İST Rassal Süreçler Dersi Tarihli Ders Notları. Öznur AY

Transkript

1 İST Rssl Süreçler Dersi Trihli Ders Notlrı Öznur AY 1

2 Beklenen Değer E[X] xp(x) xf(x)dx x X Bernoulli(p) E[X] p.1 + (1 p). p X Binomil(n, p) E[X] i.p (X i) ( ) n i p i (1 p) n i i n! i. (n i)!i! pi (1 p) n i (n 1)! (n i)!(i 1)! pi 1 (1 p) n i n 1 (n 1)! (n k 1)!k! pk (1 p) n k 1 k n 1 ( ) n 1 p k (1 p) n 1 k k k (p + (1 p)) n 1 X i Bernoulli(p) X X 1 + X X n Binomil(n, p) E[X] E[X 1 + X X n ] E[X 1 ] + E[X 2 ] E[X n ] X Geometrik(p) E[X] n(1 p) n 1 p p n(1 p) n 1 p d p dq (qn ) p d dq ( ) (1 q) + q p (1 q) 2 q n p d dq p (1 q) 2 1 p 2 ( q 1 q ) nq n 1 2

3 X P oisson(λ) E[X] X Uniform(, b) E[X] X Exponentil(λ) i e λ λ i i! λe λ E[X] b k xdx + λe λ λ i 1 (i 1)! λ k k! λe λ e λ λ b x 1 b dx + b xdx x 1 b dx x 2 2(b ) b b2 2 2(b ) + b 2 xλe λx dx xe λx + e λx dx e λx λ 1 λ E[g(x)] x p(x)g(x) g(x)f(x)dx Örnek Bir zr tımınd g(x) x 2 olsun. Bu durumd beklenen değer, E[X 2 ] X Bernoulli(p) E[X 2 ] p(1 2 ) + (1 p)( 2 ) p V r(x) p p 2 p(1 p) V r(x) E[(X E[X]) 2 ] E[X 2 2XE[X] + E 2 [X]] E[X 2 ] E[2XE[X]] + E[E 2 [X]] E[X 2 ] 2E[X]E[X] + E 2 [X] E[X 2 ] 2E 2 [X] + E 2 [X] E[X 2 ] E 2 [X] 3

4 X Uniform(, b) V r(x) E[X 2 ] E 2 [X] b E[X 2 ] x 2 f(x)dx x 2 1 b dx x 3 3(b ) b b3 3 3(b ) b2 + b V r(x) 2 + b + b b + b 2 2 2b + b E[ 1 X X n X n ] 1 E[X 1 ] + 2 E[X 2 ] n E[X n ] V r[ 1 X X n X n ] 2 1V r(x) + 2 2V r(x 2 ) nv r(x n ) (eğer X i bğımsız değişkenler ise) b ( b)2 12 Örnek Bir torbd frklı çeşit kğıt vr. Bu torbdn 1 tne kğıt çekiyoruz. Her çekişte çeşitten herhngi bir çeşit çekme olsılıklrı eşit. 1 çekme sonund frklı çeşitte çıkn kğıtlrın beklenen değeri nedir? X X 1 + X X { 1, eğer i. çeşit vrs X i, diğer durumlr ( ) 1 24 P (X i 1) 1 ( ( ) ) 1 24 E[X i ] ( ( ) ) 1 24 E[X] 1 ( ) ( ) 1 24 X Binomil(n, p) E[X 2 ] ( ) n i 2 p i (1 p) n i i X X 1 + X X n (X i Bernoulli(p)) V r(x) V r(x 1 ) + V r(x 2 ) V r(x n ) p(1 p) + p(1 p) p(1 p) (1 p) E[X 1 X 2 ] E[X 1 ]E[X 2 ] E[XY ] xyp(x, y) x y x y xyf(x, y)dydx (eğer X 1, X 2 bğımsız ise) 4

5 Kovryns Cov(X, Y ) E[(X E[X])(Y E[Y ])] E[XY ] E[X]E[Y ] V r(x) Cov(X, X) Örnek Kovrynsın Özellikleri { 1 X { 1 Y Cov(X, Y ) P (X 1, Y 1) P (X 1)P (Y 1) > P (X 1, Y 1) > P (X 1) P (Y 1) P (X 1 Y 1) > P (X 1) Cov(X, X) V r(x) Cov(X, Y ) Cov(Y, X) Cov(cX, Y ) ccov(x, Y ) Cov(cX, cy ) c 2 Cov(X, Y ) Cov(X, Y + Z) Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) Cov(X, Y + Z) E[X(Y + Z)] E[X]E[Y + Z] E[XY ] + E[XZ] E[X]E[Y ] E[X]E[Z] Cov(X, Y ) + Cov(X, Z) ( ) ( ) V r X i Cov X i, X j Cov(X i, X j ) j1 Cov(X i, X i ) + V r(x i ) + 2 j1 Cov(X i, X j ) j<i j i Cov(X i, X j ) V r(x + Y ) V r(x) + V r(y ) + 2Cov(X, Y ) 5

6 Moment Generting Function (Moment Oluşturn Fonksiyon) φ(t) E[e tx ] x φ (t) d dt E[etx ] E φ () E[X] φ (t) d dt E[xetx ] E[x 2 e tx ] φ () E[x 2 ] e tx p(x) x e tx f(x)dx [ ] d dt etx E[xe tx ] ( ) n X Binomil(n, p) φ(t) E[e tx ] e ti p i (1 p) n i i ( ) n (pe t ) i (1 p) n i (pe t + (1 p)) n i φ (t) n(pe t + (1 p)) n 1 pe t φ () E[X] φ (t) n(n 1)(pe t + (1 p)) n 2 (pe t ) 2 + n(pe t + (1 p)) n 1 pe t E[X 2 ] φ () n(n 1)p 2 + np X Exp(λ) φ(t) E[e tx ] φ (t) λ (λ t) 2 φ () 1 λ E[X] φ (t) 2λ (λ t) 3 φ () 2 λ 2 E[X2 ] e tx λe λx dx λ e (λ t)x dx λ λ t, λ > t V r(x) 2 λ 2 1 λ 2 1 λ 2 X ve Y bğımsız φ (X+Y ) (t) φ X (t)φ Y (t) E[e t(x+y ) ] E[e tx e ty ] 6

7 Örnek X P oisson(λ 1 ), Y P oisson(λ 2 ) X +Y nin dğılımı hkkınd ne söylenebilir? E[e tx ] n e tn e λ λ n n! φ X (t) exp(λ 1 (e t 1)) φ Y (t) exp(λ 2 (e t 1)) e λ (λe t ) n n! n φ X+Y (t) exp(λ 1 (e t 1) + λ 2 (e t 1)) exp((λ 1 + λ 2 )(e t 1)) X + Y P oisson(λ 1 + λ 2 ) e λ e λet φ( t) E[e tx ] Lplce Trnsform Function Probbility Generting Function G(z) E[z x ] G() p() z x p(x) p()z + p(1)z 1 + p(2)z x G (z) p(1) + 2zp(2) + 3z 2 p(3) +... G () p(1) G (z) 2p(2) + 6zp(3) +... G () 2p(2) G (z) 6p(3) +... G () 6p(3) p(x) Gx () x! Mrkov s Inequlity X, P (X ) E[X], E[X] P (X )., E[X] xf(x)dx xf(x)dx + xf(x)dx xf(x)dx f(x)dx f(x)dx P (X ) 7

8 E[X] xp(x) 1p(1) + 2p(2) + 3p(3) np(n) p(1) p(2) + p(2) p(3) + p(3) + p(3). p(n) + p(n) p(n) Sütunlrın toplmı şeklinde yzrsk, P (X i) (1 F (X))dx Chebyshev s Inequlity P ( X µ k) σ2 k 2, k P ((X µ) 2 k 2 ) E[(x µ)2 ] k 2 P ((X µ) 2 k 2 ) σ2 k 2 P ( X µ k) σ2 k 2 E[X] µ, V r(x) σ2 Strong Lw of Lrge Numbers X 1, X 2,..., X n bğımsız rssl değişkenler ve E[X i ] µ, 1 olsılık değeri ile X 1 + X X n n µ s n Centrl Limit Theorem X 1 + X X n nµ σ n N(, 1) s n 8