KISITLI OPTİMİZASYON YAKLAŞTIRMA PROBLEMLERİ

Transkript

1 KISILI OPİMİZASYON YAKLAŞIMA POLEMLEİ amamıyla doğrsal lşk gösteren kısıtlı optmzasyon problemler çn en güçlü araç doğrsal programlama teknğdr. Çoğ drmda doğrsal olmayan lşkler blndran çeştl optmzasyon problemler de vardır. problemlern doğrsal br model olarak ele alınıp doğrsal programlama le çözülmes de yeterl görüleblr. Ama öyle optmzasyon problemler vardır k lşkler yüksek derecede doğrsal olmayan yapıdadır. problemler yapısı bozlmaksızın doğrsal olarak ele alınamazlar. Ancak böyle problemlerdek doğrsal olmayan lşkler doğrsallaştırılarak doğrsal programlama le çözülürse elde edlen çözüm optmma yakın olr. KAELİ POGAMLAMA Karel programlama model aşağıdak gb tanımlanır: Ma ( Mn) f ( ) c D brada n (,,..., ) C c c c n (,,..., ) P b b b m (,,..., ) A P, a A a n m a a mn d D d n n d d nn olarak tanımlanır. D, D matrs smetrk olan karel br formdr. D matrs, problem mnmm se poztf tanımlı, maksmm oldğnda se negatf tanımlı varsayılır. Ykarıdak problemn çözümü Khn-cker gerek şartları yglanarak elde edlr. f ( ) konveks (konkav) ve çözüm zayı da konveks oldğndan b şartlar mtlak optmm çn yeterl olr. Karel programlama problem maksmm drm çn ele alınacaktır. Problem yenden

2 Ma f ( ) c D A P, şeklnde yazablrz. (,,..., ) ve (,,..., n ) sırayla A P ve kısıtlarına karşı m gelen Lagrange çarpanları olsn. probleme Khn-cker gerek şartlarını yglamak çn Lagrange fonksyon, P A L(,, ) f ( ) (, ) I olarak olştrlr. fonksyon çn Khn-cker gerek şartları f ( ) (, ) G ( ) n b a s,,,..., m,,,..., n A P,, olr. radan da kısm türevler alınırsa, f ( ) C X D A G ( ) I olacaktır. S P AX aylak değşkenn alalım. Ykarıdak K- şartları aşağıdak bçmde yenden yazılablr. f ( ) (, ) G ( ) den C X D A yazılır. radan,

3 X D A C AX S P S, ve çn,, X, S D smetrk br matrs oldğndan DX A C AX+ S=P D elde edlr. yüzden ykarıdak gerek şartları, X D A I C A I P S S, ve çn,, X, S bçmnde brleştreblrz. D olr, ve lk denklem kümesnn transpoz alınırsa S şartları dışında dğer denklem kümeler doğrsaldır. O halde ykarıdak problemn çözümü b lave şartları sağlayan doğrsal denklemler kümesnn çözümüne eşdeğer olr. f ( ) kesn konkav ( D negatf tanımlı) ve çözüm zayı konveks oldğndan (kısıtlar doğrsal) ykarıdak bütün şartları sağlayan mümkün br çözüm drekt olarak optmm çözümü verr. aynı zamanda b çözümün tek oldğ gösterleblr. Ykarıdak denklem sstemnn çözümü, katsayılarda brm matrs blnrsa normal smpleks yöntem le yada brm matrs blnmyorsa (genellkle blnmaz) k aşamalı smpleks yöntemnn brnc aşaması yardımı le elde edlr. radak tek sorn her zaman/her terasyonda S şartının sağlanmasıdır. şartlara optmzasyonda complementary slackness(aylaklığın tamamlayanı) adı verlmektedr. poztf düzeyde temel çözümde yer alıyorsa S poztf düzeyde temel çözümde olamaz demektr. na kısıtlı temel kralı adı verlr. rnc aşama yapay değşkenler sıfır olncaya kadar yürütülür. Dolayısıyla bnn soncnda ve temel çözümde yapay değşken olmadığında K- şartlarını sağlayan mümkün br çözüme laşılır.

4 ÖNEK : Ma z , veya, problem verlyor. Karel programlama le çözünüz. D ; C 4 6 ; 4 X 4 C 4 4 P 4 S A ; P 4 rm matrsn olşması çn I nc ve II nc satırlara yapay değşkenler eklenr (, ) S ykarıdak kısıtlayıcıları sağlayan çözüm ; k safhalı smpleks yöntemnn brnc aşaması kllanılarak aşağıdak amaç fonksyonn en ylenmes le blnr. Ma f ( ) ablo : aşlangıç ablos C X b - - S C z S S 4

5 rada her ardıştırmada/tabloda ykarıdak şartlar da her tabloda sağlanmalıdır. Optmalte krterne bakılırsa (brden fazla değşken temel çözüme grmeye aday-deenere drm)temel çözüme grer ve le yer değştrr ve yen tablo aşağıdak gb olr. rada yapay br değşken oldğ çn bndan sonrak tablolarda şlem dışı da bırakılablr. öyle değşkenler çözümden çıktıktan sonra br daha çözüme grmezler ablo : ve n yer değştrmes C X S - S 4 / 4 -/ -/ 4 C z -/ - tablo soncnda temel çözüme grer ve S temel çözümden ayrılacak değşken olarak belrlenr yen tablo ve yen elemanları aşağıdak gb olr. ablo : ve S n yer değştrmes C X S C z S radan da optmalte şartlarından değşkennn temel çözüme greceğ temel çözümden se değşkennn ayrılacağı görülmektedr. 5

6 Ykarıda da söylendğ gb yapay br değşken oldğ çn bndan sonrak tablolarda şlem dışı bırakılablr. öyle değşkenler çözümden çıktıktan sonra br daha çözüme grmezler. Zra bndan sonra bnlar üzernde yapılan hesaplamaların problemn çözümüne etks olmaz. ablo 4: Optmal ablo C X S C z - - S Örnek : Karel programlama teknğn kllanarak verlen br mnmm problemn çözmeye çalışalım( D matrs poztf tanımlı olsn): Mn f ( ) c D A P, Mnmm problemlernde bütün kısıtlar büyük eşt şeklnde düzenlendkten sonra, denklem sstemler aşağıdak gb olştrlr. X D A I C, A I P S Hatırlatma: problemn maksmm olması drmnda yan, Ma f ( ) c D A P, oldğnda eştlklern 6

7 X D A I C A I P S Mn z şeklnde oldğna dkkat ednz. 6, problem verlmş olsn, karel programlama le b problem çözünüz. Mn z - 6, X D A C D ve AX S P S, ve çn,, X, S D oldğndan lk denklem kümesnn transpoz alınırsa DX A C AX S P le brlkte ele alınır. problemde D ; D ; C ; A ; P 6 7

8 olarak blnr. rada D matrs poztf tanımlıdır. X D A I C A I P S oldğ da hatırlanırsa; K- şartları 6 S S S olarak yazılablr, yada S S 6 S,, S, Yada ykarıdak sağ tarafı negatf olan eştlkler poztf yapılırsa 8

9 6 S S elde edlr. Ykarıdak şartları sağlayan çözüm k safhalı smpleks yöntemnn brnc safhası le blnr. rm matrsn olmadığı drmda brm matrs olştrmak çn yapay değşkenler kllanılır. yapay değşkenlere amaç fonksyon ters yönde etkleyen brm katkılar(yan artıran katkı)verlr, brada (+) değerler verlr. Yen model aşağıdak gb olacaktır. Ykarıdak eştlklerde sağ-taraf sabtler negatf olanlar poztf yapılır: Mn z = + 4 s s 6 4 4,, S, den dolayı kanonk br sstemdr. sstem brm matrs blndrmaktadır. ykarıdak amaç fonksyona göre çözümü yapılablr. 9

10 ablo : aşlangıç tablos C C X S 4 X s S temel çözüme grecek, çözümden ayrılacaktır. Yen tablo ve elemanları aşağıdak gb olacaktır: ablo : C C X S 4 - X s S 4 / / 5/ 9/ / -/ / 7/ / / -/ -/ / / -/ -/ -7/ -/ / 9/ - - -/ -/ / / Ykarıdak tablodan temel çözüme grecek, 4 elemanları aşağıdak gb olacaktır: ablo : C - - çözümden ayrılacaktır. Yen tablo ve C X S X 4 s S 6/7 8/7 4/7 9/7 -/7 /7 -/7 /7 5/7 /7 /7 -/7 /7 /7 /7 -/7-9/7-6/7 -/7 9/7 - -5/7 -/7 -/7 /7 /7 -/7 /7 -/7 8/7 /7 -/7 9/7 5/7 -/7

11 Ykarıdak tablodan çözüme alınırsa çözümden çıkacaktır. drmda complementary slacknes(a)kralı bozlacağından, yan s şartının da sağlanması gerektğnden marnal katkısı negatf olan s temel çözüme grecek, S çözümden ayrılacaktır( S ve aynı anda temel çözümde yer alıp poztf değer alamazlar, br yada her ks her zaman sıfır olmak zorndadır). Yen tablo ve elemanları aşağıdak gb olacaktır: ablo 4: C C X s X 4 S s / 4/ 4/ 5/ - / / / -/ 5/ / / -/ / -/ -/ / -/ / 7/ / 8/7 / -5/ 4 / / Ykarıdak tablodan smpleks yöntemnn optmalte şartları göz önüne alınırsa temel çözüme grer ve çözümden çıkacaktır. Ayrıca complementary slackness şartının da sağlandığına dkkat ednz. drmda yen tablo ve yen elemanları aşağıdak gb olacaktır: ablo 5: C C X s X 4 S s /5 6/5 6/5 9/5 - /5 /5 /5 -/5 /5 -/5 -/5 /5 -/5 -/5 -/5 /5 -/5 /5 /5 -/5 -/5 -/5 -/5 /5 tablonn son çözüm tablosndak temel dışı değşkenlern marnal katkıları poztf oldğndan (optmal ) en y çözüm blnmştr. 9/5, 6/5 ve /5 -/5 /5 /5 /5 değerler en y çözüm olarak blnr.

12 ÖNEK Mn z 5 5, problem verlyor. Karel programlama le çözünüz. D ; 4 D 6 ; C 5 ; A ; P S 5 S 5 rm matrsn olşması çn son kısıta yapay değşken eklenr. 5 S 5 mn Z 5 S 5,,, S,

13 C X X S C Z ,, S Optmalte krterne bakılırsa n çözüme alınıp ün çözümden çıkması gerekr. n çözüme alındığında şartı sağlanmayacağı çn, görel katkılardan knc en y katkıya sahp olan değşken temel çözüme alınır. Fakat değşken temel çözüme alındığında ün çözümden çıkması gerekr ve b drmda şartı sağlanmaz. Çözüme değşken alınır ve değşken çözümden çıkar. C X X S C Z 5 --,, S değşkennn temel çözüme greceğ ve temel çözümden se değşkenn ayrılacağı görülmektedr. X X S C Z C,, S

14 değşkennn temel çözüme greceğ ve temel çözümden se değşkenn ayrılacağı görülmektedr. C X X S C Z --,, S Yapay değşken optmm çözümde yer almadığından ve,, S şartları da 85 5 sağlandığından çözüm tamamlanmıştır. Çözüm ve olarak elde edlr. 6 8 ÖNEK Mn z 4 5 4, problem verlyor. Karel programlama le çözünüz. D ; 4 D 4 4 ; C 5 ; A ; P S Sağ taraf sabt negatf olamayacağı çn knc kısıt yenden düzenlenr ve brm matrsn olşması çn yapay değşkenler eklenr. 4

15 Ma Z S 4,,, S, C X X S C Z ,, S değşkennn temel çözüme greceğ ve temel çözümden se değşkenn ayrılacağı görülmektedr. C X X S C Z ,, S değşkennn temel çözüme greceğ ve temel çözümden se değşkenn ayrılacağı görülmektedr. C X S X C Z -- 5

16 Yapay değşken optmm çözümde yer almadığından ve,, S şartları da 4 sağlandığından çözüm tamamlanmıştır. Çözüm ve olarak elde edlr. KAELİ POGAMLAMA VE POFOLİO(YAIIMLA) SEÇİMİ (EN İYİ YAIIMI YAPMA ÇAASI) Portfolo/Portföy: sahp olnan varlıkların yatırım sonc olştrdğ toplam değer olarak tanımlanır. Portfolo : kş yada krlşlar tarafından ele alınan yatırımlar kolleksyon Servet olan br kşnn farklı yatırımlara yatırableceğ sabt br mktarda parası olsn. Genelde böyle br kş yatırımlarının rskn (portföy getrsnn yada kazancının varyansı le ölçülen )en küçük yapacak şeklde yatırımlardan(portfolo) elde edlecek beklenen getry maksmm yapmak ster. Ancak büyük br beklenen karı verecek hsse senetlernn kazancı da genellkle değşken olr. Değşkenlğ azaltmak çn, beklenen kazancı kabl edleblr br (mnmm) düzeyde ttarak, en az b kazancı veren mnmm varyanslı br portföy seçm problemnn araştırılması daha ygn olacağı lteratürden blnyor. Örneğn br yatırımcı,beklenen kazancı % olacak şeklde mnmm varyanslı br portfolo araştırablr. Mnmm kabl edleblr beklenen kazancı değştrerek, karşılaştırma mkanı da blableceğ farklı pek çok arz edleblr portfolo/yatırımlar sepet elde edeblr. fkrler portfolo seçm problemnn, karel programlama problemne ndrgeneceğn göstermektedr. öyle br yaklaşım çn aşağıdak bazı kralları da hatırlatalım: X, X,..., X n asgele değşkenler olsn İstatstk Derslernden aşağıdak özellkler hatırlamaya çalışalım: E( X + X X n ) = E( X )+E( X )+... +E( X n ) Var( X + X X n ) = Var( X )+Var( X ) Var( X ) + cov( X, X ) n E( kx ) ke( X ) 6

17 Var kx ( ) k Var( X ) Cov( ax, bx ) abcov( X, X ) Örnek r yatırımcının üç ayrı hsse sened çn düşündüğü kadar parası blnmaktadır. S ; -nc hsse senedne yatırılan nın yıllık karını göstersn. radan S =. se yılın başlangıcında -nc hsse senedne yatırılan, yılın sonnda. değernde olr. üç hsse sened le lgl Pazar araştırmasından aşağıdak blgler elde edlmştr. E( S )=.4, E( S )=., E( S )=. VarS., VarS.8, VarS.8 Cov( S, S ).5, Cov( S, S ). ve Cov( S, S ). Yıllık beklenen getr yada kazanç en az % olması çn mnmm varyanslı portfolo y karel programlama le blnz. problem formüle ednz ve en y çözümünü blnz. Çözüm: ;,, olmak üzere -nc hsse senedne yatıralan para olsn portfolonın yıllık karı ( X S X S ) X S / ve portfolonın yıllık beklenen karı se ( XE( S) X E( S) X E( S) ) / olr. portfolonın yıllık beklenen karının en az % olması çn; Aşağıdak kısıtlayıcının modele konlması gerekr () ayrıca,, kısıtlayıcılarının da formlasyona eklenmes gerekr. rada amacımız portfolonın yılık beklenen karının varyansını mnmm yapmaktır. nn çn de portfolonn varyansı le lgl formülü yazalım: 7

18 Var( X S X S X S ) Var( X S ) Var( X S ) Var( X S ) + Cov( X S, X S ) Cov( X S, X S ) Cov( X S, X S ) Var( S) Var( S) Var S ( ) + Cov( S, S ) Cov( S, S ) Cov( S, S ) olarak alınır. Ykarıda verlenler b fonksyonda yerlerne yazılırsa amaç fonksyon, olarak elde edlr. drmda amaç fonksyon (karel br fonksyon )ve kısıtlayıcılar aşağıdak gb olr. Mn z ,, problemn çözümünde knc kısıtlayıcı eştlk bçmnde verldğ çn küçük eşt ve büyük eşt olarak alınarak çözülmeldr. Yan b kısıtlayıcı yerne veya - her k kısıtlayıcı da modele alınmalıdır. problem ykarıdak yöntemler kllanılarak çözülürse aşağıdak çözüm elde edlr. Aynı çözüme WINQS paket programını kllanarak da erşmek mümkündür. Çözüm değerler aşağıdak gb blnr. * * * * z 758, 8.95, 476.9, 4.86 ve dğer değşkenler se 76.86, 8.95,. olarak blnr. 8

19 Alıştırmalar:. r şrket sınırlı mktarda k ayrı ham maddey kllanarak A ve ürünlern mal etmektedr. Haftalık brnc ve knc mevct ham madde mktarı sırayla ve dür. r brm A üretmek çn brm brnc hammadde brm knc ham madde, r brm üretmek çn.5 brm brnc hammadde.5 brm knc ham madde kllanılarak yapılıyor. rnc ve knc ham madenn brm malyetler sırayla.8 ve. dr. rada kllanılan brnc hammadde brm sayısı, se knc hammadde brm sayısıdır. A ve ürünlernn brm satış fyatları se., dr. rada A A A ve sırayla A ve ürünlernden satılan brm sayısıdır. Şrketn ürettğ ürünlern tamamını sattığını varsayarak haftalık karı maksmm yapan problemn çözümünü blnz.. Çözüm: ; brnc hammadde mktarı ve ; knc hammadde mktarı oldğndan.5 A.5 A A, yazılır ve amaç fonksyon se ( kar = satış gelr- malyet oldğ hatırlanırsa), ma z = (. ) ( )- (-.8 )- (-. ) A A A = (. ) ( )-(.5 ).8(.5 ) A A A A A (.5 ).(.5 ) A A olr. 9

20 . r kş parasını aşağıdak blglern at oldğ üç ayrı hsse senedne yatırmak stemektedr. hsse senetlernn geçmş 6 yıllık getrler aşağıdak gb olsn. yatırımcı mnmm rskl ve getrs de en az % olan br portfolo arz etmek sterse parasını nasıl kllanmalı. Modeln krnz. yıllara göre senetlern getrs( %) Portfolo Ortalama getr ad senetler,4 6,6 5,7 5,46,6 -,4,67 ortak fonlar 9,64 7,6 7,68 8,6 8,55 8,6 8,4667 şrket fonları,8 8,6 8,46 9,8 9,6 9, 9,8 Çözüm : ; paranın ad senedlere yatırılan oranı ; paranın ortak fonlara yatırılan oranı ; paranın şrket hsselerne yatırılan oranı ,, ykarıdak blglern varyans kovaryans matrs n n, v n n v v olmak üzere v v v v v v

21 elde edlr. Varyans kovaryans matrs smetrk ve poztf tanımlı br matrstr. getr varyansı = v n n = = oldğ hatırlanırsa, b drmda problemn model aşağıdak gb olr : Mn z (.6) (.8) (.48) ,, optmzasyon problem karel programlama le çözülürse;.47, ve.5 * * * toplam getrnn varyansı se 5895 olarak blnr.. Üç ayrı hsse senedne aşağıdak gb br yatırımı düşünelm. S ; -nc hsse senedne yatırılan nın br yıllık yatırıldıktan sonra, br yıl sonrak değern gösteren rasgele değşken olsn. Yıllık getr le brlkte yıl son değer olsn. üç hsse sened le lgl Pazar araştırmasından aşağıdak blgler elde edlmştr. E( S )=.5, E( S )=., E( S )=.9 VarS.9, VarS.4, VarS. Cov( S, S ).6, Cov( S, S ).4 ve Cov( S, S ).5 yatırım çn düşündüğümüz kadar para blnmaktadır ve gelecek yıl en az % 5 beklenen getr stedğmz varsayalım. eklenen getry en az % 5 yapan mnmm varyanslı portfoloy karel programlama le blnz. problem formüle ednz ve en y çözümünü blnz. Çözüm: ;,, olmak üzere -nc hsse senedne yatıralan para olsn portfolonın yıllık karı ( X S X S X S ) ve

22 portfolonın yıllık beklenen karı se ( XE( S) X E( S) X E( S) ) olr. portfolonın yıllık beklenen karının en az % 5 olması çn; drmda aşağıdak kısıtlayıcının modele konlması gerekr ( ) ayrıca,, kısıtlayıcılarının da formlasyona eklenmes gerekr. rada amacımız portfolonın yılık beklenen karının varyansını mnmm yapmaktır. nn çn de portfolonn varyansı le lgl formülü yazalım: Var( X S X S X S ) Var( X S ) Var( X S ) Var( X S ) = Cov( X S, X S ) Cov( X S, X S ) Cov( X S, X S ) Var( S) Var( S) Var S ( ) + Cov( S, S ) Cov( S, S ) Cov( S, S ) olarak alınır. Ykarıda verlenler b fonksyonda yerlerne yazılırsa amaç fonksyon, olarak elde edlr. drmda amaç fonksyon (karel br fonksyon )ve kısıtlayıcılar aşağıdak gb olr.

23 Mn z ,, Çözümü okycya bırakılmıştır. WINQS paket programını kllanarak da çözmek mümkündür.