Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n i 2 0 n + 6 =?

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?"

Turgay Sağlık
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve i i 2 = 1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z saısına karmaşık (kompleks) saı denir. Karmaşık saılar kümesi C ile temsil edilir. Başka bir deişle C ={z: z=a+bi, a,b R ve i 2 = 1 } dir. z = a + bi karmaşık saısında a a karmaşık saının reel (gerçel) kısmı, b e karmaşık saının imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) a, Im(z) = b şeklinde gösterilir. Alıştırma Karmaşık saıların reel ve sanal kısımlarını a zınız. Re (z) Im (z) 1) z=3+8i 2) z=4i 2 3) z=4i 4) z= 3 5 Alıştırma Sa ıları sanal birim ( i) kullanarak a zınız. 1) z= 4 2) z= SANAL BİRİMİN (İ NİN) KUVVETLERİ i 0 =1, i 1 =i, i 2 = 1, i 3 = i, i 4 =1, i 5 =i,... Buna göre, n N olmak üzere, i nin k uvveti 4 ile bölündüğünde; kalan 0 ise i n =1 kalan 1 ise i n =i 1 =i kalan 2 ise i n =i 2 = 1 kalan 3 ise i n =i 3 = i olur. Örnek...3 : Saıları hesaplaınız. a) i 1 0 b) i c) i d) i Örnek...4 : P(x 2)=(x 3 6x 2 +12x 8) 7 ise P(i)=? 3) z= ( 3) Örnek...1 : x 2 2x + 5 = 0 denkleminin köklerini bulalım. Örnek...5 : n bir pozitif tamsaı ise i 4 n + 2 +i 8 n i 2 0 n + 6 =? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

Başka bir deişle C ={z: z=a+bi, a,b R ve i 2 = 1 } dir.

2 BİR KARMAŞIK SAYININ GÖRÜNTÜSÜ İki boutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, ekseninin imajiner eksen alınmasıla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir. Karmaşık saılar ile analitik düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir. Bu eşlemede x + i saısına (x, ) noktası karşıl ık gelir. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık saı eşittir. Örnek...7 : z 1=a+2+3i bi ve z 2=2a b+5i karmaşık saıları için z 1=z 2 ise a.b kaçtır? Şekile göre B noktası 3+i saısına (a da 3+i saısına karşılık B noktası ) C noktası 3+2i saısına, K noktası 2i saısına karşılık gelmektedir. H C x 1 E D Örnek...6 : Saıları karmaşık düzlemde gösteriniz. z=3+6i w =4i q=6i K G Sanal (İmajiner) Eksen A B F Z x Reel (Gerçel) Eksen Örnek...8 : x<0< olmak üzere, x + 512= 16 x 3 eşitliğine göre, ( x, ) ikilisini bulunu z? KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ z = a + bi karmaşık saı ise a bi saısına z karmaşık saısının eşleniği denir ve z şeklinde gösterilir. İm (z) 6 Sanal (İmajiner) Eksen bi z=a+bi a Re (z) 2 1 bi z=a bi x Reel (Gerçel) Eksen Alıştırma 1) z = 4 + 3i saısının eşleniği z = 4 3i dir. 2) Karmaşık saıların eşleneğini azınız. z=3+9i w=4i 7 m=i 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık saı eşittir. Örnek...7 : z 1=a+2+3i bi ve z 2=2a b+5i karmaşık saıları için z 1=z 2 ise a.

3 KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM 1. TOPLAMA ÇIKARMA Karmaşık saılar toplanırken (ada çıkarılırken) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır (a da çıkarılır.) Yani, z 1=a+ib ve z 2=c+id verilsin Örnek...11 : z 1=2+5i ve z 2=6 3i saıları için işlemleri apınız a) z 1.z 2= z 1+ z 2=(a+c)+i(b+d) z 1 z 2=(a c)+i(b d) olarak tan ım lanm ıştır. b) z 1 2 = TOPLAMA VE ÇIKARMANIN GEOMETRİK YORUMU 0 w z z+w x w 0 w z w z x c)z 1. z 1 = d) z 2. z 2 = Yukarıdaki şekillerde 0, z, (z+ w), w noktalarının ve 0, w, z, (z w) noktalarının paralelkenarın köşeleri olduğuna dikkat ediniz. Örnek...9 : z 1=5+7i ve z 2=8 9i olmak üzere, z 1+ z 2 z 1 z 2 değerlerini bulunuz? ve UYARI z. z = [Re(z)] 2 +[Im(z)] 2 Örnek...12 : z=x+ i olmak üzere, 3z 1=4 i ise x+ =? Örnek...10 : i sanal saı birimi olmak üzere, i+i 2 +i 3...+i 111 toplam ın ın eşitini bulunuz? Örnek...13 : 2.z+i= 4i z eşitliğini sağlaan z karmaşık saısını bulunuz? 2. ÇARPMA Çarpma işlemi apılırken bir karmaşık saı diğeri üzerine dağıtılır. z 1=a+ib ve z 2=c+id verilsin z 1. z 2= (a+ib)(c+id) = ac bd +i(ad+bc) 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

b) z 1 2 = TOPLAMA VE ÇIKARMANIN GEOMETRİK YORUMU 0 w z z+w x w 0 w z w z x c)z 1. z 1 = d) z 2.

4 Örnek...14 : ( 2) işleminin sonucu kaçtır? UYARI a, b, c reel saılar olmak üzere, ax 2 +bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m+ni ise diğeri de m ni dir. UYARI Örnek...18 : a ve c reel saılar olmak üzere, x 2 ax + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri 3 i olduğuna göre, a + c i bulunuz? Özdeşlik lerden a rarlanarak, (1+i) 2 =2i (1 i) 2 = 2i olduğu bulunur. Örnek...15 : (1+i) 2 =? Örnek...16 : (1+i) (1 i) 7 8 =? 3. BÖLME z 1=a+ib ve z 2=c+id verilsin. z 1 : z 2= (a+ib) : (c+id) = a+ib c+id işlemi apılırken pa ve pada padanın eşleniği ile genişletilir. Örnek...19 : 8+6i 1+2i =? Örnek...17 : (2+2i) 6 9 =? Örnek...20 : Re( 8i 2 3 i )=? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

..18 : a ve c reel saılar olmak üzere, x 2 ax + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri 3 i olduğuna göre, a + c i bulunuz?

5 Örnek...21 : 3 7i karmaşık saısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner (sanal) kısmını bulunuz Örnek...22 : 4+i 1+2i + 3i 1 1 2i =? Örnek...23 : ( 1 i) 1+i 100 =? Örnek...24 : z = 3 + 2i olduğuna göre, ( z+z z z) =? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

imajiner (sanal) kısmını bulunuz ..22 : 4+i 1+2i + 3i 1 1 2i =?

6 EŞLENİĞİN ÖZELLİKLERİ : 1) Bir karmaşık saının eşleniğinin eşleniği k endisidir. z=z Örnek...25 : z= 2+i 2 i 2 i 2+i karmaşık saısı için, z hesapla ın ız? ( z) farkını 2)İki karmaşık saının toplamının a da farkının eşleniği, karmaşık saıların eşlenikleri toplamı a da eşlenikleri farkına eşittir. z 1 ±z 2 =z 1 ±z 2 3)İki karmaşık saının çarpım ının eşleniği, karmaşık saıların eşlenikleri çarpım ına eşittir. z 1.z 2 =z 1.z 2 4)İki karmaşık saının bölümünün eşleniği, karmaşık saıların eşlenikleri bölüm üne eşittir. ( z 1 z 2 )= z 1 z 2 5)Bir karmaşık saının n inci kuvvetinin eşleniği, eşleniğinin n inci kuvvetine eşittir. (z n )=(z) n Örnek...26 : z 2.( z)+ ( z)=4i olduğuna göre, İm( z) kaçtır? Örnek...27 : 6)Sıfırdan farklı bir karmaşık saının çarpımsal tersinin eşleniği, eşleniğinin çarpım sal tersine eşittir. z ve w karmaşık saılar olmak üzere, oranı kaçtır? z w z w 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

z 1 ±z 2 =z 1 ±z 2 3)İki karmaşık saının çarpım ının eşleniği, karmaşık saıların eşlenikleri çarpım ına eşittir. z 1.z 2 =z 1.z 2 4)İki karmaşık saının bölümünün eşleniği, karmaşık saıların eşlenikleri bölüm üne eşittir.

7 DEĞERLENDİRME 1 1) x 2 +6x+12=0 denkleminin köklerini bulunuz. 4) z=2+4i saısı için z. z saısı z+ z nin kaç katıdır? 2) i 2 +i 4 +i i 66 =? 5) z karmaşık saısı için z+3 z 2=12 8i ise z karmşık saısınına düzlemde karşılık gelen noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir? 3) a<0<b olmak üzere, ab 4a=a ise a+b kaçtır? 6) Kökerinden biri 3+2i olan reel katsaılı 2. derece bir P(x) polinomunun başkatsaısı 4 ise bu polinomun katsaılar toplamı kaçtır? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

5) z karmaşık saısı için z+3 z 2=12 8i ise z karmşık saısınına düzlemde karşılık gelen noktanın orijine uzaklığı kaç birimdir?

8 DEĞERLENDİRME 2 1) Tamsaı katsaılı p(x)=0 polinom denkleminin köklerinden bazıları 2 i, 4+5i, 3, 1+i ise polinomun derecesi en az kaçtır? 5) Re( 3 i) 1 ( 3+i) Im 1 =? 2) Başkatsaısı 2 ve bir kökü 1 i olan reel katsaılı ikinci dereceden denklemi azınız? 6) (x, ) C 2 olmak üzere, (a,b)o(c,d)=(ac bd,ad+bc) işlemine göre (2,1) elemanının tersi nedir? 3) z C, z. z+2. z 3=13+2i ise z nin reel eksene uzaklığı kaç birimdir? 7) z 3 8z 2 +20z=0 denkleminin köklerini köşe noktaları kabul eden ABC üçgeninin, a) Alanı kaç birim karedir? 4) i 2 = 1 olmak üzere, z 1 =1+i+i i 1071 ve z 2 =i 65 +i 72 +i 80 +i 90 +i i 1990 ise Im(z 1).Re(z 2)=? b) Çevresi kaç birimdir? 11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı /8

3) z C, z. z+2. z 3=13+2i ise z nin reel eksene uzaklığı kaç birimdir? 7) z 3 8z 2 +20z=0 denkleminin köklerini köşe noktaları kabul eden ABC üçgeninin, a) Alanı kaç birim karedir?

Benzer belgeler

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle