SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II MOMENT DAĞITMA HARDY CROSS YÖNTEMİ Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı DR.MUSTAFA KUTANİS SIDE 1 HARDY CROSS 1932 yılında Prof Hardy Cross tarafından gelişirilmiştir. Statikçe belirsiz (hiperstatik) kiriş ve çerçeve yapılarının statik çözümlemesinde kullanılan iteratif bir yöntemdir. Cross, H. 1932. Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed-End Moments. Transactions of the American Society of Civil Engineers 96, Paper no. 1793. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 2
AÇI YÖNTEMİ Dış etkiler altında şekil değiştirip denge konumuna gelen düğüm noktaları sabit bir sistemin şekil değiştirmiş durumunu belirlemek için, rijit düğüm noktalarının θ dönmelerini tayin etmek yeterlidir. Çünkü rijit düğüm noktalarında birleşen çubukların θ uç dönmeleri birbirine eşittir ve düğüm noktalarının lineer (eksenel deformasyon) yerdeğiştirmeleri sıfıra eşittir. Bundan dolayı, bilinmeyen olarak θ dönmelerini ve bunları tayin etmek içinde düğüm noktalarının moment denge denklemlerini kullanmak gerekmektedir. Bunun için her rijit düğüm noktasında birleşen çubukların bu uçlarındaki M ij uç moment lerinin θ dönmelerine bağlı olarak DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 3 AÇI YÖNTEMİ-2 M ij 4EI 2EI F Δ = θi + θ j + M ij + M ij ifadesinden faydalanılır. Denge şartından, her rijit düğüm noktasında uç momentleri toplamının sıfır olduğu yazılır. θ ların sayısına eşit olan bu denklemler çözülerek θ dönmeleri bulunur. Daha sonra her çubuğun M ij uç momentleri ve buna bağlı olarak kesme kuvvetleri hesaplanır. Bu yöntem açı yöntemidir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 4
MOMENT DAĞITMA YÖNTEMİ -1 Moment Dağıtma Yöntemi esas olarak açı denklem takımının rölaksasyon yöntemi ile çözülmesi haline karşı gelir. Fakat, Cross yönteminde denklem takımı yazılmadan, aşağıda açıklandığı gibi, adım adım denge durumuna yaklaşılmaktadır. Birinci mertebe teorisi halinde, katsayılar matrisi simetrik olduğu, ve bütün minörlere ait determinantlarda pozitif oldukları için bu iterasyon yakınsaktır. Yakınsaklığın hızı da köşegen üzerindeki katsayılar, ait oldukları satırlardaki katsayılardan ne kadar büyükseler, o kadar büyük olur. Diğer bir deyimle, dağıtma katsayıları ile kendilerine ait geçiş katsayılarının çarpımları ne kadar küçükse, yakınsaklığın hızı da o kadar büyük olur. EA 0 0 0 0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 5 [ K '] = EA 0 0 EA 0 0 12EI 3 6EI 2 0 12EI 3 6EI 2 6EI 2 4EI 0 6EI 2 2EI 0 0 EA 0 0 12EI 3 6EI 2 0 12EI 3 6EI 2 6EI 2 2EI 0 6EI 2 4EI Moment Dağıtma yöntemi -2 Tüm düğüm noktalarının (mafsalla bağlanmış kenar mesnetler hariç) geçici olarak, dönmeye karşı kilitlenmesi; Bu haliyle, iki ucu kilitli elemanlardan, Dış yüklerden Mesnet hareketleri veya Isı farklılığından dolayı, eleman uçlarında oluşan ankastrelik momentlerinin hesaplanması ve kaydedilmesi; DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 6
Moment Dağıtma yöntemi -2 Düğüm noktalarının kilitlerinin sırasıyla birer birer açılarak, açığa çıkan düğüm noktası dengelenmemiş momentlerinin 1. Dengelenmesini 2. Düğüm noktasına bağlanan elemanların rijitlikleri oranında dağıtılmasını ve 3. Geçiş katsayısıyla komşu uçlara taşınmasını ve tekrar düğüm noktasının kilitlenmesi, aşamalarını içerir (Dengele-Dağıt-Taşı). Bu işlem diğer düğüm noktaları içinde tekrarlanır. Yeterli yakınsaklık sağlanıncaya kadar devam edilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 7 ÖN ÇAIŞMA Bu işlemlerin gerçekleştirilebilmesi için; Farklı yükleme koşulları için ankastrelik momentlerinin belirlenmesi, Eleman rijitliklerinin hesaplanması, Dengelenmemiş momentlerin, düğüm noktalarına bağlanan elemanlara, rijitlikleri oranında dağıtılabilmesi için dağıtma katsayılarının belirlenmesine, Geçiş katsayılarının belirlenmesi, ön işlemlerinin yapılması gerekmektedir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 8
POZİTİF İŞARET YÖNÜ Statik çözümlemede işaret yönü: Elemanlarda TERS SAAT YÖNÜ (CCW) Düğüm noktalarında SAAT YÖNÜ (CW) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 9 ANKASTREİK MOMENTERİ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 10
EEMAN RİJİTİK FAKTÖRÜ-1 i mafsallı kenar mesnet (yakın uç) j ankastre mesnet (uzak uç) olmak üzere i düğüm noktasında θ=1 radyan birim dönmesi yapabilecek momente eleman rijitlik faktörü denir. M ji i M ij j θ i Ri E, I Eleman Özellikleri R j DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 11 EEMAN RİJİTİK FAKTÖRÜ-2 M 2EI ( 2 θ + θ Φ ) F ij = Mij + i j 3 açı denkleminde θ=1 rad için: M ij ( 2 + 0 0) 2 E I 4EI = 0 + θi j = 1 = ij 4EI bulunur. 4EI K = değeri mutlak rijitlik katsayısıdır. I ise relatif rijitlik katsayısıdır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 12
EEMAN RİJİTİK FAKTÖRÜ-3 Açı denklemi j düğüm noktası için yazılırsa: M 2 E I = 0 + θ ( ) 2EI 1 ji i = = 1 M ji = M ij 2 M ji = C ij M ij 2EI eşit olur. Yani i-j çubuğunun i ucunda uygulanan M ij momentinden dolayı j ucunda oluşan M ji momentinin değeri M ij nin yarısı kadardır. Bu ifade aşağıdaki biçimde yazılabilir: Burada verilen C ij, geçiş katsayısıdir. olduğu açıkça görülmektedir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 13 EEMAN RİJİTİK FAKTÖRÜ-4 j uzak uç düğüm noktasının da mafsallı olması halinde eleman rijitlik matrisi: i M i M j j θ i R i E, I Eleman Özellikleri R j DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 14
EEMAN RİJİTİK FAKTÖRÜ-4 M 2 E I = 0 + 0.75 θ ( 2 + 0 0) 3EI 1 ij i j = = M ji = 0 bulunur. Bu durumda da: 3EI 3EI değeri mutlak rijitlik katsayısıdır. K = 0.75 I ise relatif rijitlik katsayısıdır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 15 Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor) Rüzgar Gülü 3 4 2 1 M 0 θ 5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 16
Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor) 3 4 2 M 0 1 5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 17 Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor) 3 4 2 M 0 1 5 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 18
Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor) 3 4 2 1 5 θ 12 =θ 13 =θ 14 =θ 15 =θ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 19 Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)-2 Yukarıdaki şekilde, 1 nolu düğüm noktasına M 0 momenti uygulanmaktadır. Bu momentten dolayı, 1 nolu düğüm noktasına rijit bir şekilde bağlı bulunan tüm elemanlarda θ dönmesi oluşmuştur. 1 nolu düğüm noktasında denge denklemi yazılırsa: ΣM 1 =0 M 12 +M 13 +M 14 +M 15 M 0 =0 K ij = I ij ij olmak üzere M ij = 4 E ij K ij θ ij DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 20
M 12 = 4 EK 12 θ M 13 = 4 EK 13 θ M 14 = 4 EK 14 θ M 15 = 4 EK 15 θ ifadeleri yukarıda verilen denge denkleminde yerine yazılırsa: 4 EK 12 θ+4 EK 13 θ+4 EK 14 θ+4 EK 15 θ=m 0 M 0 =4 E θ (K 12 +K 13 +K 14 +K 15 ) M 0 =4 E θ ΣK M 0 θ = olarak bulunur. θ değeri M 4E K 12, M 13, M 14 ve M 15 ifadelerinde yerine yazılırsa: DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 21 K12 M12 = M0 K K14 M14 = M0 K Kij katsayısına K K13 M13 = M0 K K15 M15 = M0 K dağıtma faktörü (katsayısı) DF ij denir Dağıtma faktörü: Ankastre kenar mesnetlerde DF=0 dır. Mafsallı kenar mesnetlerde ise DF=1 dir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 22
Dağıtma Katsayısı (Distribution Factor)-5 DF BA = K K BA + K BA BC DF K = K CB CB = CB + 0 1.0 DF K = K AB AB = AB + 0 DF BC = K K BC + K BA BC DF 0 + 0 CD = = KCB 0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 23 Geçiş Katsayısı (Carry Over Factor) Geçiş katsayısı, doğru eksenli ve sabit enkesit alanlı çubuklarda: Ankastre veya kilitli mesnetlere 0.5 tir; Diğer durumlarda (mesela kenar mesnedin mafsallı olması durumu) 0 dır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 24
UYGUAMA 150 kn 15 kn/m 10 kn/m 3 m A 2I B I C 3I 8 m 6 m 8 m D ÖN İŞEMER: HAZIRIK Farklı yükleme koşulları için ankastrelik momentlerinin hesaplanması Eleman rijitliklerinin hesaplanması, Dengelenmemiş momentlerin, düğüm noktalarına bağlanan elemanlara, rijitlikleri oranında dağıtılabilmesi için dağıtma katsayılarının belirlenmesine, Geçiş katsayılarının belirlenmesi, DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 25 BİRİNCİ ADIM 150 kn 15 kn/m 10 kn/m A 2I B I C 3I D Tüm düğüm noktaları kilitlenir ve ankastrelik momentleri hesaplanır. 15 kn/m 80 knm 80 knm 112.5kNm 3 m 150 kn 112.5 knm 80 knm 10 kn/m A 8 m B B 6 m C C 8 m DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 26
EEMAN RİJİTİK KATSAYIARI VE DAĞITMA FAKTÖRERİ K = I ij ij DF K = K 2I 8 2I + 8 AB AB = = AB + DF 0 K BA + K 2I 8 2I I + 8 6 BA = = = K BA BC 0.6 DF K BC + K I 6 2I I + 8 6 BC = = = K BA BC 0.4 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 27 EEMAN RİJİTİK KATSAYIARI VE DAĞITMA FAKTÖRERİ DF KCB + K I 6 I 3I + 0.75 6 8 CB = = = KCB CD DF 0.372 KCD + K 3I 0.75 8 I 3I + 0.75 6 8 CD = = = KCB CD 0.628 DF K = K 3I 0.75 = 8 3I 0.75 8 DC DC = DC 1.0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 28
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 29... DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 30
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 31 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II MOMENT DAĞITMA (KROS) Uygulama Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı DR.MUSTAFA KUTANİS SIDE 32
SORU-2 Mesnet tepkilerini hesaplayınız Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz. Moment (DN CW +) DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 33 1. ADIM DÜĞÜM NOKTAARI KİİTENİR A ve D düğüm noktaları sabit veya hareketli mesnet olduğu için kilitlenmesine gerek yoktur. Ancak AB ve CD KİRİŞERİNİN rijitliklerinin %25 oranında azaldığı ve ankastrelik momentlerinin buna göre hesaplanması gerektiği unutulmamalıdır. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 34
DAĞITMA FAKTÖRERİ EEMAN RİJİTİK FAKTÖRERİ (Mutlak Rijitlik cins yazalım) 4EI1 K1 = 0.75 1 4EI K = 2 2 2 K 3 4EI = 0.75 3 3 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 35 ANKASTREİK MOMENTERİ P kn q kn/m q kn/m 3P 16 q 12 2 q 12 2 2 2 3 10 8 5 8 5 8 5 8 = 15 = + 26.67 = 26.67 = + 40 16 12 12 8 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 36 2 2 q 8
DÜĞÜM NOKTASI MOMENTİ Taşıma Taşıma Dengele-Dağıt Dengele-Dağıt DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 37 B Mesnet Momenti Dengele Dağıt Taşı DENGEE : 50 (-1)=-50 DAĞIT BA : 50 1/3=-16.667 DAĞIT BC : 50 2/3=-33.33 AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33-16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 38
C düğüm noktası AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33-16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 B düğüm noktasında toplam dengesizlik: -15+26.67=11.67 C düğüm noktasında toplam dengesizlik: -16.67-26.67+40= -3.34 Bu durumda DENGEE(-1)+DAĞIT (DF)+TAŞI (1/2) işlemine B dn dan başlanmalıdır. B de dengelenmemiş moment: +11.67 Dengele: +11.67 (-1)=-11.67 Dağıt: BA=-11.67 (1/3)=-3.89 BC=-11.67 (2/3)=-7.78 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 39 B mesnedi Dengele Dağıt Taşı AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33 Taşı -16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DDT 0-3.89-7.78-3.89 C de dengesizlik: -16.67-26.67+40-3.39= -7.23 C de dengelenmemiş moment: -7.23 Dengele: -7.23 (-1)=+7.23 Dağıt: CB=7.23 (4/7)=4.13 CD=7.23 (3/7)=3.098 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 40
C mesnedi Dengele Dağıt Taşı AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33 Taşı -16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DDT 0-3.89-7.78-3.89 2.065 +4.13 +3.1 0 B de dengelenmemiş moment: +2.065 Dengele: 2.065 (-1)= -2.065 Dağıt: BC=-2.065 (1/3)=-0.688 BA=-2.065 (2/3)=-1.376 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 41 C mesnedi Dengele Dağıt Taşı AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33 Taşı -16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DDT 0-3.89-7.78-3.89 +2.065 +4.13 +3.1 0-0.688-1.376-0.688 C de dengelenmemiş moment: -0.688 Dengele: -0.688 (-1)= +0.688 Dağıt: CB=0.688 (4/7)=0.393 CD=0.688 (3/7)=0.294 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 42
C mesnedi Dengele Dağıt Taşı AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33 Taşı -16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DDT 0-3.89-7.78-3.89 +2.065 +4.13 +3.1 0-0.688-1.376-0.688 0.1965 0.393 0.294 B de dengelenmemiş moment: +0.1965 Dengele: 0.1965 (-1)= -0.1965 Dağıt: BC=-0.1965 (1/3)=-0.0655 BA=-0.1965 (2/3)=-0.131 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 43 C mesnedi Dengele Dağıt Taşı AB BA BC CB CD DC DF 1.0 1/3 2/3 4/7 3/7 1.0 DNM -16.67-33.33 Taşı -16.67 M F 0-15 26.67-26.67 40 0 DDT 0-3.89-7.78-3.89 +2.065 +4.13 +3.1 0-0.688-1.376-0.688 0.1965 0.393 0.294-0.0655-0.131 Σ 0-36.313-13.68-43.395 +43.394 0 Bence yeterli hassasiyet oluştu (?) Sonuçları toplayalım DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 44
36.313kNm 43.395kNm 0.46kN 9.54kN 25.42kN 14.57 13.68kNm 43.395kNm DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 45 0.46 9.54+12.87=22.41 27.13+25.42=52.55 14.57 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 46
Mesnet tepkilerini hesaplayınız Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz. Mesnet tepkilerini hesaplayınız Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 47 Moment Dağıtma DNM Taşı MF Dağıt Taşı Dengelenen Moment tekrar dengelenmez. Taşınan dengelenir DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 48
Mesnet Tepkileri DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 49 diyagramlar DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 50
Soru-4 Mesnet tepkilerini hesaplayınız Moment ve Kesme Kuvveti diyagramlarını çiziniz. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 51 Kros DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 52
mesnet tepkileri DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 53 Diyagram DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 54
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 55 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II Çerçeve ve Mesnet Hareketi Örneği Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı DR MUSTAFA KUTANİS SIDE 56
SORU DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 57 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 58
M BA DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 59 MESNET HAREKETİ SAAT YÖNÜ TERS SAAT YÖNÜ DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 60
SORU 1 B mesnedinin 10 mm çökmesi halinde, Moment Dağıtma yöntemini kullanarak kesit tesirleri diyagramlarını çiziniz. (E=200GPa; I=50x10 6 mm 4 ) EI=10000kNm 2 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 61 3 ( 2EI ) Δ 2 = 9.375 DN Momenti DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 62
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 63 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 64
Soru 2 A mesnedinin 10 mm çökmesi halinde, Moment Dağıtma yöntemini kullanarak kesit tesirleri diyagramlarını çiziniz. (E=200GPa; I=50x10 6 mm 4 ) EI=10000kNm 2 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 65 ( EI ) 3 1.5 3 Δ 2 = 50 DN Momenti DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 66
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 67 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 68
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 69 Soru F G A 40 kn 8 12 B 2 kn/m I ko l = 0.5 I kiriş C 2 kn/m D 10 10 H J 25m 6 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 70
Eleman rijitlikleri ve DF Dağıtma Faktörleri Düğüm Noktası Düğüm Noktası B K DF C K DF BA 0.0375 0.246 CB 0.04 0.314 BF 0.0375 0.246 CG 0.0375 0.294 BC 0.04 0.262 CD 0 0.000 BH 0.0375 0.246 CJ 0.05 0.392 ΣΚ 0.1525 ΣΚ 0.1275 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 71 Ankastrelik Momentleri F G A 40 kn 8 12 B 2 kn/m I ko l = 0.5 I kiriş C 2 kn/m D 10 10 H J 25m 6 M BA -134.400 M BC 104.167 M CD 36 M CB -104.17 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 72
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 73 Soru DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 74
Eleman rijitlikleri, Ankastrelik Momentleri Köşelerde kiriş: K=I/20 DF=0.375 kolon K=I/12 DF=0.625 Merkezlerde kiriş: K=I/20 DF=0.272 kiriş: K=I/20 DF=0.272 kolon K=I/12 DF=0.456 Ankastrelik momentleri ise M ABF = M DEF = M EFF = ± 83.33kNm M BCF =±125kNm DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 75 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 76
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II İNM303 YAPI STATIĞ II MOMENT DAĞITMA SİMETRİK- ANTİMETRİK 31 Ekim 2006 Salı DR MUSTAFA KUTANİS SIDE 77 MOMENT DAĞITMA SİMETRİK Bir simetri eksenine göre tüm elemanları ve mesnet şartları benzer olan taşıyıcı sisteme simetrik sistem denir. Simetrik taşıyıcı sistemde yüklerde simetrik etkirse bu sistemlere simetrik sistemler denir (Şekil ). DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 78
MOMENT DAĞITMA ANTİMETRİK Simetrik taşıyıcı sisteme yükler antimetrik etkirse bu sistemlere antimetrik sistemler denir (Şekil ). DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 79 Simetrik sistemlerde: mesnet tepkileri, eğilme momenti, normal kuvvet ve u y simetri eksenine paralel yer değiştirmeler simetrik, kesme kuvveti, θdönme açıları ve u x simetri eksenine dik yer değiştirmeler antimetriktir. Simetrik sistemde simetri eksenin geçtiği bir kesitte antimetrik statik büyüklüklerin değeri sıfırdır, (V= 0 ; u x =0veθ =0). DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 80
Antimetrik sistemde kesme kuvveti, u x simetri eksenine dik yer değiştirmeler θdönme açısı simetrik, Mesnet tepkileri, eğilme momenti, normal kuvvet uy simetri eksenine paralel yer değiştirmeler antimetriktir. Simetri ekseninde antimetrik kesit tesirleri ve çubuk eksenine paralel yer değiştirme sıfırdır (M = 0; N = 0;, v =0). DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 81 SİMETRİ EKSENİ AÇIKIK ORTASINDAN GEÇEN KOONDAN GEÇEN MESNETTEN GEÇEN DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 82
SİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ AÇIKIK ORTASINDAN GEÇEN DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 83 ANTİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ AÇIKIK ORTASINDAN GEÇEN DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 84
SİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ KOONDAN GEÇEN kolon üst başı: u x =0; u y 0; θ=0; M kolon =0; V kolon =0 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 85 ANTİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ KOONDAN GEÇEN kolon üst başı: uy=0; M kolon üstbaşı =0; N kolon üstbaşı =0; N kolon =0 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 86
SİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ MESNETTEN GEÇEN P P a a I 3I 3I I 1 2 2 1 P a u x =0; u y =0; θ=0 I 3I 1 2 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 87 P ANTİMETRİK YÜKÜ, SİMETRİ EKSENİ MESNETTEN GEÇEN P a a I 3I 3I I 1 2 2 1 P a ux=0; uy=0; θ 0 M=0; N=0 I 1 3I 2 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 88
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 89 Dağıtma sayıları SİMETRİDE ΣK=0.45 ANTİ-SİMETRİDE ΣK=0.65 3P M ba = = 16 93.75 DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 90
simetrik antimetrik ab ba bc be eb ab ba bc be eb DF 1 0.33 0.22 0.45 0 1 0.23 0.46 0.31 0 MF -93.75-93.75 30.93 20.63 42.2 21.1 21.56 43.12 29.06 14.53 Toplam -62.82 20.63 42.2 21.1-72.2 43.12 29.06 14.53 Süperpozisyon kuralı gereğince M ba = (-62.82)+(-72.2)=-135kNm M bc = 20.63+43.12=63.75kNm M be =42.2+29.06=71.26kNm M cd = (+62.82)+(-72.2)= 9.38kNm M cb = (-20.63)+43.12=22.5kNm M cf =(-42.2)+29.06= 13.14kNm M eb =21.1+14.53=35.63kNm M fc =(-21.1)+14.53= 6.57kNm DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 91 Süperpozisyon Yukarıda yapılan süperpozisyon işleminde, Simetri ekseninin solundaki moment değerleri elde edilirken, simetrik ve antimetrik Cross sonuçlarının AYNEN alındığına; Simetri ekseninin sağındaki moment değerleri elde edilirken, simetrik kros sonuçlarının ZIT İŞARETİSİ, antimetrik Cross sonuçlarının ise BENZER İŞARETİSİNİN alındığına dikkat ediniz. DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 92
DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 93 ÖRNEKER AB DF 1 2/3 1/3 M F 0-60 133.33 0 BA - 48.88-108.8 8 BC -24.44 108.89 K BA =0.75 I/15=0.05 K BC =0.5 I/20=0.025 K=0.075 DF BA =2/3 DF BC =1/3 M F AB = 0 M F BA = -60 tm = 133.3 tm M F BC DR. M. KUTANİS SAÜ İNŞ. MÜH. BÖ. SIDE 94
SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II MOMENT DAĞITMA YÖNTEMİ HARDY CROSS YANA DEPASMANI SİSTEMER Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı DR.MUSTAFA KUTANİS SIDE 95 F x 0 X 1 Fiktif mesnet koy. Yanal deplasman yok Fiktif mesnedi kaldır Yanal deplasman oluşur R burada sisteme Δ deplasmanını yaptırıyor F x =0: R + R X 1 =0 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 96
Düğüm Noktaları Hareketli Sistemler Soru 1 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 97 C düğüm noktasına fiktif mesnet konulur, düğüm noktaları sabit sistem Cross la çözülür. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 98
Elde edilen sonuçlara göre, yatay mesnet tepkileri (Ax ve Dx) elde edilir. Sisteme etkiyen tüm yatay kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 99 R=7+8.27-6.23=9.04k R 7.0 k? Ax=8.27 k Dx=6.23 k DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 100
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 101 (RASTGEE(ARBITRARY) DN YERD) Δ dn hareketinden dolayı M ABF =-1000 k olduğunu varsayalım. Rijitlikleri oranından M DCF bulunur. Sistem Cross la çözülür. 6EIΔ = 2 F M AB 2 6EI = Δ = 1000k 10 F M = DC 2 6EI Δ = 390.625k 16 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 102
Elde edilen sonuçlara göre, yatay mesnet tepkileri (Ax ve Dx) elde edilir. Sisteme etkiyen tüm yatay kuvvetler serbest cisim diyagramında gösterilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 103? Ax=104.9k Dx=36.7 k R =104.9+36.7=141.6k DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 104
7.0 k + X Ax=8.25 k Dx=6.23 k Ax=104.9k Dx=36.7 k DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 105 [7+8.25-6.23]+X [104.9+36.7]=0 9.02+X 141.6=0 X=-0.0637 bulunur. Gerçek moment değeri = Case I + X Case 2 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 106
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 107 Soru 2 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 108
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 109 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 110
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 111 Fiktif DN kaldırılır R nedeniyle oluşan Δ deplasmanından dolayı oluşan ankastrelik momentinin =100kNm olduğunu varsayalım! DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 112
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 113 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 114
R+X R =0-0.92+X 56=0 X=0.92/56=0.016428 bulunur. Gerçek moment değeri = 1. durum + X 2.durum süperpozisyonuyla elde edilir. DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 115 SON HAİ DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 116
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 117 Örnek Soru EI= sabit DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 118
Fiktif mesnetli Fiktif mesnet DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 119 kaldırıldı Fiktif mesnetli Denge şartı: DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 120
Fiktif mesnet kaldırıldı Ankastrelik Momentleri Varsayım: DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 121 Denge şartı: DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 122
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 123 DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 124
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIDE 125