Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ
Giriş ve Amaç Hata Teorisi, Hata Türleri Ölçü ve Hata Hata Türleri Doğruluk Ölçütleri Kovaryans ve Korelasyon Hata Yayılma Kuralı Ölçülerin Dengelenmesi Dolaysız Ölçüler Dengelemesi Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
Dengeleme hesabının amacı; gereğinden fazla sayıda yapılmış ölçülerden hiç birini seçip ayıklamaksızın bilinmeyenlerin Kesin Değer ya da Dengeli Değer diye adlandırılan en uygun değerini belirlemek, ölçülerin kesin değerlerinin ya da duyarlıklarının ve güvenilirliklerini saptamaktır. Bu amaca ulaşabilmek için uygulanan ilke EN KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ dir.
Ölçüler aynı alet, aynı ölçmeci ve aynı koşullar altında yapılsa bile, geometrik ya da fiziksel büyüklüklerin ölçülmesi sonucunda elde edilen değerler hata ile yüklüdür. Söz konusu hatalar; 1.Ölçme işini yapanların duyu organlarının yetersizliğinden, 2. Ölçü aletlerinin yeterince gelişmiş olmamalarından, 3. Fiziksel çevre koşullarından kaynaklanabilir. Bu nedenle uygulamada gerekli sayıda ölçü ile yetinilmez, gereğinden fazla ölçü yapılır. Ölçüler arasındaki ilişkileri görebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki fonksiyonel ilişkileri kurabilmek için dengeleme hesabı yapılır.
Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisleri iyi bilir ki; Ölçme işlemi aynı kişi, aynı alet ve aynı koşullar altında tekrarlansa bile sonuçlar birbirinden az ya da çok farklı olur. Teorik anlamda hatasız ölçü olmayacağı için gereğinden fazla ölçüm yapılarak ölçülerdeki hataların olumsuz etkilerinden kurtulmaya çalışılır. Ölçülen büyüklüğün gerçek değeri belirlenemez. Gerçek değeri kesin olarak belirleyebilmek için sonsuz ölçüm yapmak gerekir. Bunun yerine DENGELEME HESABI ile ölçüye ait iyi bir kestirim değeri (Kesin Değer) elde edilebilir. Dengeleme Hesabının yapılabilmesi için tek koşul fazla ölçü sayısının olmasıdır. u bilinmeyenli bir problem için (n) adet ölçü verilmişse; f=n-u : Fazla ölçü sayısı olmak üzere f>0 ise dengeleme yapılır f=0 ise cebrik çözüm yapılır f<0 ise ancak varsayımlara dayalı bir çözümden bahsedilebilir.
Dengeleme Hesabı ile tüm ölçülerden yararlanarak bilinmeyenlerin gerçek değer olma olasılığı en yüksek olan dengeli değer elde edilir.
Her ölçü hata ile yüklüdür Dengeleme Hesabının amacı Kesin Değer diye adlandırılan temel değerin bulunmasıdır. Bir ölçünün beklenen değerden farkına hata ya da ölçü hatası adı verilir. Beklenen değer genellikle bilinmediğinden onun yerine kestirim değeri kullanılır.
Gerçek Değer; Teorik anlamda hatasız ölçü yapılamayacağı için ölçülerin gerçek değeri bilinemez. Üçgenin iç açıları toplamı gerçek değerdir Kesin Değer; Gerçek değer olma olasılığı en yüksek olan ve gereğinden fazla sayıda ölçülerden dengeleme hesabı ile bulunan değerlerdir. Hata=Ölçü-Olması gereken değer f = l x Düzeltme ise hatanın ters işaretlisidir. v = x l = f Ölçü-Gerçek Değer=Gerçek Hata l η = ε
Ölçü-Kesin Değer=Kesin Hata l x = f ε = η l Gerçek Düzeltme v = x l Düzeltme
Oluşumları bakımından hatalar başlıca 3 gruba ayrılır Kaba Hatalar; Ölçmecinin dalgınlığı ya da yorgunluğu nedeni ile ortaya çıkan hatalardır. Açı ölçümündeki Grad hatası, Çelik şerit metre ile ölçümde tam sayı unutulması vs Bu hataları ortadan kaldırmak için büyüklükler çok sayıda tekrarlanır. Ölçü dizisinde diğerlerinden önemli bir şekilde sapan değerlerden kuşkulanılır. Düzenli (Sistematik) Hatalar; Ölçüleri düzenli, çoğunlukla kurallı bir biçimde etkileyen hatalardır. Örnek olarak Nivelmanda mira ölçek hatası, Çelik şerit metrede sıfır noktası hatası vs Bu hataların en önemli özelliği değişmeyen şartlar altında eşit büyüklükler olarak ortaya çıkmalarıdır. Ölçü aletleri ayarlanarak etkileri azaltılabilir.
Düzensiz (Rasgele, Tesadüfi) Hatalar; Ölçü hatalarının en önemli sınıfını ve dengeleme hesabının konusunu oluşturan hata türüdür. Bir ölçünün rasgele hatasının büyüklüğü ve işareti önceden kestirilemez. Bu hatalar, ölçme aletlerinin kusursuz olmaması, gözlemcinin algılama gücünün sınırlı olması, sıcaklık, basınç, rüzgar gibi dış etkenlerin değişken olmasının doğal sonucu olarak ortaya çıkar.
Ölçülerden herhangi birinin ne kadar güvenilebilir olduğu konusunda bilgi verebilmek için tanımlanmış ölçütlerdir. Aynı bir büyüklüğün birden çok ölçülmesi sonucunda elde edilen ölçü dizilerinden yararlanılarak tanımlanır. İşaretlerinin pozitif olma olasılığı negatif olma olasılıklarına eşit olmalarından dolayı işaretleri olarak ± alınır. Doğruluk gerçek değere olan yaklaşımdır. Duyarlık ise birden çok sayıda yapılan ölçmelerin kendi aralarındaki tutarlılığın bir göstergesidir. Bu ölçütler, ölçülerin ne denli güvenilir oldukları konusunda bilgi vermek için tanımlanmıştır. Doğruluk ölçütleri bir aralık tanımladığı için ± işareti ile yazılır. Duyarlık olarak ifade edilen sayısal değerin küçüklüğü ölçünün kalitesini, büyüklüğü ise kalitesizliğini gösterir.
Gerçek değeri bilinen bir büyüklüğün n kez ölçülmesi durumunda; ε i = l i η (i=1,2,3,.,n) Gerçek hata=ölçü-gerçek Değer Mutlak Hata ise t ile simgelenir t = ± n i=1 n ε i
Ortalama hata yerine daha çok standart sapma deyimi kullanılır. Dengeleme hesabında ise ortalama hataya karesel ortalama hata denilir. Bu ölçüt en çok kullanılan ölçüt olup Gauss tarafından tanımlanmıştır. Ölçü dizisindeki gerçek hataların karelerinin ortalamasının karekökü olarak hesaplanır. m = ± εε n Formüle bakıldığında hatalar kareleri oranında ortalama hataya tesir ettikleri için büyük hataların sonuca etkisi yüksektir. Bu nedenle ortalama hata kaba hatalı ölçülerden aşırı etkilenir.
Aynı bir büyüklüğün ölçülmesi sonucunda elde edilen bir ölçü dizisinin gerçek hataların ya da ölçülerin kesin değerden farkları olan düzeltmelerin kareleri toplamı ölçü sayısına bölünür ve hesaplanan bu değerin karekökü alınarak bulunur. Yaygın olarak kullanılan bir duyarlık ölçütüdür. Hatalar kareleri oranında ortalama hataya tesir ettikleri için büyük hataların sonuca etkisi büyüktür. Bu nedenle ortalama hata kaba ölçülerden aşırı olarak etkilenir.
Eğer ortalama hata gerçek değerlerden (gerçek değerler her zaman bilinemez) elde ediliyorsa;
Eğer ortalama hata düzeltme değerlerinden elde ediliyorsa Şeklinde formülüze edilir. Bu formül duyarlıkları (ağırlıkları) eşit korelâsyonsuz ölçüler için geçerlidir. Burada n ölçü sayısıdır. Gerçek değer bilindiği zaman, bilinmeyen olmadığından dolayı paydaya n yazılır. Gerçek değer bilinmediği zaman paydaya n-1 yazılır. Buradaki 1 rakamı bilinmeyen sayısını ifade eder.
Mutlak değer olarak büyüklük sırasına dizilmiş gerçek hata kümesinin medyanı olası hata değeridir. Bir dizinin medyanı eleman sayısı tek ise dizinin ortasındaki değer, eleman sayısı çift ise ortadaki değerin aritmetik ortalamasıdır. Bağıl Hata; Bir ölçüde yapılan hatanın ölçüye oranıdır. Bağıl Hata = Hata Ölçü
Bir uzunluğun gerçek değeri 1385.765 m olarak verilmiştir. Bu büyüklüğe ait 10 adet ölçü de aşağıda verildiğine göre; Ölçülere ait gerçek hataları Karesel ortalama hatayı Mutlak hatayı Olası hatayı Bağıl hatayı bulunuz..765.767.766.765.768.766.763.760.769.763
Uzunluğu 100.000 m olan bir ayar bazı iki ayrı ölçme ekibince mm birimine kadar okuma yapılarak çelik şeritle 20 şer kez ölçülmüştür. Her iki ölçme ekibinin elde ettiği sonuçlar verildiğine göre ölçü dizisi için bir ölçünün ortalama hatasını, ortalama hatasını ve olası hatasını hesaplayınız.
l 1 l 2 100.002 100.000 99.998 99.999 99.995 100.005 100.003 100.007 100.000 99.994 100.003 99.995 100.001 99.997 99.998 100.002 99.998 100.004 100.004 99.998 100.002 99.994 100.001 100.000 99.998 100.002 99.996 100.006 99.999 99.999 99.995 99.994 100.002 100.006 100.002 99.997 100.001 99.997 100.004 100.002
Bir ölçü çok sayıda tekrarlandığında ortaya çıkan hatalar incelenirse bunların belirli kurallara uyduğu görülür; (+) işaretli hata sayısı yaklaşık olarak (-) işaretli hata sayısına eşittir. Küçük hata yapma olasılığı büyük hata yapma olasılığından büyüktür. Hataların sıfır civarında yığılmaları en fazladır.
Gauss a göre bir (ε) hatasının gerçekleşme olasılığı; f ε = 1 σ 0 2π e ε2 2σ 0 2 < ε < + σ 0 = m 0 ; Birim ölçünün ortalama hatası e= 2.718281 ε = x μ ; Gerçek hata
Dengelemenin amacı, fazla ölçülerden yararlanarak bilinmeyenlerin en uygun, olasılığı en fazla olan değerlerini elde etmek, ölçülerin ve bilinmeyenlerin duyarlıkları hakkında bilgi edinmektir. Düzeltmeler v 1, v 2,.. v n ile gösterilirse bu düzeltmelerin olasılıkları; P(v 1 )=φ(v 1 )= 1 m 0 P(v 2 )=φ(v 2 )= 1... m 0 P(v n )=φ(v n )= 1 m 0 2π e 2π e 2π e v1 2 2m 0 2 v2 2 2m 0 2 vn 2 2m 0 2 olur
Dengeleme hesabında bu düzeltme verilerinin ölçülerin hepsine uygulanması istenir. Bu olayın olasılığı P(D) ile gösterilirse, olasılık hesabının çarpım kuralına göre; A ve B olasılıkları P(A) ve P(B) olan iki olay ise bu iki olayın örneklemede birlikte olma olasılıkları; P(A B) =P(A)*P(B A)=P(B)*P(A B) ile hesaplanır P(B A); Koşullu olasılık P(B A)= P(A B) P(A) P(A B), P(A B)= olur P(B) 2 e v 1 +v 2 2 + +vn 2 P(D)=φ(v 1 )= 1 m 0 2π n 2m 2 0 olarak bulunur. 2 Dengeleme hesabının amacı, olasılığı maksimum olan değeri elde etmek olduğundan; P(D)=Max olması gerekir.
P(D) maksimum olması için; v 1 2 +v 2 2 + +v 2 n 2m2 =minimum olması gerekir. 0 v 1 2 + v 2 2 + + v n 2 =[VV]=V T V=Min Yukarıdaki son eşitlik duyarlıkları eşit ölçülerin En Küçük Kareler Yöntemine göre dengeleme ilkesi denilir.
Duyarlıkları farklı ölçülerin dengelenmesi sonucunda duyarlığı ±mi olan bir l i ölçüsüne v i düzeltmesi getirme olasılığı; v i 2 P(v i )=φ(v i )= 1 m i 2π e 2m 2 i i=1,2,.,n P(D)=P(v 1 ) P(v 2 ). P(v n ) Ağırlık Tanımı; P i = 1 mi 2 Burada P(v i ) değerleri yerine koyulursa; P(D)=φ(v 1 )= 1 2π n e P1v1 2 m 1.m 2 m n Burada P(D)=Max olabilmesi için; 2 +P 2v2 2 + +Pnvn 2 P 1 v 1 2 + P 2 v 2 2 + + P n v n 2 =[PVV]=V T PV = Min Ağırlıkları farklı gözlemlerin En Küçük Kareler Yöntemi ile Dengelem İlkesidir. 2
Gauss ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk fonksiyonunun çan eğrisi şeklinde olduğunu kanıtlamış ve buna Hata Eğrisi adını vermiştir. Sıklık ε (hata)
Rasgele Değişken; Rastgele bir örneklemenin sonucunu gerçel sayılarla gösteren bir fonksiyondur. (Trafikteki kaza sayısı, Şehirde yaşayan insanların boyları, yoldan geçen otomobil sayısı vs ) Bir X rassal değişkeninin a değerini alma olasılığı P(X=a) X in I(a,b) aralığında olma olasılığı P(a<X<b) X in c den küçük ya da eşit olma olasılığı P(X c) X in - ile + arasında olma olasılığı P(- <X< + )=1 X in c den büyük olma olasılığı P(X>c)=1- P(X c) Olur
Düzgün bir zarla atışta elde edilecek X rastgele değişkeni durumu P(X=1), P(X=2) P(1<X<2), P(1 X<2) P(3 X 4), P(1 X<4) P(1 X 6), P(- <X< + )
X rastgele değişkeninin ortalama değer civarındaki yaygınlığının ölçütüdürler. Bir rastgele değişkenin aldığı değerler ortalama değer civarına ne kadar yığılırsa dağılımın varyansı (σ 2 ) ya da standart sapması (σ) o derece küçük olur.
Bir dağılımın ortalama ya da ümit değeri μ ile gösterilir. μ = + xf x dx formülü ile hesaplanır.
f(x)= 1 6 x=1, 2,.., 6 Ümit Değer; μ = 1. 1 6 + 2. 1 6 + 3. 1 6 + 4. 1 6 + 5. 1 6 +6. 1 6 =? Bu zar ile 1000 atış yapılırsa atılan sayıların toplamının 1000*? Olması beklenir.
Ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk fonksiyonu çan eğrisi biçimindedir ve buna Normal Dağılım ya da Gauss Dağılımı denir. σ(ε) φ(ε) -m 0 +m 0 Olasılık fonksiyonu φ(ε) nun -m 0 ile +m 0 sınırları arasında kalan alanı tüm alanın %68 idir. Yani ölçü hatalarının %68 i bu aralıkta yığılmıştır. ε
Sınırlar φ(ε) 1-φ(ε) -m 0 ile +m 0 0.6827 1/3-2m 0 ile +2m 0 0.9546 1/20-3m 0 ile +3m 0 0.9973 1/400-4m 0 ile +4m 0 0.9999 1/10000 Yukarıdaki tablodaki bilgilerden, rasgele ölçü hatalarının 1/400 ünün başka bir değişle 1000 hatadan yalnızca 3 ünün mutlak değerce, ortalama hatanın 3 katından büyük olduğu görülmektedir. Bu nedenle jeodezik çalışmalarda genellikle ortalama hatanın 3 katı, hata sınırı olarak kabul edilir ve bundan daha büyük hatalar kaba hata olarak yorumlanır.
u = X μ σ Burada X; Rastgele Değişken, μ; Ümit Değer ve σ; standart sapmadır. F(x)=φ( X μ )=φ(u) σ P(x 1 < X < x 2 ) = F x 2 F x 1 =φ( X2 μ σ )-φ(x1 μ) σ =φ u2 φ(u1) φ u = 1 φ(u)
Bir açı ölçüsünün ortalama değeri 42.6540 grad ve standart sapması 8 grad saniyesi olarak verilmektedir. Ölçülen bir açının 42.6564 graddan büyük olması Ölçülen bir açının 42.6530 ile 42.6560 grad aralığında olma olasılıklarını hesaplayınız
Bir açı büyüklüğünü gösteren X değişkeni normal dağılımlıdır. Beklenen değer μ=400 grad ve standart sapması σ=2 mgrad dır. Ölçü değerleri için; 399.9980 graddan küçük olması 399.9980 ile 400.0030 grad aralığında olması 400.0040 graddan büyük olması olasılıklarını hesaplayınız
Kovaryans iki rastgele değişken arasındaki ilişkiyi gösteren bir parametredir. Kovaryans (+), (-) işaretli herhangi bir değer veya sıfır olabilir. x ve y normal dağılımlı iki rastgele değişken ise ikisi arası kovaryans σ xy ; σ xy = E( x μ x y μ y ) biçiminde tanımlanır. σ xy (+) ise x ve y değişkenler artı korelasyonlu, (-) işaretli ise eksi korelasyonludur denir. σ xy = 0 ise korelasyonsuz yani birbirinden bağımsızdır. Korelasyon ise kovaryansın standartlaştırılmış halidir.
x ve y rastgele değişkenleri standartlaştırılırsa bunların çarpımlarının beklenen değerine Korelasyon Katsayısı denilir. Korelasyon katsayısı ρ xy ; ρ xy =E x μ x σ x y μ y σ y = σ xy σ x σ y dir. ρ xy birimsiz bir büyüklüktür ve -1 ile +1 arası değerler alır. Kovaryans her değeri alabileceğinden uygun bir korelasyon ölçütü değildir. Bu nedenle korelasyon ölçütü olarak korelasyon katsayısı kullanılır. Korelasyon katsayısı sıfıra ne kadar yakın ise x ve y değişkeni arasında zayıf, ±1 e yakınsa kuvvetli bir ilişkiden söz edilir.
Ölçülen büyüklüklerin gerçek büyüklükleri η x,η y, ölçüler ise l xi, l yi olsun; ε xi = η x -l xi ε yi = η y - l yi sapmaları ile varyans ve kovaryans için; m x 2 = ε x T ε x n, m y 2 = ε y T ε y n, m xy 2 = ε x T ε y n eşitlikleri geçerli olur Ölçülen büyüklüklerin gerçek değerleri bilinmiyorsa varyanslar ve kovaryanslar düzeltmeler yardımı ile belirlenir; m 2 x = V x T V x, m n 1 y 2 = V y T V y, m n 1 xy 2 = V x T V y n 1
r xy = m xy m x m y -1 r xy 1 olarak hesaplanır. r xx ve r yy ise otokorelasyon katsayılarıdır. Örnek; Her ikisi de n elemanlı x ve y kümesinin standart sapmaları σ x = 1.11, σ y =2.22 ve aralarındaki kovaryans σ xy = 1.25 olduğuna göre korelasyon katsayısını hesaplayınız
Leica TS15 marka uzaklık ölçerin ayarlanması ve bu aletle yapılan uzunluk ölçüleri arasındaki korelasyonların belirlenmesi amaçlanmaktadır. Ülke nirengi ağının Zonguldak/Merkez bazı bu aletle 30 u öğleden önce ve 30 u öğleden sonra olmak üzere 60 kez ölçülmüştür. Bu bazın invar telle ölçülüp indirgenmiş uzunluğunun 9605.343 m olduğu bilindiğine göre, bu aletle ölçülen uzunlukların ortalama hatalarını ve aralarındaki korelasyonları hesaplayınız.
x 1, x 2,..,x n normal dağılımlı rasgele değişkenler (ölçüler) bir x vektörü altında toplanırsa x vektörüne; x = x 1 x 2. x n T normal dağılımlı n boyutlu rasgele değişken adı verilir. μ = μ 1 ise; μ 2. μ n T Değişkenin beklenen değerler vektörü Buna göre x i -µ i farkları; x μ = x 1 μ 1 x 2 μ 2..... x n μ n T olur.
x μ x μ T çarpımının beklenen değeri ise nxn boyutlu bir matristir. E x μ x μ T = C xx Bu matrisin köşegen elemanlarının beklenen değerlerinin x i rasgele değişkeninin varyansları; E x i μ 2 2 i = σ i köşegeni dışındaki elemanların beklenen değerlerinin x i ve x k rasgele değişkenleri arasındaki kovaryanslar, E x i μ i (x k μ k ) = σ ik ve σ ik = σ ki olduğu göze alınırsa
C xx = 2 σ 1 σ 12 σ 1n σ 12 2 σ 2 σ 2n σ 1n σ 2n σ2 n matrisi elde edilir. C xx matrisine x vektörünün varyans-kovaryans matrisi denilir. x 1, x 2,..,x n rasgele değişkenleri arasında korelasyon yoksa C xx kovaryans matrisi köşegen matrise dönüşür. C xx = 2 σ 1 0 0 0 2 σ 2 0 0 0 2 σ n
Bir ölçünün varyansı küçükse doğruluğu yüksek, büyükse doğruluğu düşüktür denir. Buna göre doğruluk derecesi varyans büyüklüğü ile ters orantılıdır. Bu yüzden doğruluk ölçütü olarak varyanslar yanında onların tersleriyle orantılı, ağırlık adı verilen başka büyüklükler de kullanılır. Bu tanıma göre ağırlığı büyük olan bir ölçünün doğruluğu yüksek, ağırlığı küçük olanın doğruluğu düşüktür.
Varyansı σ i 2 olan bir ölçünün ağırlığı P i için; P i = σ o 2 σ i 2 (σ 0 2 :sabit, Birim ağırlıklı varyans) yazılabilir. matrisine bağımsız ölçüler için P 1 0 0 P xx = 0 P 2 0 0 0 P n ağırlık matrisi denilir.
Bağımsız ölçülerin C xx kovaryans matrisi ile bağımsız ölçülerin P xx ağırlık matrisi arasında; C xx = 2 σ 1 0 0 0 2 σ 2 0 0 0 2 σ n, P xx = P 1 0 0 0 P 2 0 0 0 P n P xx = σ 2 1 0 C xx ilişkisi vardır.
C xx kovaryans matrisi, birim ağırlıklı varyans ile bölünürse ağırlık katsayıları (Kofaktör) matrisi; Q xx = 1 σ 0 2 C xx = Q 11 Q 12 Q 1n Q 12 Q 22 Q 2n Q 1n Q 2n Q nn, Q ii = 1 P i elde edilir. P xx = Q 1 xx = σ 2 0 C 1 xx ilişkisi ortaya çıkar.
Hataların Yayılma Kanunu
Hata yüklü bir ölçüden faydalanılarak hesaplanabilen diğer bir büyüklük te hata yüklü olacaktır. Hesaplanan büyüklüklerdeki hataların ölçü hatalarının fonksiyonları biçiminde belirlenmesine Hata Yayılması denilir. Doğrultu, uzunluk, faz, kod, zaman vb. elemanlar direk gözlenir ve elde edilmek istenen diğer büyüklükler (genelde koordinatlar) bu ölçülerin matematiksel fonksiyonları yardımıyla hesaplanır. Ölçüler az ya da çok hatalı olduğu için onlardan elde edilen büyüklükler de hatalı olur. Fonksiyonlardan elde edilen büyüklüklerin ölçü hatalarından nasıl etkilendiklerini gösteren bağıntıya Hata Yayılma Kuralı denir. Ölçülen büyüklüklerin ortalama hatalarının bilindikleri durumlarda ölçülerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasının hesaplanması dengeleme hesabının çok sık rastlanan konularındandır. Hata yayılma kuralı sadece ilk ölçülere uygulanır.
Deneysel varyansları (karesel ortalama hataları) m 1 2 ve m 2 2, deneysel kovaryansları m 12 olan l 1 ve l 2 ölçülerinin herhangi iki fonksiyonu; x = f l 1, l 2 y = g l 1, l 2 biçiminde yazılabilir. Bu fonksiyonların ölçülere göre diferansiyelleri; dx = f l 1 dl 1+ f l 2 dl 2 dy = g l 1 dl 1+ g l 2 dl 2 olur. Kısmi türevlerde l 1 ve l 2 nin ölçülen değerleri yerine konularak; a 1 = f l 1, a 2 = f l 2, b 1 = g l 1, b 2 = g l 2 diferansiyelleri ; katsayıları hesaplanırsa, x ve y fonksiyonlarının dx = a 1 dl 1 + a 2 dl 2 dy = b 1 dl 1 + b 2 dl 2 olur. Gerçek hataların (ε) ölçülere göre çok küçük oldukları göz önüne alınarak diferansiyel artımlar yerine gerçek hatalar yazılırsa; ε x = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 ε y = b 1 ε 1 + b 2 ε 2 elde edilir. Bu eşitliklere Gerçek Hataların Yayılma Kuralı denilir.
İlk ölçülerin n sayıda yinelendikleri varsayılırsa bunlar L 1 ve L 2 vektörlerinde toplanabilir. Bu durumda L 1 ve L 2 nin fonksiyonları olan x ve y büyüklükleri x ve y vektörlerini oluşturur. Bütün bu sayılan büyüklüklerin gerçek hataları ε 1, ε 2, ε x, ε y vektörlerinde toplanırsa; ε x = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 ε y = b 1 ε 1 + b 2 ε 2 bağıntıları elde edilir. Bu eşitliklerin her iki tarafının karesi alınırsa; ε x T ε x = a 1 2 ε 1 T ε 1 + 2a 1 a 2 ε 1 T ε 2 +a 2 2 ε 2 T ε 2 ε y T ε y = b 1 2 ε 1 T ε 1 + 2b 1 b 2 ε 1 T ε 2 +ba 2 2 ε 2 T ε 2 ε x T ε y = a 1 b 1 ε 1 T ε 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 ε 1 T ε 1 + a 2 b 2 ε 2 T ε 2 olur. Bu eşitliklerin her iki tarafı ölçü sayısı olan n ye bölünerek deneysel varyansın tanımından; m x 2 = a 1 2 m 1 2 + 2a 1 a 2 m 12 + a 2 2 m 2 2 m y 2 = b 1 2 m 1 2 + 2b 1 b 2 m 12 + b 2 2 m 2 2 m xy = a 1 b 1 m 1 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 m 12 + a 2 b 2 m 2 2 bağıntıları elde edilir. Bu son bağıntılara Genel Hata Yayılma Kuralı denilir.
İlk ölçülerin (l 1, l 2 ) korelasyonsuz oldukları durumlarda m 12 = 0 olduğundan karesel ortalama hata bağıntıları; m x 2 = a 1 2 m 1 2 + a 2 2 m 2 2 m y 2 = b 1 2 m 1 2 + b 2 2 m 2 2 m xy = a 1 b 1 m 1 2 + a 2 b 2 m 2 2 biçimini alır. İlk ölçülerin herhangi bir fonksiyonu; f = F(l 1, l 2, l n ) olarak tanımlanırsa bu fonksiyonun ortalama hatası; m f = ± F l 1 2 m1 2 + F l 2 2 m2 2 + + F l n 2 mn 2 biçiminde yazılabilen Hata Yayılma Kuralı bağıntısından hesaplanır. Uyarılar; Hata yayılma kuralı yalnızca yeterince ölçü varsa uygulanır. Fazla ölçü varsa Hata Yayılma Kuralı uygulanmaz. Fonksiyonun kesin değeri ve ortalama hatası dengeleme hesabı yapılarak bulunur.
Bir ABC üçgeninin iki kenarı (c, b) ve aralarındaki α açısı ortalama hataları ile verilmiştir. Ölçüler arasında korelasyon bulunmadığına göre a kenarı ve karesel ortalama hatasını hesaplayınız. b=60.00 m ±2 cm, c=70.00 m ±3 cm, B α=65.0000 g ±25 cc c a A α b C
Ölçülerin duyarlıkları (ortalamaları ve ağırlıkları) ve aralarındaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden önce (öncül, a-priori) elde bulunan bilgilere stokastik model denilir.
Fonksiyonel ve stokastik modeller dengeleme hesabının temelini oluştururlar. Söz konusu modeller dengelemeden önce kurulurlar. Ölçüler ile bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkileri tam olarak yansıtmayan fonksiyonel modeller ile ölçülerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları gerçekçi bir biçimde kapsamayan stokastik modeller Model Hataları na neden olurlar. Model hataları Dengeleme Hesabında en büyük sistematik hata kaynağıdır.
n: Ölçülerin sayısı u: Bilinmeyenlerin sayısı f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ; f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler bulunur. f=0 ise cebrik çözüm yapılır. f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.
Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi Dolaylı (Endirekt) Ölçüler Dengelemesi Koşullu (Şartlı) Ölçüler Dengelemesi
Bir tek büyüklüğün belirlenmesi için yapılan duyarlıkları farklı, ilk bağımsız ve dolaysız gözlemleri l 1, l 2,,l n, bunların ağırlıklarını p 1, p 2,,p n, ile gösterelim. Söz konusu gözlemler ile bunların duyarlıkları arasındaki ilişkiler; ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenin kesin değeri l i + v i = x v i = x l i Küçük sayılarla çalışmak için bilinmeyen x e x 0 yaklaşık değeri seçilir; x=x 0 +dx
v i =dx-(l i -x 0 ) ((l i -x 0 ): l i ve x 0 ın sayısal değerleri ile elde edilen büyüklüğe ötelenmiş ölçü gözüyle bakılarak; (l i -x 0 )= l i tanımı yapılırsa; v i = dx l i v 1 = dx l 1 v 2 = dx l 2.. v n = dx l n Düzeltme Denklemleri (Fonksiyonel Model)
l i ötelenmiş gözlemlerin ağırlıkları da p i olur ve bunlar stokastik modeli oluştururlar. p 1, p 2,.,p n (Stokastik Model) Bu durumda Gauss un en küçük kareler yöntemine göre dengeleme ilkesi (Amaç Fonksiyonu); [pvv]=min. Biçimindedir.
Düzeltme Denklemleri v i = dx l i Ağırlık p i v 1 = dx l 1 p 1 v 2 = dx l 2 p 2...... v n = dx l n p n (Matematik Model)
Matematik model bağıntılarında her iki tarafın karesi alınıp, ilgili ağırlıklarla çarpıldıktan sonra toplamları oluşturulursa; pvv = dx 2 p 2dx pl + pl l elde edilir. Amaç fonksiyonu [pvv]=min. İçin, eşitliğin sağ tarafının dx e göre türevi sıfıra eşitlenerek; pvv = 2 p dx 2 dx pl = 0 p dx pl = 0 Normal Denklem dx = pl p Dengeleme Bilinmeyeninin Kesin Değeri x = x 0 + dx Kesin Değer
[pv]=0 pvv = pl l dx pl 1. Kontrol pvv = pl l pl 2 p 2. Kontrol
m 0 = ± pvv n 1 Birim Ölçünün Ortalama Hatası m i = ± m 0 p i Gözlemlerin Ortama Hataları m x = ± m 0 [p] Hatası Genel Aritmetik Ortalamanın Ortalama
Nivelman Ölçüleri ile Bir Noktaya Yükseklik Taşıma Ölçüler l'i Geçki Uzunluğu (Si) Ağırlık Düzeltme Ortalama Hata 157,0480 3,10 157,0520 2,00 157,0550 6,10 157,0490 5,30 157,0420 10,20
DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ GPS AĞLARININ DENGELENMESİ GPS NİVELMANI SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
Belirlenmesi istenen, bir tek büyüklük ise Dolaysız Ölçüler Dengelemesi söz konusudur. Örnek olarak bir uzunluk ya da bir açı n kez ölçülmüş ise Dolaysız Ölçüler dengelemesi uygulanır. Birden çok sayıda bilinmeyenin bir kerede belirlenmesi ya da bilinmeyenler yerine onları hesaplamaya yarayan büyüklükler ölçülmüş ise, Dolaylı Ölçüler dengelemesi uygulanır. Jeodezide genellikle bulunması istenen büyüklükler doğrudan ölçülmez. İstenen değer, ölçülen diğer elemanlar yardımı ile hesaplanır.
n: Ölçülerin sayısı u: Bilinmeyenlerin sayısı f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ; f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler bulunur. f=0 ise cebrik çözüm yapılır. f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.
Dolaylı ölçüler dengelemesinde ilk aşama, bilinmeyenlerin seçimidir. Bilinmeyenlerin sayısı, problemin geometrik anlamda çözümü ya da çizimi için gerekli ölçü sayısıdır. Hangi büyüklüğün bilinmeyen olarak seçilmesi gerektiği, çoğu kez önceden bilinir. Nokta kestirmelerinde, kestirilecek noktaların koordinatları, nivelman ağlarında noktaların yükseklikleri ya da yükseklik farkları gibi. Dolaylı ölçüler dengelemesinde tüm ölçüler kullanılarak bilinmeyenler, dengeli ölçüler, bilinmeyenlerin fonksiyonları ve bu büyüklüklerin standart sapması belirlenir.
Dengelenmiş ölçüler ile bilinmeyenler arasında ; l+v=ax (ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenlerin fonksiyonu) Biçiminde yazılan eşitliklere düzeltme denklemi adı verilir. Bu denklemlerin sayısı ölçü sayısına eşittir. v = Ax l (Matris formunda fonksiyonel model) v= Düzeltmeler vektörü A=Katsayılar Matrisi x=bilinmeyenler vektörü -l=sabit Terimler vektörü
Doğrusal olmayan denklem sistemlerinin direkt olarak çözümü mümkün değildir. Bu amaçla yazılan ilk düzeltme denklemleri bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri alınarak Taylor açınımı ile doğrusallaştırılır. Düzeltme denklemlerinin tümü doğrusal olsa bile, hesaplama kolaylığı ve yuvarlatma hata etkisinin azaltılması amacı ile bilinmeyenler yerine genelde yaklaşık değerleri seçilir.
v = Ax l şeklindeki u bilinmeyenli n denklemden x bilinmeyenlerinin EKK koşulu; v t Pv = min. Olacak şekilde belirlenmesi gerekir. v yerine konulursa; v t Pv = Ax l T P(Ax l) olur. v t Pv minimum olabilmesi için bilinmeyenlere göre türevi sıfır olmalıdır. Normal denklemlerin çözümü bize x bilinmeyenler vektörünü verir. A T PAx A T Pl = 0 : Normal Denklemler x = (A T PA) 1 A T Pl : çözüm, x bilinmeyenler vektörü
Şekildeki ikizkenar üçgenin eşit kenarları, açıları ve yüksekliği ölçülmüştür. İkiz kenar ve açılar cinsinden düzeltme denklemlerini yazınız 6 1 2 3 4 5 i L i 1 118.316 m 2 118.304 m 3 70.656 m 4 40.7516 gon 5 40.7532 gon 6 118.4934 gon
Matris formunda bir fonksiyonel model verilmiştir. Bu modele ait stokastik model ise tabloda verildiği gibidir. Öncül karesel ortalama hata s 0 =±0.90 mm olduğuna göre duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz v 1-0.0854 0.5678 dx 23 2.54 v 2 = -0.4502 0.1691 * dy 23 - -1.26 v 3 0.9116 0.2451 3.27 s 0 = 0.90 ms 1 = 0.65 rij = 0.50 ms 2 = 0.81 ms 3 = 0.36
Bir Referans sisteminin gerçekleştirilebilmesi için o sistemde koordinatı bilinen noktalara ihtiyaç vardır. Referans sistemini gerçekleştirmek amacıyla tesis edilen noktalara kontrol noktası, bu noktaların meydana getirdiği yapıya da kontrol ağları adı verilir.
Yatay kontrol ağları Düşey kontrol ağları Üç boyutlu kontrol ağları
Kontrol noktalarının konumunu doğrudan doğruya belirlemek mümkün değildir; dolaylı gözlemler yapmak gerekir. Yatay kontrol ağları: Kenar, doğrultu ve açıklık açısı gözlemleri Düşey kontrol ağları: Nivelman Üç boyutlu kontrol ağları: Kenar, doğrultu, düşey açı veya GPS baz vektörleri
Doğrultu ağlarında doğrultular, kenar ağlarında uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında hem doğrultular ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik farkları, trigonometrik nivelman ağlarında düşey açılar ya da yükseklik farkları (düşey açılardan hesaplanır) ölçülür. GPS ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür. Bu ölçüler ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda hiçbir bilgi içermezler. Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara SERBEST ağlar denir.
Kontrol ağları üzerinde gerçekleştirilen gözlemler ağın ancak iç geometrisini belirler. Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi veren parametrelere DATUM parametreleri denir. Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik koordinatı o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir. Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az iki noktasının koordinatları bilinmelidir. Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü bilinmelidir. Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.
Ağın bir koordinat sisteminde konumlandırılabilmesi için gerekli olan parametrelere dış parametreler bunların sayısına datum defekti adı verilir.
Kullanılacak ölçme yöntemi ve jeodezik model Doğruluk ölçütleri o Global doğruluk ölçütleri o Lokal doğruluk ölçütleri Güvenirlik Ekonomi Yüksek doğruluk gereksinimleri nedeniyle jeodezik ölçmelerde noktalar daima bir ağ mantığı içerisinde ele alınır ve nokta konumları ağ üzerinde gerçekleştirilen ölçülerin bir dengeleme hesabına tabi tutulmasıyla elde edilir.
Serbest ağ dengelemesi Tüm iz minimum Kısmi iz minimum Minimuma dayalı (zorlamasız) dengeleme Dayalı (zorlamalı) dengeleme
Bu tür dengelemede hiçbir ağ noktasının koordinatı sabit kabul edilmez. Bütün nokta koordinatlarının hatalar içerdiği düşünülür. Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları, koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir. Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar sadece yeni noktaların koordinatlarına dağıtılır. Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken hatalar yeni noktaların konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu datum seçimine bağlı olarak değişir. Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ dengelemesi (tüm iz minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde bir ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta koordinatlarına dağıtılır.
Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır. Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir. Deformasyon analizi ve yorumu açısından bu değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması tercih edilmektedir. Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle normal denklem katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur. Yani bu matris singüler bir matristir.
Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm noktalarını içeren küçültülmüş koordinat bilinmeyenleri vektörünün normunun (bilinmeyenlerin kareleri toplamı) ve ağırlık katsayıları matrisinin izinin (Köşegen elemanları toplamı) en küçük olmasını, başka bir değişle ağın tüm noktalarının datum tanımına katkıda bulunmasını sağlar. Tüm iz minimum yöntemine göre dengelemenin doğrusallaştırılmış fonksiyonel modeli, düzeltme denklemleriyle koordinat bilinmeyenleri arasındaki koşul denklemlerinden oluşur.
v=ax g l (Düzeltme Denklemleri) G T x g = 0 (Koşul Denklemleri) f = n u + d (Serbestlik Derecesi) (n : ölçü sayısı, u: Bilinmeyen sayısı, d: Defekt) x g koordinat bilinmeyenleri vektörü, ağın tüm noktalarını içerir. Bu çözümde ağın datumu G matrisi ile tanımlanır. Ve tüm noktalar datum tanımına katılır. Koşul denklemlerinin sayısı datum parametrelerinin sayısına eşittir. Nokta sayısı p ve buna göre koordinat bilinmeyenlerinin sayısı bir boyutlu ağlarda u=p, iki boyutlu ağlarda u=2p ve üç boyutlu ağlarda u=3 p ise G matrisinin boyutları uxd dir.
Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm noktalarını içeren küçültülmüş koordinat bilinmeyenleri vektörünün normunun (Bilinmeyenlerin bir bölümünün kareleri toplamı) ve ağırlık katsayıları matrisinin buna karşılık alt matrisinin izinin (köşegen elemanları toplamı) en küçük olmasını sağlar. Başka bir değişle ağın noktalarından yalnızca bir bölümünün datum tanımına katkıda bulunmasını sağlar.
Bu dengelemenin doğrusallaştırılmış fonksiyonel modelinin Tüm iz minimum yönteminden farkı G matrisi yerine, datumu tanımlayan ve G matrisinden dönüştürülen bir B matrisinin geçmesidir. v=ax g l (Tüm iz Min. Düzeltme Denklemleri) G T x g = 0 (Tüm iz Min. Koşul Denklemleri) v=ax g l (Kısmi iz Min. Düzeltme Denklemleri) B T x g = 0 (Kısmi iz Min. Koşul Denklemleri)
Q i = N = N + B i B i T 1 x i = Q i n
Dengeleme Hesabı (Kitap), Prof. Dr. Sebahattin BEKTAŞ (Samsun 2002) Dengeleme Hesabı (Kitap), Hüseyin DEMİREL (YTÜ 2005) Dengeleme Hesabı Cilt I-II-III (Kitap), Ergün ÖZTÜRK (Trabzon 1991) Dengeleme Hesabı Ders Notları, Şenol Hakan KUTOĞLU (BEUN, 2008) Dengeleme Hesabı Ders Notları, Temel BAYRAK (Gümüşhane, 2011)