemlerinin Modellenmesindeki Ugulamaları, II. Ulusal Mühendislik Kongresi, ildiri ve oster Kitabı, Zonguldak Karaelmas Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, - Maıs, Zonguldak, (006), [7] İnal., abura T, Ölçme ilgisi - (roblemleri ve çıklamalı Çözümleri),. askı, Selçuk Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Yaını, Yaın No:, Kona, 00, [8] İnal., Modern Jeodezide Ölçme letleri,. askı, Selçuk Üniversitesi Mühendislik- Mimarlık Yaını, Ders Notları Yaın No : 50, Kona, 00, -. [9] Koç İ., Ölçme ilgisinde azı Konular ve Saısal Ugulamalar II,. askı,ytü, İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği ölümü Yaını, Ekol Tanıtım askı, İstanbul, 996, -8. [0] Koç İ., Ölçme ilgisi II (Konum Ölçmeleri ve Mühendislik Ölçmeleri),. askı, YTÜ, İnşaat Fak. Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisliği ölümü Yaını, Ekol Tanıtım askı, İstanbul, 00, [] Şerbetçi M., taso V., Jeodezik Hesap,. askı, KTÜ, Mühendislik-Mimarlık Fak., Genel Y. No:5, Fakülte Y. No:44, Trabzon, 994, 6-5. [] Şerbetçi M., Geriden Kestirmede Delambre Yöntemi, Harita ve Kadastro Mühendisliği Dergisi, Saı:70, nkara, 65-68, 99. [] Jordan/Eggert/Kneissl., Handbuch der Vermessungskunde, and II, J.. Metzlerche Verlagbuchhandlung, Stuttgart, 96, [4] Özgen G., Topografa (Ölçme ilgisi),.askı, İTÜ İnşaat Fakültesi Matbaası, İstanbul, 99, [5] Kahmen H., Vermessungskunde, 9. Überarbeitete uflage, erlin, New York, 997, 0-47.

13 New Metod for Solving the Resection Sigma 6, 0-, 008 [6] Özbenli E., Tüdeş T., Ölçme ilgisi (ratik Jeodezi), KTÜ Mühendislik-Mimarlık Yaını,. askı, Trabzon, 00, [7] Witte., Schmidt H., Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das auwesen, Verlag Konrad Wittwer, Stuttgart, 989, [8] aumann E., Vermessungskunde, and, unktbestimmung nach Höhe und Lage, Vierte bearbeitete und erweiterte uflage, Ferd. Dümmler Verlag, onn, 99, -7. [9] Wolf. R., Ghilani. D., Elementar Surveing, n Introduction to Geomatics, th ed. rentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 006, [0] El Hassan I.M., n naltical Solution of Resction roblem, SE Journal of Surveing Engineering, Vol., No., pp. 0-5, 986. [] El Hassan I.M., Two-Dimensional Resection- Surve of naltical Techniques, The ustralian Surveor, Vol.47, No., pp.4-, 00. [] nderson J.M., Mikhail E.M. Surveing (Theor and ractice), 7th ed., W/Me Graw- Hill, New York, 998, [] Wittke H., Geodaetische Rechen-Übungen, Ferd. Dümmlers Verlag, Keisserstrasse -7, onn, 99, [4] [Surveing Measurements and omputations, Resection, Universit of Florida, Geomatics, erişim tarihi Ocak 008].