ĐKĐ BOYUTLU BEZERLĐK VE AFĐN DÖNÜŞÜMLERĐ

Transkript

1 / 16 MÜHENDĐSLĐK FAKÜLTESĐ JEODEZĐ VE FOTOGRAMETRĐ MÜHENDĐSLĐĞĐ BÖLÜMÜ Bölüm Đçi Seminer Çalışması ĐKĐ BOUTLU BEZERLĐK VE AFĐN DÖNÜŞÜMLERĐ Hazırlaan : Öğr.Gör.Orhan KURT Đçindekiler 1. Đki Boutlu Benzerlik (Helmert) Dönüşümü Dönüşüm Parametrelerinin Kestirilmesi Afin Dönüşümü Dönüşüm Parametrelerinin Kestirilmesi Duarlık Hesapları Sonuçların Test Edilmesi Parametre Testi Uuşumsuz Ölçü Testi Koordinat çiftleri için uuşumsuz ölçüler testi Tek Tek Koordinat Uuşum Testi Saısal Ugulama Sonuçlar Kanaklar Kullanılan programlar Ekler... 1 Ek-1. Benzerlik dönüşümü parametrelerinin, düzeltmelerinin ve dönüştürülmüş koordinatların ters ağırlıklarının bulunması... 1 Ek-. Afin dönüşümü parametrelerinin, düzeltmelerinin ve dönüştürülmüş koordinatların ters ağırlıklarının bulunması Ek-3. Benzerlik dönüşümü sonuçları Ek-4. Afin dönüşümü sonuçları Zonguldak

2 . Giriş ĐKĐ BOUTLU BENZERLĐK VE AFĐN DÖNÜŞÜMLER 3 / 16 Đki boutlu benzerlik ve afin dönüşümleri mesleğimizin bir çok alanında agın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan en çok kullanılanı, benzerliği koruan ve adını da buradan alan benzerlik (Helmert) dönüşümüdür. Diğeri ise, paralelliği koruan afin dönüşümüdür. Bu dönüşümlerden hangisinin kullanılacağı, kişinin ön bilgileri ile ilintilidir ve bunu genellikle sezgisel apılmaktadır. Dönüşüm bağıntıları doğrudan ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlarla gerçekleştirilmiştir. Bilindiği gibi ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlarla oluşturulan normal denklemler daha sade apıda olmakta, kolaca tersi alınabilmekte ve genellemelere gidilebilmektedir. Bölece bulunan bağıntılarla oluşturulan azılım bellekte az er kaplamakta ve oldukça etkin çalışmaktadır. Çalışmada; iki dönüşümün geometrik bağıntıları çıkarılmış, duarlık hesapları ve test işlemleri her iki dönüşüm sonuçlarını kapsaacak şekilde verilmiştir. Anlatılan işlem adımlarına göre oluşturulan azılım, gerçek bir ugulama üzerinde kullanılarak irdelemeler apılmıştır. 1. Đki Boutlu Benzerlik (Helmert) Dönüşümü Đki dik koordinat sistemi arasında gerçekleştirilen ve benzerliği koruan doğrusal dönüşüm türüdür. Bir P noktasının her iki sistemdeki koordinatları (,) ve (,) dir (Şekil-1). Benzerlik dönüşümü, bir koordinattan diğerine öteleme, döndürme ve ölçek ardımı gerçekleştirilir. S =[]/n, S =[]/n, S =[]/n, S =[]/n Ağırlık merkezi koordinatları () i = i S, i = i S, i = i S, i = i S Ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlar (3) [ ]=[ ]=[ ]=[ ]= (4) (1) eşitliklerini sade bir apıa dönüştürmek için a = k cosa ve o = k sina ardımcı büüklükleri kullanılır. i = t + a i o i (5a) i = t + o i + a i (5b) t, t, A ve k benzerlik dönüşümünün dönüşüm parametreleridir. Bunlar biliniorsa (,) sisteminden (,) sistemine dönüşüm gerçekleştirilir. a da her iki sistemde koordinatı bilinen en az iki nokta (eşlenik noktalar) ardımı ile dönüşüm parametreleri hesaplanır. Eşlenik noktaların saısı ikiden büükse dönüşüm parametreleri dengeleme hesabıla elde edilir Dönüşüm Parametrelerinin Kestirilmesi Đkinci sistem koordinatları ölçüler olarak ele alınıp ve (5) bağıntıları kullanılarak dolalı ölçüler önteminin matematik modeli aşağıdaki gibi kurulur. v v i i 1 i i = t i 1 i i a i o 1 1 i (i=1,,...n) (6) 4 / 16 cosa A sina sina cosa A P(,) (,) (6) düzeltme denklemleri ve d = [ + ] büüklüğü ardımı ile normal denklemler oluşturulur. n sim. n d t a d o = [ + ] [ ] (7) t t Şekil-1. Đki boutlu benzerlik dönüşümü. Normal denklemlerin katsaılar matrisi köşegen matristir. Bu matrisin tersi köşegen elemanların tersi alınarak kolaca hesaplanabilir. 1/ n t = a o sim. 1/ n 1/ d 1/ d [ + ] [ ] (8) Şekil-1 de (,) sisteminin başlangıcının koordinatları olan ötelemeler (t,t ), iki sistem arsındaki dönüklük A, iki sistem arasındaki ölçek katsaısı k olmak üzere ağırlık merkezine ötelenmiş koordinatlarla benzerlik dönüşüm (1) bağıntıları ile gerçekleştirilir. i = t + k cosa i k sina i (1a) i = t + k sina i + k cosa i (1b) Normal denklemlerin çözümü (9) eşitliklerinden a, o ardımcı büüklükleri hesaplanır. a=[ + ] / d (9a) o=[ ] / d (9b) a, o ardımcı büüklüklerinden ararlanarak dönüşüm parametreleri ve (6) eşitliklerinden düzeltmeler hesaplanır.

3 5 / 16 6 / 16 t = S a S + o S (1a) t = S o S a S (1b) k=(a +o ) (.5) (1c) A=arctg (o/a) (1d). Afin Dönüşümü Genellikle fotogrametri anabilim dalı ugulamalarda kullanılan doğrusal bir dönüşümdür. Đki koordinat sisteminin eksenleri arasında farklı ölçek ve farklı dönüklük öngörülür. Bu parametrelere iki öteleme de eklendiğinde bilinmeen saısı altıa çıkar. cosa A sina sinb B cosb P(,) (,) v v i i n sim. a 1 i i o i = 1 i i t i a o [ ] [ ] [ ] n a [ ] o [ ] = t [ ] a [ ] o [ ] [ ] [ ] 1 1 i (i=1,,...n) (13) Burada n eşlenik nokta saısıdır. Normal denklemlerin katsaılar matrisinin tersi alt matrislere arılarak kolaca bulunur. (14) t t B Şekil- Đki boutlu afin dönüşümü. a o t a o 1/ n = sim. [ ]/ d [ ] / [ ]/ d d 1/ n [ ]/ d [ ] / d [ ]/ d (15) den ararlanarak ardımcı parametreler hesaplanır. [ ] [ ] [ ] [ ] d=[ ] [ ] [ ] (15) Bu dönüşümün en temel özelliği paralelliği korumasıdır ve benzerlik dönüşümünün üst modelidir (Şekil-). - (k ) ve - (k ) koordinatları arasındaki farklı ölçek ve Şekil- göz önünde bulundurularak afin dönüşümü ötelenmiş koordinatlarla (11) eşitlikleri ile gerçekleştirilir. i = t + k cosa i k sinb i (11a) = t + k sina i + k cosb i (11b) Benzerlik dönüşümünde olduğu gibi a =k cosa, a =k sina ve o =k cosb, o =k sinb kısaltmaları apılarak dönüşüm bağıntıları elde edilir. i = t + a i o i (1a) = t + a i + o i (1b).1. Dönüşüm Parametrelerinin Kestirilmesi Đkinci sistem koordinatları ölçüler olarak ele alınıp ve (1) bağıntıları kullanılarak dolalı ölçüler önteminin matematik modeli ve normal denklemleri oluşturulmuştur. a == ( [ ] [ ] [ ][ ]) / d o = ( [ ][ ] [ ] [ ] ) /d (16a) a == ( [ ] [ ] [ ][ ]) / d o = ( [ ] [ ] [ ][ ] ) /d (16b) ardımcı parametrelerle dönüklükler ve ölçekler hesaplanır. Ağırlık merkezi koordinatlarından ararlanarak öteleme elemanları hesaplanır. k = { a + a } (.5) A = arctg( a / a ) t = S a S + o S (17a) k = { o + o } (.5) B = arctg( o / o ) t = S a S o S (17b) 3. Duarlık Hesapları Benzerlik ve afin dönüşümünü sonucunda bulunan parametrelerin, düzeltmelerin ve kestirilen koordinatların karesel ortalama hataları Ek-1 ve Ek- de hesaplanmış olan ters ağırlıklardan ararlanarak bulunur. f = n 4 Benzerli dönüşümünün serbestlik derecesi (18) f = n 6 Afin dönüşümünün serbestlik derecesi (19)

4 7 / 16 8 / 16 m =± { [v +v ] / f } (.5) Herhangi bir i a da i koordinatının karesel ortalama hatası () m p =±m {} (.5) Herhangi bir Pi noktasının konumunun karesel ortalama hatası (1) Kestirilen parametrelerin, dengeli koordinatların ve düzeltmelerin karesel ortalama hataları Ek-1 ve Ek- den ararlanarak aşağıdaki genel bağıntı ile elde edilir. m ℵ = ± m { q ℵℵ } (.5) ℵ değişkeninin karesel ortalama hatası () ℵ = t, t, a, o, k, A, a, a, o, o, k, k, B, i, v i, k, A 4. Sonuçların Test Edilmesi 4.1. Parametre Testi Benzerlik ve afin dönüşümü sonucunda elde edilen dönüşüm parametreleri, birbirinin eşdeğeri olan Student Dağılımı (t-dağılımı) a da Fisher Dağılımı ile test edilirler. T ℵ = ℵ / m ℵ ~ F {1, f, (1-α)} (3a) T ℵ = ℵ /m ℵ ~ t {f, (1-α)} (3b) ℵ Test edilecek olan parametre ( ℵ = t, t, 1 k, A, B, 1 k, 1 k, A, k ) α anılma olasılığı (genellikle α=.5.5 alınır) f Đlgili dönüşümün serbestlik derecesi F {1, f, (1-α)} Fisher Dağılımı tablosundan alınmış sınır değer. t Dağılımı tablosundan alınmış sınır değer. t {f, (1-α)} Test değeri T ℵ sınır değeri aşarsa, ilgili parametre 1 α güvenle istatistiksel olarak anlamlıdır denir. Anlamlı olan parametre dönüşümde er almalıdır. 4.. Uuşumsuz Ölçü Testi Uuşumsuz ölçü testi iki türlü gerçekleştirilir. Bunlardan bir tanesi her iki koordinat çiftini anı anda test ederken, diğeri her bir koordinatı arı olarak test eder. Koordinat çiftleri için uuşum testi a da tek tek koordinat uuşum testleri genellikle anı sonucu verir. Fakat bir noktaa ait koordinatlar için hesaplanan düzeltmelerden biri çok büük diğeri çok küçük olduğunda, koordinat çifti testi bu noktaı akalaamaz. Bu nedenle tek tek koordinatlar test edilmelidir. Tersi bir durumda ise; ani bir noktaa ait koordinatlar için bulunan düzeltmeler sınır değere akın olduğunda tek tek koordinat testini geçerken, koordinat çiftleri için olan testi geçemeecektir. Bu nedenle hem koordinat çifti testi hem de tek tek koordinat uuşum testi apılması, bir noktanın uuşumlu a da uuşumsuz olması konusundaki kararımızı sağlamlaştıracaktır Koordinat çiftleri için uuşumsuz ölçüler testi Benzerlik ve afin dönüşümü için koordinat çiftleri uuşum testi (4) deki test büüklüğü ile gerçekleştirilir (BÖH, Đstanbul Şubesi) (Ek-1, Ek-). T i = { (v i +v i ) / (m vi ) } (.5) ~ c= {[n-] [1-(α/n) {1/(n-3)} ]} (.5) (4) Test büüklüğünü sınır değer c i geçen test büüklüklerinden en büük olanının 1 α güvenle uuşumsuz olduğuna karar verilir ve eşlenik nokta kümesinden çıkarılır. Bu işlem uuşumsuz ölçü kalmaıncaa kadar iteratif olarak tekrarlanır Tek Tek Koordinat Uuşum Testi Soncul standart sapma kullanılarak tek tek koordinat uuşum testi iki şekilde gerçekleştrilir. 4...a. t-dağılımına Göre Tek Tek Koordinat Uuşum Testi Bu testin en büük özelliği uuşumsuz olduğu düşünülen düzeltmenin etkisinin soncul standart sapmadan çıkarılmasıdır. Aşağıdaki gibi gerçekleştirilir. m Vi = ±S i {q vivi } (.5) S i = ±{ ( [v +v ] v i /q vivi ) / (f 1)} (.5) (5a) m Vi = ±S i {q vivi } (.5) S i = ±{ ( [v +v ] v i /q vivi ) / (f 1)} (.5) (5b) Pi noktasının düzeltmelerinin karesel ortalama hataları hesaplanır. Düzeltmelerin mutlak değerleri ve karesel ortalama hatalarından ararlanarak test büüklükleri, T Vi = v i / m Vi ~ t { (f 1), (1 αo) } (6a) T Vi = v i / m Vi ~ t { (f 1), (1 αo) } (6b) hesaplanır. α =α/(n) den bulunur. α <.1 ise α =.1 alınır. Sınır değeri aşan test büüklüğünün en büüğü eşlenik nokta kümesinden çıkarılır. Bütün işlem adımları uuşumsuz koordinat kalmaıncaa kadar tekrarlanır. 4...b. Tau Dağılımına Göre Tek Tek Koordinat Uuşum Testi Pi noktasının herhangi bir koordinatının düzeltmesinin karesel ortalama hatası m Vi = ±m {q vvi } (.5) den ararlanarak Tau Dağılımı test büüklüğü hesaplanır. T Vi = v i / m Vi ~ τ { f, (1 αo) } (7a) T Vi = v i / m Vi ~ τ { f, (1 αo) } (7b) τ { f, 1 αo} = { f t { ( f 1), (1 αo) } / ( f 1 + t { ( f 1), (1 αo) }} (.5) (8) 5. Saısal Ugulama Saısal ugulama olarak beş eşlenik noktadan oluşan ve koordinat değerleri Tablo-1 de verilen örnek seçilmiştir (Şekil-3). Verilen koordinatlar geliştirilen programla iki dönüşüm türü de kullanılarak dönüşüm parametreleri hesaplanmış ve dönüşüm sonuçları test edilmiştir (Ek-3, Ek-4). Tablo-1. Eşlenik nokta koordinatları. i NN (m) (m) (m) (m) Benzerlik dönüşümü sonucunda dönüşümünün karesel ortalama hatası m =±.15m bulunmuş, 3 numaralı nokta uuşumsuz çıkmıştır. 3 numaralı nokta eşlenik nokta kümesinden çıkarılmış, 9 86 Şekil-3. Noktaların birbirlerine göre aklaşık

5 9 / 16 dönüşüm işlemi tekrarlanmış ve ikinci dönüşümde dönüşümün ortalama hatası m =±.m bulunmuş ve uuşumsuz ölçü kalmamıştır (Ek-3). Afin dönüşümü sonucunda; iki sistem arasında farklı dönüklük ve farklı ölçek anlamlı çıkmış, dönüşümün ortalama hatası m =±.1m olarak hesaplanmış ve uuşumsuz ölçü bulunmamıştır. (Ek- 4). Bunun nedeni eşlenik nokta saısının az olması ve uuşumsuz olan 3 numaralı noktanın dönüşümü apılacak alanda kenarda kalmasıdır. Afin dönüşümü de bu uuşumsuzluğu kendi apısına udurmuştur. Dönüşümün serbestlik derecesi büük olsadı ve 3 numaralı noktanın geometrik eri daha ugun olsadı (dönüşümü apılacak alanda ortalara düşsedi) afin dönüşümünde de uuşumsuz çıkacaktı. 3 numaralı nokta çıkarılarak gerçekleştirilen afin dönüşümü sonuçlarının benzerlik dönüşümü ile uuştuğu görülmekte, anı zamanda farklı ölçek ve dönüklüğün anlamsızlığı ortaa çıkmaktadır (Ek-4). Buradaki dönüşüm iki jeodezik (imar ve kadastro) sistem arasında olduğu düşünülürse, bu sonuçlar daha çok anlam kazanmaktadır. Eşlenik nokta saısı 4 alınarak gerçekleştirilen benzerlik dönüşümünde m =±.m ve afin dönüşümde de m =±.18m olarak bulunmuştur. Her iki dönüşümün sonuçlarının da eşdeğer olduğu farklı dönüklük ve ölçek öngörmenin anlamsızlığı ortaa çıkmıştır. 8. Kullanılan programlar 1 / 16 HA_.ee (1998) : Fortran 77 dilinde azar tarafından azılmış benzerlik ve afin dönüşümü parametrelerini hesaplaan, uuşumsuz ölçü ve parametre testlerini apan programdır. Đstatistik testlerde dönüşüm sonucunda bulduğu karesel ortalama hataı kullanır. Dönüşümü Tablo-1 de verilen formata göre okuarak gerçekleştirir. HA_ts.ee (1999) :. azar tarafında azılmış program HA_.ee programının aptıklarını anen gerçekleştirir. Bu programın özelliği Topcon azılım çıktı formatını doğrudan okur. HA_ts1.ee () : HA_ts.ee programının bütün özellikleri taşır. Đstatistik testleri, ugulamada istenen öncül standart sapma σ =.5m göre gerçekleştirir. Statis.for (1996) : ukarıdaki programlarda kullanılan alt programdır. Prof. Dr. Ergün ÖZTÜRK (KOÜ, MF, Kocaeli)) tarafından apılmış olan program dört temel dağılımın tablo değerlerini hesaplar. 6. Sonuçlar Dönüşüm işlemi gerçekleştirilirken, eşlenik nokta saısı mümkün olduğunca çok seçilmeli ve noktalar dönüşüm apılacak alana ii dağılmalıdır. Dönüşümü apılacak koordinatların fiziksel özelliklerine göre dönüşüm türü belirlenmelidir. Örneğin, jeodezik koordinatlar arasındaki dönüşümlerde benzerlik dönüşümü öncelikli düşünülmeli, benzerlik dönüşümünde uuşumsuz ölçü bulunamıorsa afin dönüşümü sonuçları iileştirmek ve eski nokta bozulmalarını azaltmak için apılmalıdır. Fotogrametrik çalışmalarda kamera bozulmalarından kanaklanan hataların elimine edilmesinde afin dönüşümü kullanılabilir. Burada da benzerlik dönüşümü ile sonuçlar denetlenmelidir. Sonuç olarak, benzerlik-afin dönüşümleri anı anda ugulanmalı sonuçlar istatistiksel olarak test edilmelidir. Bölece çalışılan alanın a da problemin fiziksel özellikleri daha ii anlaşılmakta ve daha sonra apılacak olan çalışmalar için öngörü ve deneimizi artırmaktadır. ukarıda geometrik bağıntıları çıkarılan ve işlem aşamaları genelleştirilen iki boutlu doğrusal dönüşümler için oluşturulacak bir azılım, jeodezik ve fotogrametrik bir çok çalışmada etkin olarak kullanılabilecektir. 7. Kanaklar BÖH, (1997), Büük Ölçekli haritaları apım önetmeliği Đstanbul Şubesi, 4. Baskı, Ankara. Demirel, H., (1997), Jeodezik Verilerin Đrdelenmesi dersi notları. TÜ, FBE, Đstanbul. Hacısalihoğlu, H.H., (199), ve 3 Boutlu Uzalarda Analitik Geometri, Gazi Üniversitesi aın No:147, FEF aın No:18, Ankara. Kurt, O., (a), Dengeleme Hesabı II Ders Notları, ZKÜ, MF, Zonguldak. 9. Ekler Ek-1. Benzerlik dönüşümü parametrelerinin, düzeltmelerinin ve dönüştürülmüş koordinatların ters ağırlıklarının bulunması. *Normal denklemlerin ters ağırlık matrisinden ardımcı büüklüklerin ters ağırlıkları bulunur. q aa = q oo =1/d d=[ + ] * Dönüşüm parametrelerinin ters ağırlıkları. *Dönüştürülmüş koordinatların ve düzeltmelerin ters ağırlıkları. k =a +o δk = (a/k) δa + (o/k) δo q aa =q oo ve q ao = olduğundan q kk = {(a + o ) / k } q aa q kk =q aa A=arctg(o/a) δa = (o/a) / {1+(o/a) } = a/k δo o/k δa q AA = {(a + o ) / k 4 } q aa = { 1 / k } q aa jeodezik problemlerin çoğunda k 1 olduğundan q AA = q aa alınabilir. q tt = q tt = q tt = 1/n δ ˆ = δt + i δa i δo q ii = q tt + ( i ) qaa + ( i ) q oo q ii = 1/n + ( i + i ) /d δ Ŷ = δt + i δo + i δa q ii = q tt + ( i ) q oo + ( i ) q aa q ii = 1/n + ( i + i ) /d q ii = q ii = q ii = 1/n + ( i + i ) /d q vivi = q vivi =q vivi = 1 q ii Kurt, O., (b), Dengeleme Hesabı III Ders Notları, ZKÜ, MF, Zonguldak. Öztürk, E., Şerbetçi, M., (199), Dengeleme hesabı, Cilt III, KTÜ, MMF, Gen. a. No : 144.

6 11 / 16 1 / 16 Ek-. Afin dönüşümü parametrelerinin, düzeltmelerinin ve dönüştürülmüş koordinatların ters ağırlıklarının bulunması. * ardımcı büüklüklerin ters ağırlıkları q aa = q aa = [ ] / d q oo = q oo = [ ] / d q ao = q ao = [ ] / d d=[ ] [ ] [ ] * Dönüşüm parametrelerinin ters ağırlıkları. q tt = q tt = 1/n δk = (a /k ) δa + (a /k ) δa q kk = (a /k ) q aa + (a /k ) q aa = { (a + a ) / k } q aa = q aa = [ ] / d q kk = [ ] / d δk = (o /k ) δo + (o /k ) δo q kk = (o /k ) q oo + (o /k ) q oo = { (o + o ) / k } q oo = q oo = [ ] / d q kk = [ ] / d Ek- nin devamı. * Kestirilen ˆ i ve Ŷ i koordinatlarının ve düzeltmelerinin ters ağırlıkları; δ ˆ i = δt + i δa i δo q ii =1/n + i q aa i i q ao + i q oo q ii =1/n + i [ ] / d i i [ ] / d + i [ ] / d δ Ŷ i = δt + i δa + i δo q ii =1/n + i q aa + i i q ao + i q oo q ii = 1/n + i [ ] / d i i [ ] / d + i [ ] / d q ii = q ii = q ii = 1/n + i [ ] / d i i [ ] / d + i [ ] / d q vivi = q vivi = 1 q ii δa = (a /a ) /{1+(a /a ) } = (a /k ) δa + (a /k ) δa q AA = (a /k ) q aa + (a /k ) q aa = {(a + a ) / k 4 } q aa = {1/ k } [ ] / d q AA = [ ] / (k d) δb = (o /o ) /{1+(o /o ) } = (o /k ) δo + (o /k ) δo q BB = (o /k ) q oo + (o /k ) q oo = {(o + o ) / k 4 } q oo = {1/ k } [ ] / d q BB = [ ] / (k d) * Ölçek ve dönüklük farklılıklarının ters ağırlıkları. k = k k δ k = δk δk = (a /k ) δa + (a /k ) δa (o /k ) δo (o /k ) δo q k k = { (a + a ) / k } q aa + { (o + o ) / k } q oo (a /k ) (o /k ) q ao (a /k ) (o /k ) q ao q k k = q kk + q kk (a /k ) (o /k ) q ao +(a /k ) (o /k ) q ao q k k = q kk + q kk +{( a o + a o ) / (k k ) }q ao q k k = q kk + q kk +{(k k cosa sinb + k k sina cosb ) / (k k ) }q ao q k k = q kk + q kk + sin(a+b) q ao q k k = [ ] / d + [ ] / d + sin(a+b) [ ] / d A = A B δ A = δa δb = (a /k ) δa + (a /k ) δa + (o /k ) δo (o /k ) δo q A A = q AA + q BB + (a /k ) (o /k ) q ao + (a /k )(o /k ) q ao q A A = q AA + q BB + { (a o a o ) / (k k ) }q ao q A A = q AA + q BB + sin(a+b)/(k k ) q ao q A A = [ ] / (k d ) + [ ] / ( k d ) + sin(a+b) [ ] / ( k k d )

7 Ek-3. Benzerlik dönüşümü sonuçları. === Helmert Donusum Paremetreleri === = a* - o* + t = o* + a* + t a = k * cos(a) o = k * sin(a) a = o =.394 k = A =.197 g t = m t = m ========================= ========================= ============= Verilen Koor. Hesaplanan Koor. Duzeltmeler === ==== ========================= ========================= ============= i N.N. (m) (m) (m) (m) v=- v= [v+v] =.933 m f = 6 mo =.147 m Olcek Parametresinin Testi 1 / 935. > 1 / 5. --> ppm F - Dagilimine gore olcek testi Tolc= 9.53 > F(1, 6,.95) = > Olcek parametresi anlamlidir t - Dagilimine gore olcek testi Tolc= > t( 6,.975) = > Olcek parametresi anlamlidir ========= Koordinatlarin Tek Tek Uusum Testi ========= i N.N. v(m) qv sv mv Tv v(m) qv sv mv Tv * * "*" Olan nokta uusumsuzdur. t(*n-4-1,1-.5/n) = t( 5,.995) = 4.3 ===================== Koordinat Ciftleri icin Uusumsuz Olculer Testi ===================== 1.inci nok. ; T =.417 <= c = inci nok. ; T =.738 <= c = inci nok. ; T =.99 <= c = inci nok. ; T =.85 <= c = inci nok. ; T = > c = <----- Uusumsuz 13 / 16 Ek-3 ün devamı. 3 numaralı nokta uuşumsuz olduğu için eşlenik nokta kümesinde çıkarılarak kalan 4 nokta ile benzerlik dönüşümü tekrarlanmıştır. === Helmert Donusum Paremetreleri === = a* - o* + t = o* + a* + t a = k * cos(a) o = k * sin(a) a = o =.516 k = A =.364 g t = m t = m ========================= ========================= ============= Verilen Koor. Hesaplanan Koor. Duzeltmeler === ==== ========================= ========================= ============= i N.N. (m) (m) (m) (m) v=- v= [v+v] =.16 m f = 4 mo =.197 m Olcek Parametresinin Testi 1 / > 1 / 5. --> ppm F - Dagilimine gore olcek testi Tolc=1.818 > F(1, 4,.95) = > Olcek parametresi anlamlidir t - Dagilimine gore olcek testi Tolc= > t( 4,.975) = > Olcek parametresi anlamlidir ========= Koordinatlarin Tek Tek Uusum Testi ========= i N.N. v(m) qv sv mv Tv v(m) qv sv mv Tv "*" Olan nokta uusumsuzdur. t(*n-4-1,1-.5/n) = t( 3,.99375) = 5.36 ===================== Koordinat Ciftleri icin Uusumsuz Olculer Testi ===================== 1.inci nok. ; T = <= c = inci nok. ; T =.39 <= c = inci nok. ; T =.141 <= c = inci nok. ; T = 1.38 <= c = i N.N. (m) (m) (m) (m) d d ds === ==== ========= ========= ========= ========= ==== ==== ==== === ==== ========= ========= ========= ========= ==== ==== ==== 14 / 16

8 15 / / 16 Ek-4. Afin dönüşümü sonuçları. Afin Donusum Paremetreleri = a*1 - o*1 + t = a*1 + o*1 + t a = k * cos(a) a = k * sin(a) o = k * cos(b) o = k * sin(b) a = a = o = o =.4494 k = k = A = g B =.861 g t = m t = m ========================= ========================= ============= Verilen Koor. Hesaplanan Koor. Duzeltmeler === ==== ========================= ========================= ============= i N.N. (m) (m) (m) (m) v=- v= [v] =. [v] =. [vv+vv] =.1 m f = 4 mo =.17 m Taci=(A-B)/MAB = > t(4,.95)= > Farkli Donukluk anlamlidir Tolc=(k-k)/Mk = > t(4,.95)= > Farkli Olcek anlamlidir i N.N. v(m) qv sv mv Tv v(m) qv sv mv Tv "*" Olan nokta uusumsuzdur. t(*n-6-1, 1-.5/n) = t( 3,.995) = ===================== Koordinat Ciftleri icin Uusumsuz Olculer Testi ===================== 1.inci nok. ; T = 1.38 <= c = inci nok. ; T =.5439 <= c = inci nok. ; T =.5479 <= c = inci nok. ; T = <= c = inci nok. ; T =.964 <= c = Ek-4 ün devamı. 3 numaralı nokta uuşumsuz olduğu için eşlenik nokta kümesinde çıkarılarak kalan 4 nokta ile afin dönüşümü tekrarlanmıştır. Afin Donusum Paremetreleri = a*1 - o*1 + t = a*1 + o*1 + t a = k * cos(a) a = k * sin(a) o = k * cos(b) o = k * sin(b) a = a = o = o = k = k = A = -.13 g B = g t = m t = m ========================= ========================= ============= Verilen Koor. Hesaplanan Koor. Duzeltmeler === ==== ========================= ========================= ============= i N.N. (m) (m) (m) (m) v=- v= [v] =. [v] =. [vv+vv] =.6 m f = mo =.178 m Taci=(A-B)/MAB =.893<= t(,.95)= > Farkli Donukluk anlamsizdir Tolc=(k-k)/Mk=1.6996<= t(,.95)= > Farkli Olcek anlamsizdir i N.N. v(m) qv sv mv Tv v(m) qv sv mv Tv "*" Olan nokta uusumsuzdur. t(*n-6-1, 1-.5/n) = t( 1,.99375) = ===================== Koordinat Ciftleri icin Uusumsuz Olculer Testi ===================== 1.inci nok. ; T = 1. <= c = inci nok. ; T = 1. <= c = inci nok. ; T = 1. <= c = inci nok. ; T = 1. <= c = i N.N. (m) (m) (m) (m) d d ds === ==== ========= ========= ========= ========= ==== ==== ==== === ==== ========= ========= ========= ========= ==== ==== ====