HAREKET VE DENGE. ise (P / K) göre hareketlidir. zaman aralığında. ise (P/ oxyz) göre. hareketlidir.

Transkript

1 İTÜ Makna akültes HREKET VE DENGE l l örünge Q Q K Q n Kat Csm l n l = l () t l l = l () t = l () t 3 3 n = l () n t l se ( / K) göre hareketldr z t t t zaman aralığında er vektörü r (x,,z) x = xt () = () t z = z() t se (/ oxz) göre hareketldr x örünge DENGE: Eğer x=x o =st = o =st se (/oxz) göre dengededr z=z o =st

2 İTÜ Makna akültes SERBEST MDDESEL NOKTNIN DENGESİ z r ( x,,z) 3 n R t= t 0 anında, n n = R = = =0 v =0 se noktası konumunda dengededr ve x İspat:, da dengede se v =0 dır r = r dr dr dr v= v = = = 0 r = r = st t=0 anında sağlanıor Her t anında dt dt dt t=t da sağlanır an v =0 olur 0 dv dv d r a= = = = 0 ma= = 0 ulunur Karşıt teoremde doğrudur dt dt dt v = 0, = 0 dengenn gerek ve eter şartıdır nı anda gerçeklenmel x z r r v = v st 0 r = 0 NOT: dr v = 0 dt dr = vo dt r = v dt + c= v t + c O O şeklnde r er vektörü ortaa çıkar Maddesel nokta v O ın doğrultusu ve önünde hareket eder

3 İTÜ Makna akültes NOT: v n = R doğrultusunda ve önünde hareket eder Denge Denklem: = 0 R = 0 se ve r engel ok se maddesel nokta z R R = 0 n = = 0 => n X = X = 0 = n Y = Y = 0 = n Z = Z = 0 = (x,,z ) u üç denklemden çözülür NOT: Tüm kuvvetler maddesel noktada kasştkler çn; denge denklemrnde moment denklemne gerek oktur (Vargnon teorem) R = = (6x+ 5+ 8z 7) + ( x+ 3z 5) j+ (4x + 0z 00) k X = = 6x+ 5+ 8z 7 X Y = = x+ 3z 5= 0 azılarak (x,,z) çözülür Y Z = = 4x + 0z 00 = 0 Z

4 İTÜ Makna akültes BĞLI MDDESEL NOKTNIN DENGESİ Tek taraflı ağ (temas) tel, tel terk edemez Bağ k taraflı tarafına geçemez Tanım: temeas ettğ csm hçr şaeklde terk edemorsa ağ k taraflıdır Tek tarafa doğru terk edelorsa ağ tek taraflıdır O O Bağ tek taraflı Bağ k taraflı p çuuk

5 İTÜ Makna akültes BĞ KUVVETLERİ = Bağ kuvvet ( Reakson), Statk ve dnamk prolemlernde lnmeendr - T = 0 Temas keslnce ağ kuvvet sıfır olur - Temas halnde ETKİ-TEKİ prens geçerl NOT: Bağ kuvvet terk edlelen tarafa doğru etkr =R = R, = 0

6 İTÜ Makna akültes NOT: Bağ kuvvet olmaan ve verlen her türden kuvvete KTİ kuvvet denr ktf kuvvet a le göstereceğz z = +, Denge konumunda: a O a () Xa + X = 0 Ya + Y = 0 Bağlı noktanın denge denklemler Z + Z = 0 a x x SÜRTÜNMESİZ O z O = S Bağ Kuvvet teğete dktr µ o teget Clal düzgün üze SÜRTÜNMELİ z µ x Bağ kuvvet le teğet arasındak açı α 90 dr = + N α N teget (B) µ =0 Ru = 0 : sürtünme kuvvet N: Normal tepk NOT: X, Y, Z ve S lnmeenlerdr Bunları () ve (B) denklemler le çözerz = Bleşke Kuvvet a a = + = + + N

7 İTÜ Makna akültes Sürtünme Kanunları ) v 0 çn a) le v ters önlü ve paralel ( // v) v= 0 ve v< 0 ) = ; N =N se = µ N dr d µ d = Dnamk sürtünme katsaısıdır 0< µ d < dr Hareket halnde (Knematk ve dnamk prolemlernde) µ d kullanılır ) v=0 çn ; a) teğet doğrultusuna paralel ancak önü elrszdr ve sezgsel olarak serest csm dagramında gösterlr, hesaplarla doğruluğu kontrol edlr ) 0 ) < µ sn se maddesel nokta dengededr µ s, statk sürtünme katsaısıdır 0< µ s < ve µ s > µ d dr 0 ) = mak = µ sn se maddesel nokta dengededr fakat hareket etmek üzeredr 3 0 ) > mak = µ sn durumunda denge oktur hareket vardır ÖZET: Sürtünmesz hal = Bleşke = 0 a + = 0 Xa + X = 0 Ya + Y = 0 Z + Z = 0 a teget a Den Kon = mg a µ = mg µ Den Kon degl Den Kon µ teget Teğet doğrusunun rm vektörü µ ( α, βγ, ) se µ = 0 α X+ βy+ γzol mak üzere dört denklem var X, Y, Z ve O =S lnmeenler çn denklemler çözülür

8 İTÜ Makna akültes N Yüze: üzenher noktasında üze normalne (n) paralel se(verlen noktadak teğet düzleme dk se); le S üze sürtünmeszdr denr n S Blnenler: Xa + X = 0 Ya + Y = 0 Z + Z = 0 a // n n= 0 X Y Z vea = = n n n x z k skaler denklem verr İstenenler: X Y Z ve nn x,,z konumu NOT: xz (,, ) = 0 vea z= f( x, ) üze denklemnn normal: f f f N= + j+ k şeklndedr x z X Y Z X Y Z // n// N = = = = = f f f nx n nz x z

9 İTÜ Makna akültes BÖLÜM III DENGE ( EQUILIBRIUM ) Br kuvvet sstemnde, R = Σ = 0 M = ΣM = 0 se, u kuvvet sstem dengededr denr Br csme etk eden dış kuvvetler ve csmn dğer csmlerden zole edlmes sonucunda ulunan ağ kuvvetlernn tamamını gösteren dagrama Serest Csm Dagramı (ree Bod Dagram) denr Denge denklemler serest csm dagramına ugulanır şağıdak şekllerde, csmlere ugulanan değşk kuvvet şekller görülmektedr Halat,zncr,kaış kısa kalo ğırlık hmal ğırlık var Sürtünmesz Yüzeler Sürtünmel Yüzeler Kaıcı Mesnet Clalı Çuuk, Clalı Yarık

10 İTÜ Makna akültes KTI CİSMİN DENGESİ (Maddesel Sstemlern Statğ) z n Maddesel Sstem + Kuvvetler: I: a)ktf Kuvvetler ) Bağ Kuvvetler II: a)iç Kuvvetler )Dış Kuvvetler İç Kuvvetler: İkşer kşer etk prensne göre oluşurlar Tek r maddesel noktanın ç kuvvet oktur Teorem: İç kuvvetler sıfıra denk r kuvvet sstem oluştururlar n ç ç R = = 0, M = O = 0 ( S) ç O = = R= 0 M = 0 O ( S) n se ( 0) Yan kuvvet sstemnn maddesel ssteme öteleme vea dönme g herhang r hareket aptırma eteneğ oktur Dış Kuvvetler: j j S ç ç S = Uzaktan uzağa etken dış kuvvetler j dış dış

11 İTÜ Makna akültes DÜZLEMSEL KUVVETLER MSL x GÖMME VEY SBİT MESNET NKSTRE (GÖMME) SBİT (KYNKLI) YERÇEKİMİ YY ETKİSİ Serest Csm Dagramının Çzlmes I dım : Öncelkle hang csmn zole edleceğ, unun getreceğ lnmeen kuvvetler de dkkate alarak kararlaştırılır II dım : İzole edlmes kararlaştırılan csm, dış çevresn alarak zole edlr Bu dış çevre, csmn dğer ütün csmlerle temasını kaldıracak şeklde seçlr

12 İTÜ Makna akültes O θ a mg G a ϕ mg G B O : Bağ kuvvet ve dış kuvvet ve - Bağ kuvvet ve ç kuvvet m g : ktf dış kuvvet m g : ktf dış kuvvet a mg (Bağ kuvvet, dış kuv) G a (Bağ kuvvet, dış kuv) m g (ktf, dış kuvvet) G (Bağ kuvvet, dış kuv) m g (ktf, dış kuvvet) mg B ve ergel çn ç aktf kuvvettr Evrensel çekm kanununa göre : mm = = = k dr r Dğer aktf kuvvetlern anında çok küçüktür, hmal edlr Maddesel sstemn dengede olması çn gerek şart; ssteme etken tüm dış kuvvetlern sıfıra denk r kuvvet sstem oluşturmasıdır

13 İTÜ Makna akültes θ Bağlantı Tp θ Haff Kalo θ ğırlıksız Kol (Bağlantı) Kaıcı Mafsal (Roller) KTI CİSİM BĞLNTILRI (İKİ BOYUTLU KUVVET SİSTEMLERİ) Reakson Blnmeen Saısı θ θ θ θ Kaıcı Mafsal vea Sürtünmez n θ θ θ Kaıcı Mafsal (Rocker) θ θ Sürtünmesz üze θ θ Clalı çuuk Clalı arık Mafsal (n) ürüzlü üze x vea x ve

14 İTÜ Makna akültes III dım : İzole edlmş csmn dğer csmlerden arılan konumlarına, ağ şeklne ugun olarak gerekl ütün ağ kuvvetler lave edlr Csme etk eden ve lnen ütün dış kuvvet ve momentler şaretlenr IV dım : Ugun eksen takımı seçlr Br csmn dengesn nceleelmek çn serest csm dagramının doğru çzlmes en öneml adımdır şağıdak şekllerde azı örnek serest csm dagramları görülmektedr ÖRNEK SERBEST CİSİM DİYGRMLRI KİRİŞ İÇ BĞLNTILI CİSİMLERİN SİSTEMİ MEKNİZM

15 İTÜ Makna akültes x z O r ç S dış S 0 S maddesel sstem S 0 konumunda hızsız se S, sstemne etken toplam kuvvetn sıfıra denk r sstem oluşturduğunu görelm: 0 dr dr r = 0 = s 0 = = r V = 0 dt dt Bu sonuç stemn tüm noktaları çn geçerldr 0 dv d r dv a = = a = = 0 dt dt dt ma = = = + = 0 olur ç dış ç n ç = = 0 olduğundan = n dış = = 0 elde edlr = n ç = = 0olduğundan = n ç dış dış = = 0 elde edlr Bu rtek noktası çn geçerl olduğu gsstemn dış = tüm noktaları çn degeçerldr dış Denk = (0) dış R = = 0 M = O = 0 0 n = n = dış Denklemler Maddesel Sstemn denge denklemlerdr NOT: Maddesel sstem r katı csm se denklemler Katı csmn dengede olmasının gerek ve eter şartıdır NOT: Maddesel csm Katı csm değlse gerektr fakat etmez O M 0 = 0 ; R = 0 olur - Lastk akat Lastk dengede değldr

16 İTÜ Makna akültes Örnek serest csm dagramları EKSİK KUVVETLERİ TMMLYINIZ KRNK KONTROL KOLU

17 İTÜ Makna akültes Krank T x mg Kontrol Kolu x M 3 Kaldırma Çuuğu T mg O x O 4 Homojen Sandık x 5 Yüklü Konsol x =B x x B L B

18 İTÜ Makna akültes Örnek serest csm dagramları HTLI VEY EKSİK ÇİZİMLER KLDIRÇ

19 İTÜ Makna akültes Çm çme N θ mg Manvela (Kaldırma) Kolu R N 3 Düzgün Çuuk R x T mg R B 4 Dk Destek Konsolu B x x 5 Bükülme Çuuğu M x M

20 İTÜ Makna akültes Örnek serest csm dagramları SERBEST CİSİM DİYGRMLRINI TM VE DOĞRU ÇİZİNİZ

21 İTÜ Makna akültes Düzgün Çuuk Köşee Daanan Tekerlek T mg B N mg N N teğet 3- Yüklü kafes T 4- Düzgün Çuuk L x x mg N m 0 g M N 5- Düzgün Dsk T 6- L Yükü le esnek çuuk mg N x B B x L B 7- Düzgün Levha T 8- Tüm Çerçeve B x B x M x T mg L

22 İTÜ Makna akültes Denge Şartları : (Düzlemsel kuvvet Sstem) Σ x = 0 Σ = 0 Σ M O = 0 Değşk Düzlemsel Kuvvet Sstemlernde Denge Şartları - nı Doğrultudak Kuvvetlern Denges - nı noktada Kesşen Kuvvet Sstemnn Denges 3- aralel Kuvvet Sstemnn Denges 4- Genel Halde Düzlemsel Kuvvet Sstemnn Denges

23 İTÜ Makna akültes İk Kuvvetl Elemanların Denges Üç Kuvvetl Elemanların Denges lternatf Denge Denklemler Kuvvet Üçgen Σ x = 0 Σ = 0 Σ M O = 0 (GENEL) Σ x = 0 Σ M = 0 Σ M B = 0 ( ve B x e dk olmaan r doğru üzernde olmalı) Σ M = 0 Σ M B = 0 Σ M C = 0 (, B ve C noktaları anı doğrultuda olmamak şartı le)

24 İTÜ Makna akültes Σ M = 0ve Σ = R 0 se R, 'dan geçer veb x'e dk doğru üzernde değl Statkçe Belrllk (İzo Statk Sstemler: (Tüm lnmeenler hesaplanalr) Statkçe Belrszlk (Hperstatk Sstemler) : (Blnmeen saısı denklemden fazla) DÜZLEMSEL HL : Bağları ugun ( çn) OLRK ÇÖZÜLEBİLİR EKSİK BĞLI, üklendğ zaman düşe hareket eder ( etrafında döner) EKSİK (BĞLRI UYGUN DEĞİL) BĞLI Yüklendğ zaman düşe hareket eder GEREKSİZ BĞLI (4)

25 İTÜ Makna akültes UZYSL KUVVET SİSTEMLERİNİN DENGESİ Değşk Uzasal Kuvvet Sstemlernn Denges - Br Noktada Kesşen Kuvvet Sstemnn Denges - Br Eksen Kesen Kuvvet Sstemnn Denges - aralel Kuvvet Sstemnn Denges - Genel Halde Kuvvet Sstemnn Denges

26 İTÜ Makna akültes Değşk Bağ Şekllernde Csmn İzole Edlmes Ra üzernde tekerlek Küresel Mafsal Küresel Mafsal Gömme vea Kanak Saplama atak

27 İTÜ Makna akültes Statkçe Belrllk (İzo Statk Sstemler) Statkçe Belrszlk (Hperstatk Sstemler),, 3 dak ağlarla satlenr 4 Bağı etrafında dönme önler 5 Bağı etrafındak dönme önler 6 Bağı csmn 3 etrafında dönmesn önler Tam satleme ağlar eterl Eksk ağlı E etrafında dönelr Eksk Bağlı doğrultusunda harekete daanıklı değl 7 c ağ gereksz Statk olarak çözülemez

28 İTÜ Makna akültes Örnek rolem 3- : Şekldek makara sstemnde C makarasına etken toplam kuvvet ulunuz Makaraların ağırlıkları hmal edlor Sürtünme ok C T 3 r O T 30 x T 3 T 4 O r B T x C r r B T θ=30 Makarası : T T O r 500(9,8)N r 500kg Σ M = 0 ( Tr+ T r) = 0 T = T 0 Σ = 0 T + T 500(9,8) = 0 T = 500(9,8) N T = T = 450 N B Makarası: 3 4 Σ M = 0 ( Tr+ T r) = 0 T = T O Σ = 0 T + T T = 0 T = T = 450 N T 450 = T = = 5 N C Makarası: O Σ M = 0 T = T = 5 N Σ = 0 T cos 30 = 0 = 5cos 30 = 06 N x x x Σ = 0 Tsn30+ T = 0 = Tsn30+ T 3 3 = 5(05) + 5 = 63 N Σ = Σ +Σ = = 6 N x

29 İTÜ Makna akültes Örnek rolem 3-: 00 kg lık düzgün krş ve B uçlarında kaıcı mafsalla mesnetlenmştr Şekldek p le B ucunu etrafında 3 m ukarı kaldırmak storuz kuvvetn, dak ağ kuvvetn (reaksonu) ve θ açısını hesaplaınız 6 m m B 4m R G C m B m θ 00(9,8) x Σ M = 0 (6cos θ) 00(9,8)(4 cos θ) = 0 = 654 N 98(4) = 4 Σ = R = 0 R = 37 N 3 3 snθ = θ = arcsn = 8 8

30 İTÜ Makna akültes Örnek rolem 3-3 : Şekldek vnç kolunun mafsalındak kuvvet ve kalodak T gerlmesn ulunuz Çuuk 0,5 m genşlğnde standart r krş olup kütles 95 kg W = 95(9,8)(0-3 ) = 4,66 kn 0,5 m 0, m 5 o o,5 m 5 m 0 kn B x W T 5 0 kn x Σ M = 0 Tcos 5(0, 5) + Tsn 5(5 0,) 0(5,5 0,) 4, 66(5 0,) T = 9,6 Σ = 0 9, 6cos 5 = 0 = 7, 77 kn x x x Σ = 0 9, 6sn 5 4, 66 0 = 0 = 6,37 kn = + = (7, 77) + (6,37) x = 8,88 kn tan θ = θ =? x