Kütle Merkezi ve Merkezler. Konular: Kütle/Ağırlık merkezleri Merkez kavramı Merkez hesabına yönelik yöntemler

Transkript

1 Kütle Merkez ve Merkezler Konular: Kütle/ğırlık merkezler Merkez kavramı Merkez hesabına önelk öntemler

2 ğırlıklı Ortalama Merkez kavramının brçok ugulama alanı vardır. Öncelkle ağırlıklı ortalama kavramına bakalım: Örneğn, sınıftak öğrenclern merkezn bulmak çn öğrenclern ortalama pozsonlarını bulmamız gerekr. Öğrenclern pozsonlarını (, ) olarak belrtelm. Buna göre ortalama ve koordnatları şu şeklde fade edlr: KT

3 ğırlıklı Ortalama Br sonrak adımda, öğrenclern her brne farklı mktarda ağırlıklara sahp blalar dağıtılsın; (w,w,,w ). Bu durumda, blaların ortalama pozsonu öğrenclern ortalama pozsonundan farklı olacaktır. Örneğn pencere kenarındak öğrenclere daha çok bla verdğmz varsaarsak, blaların ortalama pozsonu pencere kenarına daha akın olacaktır. Blaların ortalama pozsonu şu şeklde bulunur: Genel olarak se; [, ver set n [ w, w,...,,..., w n n w w n w + w w w + w w ] ] ağırlık fonksonu ağırlıklı artmetk ortalama n n n KT 3 toplama operatörü Σ kullanılmadan w w w w (w ler herhang br büüklük olablr: not, nüfus vb.)

4 lan Merkezler Şeklde görülen alanı küçük alanlara (,, ) aıralım ve bunların koordnatları; : (, ) : (, ) : (, ) Bu durumda, alanının merkez, vea ortalama alan pozsonu, ağırlıklı ortalama formülü kullanılarak hesaplanır: KT 4

5 ğırlık Merkez Dünanın br csme uguladığı er çekm kuvvetne o csmn ağırlığı denr. Bu kuvvet, csmn üzerne aılmış çok saıda kuvvetn (dw) br araa gelmesle ortaa çıkar ve bunların bleşkes W le gösterlr. Br csm farklı boutlarda sonsuz saıda parçacığın brleşmnden oluşur. Parçacıkların ağırlıkları br paralel kuvvetler sstem oluşturacaktır ve belrl br ugulama noktası olan tek br (eşdeğer) bleşke le gösterleblr. Bu noktaa csmn ağırlık merkez denr. KT 5

6 Eksenler 90 o döndürüldüğünde: ğırlık merkeznn koordnatlarını bulmak çn her br eksene göre moment alınır. Burada,, ~,, z ~, ~ z ğırlık merkez G nn koordnatları Csm oluşturan sonsuz küçük parçacıkların (dw) koordnatları KT 6

7 Kütle Merkez Br csmn vmel hareketnde vea dnamk tepk hesabında kütle merkez kullanılmaktadır. dwg.dm g: sabt KT 7

8 Geometrk Merkez Hacm Merkez dmρ.dv KT 8

9 Geometrk Merkez lan Merkez KT 9

10 Çzg Merkez Geometrk Merkez Br çzg - düzlemnde se ve f() şeklnde br fonkson le tanımlanırsa; dl + ( d) ( d ) vea KT 0

11 Bulunan dl fadelernden ks de kullanılablr, hangsnde daha bast ntegral elde edlorsa terch edlr. dl d d dl ( ( ( d / (4) d) ) d ) d KT

12 Öneml noktalar Merkez br csmn geometrk merkezn gösterr, bu nokta csm homojen se ağırlık/kütle merkez le çakışır. Merkez formüller, csm oluşturan parçaların momentler le csmn bleşkesnn moment arasındak dengedr. Bazı durumlarda, merkez csmn dışında br erde olablr (örn: ç boş halka). rıca, smetrk csmlerde merkez smetr eksen üzernde bulunur KT

13 Örnek 5 Şeklde gösterlen üçgenn alan merkeznn koordnatını ( )bulunuz. eksenne göre moment d b h Dferansel eleman: d kalınlığında ve rasgele br er olan br dkdörtgen eleman düşünelm. Benzer üçgenler ardımı le: b d ( h h ~ b ) d ( h KT 3 d ( h ) ( ' cnsn den fade edelm) b h b h Bu dkdörtgenn ağırlık merkeznn eksenne olan uzaklığı )

14 Bu sonuç herhang br üçgen çn geçerldr. eksennden olan mesafe ( ) bulmak stesedk, eksenne paralel br dkdörtgen kullanılırdı. Ve alan merkeznn eksenne mesafes, alanın eksenne göre moment hesaplanarak bulunur. KT 4

15 Örnek 5 m ve fonksonlarının sınırladığı taralı alanın geometrk merkeznn ( ) koordnatını bulunuz. m d ( ) d geometrk merkez ~ ( ) d ~ d ( ) d ( ) d 0 0 / 0. 5 d ( ) d / 6 0 m KT 5

16 KT / / ) ( ) ( ) ( ) ]( ) / [( ) ( ) ]( ) / [( ~ ~ ) ( d d d d d d d d d d

17 Ödev 7 m ve fonksonlarının sınırladığı taralı alanın geometrk merkeznn ( ) koordnatını bulunuz. m (Cevap: /5 ) KT 7

18 Temel geometrk şekllern alan merkezler KT 8

19 Temel geometrk şekllern alan merkezler KT 9

20 Kompozt lanların Merkezler Bleşk csm, dkdörtgen, üçgen, arım dare şeklnde brbrne bağlı bast şekll csmlerden oluşur. Böle br csm genellkle parçalara bölünür, bu parçaların herbrnn ağırlığı ve ağırlık merkeznn konumu blnrse, tüm csmn ağırlık merkezn belrlemek çn ntegral şlemne gerek kalmaz. Bast geometrk alanların oluşturduğu kompozt alanların merkezlernn bulunması çn, kompozt alanı oluşturan bleşenlern merkezler kullanılır. İntegral öntem le: 3 d d Ortak ve eksenlerne göre, her üç şekln alan momentler hesaplanarak bu kompozt alanın ağırlık merkez bulunur. 3 KT 0 d + d + d + d + 3 d d

21 KT d d ve d d d d d d

22 Örnek 53 Şeklde gösterlen plak alanın ağırlık merkezn bulunuz. m m m m 3 m Plak aşağıda görüldüğü şeklde üç parçaa bölünür. (3) numaralı parçanın alanı negatftr, çünkü () numaralı parçadan çıkarılmıştır..5 m.5 m m m.5 m m KT

23 Parça o: (m ) (m) (m) (m 3 ) (m 3 ) (m) (m) m m m m 3 m KT 3

24 6 m Keslp çıkarılmış parçalar r m Ödev 8 Şeklde görülen bleşk alanın ağırlık merkezn bulunuz. m 8 m m m 8 m Cevap: (5.07;4.98) KT 4

25 Yaılı Yükler Br çok durumda, csmn çok büük br üze alanı, rüzgarın, akışkanların neden olduğu vea sadece csmn üze aracılığıla taşınan malzeme ağırlığı gb aılı üklere maruz kalablr. Bu üklern üze üzerndek her br noktadak şddet /m brm le ölçüleblen p basıncı olarak tanımlanır. KT 5

26 Bleşke Kuvvetn Şddet Şeklde gösterlen plak üzerndek ükleme, sonsuz saıda ve her br plağın arı br dferansel alanına etken br paralel kuvvetler sstemdr. Bu kuvvetler sstem br tek F R bleşke kuvvetne ndrgeneblr. Basınç ükü şddetnn önü ük şddet dagramı üzerndek oklarla belrtlr. Ve brm alan başına kuvvet erne, brm uzunluk başına kuvvet (/m) olarak gösterlr. KT 6

27 Bleşke Kuvvetn Konumu F R nn etk çzgsnn konumu, bleşke kuvvetn ve aılı kuvvetn O noktasına ( eksenne) göre momentler eştlenmek suretle belrleneblr. Basınç, eksen bounca düzgün olduğundan sadece n fonksonudur. KT 7

28 Buradan; Yaılı üke eşdeğer olan bleşke kuvvetn etk çzgs, aılı ükün oluşturduğu alanın ağırlık merkeznden geçmektedr. Eşdeğer tekl kuvvet F R, ağırlık merkezne etktldğnde aratacağı etk (örn: mesnet kuvvetler), aılı ükün aratacağı mesnet tepkler le anı olacaktır. Örnek 54 Mesnet tepklern bulunuz (aılı ükü tekl kuvvete ndrgeerek) KT 8

29 KT 9