Transkript

1 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3

2 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel Sayı Sistemi.Reel Sayılar içi Aksiyomlar Okuyucuu IR reel sayılar kümesie aşia olduğuu ve lisas matematiğide kullaıla temel özelliklerii bildiğii kabul ediyoruz. Bu bölüm daha sora faydalı olacak souçları sistemizasyoua ve gözde geçirilmesie ayrılmıştır. Reel sayılar kousua bir yaklaşım rasyoel sayıları Dedekid kesimleri olarak taımlamaktır, rasyoel sayılar sırasıyla doğal sayılar yardımıyla taımlaıyor olmaktadır. Böyle bir yötem reel sayıları daha basit kavramlarda ve kümeler teoriside uzak güzel bir oluşturmasıı verir. Biz burada reel sayıları oluşturulması ile ilgilemeyeceğiz, fakat hali hazırda verildiği şekilde düşüeceğiz ve aksiyomları sıralayacağız. Gereksiim duyduğumuz bütü özellikler bu aksiyomları souçlarıdır ve gerçekte bu aksiyomlar reel sayıları karekterize eder. Böylece biz reel sayılar kümesii, pozitif tamsayılar kümesii ve IRxIR de IR ye + ile. Foksiyolarıı verilmiş kabul ediyoruz ve üç grupta listelee aşağıdaki aksiyomları sağladığıı kabul ediyoruz. İlk grup cebirsel özellikleri ve ikicisi sıralama özelliklerii taımlar. Üçücüsü e küçük üst sıır aksiyomuu içerir. A. Cisim Aksiyomları : Bütü x, y ve z içi aşağıdakiler sağlaır: A. x+y=y+x A. (x+y)+z=x+(y+z) A3. Her x R içi x+0=x olacak şekilde e az bir 0 R vardır. A4. Her x R içi x+w=0 olacak şekilde bir w R vardır. A5. x.y=y.x Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 4

3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı A6. (xy)z=x(yz) A7. Her x R içi x.=x ve 0 olacak şekilde R vardır. A8. 0 da farklı her x R içi x.w= olacak şekilde w R vardır. A9. x(y+z)=xy+xz Bu aksiyomları sağlaya her kümeye bir cisim ( + ve. altıda ) adı verilir. A4, A7 ve A8 i ifadesideki kabulümüzde A3 deki 0 ı bir tek olduğu A de elde edilir. A4 deki w bir tektir ve -x ile gösterilir. x -y çıkarmasıı x+(-y) ile taımlıyoruz. A7 deki elemaı bir tektir. A8 deki w i bir tek olduğu gösterilebilir ve A8 deki w elemaı x - ile gösterilir. Elimizde bir cisim varsa, yai A de A9 a kadar ola özellikleri sağlaya herhagi bir sistem varsa, eş zamalı lieer deklem sistemlerii çözümlerii içere elemeter cebiri işlemlerii elde edebiliriz. Açıkça ifade etmeksizi bu aksiyomları çeşitli souçlarıı kullaacağız. Reel sayılar tarafıda sağlaa özellikleri ikici grubu reel sayıları sıralamalı olması gerçeği ile ilgilidir. a, b de öce gelir ifadesii aksiyomize edebilirdik acak başlagıç olarak pozitif reel sayı kavramıı kullamak daha uygu olmaktadır. Buu yaptığımız zama ikici grup aksiyomlar aşağıdaki şekli alır: B.Sıralama Aksiyomları: Pozitif reel sayılar kümesi P aşağıdaki aksiyomları sağlar: B. (x, y P ) x+y P. B. (x, y P ) x.y P. B3. (x P ) -x P. B4. (x R ) (x=0) ya da (x P ) ya da (-x P ) dir. A ve B deki aksiyomları sağlaya her sisteme sıralı cisim deir. Bua göre reel sayılar kümesi sıralı bir cisimdir. İrrasyoel sayılar kümesi sıralı cisime bir diğer örektir. Sıralı cisimde x<y ifadesii y-x P olması olarak taımlıyoruz. x y yi x<y ya da x=y olması durumu içi yazıyoruz. < ı ifadesiyle B aksiyomu aşağıdakie dektir. (0<x<y ve 0<z<w ) xz<yw. B4 aksiyomu herhagi iki farklı sayıda birii diğeride daha büyük olmasıı ifade ederke, B3 aksiyomu bir sayıı diğeride hem daha büyük hem de daha küçük olamayacağıı belirtir. B aksiyomu < bağıtısıı geçişmeli olduğuu gerektireceğide, reel sayıları < ile lieer sıralı olduğuu görüyoruz. Gelecek ilk kesimi başlagıcıdaki iceleme dışıda bu iki aksiyom grubudaki bütü souçları Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 5

4 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı sağlamış kabul ediyoruz ve açıkça ifade etmede kullaacağız. Sıralı cisimleri daha ileri özellikleri içi okuyucu Birkoff ve Maclae [] ye bakmalıdır. Üçücü aksiyom grubu bir aksiyomda oluşmakta ve reel sayılar kümesii diğer sıralı cisimlerde ayırt etmektedir. Bizim ilk iki aksiyom grubuu souçları hakkıdaki bu cetilme davraışımıza karşı bu so aksiyomu ifade etmede öce, biraz termiolojik taımlar verelim. Her x S içi x b olması durumuda b ye S içi bir üst sıırdır diyeceğiz. Biz baze buu S b yazarak ifade ederiz. Eğer S i her bir b üst sıırı içi c b oluyorsa ve c bir üst sıır oluyorsa bu takdirde c sayısıa e küçük üst sıır deir. Eğer mevcutsa bir S kümesii e küçük üst sıırı bir tektir. Bizim reel sayılar içi verdiğimiz bu so aksiyom üst sııra sahip kümeler içi buu varlığıı garati eder. C Tamlık Aksiyomu. Bir üst sııra sahip ola reel sayıları boş olmaya her S alt kümesi bir e küçük üst sııra sahiptir. Aksiyom C i bir soucu olarak aşağıdaki öermeyi elde ederiz:.öerme: L deki her bir l ve U daki her bir u içi l <u olacak şekilde R=L U özelliğie sahip R i boş olmaya alt kümeleri L ve U olsu. Bu takdirde ya L kümesi e büyük elemaa sahiptir ya da U kümesi e küçük elemaa sahiptir. Bir S kümesii e küçük üst sıırıı çoğu zama sup S ile ya da sup x ile baze de sup{x: x S} ile göstereceğiz. Alt sıır ve e büyük alt sıır taımlarıı bezer bir şekilde verebiliriz ve Aksiyom C de bir alt sııra sahip ola her reel sayı kümesii bir e büyük alt sııra sahip olduğu elde edilir. Bir S kümesii e büyük alt sıırıı çoğu zama if S ile ya da Problemler x S if x ile baze de if{x: x S} ile göstereceğiz. x S. P olduğuu gösteriiz. [Çözüm. P olduğuu varsayalım. Bu takdirde - 0 olduğuda, B4 gereğice - P dir ( Çükü -(-)= P dir.). Herhagi bir x P verilsi. B de (-)x=-x P dir. Bua göre B3 de -(-x) = x P dir. Çelişki, o halde P olmak zorudadır.]. Bir alt sııra sahip ola boş olmaya her reel sayı kümesii bir e büyük alt sııra sahip olduğuu Aksiyom C yi kullaarak gösteriiz. [ Çözüm. S IR, S φ ve S kümesii bir alt sııra sahip olduğuu kabul edelim. Bu takdirde her x S içi x a olacak şekilde bir a IR vardır. a S ise durum aşikar, çükü bu durumda if S = a olur. a S olsu. Her x S içi x>a olduğuda x-a P dir. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 6

5 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı x-a =-a+x =-a-(-x) P her x S içi -a>-x dir. Şimdi -S={ -x : x S } diyelim. S kümesi üstte -a ile sıırlıdır. Aksiyom C dolayısıyla, sup(-s) =a o olacak şekilde bir a o vardır. Burada, her -x (-S ) içi -x < a o ve böylece her x S içi -a o <x dir. Böylece -a o ı S kümesii bir alt sıırı olduğuu elde etmiş olduk. Şimdi de -a o ı S kümesii e büyük alt sıırı olduğuu gösterelim. Bir b sayısı S kümesii herhagi bir alt sıırı olsu. Bu takdirde her x S içi b<x dir. ( b S dir, b S olursa souç aşikar.). Burada, her x S içi -x<-b dir, böylece -b sayısı, -S kümesii bir üst sıırı olur. a o -b dir. b -a o a o sayısı, -S kümesii e küçük üst sıırı olduğuda, dır. O halde -a o sayısı, S kümesii e büyük alt sıırıdır. -a o = if S =-sup (-S) 3. Aksiyom C yi kullaarak Öerme i ispat ediiz. 4. x ile y iki reel sayı ise max{x,y} yi x y olduğuda x olarak ve y x olduğuda y olarak taımlayalım. Çoğu zama max{x,y} yi x y ile gösteririz. Bezer şekilde mi {x,y} yi x ile y i e küçük olaı olarak taımlarız ve x y ile gösteririz. Aşağıdakileri sağladığıı gösteriiz. a. (x y) z = x (y z). b. x y+x y=x+y. c. (-x) (-y)=-(x y). d. x y+z=(x+z) (y+z). e. z 0 olduğuda z(x y)=(zx) (zy) dir. 5. x i x 0 olduğuda x olarak ve x<0 olduğuda -x olarak taımlıyoruz. Aşağıdakileri sağladığıı gösteriiz. a. xy = x y. b. x + y x + y c. x = x ( x) d. x y= ( x+ y+ x y ). Çözüm. y x olması halii ispat edelim. Bu durumda [ x + y+ x y] = [ x+ y ( x y)] = [ x+ y x+ y] = y= y= x y= max( x, y) Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 7

6 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı x>y olması halide [ x + y+ x y] = [ x+ y+ ( x y)] = [ x+ y+ x y] = x= x= x y= max( x, y) bul uur. e) Eğer -y x y ise bu takdirde x y dir. Ek Problemler.. Her x IR içi 0x=0 dır. Çözüm. x +0x=(+0)x=.x=x=x+0 ; A3 ve A7 de, x +0x=x+0 -x+x+0x=-x+x+0 0+0x=0+0 0x=0.. R i alt kümeleri olarak Doğal Sayılar ve Rasyoel Sayılar Rasyoel sayıları varlığıı kabul etme işlemii ve sayma sayıları olarak kullama işlemii beimsedik. 3 gibi bir sayıyı yalız bir doğal sayı olarak değil ayı zamada bir reel sayı olarak ele aldık. Aslıda sembolü yalız ilk doğal sayıyı göstermek içi değil ayı zamada Aksiyom 7 ile verile özel reel sayıyı da göstermek içi kullaıyoruz ve 3 reel sayısıı ++ olarak taımlıyoruz. ve bezer şekilde her doğal sayıya karşılık gele reel sayıyı taımlıyoruz. Aslıda elimizdeki bu araçları daha kusursuz bir şekilde yapmak içi kullaabiliriz. Ardışık taımlama presibide dolayı, doğal sayılar kümeside reel sayılar kümesie ϕ()= ve ϕ(+)=ϕ()+ ile taımlaa bir ϕ foksiyou vardır.( Burada sağ taraftaki bir reel sayıyı göstermekte ve sol taraftaki de bir doğal sayıyı göstermektedir.). ϕ döüşümüü IN de IR ye birebir bir döüşüm olduğuu göstereceğiz. p ile q biri biride farklı iki doğal sayı olsu ve p<q diyelim. Bu takdirde q=p+ dir ve e göre tümevarımla ϕ(p)<ϕ(q) olduğuu göstereceğiz. = içi q=p+ dir ve ϕ(q)=ϕ(p)>ϕ(p) dir. Geel bir içi ϕ(p++)=ϕ(p+)+>ϕ(p+) ve böylece ϕ(p+)>ϕ(p) olması ϕ(p++)>ϕ(p) olmasıı gerektirir. Burada tümevarımla ϕ(p+)>ϕ(p) olur ve ϕ döüşümüü birebir olduğuu görürüz. Tümevarımla ϕ(p+q)=ϕ(p)+ϕ(q) ve ϕ(pq)=ϕ(p).ϕ(q) olduğuu da ispat edebiliriz..böylece ϕ bize doğal sayılar ile R i bir alt kümesi arasıda birebir bir eşleme verir ve bu ϕ toplamları, çarpımları ve < bağıtısıı korur. Tam maasıyla söyleyecek olursak, doğal sayısı ile ϕ altıdaki ϕ() görütüsü arasıda ayırım yapmamız gerekir acak biz burada bu ayrımı yapmayacağız; Doğal sayılar kümesi N yi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 8

7 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı R i bir alt kümesi olarak gözöüe alacağız. Doğal sayıları farklarıı alarak, tamsayıları R i bir alt kümesi olarak elde ederiz, ve tamsayıları bölümlerii almak bize rasyoelleri verir. Aksiyom C icelememizde kullaılmadığıda dolayı, ayı souçlar herhagi bir sıralı cisimde sağlaır. Böylece aşağıdaki öermeyi göstermiş olduk.. Öerme Her sıralı cisim doğal sayıları, tamsayıları ve rasyoel sayıları (kümeleri izomorfik olarak kapsar ) içerir. Eğer Aksiyom C yi kullaırsak, reel sayılar kümesii alt kümeleri olarak rasyoel sayılar ve tamsayılar hakkıda daha ileri bazı gerçekleri ispat edebiliriz. E öemlileride biri aşağıdaki teoremdir ve tarihi sebeplerde dolayı Arşimet Aksiyomu olarak adladırılır: 3. Arşimet Aksiyomu: Verile her x reel sayısı içi x< olacak şekilde bir tamsayısı vardır: İspat. k x olacak şekildeki tamsayıları kümesi S olsu. S kümesi x üst sıırıa sahip olduğuda Aksiyom C de dolayı bir y e küçük üst sıırıa sahiptir. y sayısı S kümesi içi e küçük üst sıır olduğuda y-/ sayısı S içi bir üst sıır olamaz ve dolayısıyla k>y-/ olacak şekilde bir k S vardır. Fakat k+>y+/>y olduğuda (k+) S dir. k + sayısı S kümeside olmaya bir tamsayı olduğuda, S kümesii taımıda dolayı k+ sayısıı x de büyük olduğuu elde ederiz. 4. Souç: Herhagi iki reel sayı arasıda bir rasyoel sayı vardır; yai x<y olduğuda x <r < y olacak şekilde bir r rasyoel sayısı vardır. İspat. Öce 0 x varsayalım. Arşimet aksiyomuda dolayı, q>(y-x) - özelliğii sağlaya bir q tamsayısı vardır. Buda <y-x elde edilir. y /q olacak şekildeki q tamsayılarıı kümesi boş olmaya ( Arşimet Aksiyomuda dolayı) bir pozitif tamsayı kümesidir ve dolayısıyla bir e küçük bir p elemaı vardır. Bu takdirde p - q < y p q ve p p x= y ( y x) < = dir. Böylece q q q sayısı x ile y arasıda olur. Eğer x<0 ise >-x p - r = q olacak şekilde bir tamsayı bulabiliriz. Burada +x>0 olur ve +x<r<+y özelliğie sahip bir r rasyoel sayısı vardır ve r- sayısı x ile y arasıda bir rasyoel sayıdır. 3. Geişletilmiş Reel Sayılar Reel sayı sistemii + ile - elemalarıı eklemek suretiyle geişletmek çoğu zama uygu olmaktadır. Bu büyütülmüş kümeye geişletilmiş reel sayılar kümesi adı İlk kez Eudoxus tarafıda kullaılmıştır. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 9

8 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı verilir. Her x IR içi - < x < kabul ederek geişletilmiş reel sayılar kümeside < taımıı verebiliriz. Bütü x reel sayıları içi x + =, x- =- eğer x>0 ise x. =, eğer x>0 ise x.(- )= - olarak taımlıyoruz, ve + =, - - =-.(± ) =±, -.(± )=+ olarak taımlıyoruz. - işlemi taımsız bırakılmıştır, fakat 0. =0 durumuu uygu olarak adopte edeceğiz. sup S ifadesideki geişletilmiş reel sayıları bir kullaılışı şöyledir. Eğer S kümesi üst sııra sahip boş olmaya bir reel sayı kümesi ise sup S i S kümesii e küçük üst sıırı olarak taımlıyoruz. Eğer S i üst sıırı yoksa, sup S= yazarız. sup S boş olmaya bütü alt kümeler içi taımlıdır, eğer sup φ = - olarak taımlarsak, bu takdirde E i her bir elemaıa eşit ya da büyük ola e küçük geişletilmiş reel sayıyı sup E olarak taımlarız. Bezer uyarlamalar if S içi yapılır. Değerleri geişletilmiş reel sayılar kümeside ola bir foksiyoa geişletilmiş reel değerli foksiyo deir. 4 Reel Sayı Dizileri Bir (x ) reel sayı dizisi ile her bir doğal sayısıı bir x reel sayısıa döüştüre bir foksiyou kastedeceğiz. Eğer her pozitif sayısı içi N olduğuda x l < olacak şekilde bir N sayısı varsa l reel sayısıa (x ) dizisii bir limitidir deir. Kolayca ispatlaabileceği gibi bir dizi e fazla bir limite sahip olabilir ve biz bu limit var olduğuda ile göstereceğiz. Sembollerle ifade edecek olursak, eğer ( >0 ) ( N) ( N) ( x l < ) lim x ise l = lim x dir. Eğer her pozitif sayısı içi N ve m M olduğuda x x m < olacak şekilde bir N sayısı varsa (x ) reel sayı dizisie bir Cauchy dizisidir deir. Sembollerle ifade edecek olursak, eğer ( >0 ) ( N) (,m N) ( x x m < ) Bölüm i icelemeside sosuz diziler vardır. Bu kitabı kala kısmıda çoğulukla sosuz dizilerle ilgileeceğimizde, aksi belirtilmedikçe sosuz sıfatıı kullamayacağız ve bütü dizileri sosuz diziler kabul edeceğiz. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 30

9 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı ise (x ) dizisi bir Cauchy dizisidir. Cauchy kriteri bir reel sayı dizisii yakısak olması içi gerek ve yeter koşulu Cauchy dizisi olması olduğuu ifade eder (Problem 0 a bakıız.). Bir dizii bu limit kavramıı ı içie alacak şekilde aşağıdaki biçimde geelleştiriyoruz: Verile içi N olduğuda x > elde edeceğimiz şekilde bir N varsa lim x = dır. Bir dizii limiti varsa diziye yakısaktır deir. Bu taım iki alamlıdır. Bu alam dizii limitii bir reel sayı olmasıa ya da bir geelleştirilmiş reel sayı olmasıa bağlıdır. Aaliz çalışmalarıı çoğuda limiti bir reel sayı olmasıı gerektire yakısaklığı kısıtlamalı taımıı kullamak daha alışıldıktır acak biz öümüzdeki birkaç bölümde ± sembollerii aladığımız şekilde kullamayı mümkü kılmayı uygu bulacağız. Limiti iki kavramı arasıdaki farkı ayırt etmek istediğimiz bu gibi öemli durumlarda bir reel sayıya yakısar ya da geelleştirilmiş reel sayılar kümeside yakısar şeklideki ifadeler ile açıkça belirtmeye çalışacağız. Eğer l = lim x ise çoğu zama x l yazarız. Eğer, ek olarak, (x ) mooto ise, yai, x x + ise x l yazarız. Reel sayı olması durumuda limit taımıı aşağıdaki şekilde açıklayabiliriz.: Eğer verile >0 içi, (x ) dizisii terimlerii solu sayıdakiler dışıdakiler l i komşuluğuda buluuyorsa l ye (x ) dizisii limitidir deir.daha zayıf bir durum l i komşuluğuda dizii sosuz çoklukta terimii buluması durumudur. Bu durumda l ye (x ) dizisii değme oktasıdır deir. Bua göre eğer verile >0 içi, ve verile her N içi x l < olacak şekilde N varsa bu takdirde l ye (x ) dizisii değme oktasıdır deir. Bu taımı verile ve verile her N içi x olacak şekilde N varsa a (x ) dizisii değme oktasıdır diyerek, bu taımı l = durumua geişletebiliriz. Bezer bir uyarlama - içi yapılabilir. Bu takdirde eğer bir dizi bir l limitie sahipse bu takdirde bir değme oktasıdır, fakat karşıtı her zama doğru olmak zoruda değildir. Mesela, x =(-) ile taımlaa (x ) dizisi + ve - değme otalarıa sahiptir fakat limiti yoktur. Eğer (x ) bir dizi ise bu dizii limit superiörüü lim x = if sup k x k ile taımlıyoruz. lim ve lim sup sembollerii her ikisi de limit superiör içi kullaılır. Bir l sayısıı bir (x ) dizisii limit superiörü olması içi gerek ve yeter koşul (i) verile >0 içi k olduğuda bütü k içi x k < l + olacak şekilde vardır, ve (ii) verile >0 içi ve içi x k > l - olacak şekilde k vardır. geişletilmiş reel sayısıı bir (x ) dizisii limit superiörü olması içi gerek ve yeter koşul verile ve içi x k > olacak şekilde bir k i var olmasıdır. Geişletilmiş reel sayısı - u bir (x ) dizisii limit superiörü olması içi gerek ve yeter koşul - =lim x olmasıdır. Limit iferiör taımıı Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3

10 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı lim x = sup ifk x k ile taımlaır. lim - x = lim x ve lim x lim x dir. Bir (x ) dizisii bir geişletilmiş l sayısıa yakısak olması içi gerek ve yeter koşul lim x = lim x olmasıdır. Eğer (x ) ve (y ) iki dizi ise aşağıdakileri elde ederiz. lim x + lim y lim (x + y ) Problemler lim x + lim y 6. Her dizii e fazla bir limite sahip olduğuu ispat ediiz. lim (x + y ) lim x + lim y 7. l i bir (x ) dizisii değme oktası olması içi gerek ve yeter koşul l ye yakısaya bir (x j ) alt dizisii var olmasıdır. 8. a. lim x değerii (x ) dizisii e büyük değme oktası ve lim x değerii (x ) dizisii e küçük değme oktası olduğuu gösteriiz. b. Sıırlı her dizii bir reel sayıya yakısaya bir alt diziye sahip olduğuu ispat ediiz. 9. Bir (x ) dizisii yakısak olması içi gerek ve yeter koşul dizii değme oktası ola yalız bir adet geelleştirilmiş reel sayıı var olmasıdır. 0.a.Bir l reel sayısıa yakısaya (x ) dizisii bir Cauchy dizisi olduğuu ispat ediiz. b.her Cauchy dizisii sıırlı olduğuu ispat ediiz. c.bir Cauchy dizisii bir alt dizisi bir l ye yakısıyorsa orijial dizii de l ye yakısadığıı ispat ediiz. d. Cauchy kriterii kuruuz: (x ) dizisii bir Cauchy dizisi olması içi gerek ve yeter koşul (x ) dizisii yakısadığı bir l sayısıı var olmasıdır.. x= lim x olması içi gerek ve yeter koşulu (x ) dizisii her alt dizisii x e yakısaya bir alt diziye sahip olması olduğuu ispat ediiz.. Bir l sayısıı bir (x ) dizisii limit superiörü olması içi gerek ve yeter koşul aşağıdaki iki özelliği sağlamasıdır. (i) Verile her >0, bütü k özelliğii sağlaya k lar içi x k < l + olacak şekilde vardır. Ve (ii) Verile her >0 ve içi x k > l olacak şekilde k vardır. Çözüm: : limx = if supk x k = l olsu. Öce (i) i gösterelim. Herhagi bir ε > 0 verilsi. Her doğal sayısı içi taımıda, supx k k = a dersek, l = ifa a dir. E büyük alt sıır a <l+ ε olacak şekilde o IN i varlığı elde edilir. o Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3

11 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı a = sup x k < l+ε k o içi x k < l + ε olacak şekilde bir o doğal sayı o k o bulumuş olur. Şimdi de (ii) i sağladığıı gösterelim. Herhagi bir ε > 0 verilsi. Her doğal sayısı içi supx k = a k ve a l olduğuda, sup x l dir. E küçük üst sıır taımıda, k k IN vardır öyle ki, k ve x k > l ε dır. O halde (ii) de gerçeklemiş olur. : (i) ve (ii) i sağladığıı kabul edelim. limx = if supk x k = l olduğuu göstereceğiz. (i) de k ε supx k l+ olacak şekilde e az bir IN vardır. (ii) de k ε supx k > l elde edilir. Çükü; k içi k içi de ε supx k > l olur. Böylece k ε ε l < supx k l+ k ε x k > l de, x k ları e küçük üst sıırı ε ε l < if supx k l+ k l ε < if supx < l+ε elde edilir. ε>0 keyfi olduğuda, limx if sup x = l elde edilir. k k = k k 3. lim x = olması içi gerek ve yeter koşul verile ve içi x k > olacak şekilde k ı var olması olduğuu ispat ediiz. 4. lim x lim x olduğuu ve lim x = lim x olması içi gerek ve yeter koşulu l = lim x olması olduğuu ispat ediiz. 5. Sağ ve sol taraflar - şeklide olmadığı zama lim x ) lim x + lim y lim x + lim y + lim y lim (x + y olduğuu ispat ediiz. 6. Sağ ve sol taraflar 0. şeklide olmadığı zama x 0 ve y 0 ise lim (x. y ) lim (x olduğuu ispat ediiz. ).lim ( y ) Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 33

12 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 7. Eğer s = x v ile taımlası. (s ) dizisi bir s limitie sahipse (x v ) dizisie ( ya da serisie ) s reel sayısıa toplaır ya da s toplamıa sahiptir deir. Bu durumda yazarız. Eğer her bir x v 0 ise s = x v s = olacak şekilde bir geişletilmiş s reel sayısı vardır. İspat ediiz. İspat. sup IN s = sup IN xv yazalım. x v 0 x v olduğuda, (s ) dizisi pozitif terimli ve mooto artadır. Bu dizi ya sıırlıdır ya da sıırsızdır. Sıırlı ise her IN içi olacak şekilde e az bir M>0 vardır, ya da verilsi. E küçük üst sıır taımıda, s o s M sup IN s = s IR vardır. Herhagi bir ε>0 >s ε olacak şekilde e az bir o IN vardır. (s ) mooto arta olduğuda, o içi s > s > s ε dır. s >s-ε dır. sup IN s = s o olduğuda, her IN içi s s<s+ε dır. Böylece o içi s-ε<s <s+ ε olacak şekilde e az bir o IN vardır. O halde lim s =s dir. (s ) dizisi sıırsız ise sup INs = dır. lim s =+ dır. Çükü; >0 herhagi bir sayı ise, s > olacak şekilde o IN vardır. (s ) mooto arta olduğuda, o o olduğuda s s dır. Böylece o o içi s > elde edilir, böylece de lim s =+ dır. 8. Eğer x ν < ise (x ν ) serisii bir toplama sahip olduğuu gösteriiz. ν= Çözüm. x ν < olsu. x ν = s< diyelim. ν= ν= ( x v ) = dizisi yakısak olduğuda, bir Cauchy dizisidir. ε herhagi bir pozitif sayı olsu.,m o diyelim) oldukça, (>m xv m xv = m+ xv = m+ xv <ε olacak şekilde o IN vardır. s sm = xv m+ m+ xv Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 34

13 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı olduğuda,,m o oldukça, s sm xv < ε m+ olacak şekilde o IN buluur. O halde (s ) dizisi bir Cauchy dizisidir. Her Cauchy dizisi yakısak olduğuda, (s ) dizisi yakısaktır, yai, lim s = xv = l IR olacak şekilde l vardır. 9. (x ) bir reel sayı dizisi olsu. x=lim x olması içi gerek ve yeter koşul x= x + xν olmasıdır. İspat ediiz. Çözüm. Öce x=lim x olduğuu kabul edelim. Her IN içi s = x+ (xv + xv ) diyelim. IN içi s = x+ (xv + xv) = x+ (x x) + (x3 x) (x x-) + (x+ x ) = x+ dir. lim s = lim x + dir. (x + ) dizisi (x ) dizisii bir alt dizisi olduğuda, lim x + =x dir. Böylece x= lim s = x+ xν Şimdi de x= x + x ν olduğuu varsayalım. Her IN içi s = x+ (xv + xv ) olduğuda, lim s =lim x + =x dir. lim x + = lim x olacağıda, lim x =x buluur. 0. Reel sayılar kümesii bir alt kümesi E olsu. I sııfı E i solu alt kümelerii topluluğu ve S F de F i elemalarıı (solu) toplamı olmak üzere olarak taımlayalım. a. Eğer x < x E ise E kümesii sayılabilirdir olduğuu gösteriiz. x x E i sup F I S F b. Eğer E sayılabilirse ve (x ) IN de E üzerie birebir bir döüşüm ise bu takdirde x E = x = x dir. İspat ediiz.. de büyük bir tamsayı p olsu ve 0<x< özelliğii sağlaya bir reel sayı x olsu. x = a = p olacak şekilde 0 a <p ediiz ve x i q p özelliğie sahip tamsayıları bir (a ) dizisii var olduğuu ispat olması durumu hariç, ki bu durumda tam olarak, iki tae böyle dizi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 35

14 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı vardır, bu dizi bir tektir. Karşıt olarak, pozitif tamsayıları 0 a <p herhagi bir dizisi (a ) ise yakısar. a = p özelliğie sahip serisi 0 x özelliğie sahip bir x reel sayısıa Eğer p=0 ise bu dizi x i odalık açılımı adıı alır. p = içi ikili açılımı adı verilir ve p=3 içi üçlü açılımı deir.. IR i sayılamaz olduğuu ispat ediiz. [ Problem.3 ü kullaıız. Başka bir ispat Souç 3.4 ile verilecektir.] 5. Reel Sayılar Kümesii Açık ve Kapalı Alt Kümeleri E basit reel sayı kümeleri aralıklardır. ]a,b[ açık aralığıı { x : a < x < b } olarak taımlıyoruz. Her zama a<b alıyoruz ve ] a, [ = { x: a < x } ile ] -, b [ = { x : x <b } sosuz aralıklarıı da göz öüe alıyoruz. Baze bütü reel sayıları oluşturduğu küme içi ]-, [ da yazarız. [ a, b ] kapalı aralığıı { x : a x b } kümesi olarak taımlıyoruz. Kapalı aralıklar içi a ile b yi solu olarak alıyoruz. ] a, b ] yarı açık aralığıı { x : a < x b } kümesi olarak ve [ a, b [ yarı açık aralığıı { x : a x < b } kümesi olarak taımlamaktadır. Açık aralık kavramıı bir geelleştirmesi açık küme taımıdır. Taım : Eğer her x A içi x y < δ özelliğie sahip her bir y i A kümesie ait olacağı şekilde bir δ > 0 varsa reel sayıları A alt kümesie açık küme deir. Bu taımı ifade etmei diğer bir yolu A daki her x içi x I A olacak şekilde bir I açık aralığı varsa A kümesi açık kümedir diye söylemektir. Bu da A daki her x içi x ] x-δ, x+δ [ A olacak şekilde bir ] x-δ, x+δ [ açık aralığı varsa ya da δ pozitif reeel sayısı varsa A kümesi açık kümedir demeye eşdeğerdir. Açık aralıklar açık kümelere örektirler ve hem boş küme φ hem de reel sayılar kümesi IR açık kümelerdir. Açık kümeleri bazı özelliklerii taıtıyoruz: 5. Öerme : Açık iki A ve A kümelerii arakesiti A A kümesi açıktır. İspat. x A A olsu. x A ve A açık olduğuda, x y <δ özelliğii sağlaya her y sayısı A kümesie ait olacak şekilde bir δ >0 vardır. Bezer şekilde x A ve A açık olduğuda, x y <δ özelliğii sağlaya her y sayısı A kümesie ait Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 36

15 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı olacak şekilde bir δ >0 vardır. δ ile δ i küçük olaıı δ olarak alalım, yai δ=δ δ = mi{δ, δ } alalım. Bu takdirde δ >0 dır ve x y < δ ise y hem A kümesie hem de A kümesie aittir, yai A A ye aittir. 6. Souç: Açık kümeleri herhagi solu bir topluluğuu arakesiti açıktır. 7. Öerme: Açık kümeleri herhagi bir α sııfıı birleşimi açıktır. İspat. α sııfıı birleşimi U ve x U olsu. Bu takdirde x A olacak şekilde bir A α vardır. A kümesi açık olduğuda, x y < ε özelliğie sahip bütü y ler A ya ait olacak şekilde ve dolayısıyla, A U olduğuda dolayı, U ya ait olacak şekilde bir ε>0 vardır. Böylece U kümesi açık olur. Öerme 5 de açık kümeleri herhagi solu topluluğuu arakesitii de açık olduğu elde edilir. Buula beraber, açık kümeleri herhagi bir sııfıı arakesitii açık olması gerekmez. Öreği, A olarak, ]-/, /[ açık aralığıı alalım. Bu takdirde I A = { 0} dır ve {0} tek okta kümesi açık küme değildir. = Açık kümeleri herhagi bir birleşimi Öerme 7 de dolayı açık kümedir. Buu karşıtıı kuvvetli bir şekli de ayı zamada doğrudur: 8. Öerme: Reel sayılar kümesii her açık alt kümesi ayrık açık aralıkları sayılabilir bir topluluğuu birleşimidir. İspat. A kümesi açık olduğuda, her bir x A içi ]x, y[ A olacak şekilde bir y>x vardır. b =sup{y:]x,y[ A} ve a=if{z:]z,x[ A} olsu. Bu takdirde a<x<b dir ve I x =]a,b[ kümesi x sayısıı içere bir açık aralıktır. I x A dır; çükü, eğer w I x ise x<w<b diyelim, b i taımıda, ]x,y[ A ve dolayısıyla w A olacak şekilde bir y>w sayısı vardır. b A dır, çükü eğer b A olsaydı, ]b-ε,b+ε[ A olacak ve dolayısıyla ]x,b+ε[ A olacak şekilde bir ε>0 buluurdu ki bu da b i taımı ile çelişirdi. Bezer şekilde a A olduğu buluur. Şimdi x A olmak üzere bütü I x aralıklarıı yukarıdaki şekilde oluşturula {I x : x A} topluluğuu göz öüe alalım. A daki her bir x sayısı I x tarafıda kapsadığıda ve her bir I x aralığı A kümesii alt kümesi olacağıda A= I x elde ederiz. ]a,b[ ile ]c,d[ bu topluluğa ait ola ve ortak bir oktaları bulua bir aralık olsu. Bu takdirde c<b ve a<d elde etmeliyiz. c sayısı A kümesie ait olmadığıda dolayı, ]a,b[ ye de ait değildir ve c a buluruz. a sayısı A kümesie ait olmadığıda dolayı, ]c,d[ ye de ait değildir, dolayısıyla, a c elde ederiz. Böylece a=c olur. Bezer şekilde b=d buluur ki ]a,b[=]c,d[ olur. Böylece Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 37

16 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı {I x } sııfıı elemaı ola farklı iki aralık ayrıktır. Böylece A kümesi açık aralıkları ayrık {I x } sııfıı birleşimidir ve tek ispatlaması gereke şey bu sııfı sayılabilir olduğuu göstermektir. Arşimet aksiyomuu soucuda dolayı, her bir açık aralık bir rasyoel sayı içerir. Elimizde açık aralıkları ayrık bir sııfı var olduğuda, ve her bir açık aralık farklı bir rasyoel sayı içerdiğide, dolayı, bu sııf ile rasyoel sayılar kümesii bir alt kümesi birebir eşleebilir. Böylece bu sııf sayılabilir bir sııftır. 9.Öerme (Lidelöf): Reel sayılar kümesii açık alt kümelerii bir topluluğu α olsu. Bu takdirde U O O α = U O i i= olacak şekilde α sııfıı sayılabilir bir {O i } alt sııfı vardır. İspat. U = U { O :O α} ve x U olsu. Bu takdirde x O özelliğie sahip bir O α vardır. O açık olduğuda, x I x O olacak şekilde bir I x açık aralığı vardır. Souç 4 de x J x I x olacak şekilde rasyoel uç oktalarıa sahip bir J x açık aralığı bulabiliriz. Rasyoel uç oktalara sahip bütü açık aralıkları topluluğu sayılabilir olduğuda dolayı, {J x : x U } sııfı sayılabilirdir ve U= U J x dir. {J x } sııfıdaki her bir aralık içi o x U aralığı kapsaya α ı elemaı ola bir O kümesi seçelim. Bu bize O i i= U = U olacak şekilde α ı sayılabilir bir { O i} i = alt sııfıı verir. Kapalı aralık kavramıı geelleştirmesi ola kapalı küme kavramıı da iceleyeceğiz. Taım: Eğer her δ>0 içi x y < δ olacak şekilde bir y E varsa x reel sayısıa E kümesii bir değme oktası( kapaış oktası) adı verilir. Bu ise her δ>0 içi ]x-δ,x+δ[ E φ oluyor demeye eşdeğerdir. E kümesii her bir oktasıı E i değme oktası olduğu aşikardır. E kümesii değme oktaları kümesii E ile gösteriyoruz. Bua göre E E dır. 0. Öerme A B ise A B dır. Ayı zamada A B= A B dır. İspat. İlk kısım değme oktası taımıda heme elde edilir. A A B olduğuda, A A B dır. Bezer şekilde B A B olduğuda, B A B dır. Böylece A B A B buluur. A B A B olduğuu göstermek içi buu eşdeğeri ola t t ( A B) ( A B) olduğuu göstereceğiz. Buu içi herhagi bir t x ( A B) Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 38

17 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı alalım. Bu takdirde x ( A B) dır. Bu takdirde x A ve x B dır. Değme oktası olmamada dolayı, x A olması ]x-δ, x+δ [ A=φ olacak şekilde bir δ >0 ı var olmasıı ve x B olması ]x-δ, x+δ [ B=φ olacak şekilde bir δ >0 ı var olmasıı gerektirir. δ=δ δ = mi{δ, δ } yazalım. Bu takdirde ]x-δ, x+δ[ (A B)=φ olur. Gerçekte; dır. ; ]x-δ, x+δ[ (A B)= (]x-δ, x+δ[ A) ( ]x-δ, x+δ[ B) (]x-δ, x+δ [ A) ( ]x-δ, x+δ [ B)=φ φ=φ ]x-δ, x+δ[ (A B)= Φ dır. Dolayısıyla x reel sayısı A B kümesii bir değme oktası değildir. x ( A B) dir. t x ( A B) dir. Böylece t t ( A B) ( A B) olduğuu göstermiş olduk. Bu da öermei ispatıı tamamlar. Taım: Eğer F = F oluyorsa F kümesie kapalıdır deir. Her zama F F olduğuda, eğer F F oluyorsa, yai eğer F bütü kedi değme oktalarıı içerirse, F kümesie kapalıdır deir. Boş küme, φ, ve bütü reel sayıları oluşturduğu IR kümesi kapalıdır. [a,b] ve [a, [ kapalı aralıkları kapalıdır. Alışıldığı üzere kapalı kümeleri F harfii (Frasızca, fermé ) kullaarak göstereceğiz.. Öerme: Her E kümesi içi E kümesi kapalıdır; yai E = E dır. İspat. E ı kapaışıı herhagi bir oktası x olsu. Bu takdirde verile δ>0 içi δ x y < özelliğie sahip bir y E vardır. özelliğie sahip bir z E vardır. Böylece x z = x y+ y z δ δ x y + y z < + = δ y E olduğuda y z δ < dir ve dolayısıyla x i E kümesii kapaışıı elemaı olduğuu görürüz. Böylece E E olduğuu göstermiş olduk, dolayısıyla, E = E elde etmiş olduk.. Öerme: Kapalı iki F ve F kümesii birleşimi kapalıdır. İspat. Öerme 0 da, F F = F F =F F dir. 3. Öerme: Kapalı kümeleri herhagi bir α topluluğuu arakesiti kapalıdır. İspat. {F:F α} ı herhagi bir değme oktası x olsu. Bu takdirde verile δ>0 içi, x y <δ olacak şekilde bir y {F:F α} vardır. Bu özelliğe sahip y her bir F α Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 39

18 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı ya ait olduğuda dolayı, x oktasıı her bir F α ı bir değme oktası olduğuu görürüz. Her bir F kapalı olduğuda, α daki her bir F içi x F elde ederiz. Burada, x {F:F α} buluruz. 4.Öerme: Açık bir kümei tümleyei kapalıdır ve kapalı bir kümei tümleyei açıktır. İspat. A açık bir küme olsu. Eğer x A ise, x y < δ olduğuda y A olacak şekilde bir δ>0 vardır. Burada x y < δ özelliğie sahip hiçbir y A t olmadığıda, dolayı, x oktası A t i bir değme oktası olamaz. Böylece de A t kümesi bütü değme oktalarıı içerir, dolayısıyla kapalıdır. Diğer tarafta F kapalı olsu ve x F t alalım. x oktası F i bir değme oktası olmadığıda, Burada eğer x y < δ özelliğie sahip hiçbir y F olmayacak şekilde bir δ>0 vardır. x y < δ ise y F t dir. Böylece F t kümesi açık olur. Eğer F {A:A α} ise kümeleri α topluluğua F i bir örtüsü deir. Eğer her bir A α açık ise α ya F i bir açık örtüsü deir. Eğer α yalız solu sayıda kümelerde oluşuyorsa, α ya solu örtü deir. Bu termioloji tutarsızdır: solu örtü ifadeside solu sıfatı sııfla, toplulukla ilgilidir ve sııftaki kümeleri solu kümeler olmasıı gerektirmez. Buda dolayı, açık örtü ifadesi lisaı kötü kullamaktır ve doğru olarak söylemek gerekirse açık kümeleri örtüsü demelidir. Maalesef, şimdiye kadar ki termioloji matematikte oldukça oturmuş ve yerleşmiş bir ifadedir. Bu termioloji ile aşağıdaki teoremi ifade ediyoruz: 5. Teorem (Heie-Borel) Reel sayılar kümesii sıırlı ve kapalı boş olmaya bir alt kümesi F olsu. Bu takdirde F i her bir açık örtüsüü solu bir alt örtüsü vardır. Yai, F {A:A α} olacak şekilde açık kümeleri bir topluluğu α ise F U A i i= şekilde α İspat. Öce F i olacak sııfıı elemalarıda oluşa solu bir {A, A,...,A } topluluğu vardır. - < a< b < olmak üzere [a,b] kapalı aralığı olması halii göz öüe alalım. [a,x] aralığı α ı elemalarıı solu sayıdakileri ile örtülebilecek şekildeki bütü x b sayılarıı kümesi E olsu. E kümesi b ile üstte sıırlıdır, dolayısıyla üst sıırlarıı bir c e küçüğü vardır. c [a,b] olduğuda, c yi içere bir O α vardır. O açık olduğuda, ]c-ε, c+ε[ aralığı O tarafıda kapsaacak şekilde bir ε>0 vardır. c -ε sayısı E kümesi içi bir üst sıır olmadığıda dolayı, x>c-ε özelliğie sahip bir x E var olmalıdır. x E olduğuda α ı elemalarıı [a,x] aralığıı örte solu bir Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 40

19 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı {O,O,...,O k } topluluğu vardır. Buu soucu olarak, solu {O,O,...,O k, O} topluluğu [a,c+ε[ aralığıı örter. Böylece [c,c+ε[ oktası E kümeside olacaktır. [c,c+ε[ u b de küçük ya da b ye eşit ola her bir u c de başka hiçbir oktası E ye ait olamayacağıda, c=b ve b E elde etmeliyiz. Böylece [a,b] aralığı α ı elemalarıı solu sayıdakileri tarafıda örtülebilir dolayısıyla, özel halde ispat yapılmış olur. Şimdi F kümesi herhagi bir kapalı ve sıırlı küme ve F i herhagi bir açık örtüsü α olsu. F kümesi sıırlı olduğuda, bir [a,b] kapalı ve sıırlı aralığı tarafıda kapsaır. α sııfıa F t kümesii ekleyerek elde edile sııfı α ile gösterelim, yai, α =α {F t } yazalım. F kapalı olduğuda, F t Hipotezde dir. açıktır, ve α sııfı açık kümeleri bir sııfıdır. F {O:O α} dır ve dolayısıyla, IR=F t F F t {O:O α}= {O:O α} Böylece α sııfı IR i bir açık örtüsü dolayısıyla [a,b] i bir açık örtüsü olur. Bir öceki ispatladığımız özel durumda dolayı, α sııfıı [a,b] kapalı aralığıı dolayısıyla F yi örte solu bir alt sııfı vardır. Eğer bu solu alt sııf F t kümesii içermiyorsa, bu takdirde α ı bir alt sııfıdır ve dolayısıyla, teoremimizi iddiası doğrudur. Eğer bu alt sııf F t kümesii içeriyorsa o alt sııfı {O,O,...,O,F t } ile gösterelim. Bu takdirde F F t O O... O olur. F kümesii hiçbir oktası F t kümeside bulumadığıda, F O O... O elde ederiz ve {O,O,...,O } sııfı α sııfıı F kümesii örte solu bir alt sııfıdır. 6. Öerme: α ı her solu alt örtüsü boş olmaya bir arakesite sahip olması özelliğie sahip reel sayılar kümesii boş olmaya kapalı alt kümelerii bir topluluğu α olsu ve α ı elemalarıda birii sıırlı olduğuu kabul edelim. Bu takdirde Problemler 3. Rasyoel sayılar kümesi açık mıdır? Kapalı mıdır? F φ dır. I F α 4. Reel sayılar kümesii hem açık hem de kapalı ola alt kümeleri elerdir? Çözüm. IR reel sayılar kümesii hem açık hem de kapalı alt kümeleri IR ve φ dır. 5. A B=φ ve A B φ olacak şekilde A ve B kümeleri buluuz. Çözüm. A=]0,[, B=],[ alırsak, A B=φ olup, A = [0,], B = [, ] olduğuda, A B= { } φ dır. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 4

20 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 6. x i E kümesii bir değme oktası olması içi gerek ve yeter koşul her IN içi y E ve x=lim y olacak şekilde bir (y ) dizisii var olmasıdır. 7. Eğer bir x sayısı E {x} kümesii bir değme oktası ise x sayısıa E kümesii bir yığılma oktası deir. E i yığılma oktaları kümesi E ile gösterildiğie göre E ü kapalı bir küme olduğuu ispat ediiz. 8. E = E E olduğuu ispat ediiz. 9. Eğer E E =φ oluyorsa E kümesie izole küme ( isolated set) deir. Reel sayılar kümesii her izole alt kümesii sayılabilir olduğuu ispat ediiz. (Çözüm. E E =φ olsu. herhagi bir e E alalım. E E =φ ve e E olduğuda e E dir, dolayısıyla e oktası E i yığılma oktası değildir ve dolayısıyla, {e}=u e E olacak şekilde e i e az bir U e açık komşuluğu vardır. O halde E kümesi IR reel sayılar kümesii alışılmış topolojisie göre alt uzay olarak diskret topolojiye sahiptir. IR ikici sayılabilir olduğuda sayılabilir bir bazı vardır, dolayısıyla E i büyesel topolojisii de sayılabilir bazı vardır. {{e}:e E} sııfı E i bir bazı olduğuda sayılabilirdir. ) 30. D= IR oluyorsa D kümesie IR de her yerde yoğu (ya da yoğu) küme deir. 3. Öerme 5, 7 ve 4 ü kullaarak, Öerme ve Öerme 3 ü ispat ediiz. 3. Öerme, 3 ve 4 ü kullaarak, Öerme 5 ve Öerme 7 yi ispat ediiz. 33. ]x-δ,x+δ[ aralığı A kümesi tarafıda kapsaacak şekilde bir δ>0 sayısı varsa x oktasıa A kümesii bir iç oktasıdır deir. A kümesii bütü iç oktaları kümesi A o ile gösterilir. Aşağıdakileri ispat ediiz. a. Bir A kümesii açık olması içi gerek ve yeter koşul A=A o olmasıdır. b. o A = [A t ] t 34. Öerme 6 yı De Morga kurallarıı kullaarak, Heie-Borel teoremide elde ediiz. 35. Reel sayılar kümesii F + F özelliğie sahip boş olmaya kapalı alt kümelerii bir dizisi (F ) olsu. Eğer F kümeleride bir taesi sıırlı ise, bu takdirde I i= F φ dir ispat ediiz. Eğer kümelerde hiç biri sıırlı değilse bu i soucu doğru olmadığıa dair bir örek veriiz. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 4

21 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Çözüm: Eğer her IN içi F =[,+ [ alırsak, her bir F kümesi IR i kapalı alt kümeleridir ve I F = = φ 36. Cator terary set 37. Cator kümesii [0,] aralığı ile birebir eşleebileceğii gösteriiz. 38. Cator kümesii yığılma oktaları kümesii yie Cator kümesi olduğuu gösteriiz. 6.Sürekli Foksiyolar Reel sayılar kümesii bir alt kümesi ola bir E kümesi taım kümesi ola reel değerli bir foksiyo f olsu. Eğer her ε>0 içi x y < δ özelliğie sahip E deki bütü y ler içi f ( x ) f ( y) < ε oluyorsa f foksiyoua E i x oktasıda süreklidir deir. Eğer E i bir A alt kümesii her bir oktasıda sürekli ise f foksiyoua A üzeride süreklidir deir. Eğer f foksiyou taım kümesi üzeride üzeride sürekli ise sadece f süreklidir diyoruz. 7.Öerme: Kapalı ve sıırlı bir F kümesi üzeride taımlı ve sürekli reel değerli bir foksiyo f olsu. Bu takdirde f foksiyou F üzeride sıırlıdır ve F üzeride maksimumve miimumuu alır; yai F deki bütü x ler içi f(x ) f(x) f(x ) olacak şekilde F i x ve x oktaları vardır. İspat. İlk öce f foksiyouu F kümesi üzeride sıırlı olduğuu göstereceğiz. f foksiyou F üzeride sürekli olduğuda, her bir x F içi y I x F içi f(y) - f(x) < olacak şekilde bir x i içere bir I x açık aralığı vardır. Böylece y I x F içi f(y) f(x) + elde ederiz ve dolayısıyla f i I x de sıırlı olduğuu elde ederiz. {I x :x F} sııfı, açık aralıkları F yi örte bir sııfıdır, dolayısıyla Heie- Borel teoremide F yi örte bir {I x,ix,..., Ix } alt sııfı vardır. M=+max[ f ( x ), f ( x ),..., f ( x ) ] yazalım. Bu takdirde F deki her bir y alt sııftaki bir I x k aralığıa ait olur, ki burada f(y) < + f(xk ) M olur. Bu f foksiyouu F üzeride (M ile) sıırlı olduğuu gösterir. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 43

22 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı f foksiyouu F üzeride maksimumuu aldığıı göstermek içi m= sup f(x) yazalım. f foksiyou sıırlı olduğuda, m soludur ve bizim x F amacımız, f(x )=m olacak şekilde bir x F i var olduğuu göstermektir. Varsayalım ki böyle olması. Bu takdirde her x F içi f(x)<m dir süreklilikte dolayı, her y I x F içi f(y)<(f(x)+m)/ olacak şekilde x içere bir I x açık aralığı vardır. Heie-Borel teoremii kullaarak, bu aralıklarda F i örte solu bir {I x,..., I } sııfı vardır. α = max[f(x ),...,f(x )] yazalım. Bu takdirde her bir x y F e az bir I x k aralığıa aittir ve f(y)<[f(x k )+m]/ (a+m)/ dir. Böylece (a+m)/ sayısı f i F üzeride bir üst sıırı olur. Fakat (a+m)/<m olduğuda bu imkasızdır. Souç olarak, f(x )=m bir x oktasıda miimumuu alır. içi olacak şekilde bir x vardır. Bezer şekilde f Bezer şekilde f foksiyouu F üzeride maksimumuu aldığıı göstermek = if f(x) yazalım. f foksiyou sıırlı olduğuda, m soludur ve bizim x F amacımız, f(x )= olacak şekilde bir x F i var olduğuu göstermektir. Varsayalım ki böyle olması. Bu takdirde her x F içi f(x)> dir süreklilikte dolayı, her y I x F içi f(y)>(f(x)+)/ olacak şekilde x içere bir I x açık aralığı vardır. Heie-Borel teoremii kullaarak, bu aralıklarda F i örte solu bir {I x,..., Ix } sııfı vardır. β = mi[f(x),...,f(x )] yazalım. Bu takdirde her bir y F e az bir I x k aralığıa aittir ve (a+)/ < [f(x k )+m]/ f(y) dir. Böylece (a+)/ sayısı f i F üzeride bir alt sıırı olur. Fakat (a+)/> olarak, f(x )= miimumuu alır. olduğuda bu imkasızdır. Souç olacak şekilde bir x vardır. Bezer şekilde f bir x oktasıda 8. Öerme : ]-, [ üzeride taımlı reel değerli bir foksiyo f olsu. Bu takdirde f i sürekli olması içi gerek ve yeter koşul reel sayılar kümesii her açık alt kümesi A ı ters görütüsü f - (A) kümesii açık küme olmasıdır. İspat. Reel sayılar kümesii her açık alt kümesi A ı ters görütüsü f - (A) kümesii açık küme olduğuu kabul edelim. Bu takdirde verile her ε>0 içi I=]f(x)-ε,f(x)+ε[ aralığı açık bir kümedir ve dolayısıyla f - (I) ters görütü kümesi açık olmalıdır. x f - (I) olduğuda, ]x-δ, x+δ[ f - (I) olacak şekilde bir δ>0 var olmalıdır. Acak bu f(y) - f(x) < δ olduğuda f(y) ]f(x)-ε, f(x)+ε [ olmasıı Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 44

23 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı gerektirir yai, f(x) - f(y) < olur. Böylece f foksiyou x oktasıda sürekli olur. x oktası rastgele alımış olduğuda dolayı, f foksiyou sürekli olur. Şimdi de f foksiyouu sürekli olduğuu kabul edelim. Reel sayılar kümesii herhagi bir açık alt kümesi A olsu. f - (A) kümesii herhagi bir x elemaı verilsi. Bu takdirde f(x) A dır ve ]f(x)-ε, f(x)+ε[ A olacak şekilde e az bir ε>0 vardır. f foksiyou x oktasıda sürekli olduğuda, x - y < δ içi f(x) - f(y) <ε olacak şekilde bir δ>0 vardır. Böylece her bir y ]x-δ,x+δ[ içi f(y) ]f(x)-ε,f(x+ε[ A olur. Dolayısıyla, ]x-δ,x+δ[ f - (A) olur ve böylece f - (A) açık olur. Taım.(Düzgü Süreklilik) Reel sayılar kümesii bir E alt kümeside IR ye bir foksiyo f olsu. Eğer her ε>0 içi x-y < δ ve x,yεe olduğuda f(x)-f(y) < ε olacak şekilde, ε a bağlı, bir δ>0 sayısı buluabiliyorsa f foksiyoua E üzeride düzgü süreklidir deir. Bu taıma göre düzgü sürekli her foksiyo süreklidir. Acak sürekli her foksiyo her zama düzgü sürekli olmak zoruda değildir. Örek. Her x IR içi f(x)=x şeklide taımlaa f foksiyou IR üzeride süreklidir fakat düzgü sürekli değildir. Gerçekte; f(x)=x foksiyou-u IR üzeride düzgü sürekli olduğuu varsayalım. Bu takdirde her ε>0 içi x-y < δ olduğuda f(x)-f(y) < ε olacak şekilde bir δ>0 vardır. Özel olarak ε= sayısı içide x-y < δ, olduğuda f(x)-f(y) < olacak şekilde bir δ>0 sayısı vardır. ike δ +( ) + olduğuda olduğuda δ δ +( ý δ ) > olacak şekilde bir IN vardır, dolayısıyla δ ı +( ý ) > olur. Şimdi x= + δ ý ve y= yazalım. Bu takdirde x-y = ( + δ ý )- = δ ý = δ ý < δ ı olur fakat δ ý f(x)-f(y) = f( + δ ý - f( ) = ( + δ ý ) - δ = + δ, + ( ) δ - = δ + ( ý ) δ = δ + ( ý ) > > Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 45

24 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı yai f(x)-f(y) > olur. Bu ise çelişkidir. Bu çelişkiye f i IR üzeride düzgü sürekli olduğuu varsayarak düştük. O halde f(x)=x foksiyou IR üzeride düzgü sürekli değildir. yai f(x)-f(y) > olur. Bu ise çelişkidir. Bu çelişkiye f i IR üzeride düzgü sürekli olduğuu varsayarak düştük. O halde f(x)=x foksiyou IR üzeride düzgü sürekli değildir. Örek. Her x [0,] içi f(x)= x şeklide taımlaa f foksiyou [0,] aralığı üzeride düzgü süreklidir. Her ε>0 içi δ = ε alırsak x-y < δ ve x,y ε [0,] olduğuda f(x)-f(y) = x -y = (x-y) (x+y) = x-y. x+y x-y ( x + y ). ε ε = olur, dolayısıyla f(x)= x foksiyou [0,] üzeride düzgü süreklidir. Yukarıdaki iki örekte de gördüğümüz gibi f(x)=x foksiyou her sıırlı kapalı veya açık aralıkda düzgü süreklidir fakat IR üzeride düzgü sürekli değildir, ama IR de sürekli olduğuu biliyoruz. Örek. Her x ]0,[ içi f(x)= x ile taımlaa f foksiyou ]0,[ aralığı üzeride düzgü sürekli değildir. sayısı içi f foksiyouu ]0,[ üzeride düzgü sürekli olduğuu varsayalım. Bu takdirde ε= x-y < δ ve x,y ]0,[ olduğuda f(x)-f(y) < olacak şekilde bir δ >0 vardır. δ=mi {,δ } yazalım. Bu takdirde Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 46

25 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı x-y < δ ve x,y ]0,[ olduğuda f(x)-f(y) < olur. Şimdi x=δ ve y= δ yazalım. Bu takdirde x,y ]0,[ ve x-y = δ - δ = δ = δ < δ dır, fakat f(x)-f(y) = f(δ)-f(δ ) = δ δ / = δ δ = - δ = δ > = > buluur. Bu bir çelişkidir. Bu çelişkiye f i / ]0,[ üzeride düzgü sürekli olduğuu varsayarak düştük. O halde f(x)= x foksiyou ]0,[ üzeride düzgü sürekli değildir. Teorem : Reel sayılar kümesii bir E altkümeside IR ye f ve g foksiyoları verilsi ve α da herhagi bir sabit reel sayı olsu. Bu takdirde aşağıdakiler sağlaır: süreklidir. (a) f ile g E üzeride düzgü sürekli ise f+g ve f-g foksiyoları da E üzeride düzgü süreklidir. (b) f foksiyou E üzeride düzgü sürekli ise αf foksiyou da E üzeride düzgü (c) f ile g foksiyoları E üzeride düzgü sürekli ve sıırlı ise f.g foksiyou da E üzeride düzgü süreklidir. İspat. (a) f ile g E üzeride düzgü sürekli olsu. f+g i E üzeride düzgü sürekli olduğuu göstermek içi herhagi bir ε>0 alalım. f foksiyou E üzeride düzgü sürekli olduğuda ε > 0 içi x-y < δ ı ve x,y E olduğuda f(x)-f(y) < ε olacak şekilde bir δ ı >0 vardır. g ε foksiyou E üzeride düzgü sürekli olduğuda >0 içi x-y < δ ve x,y E olduğuda g(x)-g(y) < ε olacak şekilde bir δ > 0 vardır. mi {δ,δ } = δ diyelim. Bu takdirde x-y < δ ve x,y E olduğuda (f+g)(x)-(f+g) (y) = (f(x)-f(y))+(g(x)-g(y)) ε ε f(x)-f(y) + g(x)-g(y) < + = ε olur. O halde f+g foksiyou E üzeride düzgü Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 47

26 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı süreklidir. f ile g E üzeride düzgü sürekli olduğuda f - g i E üzeride düzgü sürekli olduğu bezer şekilde yapılabilir. (b) f foksiyou E üzeride düzgü sürekli olsu, α=0 ise oƒ=0 olacağıda bu durumda iddiaı doğruluğu görülmektedir. α 0 olsu. Herhagi bir ε>0 alalım. f foksiyou E üzeride düzgü sürekli olduğuda ε α > 0 içi x-y < δ ve x,y E olduğuda f(x)-f(y) < takdirde x-y < δ ve x,y E olduğuda ε α olacak şekilde bir δ>0 vardır. Bu (αf)(x) - (αf)(y) = αf(x)-αf(y) = α(f(x)-f(y)) = (α) f(x)-f(y) < α. ε = ε α olur, dolayısıyla αf foksiyouu E üzeride sürekli olduğu elde edilmiş olur. (c) f ile g E üzeride düzgü sürekli ve sıırlı foksiyolar olsu, f.g i E üzeride düzgü sürekli olduğuu göstermek içi herhagi bir ε>0 alalım. f foksiyou E üzeride sıırlı olduğuda her x E içi f(x) K olacak şekilde bir K>0 sabiti vardır ve g foksiyou E üzeride sıırlı olduğuda her x E içi g(x) M olacak şekilde bir M>0 sabiti vardır. Şimdi f ε foksiyouu E üzeride düzgü sürekli olduğuu kullaacak olursak, > 0 sayısı içi M ε x-y < δ ı ve x,y E olduğuda f(x)-f(y) < M olacak şekilde bir δ >0 sayısı vardır ve g foksiyou E üzeride düzgü sürekli olduğuda olduğuda g(x)-g(y) < yazalım. Bu takdirde x-y <δ ve x,y E olduğuda ε K > 0 sayısı içi x-y < δ ve x,y E ε K olacak şekilde bir δ pozitif sayısı vardır. δ=mi {δ,δ } f(x). g(x)-f(y). g(y) = f(x). g(x). f(x). g(y)+f(x). g(y). f(y).g(y) = f(x). (g(x)-g(y))+ g(y) (f(x)-f(y)) K. g(x)-g(y) + M. f(x)- f(y)) Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 48

27 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı < K. ε ε ε ε + ε K M = + = M buluur. O halde f.g foksiyou E üzeride düzgü süreklidir. Yukarıdaki teoremi (c) şıkkıda f ile g i sıırlı olması koşulu kaldırılamaz. Öreği her x IR içi f(x)=x ve g(x)=x alırsak f ile g IR üzeride düzgü süreklidir fakat (f.g)(x)=x foksiyou IR üzeride düzgü sürekli değildir. Noktasal Yakısaklık Kavramı. Reel sayılar kümesi IR i bir alt kümesi E de reel sayılar kümesi IR içie ola bir sayı dizisii yakısaklığı kavramı daha öcede bilimektedir. Reel sayılar kümesi IR i bir alt kümesi E de reel sayılar kümesi IR içie bir foksiyo ola f foksiyolarıı oluşturduğu bir diziye E de bir foksiyo dizisi demektedir. E i her bir x elemaı içi yakısak olması durumuda bu foksiyo dizisie yakısaktır deir, bu yakısaklığı taım olarak aşağıda veriyoruz: Taım Reel sayılar kümesi IR i bir E alt kümeside taımlı foksiyoları dizisi (f ) olsu. Her x E içi (f (x)) sayı dizisii yakısak olduğuu kabul edelim. Bu takdirde () her x E içi f (x) = lim f (x) şeklide bir f foksiyou taımlayabiliriz. Bu durumda (f ) foksiyo dizisi E üzeride oktasal yakısaktır deir ve f foksiyoua da (f ) foksiyo dizisii oktasal limiti veya oktasal limit foksiyou adı verilir. Örek. Her doğal sayısı ve her x ], [ içi f ( x) = x ile taımlaa ( f ) foksiyo dizisi her x ], [ içi f ( x) = ile taımlaa f foksiyoua oktasal yakısaktır. Örek. Her doğal sayısı ve her x ], [ içi f x ( x) = ile taımlaa + x ( f ) foksiyo dizisi her x ], [ içi f ( x) = x ile taımlaa f foksiyoua oktasal yakısaktır. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 49

28 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Örek 3. Her doğal sayısı ve her x ], ] içi foksiyo dizisi her x ], ] içi foksiyoua oktasal yakısaktır. x ( x) = f x ( x) = ile taımlaa ( f ) + x, x ise f ile taımlaa f, x= ise Bezer şekilde eğer Σf (x) serisi her x E içi yakısak oluyorsa () her x E içi f (x) = = f (x) şeklide bir f foksiyou taımlayabiliriz ki f foksiyoua bu durumda Σf foksiyo serisii limiti veya toplamı deir. Taım Eğer her ε>0 içi 0 olduğuda (i) her x E içi f (x)-f (x) <ε olacak şekilde bir o doğal sayısı buluabiliyorsa, (f ) foksiyo dizisie E üzeride f foksiyoua düzgü yakısaktır deir. Düzgü yakısak her dizii ayı zamada oktasal yakısak olduğu açıktır. Noktasal yakısaklıkta o sayısı hem ε sayısıa hem de x e bağlıdır. Düzgü yakısaklıkta ise o sayısı bütü x E ler içi geçerlidir, yai o sayısı x e bağlı değil yalız ε sayısıa bağlıdır. Her IN içi s (x)= f i (x) olmak üzere eğer (s ) kısmi toplamlar dizisi E i= üzeride düzgü yakısak ise Σf (x) serisie E üzeride düzgü yakısaktır deir. Eğer burada (s ) foksiyo dizisi E üzeride bir s foksiyoua düzgü yakısaksa Σf (x) foksiyo serisi E üzeride s foksiyoua düzgü yakısaktır deir ve Σf (x) foksiyo serisii E üzeride düzgü toplamı( veya limiti) s dir deir. Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 50