Olasılık Tanımı KALİTE KONTROL. Temel Olasılık ve İstatistik. İçindekiler Giriş

Transkript

1 KALİTE KONTROL Temel Olasılık ve İstatistik İçindekiler Giriş Olasılık Tanımı Data Çeşitleri Data Özellikleri Görsel (visually) Data Tanımı -- Sayısal Data Tanımı Bilgi Edinimi (Take-Away Knowledge) İçindekiler Özet Anahtar Terimler Uygulamalar Referanslar Ek A.: Windows kullanımı Ek A.: Minitab Programına Giriş Ek A.: Grafiklerde Minitab kullanımı, istatistik ve normal olasılık tasviri Bölüm sonunda öğreneceklerimiz: Olasılık Tanımı Değişken Data Ölçümü ve Özellik Tanımı Görsel Data Gösterimi Sayısal Veri Metodu Tanımı Değişkenlik Ölçümü Olarak Standart Sapmanın Açıklanması Normal Dağılım Altında Olasılık hesaplaması Giriş Bu bölümde: Sayısal olasılık sonuçları ve populasyon veya prosesten elde edilen verilerin incelenmesi. Karşılaşılan data çeşitleri ve bunların nasıl sınıflandırıldığı. Görsel veri gösterimi metotları. -- Veri tanımı için sayısal ölçümlerin hesaplanması. Olasılık Tanımı Olasılığın üç temel tanımı vardır: Klasik tanım, Nispi sıklık (relative frequency) tanımı, ve Bayes teoremi tanımı (burada bahsedilmedi). konularına bakılacak

2 Olasılığın Klasik Tanımı Olasılığın klasik tanımında şayet bir deneyin N tane eşit olasılıklı ve birbirinden bağımsız sonucu varsa, ve bu sonuçların n tanesi A olayının olma ihtimalini belirtiyorsa, A olayının olabilme olasılığı P(A) = n/n n = A olayının oluşma ihtimalini gösteren deneysel sonuçların miktarı, ve N = Deneysel sonuçların toplam miktarı. Örneğin, bir zarı attığımızda eşit olasılıklı birbirinden bağımsız sayıdan biri çıkar:,,,, veya, dolayısıyla N =. Şayet zar üzerindeki çift sayıların çıkma olasılığını arıyorsak (, veya ), Buna göre; n = ve çift sayı çıkma olasılığı; P(çift) = / = 0.0 Olasılığın Nispi Sıklık Tanımı Olasılığın nispi sıklık tanımında şayet bir deney birçok kez yapılırsa (örneğin k defa) daha sonra A olayının olma olasılığı; P(A) = k/m k = yapılan deneyler sırasında A olayının gerçekleştiği miktar, ve M = yapılan deneyler sırasında A olayının maksimum olabileceği miktar. Örneğin, bir zarın defa atıldığını düşünelim ve 0097 defa, veya sayıları çıkmış olsun. Sonuç olarak,olasılığın nispi sıklık tanımına göre bir zarı attığımızda çift sayı gelme olasılığı; P(Çift) = 0,097/00,000 = Olasılığın klasik tanımı ile nispi sıklık tanımlarında bir zarın çift sayı gelme olasılığı ayrı ayrı hesaplamalar sonucunda farklılıklar göstermiştir Nispi Sıklık Olasılıkları ve Analitik Çalışmalar Analitik çalışmalar proses özelliklerini tarif etmek amacıyla yürütülür.fakat proses özelliklerinin geçmişi, şu andaki durumu ve gelecekteki durumu vardır; bundan dolayı klasik olasılığın hesaplanabileceği belirli hatlar bulunmamaktadır. Proses özellikleriyle alakalı olasılıklar mutlaka deneysel sonuçlar kullanılarak elde edilmelidir ve sonuç olarak mutlaka nispi sıklık olasılığında olmalıdır.

3 Data Çeşitleri Herhangi bir ürün, servis, proses,kişi veya makine hakkında toplanan bilgilerin tümüne data denir. Data iki şekilde sınıflandırılır: Nitelik (attribute) datası Değişken (ölçüm) datası Nitelik Datası -- Nitelik Datasının Kullanıldığı Yerler: ve servis gibi şeylerin değişik kategorilere sınıflandırılmasında (örneğin, bir ürünün standartlara göre UYGUN veya UYGUN DEĞİL olması gibi ) kullanılır. Belirtilen kategoriye uyan ürünlerin miktarının veya toplam ürün içerisindeki oranının belirtilmesinde kullanılır.(örneğin, herhangi bir ürün kümesindeki hatalı ürün oranı). Her bir üründe oluşabilecek şeylerin sayımında kullanılır.(örneğin her bir üründeki hata (kusur) miktarı). Dört Kategoride Toplanan 00 teki Sendika Şikayetlerinin Sınıflandırılması Şikayet Sayısı Şikayet Derecesi Kategori. Derece. Derece. Derece. Derece Şikayet Sayısı 8 Şikayet Oranı 8/ = 0.7 / = 0.09 / = 0.09 / = 0.09 Değişken (Ölçüm) Datası, servis veya proses özelliklerinin ölçümlerinde, ve Sayısal verilerin hesaplanmasında ve iki veya daha değişken dataların ölçümlerinde kullanılır

4 Analitik Çalışmalar Analitik çalışmalarda tüm olayların sayılması veya gözlemlenmesi imkansızdır.çünkü analitik çalışmalar geçmişteki gözlemleri, şuandaki verileri ve gelecekte oluşacak verileri içermektedir, fakat gelecekte oluşabilecek verilerin ölçümü yapılamaz. İşlemekte olan bir prosesle ilgilendiğimiz için gelecekte proseste oluşabilecek verileri tanımlamak istiyoruz. Teker teker sayma çalışmalarından (enumerative study) farklıdır, çünkü sınırlarımızı bilmiyoruz (gelecekte oluşabilecek veriler ölçülemez) ve bunlarda oluşacak hataları sayısal veri haline dökemeyiz. Analitik çalışmalar sırasındaki tüm çıkardığımız sonuçlar model seçimindeki (veri toplama) çevresel durumlara bağlıdır; çünkü aynı çevresel durumu (ortamı) bir daha hiçbir zaman sağlayamazsın. Böyle bir problemdeki bilgi toplama işi hiçbir zaman tamamlanamaz. Datanın Görsel Tanımı Tablo Gösterimi Frekans Dağılımı. Tablo gösteriminde frekans dağılımı bize olayın kaç defa ve hangi sıklıkta gerçekleştiği tablolar halinde gösterir. Nitelik Verilerinin Tablo Gösterimi Ölçüm Datalarının (Üst Tablo) ve Nitelik Datalarının (Alt Tablo) Tablo Gösterimi

5 Frekans Gösterim Kısıtlamaları Belirttiğimiz frekans gösteriminde verilerin elde edildiği zaman dilimi hakkında herhangi bir bilgi belirtilmemektedir. Süreç içerisinde ele aldığımız veri kümesinin analitik çalışmasında, frekans gösterimi zamanla oluşan trend hareketlerini gösteremez. Veri eksikliği önemli bir eksiklik olabilir. Grafiksel Gösterim Veriler genellikle grafik halinde gösterilir. Frekans dağılımdaki ölçüm (değişkenleri) verileri frekans poligonlarında veya histogramlarda gösterilir. Nitelik verilerinin frekans dağılımı çubuk grafikle (bar chart) gösterilmiştir. Tüm bu gösterimlerde, grup aralıkları yatay eksen (x) üzerinde, ve mutlak ve nispi sıklık değerleri düşey eksen (y) üzerinde gösterilmiştir. Koşu Grafiği (Run Chart): Analitik Çalışmalarda Zaman Dağılımının (Time-Ordering) Önemi. Zamanlı Ölçüm Verilerinin Grafiksel Gösterimi Analitik çalışmalarda bizler prosesimizde işlemin bir adım sonra nasıl hareket edeceği yani zamanla oluşacak trendlerin ve diğer örneklerin nasıl değişkenlik gösterebileceğini belirtmeye çalışıyoruz. Hareket grafiğinde bu işlem, belirtilen değerler düşey eksende zaman değerleri ise yatay eksende yazılarak gösterilmiştir.

6 Merkez Eğilim Ölçüleri Aritmetik Ortalama Medyan (Orta Değer ) Mod Aritmetik Ortalama (mean) Değişken veri özelliklerinin temelini teşkil eden şeylerin ifade edilmesinde ortak olarak kullanılan sayısal gösterim biçimi aritmetik ortalama veya (mean) ortalamadır: Gözlenen değerlerin tümü toplanarak gözlem sayısına bölündüğünde elde edilen değere aritmetik ortalama denir. Verilerin teker teker elde edildiği çalışmalarda şayet verilere bir grup oluşturuyorsa, bu verilerin ortalamasına grup ortalaması denir ve m ile gösterilir. Bu grup içerisinden x aldığımız herhangi bir veri kümesinin (sample) ortalaması x ise şeklinde gösterilir ve x- bar diye okunur. Böylece bundan sonra işlemlerimizde m veya kullanacağız. Analitik çalışmada, herhangi populasyon ortalaması yok (bir sonraki aşamadaki veriler henüz yok) ve bundan dolayı populasyon ortalamasından bahsedemeyiz. Kümelenmiş alt grupların ortalaması (örneğin günlük üretimden dört öğe) x şeklinde gösterildi, proses ortalamasını hesaplamak için alt gruplarında kendi aralarında ortalamasını hesapladığımızda bunu x (x bar-bar şeklinde okunuyor) ile gösteririz. Örneklem küme ortalaması hesaplanması şeklindedir. x x = n n değişken veri sayısını belirtmektedir.

7 Şayet n tane veri ile oluşturduğumuz alt grupların ortalamalarını hesapladığımızda proses ortalamamızı alt grupların ortalaması olarak hesaplayabiliriz. x = x Number of subgroups x 8.8 x = = =.0 alt grup say ıay 8 Medyan (Orta Değer) Elimizdeki verileri artan değerler halinde dizdiğimizde ortadaki değere medyan (orta değer) verir. Şayet veri sayısı çift sayı ise ortadaki iki verinin aritmetik ortalaması medyanı verir. Medyan ortadaki değerdir, dolayısıyla verilerin %0 sinin değeri medyandan küçük olmalıdır. Medyan veriler içerisindeki uçdeğer (örneğin verilerimiz,, şeklinde giderken birden bu sayısının 0 vb çok yüksek sayı çıkması gibi ) sayılardan ortalamanın etkilendiği gibi etkilenmez. Analitik Çalışmalarda Medyan ın Yorumu (Yanıltıcı Olabilir) Veri kümesi içerisindeki uçdeğer sayıların medyanın hesaplanmasında herhangi bir etkisi olmaz. Analitik çalışmalarda bizler prosesin kendisiyle ilgilendiğimiz için veri kümesi içerisindeki uçdeğer sayılar analizimiz için kritik faktör olabilir.veri kümesi içerisindeki uçdeğer sayılar bize prosesimizde yanlış bir şeylerin gittiğini belirtir ve düzeltmemiz için ikazda bulunur. Medyan ölçümü gibi uçdeğer verilerden etkilenmeyen yöntemler analitik çalışmalarda prosesimizde yanlış giden şeyleri görmemiz açısından kullanmamız lazımdır. The Mod Herhangi bir dağılımın mod değeri dağılım içerisinde en fazla tekrarlanan veridir veya frekans poligonunda veya histogramda bulunan en yüksek veridir. Mod da medyan gibi veri kümesi içerisindeki uçdeğer sayılardan etkilenmez. Frekans dağılımı içerisinde sadece bir veri en yüksek değerli ise bu tip dağılımlara tek modlu (unimodel) dağılım denir. Şayet iki tane eşit ve en yüksek veri varsa bu tip dağılımlara çift modlu dağılım denir. Medyan gibi mod unda önemli özelliklerinden biri uçdeğer sayılardan etkilenmemesidir. Uçdeğer sayılardan etkilenen prosesimizin analitik çalışmalarında mod ikaz edici mahiyette kullanılabilir. 7

8 Oran (The Proportion) p = x/n x örneklemdeki hatalı ürün miktarı ve n örneklemdeki toplam ürün miktarını belirtmektedir. Buna göre, p = 8/8 = 0. Değişkenlik (variability) Ölçümü Tüm populasyon ve proseslerin uygun olarak belirtilen hassasiyet ölçülerine göre bazı değişkenlik derecesi vardır, populasyon veya prosesteki tüm birimler eşit (aynı ) değillerdir. Bundan dolayı bizlerin sadece veri kümesinin merkezi eğilimini (central tendency) değil aynı zamanda değişkenlik derecesini belirtebilmemiz lazımdır. Bu tip değişkenlikleri ölçümleyebilmenin iki iki farklı yöntemi vardır:. Dağılım (range). Standart sapma Dağılım (The Range) Analitik çalışmaların veri kümesinin dağılımın hesaplanmasının en kolay yöntemidir;veri kümesi içerisindeki sayılarının en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark olarak tanımlanmıştır: R = x max -x min x Üç üretim prosesinden alınan ağırlık (gram) değerleri Range Proses A Proses B Proses C Standart Sapma Dağılım ölçümü olarak kullanılan standart sapma veri kümesi içerisindeki tüm verilerin teker teker ortalama değerden olan uzaklıklarının (farklarının) hesaplanmasıyla elde edilir. Veriler arasındaki fark ne kadar büyük olursa standart sapma o kadar büyük, veriler ne kadar birbirine benzer yani aralarındaki fark az ise standart sapma o kadar küçük olacaktır. Standart Sapma Standart sapma aşağıdaki gibi hesapianır: σ = (x - μ) N 8

9 Standart Sapma Teker teker sayma ve analitik çalışmaların her ikisinde de n gözlemli bir veri grubunun (veya alt grubun) standart sapmasını hesaplarız.grup (örneklem) standart sapması diye tanımlanır ve s ile gösterilir. (x - x) s = n Üç üretim prosesinden alınan ağırlık (gram) değerleri x s Prose sa Prose sb Prose sc Şekil ölçümleri Veri kümemiz (örneklem) içerisindeki değerlerin nasıl bir grafik oluşturduğunu belirtmek için iki yöntem kullanılır. Skewness (Çarpıklık ) Kurtosis Şekil Ölçümleri Skewness (Çarpıklık) Skewness (çarpıklık), veya veri kümesinin oluşturduğu grafiğin simetri olmaması Skewness (çarpıklık) ın sayısal olarak ölçümü, Pearson un skewness (çarpıklık) katsayısı formülü aşağıdaki gibidir: ( x - M ) Skewness = e p s Skewness = 0 Skewness > 0 Skewness < 0 Şekil Ölçümleri Skewness (Çarpıklık) Skewness (çarpıklık) ı gösterebilmenin diğer bir yöntemi de dağılım grafiğinin uzantılarının incelenmesiyle olur. Simetrik bir dağılımda (grafiğin her iki uzantısı da birbirine eşit olan dağılım) skewness (çarpıklık) katsayısı sıfır olacaktır.. Skewed (çarpık) dağılımlarda (grafiğin her iki uzantısındaki frekans değerleri arasındaki fark büyük skewness (çarpıklık) katsayısı büyük olacaktır. Şekil Ölçümü Kurtosis Peakedness veya kurtosis. Dağılım grafiğindeki verilerin çoğu grafiğin orta kısmında birikmiş ve yan kollarda fazla birikmemişse (yani grafik yukarı doğru sivrilmiş ve yan kollarda fazla genişlik yoksa) Kurtosis değeri büyüktür, eğer grafiğimizin yüksekliği kısa ve kolları uzun ise Kurtosis katsayısı küçüktür. Kurtosis değerinin hesaplanması: (x - x) Kurtosis = ns - 9

10 Standart Sapmanın Yorumu Standart sapmanın yorumu, bir dağılımın ortalama değerinden belirtilen k standart sapma kadar alan içinde kalan veri oranının belirlenmesiyle yapılabilir.(?) Bu oran direkt dağılım grafiğinin fonksiyonunun verir. Standart sapmayı yorumlayabilmek için analitik çalışmada dağılım sabit (stable) olmalıdır (değişkenliğe sebep olan nedenler ortak olmalıdır). Data dağılımı üzerine dört klasik senaryo (yorum vardır: normal (zil biçiminde) dağılım Sağa çarpık (grafik için) dağılım Sola çarpık dağılım belirsiz dağılım. Normal Dağılım Bu tip veriler normal dağılımlıdır. Rasgele bir veri noktasının ortalamanın k kadar standart sapması içerisinde olabilme olasılığının bulunması durumunu belirtir: k = P(μ -σ < X < μ + σ) =.8 k = P(μ -σ < X < μ + σ) =.9 k = P(μ -σ < X < μ + σ) =.997 Skewed Dağılım (Sağ veya Sol). P( Bu tip veriler tek modludur (sağa veya sola çarpık). Rasgele seçilen bir verinin ortalamadan k standart sapması kadar olan alan içinde bulunabilme olasılığını belirten Camp-Meidel eşitsizliği aşağıdaki gibidir: - kσ < X < μ + kσ) - μ [ ]. k Denklemleri özetlersek; k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/[.] ) = 0. k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/[.] ) = k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/[.] ) = 0.90 diyebiliriz Belirsiz Dağılım Data dağılımının bilinmediği durumlarda Rasgele seçilen bir verinin ortalamadan k standart sapması kadar olan alan içinde bulunabilme olasılığı, k olsun, Chebychev s eşitsizliğinde aşağıdaki gibi belirtilmiştir: P(μ -kσ < X < μ + kσ) - (/k ) Dnklemleri özetlersek: k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/ ) = k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/ ) = k = P(μ -σ < X < μ + σ) - (/ ) = şeklinde belirtebiliriz 0

11 Normal Dağılım Hakkında Detaylar Biz genellikle X rastgele değişkeninin belirtilen iki değer arasında veya herhangi bir değerin altında veya üstünde kalma olasılığını normal dağılım kullanarak yapabilmeyi isteriz. Örneğin aşağıdaki μ ortalamalı ve σ standart sapmalı normal dağılım grafiğinde seçilen herhangi bir X değerinin belirtilen x ve x değerleri arasında olma olasılığı gösterilmektedir.