4 Eğilme MUKAVEMET - Ders Notları - Prof.Dr. Mehmet Zor

Transkript

1 4 Eğlme 1

2 4. Eğlme Genel Blgler 4.1 Eğlme Yüklemene aru Yapı Örnekler: Eğlme, ugulamalarda çok ık görülen br ükleme bçmdr. Yapılarda kullanılan krşler, raçların geçtğ köprüler, Vnçler, krenler vb. eğlme üklemene marudur. 2

3 4. Eğlme Genel Blgler 4.2 Eğlme le Burulma raındak Farkı naıl anları? Genel kade: Düleme paralel moment eğlme; düleme dk moment burulma momentdr. önündedr. eken önünde eğlme Eğlme üklemende, kettek moment vektörü (ağ el kadene göre) dülem üerndek ekenler ( vea ekenler) den br B eken önünde eğlme oment vektörü dülem dk an dülem normal önünde (şeklde eken ) olura burulma moment oluşacaktır. burulma Not: oment ndler eken takımının erleştrlmene göre değşeblr, ancak üttek genel kade değşme. B bu der kapamında eken takımını bu şeklde erleştreceğ ve kette adece moment varken elatk üklemede gerlmeler heaplaacağı. UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor

4 4. Eğlme Genel Blgler 4. Eğlme Çeştler: 1-) Bat (Smetrk) Eğlme: Kette adece 1 eğlme moment vardır ve ket en a br ekene göre metrktr. 2-) Kemel Eğlme: Kette 1 eğlme moment ve 1 keme kuvvet vardır ve ket en a br ekene göre metrktr. -) Smetrk olmaan (Eğk) Eğlme: Smetrk ketlerde en a 2 eğlme moment, metrk olmaan ketlerde en a 1 eğlme moment vardır. (Bu daha ler eve br konudur. ) UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 4

5 4. Eğlme Genel Blgler 4.4 Eğlme üklemende oluşan gerlme cn: Eğlme moment onucu acaba kette kama gerlme m oka normal gerlme m oluşur? Önce buna karar vereceğ. Daha onra kettek gerlme dağılımını formülüe edeceğ. Şekldek elatk çubuğun lf lf olduğunu düşünelm. Bu çubuğa eğlme ugulaalım Eğlme moment onucu üttek lflern kıaldığını alttak lflern uadığını görürü. Bu durumda üt lflere baı alt lflere çek kuvvetler gelr. O halde lflerde normal gerlmeler oluşur. Üt lfler kıalacağı çn baı gerlmeler ( - ), alt lfler uaacağı çn çekme gerlmeler ( ) oluşacaktır. En üttek lf en fala kıalır en alttak lf en fala uar. Bu durumda bu lflerde şddet olarak en büük gerlmeler oluşur. lttan üte doğru gdldkçe lflerdek uama aalır. Br geçş noktaında lfte uama ıfır olur. Bu lfn bulunduğu kettek ata çge tarafı eken denr. Bu lften üttek lflerde artık uama negatf olur an kıalma başlar. Yukarı doğru gdldkçe kıalma artar. En ütte en fala kıalma olur. Tarafı ekenden en uak noktalarda en fala uama ve kıalma; dolaııla da makmum çek ve mnmum baı gerlmeler oluşacaktır. Tarafı ekendek tüm noktalarda gerlmeler ıfırdır. Her kettek tarafı eken vardır. Bu durumda tüm tarafı ekenler krş bounca br dülem teşkl ederler k buna tarafı dülem denr. 4.5 Bat ve kemel eğlme de apılan kabuller: Dülem ketler eğlmeden onra da dülem kalmaa devam eder. Brbrne dk lfler (çgler) eğlmeden onra ne dk kalır. UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 5

6 4. Eğlme Bat Eğlme 4.6 Bat eğlme de elatk gerlme heabı: DE: Tarafı dülem üerndek lftr. Bou değşme. Bu durumda DE = D E JK : tarafı dülemden kadar uaklıktak lftr. Son bou J K dür. Tüm lflern İlk bolar eşttr. JK = DE JK lf çn; Son bo: J ' K' ), D' E' DE JK J ' K'JK Toplam uama : ) Brm elatk uama : L Elatk bölgede normal gerlme: E. E. ukavemette ak ölenmedkçe şekl değştrmemş lk durumdak geometre göre şlem apılır. (JK lf nn lk hal ata br çgdr. İşlemler bunun üernden apılmaktadır. J K aına göre değl.) Kette, normal önde toplam ç kuvvet (F ) oktur. Yan ıfırdır. F E 0 d E d d 0 d 0 d ğırlık merke tanımından: 0 d ğırlık merkenn koordnatı () ıfır çıktı. O halde tarafı eken ketn ağırlık merkenden geçer. Unutmaın: Eğlmede eken takımı mutlaka ağırlık merkene erleştrlmeldr. 6

7 4. Eğlme Bat Eğlme 4.7 Bat Eğlme de elatk gerlme heabı devam: Kettek meafendek br noktada d elemanına gelen ç kuvvet: d d elemanın tarafı ekene göre moment: ( d). + tarafındak noktalarda baı gerlme varken, bunlar potf momentne ebep olur. > 0, < 0 e nn potf çıkmaı çn denklemn başına koulmalıdır. Kettek toplam ç moment: d ). E (.. d) E ( 2. d) E E E. E. d. Bu formül, Bat vea kemel eğlmede, elatk ükleme de, İotropk malemeler çn geçerldr Not: baı ktaplarda eken takımı farklı alınınca ek şaret olmaablr. Ek şaret olup olmaacağını kendm anlaablr. >0 ken Tarafı ekenn ütündek noktalarda (>0) baı oluşmaı gerektğn görünü. Bu durumda n negatf çıkmaı çn denklemn başında mutlaka olmalıdır. UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 7

8 4. Eğlme Bat Eğlme 4.8 Bat eğlmede normal gerlme dağılımı Kette herhang br noktadak gerlme formülü: : kettek önünde ç moment. : ketn ekenne göre atalet moment : noktanın koordnatı (orjn mutlaka ağırlık merkedr.) ve br ket çn abttr. Gerlme e anı kette noktadan noktaa değşr. Tarafı ekenden eşt uaklıkta olan, an anı koordnatına ahp noktalarda gerlmeler anıdır. Ket en a br ekene göre metrk olmalı. Krşn önden görünüşünün br kımı. Gerlme dağılımını dkkatlce ncelen. D, B c B ma ma H E E H akmum ve mnmum gerlmeler tarafı ekenden en uak noktalarda medana gelr. - 8

9 4. Eğlme Bat Eğlme Örnek 4.1 Şekldek krş çn akmaı başlatacak eğlme momentn bulunu. ak 250Pa Çöüm: - ketndek üklemee göre alttak lfler uar. akmum çek gerlme en alt noktalarda (örneğn B noktaında) ortaa çıkar. mn ma ma ma ( 0mm) (20mm) (60mm) Pa B akma ç Nmm knm B B 8,10 5 ma B noktaında çek gerlme olacağını önceden göremeedk ble, çıkmaı ne çek gerlme olduğunu göterr. B nn potf Bununla brlkte ünek malemelerde baı ve çekdek akma mukavemet brbrne eşt kabul edleblr. mn akma Denklemnden de anı onuç bulunablr. 1-9

10 4. Eğlme Bat Eğlme Örnek 4.2 = kn.m T ketl ankatre çubuğun çek ve baıdak akma mukavemet 120Pa dır. Çubuğun erbet ucuna knm lk br moment ugulandığında çubukta akma olup olmaacağının kontrolünü apını. Çöüm: Ugulanan moment vektörel olarak üee paralel (- önünde) olduğundan ve ket metrk olduğundan bat eğlme oluşur. Bu durumda makmum ve mnmum normal gerlmeler heaplamalıı ve akma gerlme le karşılaştırmalıı. 10

11 4. Eğlme Bat Eğlme ç = =-knm = - kn.m 6.10 Nmm : ağırlık merkenden geçen ata eken () e göre atalet momentn bulmalıı UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 11

12 4. Eğlme Bat Eğlme 2 d ) mm 2 000, mm 50 20, mm mm ) ) d b h d ) ) mm

13 4. Eğlme Bat Eğlme - moment olduğu çn noktaında makmum çek, B noktaında mnmum baı gerlmeler medana gelr. ma B ma mn Z B 10 ( 8) Pa B 11. Pa B 11.Pa, akma oluşur. B akma 1

14 4. Eğlme Ekantrk ükleme 4.9 Ekantrk ekenel ükleme: Ket merkenden geçmeen çek üklemene denr. Bu durumda oluşan gerlmeler heaplamak toru. Şekldek gb eğrel br çubuğa P çek ükü ugulandığında DE kımındak - ketnn G ağırlık merkende br ç çek kuvvet (F ç ) oluşur. ncak P le F ç n momentlernn dengeleneblme çn br ç eğlme moment de oluşacaktır. F ç ve ç n üperpoon öntemne göre arı arı etklern topları ve br noktadak toplam normal gerlme elde eder. P P. d ) ) F ç ç Ket en a br ekene göre metrktr. 14

15 4. Eğlme Ekantrk Yükleme Örnek 4. Şekldek dökme demr (gevrek) parçanın çekdek emnetl mukavemet değer (emnet gerlme) 0 Pa, baıdak mukavemet değer e 120 Pa olduğuna göre; elemana ugulanablecek en büük P kuvvetn bulunu. (Ketn ağırlık merke C noktaındadır) Br öncek 4.2 örneğnde anı ket kullanılmıştı. şağıdak değerler oradan alınablr: 10 mm 2 Y 8mm mm 4 d 8 10 Süperpoon metodu le gerlmeler; B P P c c P( kn ) P10 10 Emnetl kuvvet değer çn: 28mm 28P10 ) 22) 28P10 ) 8) P P B 0.77 P 0Pa 1.559P 120Pa P 79.6 kn P 77.0 kn İn verleblr emnetl kuvvet: P 77.0 kn 1-15

16 4. Eğlme Ekantrk Yükleme Örnek (Soru) 4.4: Şekldek eğk alümnum çubuğa ugulanablecek emnetl P ükünü heaplaını. kma mukavemet 140Pa, çubuk ket 240mm, emnet kataıı n=2 dr. Cevap: P=6.109kN UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 16

17 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme 4.10 Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Ket boutları uunluğuna göre daha çok daha küçük olan ata elemanlara krş denr. Örneğn bulunduğunu bnaa dkkat ettğnde ata beton elemanlar krştr. Düşe elemanlara e kolon m verlr. Farklı krş ketler 17

18 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Yükleme Çeştler Krşler düşe olarak genellkle tekl ve/vea aılı üklere maru kalırlar Yaılı ük Tekl ük N N/m Tekl ük (N) br noktaa, aılı ük bell br uunluğa düşer (N/m) Ugulanan kuvvetler krşn ketlernde ç keme kuvvet (V) ve eğlme moment () medana getrrler. Ket üernde keme ç kuvvetnden den dolaı kama gerlmeler medana gelr. Kama gerlmelernn dağılımı : τ = V. Q. t (Bu konu daha farklı br başlık altında ncelenr.) Eğlme momentnden dolaı e normal gerlmeler oluşur: macımı krşte ortaa çıkan şddetçe makmum normal gerlme heaplamaktır. Burada en öneml nokta eğlme momentnn ketten kete farklılık götermedr. En krtk ket (gerlme şddetnn en fala olduğu ket), momentn şddetnn en fala olduğu kettr. 18

19 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme İç kuvvet ve momentn Potf Yönler: Sol kımın denge ncelenrken Sağ kımın denge ncelerken : aat bre ter önde, V: aşağı doğru : aat bre önde, V: ukarı doğru Düşe üke maru krşlerde şlem ıraı 1) enet Tepkler belrlenr, 2) Keme Kuvvet Eğlme oment dagramları çlr. ) En krtk ket belrlenr. (Eğlme momentnn mutlak değerce en büük olduğu ket, en krtk kettr.) 4) Krtk kettek şddetçe makmum Gerlme heaplanır. Bu gerlme anı amanda krştek en büük gerlmedr. Buna göre mukavemet analler apılır. (emnet kontrolü, bout tan, maleme eçm vb.) Şmd örneklerle bu konuu daha anlamaa çalışacağı. 19

20 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Örnek Şekldek krşn keme kuvvet ve eğlme moment dagramlarını çn. b-) krşte ortaa çıkacak makmum normal gerlmenn ern ve değern bulunu F 0 0 F 0 B : RB 46kN RD 1. bölg e0 2.5 k1 20 kn V kN) ) V 1 20kN 1 14kN 0 çn V 2.5çn V kN, 20kN, 1 1 0, 50kN - kem (ağ kıım) - kem (ağ kıım) 2. bölg e F 0 0 k 2 20 kn 46kN V ( 2.5) 0 2 V2 26kN çn V 5.5çn V kN, 26kN, kNm, 28kNm. bölge F 0 0 k 14 kn V 0 14.(7.5 ) 0 V 14kN 14.(7.5 ) 5.5 çn - kem (ol kıım) V 26kN, 28kNm, 7.5çn V 0, 0 20

21 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Örnek 4.5- devam Şddetçe en büük moment B ketnde ortaa çıkmıştır. O halde krtk ket B ketdr. mn B 50kN m Bu kette makmum gerlme: ma 12 1 B ma N m a b ma 60Pa V e kama gerlmene ebep olur. ncak kama gerlme dağılımının ncelenme e farklı br konudur ve bu bölümde ncelenmeecektr. 21

22 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Yaılı ük, keme kuvvet ve moment araındak lşk Yaılı ük le keme kuvvet araındak lşk: F V V V ) 0 : V w 0 dv d V D V C C w 0 : w Keme kuvvet le eğlme moment araındak lşk: d d V w 2 V w ) V D V C D 1 2 D C ) 2 C w d - (CD araında aılı ük eğr altında kalan alan) D C (CD araında keme kuvvet eğr altında kalan alan) 22 V D C V d 0

23 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Örnek 4.6 Şekldek krşn; a-) keme kuvvet ve eğlme moment dagramlarını çn. b-) Krştek makmum ve mnmum normal gerlme bulunu. Çöüm: aılı ükün bleşke: 1 metree 2kN luk ük düşere, 4 metree 24 =8kN luk ük düşer. 2

24 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Çöüm 4.6-devam: 24

25 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Çöüm 4.6-devam: 25

26 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Çöüm 4.6-devam: 26

27 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Çöüm 4.6-devam: ğırlık merkenn er: σ ma = E Z b = ( 75) σ ma = σ b = 4,7Pa σ mn = E a = 5106 (200 75) Z σ mn = σ a = 7,84Pa UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 27

28 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Örnek (Soru) 4.7* Şekldek krşte ortaa çıkan makmum ve mnmum normal gerlmeler heaplaını. Cevap: 95.Pa, -89.6Pa Krş ket Örnek (Soru) 4.8* Şekldek krşte ortaa çıkan makmum ve mnmum normal gerlmeler heaplaını UKVEET - Der Notları - Prof.Dr. ehmet Zor 28

29 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Örnek Sorular: şağıdak krşlern keme kuvvet-eğlme moment dagramlarını çn. Soru 4.9 Soru 4.11 Soru 4.10 Cevap 4.9 Cevap 4.10 Cevap

30 4. Eğlme Düşe Yüklü Krşlern Eğlme Soru 4.12 Şekldek gb üklenmş krş, 150mm çapında ç dolu dareel kettr. alemeden kaanmak çn krş ketn br mktar boşaltmak ve ç boş dareel ketl (boru ketl) apmak toru. Emnet ınırları çernde kalmak kadıla krş ketnde makmum ne kadarlık çapta br delk açablrn? Krş malemenn baı ve çekdek akma mukavemet 00Pa, emnet kataıı n=2 Cevap: d 1 = mm lk br delk açablr. evcut ket İtenen ket 0