BULANIK MANTIK. Gaziosmanpaşa Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Tokat.

Transkript

1 Nim Çğmn, BLNIK MNTIK Gziosmnpş Üniversitesi, Fen Edebiyt Fkültesi, Mtemtik Bölümü, Tokt. Mtemtik deyince ilk kl gelen kesinliktir. Hlbuki günlük hytt konuşmlrımız rsınd belirsizlik içeren, ort yşlı insn, uzun zmn, phlı rb, yüksek bin gibi nlmı kişiden kişiye ve durum göre değişen çok kelimeler kullnılır. Klsik mntığın tnımlymdığı bu tür belirsizlikler çoğunlukl bilimsel olmyn bir şey olrk kbul görmesine rğmen, 9. yüzyılın bşlrınd bu tür belirsizlikler üzerine bir çok filozof kf yormuşlrdır. Einstein bu durumu şu şekilde ifde etmiştir: Mtemtiğin kvrmlrı kesin olduklrı sürece gerçeği ynsıtmzlr, gerçeği ynsıttıklrı sürece de kesin değillerdir. 920 lerde Heisenberg orty ilk belirsizlik kvrmını trk bilimi çok değerliliğe zorlmıştır. 930 lrın bşlrınd Luksiewicz ilk üç-değerli mntık sistemini ve ynı dönemlerde kuntum filozofu Blck d sürekli değerlere ship mntığı tnımldı. Pek z btılı filozof çok değerliliği benimsemesine rğmen, Luksiewicz, Gödel ve Blck, ilk çok değerli mntık ve kümeler üzerine teorik olrk çlışmlrını sürdürdüler, nck kendilerine bir uygulm lnı bulmdılr. Belirsizliğin, modern nlmd mtemtiksel olrk modellenmesinde önemli bir dönüm noktsı, 965 te Cliforni Berkeley Üniversitesi nden zeri kökenli meriklı Mtemtikçi Lütfi skerzde Zdeh in bulnık mntık (fuzzy logic) ve dolyısıyl bulnık küme teorisini tnımlmsıyl bşlmıştır. Zdeh bu teorisinde, mtemtiğin, dil ve insn zeksını ilişkilendirebileceğini ve bulnık mntığın gerçek hytın dh iyi bir modelini oluşturduğunu göstermesine rğmen bilim cmisındn pek ilgi görmediği gibi tenkitlerle krşılnmış ve htt BD lusl Bilim kfı (Ntionl Science Foundtion) trfındn kynklrın boş hrcnmsın örnek olrk gösterilmişti. 972 yılınd İngiltere de İrn kökenli Ebrhim Mmdni nin bir buhr mkinesi için, bulnık mntık teorisini kullnrk, bir kontrol edici tsrlmsı dünynın ilgisini bu konuy çekmiştir. Bulnık mntığın ilk ticri uygulmsının, 980 de, Dnimrk d bir çimento fbriksının kontrolünde kullnılmsındn sonr, bşt Jpony olmk üzere dünydki çoğu ülkeler rştırm ve mühendislik uygulmlrıyl bu konud büyük gelişmeler kt etmişlerdir. Özellikle, elektronik letlerin n ypılrını oluşturn trnsistor vey lgoritmlr gibi nhtrlm rçlrınd yoğun olrk bulnık mntık kullnılır. Bulnık mntık ve bulnık kümeleri, klsik mntık (risto mntığı) ve onun doğurduğu klsik kümeler ile berber vermemiz rlrındki frkı görme ve krşılştırbilme çısındn kolylık sğlycktır. Bilindiği gibi, klsik mntık, ynlış vey doğrundn biri ile betimlenen ve kesin hüküm belirten Üç ikiden büyük bir tmsyıdır., hmet kırk yşınddır. gibi önerme dediğimiz ifdelerle çlışır. Bir x değişkene bğlı, p(x) = x ikiden büyük bir tmsyıdır., q(x) = x kırk yşınddır. gibi önermelere de çık önermeler denir. Bu önemelerle mtemtiğin temel tşlrındn biri oln kümeleri inş ederiz. Kitplrd, klsik kümelere, iyi tnımlnmış nesneler topluluğudur denir. Önermeler kesin hüküm belirttiği için, bir çık önermeyi doğru ypn değişkenler iyi tnımlnmış olurlr ve bunlrın tonluluğu mtemtikte küme olrk tnımlnır. Örneğin, p(x) çık önermesinin yni ikiden büyük bütün tmsyılrın oluşturduğu bir küme, ={x: p(x)} biçiminde vey çık olrk ={x: x>2, x } biçiminde vey dh çık olrk ={3,4,5, } biçiminde yzılır. Klsik mntıkt, önermeler y doğrudur yd ynlıştır, üçün bir lterntifleri yoktur. Bu nedenle, bir p(x) önermesi ve onun olumsuzu (değili) p(x) önermeleri için p(x) p(x) ve p(x) p(x) bileşik önermelerine sırsıyl çelişki (kesin ynlış) ve totoloji (kesin doğru) denir. Birincinin mnsı, bir önerme ynı nd hem ynlış hem de doğru olmz ve ikincinin mnsı ise bir önerme y ynlıştır y d doğrudur. O hlde, bir p(x) önermesini doğru ypn değerler bir kümesini oluşturuyors, doğru ypmynlr (ynlış ypnlr) d bu kümesinin tümleyeni kümesini oluştururlr. Böylece bir küme, üzerinde işlem ypıln E evrensel kümenin elemnlrını, kümeye it olnlr ve it olmynlr diye ikiye böler. Bu net yırımdn dolyı, E evrensel kümesinde tnımlı herhngi bir kümesi için

2 =E ve = eşitlikleri elde edilir. Bu durumun venn şemsı Şekil de verilmiştir; burd siyh ve tümleyeni beyz bölgeden ibrettir. Kesin olrk ve b. Görüldüğü gibi klsik mntığın doğurduğu kümeler, tbittkinin ksine, yşdığımız dünyyı siyh/beyz, doğru/ynlış, iyi/kötü gibi ktegorize ederek ikiye bölen birbirine zıt ikili kvrmlrl inş edilir. b Şekil. Klsik Küme Klsik mntıkt bir önermenin doğruluk değeri, doğrulr için ve ynlışlr için 0 kullnılırs, E χ :E 0, fonksiyonuyl krkterize evrensel kümesindeki bir kümesi, mtemtiksel olrk { } edilir. Burd, kümesine it elemnlr değerini, it olmyn elemnlr ise 0 değerini veren, χ fonksiyonun kümesinin krkteristik fonksiyonu denir. Bu syede, bilgisyr trfındn lgılnbilir, Boolen cebrinin temeli oln ikili syı sistemine geçiş ypılmış olunur. Hlbuki, gerçek düny hiç de öyle siyh ve beyzdn ibret değildir, ord siyh ile beyzın rsınd, Şekil 2 de olduğu gibi, sonsuz renk tonu vrdır. Konuşm dilinde ifde edilen ve üzerinde çlıştığımız çoğu sınıflndırmlrd kullndığımız, kesin sınırlrl tnımlnmyn ve kişiden kişiye frklı yorumlnn çok güzel, fzl uzun, şırı sıck, hfif phlı, birz ttlı gibi bulnık kvrmlr klsik mntığın öngördüğü şekilde incelenemezler. İşte bu tür terimlerle ifde edilen yşe çok güzel., Hv şırı sıck., mcm epeyce yşlı. gibi ifdeleri, kesin hüküm belirtmediğinden, klsik mntık önerme olrk kbul etmez ve bu kvrmlrl d klsik mnd küme tnımlnmz. İşte, bu tür önermelere bulnık önermeler ve bunlrl uğrşn mntığ d bulnık mntık denir. Bulnık önermelerin doğruluğu vey ynlışlığı hkkınd kesin bir şey söylenemeyeceğinden dolyı bunlrın doğruluk değeri, [0,]={x:0 x,x } gerçel syılr kümesinden, bir syıyl derecelendirilir. Bir bulnık önerme derecesine göre hem doğru ve hem de ynlış olbilir. Bulnık bir önerme için doğru değildir denmiş ise bu ynlıştır nlmın gelmez. Bir önerme 0.8 derecesinde doğru ise ynı önerme 0.2 derecesinde de ynlıştır. Örneğin, yşe çirkindir önermesi 0.5 derecesinde doğru ise ynı derecede de ynlıştır. nlşılcğı gibi, klsik önermelerdeki çelişme ve totoloji burd geçerli değildir. Bu özellikten dolyı, klsik mntıkt problem oln prdokslr, hem doğru hem ynlış, y d ne doğru ne de ynlış doğruluk değerine ship önermeler, bulnık mntıkt doğruluk değerleri lrk birzd ols doğrulr indirgenmiş olurlr. Bulnık önermeleri oluşturn bulnık terimlerin her biri bir bulnık küme ile modellenir. O hlde, bir bulnık önermenin oluşturduğu bir bulnık küme, çlışm ypıln ln it her bir bireye mtemtiksel olrk kümedeki itlik derecesini temsil eden [0,] rlığındki gerçel syılrdn bir değer tyrk tnımlnır. Bu değer, elemnın bulnık küme trfındn ifde edilen kvrm uygunluk derecesini ifde eder. b Şekil 2. Bulnık Küme Şekil 2 de de görüldüğü gibi, siyhl betimlenen bulnık bir kümesinin sınırlrı, klsik kümelerde olduğu gibi, kesin çizgilerle belirlenemez. Çünkü rtık burd, siyh-beyz kriterler, gri olnlrıyl 2

3 değiştiriliyor ve krşımız bulnık bir küme kvrmını oty çıkıyor. Elemnlrın idiyeti keskin sınırlrı olmyn bulnık ypı içinde klıyor ve burd gözüken ve b elemnlrı frklı tonlrdki gri bölgelerde bulunduklrındn frklı derecelerde ve tümleyeni kümesine it oluyorlr. Tm üye olm ve üye olmm durumu, bulnık kümede de sırsıyl ve 0 değerleriyle krşılnır. Dolyısıyl, klsik küme kvrmı bulnık küme kvrmının bu iki değere kısıtlnmış özel bir hlidir. Bu nedenle, bulnık kümelerin mtemtiksel olrk ifdesi, klsik kümelerin krkteristik fonksiyonunun {0,} değer kümesinin, [0,] gerçel syılr rlığın genelleştirilmesiyle ypılır. Burdn, bulnık kümelerin klsik kümelere bir lterntif değil, onlrın genelleştirilmişi olduğu görülür. Nsıl ki, Rsyonel syılrın keşfi tm syılr lterntif değil, onu d kpsyn dh işlevli bir syı kümesi, bulnık kümeler de klsik kümeleri kpsyn dh geniş kümelerdir. Mtemtiksel olrk, E evrensel kümesindeki bir bulnık kümesi µ ( x ) :E [0,] şeklinde krkterize edilir. Burdki µ fonksiyon bulnık kümesinin üyelik fonksiyonu denir. Bulnık kümesi, E deki her elemnın üyelik derecesiyle birlikte oluşturduğu ikililer kümesidir. = ( x, µ ( x)): x E, µ ( x) [0,] () { } burd µ ( x ) değeri x in kümesine üyelik (itlik) derecesini gösterir. Üyelik fonksiyonlrı bir çok frklı şekillerde tnımlnbilirler. Üyelik fonksiyonlrının inşsı kişilerin görüş ve değer yrgılrın dynır. Bu nedenle bu fonksiyonlr kişiden kişiye ve durum göre değişmektedir. Bulnık kümeler, kesin çizgilerle gösterilemeyeceğinden, venn şem gösterimlerinden söz edilemez ve bunun yerine bulnık kümeler üyelik fonksiyonlrının grfiğiyle gösterilirler. (Şekil 2, ve bulnık kümelerinin venn semsı olrk değil, sdece bulnıklığı vurgulmk için verilmiştir). Örneğin, u(x) = x gençtir ve v(x) = x yşlıdır bulnık çık önermeleri, E=[0,20] evrensel kümesinde, sırsıyl gençler ve yşlılr bulnık kümelerini oluştursunlr. Bunlrın üyelik fonksiyonlrının grfiklerine bir örnek Grfik de verilmiştir Grfik. Genç ve yşlılr bulnık kümeleri Bu grfiğe göre, 30 yşındki birisi 0.2 üyelik derecesi ile yşlılr bulnık kümesine it ve 0.7 üyelik derecesi ile de gençler bulnık kümesine ittir. Burd yş kvrmı genç ve yşlı iki bulnık küme üzerinde incelenmiştir, bumu istediğimiz kdr çoğltbiliriz. Örneğin, genç, ort yş, yslı olrk üç bulnık kümede vey çok genç, genç, ort yş, yşlı, çok yşlı gibi beş bulnık kümede inceleyebilirdik. Örneğin, genç, ort yş ve yşlı kişilerin oluşturduğu, ve W bulnık kümelerinin grfiği Grfik 2 deki gibi verebiliriz. 3

4 W Grfik 2. Genç, ort ve yşlılr bulnık kümleri Biz burd, hesplm çısındn getirdiği kolylıklrı göz önüne lrk, üyelik fonksiyonlrının inşsınd doğrusl fonksiyonlr kullndık. () deki şrtı sğlyn prbolik, hiperbolik, çn eğrisi gibi her türlü fonksiyonlr kullnılbilir. Hngi fonksiyonun dh uygun olup olmycğı çlışıln uygulm lnı trfındn elde edilen verilere bğlıdır. Bulnık kümeler üzerine kuruln mtemtiksel ypı, klsik mtemtikten dh fzl çıklyıcı bir güce shiptir fkt kullnılbilirliği uygulm lnlrınd orty çıkn kvrmlr için uygun üyelik fonksiyonlrının inş edilmesine bğlıdır. Yni, bulnık kümelerin kullnışlılığı frklı kvrmlr uygun üyelik derecesi fonksiyonlrını oluşturbilme becerimize bğlıdır. Bud bulnık küme teorisinin prtik fydsını rtırn en önemli yönlerinden biridir. Klsik kümeler üzerinde tnımlnn temel işlemlerden oln birleşim ve kesişim işlemleri bulnık kümeler üzerinde mksimum ve minimum fonksiyonlrı kullnılrk tnımlnmıştır. Bunun mtemtiksel doğruluğunun ynınd insn düşüncesine ytkınlığı d görülmektedir. Her hngi bir kimsenin birden çok bulnık önermeler kullnrk kıl yürüteceğini vrsylım. Eğer önermelerin hepsi vey bğlcıyl bğlı ise ortk doğruluk değeri olrk, doğruluk durumun olbildiğince ykın olmk isteneceğinden, önermeler içinde doğruluk değeri mksimum olnınki seçilecektir. Eğer önermelerin hepsi ve bğlcıyl bğlı ise ortk doğruluk değeri olrk, en kötü durum bilinmek isteneceğinden, önermeler içinde doğruluk değeri minimum olnınki seçilecektir. E evrensel kümesinde verilen herhngi iki bulnık ve kümelerinin üyelik fonksiyonlrı sırsıyl x E için µ (x)=min[ µ ( x ), µ ( x) ] ve µ (x)=mx[ µ ( x ), µ ( x) ] olrk tnımlnırlr ve Grfik 3 bunlrın bir olsı grfik gösterimi verilmiştir. 0 Grfik 3. ve kümelerinin bileşim ve kesişimleri Bunlrın kpsm ve eşitliği direkt üyelik elemnlrının derecelerine bğlıdır, yni x E için µ ( x ) µ ( x) ise olur, benzer şekilde µ ( x) = µ ( x) ise = olur. E evrensel kümesi üzerinde tnımlı herhngi bir bulnık kümesinin tümleyeninin üyelik fonksiyonu d x E, µ ( x ) = µ ( x ) biçiminde tnımlnır. Grfik de çık şekilde görüldüğü gibi bulnık kümesinin tümleyeni bulnık kümesidir, gerçekten de µ ( x ) = µ ( x) olur. Bulnık kümelerde tnımlnn işlemler tek türlü değildir. Burd tnımlnnlr mühendislik uygulmlrınd en sık kullnıln işlemlerdir. Klsik kümeler teorisinden bilinen küme işlemlerinin özellikleri, iki özellik dışınd, bulnık kümeler için de geçerlidir. Klsik kümeler için sğlnn =E ve = bu iki özellik bulnık küme 4

5 teorisinin en önemli yırt edici krkteristiğini orty koyrlr ve bulnık kümeler için geçerli değillerdir. Çünkü, her ne kdr üyelik değerleri olsılıkt olduğu gibi [0,] rlığınd değer sld bir bulnık kümenin elemnlrının üyelik dereceleri toplmı olsılıkt olduğu gibi bu rlıkt bulunm zorunluluğu yoktur. Htt bir kümenin bu eşitliklerden ne kdr sptığı bulnıklığının ölçüsüdür. Dikkt edilirse, stndrt işlemlerin üyelik derecelerinin lcğı değerler {0,} değerlerine kısıtlndığı tkdirde klsik küme işlevi görürler. Gerçekten, E evrensel kümesinde herhngi bir klsik kümesini = ( x, χ ( x)): x E, χ ( x) {0,} (2) { } biçiminde tnımlybiliriz. Bu (2) tnımın göre bütün bulnık küme işlemleri klsik kümeler için de geçerli olurlr. Fen bilimlerinden sosyl bilimlere, uygulmlrı syesinde son zmnlrd dındn çok söz ettiren bulnık kümeler, doğl dildeki belirsiz ve bulnık kvrmlrı temsil etmemize ve onlrı mtemtiksel olrk ifde etmemizi mümkün kılrlr. ygulm lnlrının genişliği ve bu lnlrd oluşturduğu sonuçlrın etkisi bkımındn bulnık küme teorisi bugün bilimsel çlışmlrd önemli bir yer tutmktdır. Bulnık kümeler, bulnık mntık kvrmlrını uygulm lgoritmlrın dönüştüren önemli rçlrdır. Bulnık mntık lgoritmsının kullnımı, mkinelere belirli bulnık kvrmlrı nlm ve bun ynıt verme olnğı sğldığındn, bulnık mntığın önemli hedeflerinden biri, kullnıldığı mkinelerin insn gibi düşünmesini sğlmy çlışmsıdır. Bulnık mntık ve kümeleri konusund dh geniş bilgi için, klsikleşmiş İngilizce kynk olrk [,4,7] kitplrı ve Türkçe olrk d [2,3,5,6] kitplrı tvsiye edilebilir. Kynklr [] Dubois, D. nd Prde, H. Fuzzy Sets nd Systems: Theory nd pplictions, cdemic Press, New York [2] Elms, Ç., Bulnık Mntık Denetleyiciler, Seçkin, nkr, [3] İbrhim,, Gömülü Sistemlerle Bulnık Mntık (Çeviri: N. Çervtoğlu), Bileşim Yyınevi, İstnbul, [4] Klir, J. G, nd Folger, T.., Fuzzy Sets, nd Informtion, New Jersey, 988. [5] Şen, Z., Bulnık Mntık ve Modelleme İlkeleri, Bilge Kültür Snt, İstnbul, 200. [6] Şen, Z., Modern Mntık, Bilge Kültür Snt, İstnbul, [7] Zimmermnn, H.J., Fuzzy Set Theory nd Its pplictions, Kluwer, 99. 5