KİNETİK MODELLERDE OPTİMUM PARAMETRE BELİRLEME İÇİN BİR YAZILIM: PARES Mehmet YÜCEER, İlnur ATASOY, Rıdvan BERBER Anara Üniversitesi Mühendisli Faültesi Kimya Mühendisliği Bölümü Tandoğan- 0600 Anara (berber@eng.anara.edu.tr) ÖZET Deneysel verilerden yararlanılara ineti ifadelerdei parametrelerin tahmini genel bir optimizasyon problemidir. Bu tip problemlerde, deneysel ve model verileri arasındai hatanın en az olduğu durumdai parametrelerin bulunması amaçlanır. En genel durumda doğrusal olmayan ve onves olmayan optimizasyon problemlerinin çözümü gereir. Mevcut yazılımların bir ısmının genel uygulamaları apsamadığı, bir ısmının da ullanımının zor olduğu bilinmetedir. Özellile ineti parametrelerin belirlenmesinde ullanımı olay ullanıcı etileşimli bir arayüze ihtiyaç olduğu görülmetedir. Bu geresinimden yola çıılara MATLAB ortamında bir parametre belirleme yazılımı (PARES) geliştirilmiştir. Program, sınırlı ve sınırlı olmayan optimizasyon yöntemlerini ullanara model parametrelerini belirlemetedir. Literatürden alınan bir seri problemle PARES yazılımı test edilmiş ve ço iyi sonuçlar alınmıştır. Anahtar Kelimeler: Parametre belirleme; Tepime inetiği. GİRİŞ Parametre belirleme, gerçe zamanlı optimizasyon gibi on-line uygulamaları ve tepime inetiği modelleme gibi off-line uygulamaları apsayan genel bir problemdir. Dinami verilerden ineti ifadelerdei parametrelerin belirlenmesi imyasal sistemlerin tasarımı, optimizasyonu ve ontrolü için önem taşır. Söz onusu modeller bir seri diferansiyel-cebirsel eşitliler şelinde tanımlandıları için genelde doğrusal olmayan -çoğunlula da onves olmayan- optimizasyon problemleriyle arşılaşılır ve çözüm ço olay değildir []. Parametre belirleme geretirece tepime sistemlerini tanımlayan matemati modeller ço armaşı olabilir. Tepime meanizmasından uşu duyuluyorsa biraç farlı model de öngörülebilir. Bu durumda parametrelerin güvenilirliği ve anlamlı olması ile birlite model alitesini test etmeye de yarayaca, olay ullanılabilir etin bir çözüm algoritması ve yazılıma ihtiyaç vardır. Bu amaçla ortaya çıarılmış biraç ticari program bulunmasına rağmen, denenen sistemlerin önemli bir esri için tatmin edici sonuçlar alınamamatadır. Örneğin OPTKIN yazılımı birinci mertebe tepimeler için olduça etin bir yazılımdır faat bazı armaşı modellerin uygulamasında ullanılamamatadır []. Zamostny ve Belohlav (999) tarafından geliştirilen ERA yazılımında ise 0 bağımsız değişen, 0 cevap sonuç ısıtlaması vardır []. Ayrıca modeldei belirlenece parametre sayısı 5 ile sınırlandırılmıştır. Genel uygulamalar için ullanılabilece aademi ve yarı aademi programlar [] ise programlama becerisi veya uzman desteği geretirir ve ullanıcı etileşimli arayüzü zayıftır. Bu çalışmada; yuarıda belirtilen sınırlamaları aşan, zor modellere uygulanabilen ve ullanımı olay bir yazılım oluşturulması amaçlanmıştır. Sonuçta MATLAB 6.5 ortamında PARES yazılımı geliştirilmiş ve literatürden alınan [, ] bir seri farlı örne uygulama ile test edilere ço iyi sonuçlar verdiği görülmüştür.
. YÖNTEM. Optimizasyon ve Çözüm Algoritması Kimyasal tepime meanizmalarının matematisel formülasyonu Eşitli de verilmiştir. 0 0 0 f = f ( t, x; p), x( t ) = x, t t t () Burada y, hal değişeni vetörünü, p ise model parametrelerini göstermetedir. Şeil de parametre belirlemede ullanılan temel adımlar gösterilmiştir. Başlangıç parametre değerleri (p 0 ) Dinami modelin integrasyonu Model Amaç fonsiyonunun hesabı Deneysel veriler Yaınsama riteri Evet Optimum Parametreler Hayır Parametrelerin yeni değerlerinin NL optimizasyonla hesabı p yeni Sınırlamalar Şeil. Parametre belirleme temel adımları Dinami optimizasyon probleminin çözümü için ontrol vetör parametrelemesine dayalı, duyarlılı fonsiyonları bilgisini geretirmeyen prati bir yalaşım ullanılmıştır. Sadece arar değişenleri disretize edilere ontrol vetörü oluşturulmuştur. Optimizasyon değişenlerinin başlangıç değerlerinden başlayara her aralıta model integre edilmiş, bu arada bir aralığın sonunda elde edilen hal değişeni değerleri, onu taip eden aralı için başlangıç değerleri olara alınmıştır. Bu şeilde ilerlenere zaman ufunun sonuna ulaşıldığında amaç fonsiyonunun değeri elde edilebilmiştir [5]. Model parametrelerinin belirlenmesinde, Quasi-Newton, Nelder-Mead Simplex, Gauss-Newton, Levenberg-Marquar, Sequential Quadratic Programming (SQP) optimizasyon algoritmaları ullanılabilmetedir. Amaç fonsiyonu olara Eşitli de verilen tüm hal değişenleri için tahmin ve deneysel veriler arasındai hata farının areleri toplamı seçilmiştir. Diferansiyel denlemlerin integrasyonunda. dereceden Runge-Kutta yönteminden yararlanılmıştır. J = n m ( x ij x d ij ) i= j=, () Burada J: amaç fonsiyonu, x: hesaplanan veriler, x d : deneysel veriler, n: toplam hal değişeni sayısı ve m: toplam gözlem sayısıdır.
.. PARES Yazılımı Doğrusal olmayan optimizasyon problemlerinde Gauss-Newton, Levenberg-Marquar ve SQP (Sequential Quadratic Programming) algoritmaları en ço ullanılan yöntemlerdir. Bu çalışmada geliştirilen program, SQP, Gauss-Newton (G-N), Levenberg-Marquar (L-M), Nelder-Mead simplex direct search (N-M), Quasi Newton (Q-N) optimizasyon yöntemlerini seçimli olara ullanabilmetedir. PARES yazılımı, MATLAB 6.5 ortamında geliştirilmiş ullanıcı etileşimli bir arayüze sahiptir. Kullanıcı, açılan M-dosyasına, örnelendirildiği şeilde, endi modelini girebilmetedir. Daha sonra sıralı adımlarla deneysel veriler, probleme özgü zaman aralığı, başlangıç değerleri, varsa parametrelerin alt ve üst sınırları programa tanıtılmata ve ullanılaca optimizasyon yöntemi seçilmetedir. Yazılım, farlı amaç fonsiyonlarını ullanara en iyi model parametrelerini endisi saptayıp vermete, ayrıca modelin deneysel verilere uyumunu grafisel olara yansıtmatadır. Kullanıcı arayüzünün genel görüntüsü Şeil de verilmiştir. PARES yazılımı amaç fonsiyonunun son değerini de yansıttığı için değişi modellerin denenmesinde olayca ullanılabilece nitelitedir. Şeil. PARES yazılımının genel görüntüsü. TEST ÖRNEKLERİ Örne. Birinci mertebe tersinir seri tepime. Model, hal değişeni ve ineti parametre içermetedir. Diferansiyel eşitliler aşağıda verilmiştir. = β. x = β. x A + β. x β. x,, x B 0 C = β. x = [,0, 0] ( β + β ). x t [0,] + β. x Burada x, hal değişeni vetörü olup [A, B, C] derişimlerini göstermetedir. Parametre vetörü β, [,,, ] olara tanımlanmıştır. Problem verileri literatürden alınmıştır []. ()
Örne- Cinnamaldehyde in ataliti hidrojenasyonu. Problem ve tüm veriler, öncei örnete olduğu gibi literatürden alınmıştır []. Tepime şeması aşağıda gösterilmiştir. Deneyler izotermal, izobari, arıştırmalı yarı esili bir tepime abında gerçeleştirilmiştir. B A C r = = θ () θ A, r = θ A, r = θ A, r A B C D r r = r r, = r r, = r + A =, r (5) Burada r: tepime hızı, : hız sabiti, t: zaman ve θ i : i bileşeni için atalizör yüzey aplama esri. SONUÇLAR D PARES ullanılara literatürden alınan bir seri ineti problemin çözümü yapılmış ve değişi optimizasyon yöntemleriyle ço iyi sonuçlar elde edilmiştir. Programda parametre ve değişen ısıtlaması olmadığı için armaşı ve farlı problemlerin çözümünde büyü rahatlı sağlamatadır. Böylece, ineti model parametrelerini sağlılı bir şeilde belirleyen, ullanımı olay ve güvenli bir yazılım ortaya çıarılabilmiştir. Örne ve Örne için farlı optimizasyon yöntemleri ile elde edilen sonuçlar ve literatürden alınan sonuçlar sırasıyla Çizelge ve Çizelge de verilmiştir. Çizelge. Örne için PARES ve literatür sonuçlarının arşılaştırılması Yöntem P o İter Amaç Parametreler CPU(s) Fon. P P P P L-M P 0 5.5e- 9..00.00 8. 9.05 P 0 55 8.9698e-.00.997 8.57 9. N-M P 0 0.8897e-7 6.8.000.000 0.0 0.006 P 0 69.8897e-7 0.7.000.000 0.0 0.006 Q-N P 0.900e-7..000.000 0.000 0.000 P 0 7 0.007 55..897.877 9.5 00.8 SQP P 0.90e-7..000.000 0.00 0.00 P 0 7.889e-7 97.9.000.000 0.007 0.00 Esposito vd. [] 8.67e-7 59.07.00.00 9.80 9.90 Esposito vd. [] 80.890e-7 56.05.000.000 0.0 0.0 Optimum 0 0 Alt Sınır 0 0 0 0 Üst Sınır 0 0 50 50 Kolloasyon yalaşımı [] Integrasyon yalaşımı [] Başlangıç parametre seti-: P 0 = 0 0 0 0 Başlangıç parametre seti-: P 0 = 50 50 50 50
Çizelge. Örne için PARES ve literatür sonuçlarının arşılaştırılması Yöntem P o İter Amaç Parametreler CPU(s) Fon. P P P P P5 P6 P7 G-N* P 0 0.05767 7.9 0.07880 0.007757 0.0579 0.955.878 0.00997 0.0009 P 0 7 0.087 7. 0.07800 0.00686 0.077.97057.707.96808 0.0995 L-M P 0 0 0.508 7. 0.0788 0.0065 0.05966 0.500007.00065 0.009 0.0007 P 0 57 0.09650 57. 0.079678 0.00579 0.0768 5.00690.758 5.000 0.5559 N-M P 0 80 0.00858. 0.0756 0.098 0.008 0.5706.555 0.95 0.0 P 0 0 0.05595 79 0.085655 0.0057 0.0690.70.75006 0.000090 0.00 Q-N P 0 7 0.0069060 6. 0.079 0.00959 0.07 0.5575.70 0.0758 0.5090 P 0 - - - - - - - - - - SQP P 0 6 0.006906.5 0.0700 0.00955 0.0709 0.7567.9 0.070 0.506 P 0 0 0.0069 7.5 0.07907 0.009568 0.070.9590.560 0.07675 0.90 Zamonstny vd. (999) [] 0.00695-0.078 0.0098 0.0765 0.70.059 0.06976 0.779 Optimum 0.077 0.0099 0.07 0.80.90 0.06566 0.6007 Alt Sınır 0.06708 0.00665 0.07 0.786 0.977 0.00005.8e-7 Üst Sınır 0.09077 0.055 0.05 0.0.05 0.006 0.580 Modifiye edilmiş adaptif rastgele tarama algoritması [] *Gradiyent zayıf L-M yöntemine geçiş Başlangıç parametre seti-: P 0 = 0.08 0.009 0.08 0.5. 0.0 0.00 Başlangıç parametre seti-: P 0 = 0.0 0.05 0.09.5 6.5 0.05 0.005
Örne için farlı başlangıç parametre setleri ullanılara çözüm yapılmış ve SQP yöntemi ile en iyi sonuca ulaşıldığı görülmüştür. N-M yöntemiyle ço düşü amaç fonsiyonu değerine ulaşılmasına arşın iterasyon sayısı ve CPU zamanı yüse bulunmuştur. Başlangıç parametre değerlerine bağlı olara sınırlı olmayan optimizasyon yöntemlerinden bazılarında bulunan parametreler sınırların dışına çımıştır. Q-N yönteminde. başlangıç parametre seti ullanıldığında bu durum görülmetedir. Bu örne için Çizelge e baıldığında amaç fonsiyonu, iterasyon ve CPU zamanı olara literatürden [] daha iyi sonuçlara ulaşılabilmiştir. Örne de ise SQP yönteminin farlı başlangıç parametre seti için ço iyi sonuçlar verdiği Çizelge de görülmetedir. Q-N yöntemi ile uygun başlangıç parametre seti ullanıldığında etin bir şeilde çözüme ulaşılmıştır. Anca, başlangıç parametre setinin çözümden ço uza olması ve sınırların dışında alması durumunda sonuç elde edilememiştir. ERA yazılımıyla [] elde edilen sonuçlarla SQP yönteminin sonuçları arşılaştırıldığında SQP nin daha düşü amaç fonsiyonuna ulaştığı görülmüştür. Örne için SQP yöntemiyle elde edilen parametreler ullanılara gerçeleştirilen benzetim sonuçları Şeil te verilmiştir. Bu çalışma ile ullanımı olay, farlı optimizasyon tenilerini ve amaç fonsiyonlarını seçime bağlı olara ullanabilen, sonuçları grafisel olara arayüz üzerinde gösteren yeni bir yazılım ortaya çıarılmıştır. Şeil. Örne için SQP yönteminden elde edilen parametrelerle benzetim sonuçları 5. KAYNAKLAR [] Bard, Y.,Nonlinear parameter estimation. Academic Press, New Yor, 97. [] Zamostny, P. and Belohlav, Z., A software for regression analysis of inetic data, Computers & Chemistry,, 79-85, 999. [] Stewart, W. E., Caracotsios, M., Sorensen, J.P., Parameter estimation from multiresponse data, AIChE J. 8 6-650, 99. [] Esposito, W. R. and Floudas, C. A., Global optimization for the parameter estimation of differential algebraic systems, Ind. Eng. Chem. Res., 9, 9-0, 000. [5] Agun, U., Maya Fermentasyonunda Besleme Hız Profilinin Optimizasyonu, Yüse Lisans Tezi, Anara Üniversitesi, 00.