GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit

Transkript

1 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz kendilerini: nlrı nı m kendileri frklı (nı d lilir) iki ikizkenr üçgenin tnlrındn irleşmiş hlidir. ğer u irleşme zıt önlü lurs ukrdki gii ir şekil elde edilir, nı önlü lurs şğıdki gii öle ir dörtgenine knkv deltit denir. öşegenlerin hlen dik kesiştiğine ve ir köşegenin hlen çırt lduğun dikkt ediniz. eltidin Özellikleri. Genelde uzunluklrı e ve f ile gösterilen köşegenleri dik kesişir. öşegenler dik kesiştiği için de, diğer dikgen dörtgenler gii 1 lnı ef frmülüle ulunilir. öşegenlerin kesişim nktsı, köşegenin irini rtlr m diğerini rtlmz. unun nınd köşegenlerin iri çırtdır m diğeri değildir. İkizkenr üçgenlerin üksekliği ln dğru () deltidin simetri eksenidir. eltit ir teğetler dörtgenidir m kiriş dörtgeni değildir. Örnek. ir deltit m() = m() = m() = m() kç derecedir? ) 90 ) 0 ) 1 ) ) Çözüm: eltidin krşılıklı çı çiftlerinden en z iri irirlerine eşit lmlıdır. unlr ile lmdığın göre hlde ile lmlıdır. Şu durumd m() = ulunur. eltidin iç çı ölçüleri tplmı 0 lmsı gerektiğinden = 0 ni m() = ulunur. ğru cevp:. Örnek. ir deltit = = = {} = rnı kçtır? ) 1 ) ) ) 5 ) Çözüm: = r dersek = r ve dlısıl = r lur. Verilen eşitliklerden de köşegeninin çırt lduğunu nlrız. O hlde üçgeninde iç çırt tereminden rhtlıkl / = / lrk ulunur. ğru cevp:. 1

2 Mustf YĞI eltit Örnek. ir deltit = = = = = 15 r = 1 r kç r dir? ) 1 ) 1 ) 15 ) 1 ) 17 Çözüm: den e prlel çizilen dğru i de kessin. les teremi gereği = lur. nı rn ile rsınd d lduğundn // lur. ile üçgenleri 1: rnınd enzer lduğundn = 5 r, ile üçgenleri de : rnınd enzer lduğundn = 1 r lur. üçgeninin iki kenrı köşegenlere prlel die u kenrlr dik kesişir. O hlde Pisgr tereminden = 1 r ulunur. ğru cevp:. Örnek. ir deltit = =,,, dğrudş m() = 5 = r, = r, = r ve = r kçtır? ) 1 ) 11 ) ) 9 ) Çözüm: Verilen kenr eşitliklerine 5 göre deltidin eş ln çılrı ve dir. m() = m() = 15 lduğundn m() + m() = 90 lur. u d ile dik üçgenlerinin enzerliği nlmın gelir. şleme pılırs / = / eşitliğinden = 1 ulunur. ğru cevp:. 5 Örnek. ir deltit = = r = = 9 r I = 0 r I nktsı, deltidin iç teğet çemerinin merkezi uzun köşegenin u kç r dir? ) ) 9 ) ) 1 ) 15 Çözüm: Uzun köşegenin [] lduğunu ve I nın üstünde lup I nın çırt lduğunu iliruz. I = r dersek üçgeninde iç çırt tereminden I = r lur. İç çırtın unu uldurn frmülden 0 = 9 eşitliği çözülürse = ve = r ulunur. ğru cevp:. Örnek. ir deltit = ve = rnı kçtır? ) ) ) ) ) Çözüm: = r denirse = r lur. enzer şekilde = k r denirse = k r lur. k ()k Gerisi tnlr rnınd ln plştırmdn şk ir şe değildir. Hemen plım: = r dersek = r lur. enzer şekilde = r dersek = r lur. ( ) ( ). ğru cevp:. 0 I

3 Mustf YĞI eltit Örnek. ir deltit = = 11 r 0 = = 1 r = 0 r deltidin kıs köşegeninin uzunluğu kç r dir? ), ) 9,9 ) 1, ) 1, ) 15 Örnek. ir üçgen ir deltit = 5 r = r = r = r kç r dir? 5 Çözüm: = r lduğunu Hern frmülünden uliliriz. Şu durumd = 1 r dir. eltit lnının köşegen uzunluklrının çrpımının rısı lduğunu d iliruz eşitliğinden = 1, r ulunur. ğru cevp:. ) ) ) 1 ) 1 ) 1 Çözüm: eltidin [] köşegeninin üçgeninde it iç çırt lduğunu frk ediniz. = = r lsun. 5 denkleminden =, dlısıl = 1 r. ğru cevp:. Örnek. ir kre kre dışınd ir nkt m() = m() m() = 70º m() kç derecedir? Örnek. ir dörtgen m() = m() = 0º m() = 0º m() = 0º = r = r = z r, ve z rsındki ğıntı şğıdkilerden hngisidir? z ) 5 ) ) 15 ) 0 ) 0 70 ) = z ) = z + ) = z ) = + z ) = + z Çözüm: [] üzerinde = lck içimde ir nktsı llım. [] i çizelim ile üçgenleri -- gereğince eştir. ıscsı deltittir. u üzden = lur. nı zmnd = lduğundn ikizkenr üçgen lur. m() = 1º die m() = 1º lmlıdır ki u d m() = 0º lduğu nlmın gelir. ğru cevp:. 70 Çözüm: Öncelikle üçgeninin ikiz çı ir üçgen lduğunu görerek = z r lduğunu nt edelim. örtgenin [] köşegenini çizdikten snr d eşkenr üçgenini luşturlım. z 0 0 z z Görüldüğü üzere = = z r lur. Şimdi ile üçgenlerine dklnıruz. u üçgenlerin ve çılrı eş, çısının gördüğü kenrlrı eş ve [] kenrlrı rtk lduğundn, u üçgenler eştir. u d nin ir deltit lduğu nlmın gelir. Şu durumd = = r lmlıdır. nuç lrk = + z ulunur. ğru cevp:. z 1

4 Mustf YĞI eltit 1. deltit, =, = 1 kçtır? (50). deltit, =, = kçtır? (). deltit, =, = 50 0 kçtır? (5). deltit, =, =. deltit, =, = P, Q, R rt nktlr kçtır? (90) 7. deltit, =, = R Q P, Q, R rt nktlr kçtır? (). deltit, =, = kçtır? ( ) 9. deltit, =, = k k kçtır? (1). deltit, =, = P Q 7 7 R P 1 / kçtır? (/) kçtır? (5) 5. deltit, =, = = 1 r = 7 r kç r dir? (15) 11. deltit, =, = 5 : kçtır? ( ) 17

5 Mustf YĞI eltit 1. ir deltit = ve = ve çırt m() = 0º m() = α kç derecedir? 0 0 ) 0 ) 5 ) 50 ) 55 ) 0 1. ir deltit = =, m() = m() = m() m() = α kç derecedir? ) 1 ) ) 5 ) 5 ) 7 1. ir deltit = = = {} = kçtır? ) 1 ) ) ) 5 ) 15. ir deltit = = 5 r = = r I = r I = r I nktsı, deltidin iç teğet çemerinin merkezi lduğun göre kç r dir? 5 I I ) ) ) 15 ) ) 1

6 Mustf YĞI eltit 1. ve irer deltit = = = = = m() = º m() = º m() kç derecedir? ) 1 ) 1 ) 1 ) ) ir deltit = = = = = 1 r = 0 r kç r dir? ) 17 ) 15 ) 1 ) 1 ) 1. ir deltit = = = = = r = 9 r kç r dir? ) ) 5 ) ) 7 ) 19. ir deltit = = = = = 1 r = 0 r kç r dir? ) 1 ) 1 ) 15 ) 1 ) 17 19

7 Mustf YĞI eltit 0. ir deltit = = = r = = = 9 r = r = r frkı kçtır? ) 5 ) 0 ) ) 0 ) ir deltit = = r = = r = r,, dğrudş = kç r dir? ) 5 ) 15 7 ) ) 11 ) 7. ir deltit = = R r = m() = 0 üçgeninin çevrel çemer rıçpı R r m() = α kç derecedir? R 0 O R 0 O ) 0 ),5 ) 0 ) ) 5. ir deltit = = = r = 0 r G 1 ve G nktlrı sırsıl ve üçgenlerinin kenrrtlrının kesim nktlrı G 1 G kç r dir? G G 1 G G 1 ) 7,5 ) 7 ) ) 5 ) 150

8 Mustf YĞI eltit. ir deltit = = Şekildeki tüm dğru prçlrının lrı tm sı en z kç r lilir? ) ) 1 ) 9 ) 5 ) 5. ir deltit = = r = = r 1 = 1 r kç r dir? ) 15 ) 15 ) 0 ) 0 ) 0 1. ir deltit = ve = ve m() = 5º = 5 r = 9 r = r = kç r dir? ) 0 ) 1 ) 15 ) ) 9 7. ir deltit = = = = = r = 17 r trlı üçgensel ölgesinin lnı kç r dir? ) 15 ) ) 0 ) 5 ) 151

9 Mustf YĞI eltit. ir deltit = = = = trlı dörtgensel ölgesinin lnı deltidin lnının kçt kçıdır? ) 5 ) ) ) 1 ) 1 9. ir deltit = = = = rnı kçtır? ) 1 ) 9 ) ) 5 ) 1 0. ir deltit = = = = = r = r = r kçtır? ) 1 ) 1 ) 1 ) ) 1. ir deltit = = = = = r = r deltidin lnı kç r dir? ) 50 ) 5 ) ) 0 ) 15

10 Mustf YĞI eltit. ir deltit = = = = nin dğrusun uzklığı nın e uzklığının ktı, nin kç ktıdır? h h h h ) 1 ) 9 ) ) 5 ) 1. ir deltit düzgün eşgen rnı kçtır? ) 5 ) ) ) 1 ) 1. ir deltit düzgün eşgen = {} = {} = r = r dörtgensel ölgesinin lnının ve cinsinden değeri şğıdkilerden hngisidir? ) + ) ) + ) ) + 5. ir deltit =, = = m() kç derecedir? ) 15 ),5 ) 0 ) ) 0 k k k k 15

11 Mustf YĞI eltit. ir deltit = = = r = r = r,,, ulunduklrı kenrlrın rt nktlrı kçtır? ) 7 ) ) ) 5 ) 7. ir deltit = = = = [] köşegen = r = r = r kçtır? ) 7 ) ) ) 5 ). ir kre ir eşkenr üçgen ikizkenr dik üçgen P P // P = r deltitinin uzun köşegeninin u kç r dir? P ) ) 7 ) ) ) 9. ir deltit =, m() = 0 = r, = r = rnı kçtır? 0 0 ) 1 ) 1 ) 1 ) ) 15

12 Mustf YĞI eltit 0. ir deltit,,, değme nktlrı = = r deltitinin iç teğet çemerinin elirttiği ölgenin lnı kç r dir? ) π ) π ) π ) π ) 1π 1. ir deltit,,, değme nktlrı =, = r = r çemerin rıçpı kç r dir? ) ) 5 ) ) 7 ). ir deltit ir eşkenr dörtgen,, dğrudş şkenr dörtgenin lnı deltit lnının rısı ise rnı kçtır? ) 1 ) 1 ) 5 ) ) 9. ir dik üçgen ir deltit = r = r = r kçtır? ) ) ) 5 ) ) 7 155

13 Mustf YĞI eltit. ir kre ir deltit = renin ir köşegeninin uzunluğu r deltitin lnı kç r dir? ) ) ) ) ) 5. ir dikdörtgen ir deltit = r Çevre() = 0 r eltitin köşegenleri dikdörtgenin kenrlrın prlel kç r dir? ) 1 ) 1 ) 1 ) ) 9 P P. ir dikdörtgen ir deltit = = r = r P = r P kç r dir? ) ) 11 ) 1 ) 1 ) 1 P P 7. ir deltit ve MN irer kre,, dğrudş = r nin cinsinden değeri şğıdkilerden hngisidir? ) 1 ) ) ) 5 ) 5 M N M N 15

14 Mustf YĞI eltit. ir muk // ir deltit = 1 r = = r = kç r dir? 1 1 ) 7 ) ) 9 ) ) ir dikdörtgen ir deltit = 9 r = r kç r dir? ) 15 ) 1 ) 117 ) 9 ) 50. ir üçgen ir deltit = = m() = 111º m() = αº α kçtır? ) 0 ) 1 ) ) ) 51. ir deltit ir kre = = = deltidin köşegen uzunluklrının rnı şğıdkilerden hngisi lilir? k k k k ) 1 ) ) ) 5 ) 157

15 Mustf YĞI eltit 5. ir deltit = = m() = 0 ir krese : rnı kçtır? 0 0 ) ) ) ) 5 ) 5. ir deltit =, =, m() = 0º = 1 r = r kçtır? ) 1 ) ) ) ) ir deltit =, = = r = r = 5 r kç r dir? 5 5 ) 0 ) ) ) ) ir düzgün ltıgen MN ir deltit = = M = M M = r MN kç r dir? N M N ) ) ) ) ) 15