VII ) E-M DALGALAR VE ÖZELLİKLERİ

Transkript

1 8 VII ) E-M DALGALAR VE ÖZELLİKLERİ A. HELMHOLTZ ÇÖZÜMLERİ B. E-M DALGALAR C. E-M ENERJİ VE MOMENTUM D. RADYASYON BİÇİMLERİ E. RADYASYON YÖNLERİ

2 83 A) HELMHOLTZ ÇÖZÜMLERİ Uzayın 0, J 0 sağlayan, kaynak teisiz bölgeleinde Maxwell denklelei : E 0 E B t 1 E B 0 B t W W W özdeşliği yadıı ile E-M alanla için E 0 ;, B 0 dalga denkleleine dönüşü. 0 dalga denkleinin katezyen çözülei 'Değişkenlein Ayıştıılası' etdu ile t ik t, : exp laak bulunu. Sabitle aasındaki k k k k k k ilişkisi k k k k eşitlikleini vei. Katezyen dışı kdinat sisteleinde çalışabilek için t ik t çözüü, : exp 0 dalga denkleine yeleştiileek k Helhltz denkleine eişili. Bu denklein k k ket denkleinin 0 ba'sı ile çapıı snuu elde edildiği açıktı. k kk luşundan k, dlayısıyla katezyen kdinatlada k exp ik çözüü elde edili. Yaygın kullanıı lan önek çözüle : Silindi : k k ; : Tasayı lak üzee 1 J s s,, z : exp i exp ik3z N s

3 84 Küesel : : Pzitif Tasayı ; : Tasayı, lak üzee ˆ j k, : Y n k ˆ Küesel dalgalaın kaynaktan çk uzaktaki davanışını ineleek üzee 0 için dalga denkleinin 1 d d d d k ve çözüünün exp ik B luşundan yla çıkılı. Bi fnksiynun difeansiyel özellikleini anlaanın en kestie ylunun tüev ala lduğu düşünüleek expik ik 1 exp ik bulunu. Kaynaktan çk uzakta, k 1 sağlayan bölgede bu denkle expik ik 1 exp exp ik ik ik şeklini alı. Buadan üstel fnksiynda ye alan 'nin değişken, anak paydadaki 'nin ise bi sabit gibi davandığı göülü! A expik uzakta B exp ik küesel dalga çözüünün katezyen düzle dalga çözüü ile kaşılaştıılası, küesel dalgalaın, kaynaktan B dalgala gibi davandığını göstei. gibi yavaş değişen bi genliğe sahip ve kˆ ˆ sağlayan düzle B. E-M DALGALAR E E exp i k kt, B B exp i k kt çözüleinin kaynaksız Maxwell denkleleine yeleştiilelei snuu öneli fiziksel bulgula elde edili :

4 85 E 0 k E 0 B 0 k B 0 B E k E k B t Bu denkleleden E, B, k vektöleinin bibileine dik lduklaı ve E B lduğu göülü. E B eşitliğinin F qe v B Lentz kuvvet denklei çeçevesinde inelenesi, addenin dış elektnlaı için geçeli lan F F B E v 1 % ilintisine, dlayısıyla adyasynun adde ile ilişkisinde elektik alanın, agnetik alandan çk daha etkin lduğuna işaet ede. Bundan dlayı E daha önelidi ve Ê : Plaizasyn yönü laak adlandıılı. E 0 E B t 1 E B 0 B t kaynaksız Maxwell denkleleini aynı bıakan E E s B sin B E sin B s, esela E B ; B E dönüşülei 'Plaizasyn Dönesi' laak adlandıılı. C. E-M ENERJİ VE MOMENTUM E E E B E B E t t t B B 1 B E B E B t t t

5 86 denkleleinin fakı alınaak ve E B B E E B özdeşliği kullanılaak elde edilen 1 t E B E B 1 u E B t 0 ilişkisi tanılaı ile S 0 J 0 u t S E B, biçiinde yazılı. denklei ile 'Yük Kunuu' ilişkisi hatılanaak bi kunu yasası elde edildiği açıktı. 1 S u S yasasında ye alan, *, 0 t S 4-vektöü için SS u S u S lduğu açıktı. Böylee S u 1, k ˆ 1 ˆ ile nun tüevlei S u 1, k 1 u ve S 1, k ˆ kunu, *, 0 için fiziksel yu byut analizi yluyla yapılı ve u : Şiddet = Güç / Alan, u : Eneji Yğunluğu = Basınç, u : Mentu Yğunluğu S Yğunluğu'nun E B laak belileni. Bi yan üün de Açısal Mentu biçiinde tanılanasıdı. E-M dalgalaın eneji yğunluğu analizi tpla enejiye elektik ve agnetik alan katkılaının eşit lduğunu göstei. Gazlaın kinetik teisinden bilinen ilişkisi E-M adyasyn için S Basınç ( Yutula ) ; () S B () () E Basınç = Hız * Mentu Yğunluğu S Basınç lu. Basınç ( Yansıa ) ile veili ve

6 87 Elektik alanının eneji yğunluğunu değişik bi yldan elde etek için haeketsiz nktasal yüklein elektstatik etkileşeleinin tpla ptansiyel enejisi U E 1 q q q q i j i j ifadesinden yla çıkılı. i, j i j i, j i j i j i j 1 1 UE qi V i d V i 3 aa snuunda 3 UE d E V W W W veya E V V E E V özdeşliğini kullanaak UE d V E d E 3 3 S 3 V E ds d E bulunu. Söz knusu S yüzeyi ile S sınılandıılış haının tü eveni kapsaası duuunda yüzey integalinden katkı geleyeeği için U d E u E E 3 E snuuna ulaşılı. Eneji yğunluğuna agnetik alan katkısını benze ylla elde etek biaz daha zahetli bi işledi. Elektstatik için geçeli V J A agnetstatik için J A laaktı. ifadesi D. RADYASYON BİÇİMLERİ k E 0 ve k B 0 Helhltz denkleleini sağlayan iki tane vektö alanı çözüünde başlangıç nktası, çözüü bilinen k 0 skala alan için Helhltz denlei

7 88 laaktı. Daha syut düzeyde k E k E ve k B k B pbleleinin çözüünde başlangıç nktası k k ket denkleidi. Skala alandan vektö alanı yaatanın ylu peatöü bulaktı. k k k k k, 0 sağlayan bi k işleleinden, eğe skala bi Helhltz çözüü ise 'in bi vektö Helhltz çözüü lduğu göülektedi. çözüünden tüetileek E ve B çözüleinin k vektöüne ve bibileine dik lalaı geekektedi. Bu şatla i) k ile kütatöü sıfı lan, ii) k ile skala çapılaı sıfı lan, iii) Bibileiyle skala çapıı sıfı lan iki tane vektö peatö bulaya eşdeğedi. Bu vektö peatöleden biinin SO(3) gubunun ( byutsuz ) jeneatölei lan 1 L laak seçilebileeği klaya göülü. L, k 0 kullanılaak elde edilen k k L k k L k L ifadesinden L 'nin bi çözü lduğu açıktı. İkini vektö peatöü için : k ve ilk çözü L ile skala çapıın sıfı la geeğinden ilha alaak k L laak seçili. Bu peatö, tanı geeği he k, he de L 'ye dikti ve k, k L 0 şatını sağla. Bu nktada eldeki iki tip çözü : E B L ve B L ve E k L : TE ( Tansves Elektik ) k L : TM ( Tansves Magnetik )

8 89 laak adlandıılı. İki tip çözü de zaten tanı geeği k 'ya dik lduğu için Tansves, yani dik la kavaı k ile ilgili değildi; bu adlandıada dik lunan değişken laktadı. L 0, anak kl 0 luşu önelidi. E. RADYASYON YÖNLERİ E-M adyasynun şiddeti I, E B lduğu için istenise E 'ye, istenise de B 'ye antılı laak ifade edilebili. Klaylık açısından TE duuunda E, TM duuunda ise B kullanılı ve I L hesaplanı. k ve k ˆ lduğu için I j k ˆ L ile veili. ejiinde j k 1 beklendiği gibi, davanışı göstediği için adyasyn kaynağından uzaklaştıkça şiddetin, 1 laak azaldığı göülektedi. Radyasynun yön dağılıı ise ˆ I ˆ L ile veili. L vektöünü ê + e ˆ i eˆ 1 ; ê e ˆ i eˆ e ˆ + e ˆ + e ˆ e ˆ e ˆ e ˆ 1 lak üzee L L L L L L L laak yazına L 1 1 L 1 1 bağıntılaı yadıı ile

9 90 1 I w Y 1 w, + 1 1,, Y w Y w laak bulunu. Bu füle yönlei Mnpl : I 0 00 Y fnksiynlaı yeleştiileek 'Çk Kutup' adyasyn Dipl : Kuadupl : I w ; I w w ; 4 I I w I I 1 3 w 4w I I w 1 4 bağıntılaı ile veili. ˆ I I w I fnksiynlaını göz önünde anlandıak için küesel pla kdinatın 0 kesiti, yani x > 0 lak üzee x-z düzlei alını ve : z-ekseninden sapa açısı, öneklei aşağıda sunulaktadı : I lak üzee çizili. 1,

10 3-Byuttaki dağılı bu eğilein z-ekseni etafında döndüülüş biçii laaktı. 91

11 9 PROBLEMLER P.1 ) İç yaıçapı a, dış yaıçapı b lan H uzunluğunda iki eş eksenli iletken silindie Q ve Q hesaplayın. yükleniy. a, b H ejiinde tpla alan enejisini P. ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yaıçaplı bi küesel kabuğun tpla alan enejisini hesaplayın. P.3 ) Q yükünün düzgün dağıldığı R yaıçaplı bi küenin tpla alan enejisini hesaplayın. P.4 ) Q yükünün düzgün dağıldığı, iç yaıçapı a, dış yaıçapı b lan kalın bi küesel kabuğun tpla alan enejisinin a lak üzee b U 3 Q b 1 Küesel kabuk liitleini kntl edin. P.5 ) Q yükünün ile veildiğini göstein. Küe ve N A ; N 0 biçiinde dağıldığı R yaıçaplı bi küenin tpla alan enejisini sadee Q, R, N hesaplayın. P.6 ) 0, 0, 0 nktasında Q 1, 0, 0, D nktasında ise Q yükü bulunuy. Alan enejisi integalini yazın, snsuzluk veen özeneji teileini atın, gei kalan teii hesaplayın ve snuu yulayın. P.7 ) U 1 d J A ifadesinin agnetik biçii 3 E UB 1 3 d J A integalini kullanaak u B 1 B ilişkisini elde edin.

12 93 P.8 ) E-M adyasyn için 'Enejinin Eşit Dağılıı' ilkesini ispat edin. P.9 ) Bi E-M dalganın elektik alanı : 1 ˆ 4 ˆ exp E e1 e E0z i t x y z a) E? 0 z, b)?, ) B? ile veiliy. P.10 ) 100 W tüketen bi apulden ete uzaklıktaki elektik alanı nedi? Hangi uzaklıkta E ax = 15 V / lu? P.11 ) Ta yansıtıı aluinyu flydan yapılan bi güneş yelkenine adyasyn basınının uyguladığı ite kuvveti, kütle çekiine denk lası için yelkenin alan yğunluğu ne lalıdı? MKS biileinde : Güneş kütlesi = 10 30, Güneş güü = G = , = P.1 ) Güneş adyasynunun dünyaya uyguladığı tpla kuvveti hesaplayın. Bu kuvvet dünya yöünge yaıçapını ne kada attıı? Dünya Güneş uzaklığı = 8 ışık dakikası, Dünya yaıçapı = 6400 k P.13 ) I w ~ P w 1 P w P w 1 1 lduğunu göstein. 0, 1, içi I ifadeleini hesaplayıp, gafikleini çizin. İpuu : 1! Y ˆ 1 P w exp i 4!