Kümelerin elemanları virgülle ayrılarak {} içerisinde gösterilir.

Transkript

1 KÜME KAVRAMI Nesnelerin iyi tnımlnmış bir listesidir. Kümeyi oluşturn nesnelere kümenin elemnlrı denir. Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük hrflerle gösterilir. Bir elemnı bir A kümesine it ise A ile, A kümesine it değilse A ile gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Liste Yöntemi Kümelerin elemnlrı virgülle yrılrk {} içerisinde gösterilir. Venn Şemsı Kümeyi oluşturn elemnlrın önlerine nokt getirerek bir eğri içerisinde gösterilmesidir. Ortk Özellik Yöntemi Kümeyi oluşturn elemnlrın ortk özelliklerini belirterek göstermektir. KÜME ÇEŞİTLERİ Sonlu ve Sonsuz Kümeler : Elemnlrı syılbilir çoklukt oln kümelere sonlu küme, elemnı syılmz çoklukt oln kümlere sonsuz küme denir. Boş Küme : Elemnı olmyn kümeye boş küme denir. Boş küme vey { } sembollerinden biri ile gösterilir. A {} vey A {{ }} kümeleri boş küme değildir.

2 Eşit Kümeler : Aynı elemnlrdn oluşn kümelere denir. Evrensel Küme ve Tümleme : Üzerinde işle ypıln en geniş kümeye evrensel küme denir. Genellikle E hrfi ile gösterilir. Evrensek küme içindeki bir A kümenin dışındki tüm elemnlr d tümleyen küme denir. Özellikleri : (A) = A E = {} {} = E s(a) + s(a) = s(e) A B B A Alt Küme : Bir A kümesinin her elemnı B kümesinin de elemnı ise A kümesi B kümesinin lt kümesidir. (A B) şeklinde gösterilir. Öte yndn, bir kümenin kendisi hriç tüm lt kümelerine ise özlt küme denir. Özellikleri; Her küme kendisinin lt kümesidir. Boş küme her kümenin lt kümesidir. n elemnlı bir kümenin lt küme syısı: n n elemnlı bir kümenin r elemnlı lt küme n n! syısı: r (n r)!.r! n n r n r n elemnlı bir kümenin özlt küme syısı; n 1dir.

3 KÜMELERİN KESİŞİMİ VE BİRLEŞİMİ İki ve y dh fzl kümenin tüm elemnlrındn oluşn kümeye birleşim kümesi denir. A ve B kümelerinin birleşim kümesi AB ile gösterilir. İki ve y dh fzl kümenin sdece ortk elemnlrındn oluşn kümeye kesişim kümesi denir. A ve B kümelerinin kesişimi kümesi AB ile gösterilir. A, B ve C kümeleri için; AB BA (değişme özelliği) sğlnır. AB BA (değişme özelliği) sğlnır. A(BC) (AB) C (birleşme özelliği) sğlnır. A (BC) (AB)C (birleşme özelliği) sğlnır. A A = {} (A B) A B AUA = E (AUB) = A B s(aub) = s(a) + s(b) s(a B) KÜMELERDE FARK İŞLEMİ A kümesinde olup B kümesinde olmyn elemnlrın kümesine A ile B nin frkı denir ve A \ B ile gösterilir. Özellikleri : A B = AB S(AB) = s(a B) + s(b A) + s(ab) (A B)(B A) = AB (Simetrik Frk) A B = B A

4 KÜMELERDE PROBLEMLER Problem sorusu çözerken ypılmsı gerekli en önemli iş verilenleri venn şemsınd göstermektir. SIRALI İKİLİ ve b elemnlrının belirttiği (, b) şeklindeki ifdeye sırlı ikiliye sırlı ikili denir. (, b) şeklindeki ifdeye sırlı ikili; birinci bileşen, b ikinci bileşendir. İkilide sır önemli olduğu için b ise, (,b) (b,) dır. (,b) = (c,d) = c ve b = d dir. KARTEZYEN ÇARPIM {(,y)єa ve yєb} şeklinde oluşturuln küme AXB nin liste yöntemi ile yzılmsıdır. Burd (, b) (b, ) olduğu için AXB BXA dir. s(axb) = s(a).s(b) ve s(bxa) = s(b).s(a) Krtezyen Çrpımın Özellikleri: AX(BXC) = (AXB)XC AX(BUC) = (AXB)U(AXC) AX = AXA = A, AXAXA = A 3

5 A. TEMEL KAVRAMLAR Doğl Syılr {0, 1,, 3, } kümesinin her bir elemnın doğl syı denir ve N hrfi ile gösterilir. {1,, 3, } kümesinin her bir elemnın doğl syı denir ve N + hrfi ile gösterilir. {0,1,,..,9} kümesinin elemnlrın rkm denir. Rkmlrın bir çokluk belirtecek şekilde bir ry gelmesiyle oluşn ifdelere syı denir. Tm Syılr {, 3,, 1, 0, 1,, 3, } kümesinin elemnlrın tm syı denir ve Z hrfi ile gösterilir. {, 3,, 1} kümesinin elemnlrın negtif tm syı denir ve Z ile gösterilir. {1,, 3, } kümesinin elemnlrın pozitif tm syı denir ve Z ile gösterilir. Tek ve Çift Syılr {, 3, 1, 1, } kümesinin elemnlrın tek syı denir. {,, 0,, } kümesinin elemnlrın çift syı denir. Üssün teklik y d çiftliğe etkisi yoktur.

6 Ardışık Syılr : Belli bir kurl göre rd rd gelen syılr denir. Kurl : (Ardışık Syılrın Toplmı) n(n 1)» n =» (n - 1) = n» n = n(n + 1) Kurl : (Ardışık Syılrın Toplmı) r : ilk terim n : son terim : rtış miktrı olmk üzere; Terimler Toplmı : r + (r + ) + (r + ) + + n ise; ( n r)(n r ) T =. n r Terim Syısı : 1 Asl Syılr : 1 ve kendisinden bşk böleni olmyn 1 den büyük doğl syılr sl syılr denir., 3, 5, 7, 11, 13, Arlrınd Asllık : 1 den bşk pozitif ortk böleni olmyn doğl syılr rlrınd sl syılr denir. 7 ile 13 rlrınd sldır. 4 ile 1 rlrınd sl değildir.

7 B. RASYONEL SAYILAR, b ЄR ve b 0 olmk üzere, /b şeklindeki ifdelere rsyonel syı (kesir) denir ,, 3,, 8, Bsit Kesir : İşretine bkılmksızın pyı pydsındn küçük oln kesirlere bsit kesir denir. 3 5,, 0, Bileşik Kesir : İşretine bkılmksızın pyı pydsındn büyük y d eşit oln kesirlere bileşik kesir denir. 4 8,, 43, Devirli Ondlıklı Syı : Açılımınd devreden kısmı 0 olmyn rsyonel syıy ondlıklı syı denir. bcde bc Bir devirli ondlıklı syı,bcde işlemi ile 9900 rsyonel syıy dönüştürülür. Ondlıklı Syılr : Açılımınd devreden kısmı 0 oln rsyonel syıy ondlıklı syı denir. 3, 5 4, 5

8 Rsyonel Syılrd Sırlm : Pyı ile pydsının frkı eşit oln bsit kesirlerde, py ve pyd büyüdükçe kesrin değeri büyür. Pyı ile pydsının frkı eşit oln bileşik kesirlerde, py ve pyd küçüldükçe kesrin değeri büyür. Py ile pyd rsınd hiçbir lk yoks, py vey pyd eşitlenerek sırlm ypılır. Pozitif kesirlerde sırlm yukrıdki örneklerde olduğu gibi ypılır. Negtif kesirlerde ise; Kesirler pozitifmiş gibi düşünülüp sırlm ypılır sonucun tm tersi lınır. İRRASYONEL SAYILAR Virgülden sonrsı belirli bir kurl göre devm etmeyen syılr irrsyonel syılr denir. Q l ile gösterilir. Örneğin; 3, GERÇEK SAYILAR Rsyonel syılrl irrsyonel syılrın birleşimi oln kümeye denir. R ile gösterilir. C. BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER Bir Bilinmeyenli Denklemler : ve b reel syı ve 0 olmk üzere b = 0 şeklindeki eşitliklere denir.

9 + b 0 şeklindeki denklemde 0 ise Ç.K = 0 ve b 0 b ā Ç.K (Yni çözüm kümesi boş kümedir.) = 0 ve b = 0 Ç.K = R dir. (Yni çözüm kümesi sonsuz elemnlıdır.) ki Bilinmeyenli Denklemler :, b, cєr ve 0 ve b 0 olmk üzere + by + c = 0 şeklindeki denklemlere denir. by c = 0 denklemini (,y)r için sğlnıyors = b = c = 0 dır. by c 0 denklem sisteminde; d ey f 0 b ise, çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşur. d e b c ise, çözüm kümesi boş kümedir. d e f b c ise, Ç.K. si sonsuz ikiliden oluşur. d e f BİRİNCİ DERECEDEN EŞİTSİZLİKLER ve y reel syılrı için y olmsı hlinde ifde eşitsizlik dını lır. Eşitsizliğin her iki trfın ynı syı eklenebilir y d her iki trfındn ynı syı çıkrılbilir. Eşitsizliğin her iki trfı pozitif bir reel syı ile çrpılbilir y d bölünebilir, eşitsizlik etkilenmez. Anck negtif bir reel syı ile çrpılır yd bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.

10 Aynı yönlü eşitsizlikler trf trf toplnbilir nck çıkrılmz., b, c, d pozitif reel syı iken b ve c y d eşitsizlikleri trf trf çrpılırs.c.y b. d olur. Anck, b, c, d reel syılrındn en z biri pozitif reel syı değil ise,.c,.d, b.c ve b.d çrpımının en küçüğü,.y çrpımının lbileceği değerlerin rlığının sol ucu, en büyüğü de sğ ucu olur. y b b eşitliğinde ; 1 < y b 1 > y b ile b ynı işretli iken < b 1 1 b 0 < < 1 n+1 < n E. MUTLAK DEĞER reel syı olmk üzere, syı doğrusu üzerinde in belirttiği noktnın bşlngıç noktsın oln uzklığın bu syının mutlk değeri denir. Mutlk Değerin Özellikleri : R için 0 y y

11 0 -,,, = = vey = ( > 0) II = IyI = y vey = y k. k (kr + ).y. y II = y IyI n n > 0, < < < > > vey < ( > 0) < < b < < b V < < b II < IyI şeklindeki sorulrd eşitsizliğin her iki trfının kresi lınıp, mutlk değer kldırılır. y, y, y şeklindeki sorulrın çözümü için mutlğın içini negtif ve pozitif ypn değerler düşünülüp, bun göre çözüm ypılır.

12 F. ÜSLÜ SAYILAR R ve nz olmk üzere, n tne in çrpımı in n. kuvveti (üssü) diye dlndırılır ve n şeklinde gösterilir. Üslü Syılrın Özellikleri... = n n tne... = n. n tne ( ) y =.y. y y.b (.b) n n b b n = n 1 y b y b y ise = y dir. ( 0, 1, -1) b ise b b tek syı çift syı 1 ise 1 0, 0-1ve çift syı

13 Üslü Syılrd Sırlm : Üslü ifdelerde sırlm ypılırken sırlm ypılck oln syılrın tbnlrı vey üsleri eşitlenir. G. KÖKLÜ SAYILAR y y Üssü rsyonel ( ) oln üslü ifdelere kökü ifdeler denir. n ifdesi 0 y d n tek ise gerçel syıdır , 7, - 3 syılrı reel syıdır , -, - 4 syılrı reel syı değildir. Köklü Syılrın Özellikleri : tek syı ise;, Ör: 3 ( ) 3 çift syı ise;, Ör: 4 ( ) 4 ( ) =, Ör: 4 ( 3) 3 4 Köklü syılrd toplm y d çıkrm ypbilmek için hem kök derecelerinin ve hem de kök içerisindeki syılrın eşit olmsı gerekir. Köklü syılrd çrpm y d bölme ypbilmek için kök derecelerinin eşit olmsı gerekir. ( b b ) b b b c ( b b c c ) ( b c )

14 y z yz y z yz yz z b c.b. c : : : y b b.b Köklü Syılrd Sırlm : Köklü syılrd sırlm ypbilmek için kök derecelerinin eşit olmsı gerekir. Kök derecelerinde eşitlik vrs, y d eşitlik sğlndıktn sonr kök içerisindeki syılrın büyüklüğüne göre sırlm ypılır. H. ORAN ORANTI En z biri sıfırdn frklı, ynı birimden iki çokluğun krşılştırılmsın orn denir. Ornlrın eşitliğine de orntı denir. Orn Orntı Özellikleri : b c d k. y.c k.b y.d

15 b c.c k k d b.d Orntı Çeşitleri : Doğru Orntı : ile y doğru orntılı ise orntı sbiti) k (k: y Ters Orntı : ile y ters orntılı ise.y = k (k: orntı sbiti) Bileşik Orntı :, y ile doğru z ile ters orntılı ise.z k (k: orntı sbiti) y Ortlmlr : Aritmetik Ortlm : 1,, 3, nєr ise bu n tne syının ritmetik ortlmsı; Not! Ortlmsı oln syılrın; 1... n n Her birine eklenirse, ortlm +, Her birinden çıkrılırs, ortlm olur. dir. Geometrik Ortlm (Ort Orntı) : 1,, 3, nєr olmk üzere bu n tne syının geometrik ortlmsı; G.O n dir n

16 DENKLEM KURAMA PROBLEMLERİ SAYI ve KESİR PROBLEMLERİ Bir problemin çözülebilmesi için problemin öncelikle mtemtik diline çevrilmesi gerekir. Örneğin; Bir syının fzlsı ifdesinden yi, Bir syının 3 ktı ifdesinden 3 i, Bir syının 4 ktındn 1 fzlsı ifdesinden 4 1 i, Bir syının 1 fzlsının 4 ktı ifdesinden 4( 1) i Bir syının üçte birinin eksiği ifdesinden 3 yi, Bir syının 4 eksiğinin yrsı ifdesinden nlyıp yzbilmemiz gerekir. 4 i, YAŞ PROBLEMLERİ Yş problemlerinde şğıdki bilgileri kullnırız. Bugünkü yşı oln birinin; yıl önceki yşı, yıl sonrki yşı dır İki kişinin yşlrı frkı her yıl ynıdır. n kişinin bugünkü yşlrı toplmı T ise; yıl sonrki yşlrı toplmı T n., yıl önceki yşlrı toplmı T n. dır. YÜZDE PROBLEMLERİ sıfırdn frklı bir gerçek syı olmk üzere, in % sı. 100 in % fzlsı in % eksiği şeklinde düşünülür.

17 FAİZ PROBLEMLERİ A.n. t Yıllık Fiz = 100 A.n. t Aylık Fiz = 100 A.n.t Günlük Fiz = Bileşik Fiz = A lir t yıllık %n fizi il birlikte; n A + F = A t KARIŞIM PROBLEMLERİ Krışım problemleri krıştırıln krışımlrdki belli bir mddenin miktrın bğlı olrk sonuçlndırılır. SAAT PROBLEMLERİ Açı : 60.st 11.dkik İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ I. işçi bir işi stte, II. işçi bu işi y stte, III. işçi bu işi z stte, bu üç işçi birlikte bu işi h stte ypsınlr; 1 1 y 1 z 1 h Not! I. musluk bir hvuzu stte, II. musluk bu hvuzu y stte, III. musluk bu hvuzu z stte boşltsın, bu üç musluk birlikte bu hvuzu h stte doldursunlr; 1 1 y 1 z 1 h

18 I. işçi bir işi stte, II. işçi bu işi y stte, III. işçi bu işi z stte ypbilsin. Berberce işe bşlsınlr ve A st sonr III. işçi işi bırksın, I. ve II. işçi B st dh çlışsınlr ve II. işçi de işi bırksın. Geri kln işin tmmını I. işçi C stte bitirsin; 1 1 y A.B z y 1.C 1 HIZ PROBLEMLERİ = v. t (Yol Hız Zmn) Zıt Yönlü Hreket : V 1 V ı ı = (V 1 + V ).t Aynı Yönlü Hreket : V 1 V ı ı = (V 1 V ).t Ortlm Hız : V ort = Toplm yol Toplm Zmn

19 DOĞRUDA AÇILAR Ölçüleri 0 o ile 90 o rsınd oln çılr dr çı denir. Ölçüleri 90 o oln çılr dik çı denir. Ölçüleri 90 o ile 180 o rsınd oln çılr geniş çı denir. Ölçüleri 180 o oln çılr doğru çı denir. Ölçüleri 360 o oln çılr tm çı denir. Ölçüleri toplmı 90 o oln iki çıy tümler çılr denir. Ölçüleri toplmı 180 o oln iki çıy bütünler çılr denir. Merkez çının ölçüsü derece (1 o = 60 = 3600), rydn y d grd türünden de ifde edilebilir ki rlrınd D 180 G 00 R bğıntısı mevcuttur. d 1 // d ise; c e = b + d n çı syısı olmk üzere, d 1 // d olduğund; 1. = (n1)180

20 Akrep İle Yelkovn Arsındki Açı : 30.st 5,5.dkik formülüyle hesplnbilir. ÜÇGENLERDE AÇI Bir üçgende iç çılr toplmı 180 o dir. Bir üçgende (bütün çokgenlerde) dış çılrı toplmı 360 o dir. Bir üçgenin iki iç çısı kendisine komşu olmyn bir dış çıy eşittir. m(a) m(b) m(c) İkizkenr üçgenin tbn çılrının ölçüleri eşittir. Bir ikizkenr üçgenin tepe noktsındn tbn çizilen dikme, hem yükseklik hem çıorty hem de kenrortydır. Tüm kenr uzunluklrı eşit ve tüm iç çılrı 60 o derece oln üçgenlere eşkenr üçgen denir.

21 IADI = IBDI = IDCI m(a) = 90 o Üçgenlerde iç çıortylr bir noktd kesişir ve bu nokt iç teğet çemberin merkezidir. = 90 o m(a) = 90 o - m(b)

22 MATEMATİK MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU m( A ) = Üçgende iki dış çıorty ile bir iç çıorty bir noktd kesişir. Bu nokt dış teğet çemberin merkezidir. AÇI KENAR BAĞINTILARI Bir üçgende büyük çı krşısınd büyük kenr küçük çı krşısınd küçük kenr bulunur. Bir üçgende herhngi bir kenr diğer iki kenrın frkı ile toplmı rsınd değer lır. Üçgende yrdımcı elemnlrı lbileceği değerler prlel çizgiler yrdımıyl d bulunbilir. o o o Bir ABC üçgeninde m(a) = 90 ise, = b c Bir ABC üçgeninde m(a) > 90 ise, > b c Bir ABC üçgeninde m(a) < 90 ise, < b c o Bir ABC üçgeninde m(a) = 60 ise, = b c -bccos o o Bir ABC üçgeninde m(a) > 60 ise, > b c -bccos Bir ABC üçgeninde m(a) < 60 ise, < b c -bccos

23 < y < c b Çevre < y z < Çevre b c ise, h < n < V İKİZKENAR ÜÇGEN Bir ikizkenr üçgenin tepe noktsındn tbn çizilen dikme, hem yükseklik hem çıorty, hem de kenrortydır. İkizkenr üçgenin eşit kenrlrın it yrdımcı elemnlr simetriktir.

24 IABI = IACI, [ED] // [AB], [FD] // [AC] ise, IFDI IEDI = labl IABI = IACI, [ED] [AC], [FD] // [AB] ise, IFDI IEDI = lbfl EŞKENAR ÜÇGEN Tüm kenr uzunluklrı eşit ve tüm çılrı 60 o derece oln üçgenlere eşkenr üçgen denir. ABC eşkenr üçgen ise, IDEI IDLI IDFI = h ABC eşkenr üçgen [DE] // [BC], [DF] // [AB], [DL] // [AC] ise, IDEI IDFI IDLI =

25 ÜÇGENLERİN EŞLİĞİ ve BENZERLİĞİ Benzer üçgenler eşit çılr shiptir. ABC ~ DEF m(â) m(dˆ ) m(bˆ ) m(ê) m(ĉ) m(fˆ) Benzer üçgenlerde eşit çılrın krşısınd orntılı kenrlr vrdır ( d b e c k ). Burd benzerlik f ornı 1 (k = 1) oln üçgenlere eş üçgenler denir. ABˆ C DÊF şeklinde gösterilir. [DE] // [BC] ise, ADE ~ ABC olur. IADI lael IBDI lecl IADI lael IABI lacl [AB] // [CD] ise, IAEI IDEI lbel lcel labl lcdl

26 [AB] // [EF] // [DC] ise, b d 1 // d // d 3 ise, c b d y z y b c d İkişer kenrı orntılı ve bu kenrlrı rsındki çılrı eşit oln üçgenler benzerdir. Üç kenrı d orntılı oln üçgenler benzerdir. c e 1 b d f

27 c e 1 b d f d b 1 d c y ÜÇGENDE AÇIORTAY Açıorty simetri eksenidir. c b y n b.c.y y b c n = y. b.c

28 ÜÇGENDE KENARORTAY Üçgenin kenr ortylrı bir noktd kesişir. Bu nokty ğırlık merkezi denir. Bzen sorulrd ğırlık merkezi olm şrtlrını sğlyn bir noktnın ğırlık merkezi olduğu söylenmeyebilir..v 3( b b c c ) 4(V b V V c ) b 5.V V V c

29 DİK ÜÇGEN = b c Kenrlrın Göre Özel Üçgenler :

30 Açılrın Göre Özel Üçgenler : Öklid Bğıntılrı h = p.k b = k. c = p..h = c.b 1 1 h c 1 b CARNOT TEOREMİ K üçgenin içinde yd dışınd herhngi bir nokt ise, c e = b d f

31 KOSÜNÜS TEOREMİ = b c bccos DİK ÜÇGENLERDE TRİGOMETRİK ORANLAR sin = c b cos = c tn = b cot = b SİNÜS TEOREMİ b sinα sin c R sin BİRİM ÇEMBER VE BÖLGELER Merkezi orijinde ve yrıçpı 1 br oln çemberdir.

32 ÜÇGENDE ALAN A(ABC) =.h Bir kenr uzunluğu oln eşkenr üçgenin lnı tür. 3 4 Yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı tbnlrı ornın eşittir. Tbnlrı eşit oln üçgenlerin lnlrı ornı yükseklikleri ornın eşittir. Tbnlrı ve yükseklikleri eşit oln üçgenlerin lnlrı d eşittir. AFE, FED, BDF, CDE üçgenleri eş üçgenlerdir. Dolyısıyl kenr uzunluklrı ve lnlrı eşittir. b c u = A(ABC) = u(u )(u b)(u c)

33 1 A(ABC) = b sin b c u = A(ABC) = u.r Üçgenin iç çıortylrı bir noktd kesişir. Açıortylrın oluşturduğu üçgenlerin lnlrı ornı tbnlrı ornın eşittir. O çevrel çemberin yrıçpı ise, A(ABC).b.c 4.R Benzer üçgenlerin lnlrı ornı benzerlik ornının kresine eşittir.

34 A(ADK) S cm ise, A(DELK) 3S A(EBCL) 5S dir. Benzer üçgenlerin orntılı kenrlrın it yrdımcı elemnlrının ornı benzerlik ornın eşittir. Kenrortylr üçgenin lnını 6 eşit prçy böler.

35 VEKTÖRLER Bşlngıç ve bitim noktlrı oln doğru prçlrın yönlü doğru pçlrı denir. Yönü ynı oln eş doğru pçlrın eş yönlü doğru prçlrı denir. Bileşenleri ynı oln yönlü doğru prçlrın kümesine vektör denir. Bir vektörde yön ve uzunluk kvrmı vrdır, yer kvrmı yoktur. Bşlngıç ve bitim noktsı ynı oln vektöre sıfır vektörü denir. Uzunluğu 1 br oln vektöre birim vektör denir. Bşlngıç noktsı orijinde oln vektöre yer vektörü denir. AB vektörünün bşlngıç ve bitim noktsının yeri değiştirilirse vektör işreti değiştirir. AB BA Bşlngıç noktsı A ve bitim noktsı B oln yönlü doğru prçsı AB şeklinde gösterilir. Bşlngıç noktsı A ve bitim noktsı B oln yönlü doğru prçsının uzunluğu AB şeklinde gösterilir.

36 Vektörlerde Toplm Çıkrm : Vektörlerdeki toplm çıkrm işlemlerini üç şekilde ktegorize edebiliriz; AB BA 0 AB BC AC AB BC CD AD AB CD AB DC U (,b) ve V (c, d) ise, U V ( c, b d) U V ( c, b d)

37 Vektörlerin Eşitliği : A (,b) ve B (c,d) olmk üzere, A B = c ve b = d dir. Vektörün Uzunluğu (Normu) : A (1, y 1) olmk üzere, A uzunluğu A 1 ) (y1) A ( dir. A (1, y 1) ve B (, y ) ise, 1) (y y1) AB ( dir. Birim Vektör Boyu 1 br oln vektöre birim vektöre denir. A (, b) b = 1 dir. vektörü birim vektör ise, A vektörü ile ynı yöndeki birim vektör A I A I dir. A A vektörü ile zıt yöndeki birim vektör dir. I A I

38 İSTATİSTİK Grfikler : Toplnn bilgiler grfikler (Dire, Sütun, Serpilme, Çizgi, Kutu) üzerinde gösterilir ve yorumlnır. Dire Grfik : Bir değişkenin bir bütün içerisindeki ornını belirlemek için sıkç kullnıln grfik türüdür. Sütun Grfik : İsttistik çlışmsı sonucund elde edilen verilerin yty eksen üzerinde sütunlrl gösterilmesiyle oluşn grfiğe denir. Çizgi Grfik : Bir değişkenin zmn içindeki değişimini incelemek için sıkç kullnıln grfik türüdür. Serpilme Grfik : İki değişken rsındki ilişkiyi incelemek için en sık kullnıln grfik türüdür. Kutu Grfik : Verilerin genişliğini ve yığılımını göstermek için kutu grfiği kullnılır. Kutu grfiği, bir veri grubundn elde edilen en küçük değer, en büyük değer, lt çeyrek, üst çeyrek ve ortnc değerlerini içerir. En Küçük Değer : Verilerin en küçüğü En Büyük Değer : Verilerin en büyüğü Ortnc : Veriler küçükten büyüğe doğru sırlndığınd ortdki terimdir. Alt Çeyrek : Ortncnın solundki terimlerin tm ortsındki terimdir. Üst Çeyrek : Ortncnın sğındki terimlerin tm ortsındki terimdir.

39 Merkezi Eğilim Ölçüleri : Aritmetik Ortlm : Veri grubund bulunn syılrın toplmının gruptki veri syısın ornıdır. Medyn (Ortnc) : Küçükten büyüğe doğru sırlnmış bir veri grubund terim syısı tek ise tm ortdki syıdır. Terim syısı çift ise ortdki iki syının ritmetik ortlmsıdır. Mod (Tepe Değer) : Bir veri grubund en çok tekrr eden syıy denir. Dizide tekrr eden syı yoks dizinin modu yoktur. Dizide veriler eşit syıd tekrr etmiş ise dizinin modu yoktur. Merkezi Yyılım Ölçüleri : Açıklık (Rnj) : Bir veri grubund en büyük değer ile en küçük değer rsındki frk denir. Küçükten büyüğe doğru sırlnmış bir veri grubund; Alt Çeyrek : Ortnc terimin ltındki grubun ortnc terimidir. Üst Çeyrek : Ortnc terimin üstündeki grubun ortnc terimine denir. Çeyrekler Açıklığı : Alt çeyrek ile üst çeyrek rsındki frk d denir. Stndrt Spm : Bir veri grubundki her bir verinin ritmetik ortlmdn ne kdr uzklştığını gösteren bir merkezi yyılım ölçüsüdür. 1,, 3,., n syılrının ritmetik ortlmsı ise, stndrt spm şeklindedir. S (1 ) ( )... (n ) n 1

40 Z ve T Pun : Öğrencilerin bşrı düzeylerini ölçen pun türüdür. Z punı yüksek ise öğrencilerin öğrenme düzeyi yüksektir. Z pun Ögrencinin Punı Aritmetik Ortlm Z Stndrt Spm şeklinde hesplnır. Z punın sonucu bzen negtif, bzen de kesirli çıkbilir. Bu nedenle yorumlmnın dh koly olmsı için Z punı T punın şğıdki gibi dönüştürülebilir. T = Z Korelâsyon : Değişkenler rsındki vr oln ilişkiyi belirleyen syısl değerdir. Bu değer [ 1, 1] rlığınddır. Korelsyon ktsyısının 1 vey 1 e ykın çıkmsı değişkenler rsınd kuvvetli ve olumlu ilişkinin bulunduğunu, 1 vey 1 e ykın çıkmsı değişkenler rsınd kuvvetli ve olumsuz bir ilişkinin bulunduğunu gösterir. Korelsyon ktsyısı 0 ise değişkenler rsınd ilişki yoktur.

41 OLASILIK Olsılık Fonksiyonu : Bir örnek uzyındki tüm çıktılrı E = {e 1, e,,e n} ise, P(e 1) P(e ) P(e n) = 1 P(E) = P(A) P(A ) = 1 Olsılık Hesbı Günlük hytt şns dediğimiz olyın mtemtikte irdelenmesi olsılık konusunun kpsmın girer. Bir olyının olm olsılığı; İstenen Durumlr Syısı şeklinde hesplnır. Tüm Durumlr Syısı Ayrık, Ayrık Olmyn, Bğımsız Olylrın Olsılıklrı E, örnek uzy A E ve B E olmk üzere, A vey B yrık olylrının olm olsılığı; P(AB) = P(A) + P(B) E, örnek uzy A E ve B E, A vey B yrık olmyn olylrının olm olsılığı; P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) E, örnek uzy A E ve B E, A vey B bğımsız olylrının olm olsılığı; P(AB) = P(A) + P(B) P(A).P(B)

42 FONKSİYONLAR l Fonksiyonun Tnımı : A kümesindeki her elemnı, B kümesinden ylnız bir elemn ile eşleyen bğıntıy fonksiyon denir. f : A B vey A f B şeklinde gösterilir. Burd A kümesi fonksiyonun tnım kümesi, B kümesi de değer (görüntü) kümesidir. A dn B ye fonksiyon syısı: s(b) s(a) dır. f: A B bğıntısının fonksiyon olbilmesi için: Tnım kümesinde çıkt elemn klmmlı Tnım kümesinin her elemnının ylnız bir görüntüsü olmlıdır. Fonksiyonlrd İşlemler : f: A R, g: B R olmk üzere, f + g : AB R, (f + g)() = f() + g(), f g : AB R, (f g)() = f() g(), f. g : AB R, (f.g)() = f().g(), f : g : AB R, (f:g)() = f():g(), (g() 0)

43 Fonksiyon Türleri : Bire Bir Fonksiyon: Tnım kümesinde her frklı elemnın görüntüsü frklı oln fonksiyon bire bir fonksiyon denir. Örten Fonksiyon: Görüntü kümesi ile değer kümesi ynı oln fonksiyonlr örten fonksiyon denir. Birim Fonksiyon : Her elemnı kendisi ile eşleyen fonksiyon birim (etkisiz) fonksiyon denir ve genellikle I ile gösterilir. Yni I() = birim fonksiyondur. Sbit Fonksiyon: Görüntü kümesi bir elemnlı oln fonksiyon sbit fonksiyon denir. Anck bu elemn 0 (sıfır) ise, fonksiyon sıfır fonksiyonu denir. Doğrusl Fonksiyon : Grfiği doğru oln, f() = + b şeklindeki fonksiyon denir.

44 FONKSİYONUN GRAFİĞİ Fonksiyon grfiğinin üzerindeki her bir noktnın eksenine oln dik iz düşümleri tnım kümesini, y eksenine oln dik iz düşümleri ise görüntü kümesini oluşturur. Tnım kümesindeki elemnlrın görüntüsü fonksiyon krşılık gelen y eksenindeki noktlrdır. Görüntü kümesindeki elemnlrın görüntüsü (ters görüntüsü) fonksiyon krşılık gelen eksenindeki noktlrdır. Verilen grfiğin bir fonksiyon olbilmesi için ekseni üzerinde tnımlı olduğu her noktdn y eksenine prlel doğrulr çizilir. Bu doğrulr doğrulr grfiği bir noktd keserse verilen grfik fonksiyondur. Bir fonksiyonun grfiği verildiğinde grfiği kesecek şekilde eksenine prlel doğrulr çizilir. Çizilen doğrulr grfiği bir noktd kesiyor ise fonksiyon bire bir dir. MUHAMMET AŞKIN TÜRKOĞLU MATEMATİK ÖĞRETMENİ