ÖZE Yüksek sans ez ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİİ BUAIK MİMAD POBEMİ OAAK MODEEMESİ VE GOBA KİE YÖEMİYE ÇÖZÜMÜ Deme BAKI Ankara Ünverses Fen Blmler E

Transkript

1 AKAA ÜİVESİESİ FE BİİMEİ ESİÜSÜ YÜKSEK İSAS EZİ ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİİ BUAIK MİMAD POBEMİ OAAK MODEEMESİ VE GOBA KİE YÖEMİYE ÇÖZÜMÜ Deme BAKI İSAİSİK AABİİM DAI AKAA 7 Her Hakkı Saklıır

2 ÖZE Yüksek sans ez ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİİ BUAIK MİMAD POBEMİ OAAK MODEEMESİ VE GOBA KİE YÖEMİYE ÇÖZÜMÜ Deme BAKI Ankara Ünverses Fen Blmler Ensüsü İsask Anablm Dalı Danışman: Prof. Dr. Aşen APAYDI Çok eğşkenl çoklu regreson moellerne paramere ahmn çn genellkle En Küçük Kareler EKK Yönem kullanılmakaır. EKK önem moeln blnmeen paramerelernn ahmn çn haalar bağımsız oluğuna opmal sonuçlar vermeker. Bu ahmn eler sıfır oralamalı ve σ varanslı normal ağılıma umakaır. Özellkle normal ağılıma umaan urumlara ve uç eğerler oluğuna bu önem opmallken çok uzaklaşmakaır. Bu neenle maemaksel moellere EKK aklaşımına alernaf olarak mulak sapmaların enküçüklenmes MİMAD- Mnmzng Mean Absolue Devaons önem ele alınmışır. Bu önem EKK önemne göre bazı urumlara üsün olmakaır. Özellkle çoklu bağlanının oluğu urumlara ekn sonuçlar vermeker. Belrszlğn br çeş olan bulanıklık kavramı le gerçek haa problemlerne sıkça karşılaşılmakaır. Klask regreson analzne bağımlı ve bağımsız eğşkenler arasına belrszlkler bulunablr. Bu uruma EKK önemne alernaf olarak gelşrlen Bulanık Mulak Sapmaların En Küçüklemes Bulanık MIMAD önemn kullanmak aha gerçekçr. Bu çalışmaa lk olarak çok eğşkenl çoklu regreson moel MİMAD problemne önüşürülmüşür. Daha sonra bulanıklık kavramı le lgl emel anımlar verlmşr. egreson analzne bağımlı eğşken bulanık saı ve bağımsız eğşken sab saı oluğuna Bulanık MİMAD önem nelenmşr. Bulanık MİMAD önem saısal k örnek üzerne ugulanmışır. Son aşamaa se ele elen çok amaçlı oğrusal programlama problemnn çözümü çn Global Krer Yönem kullanılmışır. 7 safa Anahar Kelmeler: Bulanık MİMAD Çok Amaçlı Programlama Global Krer Yönem

3 ABSAC Maser hess GOBA CIEIA MEHOD FO SOVIG MUIVAIAE MUIPE EGESSIO MODE MODEED AS FUZZY MIMAD POBEM Deme BAKI Ankara Unvers Grauae Shool of aurel an Apple Senes Deparmen of Sass Supervsor : Prof. Dr. Aşen APAYDI he leas-squares meho s generall use for he parameer esmaon n he mulvarae mulple regresson moels. Sne he error erms are unorrelae he leas-squares meho gves opmal resuls for he moel s unknown parameer esmaon. hese esmaors mus be srbue normall wh a mean of an a varane of σ. When some suaons ha o no f he normall assumpons an oulers es hs meho epars from he opmal. Beause of hs reason Mnmzng Mean Absolue Devaons MIMAD meho s onsere as an alernave for he leas-squares approah n mahemaal moels. hs meho has pror over leassquares meho n some suaons. Espeall gves effeve resuls when mulple onneon ess. Fuzzness onep a kn of uneran s frequenl enounere n real lfe problems. In lassal regresson analss uneran an be eee beween epenen an nepenen varables. In suh suaons usng Fuzz MIMAD meho whh s evelope as an alernave for he leas-squares meho s more reals. In hs su frsl he mulvarae mulple regresson moel has been onvere o MİMAD problem. hen he bas efnons have been gven abou fuzzness onep. Sne he epenen varables are fuzz numbers an nepenen varables are onsan numbers Fuzz MIMAD meho has been eamne n hs regresson analss. Fuzz MIMAD meho has been apple o wo numeral eamples. A fnal sage Global Crera meho has been use for mul-obeve lnear programmng problem whh s obane before. 7 pages Ke Wors: Fuzz MIMAD Mul-Obeve Programmng Global Crera Meho

4 EŞEKKÜ Bu çalışmanın her aşamasına lg ve önerlerle ben esekleen anışman hoam Saın Prof. Dr. Aşen APAYDI Ankara Ünverses Fen Faküles a sonsuz eşekkürlerm sunarım. Çalışmaa arımlarını hçbr zaman esrgemeen Saın Dr. Kumru Dem AAAY Ankara Ünverses Fen Faküles a en çen eşekkürlerm sunarım. Arıa her zaman akın lglerle bana esek olan sevgl aleme ve arkaaşım Özlem BÖYEKÇİ e sonsuz eşekkürler Deme BAKI AKAA Ağusos 7

5 İÇİDEKİE ÖZE..... ABSAC..... EŞEKKÜ.... SİMGEE DİZİİ....v ÇİZEGEE DİZİİ......v. GİİŞ VE ÖCEKİ ÇAIŞMAA Grş..... Önek Çalışmalar ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİ ve MUAK SAPMAAI EKÜÇÜKEMESİ Çok Değşkenl Çoklu egreson Moel Mulak Sapmaların Enküçüklenmes ve Doğrusal Programlama eknğ....3 Çok Değşkenl Çoklu egreson çn MİMAD Problem BUAIK EOİ ve BUAIK MİMAD EGESYO Bulanık Küme Kuramı Bulanık Saılar çn Armek İşlemler Bulanık Küme İşlemler Bulanık Saıların Karşılaşırılması Genel Bulanık Doğrusal Moel Bulanık En Küçük Kareler oplamı Bulanık Mulak Sapmaların Enküçüklenmes. 35. ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİİ BUAIK MİMAD POBEMİ OAAK MODEEMESİ Bulanık Çok Amaçlı MİMAD Moel Ugulama SOUÇ VE AIŞMA KAYAKA.. 7 ÖZGEÇMİŞ... v

6 SİMGEE DİZİİ EKK MİMAD MSAE SAE MAD AD MAE AV GFM En Küçük Kareler Mulak Sapmaların En Küçüklenmes Mnmzng Mean Absolue Devaons Mulak Haaların Mnmum oplamı Mnmum or eas Sum of Absolue Errors Mulak Sapmaların Mnmumu Mnmum or eas Absolue Devaons Mulak Haalar a a Değerlern Mnmumu Mnmum or eas Absolue Errors or Values Genel Bulanık Doğrusal Moel General Fuzz near Moel v

7 ÇİZEGEE DİZİİ Çzelge. Örnek Bağımlı ve bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler.. Çzelge. Örnek EKK Y ve Y çn haa eğerler Çzelge.3 Örnek MİMAD Çok Amaçlı MİMAD problemnn Global Krer Yönem le çözülmesnen ele elen haalar..... Çzelge. Örnek Bulanık MİMAD Y bağımlı X bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler Çzelge.5 Örnek Bulanık MİMAD Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar 5 Çzelge.6 Örnek Bulanık MİMAD Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar 5 Çzelge.7 Örnek Bulanık MİMAD Y ve Y çn kesrlen moele lşkn kasaılar..5 Çzelge.8 Örnek EKK Y bağımlı X bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler Çzelge.9 Örnek EKK Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haalar..5 Çzelge. Örnek MİMAD Çok amaçlı MİMAD problemnn Global Krer Yönem le çözülmesnen ele elen haalar Çzelge. Örnek Bulanık MİMAD Y bağımlı X bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler v

8 Çzelge. Örnek Bulanık MİMAD Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar 65 Çzelge.3 Örnek Bulanık MİMAD Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar 65 Çzelge. Örnek Bulanık MİMAD Y ve Y çn kesrlen moele İlşkn kasaılar Çzelge 5. örnek EKK MİMAD Bulanık MİMAD Y ve Y haalarına lşkn eğerler.69 Çzelge 5. örnek EKK MİMAD Bulanık MİMAD Y ve Y haalarına lşkn eğerler.. 7 v

9 . GİİŞ ve ÖCEKİ ÇAIŞMAA. Grş İsask eorsnn gelşm sürene opmzason problemler le olukça sık karşılaşılmakaır. egreson analz bu ür opmzason problemlernn çözümü çn kullanılan eknkleren brr. En Küçük Kareler leraüre uzun sürer kullanılan agın br önemr. Bu önemn agın olmasının neen eornn bas gelşrlmş ve belgelenrlmş olmasıır. egreson analzne ekn olarak kullanılan En Küçük Kareler EKK Yönemne uç eğerlern var olması ve haaların sıfır oralamalı orak σ varanslı normal ağılıma umaması urumuna ele elen sonuçlar opmallken uzaklaşmakaır. Arıa EKK önemnn karesel apıa sahp olması neenle şlem zorlukları oraa çıkmakaır. Bu neenle paramere ahmn çn alernaf br önem olarak oralama mulak sapmaların enküçüklenmes MİMAD önem gelşrlmşr Charnes Cooper ve Ferguson arafınan 955 ılına apılan lk çalışmaa Doğrusal egreson çn MİMAD önem ele alınmış ve Doğrusal Programlama moel le lşklenrlmşr. MİMAD önem normallk varsaımı sağlanmaığına ve uç eğerler gözlenğne En Küçük Kareler egresona alernaf olarak gelşrlmş br önemr Pehlvan-Yapıı ve Apaın 3. Yönelem araşırmasına en leme önemlernen br olarak kullanılan Doğrusal Programlamaa kısılara bağlı olarak amaç fonksonunu maksmum a a mnmum apan çözüm a a çözümler bulunmaa çalışılır. Faka gerçek haa problemlerne kısılar ve amaç fonksonu genellkle esnekr. Amaç fonksonunu en lemekense belrl br ereee amn emek gerçek haa problemler çn aha ugunur. Bu neenle bu ür problemlern çözümü çn Bulanık Doğrusal Programlama önemn kullanmak aha anlamlıır.

10 Çok eğşkenl çoklu regreson analzne bağımlı eğşkenler bağımsız eğşkenler a a her ks bren bulanık saılar olablr. Bu çalışmaa bağımlı eğşkenlern bulanık saı bağımsız eğşkenlern sab saı oluğu urum nelenmşr. Çok eğşkenl çoklu regreson moel En küçük kareler önemne alernaf olarak gelşrlen Bulanık MİMAD problemne önüşürülmüşür. Çok eğşkenl çoklu regreson moelnn Bulanık MİMAD problem olarak moellenmes sonuuna çok amaçlı oğrusal programlama problem ele elmşr. Ele elen problemn çözümü çn çok amaçlı programlama önemlernen Global Krer Yönemnen ararlanılaakır. Bu çalışmanın amaı bağımlı eğşkenlern bulanık bağımsız eğşkenlern sab saı oluğu çok eğşkenl çoklu regreson moelnn Bulanık MİMAD problemne önüşürülerek çözülmes ve bağımlı eğşkenlere lşkn haaların mnmum apılmasıır. Çalışmanın İkn Bölüm üne çok eğşkenl çoklu regreson moel ele alınaak ve bu moel MİMAD problemne önüşürüleekr. Üçünü Bölüm e bulanık saı ve bulanık küme eorsle lgl emel kavramlar ve ermler verleekr. Arınan bulanık MİMAD regreson açıklanaakır. Dörünü Bölüm e çok eğşkenl çoklu regreson moel bulanık çok amaçlı MİMAD problemne önüşürüleekr. Bağımlı eğşkenn bulanık saı bağımsız eğşkenn sab saı olması urumuna bulanık MİMAD regreson ugulanarak ele elen çok amaçlı oğrusal programlama problemnn çözümü çn Global Krer Yönem ele alınaakır. Bu önemn ugulanması sonuuna bağımlı eğşkene lşkn haalar gözleneekr.

11 . Önek Çalışmalar Çok eğşkenl çoklu regreson moelnn bulanık MİMAD problem olarak moellenmes ve çözüm önemler le lgl apılan çalışmalar aşağıak gb özeleneblr. Charnes e al. 955 un brlke çalışıkları makalee maemaksel programlamanın br ugulaması ele alınmış ve MİMAD problem oğrusal regreson moelnn çözümü çn En Küçük Kareler EKK önemne br alernaf alarak seçlmşr. Bu makalee MİMAD problem Doğrusal Programlama moel olarak formüle elmş ve çözülmüşür Pehlvan-Yapıı ve Apaın 3. Meer v 96 ekonom problemlerne mulak haaların karesel haalaran aha memnun e olableeğn ler sürmüşlerr arula an Wellngon 98. Huber 973 regreson problemler çn ek br uç gözlemn EKK ahmn esn ekleebleeğn ve uç nokanın var olması urumuna opmallken uzaklaşılaağını belrmşr arula an Wellngon 98. Anrews 97 moeln formu kesn olarak blnmorsa an haalar normal ağılma sahp eğl se EKK önemne alernaf br önemn gerekl olableeğn öne sürmüşür arula an Wellngon 98. arula e al. 98 MİMAD regresonun EKK regresona karşılaşılan ezavanaları enğn ve br alernaf sağlaığını ler sürmüşlerr. MİMAD regresonun uç eğerlere EKK önemnen aha az uarlı oluğunu ve bu neenle aha sonuçlar sağlanığını belrmşlerr. Bulanık küme kuramı lk olarak of Zaeh 965 arafınan aınlanan br makalee oraa konulmuşur. Bu arhen sonra a brçok alana kullanılmaa başlanmışır. 3

12 İlk olarak Zmmermann 978 arafınan oraa konulan Bulanık Doğrusal Programlama bulanık orama karar verme sağlamakaır. Bulanık orama karar vermele kaselen heeflern kısıların a a her ksnn bren apı olarak belrszlk çerğ bulanık oluğu br karar sürer. Zons e al. 983 çok amaçlı oğrusal programlama problemlerne her br kasaının bulanık oluşunu ve heef eğerlere ulaşmaak bulanıklığı üşünerek karar vernn karar vermesne arımı olan ekleşml br önem ler sürmüşür. Bu önem baskın çözümler arasınan en uzlaşık çözümü bulmaı sağlaan br önemr. anaka e al. 98 apmışır. bulanık oğrusal regreson çözümlemesnek lk çalışmaı Sakawa an Yano 99 bağımlı eğşkenn bağımsız eğşkenn ve paramerelern bulanık oluğu bulanık oğrusal regreson moelnn ahmn çn oğrusal programlamaı kullanarak çok amaçlı programlama meounu gelşrmşlerr. Sasak an Gen 993 apıkları çalışmaa amaç fonksonu kasaılarının kısılara lşkn kasaıların ve sağ an eğerlernn bulanık oluğu çok amaçlı oğrusal programlama problemn ele almışır. Bu problem çözeblmek çn baskın çözümler kümes karşısına karar vere kararına arımı olan Zons- Wallenus Yönem kullanılarak karar vernn bulanık heeflere ulaşmaak memnune erees nelenrlmşr. Chang e al. 99 bağımlı eğşken Y bulanık saı bağımsız m eğşken X sab saı oluğuna bulanık MİMAD Mulak Sapmaların en Küçüklenmes önemn kullanarak kesrlen regreson enklemn ve bağımlı eğşkene lşkn haaları sapmaları ele emşlerr.

13 Yang an n bağımlı eğşken ve paramerelern bulanık saı bağımsız eğşkenn sab saı oluğu bulanık regreson moeln nelemşlerr. Bulanık regreson moelnn analzne oğrusal programlama ve en küçük kareler aklaşımını ele alıp bu k önem karşılaşırmışlarır. Yang an u 3 bulanık regreson moeln anaka nın oğrusal programlama aklaşımı ve en küçük kareler aklaşımı olmak üzere k kaegore nelemşr. Çalışmaa ekleşml bulanık oğrusal regreson moeller çn gürülü kümel en bulanık en küçük kareler algormaları ler sürülmüşür. Akırı eğerler var oluğuna bu algormalar bulanık oğrusal regreson moel çn güçlüür robusur. ran an Duksen çok amaçlı bulanık regreson moeln ele almışır. Bu moeln sasksel ve bulanık regresonun olasılıksal özellklern ve merkez eğlmlern brleşrğ ve bu k aklaşıma meana gelen brçok sorunun üsesnen gelğn öne sürmüşür. İk aralıkak üm nokaları kkae alan k aralık çn uzaklık ölçüsünün en br sınıfı anıılmışır. 5

14 . ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİ VE MUAK SAPMAAI EKÜÇÜKEMESİ egreson en blnen anımıla eğşkenler arasınak lşk ve bağlanıların nelenmesr. egreson analzne eğşkenleren br a a br kaçının ğer br a a brkaç eğşken ne ölçüe ekleğ araşırılır. Eğer eğşkenler arasına lşk varsa lşknn erees ve fonksonel şekl belrlenmee çalışılır. Dğer br anlaımla regreson çözümlemes blnmeen paramerelern ahmn elmesle oluşurulan moele bağımsız eğşkenlern belrlenen eğerler çn bağımlı eğşkenn alaağı eğerlern kesrlmesr Draper an Smh98.. Çok Değşkenl Çoklu egreson Moel egreson çözümlemes k a a aha çok eğşken arasınak lşknn apısını nelemeker. egreson çözümlemesne genele lglenlen olaı anımlaan rasgele eğşken bağımlı açıklanan eğşken ve bu olala lgl a a olaı ekleen eğşken se bağımsız açıklaıı eğşken olarak anımlanır. Br bağımlı eğşken Y ve bren fazla bağımsız eğşken X arasınak oğrusal lşk neleen çoklu regreson moel Y β β X β X... β ε X n n eşlğ le verlmeker. brmlk örneklem çn bağımsız ve bağımlı eğşkenlerne lşkn çoklu regreson moel β β β... β P n ε β β β... β P n ε.. M M β β β... β ε bçmner. P n 6

15 Buraa. gözlem çn bağımlı eğşken eğern bağımsız eğşken saısını paramerelern kasaılarını gösermeker. ε rassal haa mkarını ve β β... β n n... n regreson : boulu bağımlı eğşken vekörünü : n boulu bağımsız eğşken marsn β : n boulu regreson kasaıları vekörünü ε : boulu haa vekörünü gösermek üzere.. le verlen regreson moel mars göserm le Y Xβ ε a a M M M M O n β n β M M n β n ε ε M ε bçmne fae elr. Haalar br rasgele eğşken oluğu çn bazı varsaımları varır. Bu varsaımlar E ε Var ε σ sab 3 Cov ε ε k k bçmner. İsasksel sonuç çıkarımı çn haa vekörünün E ε ve Cov ε σ Ι le normal ağılıma ε ~ σ Ι sahp oluğu kabul elr. 7

16 M ane bağımlı eğşken Y ve n ane bağımsız eğşken X e sahp çok eğşkenl çoklu regreson moel β β... β n n ε β β... β n n ε.. M M M M β β... β ε M nm n M bçmne fae elr. Her br bağımlı eğşken kez gözlenmeker. Buraa : M boulu bağımlı eğşken marsn : n boulu bağımsız eğşken marsn β : n M boulu regreson kasaıları marsn ε : M boulu haa marsn gösermek üzere.. eşlğ le verlen moel mars formuna Y Xβ ε a a M M O M M M M M M O n n M n β β M βn β β β M n O β β β M M M n M ε ε M ε ε ε ε M O ε M ε M M ε M bçmne fae elr Johnson ve Whern 988. ε haa mars E ε ve Cov ε ε k σ k I k M le normal ağılıma ε ~ Σ sahpr. Buraa Σ kovarans marsn gösermeker. 8

17 9 M bağımlı eğşkenler üzernen alınan gözlemleren ele elen En Küçük Kareler ahmn es βˆ ı bulmak çn M X Y X Y... β β ε ε ε eşlğnn enküçüklenmes gerekr. X Y X Y β β ε ε faesnn β e göre ürev alınıp sıfıra eşlenğne X Y X Y β β β β ε ε X X Y X β eşlğ ele elr. Bu eşlk normal enklem ssemr. Bu normal enklem ssemnn çözümü le β nın EKK ahmn es XY X X ˆ β..3 olarak ele elr. Kesrlen regreson enklem ˆ Xβˆ Y ve haalar se Y Y ˆ ˆ ε olarak ele elr alıl 996 Pehlvan-Yapıı ve Apaın 3.

18 . Mulak Sapmaların Enküçüklenmes ve Doğrusal Programlama eknğ Klask regreson analzne amaç bağımlı eğşkene lşkn gözlenen eğer le kesrlen eğer arasınak farkı an haaların kareler oplamını mnmum apmakır. Bu meo En Küçük Kareler önem olarak blnmeker. Eğer haalar sıfır oralamalı blnmeen σ orak varanslı ormal ağılıma sahpse ve brbrnen bağımsız se moeln blnmeen paramerelernn ahmn eler sasksel sonuç çıkarımı çn opmal sonuçlar vermeker. Faka haalar uzun kuruklu br ağılım göserğne EKK regresonu opmallken çok uzaklaşmakaır. egreson problemler çn Huber 973 ek br uç gözlemn EKK ahmn esn ekleebleeğn belrmşr. Anrews 97 moeln formu kesn olarak blnmorsa an haalar ormal ağılıma sahp eğlse EKK önemne alernaf br önemn gerekl olableeğn ler sürmüşür Arhanar an Doge 98 arula an Wellngon ılına Charnes Cooper ve Ferguson arafınan apılan çalışmaa MİMAD önemnn kullanılığı regreson moel oğrusal programlama olarak formüle elp smpleks ablo le çözülmüşür. MİMAD önem mulak haaların mnmum oplamı MSAE SAE mulak sapmaların mnmumu MAD AD mulak haalar a a eğerlern mnmumu MAE AV normu olarak a blnr. En Küçük Kareler kesrsnn normallk varsaımı ve ver kümesnek uç eğerleren çok eklenmes gb ezavanalarınan olaı oğrusal regresona MİMAD önem erh elmeker. Bu neenle MİMAD ve opmzason önemlernn brlke kullanılığı çalışmalar olukça fazlaır Arhanar an Doge 98.

19 β β X ε Y bçmne verlen bas oğrusal regreson moelne... gözlenmş eğerler olmak üzere β ve β kasaılarının ahmn eleblmes çn / Y β βx.. faesnn en küçüklenmes senr... le verlen fae bağımlı eğşkenn kesrlen ve gözlenen eğerlernen oralama mulak sapmasıır. Bu faenn en küçüklenmes β.. β mulak sapmalarının enküçüklenmes le anıır. Çoklu oğrusal regreson moelne gözlem saısı ve n bağımsız eğşken saısı olmak üzere.. eşlğ n β bçmne anımlanır. β nın ahmn eleblmes çn bu faenn en küçüklenmes gerekr. Dolaısıla Mn n β olarak azılablr Arhanar an Doge 98 Emnkahagl 997.

20 Br regreson moelne amaç ahmnler apılanβ eğerlernn enlenmesr. Bu ahmnler apılırken oğrusal programlama eknkler ugulanablr. β a bağlı olarak Mn problemne olmak üzere gözlemnn kesrm eğer le gözlenmş eğer arasınak fark β β olarak anımlanır. Problem Mulak sapmaların enküçüklemes problem olarak anımlanır. Bu uruma β a göre nn enküçüklenmes problem Mn X β Y β şare belrlmemş bçmne fae elr. Buraa ve olmak üzere ve pozf eğerlerr.

21 MİMAD Problem Mn β..3 β şare belrlmemş bçmne enen formüle elr Arhanar an Doge 98 Emnkahagl 997. Charnes Cooper ve Sueosh 986 β üzerne konulan kısıları üşünerek Mn β n β.. moelne eşeğer olarak heef programlama moeln Mn n β bçmne anımlamışlarır. arula ve Korhonen 99 se.. le verlen moele C BH ˆ D kısıını ekleerek moel oğrusallaşırmışlarır. 3

22 Dolaısı le moel Mn β n β..6 C BH ˆ D bçmne önüşür. Buraa k [ C C n H H h r r ] [ [ D D n ] ] bçmner...6 eşlğne anımlanan moele bağlı olarak heef programlama moel se Mn n β C BH ˆ D... β şare belrlmemş bçmne anımlanır.

23 Emnkahagl ve Apaın le verlen moele n λ β n λ kısıını ekleerek heef programlama problemn Mn m n β X Y λ β n λ... β şare belrlmemş bçmne anımlamışlarır Emnkahagl an Apaın 997. Heef programlama moel klask aklaşım çerçevesne ağırlıklanırılma apılarak Mn İ n n w [ ] β X Y λ β n λ... β şare belrlmemş bçmne ağırlıklanırılmış heef programlama moel olarak ele elr Emnkahagl

24 .3 Çok Değşkenl Çoklu egreson Moel çn MİMAD Problem Çoklu regresona En Küçük Kareler ahmn es..3 eşlğne ˆ β X X XY olarak anımlanmışı. X marsnn süunları eğer oğrusal bağımsız se ek br çözüm bulunablr. Bulunan bu βˆ çözümü gerçek β nın ansız br ahmn esr. Eğer X X marsnn özeğerlernn herhang br sıfır se ek br çözüme ulaşılmaaakır ve en oğrusal ansız ahmn e olma özellğ e sağlanamaaakır. Başka br eşle X marsne k vea aha çok bağımsız eğşkenn brbr le lşkl olmaları urumuna çoklu bağlanı oraa çıkar. Çoklu bağlanı klask oğrusal regreson moelnen br sapma oluşurur. Doğrusal regreson moelnn varsaımlarınan br X marsnn rankının n e n< eş olmasıır. X marsnn rankının n oluşu bu marsek süunların brbrnen oğrusal bağımsız oluğunu ğer br eşle bağımsız eğşkenler arasına oğrusal br lşk olmaığını fae eer. Buraan X marsnn süunlarının a oğrusal bağımsız oluğu ve n n bouunak br marsn e rankının n oluğu görülür. Eğer rank n e eş se X X marsnn ers alınablr. Dolaısıla..3 eşlğne paramereler ahmn elr. Eğer X X marsnn rankı n en küçük se bu marsn eermnanı sıfıra eş olaakır ve ers bulunamaaakır. Bu uruma am çoklu bağlanı enr. EKK regresona karşılaşılan bu ür zorluklar çn MİMAD önem gelşrlmşr. Apaın ve Yapıı eşlk.. le verlen çok eğşkenl çoklu regreson moeln MİMAD aklaşımı le..3 eşlğn genelleşrerek moel 6

25 Mn Mn Mn P P P M M 3 M M.3. X β Y X β 3 Y M X β Y M M M... M β şare belrlmemş M bçme formüle emşlerr. Buraa... M olmak üzere gözlem eğerne sahp -n bağımlı eğşken çn süun vekörlerr. Ele elen bu problem br çok amaçlı oğrusal programlama problemr. X β Y eşlğn sağlaan herhang br β faes.3. le verlen opmzason problem çn br çözüm olarak alanırılır Apaın ve Yapıı. 7

26 β β alınıp β β β bçmne anımlanarak β şare belrlmş uruma önüşürülür. Çözüm sonuuna β ve β " eğşkenlernn opmal çözümü ele eleekr.... M M sapma eğşkenler k ek oluğuna pozf sapmalar k Y k Yˆ k Y k Yˆ k.. k çf oluğuna negaf sapmalar k Y ˆ ˆ k Yk Yk Yk <.. bçmne fae elmeker arula 987 Apaın ve Yapıı. 8

27 3. BUAIK EOİ VE BUAIK MİMAD EGESYO İlk olarak 965 ılına Zaeh arafınan aınlanan br makalee bulanık manık ve bulanık küme kuramı oraa aılmışır. Zaeh bu çalışmasına nsan üşünesnn büük çoğunluğunun bulanık oluğunu kesn olmaığını belrmşr. İnsan manığı açık kapalı sıak soğuk ve gb kesn faelern anı sıra az açık az kapalı ılık sern gb ara eğerler e göz önüne almakaır. Bulanık manık klask manığın aksne k sevel eğl çok sevel şlemler kullanmakaır. Zaeh n bu çalışmasınan sonra bulanıklık kavramı şleme apa zeka uzman ssem konrol kuramı kuruk kuramı önelem araşırması oğrusal ve oğrusal olmaan programlama grup karar verme ve çok ölçülü karar verme gb alanlara kullanılmaa başlanmışır Şanlı 5. Al kesmlere bulanık küme le lgl emel kavramlar verleekr. 3. Bulanık Küme Kuramı Küme eksksz olarak anımlanmış ve brakım genel özellklere sahp sou a a somu nesnelern oluşuruğu ığınır. Kümeler kesn kümeler ve bulanık kümeler olmak üzere k gruba arılır. anım 3.. Kesn Kümeler X Evrensel küme gösermek üzere X ve A X se X : µ A { } bçmne anımlanır. Buraa µ A : üelk fonksonu a a karakersk fonkson olarak alanırılır. Üelk fonksonu X evrensel kümesne a br öğesnn A al kümesne a olma ereesn veren br fonksonur. Küme elemanlarının üelk fonksonuna alaağı 9

28 eğerler üelk erees olarak anımlanır. Kesn kümelemee br öğe kümee a ar a a eğlr an üelk erees sırasıla a a a eğern alır. anım 3.. Bulanık Kümeler A bulanık küme gösermek üzere X ve A X se X : µ A [ ] bçmne anımlanır. Bulanık küme üeler kesn olarak bell olmaan faka aa öğelern bu kümee üelk ereelernn blnğ br kümer. Bulanık kümelere öğelern üelk erees [ ] kapalı aralığınak herhang br eğer alablr. Bulanık küme X çn A µ A / µ A n / n bçmne anımlanır. X evrensel kümes sonlu eğl se n µ A / X çn A µ X A / bçmne fae elr Klr an Yuan 993 Allahver 999. anım 3..3 Desek Kümes Br A bulanık kümesnn eseğ X evrensel kümesnn br al kümesr. Desek kümes { µ ve X } esek A A le göserlr.

29 anım 3.. -Kesme A bulanık kümesnn -kesmes X evrensel kümesnn kesn br al kümesr ve A { : µ A ve X } le göserlr. anım 3..5 ormallk Bulanık br kümee üelk ereesnn alableeğ en küçük eğer ır. Eğer A bulanık kümesnn alığı en büük eğer se A bulanık kümes normallk özellğne sahpr an A bulanık kümes normallk özellğne sahp se [ ] olur. anım 3..6 Konvekslk Dışbükelk üm ve üm λ [ ] çn üzerne bulanık br A kümes { µ } µ λ λ mn A A µ A koşulunu sağlıorsa A bulanık kümes konveks küme olarak anımlanır Apaın. anım 3..7 Genşleme Eenson Prensb X evrensel kümesnen Y evrensel kümesne br fonkson f : X Y olsun. X ek A bulanık kümes verlğne ve f fonksonu le Y ek B f A bulanık kümesnn belrlenmes senğne µ µ B A f Y f bçmne anımlanır. Buraa f n ersr. Daha genel olarak B çn üelk fonksonu µ ma Y 3.. B f µ A bçmner.

30 Buraa f üm X kümes çn f r. 3.. le verlen eşlk genşleme prensb olarak anımlanır Wang 997 Apaın Şanlı 5. anım 3..8 Bulanık Saı A bulanık küme ve A olmak üzere. A bulanık saısı normal se A se. [ ] 3. A nın esek kümes sınırlı se bçmne belrlen özellklere sahp bulanık saı olarak alanırılır Klr an Yuan 995 Şanlı 5. anım 3..9 Üçgensel Bulanık Saı Üçgensel bulanık saı a olarak anımlanır. Buraa a merkez sol aılma sağ aılma ve üçgensel bulanık saı anlamına kullanılır. A bulanık küme A olmak üzere üçgensel bulanık saı n üelk fonksonu µ a µ a a a a a a a bçmne anımlanır. Eğer Şanlı 5. se smerk üçgensel bulanık saı olarak alanırılır

31 anım 3.. Yamuksal Bulanık Saı Yamuksal bulanık saı a a olarak anımlanır. Buraa sol aılma sağ l u r aılma ve r amuksal bulanık saı anlamınaır. A bulanık küme üzere amuksal bulanık saı n üelk fonksonu µ A olmak al µ au a a a a l l u l a a a a u u u l olarak anımlanır. Eğer anaka an Guo 999 Şanlı 5. anım Bulanık Saı se smerk amuksal bulanık saı olarak alanırılır Dubos ve Prae 978 arafınan önerlen br - bulanık saısı a a l u olarak anımlanır. Buraa sol aılma sağ aılma ve bulanık saılar fonksonu olarak anımlanır. ve bulanık saıların sol ve sağ anlarını anımlaan fonksonlarır ve.. 3. çn ve kesn azalanır koşullarını sağlarlar. 3

32 - bulanık saısı çn üelk fonksonu µ al µ au a al a a l u u bçmne anımlanır. ve oluğuna bulanık saı bulanık saısı olarak smlenrlr ve al au a a a ve ma l a u a a a a şeklne göserlr. bulanık saısı l u oluğuna bulanık saı a şeklne göserlr ve smerk üçgensel bulanık saı olarak smlenrlr anaka an Guo 999 Şanlı Bulanık Saılar çn Armek İşlemler İk üçgensel bulanık saı A a a ve B b b olmak üzere oplama şlem a3 b3 A B a a a3 b b b3 a b a b a3 b3 bçmne ve çıkarma şlem A B a a a3 b b b3 a b a b a3 b3 bçmne anımlanır. Ele elen bu saılar ne brer üçgensel bulanık saıır Apaın.

33 3.3 Bulanık Küme İşlemler A çn A B C D bulanık kümelerne lşkn şlemler aşağıak gb anımlanır. anım 3.3. Brleşme Kesşme ve ümleme A B C A B D A A se üelk fonksonları ; brleşm çn { µ } µ ma C A µ B bçmne kesşm çn { µ } µ mn D A µ B bçmne ümleme çn µ µ A A bçmne anımlanır Klr an Yuan Bulanık Kümelern Karşılaşırılması Bulanık saıların a a aha genel olarak bulanık kümelern karşılaşırılması vea sıralanması ugulamalı aklaşımlar çn çok önemlr. Maemaksel moellern kurulmasına bulanık küme eors kullanılıorsa bulanık saıların karşılaşırılması vea sıralanması problem le karşılaşılmakaır. Bulanık saılar oğrusal br sıra çne olmaıkları çn karşılaşırılmaları olukça zorur. eraüre farklı aklaşımlar çn farklı bulanık sıralama önemler önerlmşr Şanlı 5. Buraa overall esene önem ele alınmışır. anım 3.. A ve B bulanık kümeler olmak üzere w a A kümesnn w b B kümesnn üelk fonksonunu gösermek üzere verlen br w seves çn w µ üelk fonksonunun ers görünüsü { : µ w} µ w bçmne anımlanır. 5

34 eorem: Herhang br üelk fonksonuna sahp bulanık A ve B kümeler göz önüne alınsın. ] { w } > { µ w } w çn w e A nın B en genş oluğu söleneblorsa µ ır. Faka bu eoremn ers her zaman oğru eğlr. Bu A B aklaşıma saee br w nokasının göz önüne alınması ve eerl blgnn kullanılmaması br problemr. Bu neenle üm w sevelern göz önüne alan overall esene kavramı ele alınmışır. Bu öneme kullanılan neks overall esene ne olarak alanırılır ve I g { w } w g { µ w} µ w 3.. A B bçmne anımlanır. Buraa g : Üelk fonksonlarının ersnn br fonksonunu µ A : A bulanık kümesnn üelk fonksonunu µ B : B bulanık kümesnn üelk fonksonunu µ : µ A üelk fonksonun ers görünüsünü A w µ : µ üelk fonksonun ers görünüsünü B w B gösermeker. A ve B bulanık kümelerne a üelk fonksonlarının ers görünüsü sırasıla µ w A µ w B { : µ A w} { : µ w} B 3.. bçmne anımlanır. 6

35 A ve B bulanık saıları arasınak fark w * hg w hg A B g µ µ w 3..3 A olarak anımlanır. { A w } w g B { B w } * Buraa * w hg mn [ hg A hg B ] hga A bulanık saısının alableeğ en üksek üelk ereesn hgb B bulanık saısının alableeğ en üksek üelk ereesn gösermeker. Her br bulanık küme çn özel ölçü OMA * w hg { w }w OM A g µ 3.. A eşlğ le verlr. Bu eşlk üm üelk fonksonları ışbüke ışbüke olmaan normal normal olmaan sürekl vb. çn ugulanablr. { } g µ A w faes g " { µ w } W w χ w w χ w w 3..5 A eşlğ le verlr. 7

36 Buraa w A bulanık saısının sol referansının ers görünüsü " w A bulanık saısının sağ referansının ers görünüsü olmak üzere w µ A " w µ A w w bçmne anımlanır. Buraan OM neks OM A OM A W w [ χ w µ w χ w w ]w 3..6 µ A A eşlğ le verlr. Buraa W w w * w hg olarak seçlr a verlen W w χ w ve χ ağırlık ölçülerr ve karar ver arafınan w belrlenr. Buraa χ ve χ faeler χ w χ w ve χ w χ w ] w w koşullarını sağlamakaır Chang an ee 99 Apaın Şanlı 5. 8

37 3.5 Genel Bulanık Doğrusal Moel f X A X en Y e br fonkson olarak üşünülsün. Bağımsız eğşken X leren bağımlı eğşken Y Y leren oluşsun. A A A... An regreson kasaılarını gösermek üzere moel olarak alanırılır. A ler n bulanık se f X A moel bulanık Genel bulanık oğrusal moel GFM Y A A A A { } ε... n n 3.5. bçmne verlr. Buraa ε gözlemsel haalarır. ε ler sıfır oralamalı rasgele haalar olarak üşünülmek erne moeln bulanık olmasınan olaı bulanık haalar olarak üşünüleblr. ve bulanık oplama ve çarpmaı gösermeker. A bulanık paramereler l a a > µ A a 3.5. a l a > üelk fonksonuna sahp - bulanık saıları olarak anımlanablr. ve sol ve sağ referans fonksonlarını gösermeker. A bulanık saısına merkez se sol ve sağ aılımları gösermeker. - fonksonları farklı urumlara farklı şekle anımlanablr. 9

38 3 ma p u p µ bçmne olmak üzere üelk fonksonu > >.. a a a a a p p A µ bçmne ele elr. p se üçgensel bulanık saıa lşkn üelk fonksonu p se karesel bulanık saıa lşkn üelk fonksonu ele elmş olur. an ve fonksonları eş se eşlğ smerk üçgensel a a smerk karesel bulanık saılar çn anımlanmış olur. Bu uruma A azılablr. Y bağımlı eğşkenn kesrm olmak üzere kesrm moel enklem n n A A A A Y... * * * * 3.5. bçmne anımlanır.... ve n... olmak üzere eğer ler kesn saılar se Zaeh n genşleme prensb le Y çn üelk fonksonu { } mn ma A A f Y a µ µ bçmne anımlanır.

39 3 Y çn üelk fonksonu ele emenn br alernaf olu se - bulanık saıları çn bulanık armeğn kullanmakır. Buraan n n n n n A A A A Y * * * * eşlğ azılablr. - bulanık saıları smerk se n n Y bçmne azılır. Buraa n n n n eşlkler kullanılarak Y çn Y faes ele elr eşlğnen Y çn üelk fonksonu > > Y µ bçmne ekrar ele elr.

40 3 - fonksonlarının ma p u u p ma p v v p bçmne anımlanması le Y çn üelk fonksonu > >.. a p p A µ olarak ele elr Chang an ee Bulanık En Küçük Kareler oplamı Genel bulanık oğrusal programlama problem çn Y ve * Y kesrm arasınak sapmalar { } Y Y ε * ve { } * * Y Y ε 3.6. bçmne fae elr. Buraa * ε lar Y le * Y arasınak bulanık uzaklık a a bulanık aılımı göseren bulanık sapmaları fae emeker. Bulanık En Küçük Kareler oplamı { } * * mn Y Y ε formülü le verlr.

41 33 Bulanık farkların ele elmesne overall esene rankng ne OEI önem kullanılmışır. A bulanık saısının sol anı A ve sağ anı A olmak üzere { } { } w w w A A A µ µ µ olarak azılır. Buraa w A µ ve w A µ sol ve sağ anlara lşkn ers üelk fonksonlarını gösermeker. Bu ers üelk fonksonları 3... eşlğnen { } w a a w w a A A " µ µ { } w a a w w a A A µ µ bçmne azılablr. Üçgensel - p A bulanık saıları çn w w w a a A A µ µ w w w a a A A µ µ eşlkler kullanılarak eşlğle verlen OM neks [ ]w w w A OM w w w w w w 3.6. bçmne hesaplanır.

42 Buraa W w χ w χ w olarak alınmışır. Y m ve Y çn eşlk 3.6. en aralanarak amaç fonksonu üçgensel - bulanık saıları mn J Y 6 * { } Y m bçmner. Daha öne χ w χ alınığınan le verlen eşlk gerçek eğerler le w kesrlen eğerler arasınak farkın enküçüklenmesn garan emez. Bu eşlk saee overall esene aklaşımınan ele elen bulanık uzaklıkların farkların en küçüklenmesn sağlar. Bu neenle problemn çözümü çn amaç fonksonuna J fonksonu eklenr. Bu fonkson le sol ve sağ aılımlar çn gerçek ve kesrlen eğer arasınak sapmalar en küçüklenmş olur. Bu opmzason problemn enküçüklemek çn * [ Y ] sup Y... λ 3.6. koşulunu sağlaan λ -üze anımlanır. Buraa [ ] λ λ -üzen sup se esek kümesn gösermeker. 3

43 faesnek koşullar göz önüne bulunurularak üçgensel - bulanık saısı m... λ 3.6.5a m... λ 3.6.5b bçmne ekrar azılablr a ve 3.6.5b kısıları a moele eklenerek Genel bulanık oğrusal regreson çn bulanık en küçük kareler mn J J m... λ m... λ bçmne formüle elr Chang an ee Bulanık Mulak Sapmaların Enküçüklenmes Bulanık Mulak Sapmaların En Küçüklenmes a a ğer br faele bulanık MİMAD regreson çn Y bağımlı eğşkenn bulanık olması urumuna Y le * Y kesrm arasınak bulanık uzaklık 3.6. e verlğ gb overall esene rankng ne OEI önem kullanılarak ele elmeker. Buraa amaç bu aklaşıman ele elen bulanık uzaklıkların en küçüklenmesr. m Y ve Y üçgensel - bulanık saıları çn 3.6. faesnen ararlanarak bulanık mulak sapmaların enküçüklenmes çn amaç fonksonu m J mn bçmne ele elr.

44 36 ve negaf olmaan k eğşken olmak üzere mn bçmne anımlanır. Buraa m 3.7. olarak verlmşr. Benzer şekle sol ve sağ aılımlara lşkn gerçek ve kesrlen eğer arasınak sapmaları göseren J çn anımlanır ve Mulak Sapmaların En Küçüklemes çn 3.7. eşlğ ve 3.6.5a b e anımlanan kısılar a göz önüne bulunurularak problem J J mn m... λ m... λ m... bçmne formüle elr Chang an ee 99. Ele elen bu problem sab kasaılı oğrusal programlama problemr.

45 . ÇOK DEĞİŞKEİ ÇOKU EGESYO MODEİİ BUAIK MİMAD POBEMİ OAAK MODEEMESİ Çok ölçülü karar verme ssem analz hızla gelşen üksek eknolonn moern opluma oraa çıkarığı karmaşık sorunların çözümüne kullanılan genş br alanır. Çok amaçlı programlama ve planlamaa brbr le çelşen bren çok amaın bulunuğu karar verme problemler ele alınmışır. Çok amaçlı programlama geleneksel ek amaçlı aklaşıma göre aha sonuçlar vermeker. Çok amaçlı karar verme aklaşımlarının kullanılması problemn çözümüne brçok arar sağlamakaır. Bu aklaşımların planlama sürene kaılan karar ver ve çözümlelern brlke çalışması çok blge sahp olunması ve çok saıa amaç fonksonu ele alınığı çn çözümlenn problem üzerne kouğu varsaımların aha gerçekç olması gb ararları varır Apaın 5. Chang an ee 99 apıkları çalışmaa br bağımlı eğşken ve bağımsız eğşkenler çn bulanık mulak sapmaların en küçüklenmes problemn öne sürmüşler ve bağımlı eğşkenn bulanık olması urumunu ele almışlarır. Problem bulanıklıkan kurarmak çn overall esene aklaşımınan ararlanarak bulanık farklar hesaplanmış ve moel br oğrusal programlama problem olarak ele elmşr. Bu çalışmaa çok eğşkenl çoklu regreson moel çn bağımlı eğşkenlern bulanık olması urumu ele alınmışır. MİMAD önem EKK önemne alernaf olarak uç eğerleren eklenmemeker. Arıa gözlem saısının az oluğu urumlara ekn olarak kullanılablmeker. Bu avanalarınan olaı çok eğşkenl çoklu regreson moel çn bulanık MİMAD aklaşımı amaçlanmışır. Chang an ee 99 nn br bağımlı eğşken çn gelşrğ Bulanık MİMAD regreson genşlelerek çok eğşkenl çoklu regreson moel çn formüle elmşr. Ele elen bu moel br çok amaçlı oğrusal programlama problemr. Bu problemn çözümü çn çok amaçlı programlama problemler önemlernen Global Krer Yönem kullanılaakır. Moel çözümü çn ele alınan örnek problemlern çözümüne IGO ve MAAB pake programınan ararlanılaakır. 37

46 38. Bulanık Çok Amaçlı MİMAD Moel m Y ve Y üçgensel - bulanık saı olarak alınına eşlğnen ararlanarak amaç fonksonu 3.7. bçmne ele elmşr. Çok eğşkenl çoklu regreson çn bulanık mulak sapmaların en küçüklenmesne M ane bağımlı eğşken çn M ane amaç fonksonu olaakır ek kısılar a üşünülüğüne moel J J mn J J mn.. M M M M M M M M M M J J mn m... λ m... λ m M bçmne formüle elr. Buraa... gözle saısını M... bağımlı eğşken saısını gösermeker. Bu moel br çok amaçlı oğrusal programlama problemr.

47 Global Krer Yönem problemle lgl kısılar ve amaçlar anımlanıkan sonra karar vernn erhle lgl blgsne haç umaan önemleren brsr. Karar ver klask opmzason önemlerne oluğu gb önemn buluğu çözümün kabul eleblr oluğunu varsaar. Çok eğşkenl çoklu regreson moelnn çok amaçlı MİMAD problem olarak asarlanmasıla ele elen çok amaçlı programlama moelnn çözümü çn aşağıa anımlanan Global Krer Yönem algorması kullanılaakır. Algorma Aım :.. e formüle elen problemek her br amaç fonksonu ek ek ele alınarak P P... bçmne M ane oğrusal programlama problem oluşurulur. Bu P M * * * problemn çözümü sonuuna P P... PM eal çözümler hesaplanır. Aım : Aım e bulunan eal çözümler arımıla M Mnmze P P * P * [ ] a m λ... m λ... m problem çözülür M 39

48 Moele şlem kolalığı sağlanması ve br oğrusal programlama problem ele emek senmes neenle a alınmışır. Bu problemn çözümü sonuuna ele elen eğşkenler opmal çözümü vermeker Kuruüzüm Ugulama Çalışmanın ugulama aşamasına gözlem saısı beş ve okuz olan k örnek ele alınmışır. Her k örnek çn önelkle EKK ve MİMAD önem kullanılarak kesrm enklemler ele elmş ve haalar gözlenmşr. Daha sonra bağımlı eğşkenler bulanıklaşırılıp MİMAD önem ugulanarak kesrm enklemler ele elmşr. Merkez le sağ ve sol sapmalara lşkn eğerler gözlenmşr. Örnek : Br blgsaar şrke geleek haçları oğrulusuna oğru malzeme belrlemek çn e benzer şrkeen ver oplamışır. Aşağıak verler göz önüne alınarak çok eğşkenl çoklu regreson moel kesrleekr Whern an Johnson 988. X X Y Y : Müşer sparşler bne : Eklenen-çıkarılan parça saısı bne : Merkez Süreç brm CPU süres saae : Dsk gr-çıkı kapases Çzelge. Bağımlı ve bağımsız eğşkene lşkn eğerler Gözlem no 3 5 Y Y X X

49 Y bağımlı eğşkenler ve X bağımsız eğşkenler gösermek üzere çok eğşkenl çoklu regreson moel hem kesm. e anımlanan EKK hem e kesm.3 e anımlanan MİMAD önemler kullanılarak kesrleekr. EKK önem kullanılarak moel paramerelernn ahmn eler ˆ β X X XY le kesrm moeller ˆ ˆ olarak ele elmşr. Buraa εˆ haa ermlerne lşkn eğerler Çzelge. e verlmşr. Çzelge. Y ve Y çn haa eğerler ˆε -.3 ˆε ˆ ε -.59 ˆε.33 ˆ 3 3 ˆ ε ˆ ε ˆ ε -.9 ε.89 ˆ ε -.58 ˆ ε -.69 Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haa kareler oplamları 5 ˆ ε.3 ve ˆ ε olarak ele elmşr. 5

50 Çok eğşkenl çoklu regreson çn MİMAD problem P : Mnmze 5 5 P : Mnmze β β 3.5 β β.8 β β.5 β β 6. β β 9.3 β β β β 33.9 β β.95 β β 3 3 β β 8.5 β β.85 β β β β 5.5 β β.6 β β 5 5 β β 3.5 β β.8 β β 3 β β 6. β β 9.3 β β 3 β β 33.9 β β.95 β β 33 3 β β 8.5 β β.85 β β 3 β β 5.5 β β.6 β β β β β β β β β β β β β β bçmne ele alınır. Bu problem br çok amaçlı oğrusal programlama problemr. Bu problemn çözümü çn çok amaçlı oğrusal programlama önemlernen Global Krer Yönem algorması ugulanaakır.

51 Algorma Aım. le verlen çok amaçlı programlama problemnek P ve P amaçları anı kısılar oğrulusuna her br arı arı çözülerek P * * P P * ve * P eal çözümler ele elr. Aım Aım e ele elen eal çözümler kullanılarak ve Mn [ ] * P P * P problemne.. ek kısılar eklenerek çözüm apılığına çok eğşkenl çoklu regreson moel ˆ ˆ bçmne ele elmşr 3

52 Buraa ˆε ve ˆ ε eğerler ˆ ε ve 3 ˆ ε 5 eşlklernen ele eleblr. Bu eğerler Çzelge.3 e verlmşr. Çzelge.3 Çok amaçlı MİMAD problemnn Global Krer önem le çözülmesnen ele elen haalar ˆε ˆε ˆε.63 ˆ 3 3 ˆε -.9 ˆε ˆ 5 5 ˆ ε -.88 ˆ ε ε.6 ˆ ε ε Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haa kareler oplamları 5 ε.7 ˆ 5 ˆ ε olarak ele elmşr. Y bağımlı eğşkenler ve X bağımsız eğşkenler gösermek üzere çok eğşkenl çoklu regreson moel bulanık çok amaçlı MİDMAD önem kullanılarak kesrleekr. Buraa bağımlı eğşkenlere lşkn eğerler bulanıklaşırılmışır. eraürek kullanım göz önüne alınarak gözlem eğerlernn alıa br alınıp smerk üçgensel bulanık saılar halne gerlmşr. Değşkenlere lşkn verler Çzelge. e verlmşr.

53 X X Y Y : Müşer sparşlern bne : Eklenen-çıkarılan parça saısını bne : Merkez Süreç brm CPU süresn saae : Dsk gr-çıkı kapasesn gösermeker. Çzelge. Y bağımlı X bağımsız eğşkenlerne lşkn eğerler o m m m m Y Y Bulanık çok amaçlı MİMAD önem kullanılarak amaç fonksonları ve kısılar P : mn J J

54 mn : J J P

55

56 bçmne oluşurulur. Bu problem br çok amaçlı oğrusal programlama problemr. Bu çok amaçlı oğrusal programlama problemnn çözümü çn Global Krer önem algorması kullanılmışır.

57 Algorma Aım : Bulanık çok amaçlı MİMAD problem çn. e verlen P ve P amaçlarının arı arı çözülmes le P *.97 P * eal çözümler ele elr. Aım : Aım e ele elen eal çözümler arımıla Mn [ ] * P P * P faesne eğerler erne konularak amaç fonksonu ve kısılar mn P { /.97 / } 9

58 m λ... m λ bçmne oluşurulur. Ele elen bu problem ek amaçlı br opmzason problemr. Kısılar oğrulusuna çözüm apılığına amaç fonksonu eğer mn P olarak ele elmşr. Merkez sağ ve sol aılımlara lşkn sapmalar gözlenmşrçzelge.5 ve.6. Çzelge.5 Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar...5 Merkez Sapma eğerler Sol aılım Sapma Değerler Sağ aılım Sapma Değerler

59 Çzelge.6 Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar...5 Merkez Sapma eğerler Sol aılım Sapma Değerler Sağ aılım Sapma eğerler Kesrlen moele lşkn kasaılar Global Krer önem kullanılarak çözülmüş ve ele elen eğerler Çzelge.7 e verlmşr. Çzelge.7 Y ve Y çn kesrlen moele lşkn kasaılar Y ve Y eğşkenler çn kesrlen moel enklemler Y Y * * bçmner. 5

60 Saısal eğerler erne konuluğuna kesrlen moel enklemler * * bçmne ele elr Çzelge.7. Y çn sapmaların kareler oplamı olarak Y çn sapmaların kareler oplamı olarak ele elmşr. Örnek Y bağımlı eğşkenler ve X bağımsız eğşkenler gösermek üzere çok eğşkenl çoklu regreson moel MİMAD önem kullanılarak kesrleekr. Problem öne kesm. e verlen EKK önem le ve.3. e verlen MİMAD önemle çözüleekr. Daha sonra Y bağımlı eğşkenlern bulanık olması urumuna bulanık çok amaçlı MİMAD önem ugulanaak ve kesrlen moel enklemler le haalar gözleneekr 5

61 Dokuz çouğa lşkn Y - göğüs çevres Y - rsek üsü kol çevres X - bo uzunluğu m nsnen X - aş a olarak aşağıa verlmşr alıl 996. Çzelge.8 Y bağımlı X bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler Gözlem no Y Y X X EKK önem le çözüm apılığına çok eğşkenl çoklu regreson moelnn kesrmler ˆ ˆ olarak ele elmşr. 53

62 Çzelge.9 Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haalar ˆε -.3 ˆε 3.99 ˆε.65 ˆε.3 ˆ 3 3 ˆε ε 3.5 ˆε -.65 ˆε 3.9 ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε.88 ˆ ε.89 ˆ ε.5 ˆ ε.36 ˆ ε.7 Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haa kareler oplamları 9 ˆ ε.9 ve ˆ ε olarak ele elmşr. 9 MİMAD önem kullanılarak verlere göre çok eğşkenl çoklu regreson moel çok amaçlı MİMAD problemne önüşürülür Pehlvan-Yapıı ve Apaın 3. P P : : Mn Mn β β 8 β β β β β β β β 7 β β β β 78 β β 7 β β 3 3 β β β β β β β β 79 β β 6 β β

63 β β 78 β β 6 β β 6 6 β β β β 3 β β 7 7 β β 6 β β β β 8 8 β β 8 β β β β 9 9 β β 8 β β β β 3 β β β β 7 β β 3 β β 78 β β 7 β β 33 3 β β β β β β 3 β β 79 β β 6 β β 35 5 β β 78 β β 6 β β 36 6 β β β β 3 β β 37 7 β β 6 β β β β 38 8 β β 8 β β β β β β β β β β β β β β β β Global Krer önem le çözüm apılığına çok eğşkenl çoklu regreson moeller ˆ ˆ bçmne ele elmşr. 55

64 Buraa ˆε ve ˆ ε eğerler ˆ ε ve 3 ˆ ε 9 eşlklernen ele eleblr. Bu eğerler Çzelge. a verlmşr. Çzelge. Çok amaçlı MİMAD problemnn Global Krer önem le çözülmesnen ele elen haalar ˆε ˆε.7857 ˆε ˆε. ˆ 3 3 ˆε.3 ε ˆε -.3 ˆε.8 ˆε -. ˆ 5 5 ˆε -. ˆ 6 6 ˆ ε 7 7 ˆε ˆ 8 8 ˆε.5 ˆ 9 9 ε -.67 ε ˆ ε ε ε -.3 Y ve Y bağımlı eğşkenlerne a haa kareler oplamları 9 ˆ ε. 9 ˆ ε. 3 olarak ele elmşr. 9 Y bağımlı eğşkenler ve X bağımsız eğşkenler gösermek üzere çok eğşkenl çoklu regreson moel çok amaçlı bulanık MİMAD önem kullanılarak kesrleekr.y bağımlı eğşkenlerne a verlern alıa br alınarak smerküçgensel bulanık saıa önüşürülmüşür. Verler Çzelge. e verlmşr. 56

65 Çzelge. Y bağımlı X bağımsız eğşkenlere lşkn eğerler o m m m m Y Y

66 58 Bulanık MİMAD önem kullanılarak amaç fonksonları ve kısılar mn : J J P mn : J J P

67

68

69

70 olarak ele elr. Bu amaçlar ve kısılar oğrulusuna ele elen problem br çok amaçlı oğrusal programlama problemr. Bu çok amaçlı oğrusal programlama problemnn çözümü çn Global Krer önem kullanılmışır.

71 Algorma Aım Çok eğşkenl çoklu regreson moelnn çok amaçlı MİMAD problem olarak asarlanması le ele elen çok amaçlı programlama moelnn çözümü çn P ve P Doğrusal Programlama Problemlernn arı arı çözülmesle P * P * 7.39 eal çözümler ele elr. Aım Bulunan eal çözümler arımıla Mn M P P * P * [ ] faesne eal çözümler erne koularak çok amaçlı problem ek amaçlı oğrusal br programlama problemne önüşürülür. 63

72 6 Problem { } 7.39 / / mn P m... λ m... λ... bçmne ek amaç olarak ele elr. Ele elen bu amaç fonksonu ve kısılar çözülerek aşağıak sonuçlar ele elmşr. Amaç fonksonu eğer 7 mn P olarak ele elmşr.

73 Merkez sağ ve sol aılımlara lşkn sapmalar gözlenmşr Çzelge.. Çzelge. Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar...9 Merkez Sapma eğerler Sol aılım Sapma Değerler Sağ aılım Sapma Değerler Çzelge.3 Y çn merkez sol ve sağ aılıma lşkn sapmalar...9 Merkez Sapma eğerler Sol aılım Sapma Değerler Sağ aılım Sapma eğerler Kesrlen moele lşkn kasaılar Çzelge. e verlmşr. 65

74 Çzelge. Y ve Y çn kesrlen moele lşkn kasaılar Ele elen eğerler erne konuluğuna kesrm enklemler * * bçmne ele elr Çzelge.. Y çn sapmaların kareler oplamı olarak Y çn sapmaların kareler oplamı olarak ele elmşr. 66

75 5. SOUÇ VE AIŞMA Değşkenler arasınak lşkler moellemee kullanılan regreson analz çok saıa blm alı çn emel araçlaran brr. Bununla brlke regreson analz moeln sasksel özellkler hakkına bazı varsaımlar gerekrmeker. egresonun gerekrğ şarların sağlanamaığı ve belrszlğn hakm oluğu urumlara bulanık regreson ekl br araç halne gelmeker. Bu çalışmanın Brn Bölümüne En Küçük Kareler regresona alernaf olarak gelşrlen Bulanık MİMAD önemnen bahselmş ve bu konu le lgl aha öne apılan çalışmalara er verlmşr. İkn bölüme ek eğşkenl regreson moel çn MİMAD önem üzerne urulmuşur. Arınan bağımlı ve bağımsız eğşkenlern bren fazla olması urumuna MİMAD önem nelenmşr. Çok eğşkenl çoklu regreson moelnn MİMAD problem olarak moellenmes ele alınmışır. Üçünü Bölüme bulanık küme ve bulanık küme şlemler bulanık saı çn armek şlemler ele alınmışır. Doğrusal programlama problemler çn bulanık kavramı verlmş bulanık mulak sapmaların en küçüklenmes problem moellenmşr. Dörünü Bölüme se Bulanık MİMAD problem çok eğşkenl çoklu regreson çn gelşrlmş ve formüle elmşr. Bulanık çok amaçlı MİMAD problem olarak gelşrlen önem k örnek üzerne ugulanmışır. Ele elen problem br çok amaçlı oğrusal programlama problem oluğu çn çok ölçülü karar verme önemlernen Global Krer önem kullanılarak saısal örnekler çn kesrm enklemler ve haalar gözlenmşr. 67

76 Örnek çn EKK MİMAD ve Bulanık MİMAD önemler ugulanılarak ele elen regreson moeller EKK çn ˆ ˆ olarak MİMAD çn ˆ ˆ olarak ve Bulanık MİMAD çn * * olarak ele elmşr. Bu regreson moeller karşılaşırılığına kasaıların brbrne akın eğerler alığı gözlenmşr. Anı üşünele Çzelge 5. e verlen haalar a karşılaşırılığına EKK ve MİMAD çn haaların brbrne akın eğerler alığı gözlenmşr. 68

77 Çzelge 5. Y ve Y haalarına lşkn eğerler EKK MİMAD Bulanık MİMAD Merkez eğerler ˆε -.3 ˆε ˆε -.59 ˆε ˆε 3.33 ˆε ˆε ˆε ˆ ε ˆ ε ˆε ˆε ˆε -.9 ˆε ˆ ε ˆ ε ˆε -.58 ˆε -. ˆ ε Haa Kareler oplamı 7.87 ˆ ε Haa Kareler oplamı Haa Kareler oplamı 3. Örnek çn EKK MİMAD ve Bulanık MİMAD önemler ugulanılarak ele elen regreson moeller EKK çn ˆ ˆ olarak MİMAD çn ˆ ˆ olarak 69

78 Bulanık MİMAD çn * * olarak ele elmşr. EKK MİMAD ve Bulanık MİMAD ugulanarak ele elen haalar Çzelge 5. e verlmşr. Çzelge 5. EKK MİMAD ve Bulanık MİMAD Y ve Y haalarına lşkn eğerler EKK MİMAD Bulanık MİMAD ˆε -.3 ˆε -.95 ˆε.65 ˆε.5 ˆε 3.3 ˆε ˆε -.65 ˆε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε -.98 ˆ ε ˆ ε ˆε 3.99 ˆε ˆε ˆε.3.8 ˆ ε ˆ ε.693 ˆε 3.9 ˆε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε Haa Kareler oplamı.8 ˆ ε ˆ ε ˆ ε ˆ ε -.77 ˆ ε Haa Kareler oplamı Haa Kareler oplamı