8. Ders Deney Tasarımı Model Uygulamaları Çapraz ve Đç Đçe Tasarımlar, Tekrarlı Gözlemler, Bloklama

Transkript

1 8. Ders Deney Tsrımı Model Uygulmlrı Çprz ve Đç Đçe Tsrımlr, Tekrrlı Gözlemler, loklm Çprz tsrımlr le lgl bzı uygulmlr öncek derslerde örnek olrk verld.. Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımı (Nested Expermentl Desgn şlıktn d nlşıldığı gb Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımınd (Expermentl Desgn wth Nested Fctors brden çok etken söz konusudur. Öncek bölümlerde etkenlern düzey etklernn çprzlm uygulnmsı sonucu gözlemler orty çıkmkt d. u tür deneylere çrpımsl (fktöryel deneyler (Fctorl Experments denr. r hocnın nlttığı br derstek bşrı notu üzernde öğrencnn cnsyet, uygulm st ( st, st y d st ve kullnıln yrdımcı ktp (br dönem çnde sdece br yrdımcı ktp kullnılmkt, mevcut 0 ktp rsındn rsgele seçlen dört ktp-düzey etkler ncelenmek stendğnde lk k etken özel seçml, üçüncüsü rsgele seçml oln çrpımsl üç etkenl krm br tsrım söz konusu olmktdır. Lsnsüstü eğtme grşte şe yryn LES sınvın gren öğrenclern ldığı not üzernde, okuduğu ünverste (düzeyler ülkemzdek ünversteler ve bölüm (düzeyler bölümler etkenlernn etkler ncelenmek stendğnde, bu k etkenn düzeyler br öğrenc üzernde çprzlm uygulnmış olmz. Đknc etken (bölüm brnc etken (ünverste çne yuvlnmış br etkendr. rnc etkenn düzeylernden rsgele 0 tnes seçlp, her brnden knc etken çn rsgele 5 er düzey seçleblr. Seçlen her bölümden rsgele k öğrenc (tekerrür gözleneblr. Dkkt edlrse etkenler çn br hyerrş söz konusudur. öyle tsrımlr Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımı denr. Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımınd etkenler çn düzeyler özel seçlmş vey rsgele seçml olblr. Sprey şeklndek üç çeşt lâcın (özel seçlmş üç lâç:,, her br rsgele seçlen dörder ğc, ( (, (, (, 4(, (, (, (, 4(, (, (, (, 4( gb uygulnsın. r hft sonr bu ğçtn rsgele koprılmış 6 şr yprğın her brnde zot derşm ölçülsün. urd, lâç etkennn düzeyler özel seçml, ğç etkennn düzeyler rsgele seçmldr. ğçlr, çok syıd ğç bulunn ğç ktlesnden rsgele seçlmştr. Đlâçlnn her ğçt bulunn çok syıd yprk rsındn rsgele seçlen 6 şr yprk brer lt örnek oluşturmktdır. u deneyde ğç spreylenmş ve 7 yprkt zot derşm gözlenmştr. zot derşm ölçümler jk olmk üzere, nds sprey, j nds ğcı ve k nds yprğı temsl etsn.

2 Gözlemler: Đlgl model, µ + α+ β +,, j,,,4 k,,,6 jk j( ( j k bçmnde fde edleblr. urd, α 0, j( (0, σ, β ~ND β ~ND (j k (0, σ, j( β le lr bğımsız (j k dır. zot derşm dört prçy yrılmış oldu. Đlk genel ortlm µ dür, µ üç sprey n tümü çn ortlm zot derşmdr. Đkncs α, özel br spreye t prçdır. α, poztf se -nc sprey ortlmdn dh yüksek zot derşm üretr. Üçüncü prç β j(, -nc spreyn kullnıldığı j-nc ğc ttr. Đlâçlm yprk-yprk değl de, ğç-ğç ypıldığı çn ğç etkennn düzeyler lâç etkennn düzeyler çnde yuvlnmıştır. u yuvlnm β j( termndek ndsler vsıtsıyl fde edlmştr. Đlâçlm yprk-yprk ypılırs ğç etkennn br düzey (seçlen br ğç le lâç etkennn düzeyler çprz uygulnblrd. r ğçtn koprıln 6 yprğ deneme tekrrı (tekerrür olrk bkılblr. O zmn ht term jk bçmnde gösterleblr. prklrın

3 d ğçlrdn koprıldığı düşünülürse ht term k ( j bçmnde gösterleblr. u modelde Đlâç ve ğç dye k etken söz konusudur. prğın etks, bşk brçok etk gb kendsn ht termnde göstermektedr. term çn jk vey k ( j göstermlernden herhng br kullnılblr. Đç çe etkenl modellerde gözlemler, etken hyerrşsndek en son etkenden sonr orty çıkmktdır. r dğer çnde yuvlnmış k etken olduğund tsrım Đk-şmlı Đç Đçe Tsrım (Two-Stge Nested Desgn denr. enzer şeklde ç çe yuvlnmış üç etken olduğund tsrım Üç- şmlı Đç Đçe Tsrım denr. Đç Đçe Etkenl Tsrımlrd etkenlerden herhng br özel vey rsgele seçml olblr. r deney tsrımınd düzeyler çrpımsl etkenl ve ç çe etkenl oln etkenler br rd bulunblr. u derste lk önce, Đk-şmlı Đç Đçe Tsrım, rdındn Üç-şmlı Đç Đçe Tsrım ve son olrk çprz le ç çe etkenler br rd bulundurn tsrımlr n htlrı le ele lıncktır.. Sbt etkl dengel model, Đk-şmlı Đç Đçe Tsrım µ + α+ β + jk j( ( j k,,..., j,,..., b k,,..., n ~ND σ (jk (0, ve prmetrk kısıtlmlr, α 0, β j( 0,,,... b j dır.. Rsgele etkl dengel model, µ + α+ β + jk j( ( j k,,..., j,,..., b k,,..., n ~ND σ (jk (0, α σ, j( ND(0, α β ~ND (0, σ β ve α, β j(, lr bğımsız (j k dır.

4 . Krm etkl dengel model, µ + α+ β + jk j( ( j k α 0, j( β ~ND,,..., j,,..., b k,,..., n (0, σ β, j( ~ND σ (jk β le lr bğımsız (j k (0, dır. Kresel Toplmlr: kreler toplmını uygun prçlr bölerek vryns nlz tblosu oluşturmy çlışlım. jk.. frkı şğıdk gb üç prçnın toplmı olrk yzılblr. jk ( ( j... + ( jk.... j Her k ynın kres lınıp tüm gözlemler üzernden toplm geçlrse, b n b ( jk... bn ( n ( j... j k j ( b n ( jk j. j k ( elde edlr.,, ( kresel toplmlrı bğımsızdır. u kreler toplmlrı çn serbestlk dereceler le kreler ortlmlrının beklenen değerlernn elde edlmes Ders 7 de nltıldığı gbdr. Sonuçlr şğıdk tbloddır. s.d. ( b ( b( n bn sbt sbt σ rsgele rsgele α σ n bn + σβ+ σα + nb sbt rsgele σ + nσ β + α bn

5 b ( n β σ + j ( σ n j + σβ ( b σ σ σ + nσ β σ Vryns nlz Tblosu: Değşkenlğ n Kynğı (Source of Vrton Serbestlk dereces (Degrees of Freedom Kreler Toplmı (Sum of Squres Kreler Ortlmlrı (Men Squres eklenen Kreler Ortlmlrı ( (Expected Men Squres etken çnde etken (b- ( ( ( b ( b(n- b( n bn- Düzeyler özel seçlmş etkenler çn sıfır hpotez, bu etkenn düzey etklernn sıfır eşt olmsı ve düzeyler rsgele seçml etkenler çn sıfır hpotez, lgl vryns bleşennn sıfır eşt olmsı bçmnde olduğunu htırltlım. Örneğn, br etken özel dğer rsgele seçml ç çe etkenl br deney tsrımınd hpotezler, olblr. H : α α... α 0 H0 : σ β 0 0 H : değl H : σ β> 0 Sbt etkenl modelde prmetreler çn thmn edcler, µ ˆ... α ˆ,,,...,.....,,...,, j,,..., b β j ( j... olrk elde edlr. u thmn edcler düzgün en küçük vrynslı ynsız (UMVU thmn edclerdr. σ prmetresnn ynsızlık düzeltmes ypılmış en çok olblrlk thmn edcs,

6 ˆ σ b n b n ( ˆ jk jk ( jk j. j k j k b( n b( n b( n dır. Rsgele etkenl modelde vryns bleşenler çn thmn edcler, σ ˆ b( n dır. ˆ σ α ˆ σ β ( ( bn n ve β, dır. Krm modelde, µ ˆ... α ˆ,,,...,..... σ σ vryns bleşenler çn ynsız brer thmn edc, σ ˆ b( n ( σˆ β n Üç-şmlı Đç Đçe Tsrım Üç-şmlı Đç Đçe Etkenl Deney Tsrımı Model,,,..., j,,..., b µ + α+ β + γ + k,,..., c l,,..., n jkl j( k ( j ( jk l ~ND σ ( jk l (0, bçmndedr.

7 Kresel Toplmlr: ( + ( + ( + jkl j..... jk. j.. jkl jk. olmk üzere, her k ynın kres lınıp tüm gözlemler üzernden toplm geçlrse, b c n b b l bcn ( + cn( j n ( jk. j.. j k l j j k ( C ( ( jkl b c n ( jkl jk. + j k l elde edlr ( C ( Örneğn le etkenlernn düzeyler özel seçml ve C etkennn düzeyler rsgele seçml olduğund kreler toplmlrın serbestlk dereceler ve beklenen kreler ortlmlrı şğıdk gbdr. s.d. ( b ( b( c - C ( bc( n bcn Etken S S b j R c k R n l α 0 b c n α σ+ nσ γ+ bcn

8 β 0 c n j( k ( j j ( σ + nσ + cn γ b γ n σ + nσ ( jk l C( σ γ b β j( ( Vryns nlz Tblosu: Değşkenlğn Kynğı (Source of Vrton Serbestlk dereces (Degrees of Freedom Kreler Toplmı (Sum of Squres Kreler Ortlmlrı (Men Squres eklenen Kreler Ortlmlrı ( (Expected Men Squres etken çnde etken (b- ( ( ( b ( çnde C etken b(c- C ( C ( C ( b( c C ( b(n- b( n bn- Çprz ve Đç Đçe erber Tsrım,,C gb üç etkenl, le çprz etkl ve C etken çnde yuvlnmış oln br tsrım göz önüne llım. Model,

9 ,,..., j,,..., b µ α β ( αβ γ ( βγ k,,..., c l,,..., n ~ND (0, σ jkl j j k ( jk ( ( jk l ( jk l bçmndedr. Kresel Toplmlr: ( + ( + ( + + ( + ( + + ( jkl j..... j j k.... jk. j... k.... jkl jk. olmk üzere, her k ynın kres lınıp tüm gözlemler üzernden toplm geçlrse, b c n ( + cn(. j..... j k l j ( jkl... bcn b b cn ( j j..... j + + c + bn (.... k. k C ( b c + n ( + jk. j... k.... j k C ( b c n ( jkl jk. + j k l C( C( elde edlr.

10 Örneğn le etkenlernn düzeyler özel seçml ve C etkennn düzeyler rsgele seçml olduğund kreler toplmlrın serbestlk dereceler ve beklenen kreler ortlmlrı şğıdk gbdr. s.d. b ( ( b ( c C ( ( b ( c - C ( bc( n bcn Etken S S b j R c k R n l α 0 b c n α σ+ nσ γ+ bcn β 0 c n b j β ( αβ j 0 0 c n k ( j σ+ nσβγ+ cn b b j j σ + nσ + cn βγ b γ b n σ + nσ C( ( βγ jk ( 0 n σ + nσ ( jk l C( σ Vryns nlz Tblosu: γ βγ β ( j Değşkenlğn Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı eklenen Kreler Ortlmlrı etken etken b b x etkleşm ( ( b ( ( b

11 çnde C etken ( c - C ( C ( C ( ( c C( x( çndek C etken ( b ( c - C ( C ( C ( ( b ( c C ( bc(n- bc( n bcn- Tekrrlmlı Ölçümler Tsrımı (Repeted Mesures Desgn Konuy geçmeden önce, Tekrr (tekerrür, replcton Đlkes ve Tekrrlmlı Ölçümler Tsrımınd geçen tekrr sözcüğü üzernde durlım. Tekrr lkes, ynı koşullr ltınd gözlem lmnın tekrrlnblr olmsını vurgulmktdır. Örneğn, br lâcın etk süres le lgl üç frklı dozunun (düzeynn düzey etkler krşılştırılmk stendğnde lâç dozlrı brer kez 0 r hst (toplm 0 hst üzernde deneneblr. u durumd,,,( lâç dozlrı j µ α + + j j ~ND (0, σ, α 0 j,,...,0( gözlemtekrrı gb br model söz konusu olup, her doz çn lınn 0 gözlem (0 tekrr kend çnde ve rlrınd bğımsızdır (lşkszdr. Gözlemler brbrnden lşkszdr, hem dozlr çnde hem dozlr rsınd. Tekrr Đlkesne uyulmsı, yn gözlemlern çoğltılmsı, thmn edclern vrynsını küçültmekte ve sttstksel sonuç çıkrımı yleştrmektedr. Deney çn, sdece 0 hstmız olduğund ve her doz çn 0 gözlem lmk (tekrr ypmk stedğmzde, yn Tekrr Đlkesne bğlı klmk stedğmzde nsıl br düzenleme (tsrım

12 ypılblr? Đlâcın her dozu her hstd brer kez deneneblr. Hstlr rsındk gözlemler lşkszdr, nck br hstd frklı dozlr çn lınn üç gözlem rlrınd lşksz değldr. şğıdk, j ~ND(0, σ,,( lâç dozlrı j µ α+ β j+ 0 + j α j,,...,0( hstlr β j ND(0, σβ j leβ j ler bğımsız modelnde j l çn Cov( j, kl 0 ve k çn Cov( j, kj σβ olmk üzere, üç doz le lgl kovrynslrın ynı olmsı durumund verler böyle br model çerçevesnde ele lınblr. ununl brlkte, br hstd denenecek üç doz çn verlş sırsı rsgele olurs dozlrın sıryl uygulnmsındk sstemtk lşk önleneblr. Özetlersek; Tekrr Đlkesndek tekrr sözcüğü gözlemlern çoğltılmsını, Tekrrlmlı Ölçümler Tsrımınd tekrr sözcüğü ynı brm üzernden gözlem lınmsını vurgulmktdır. Tekrrlmlı ölçümler durumund modele br etken dh gelmektedr. Đlglendğmz etken (etkenler le gelen etkenn düzey etkler toplmsldır. ukrıdk gb, k etkenl dengel br deney tsrımınd, etkennn özel seçlmş düzeyler,,..., ve bu düzeylern düzey etkler α, α,..., α le etkennn rsgele seçlmş düzeyler,,..., b ve bu düzeylern düzey etkler β, β,..., β b olmk üzere, j ~ND(0, σ,,..., j µ α+ β j+ 0 + j α j,,..., b β j ND(0, σβ j leβ j ler bğımsız model, br sbt br rsgele etkenl krm br modeldr. u modelde, b b b ( j.. b (... + (. j.. + ( j.. j+.. j j j ve µα,, α,..., α prmetreler çn ynsız brer thmn edc,

13 µ ˆ.. α ˆ,,,...,... olmk üzere, etken le lgl, H0 : α α... α 0 H α α α : 0 vey 0 vey... vey 0 hpotez çn vryns nlz tblosu şğıddır. Vryns nlz Tblosu: Değşkenlğn Kynğı (Source of Vrton etken Serbestlk dereces (Degrees of Freedom Kreler Toplmı (Sum of Squres Kreler Ortlmlrı (Men Squres eklenen Kreler Ortlmlrı (Expected Men Squres σ α + b F değer F etken b b σ + σ β F ( ( b ( ( b σ b- Gözlemler: Đlâcın düzey Generl Lner Model: C versus C; C Fctor Type Levels Vlues C fxed C rndom nlyss of Vrnce Source DF Seq SS dj SS dj MS F P C 5,670 5,670,860 7,99 0,00 C 9,0000,0000 0, 0,6 0,760 Error 8 6,880 6,880 0,549

14 Totl 9 4,0600 j C C 8,0 7,5 8, 7, 4 7,4 5 6,5 6 6,9 7 8,0 8 7, 9 7,6 0 7,8 8, 7,0 8,5 4 7,9 5 8, 6 8,8 7 7,9 8 8, 9 8,0 0 8, 8,6 9, 9,4 4 8, 5 7, 6 7,8 7 8,6 8 8,9 9 8,8 0 nlyss of Mens C C C N Men StDev C 0 7,4400 0, ,0600 0, ,5000 0,64 ll 0 8,0000 0,696

15 One-w y NOM for C by C 8,5 8,5759 Men 8,0 8 7,644 7,5 Lev els of C Đlglendğmz etken k düzeye shp olduğund, Tekrrlmlı Ölçümler Tsrımı le ypıln sttstksel nlz, knc bölümde (Krşılştırm Deneyler Örnek de nltıln nlz le ynıdır. Örneğn, bell br eğtm progrmı le lgl eğtm önces ve sonrsı not ortlmlrı le lgl H µ µ : 0 Önce Sonr H µ µ : Önce Sonr hpotez test edlmek stensn. pıln sınvlrd 0 kşnn notlrı şğıdk gb gözlenmş olsun. Önce Sonr Pred T-Test nd CI: C; C4 Pred T for C - C4 N Men StDev SE Men C 0 75,40 6,50,06 C4 0 85,00 6,4,0 Dfference 0-9,60 6,,00 T-Test of men dfference 0 (vs not 0: T-Vlue -4,80 P-Vlue 0,00

16 ynı gözlemler,, µ α β j j,,...,0 j j model çerçevesnde ele lındığınd, j C C j ~ND(0, σ α 0 β j ND(0, σβ j leβ j ler bğımsız olmk üzere, Generl Lner Model: C versus C; C Fctor Type Levels Vlues C fxed C rndom nlyss of Vrnce Source DF Seq SS dj SS dj MS F P C 460,80 460,80 460,80,0 0,00 C 9 570,0 570,0 6,6,6 0,05 Error 9 80,0 80,0 0,0 Totl 9,0 dır. Dkkt edlrse, burdk F-değer.0 yukrıdk T-Vlue -4,80 değernn kresdr ve P-değerler ynıdır.

17 loklm (lockng Đsttstksel Deney Tsrımının üç temel lkes vrdır. unlr: rsgeleleştrme (rndomzton, tekrr (tekerrür, replcton ve bloklm (blockng dır. Rsgeleleştrme lkes, gözlem brmlerne uygulnck şlemlern (düzeylern brmlere rsgele dğıtılmsını y d br şlemn uygulnmsı çn brmn rsgele seçlmesn vurgulmktdır. zı tsrımlrd, rsgeleleştrme lkesne tm olrk uymk mümkün olmmktdır. Rsgeleleştrme üzernde kısıtlm olmdığınd tsrım Tmmen Rsgeleleştrlmş Tsrım (Completely Rndomzed Desgn denr. Tekrr lkes, ynı koşullr ltınd gözlem lmnın tekrrlnblr olmsını vurgulmktdır. Tekrr lkesne uyulmsı durumund, thmn edclern vrynsı küçülmekte ve sttstksel sonuç çıkrım yleşmektedr. Deney tsrımınd sttstksel sonuç çıkrımın sğlıklı olmsı çn uyulmsı gereken bşk br lke bloklm, bşk br fde le homojenlk lkesdr. Homojenlk lkes, brbrne benzer gözlem brmler seçerek vey yrdımcı etkenler (nusnce fctors denen etkenlere göre gözlem brmlern gruplr (bloklr yırrk sğlnmktdır. loklm le gözlem hücreler yrdımcı etkenn düzeylerne göre lt hücrelere bölünerek dh homojen gözlemlerden oluşn hücreler orty çıkmktdır ve modeldek ht (ht vrynsı zlmktdır. loklmy, bğımlı değşken üzernde etklern rştırmk stedğmz etkenler dışınd vr oln, nck bzm lglenmedğmz ve etklern nlz etmek stemedğmz etkenlern elenmes olrk d bkılblr. loklm ypılmsı durumund sttstksel sonuç çıkrım, göz önüne lınn etkenler le brlkte yrdımcı etkenlern de bulunduğu br modelde ypılmktdır. Örneğn br etkenl br deney tsrımınd br-yönlü vryns nlz ypılırken, bloklm durumund, br yrdımcı etkenn de nlze ktılmsıyl k-yönlü vryns nlz ypılmktdır, nck bz lglendren

18 etken yne br tnedr. loklmyı sğlyn yrdımcı etken (bğımsız değşken, özellk çn düzeyler özel seçml olduğu gb rsgele seçml de olblr. Uyulmsı gereken br lke olrk loklm Đlkes çok sık olrk krşımız çıkmktdır. Örneğn, lborturlrd sonuçlr günden güne frk edeblr, bu nedenle günler bloklr olrk düşünülmeldr. Deneyn ypılmsınd lbornt etks, bloklm gerektrecek çokç krşılşıln br durumdur. Zr denemelerde bzen bloklr bell br yrdımcı etkene (özellğe göre yrılmış toprk prsellerdr. r etkenl ( düzeyl dengel br deney tsrımınd bloklm (b tne blok, b tne blok düzey olmsı durumund ver kümes, b,,..., n,,..., n,,..., b b bn,,..., n,,..., n,,...,,,..., n b b bn,,..., n,,..., b b bn dır. Hücrelerde br gözlem olmsı durumund yukrıdk ver kümes, b b b b olmktdır.

19 ell br hstlığın tedvsnde kullnıln br lâcın üç frklı dozu (özel seçlmş üç düzey çn düzey etkler rsınd frklılık rştırılmk stensn. Seçlmş 4 hst, rsgele 8 er hstdn oluşn üç grub yrılıp, her grub lâcın br düzeynn rsgele tnmsı şeklnde br deney tsrımı ypılırs, bu, br etkenl sbt etkl tmmen rsgeleleştrlmş br tsrımdır. Đlâcın düzey etklern orty çıkrblmek çn üzernde gözlem ypılck 4 hstyı brbrne benzeyen hstlr olrk seçme grşmnde bulunblrz. rçok etkenn (fktörün lâc krşı verlecek tepky (gözlem etkleyeceğ ortddır. Örneğn, yş vey ğırlık gb. rştırmcı bu etkenlern (fktörlern bzısını yrdımcı etken olrk kullnıp bloklm ypblr. ş göre bloklm ypıldığınd, 4 hst yşlrın göre sırlnıp her brnde hst bulunn 8 bloğ (yş grubun yrılır. Örneğn brnc blok en genç üç hstdn ve sekznc blok en yşlı üç hstdn oluşmktdır. öylece, her br blok olbldğ kdr yş göre homojen olck şeklde kurulmy çlışılmıştır. Öte yndn, frklı bloklrdk breyler rsınd yş olrk büyük frklr olblr loklr düzenlendkten sonr, her br bloktk üç hsty lâcın üç düzey rsgele verlr. u tsrım Rsgeleleştrlmş loklr (Rsgele lok Tsrımı denr. Her br lâç düzey her br blok çnde tm olrk br kez kullnılmıştır. Ver tblosu: Đlâcın düzey loklr

20 Model: Gözlemler çn,,, µ + α β j+, j +, j j j,,...,8, ND (0, σ α 0 gb br modeln geçerl olduğu vrsyılsın. u model k etkenl etkleşmsz br modeldr. z lglendren etken lâç olmk üzere, bu etkenn düzey etkler oln α, α, α prmetrelern thmn etmek ve bunlr üzernde, H : α α α 0 0 H : α 0 vey α 0 vey α 0 hpotezn test etmek steyeblrz. Vryns nlz Tblosu (, b 8 : Değşkenlk kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken F etken (bloklm b- b b--b+ b b + b- olmk üzere, bu tblo bloklm etkennn özel vey rsgele seçml olmsı durumlrının her ksnde de kullnılblr. lok syısı 4 olsydı, her br lâç düzey her br blok çnde k kez kullnılrk (dengel tekerrürlü tsrım her hücrede k gözlem olcktı. u durumd, model,, jk µ + α+ β j+ jk, j,,,4, jk ND(0, σ, k, α 0

21 şeklnde ve vryns nlz tblosu (, b 4, n, Değşkenlk kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken etken (bloklm b- ( b F bn--b+ bn b+ bn- olcktı. Đlglendğmz etken le bloklm etken rsınd etkleşm de söz konusu olduğund,,, j ND k, jk µ + α+ β j+ ( αβ j+ jk,,,,4, jk (0, σ gb br model de geçerl olblr. u durumd vryns nlz tblosu (, b 4, n, Değşkenlğn Kynğı etken etken (bloklm etkleşm Serbestlk dereces b- (-(b- b(n- Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer ( b ( ( b b( n etken çn düzeyler özel seçlmş olduğund F ve etken çn düzeyler rsgele seçlmş olduğund F dır. bn- dır.

22 Örnek ell br hstlığın tedvsnde kullnıln br lâcın üç frklı dozu (özel seçlmş üç düzey çn etk süres ortlmlrı rsınd frklılık rştırılmk stenmektedr. 4 hst yşlrın göre, yukrıd nltıldığı gb her brnde hst bulunn 8 bloğ (yş grubun yrılmktdır. rnc blok en genç üç hstdn ve sekznc blok en yşlı üç hstdn oluşmktdır. Ver tblosu, olmk üzere, loklr Đlâcın düzey ,,,,,...,8, (0, j µ + α+ β j+ j j ND σ, j model çerçevesnde, H : α α α 0 0 H : α 0 vey α 0 vey α 0 hpotez test edlmek stenmektedr. Ver: C C C 7, 7,5 7, 8,6 4 7,5 5 7,4 6 8,0 7 8, 8 7, 7, 7,4 8, 4 7,6 5 7,4 6 α 0

23 7,8 7 8,0 8 7,9 8,5 8,5 7,8 4 7,9 5 7, 6 8,6 7 9, 8 Çıktılr: Two-wy NOV: C versus C; C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850 5,0 0,09 C 7,7 0,475,96 0,040 Error 4,46 0,60 Totl 7,7 Krr: Sıfır hpotez reddedlr. loklm ypılmmış olsydı, One-wy NOV: C versus C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850,0 0,06 Error 5,57 0,65 Totl 7,7 Krr: Sıfır hpotez reddedlemez olurdu. ynı gözlemler çn yş etkenne göre, C: 8 blok, her blokt gözlem brm, C4: 4 blok, her blokt 6 gözlem brm, C5: blok, her blokt gözlem brm. şeklnde bloklm le şgıdk dengel tsrımlr ypılsın: C C C C4 C5 7, 7,5 7, 8,6 4 7,5 5 7,4 6 8, , 8 4 7, 7,

24 7,4 8, 4 7,6 5 7,4 6 7, , ,9 8,5 8,5 7,8 4 7,9 5 7, 6 8, , 8 4 Đlgl çıktılr: One-wy NOV: C versus C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850,0 0,06 Error 5,57 0,65 Totl 7,7 Two-wy NOV: C versus C; C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850 5,0 0,09 C 7,7 0,475,96 0,040 Error 4,46 0,60 Totl 7,7 Two-wy NOV: C versus C; C4 nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850 4,75 0,00 C4,507 0,86 4,66 0,0 Intercton 6 0,96 0,5 0,85 0,555 Error,50 0,79 Totl 7,7 Two-wy NOV: C versus C; C4 nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850 4,99 0,09 C4,507 0,86 4,9 0,0 Error 8,066 0,70 Totl 7,7 Two-wy NOV: C versus C; C5 nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C,70 0,850,8 0,086 C5 0,07 0,07 0,5 0,559 Intercton 0,05 0,05 0,08 0,99 Error 8 5,45 0,0 Totl 7,7 olmk üzere, C5 le ypıln bloklmnın nlmsız (blok ortlmlrının eştlğ hpotez reddedlemezolduğu

25 ortddır. C4 le ypıln bloklmd etkleşm çn p- değer0.555 olup, lâç etken le blok etken rsınd etkleşm yoktur. C4 le bloklnn etkleşmsz modelde bz lglendren lâç etkennn düzeyler (lâcın üç frklı dozu le lgl sıfır hpotez (düzey etklernn eştlğ hpotez %5 nlm düzeynde reddedlr. C le bloklm durumund d ynı sonuç çıkmktdır. loklmnın (blok etkennn de modele ktılmsının br mcı d ht vrynsını düşürmektr. C le bloklmd ht vrynsı çn br ynsız thmn σ ˆ 0,60 ve C4 le bloklmd σ ˆ 0,70 dır. loklm ypılmdığınd ht vrynsının σ ˆ 0,65 olduğu thmn edlmektedr. vrynsının küçük olmsı, düzey etkler thmn edclernn vrynslrının küçük olmsını sğlmkt olup sttstksel sonuç çıkrımı yleştrmektedr. Thmm edclern vrynslrını küçültme şeklndek br yleştrme gözlem syısını rttırmkl d sğlnblr. u çıdn bkıldığınd, sbetl br yrdımcı etken le ypıln bloklm oldukç yrrlı olmktdır. Örnek rb lâstklernn şınmsınd çok syıd etkenn etks olduğu çıktır. r rştırmcı, şınm olyınd lâstk mrksının etksn ncelemek stemektedr. Özel seçlmş 4 tür lâstk (dört frklı mrk,,,, 4 çn her mrkdn brer lâstk br rbd olmk üzere dört rb (,,, 4 le 0000 klometre yol ktettkten sonr şınm mktrlrı ölçülmektedr. Gözlemler şğıdk gbdr. Mrklr rblr u gözlemlere dylı olrk, şınm ortlmlrının eştlğ le lgl, α 0.05 nlm düzeynde: hpotezn, H µ µ µ µ : 0 4 H : değl

26 rblr göz rdı edlp, b rb lr göre bloklm (lâstk mrksı le rb etkleşmsz ypılıp test edldğnde şğıdk çıktılr elde edlmektedr. Ver: C C C Çıktılr: One-wy NOV: C versus C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C 8,5 9,4,8 0, Error 49,50 4, Totl 5 77,75 Krr: Sıfır hpotez reddedlemez. Indvdul 95% CIs For Men sed on Pooled StDev Level N Men StDev ,50,89 ( * ,50,87 ( * ,000,44 ( * ,000,6 ( * Pooled StDev,0 0,0,5 5,0 7,5

27 Two-wy NOV: C versus C; C nlyss of Vrnce for C Source DF SS MS F P C 8,5 9,4 7,5 0,008 C 8,5,75 0,0 0,00 Error 9,5,5 Totl 5 77,75 Indvdul 95% CI C Men ,5 ( * ,5 ( * ,00 ( * ,00 ( * ,50,00,50 5,00 Krr: Sıfır hpotez reddedlr. ukrıdk örnekte, her br mrkdn 4 lstk (toplm N 6 lâstk, her mrkdn brer lstk br rbd olmk üzere 0000 klometrelk br yold denenmştr. ğımlı değşken (tepk değşken şınm mktrı ( ve lglendğmz etken lâstk mrksı olmk üzere, rb etken le bloklm ltınd model,,,, 4,,,, 4, (0, 4 j µ + α+ β j+ j j ND σ, α 0 j bçmndedr. u şeklde 4 tekerrür ypılırs (toplm N 64 lâstk denenmekte, model,,, 4 4 jk µ + α+ β j+ jk, j,,,4, jk ND(0, σ, α 0 k,,,4 bçmnde olur. Etkleşm de vrs,,,, 4 µ + α+ β j+ ( αβ +,,,,4 k,,,4 jk j jk jk, (0, σ j ND, 4 α 0 gb br model söz konusu olur. r lâstğn rbnın hng tekerleğnde olduğu d önemsenrse, yn bşk br etken oln tekerlek de br yrdımcı etken (knc blok etken olrk nlze ktılırs,,,,4 µ + α+ β j+ γ +,,,, 4 k,,,4 jk k jk jk, (0, σ j ND, 4 α 0 gb, etkler toplnblr üç etkenl br model üzernde nlz yürütüleblr. urd, örneğn γ ön sğ, γ ön sol, γ rk sol ve γ 4 rk sğ tekerleğn

28 düzey etklern göstereblr. Tüm bu deney tsrımlrınd mcımızın özel seçlmş 4 lâstk mrksı (,,, 4 çn şınm ortlmlrı le lgl, H µ µ µ µ vey H : α α α α 4 : 0 4 H : değl H : değl hpotezn test etmek olduğunu gözden kçırmylım. 0 0 Tmmlnmmış lok Tsrımlr (Incomplete lock Desgns r deney tsrımınd rsgeleleştrme üzernde hçbr kısıtlm olmdığınd tsrım Tmmen Rsgeleleştrlmş Tsrım (Completely Rndomzed Desgn dendğn htırltlım. Örneğn k etkenl br deney tsrımınd etken düzeylernn br kombnsyonu gözlem brmler çnden rsgele seçlen br brme uygulndığınd Tmmen Rsgeleleştrlmş Tsrım söz konusudur. loklm durumund böyle br kombnsyon sdece o blok çndek brmlere rsgele uygulnmktdır. Her kombnsyon le lgl en z br gözlem lınblyors, böyle tsrımlr Rsgele Tmmlnmış loklr Tsrımı (Rndomzed Complete lock Desgn denr. r bloğun çndek bzı hücrelerde gözlem olmmsı (lınmmsı durumund tsrım Tmmlnmmış loklr Tsrımı (Incomplete lock Desgn denr. Örneğn, ver tblosu: loklr gb oln br tsrımd lglenlen etken le blok etkennn düzeylernn bzı kombnsyonlrı uygulnmmıştır, bzı bloklrd boş hücreler vrdır. r bloğun çndek brm syısı etkenn düzey syısındn dh z olmsı durumund bu blok tmmlnmmış olcktır. Tmmlnmmış loklr Tsrımının bzı özel hller Dengel Tmmlnmmış loklr Tsrımı (lnced Incomplete lock Desgns, Lâtn Kreler (Ltn Squres, Lâts Tsrımlr (Lttce Desgns, ölünmüş Prseller Tsrımı (Splt Plot Desgn dır.

29 Dengel Tmmlnmmış lok Tsrımlr (lnced Incomplete lock Desgns Dengel Tmmlnmmış loklr Tsrımı le lgl Desgn nd nlyss of Experments (Montgomery, 005, syf ktbın bkılblr. r yrdımcı etken olmsı durumundk Dengel Tmmlnmmış loklr Tsrımı çn şğıdk koşullr söz konusudur:. Her blokt eşt syıd (k tne deney brm (netcede gözlem vrdır.. Her bloktk brm syısı şlem (etken düzey syısındn küçüktür, yn k< dır.. Her şlem (etken düzey eşt syıd (r tne blokt uygulnır. 4. Her şlem çft (düzey çft ynı syıd blokt (λ def uygulnır ve dır. Örneğn, r( k λ, λ( r( k gb br tsrımd, 4, b 4, k, r, λ dır. λ olmsı demek, her şlem çftnn (düzey çftnn k tne blokt görünmes demektr. Örneğn, le düzeyler brlkte le bloklrınd bulunmktdır. urd toplm gözlem syısı N r 4 dır.,,..., ve j,,..., b çn, n j,. stır j. sütund gözlem olduğund 0,. stır j. sütund gözlem olmdığınd olmk üzere, gözlemlern ortlmsı,

30 b b njj njj j j.... b N r n j j dır. yrıc,. b j j j. b j n n j r,,,..., njj k n. j j. j, j,,..., b b j n n λ, ',, ',,..., j ' j ve b b.. j ( j.. j ( j j j N n n olmk üzere, b n j. j j Q.,,,..., k,,..., + + β + j,,..., b j µ α j j,, j ND(0, model çerçevesnde, lglendğmz σ H µ µ µ µ vey H : α α α α 4 : 0 4 H : değl H : değl 0 0

31 hpotez le lgl vryns nlz tblosu, Değşkenlk kynğı s.d. Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken ( düzeltlmş k Q λ F etken (bloklm b- b. j k N j.. b N--b+ ( düzeltlmş N b + N- b n ( N j j j.. dır (Montgomery (005, syf 47. Lâtn Kre Tsrımı Lâtn Kre Tsrımınd lglendğmz etken, k yrdımcı etken le bloklnmış durumddır ve tüm etkenler çn düzey syılrı eşt olup, br etkenn br düzey dğer etken düzeyler le ylnız br kez brlkte uygulnmktdır. Örneğn, bell br hstlıkt kullnıln üç (,, lâç çn lâcın etk süres ortlmlrı le lgl, H µ µ µ H : 0 : değl hpotez test edlmek stensn. z lglendren etken lâçtır. Đlâç 9 hst üzernde denenecektr. Hstlr yş bkımındn genç, ort, yşlı olrk üçer kşlk üç yş grubun (,, yrılsın (vey böyle olck şeklde önceden seçlmş olsun ve lâç sbh, öğlen, kşm ( C, C, C verlmek üzere, her lâç,

32 her yş grubund, her verlş zmnınd brer kez denenmek üzere, şğıdk gb tsrımlr (düzenlemeler ypılblr. ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh Öğlen kşm ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh Öğlen kşm ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh Öğlen kşm Stırlr ve sütunlr bloklm etkenlern göstermek üzere, sdece lâç ndsnn yzılmsıyl yukrıdk üç tsrımı d çnde bulundurn frklı Ltn Kre Tsrımı oluşturulblr. r Ltn Kre Tsrımınd brnc stır le brnc sütundk ndsler doğl sırlmsınd se bu tür tsrımlr Stndrt Ltn Kre Tsrımı (SL denr. Örneğn lâç çn 4 düzey, bloklm etkenler çn de 4 er düzey, yn 4x4 Ltn Kre Tsrımı olmsı durumund SL lr şğıdk gb olurdu

33 x Ltn Kre Tsrımınd tne SL ve 4x4 Ltn Kre Tsrımınd 4 tne SL bulunmktdır. x Ltn Kre Tsrımınd!x(-!x frklı tsrım, 4x4 Ltn Kre Tsrımınd se 4! (4! 4 576tne frklı tsrım oluşturulblr. unlr her SL d stırlrın vey sütunlrın yer değştrmes le elde edleblr. pxp Ltn Kre Tsrımınd, Ltn Kre Syısı p! ( p! SL syısı dır (Montgomery (005, syf 40. Đlâç örneğnde jk,. lâcın, j. yş grubundn br hsty, k. zmnd uygulnmsı sonucu etk süresn göstermek üzere, düzey etkler model,, + β j ND k,, jk µ + α j+ γk+ jk,,,, jk (0, bçmnde yzılblr. nck,, j, k ndslernde j, k,, olmk üzere nds tsrım ve j, k y bğlı olrk değer lmktdır. Örneğn, ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh Öğlen kşm σ Ltn Kre Tsrımınd, j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se j ve k se olmktdır. un göre model,

34 µ α α α β + β β γ γ γ olup, tsrım mtrsnn rnkı rnk( X 7 ve norml denklemler, α.. α.. α.. β.. β.. β.. γ.. γ.. γ.. dır. urd, µ jk jk,... j k 9 njk j k n n n n,,,, jk jk jk jk j k j k.. jk jk.. j k njk j k n n n j jk jk jk jk k j k. j. jk jk,. j.,,, k njk k

35 n n n k jk jk jk jk k j k.. k jk jk,.. k,,, j njk j olup, n jk syısı. lâç, j. yş grubun, k. zmnd uygulnmış se değern dğer durumlrd 0 değern lmktdır. Prmetreler üzernde, α 0, β j 0, γk 0 kısıtlmlrı ltınd, en çok olblrlk thmn edcler, j k µ ˆ... α ˆ.....,,, β ˆ, j,,. j.... γ ˆ, k,, k.. k... ve ynsızlık düzeltmes ypılmış, ˆ σ n ˆ jk ( jk jk njk ( jk... j... k+... j k j k dır. yrıc, ( + ( + ( + ( + jk j k... jk... j... k... olmk üzere, her k trfın kres lınıp,j,k üzernden toplm lınırs, elde edlr. urd, + + C+ (....., (. j...., j n ( + jk jk... j... k... j k ( C k.. k... dır.

36 olrk Lâtn Kre Tsrımınd model,,,..., β j k,,..., ve Vryns nlz Tblosu, jk µ + α+ j+ γk+ jk,,,...,, jk ND(0, σ Değşkenlğn Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken.. N... F etken. j. N j... C etken C.. k N k... C C ( ( C ( ( n ( j k j k jk jk n N jk jk dır. u vryns nlz tblosu sbt etkl üç etkenl etkler toplnblr (ddtve ve rsgelelk üzernde Ltn Kre Tsrımının getrdğ bzı kısıtlmlr bulunn br model çndr. Đlâç örneğnde bz lglendren etken lâç olmk üzere mcımız, H µ µ µ H : 0 : değl hpotezn test etmektr. Test sttstğ,

37 F olup, sıfır hpotez ltınd, dır. F F,( ( Greko-Lâtn Kre Tsrımı Lâtn Kre Tsrımınd lglendğmz etken, k yrdımcı etken le bloklnmış durumddır ve tüm etkenler çn düzey syılrı eşt olup, br etkenn br düzey dğer etken düzeyler le ylnız br kez brlkte uygulnmktdır. Şmd lglenlen etken üç yrdımcı etken le bloklnmış olsun ve yne tüm etkenler çn düzey syılrı eşt olup, br etkenn br düzey dğer etken düzeyler le ylnız br kez brlkte uygulnsın. Đlâç örneğnde, lâcın verlş şekl (tblet D, kpsül D, şurup D üçüncü bloklm etken (yrdımcı etken olrk lınsın ve model,,, j,, k,, l,, jkl µ α+ β j γk δl jkl,, jk ND(0, σ bçmnde etkler toplnblr br model olsun. urd, j, k, l ndslernden sdece k tnes,, değerlern çprzlm lmktdır ( j, k, dğerlernn değerler tsrım ve j, k y bğlıdır. Örneğn şğıdk gb br tsrımd, ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh tblet kpsül şurup Öğlen kpsül şurup tblet kşm şurup tblet kpsül

38 j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l j ve k se ve l dır. Stır ve sütunlr kıld tutulrk yukrıdk tsrım, D D D D D D D D D ve sdece, l ndslernn değerlernn yzılmsıyl, bçmnde yzılblr.,, rkmlrının yerne brnc bsmkt,,c Ltn hrfler, knc bsmkt αβγ,, Grek hrfler yzılırs yukrıdk kre, α β Cγ Cβ γ α γ C α β bçmn lır. u tür krelere Greko-Lâtn Kreler (Greco-Ltn Squres denr. r Greko-Lâtn Krede her hrf her stır ve sütund ve dğer lfbeden br hrfle brlkte sdece br kez bulunmktdır. r Greko-Lâtn Kre essınd k tne Lâtn Krenn üst üste yzılmsıyl oluşmktdır. ukrıdk Greko-Lâtn Kres şğıdk Lâtn Krelerden oluşmktdır. C C C α β γ β γ α γ α β

39 Đk Lâtn Kre üst üste konduğund br Greko-Lâtn Kre oluşturmsı çn br hrf dğer lfbeden br hrfle brlkte sdece br kez görünmeldr. u tür Lâtn Krelere dk (ortogonl Lâtn Kreler denr.,,c ve αβγ,, hrfler le oluşturulblecek bşk br Greko-Lâtn Kre α Cβ γ β γ Cα Cγ α β dır. u Greko-Lâtn Kreye lâç örneğnde krşılık gelen tsrım dır. ş grubu Đlâç verlş zmnı Genç Ort şlı Sbh tblet kpsül şurup Öğlen kpsül şurup tblet kşm şurup tblet kpsül Greko-Lâtn Kre Tsrımlrınd lglendğmz etken, üç yrdımcı etken le bloklnmış durumddır ve tüm etkenler çn düzey syılrı eşt olup, br etkenn br düzey dğer etken düzeyler le ylnız br kez brlkte uygulnmktdır. Greko-Lâtn Kre Tsrımı sbt etkl dört etkenl etkler toplnblr (ddtve deneylerde kullnılmktdır. Toplm gözlem syısı düşük tutulbldğ çn mlyet çısındn oldukç kullnışlı br tsrımdır, nck etkenlern düzey syılrının eşt olduğu özel durumlrd şe yrmktdır. yrıc, ve 6 çn Greko-Lâtn Kreler oluşturulblr. r Greko- Lâtn Kre Tsrımı le lgl model,

40 ,,..., j,,..., k,,..., l,,..., jkl µ α+ β j γk δl jkl,, jkl ND(0, σ ve Vryns nlz Tblosu: Değşkenlğn Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken... N... F etken. j.. N j... F C etken C.. k. N k... C C F C C D etken d... l N l... D D F D D ( ( C ( ( ( j k l jkl... dır. Dkkt edlrse, durumund Kreler Toplmının serbestlk dereces sıfır olmktdır. Greko-Lâtn Kre Tsrımınd > olmlıdır. çn Lâtn Kre Tsrımınd Kreler Toplmının serbestlk dereces ( ( ve 4 çn ( ( 6 olmktdır. Küçük Lâtn Krelerde serbestlk derecesn rtırmk çn tekrr (tekerrür ypılmktdır. r Lâtn Kre Tsrımınd tekrr:

41 ynı Lâtn Krede, b bloklm etkenlernden brne göre ynı oln Lâtn Krelerde, c frklı Lâtn Krelerde ypılblr. Tekrr syısı n ve toplm gözlem syısı n olmk üzere, tekrrlm yöntemne göre Vryns nlz Tblolrı sırsıyl şğıdk gbdr. Vryns nlz Tblosu (ynı Lâtn Kre üzernde: Değşkenlk Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken... n N... F etken (stırlr. j.. n N j... C etken (sütunlr C.. k. n N k... Tekrr n n l... l N... ( n ( ( + C Tekrr ( n + ( ( n ( n j k l jkl...

42 Vryns nlz Tblosu (frklı çerkl stırlr, çerğ ynı sütunlr: Değşkenlk Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken etken (stırlr C etken (sütunlr n( n N n n. j. l C l j l.. k. n N k l F Tekrr n n l... l N... ( n ( C Tekrr ( n ( n ( n j k l jkl... Vryns nlz Tblosu (frklı çerkl stırlr ve frklı çerkl sütunlr: Değşkenlk Kynğı Serbestlk dereces Kreler Toplmı Kreler Ortlmlrı F değer etken etken (stırlr C etken (sütunlr Tekrr n( n( n C n N. j. l n n l j l n n.. kl l k l n... l... l N... l... l F ( n ( ( n C Tekrr ( n j k l jkl... ( n ( (

43 Kyıp Gözlemler r deney tsrımındk deney sfhsınd br y d dh çok gözlem kyıp olblr. zı durumlrd kyıp gözlemlern vrlığı sttstksel nlz zorlştırblr, örneğn sttstksel hesplmlrı koly yürütülen dengel br model bozulmuş olblr. öyle durumlrd kyıp gözlem çn onun br thmn yerne konup nlze devm edlr vey kyıp gözlem olmksızın gerye kln gözlemlerle nlz ypılır. Kyıp gözlemn yernn doldurulmsınd, Kreler Toplmın ktkısı en küçük olck şeklde br değern seçlmes düşünüleblr. Örneğn,,, µ + α+ β, j j+ j j j modelnde gözlem kyıp olsun. fdesnde yerne x hrf ve dğer, ND (0, σ,,...,8 8 8 ( j.. 8 (... (. j.. j j j ler yerne gözlenen değerler yzılıp olck şeklde x bulunur ve kyıp gözlem yerne yzılır. Kreler Toplmlrı hesplnır ve mnmum le çn serbestlk dereceler br eksltlerek klşık Vryns nlz Tblosu hzırlnır. rden çok kyıp gözlem olmsı durumund Kreler Toplmı, kyıp gözlemlern yerne yzılmış rgümnlr göre mnmze edlr. yı mnmum ypn rgümn değerler kyıp gözlemlern yerne yzılıp Kreler Toplmlrı hesplnır. Vryns nlz tblosund serbestlk dereceler kyıp gözlem syısı kdr zltılır. le çn Lâtn Kre Tsrımınd kyıp br jk gözlem yerne şğıdk değer lınblr, y jk (.. +. j. +.. k... ( ( (Montgomery (005, syf 9. urd,. j.,.. k,... değerler j. stır, k. sütunund eksk gözlem bulunn kre çn sırsıyl j. stır, k. sütun ve tüm gözlemlern toplmlrı ve dır... jk j k